Tải bản đầy đủ

HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ SONG SONG

Câu 1: [1H2-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và

BC . Biết AD  a, BC  b . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và

SBC . Mặt phẳng  ADJ  cắt SB, SC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng  BCI  cắt
SA, SD tại P, Q .

a) Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. MN song sonng với PQ .

B. MN chéo với PQ .

C. MN cắt với PQ .

D. MN trùng với PQ .

b) Giải sử AM cắt BP tại E ; CQ cắt DN tại F . Chứng minh EF song song
với MN và PQ . Tính EF theo a , b .
A. EF 
EF 


1
a  b
2

B. EF 

3
a  b
5

C. EF 

2
a  b
5

Lời giải
a) Chọn A

b) Chọn C
S

I

P
A
E

B

Q

K
M

J

D
N



F

C

a) Ta có I   SAD   I   SAD    IBC  .

 AD   SAD 

 BC   IBC 
 PQ AD BC
Vậy 
 AD BC
 SAD    IBC   PQ

Tương tự J   SBC   J   SBC    ADJ 

1

2
a  b
3

D.


 AD   ADJ 

 BC   SBC 
 MN AD BC
Vậy 
AD
BC

 SBC    ADJ   MN


 2

Từ 1 và  2  suy ra MN PQ .


 E   AMND 
 F   AMND 
b) Ta có E  AM  BP  
; F  DN  CQ  

 E   PBCQ 
 F   PBCQ 

 AD BC
Do đó EF   AMND    PBCQ  . Mà 
 EF AD BC MN PQ .
MN PQ
Tính EF : Gọi K  CP  EF  EF  EK  KF
Ta có EK BC 


EK PE

BC PB

1 ,

PM

AB 

PE PM

EB AB

PM SP 2
PE 2

 
 .
AB SA 3
EB 3

Từ 1 suy ra

EK PE
PE
1
2
2
2



  EK  BC  b
BC PB PE  EB 1  EB 5
5
5
PE

Tương tự KF 

2
2
a . Vậy EF  EK  KF   a  b  .
5
5

Câu 2: [1H2-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là

AB và CD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là
trọng tâm của tam giác SAB .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB  và  IJG  .
A. là đường thẳng song song với AB.
B. là đường thẳng song song với CD.
C. là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD.
D. Cả A, B, C đều đúng.
b) Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của  IJG  và hình chóp là một
hình bình hành.
2
A. AB  CD .
3
AB  3CD .

B. AB  CD .

Lời giải
a) Chọn D

b) Chọn D

3
C. AB  CD .
2

D.


S

N

G

M

B

A

E
J

I
C

D

a) Ta có ABCD là hình thang và I , J là trung điểm của AD, BC nên IJ / / AB .

G   SAB    IJG 

 AB   SAB 
Vậy 
 IJ   IJG 
 AB IJ


  SAB    IJG   MN IJ AB với
M  SA, N  SB .

b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNJI .
Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN AB nên
( E là trung điểm của AB )  MN 

MN SG 2


AB SE 3

2
AB .
3

1
 AB  CD  . Vì MN IJ nên MNIJ là hình thang, do đó MNIJ là hình
2
bình hành khi MN  IJ

Lại có IJ 



2
1
AB   AB  CD   AB  3CD .
3
2

Vậy thiết diện là hình bình hành khi AB  3CD .
Câu 3: [1H2-2-3] Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và điểm M ở ngoài a và ngoài b . Có
nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng qua M cắt cả a và b ?
A. 1 .

C. 0 .

B. 2 .
Lời giải

Chọn A

D. Vô số.


c
M

b

a
Q
P

Gọi P là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và M ; Q là mặt phẳng tạo bỏi đường
thẳng b và M .
Giả sử c là đường thẳng qua M cắt cả a và b .
c

P

c

Q

c

P

Q .

Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cả a và b .
Câu 4: [1H2-2-3] Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi. Có nhiều

nhất bao nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?
A. 1 .

C. 0 .

B. 2 .

D. Vô số.

Lời giải
Chọn D
Gọi M là điểm bất kì nằm trên a .
Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c . Khi đó, d là giao tuyến của mặt
phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c .
Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d .
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c .

Câu 5: [1H2-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy
nhỏ CD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và SB . Gọi P là giao điểm của
SC và AND . Gọi I là giao điểm của AN và DP . Hỏi tứ giác SABI là hình gì?
A. Hình bình hành.
thoi.

B. Hình chữ nhật.
Lời giải

Chọn A

C. Hình vuông.

D.

Hình


S

I

N

M

A

B

P

C

D

E
Gọi E

AD

BC , P

NE

SC .

Suy ra P

SC

AND .

Ta có
S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng SAB và SCD ;
I

DP

Suy ra SI

AN

I là điểm chugn thứ hai của hai mặt phẳng SAB và SCD .

SAB

SCD . Mà AB

CD

SI

AB

CD.

Vì MN là đường trung bình của tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường
trung bình của tam giác SAI nên suy ra SI AB .
Vậy SABI là hình bình hành.
Câu 6: [1H2-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD . M , N

lần lượt là hai trung điểm của AB và CD .  P  là mặt phẳng qua MN và cắt mặt
bên  SBC  theo một giao tuyến. Thiết diện của  P  và hình chóp là
A. Hình bình hành.
C. Hình chữ nhật.

B. Hình thang.
D. Hình vuông.
Lời giải

Chọn B


S

P

Q
D

A
N

M
B

C

Xét hình thang ABCD , có M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD .
Suy ra MN là đường trung bình của hình thang ABCD  MN // BC .
Lấy điểm P  SB , qua P kẻ đường thẳng song song với BC và cắt BC tại Q .
Suy ra  P    SBC   PQ nên thiết diện  P  và hình chóp là tứ giác MNQP có

MN // PQ // BC . Vậy thiết diện là hình thang MNQP .
Câu 7: [1H2-2-3] Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , AC , E là

điểm trên cạnh CD với ED  3EC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng  MNE  và tứ diện

ABCD là:
A. Tam giác MNE .
B. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD .
C. Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF
D. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF
Lời giải
Chọn D
A

M
N
D

B
F
E
C

Ta có E là điểm chung của hai mặt phẳng  MNE  và  BCD  .

BC .

BC .


 MN   MNE 

Lại có  BC   BCD   Giao tuyến của hai mặt phẳng  MNE  và  BCD  là
 MN BC

đường thẳng d đi qua điểm E và song song với BC và MN .
Trong mặt phẳng  BCD  , gọi F  d  BC .
Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng  MNE  và tứ diện ABCD là hình thang MNEF
với F là điểm trên cạnh BD mà EF

BC .

Câu 8: [1H2-2-3] Cho hình bình hành ABCD . Gọi Bx , Cy , Dz là các đường thẳng song

song với nhau lần lượt đi qua B , C , D và nằm về một phía của mặt phẳng  ABCD 
đồng thời không nằm trong mặt phẳng  ABCD  . Một mặt phẳng đi qua A cắt Bx ,

Cy , Dz lần lượt tại B  , C , D với BB  2 , DD  4 . Khi đó độ dài CC bằng
bao nhiêu?
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn D
y
C'
z
D'
O'
D

x
B'

C

O
A

B

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Dựng đường thẳng qua O song song BB
và cắt BD tại O .
Theo cách dưng trên, ta có OO là đường trung bình của hình thang BBDD
BB  DD
 OO 
 3.
2
Ngoài ra ta có OO là đường trung bình của tam giác ACC
 CC  2OO  6 .


Câu 9: [1H2-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung

điểm SA . Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng  IBC  là:
A. Tam giác IBC.
điểm SD ).
C. Hình thang IGBC ( G là trung điểm SB ).
Lời giải
Chọn B

B. Hình thang IJCB ( J là trung
D. Tứ giác IBCD .

S

J

I
B

C

G
O

A

D

Gọi O là giao điểm của AC và BD , G là giao điểm của CI và SO .
Khi đó G là trọng tâm tam giác SAC . Suy ra G là trọng tâm tam giác SBD .
Gọi J  BG  SD . Khi đó J là trung điểm SD .
Do đó thiết điện của hình chóp cắt bởi  IBC  là hình thang IJCB ( J là trung
điểm SD ).
Câu 10: [1H2-2-3] Cho tứ diện ABCD , M và N lần lượt là trung điểm AB và AC . Mặt

phẳng ( ) qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là đa giác T  . Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. T  là hình chữ nhật.
B. T  là tam giác.
C. T  là hình thoi.
D. T  là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành.
Lời giải
Chọn D


A
M

N

D

B

C

 
 

qua MN cắt AD ta được thiết diện là một tam giác.
qua MN cắt hai cạnh BD và CD ta được thiết diện là một hình thang.

Đặc biệt khi mặt phẳng này đi qua trung điểm của BD và CD , ta được thiết diện
là một hình bình hành.


Câu 11:

[1H2-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD//BC ,
AD  2.BC , M là trung điểm SA . Mặt phẳng  MBC  cắt hình chóp theo thiết diện

A. tam giác.
chữ nhật.

B. hình bình hành.

C. hình thang vuông. D.

hình

Lời giải
Chọn B
Sử dụng định lý ba đường giao tuyến ta
có giao tuyến của  MBC  với  SAD  là

S
M

MN sao cho MN //BC

N
B

A

Ta có: MN //BC //AD nên thiết diện
AMND là hình thang.

C

Lại có MN //BC và M là trung điểm
SA

D

 MN là đường trung bình,
1
MN  AD  BC
2

Vậy thiết diện MNCB là hình bình
hành.

Câu 12: [1H2-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD//BC ,

AD  2.BC , M là trung điểm SA . Mặt phẳng  MBC  cắt hình chóp theo thiết diện

A. tam giác.
chữ nhật.

B. hình bình hành.

C. hình thang vuông. D.

Lời giải
Chọn B
Sử dụng định lý ba đường giao tuyến ta

S

có giao tuyến của  MBC  với  SAD  là

MN sao cho MN //BC
Ta có: MN //BC //AD nên thiết diện
AMND là hình thang.
Lại có MN //BC và M là trung điểm
SA

M
N
A

B
C

D

hình


 MN là đường trung bình,
1
AD  BC
2
Vậy thiết diện MNCB là hình bình
hành.
MN 

Câu 13: [1H2-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O . M là
trung điểm của OC , Mặt phẳng   qua M song song với SA và BD . Thiết diện
của hình chóp với mặt phẳng   là:
A. Hình tam giác.
ngũ giác.

B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật.

D.

Hình

Lời giải
Chọn A

Ta

có:


 M      ABCD 
     ABCD   EF //BD  M  EF , E  BC , F  CD  .


  //BD   ABCD 

 M      SAC 
     SAC   MN //SA  N  SC  .
Lại có: 

  //SA   SAC 
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác NEF .

Câu 14: [1H2-2-3] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho
hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SD ,
N là trọng tâm tam giác SAB . Đường thẳng MN cắt mặt phẳng  SBC  tại điểm
I . Tính tỷ số

A.

3
.
4

IN
.
IM

B.

1
.
3

C.
Lời giải

Chọn D

1
.
2

D.

2
.
3


Gọi J ; E lần lượt là trung điểm SA; AB .
Trong mặt phẳng  BCMJ  gọi I  MN  BC .
Ta có: IM là đường trung tuyến của tam giác SID .
1
CD nên suy ra BE là đường
2
trung bình của tam giác ICD  E là trung điểm ID  SE là đường trung tuyến
của tam giác SID .

Trong tam giác ICD ta có BE song song và bằng

Ta có: N  IM  SE  N là trọng tâm tam giác SID 

IN 2
 .
IM 3

Câu 15: [1H2-2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Lấy

điểm I trên đoạn SO sao cho

SI 2
 , BI cắt SD tại M và DI cắt SB tại N .
SO 3

MNBD là hình gì?
A. Hình thang.

B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật.
nhau.

D. Tứ diện vì MN và BD chéo
Lời giải

Chọn A


S

M
I

N
A

D

O
B

C

SI 2
 nên I là trọng tâm tam giác SBD . Suy ra M là trung
SO 3
điểm SD; N là trung điểm SB.

I trên đoạn SO và

Do đó MN //BD và MN 

1
BD nên MNBD là hình thang.
2



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×