Tải bản đầy đủ

KHỐI TRỤ

Câu 1: [2H2-2-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Từ một tấm tôn hình
chữ nhật kích thước 50 cm và 240 cm , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ
có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung
quanh của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng
gò được theo cách 2. Tính tỉ số

A.

V1
 1.
V2

B.

V1
.
V2


V1
 2.
V2

C.

V1 1
 .
V2 2

D.

V1
 4.
V2
Lời giải
Chọn B
Theo cách 1: Ta thu được hình trụ có chiều cao h  50 , 2 R  240  R 

120



.

2

 120 
3
Suy ra V1   . 
 .50 cm
  
Theo cách 1: Ta thu được hai hình trụ có chiều cao h  50 , 2 R  120  R 

60



.



2

 60 
Suy ra V2  2 .   .50 cm 3 .
 
Vậy

V1
 2.
V2

Câu 2: [2H2-2-3] Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r  2m , chiều
cao h  6m . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình
khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế
tác. Tính V .


A. V 

V

32 3
m .
9

B. V 

32 2
m  .
9

32 3
m .
3

C. V 

32 3
m  .
3

D.

Lời giải

Chọn D

Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là r , h '  0  x  2;0  h  6 

Ta có:

h 2  x

 h  6  3 x
6
2

2
2
2
3
Thể tích khối trụ: V   x h   x  6  3x   6 x  3 x

V ( x)  12 x  9 x 2 , V ( x)  0  x  0  x 
Khi đó ta có thể suy ra được với x 

4
3

32 2
4
thì V đạt giá trị lớn nhất bằng V 
m
3
9

 

Câu 3: [2H2-2-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Một đội xây dựng cần
hoàn thiện một hệ thống cột trụ tròn gồm 10 chiếc của một ngôi nhà. Trước khi
hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ đều có đáy là tứ


giác có cạnh 20 cm; sau khi hoàn thiện mỗi cột là một khối trụ tròn có đường kính
đáy bằng 60 . Chiều cao mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 4 m. Biết lượng xi
măng cần dùng chiếm 80% lượng vữa và cứ một bao xi măng 50 kg thì tương
đương với 65000 cm3 xi măng. Hỏi số bao xi măng loại 50 kg cần để hoàn thiện
toàn bộ hệ thống cột gần với số nào sau đây đây nhất?
A. 120 bao.
bao.

B. 135 bao.

C. 130 bao.

D. 125

Lời giải

Chọn A
Thể tích mỗi khối lăng trụ là V1  20.20.400 .
Thể tích của mỗi khối trụ tròn là V2  302.400. .
Thể tích lượng vữa cần cho mỗi cột trụ tròn là V  V2  V1  36.104   16.104 .
Số bao xi măng để hoàn thiện hệ thống cột là M 

0,8V
 119.5044 .
65000

Câu 4: [2H2-2-3] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ
đều ABC.ABC , biết góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABC  bằng 45 , diện
tích tam giác ABC bằng a 2 6 . Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp
hình lăng trụ ABC.ABC .
A.

4 a 2 3
.
3

B. 2 a 2 .

C. 4 a 2 .

8 a 2 3
.
3
Lời giải
Chọn C

D.


A'

C'

B'

A

O

C

45°

M
B

Gọi M là trung điểm BC . Khi đó ta có BC  AM , BC  AM
Suy ra:

 ABC  ,  ABC   AMA  45  AA  AM . Gọi O là trọng tâm tam

giác ABC .
Đặt BC  x , x  0 . Ta có AM  AA 

x 3
x 6
.
 AM 
2
2

1
x2 6
Nên SABC  . AM .BC 
 a 2 6  x  2a .
2
4
Khi đó: AO 

2
2 2a 3 2 a 3
và AA  a 3 .
AM  .

3
3 2
3

Suy ra diện tích xung quang khối trụ là: Sxq  2 .OA. AA  2 .

2a 3
.a 3  4 a 2 .
3

(THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều
ABC.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , chiều cao là h . Tính thể tích V của khối
trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.

Câu 5: [2H2-2-3]

A. V 

 a2h
9

.

B. V 

 a2h
3

.

V   a2h .

Lời giải
Chọn B

C. V  3 a 2 h .

D.


A

C
G
M
B

A'

C'
B'

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Do ABC là tam giác đều nên G là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC .
2
2 a 3 a 3
Ta có AG  AM  .
.

3
3 2
3
 a2h
Vậy thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là V   R 2 h 
.
3
Câu 6: [2H2-2-3]
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cần phải thiết kế các thùng
dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạch có dung tích V  cm3  . Hỏi bán kính
R (cm) của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất?

A. R 

R

3

3

3V
.
2

B. R 

3

V



.

C. R 

3

V
.
4

D.

V
.
2
Lời giải

Chọn D
Để tiết kiệm vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của thùng phải ít nhất.
V
Ta có V   R 2 h  h 
.
 R2
V
2V
 2 R 2
Diện tích toàn phần của hình trụ là Stp  2 Rh  2 R 2  2 R. 2  2 R 2 
R
R
V V
   2 R 2  3 3 2 V 2 .
R R
V
V
Vậy  Stp min  3 3 2 V 2 khi  2 R 2  R  3
.
R
2
Câu 7: [2H2-2-3]
(SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA-2018) Một tấm đề can hình chữ nhật
được cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính 50 (cm) .
Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần còn lại là một khối
trụ có đường kính 45 (cm) . Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét ?
A. 373 (m) .

B. 187 (m) .

C. 384 (m) .

D.


192 (m) .

Lời giải
Chọn A
Cách 1: Bề dày của tấm đề can là: a 

50  45
 0, 01(cm) .
2  250

Gọi d là chiều dài đã trải ra và h là chiều rộng của tấm đề can. Khi đó ta có:





2
2
 502  452
 50 
 45 
 37306 (cm)  373 (m) .
dha     h     h  d 
4a
 2 
 2 

Cách 2: Chiều dài của phần trải ra là tổng chu vi của 250 đường tròn có bán kính là một
cấp số cộng có số hạng đầu bằng $25$, công sai là  a  0, 01 .
Do đó chiều dài là l  2 (2.25  249.0, 01)

250
 37314 (cm)  373 (m) .
2

Câu 8: [2H2-2-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Một cốc nước hình trụ
có chiều cao 9cm , đường kính 6cm .Mặt đáy phẳng dày 1cm , thành cốc dày
0,2 cm . Đổ vào cốc 120 ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính
2cm . Mặt nước cách mép cốc gần nhất với giá trị bằng
A. 3,67  cm  .

B. 3,08  cm  .

C. 2, 28  cm  .

D.

2,62  cm  .
Lời giải
Chọn C
Thể tích của cốc nước là: V   . 2,8 .8  62, 72  cm3  .
2

20
4
Thể tích của 5 viên bi là: V1  5. . .13  .  cm3  .
3
3

Thể tích còn lại sau khi đổ vào cốc 120 ml nước và thả vào cốc 5 viên bi là:
20
V2  V  V1  120  62, 72  .  120  56,10  cm3  .
3
Chiều cao phần còn lại là: h 

V2
56,10
 2, 28  cm  .

2
 .(2,8)
 .(2,8) 2

Câu 9: [2H2-2-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Xét hình trụ T  nội tiếp một
mặt cầu bán kính R và S là diện tích thiết diện qua trục của T  . Tính diện tích
xung quanh của hình trụ T  biết S đạt giá trị lớn nhất


2 R 2
A. S xq 
.
3
S xq   R 2 .

B. S xq 

 R2
3

C. S xq  2 R 2 .

.

D.

Lời giải
Chọn C
C
D

I
B
A

Gọi x là bán kính của hình trụ 0  x  R . Diện tich thiết diện là

S  2 x.2 R 2  x 2  4 x R 2  x 2 .


4 x R2  x2  2.  x2  R2  x2 

x  R2  x  x 

nên

S  2R .

Vậy

Smax  2 R

khi

R 2
.
2

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là S xq  2

R 2 R 2
.2
 2 R 2 .
2
2

Câu 10: [2H2-2-3] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Cho hình trụ
có chiều cao bằng 6 2 cm . Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và
cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB , AB mà AB  AB  6 cm , diện
tích tứ giác ABBA bằng 60 cm 2 . Tính bán kính đáy của hình trụ.
A. 5 cm

B. 3 2 cm

C. 4 cm
Lời giải

Chọn C
Gọi O , O là tâm các đáy hình trụ (hình vẽ).

D. 5 2 cm


A

O

6
B

6 2
A1

A

O
B1

B

Vì AB  AB nên  ABBA  đi qua trung điểm của đoạn OO và ABBA là hình
chữ nhật.
Ta có S ABBA  AB. AA  60  6.AA  AA  10  cm  .
Gọi A1 , B1 lần lượt là hình chiếu của A , B trên mặt đáy chứa A và B 
 ABB1 A1 là hình chữ nhật có AB  6  cm  ,



B1 B  BB2  BB12  102  6 2



2

 2 7  cm 

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ, ta có 2 R  AB1  B1B2  AB2  8

 R  4  cm  .
Câu 11: [2H2-2-3]

(THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Cho hình trụ T  có

đáy là các đường tròn tâm O và O , bán kính bằng 1 , chiều cao hình trụ bằng 2 .
Các điểm A , B lần lượt nằm trên hai đường tròn  O  và  O  sao cho góc

 OA, OB   60 . Tính diện tích toàn phần của tứ diện OAOB .
4  19
2
1  2 19
S
2

A. S 

B. S 

4  19
4

Lời giải

C. S 

3  19
2

D.


Chọn A

O
B

O
A

H

B
Gọi B  là hình chiếu của B trên mặt phẳng chứa đường tròn

 OA, OB    OA, OB  60  AOB

O  ,

khi đó

là tam giác đều cạnh 1 .

19
3
.
BH 
2
2
Gọi
là diện tích toàn phần của tứ diện
OAOB thì
S
1
1

S  SAOO  SAOB  SAOB  S BOO  2  SAOO  SAOB   2  OA.OO  OA.BH 
2
2

Gọi H là là hình chiếu của B  trên OA thì HB 

1
1
19  4  19
.
 2  .1.2  .1.
 
2
2
2
2



Câu 12: [2H2-2-3] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho hình trụ T 
có  C  và  C   là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập
phương. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường tròn  C  và hình vuông
ngoại tiếp của  C  có một hình chữ nhật kích thước a  2a (như hình vẽ dưới
đây). Tính thể tích V của khối trụ T  theo a .

A.

100 a 3
.
3

B. 250 a 3 .

C.

.
Lời giải
Chọn B

250 a 3
.
3

D. 100 a 3


B

H

K

A
I

O

C

D

Ta có BK  2a , KI  a nên BI  a 5  cos KBI 



2
1
và sin KBI 
.
5
5



Khi đó cos OBI  cos KBI  KBO  cos KBI .cos 45  sin KBI .sin 45



1
2 2
2 3 2
.
.

.

5 2
5 2 2 5

Kí hiệu AB  2x thì OI  x, OB  x 2 .
Ta có OI 2  BO 2  BI 2  2.BO.BI .cos OBI  2 x 2  5a 2  2.x 2.a 5.

3 2
2 5

 2 x 2  5a 2  6 xa

x  a

 x 2  2 x 2  5a 2  6 xa  x 2  6 xa  5a 2  0  
.
 x  5a

Vì x  a nên x  5a hay r  OI  5a .
Vậy thể tích khối trụ T  là V    5a  .10a  250 a3 .
2

Câu 13: [2H2-2-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Một miếng
tôn hình chữ nhật có chiều dài 10, 2 dm , chiều rộng 2 dm được uốn lại thành mặt
xung quanh của một chiếc thùng đựng nước có chiều cao 2 dm (như hình vẽ).
Biết rằng chỗ ghép mất 2cm . Hỏi thùng đựng được bao nhiêu lít nước?

2 dm

A. 50 lít.

2 dm

B. 100 lít.

C. 20, 4 lít.

D. 20 lít.


Lời giải
Chọn A
Vì chỗ ghép mất 2cm nên chu vi đáy chiếc thùng là 10, 2  0, 2  10  dm  .
Gọi r  dm  là bán kính đáy, ta có 2 r  10  r 

5



 dm  .

2

5
Thể tích chiếc thùng: V   r h   .   .2  50  dm3  .
 
2

Vậy thùng đựng được 50 lít nước.

Câu 14: [2H2-2-3] (ĐỀ ĐOÀN TRÍ DŨNG - HÀ HỮU HẢI - LẦN 7 - 2018) Một chiếc
cốc hình nón có chiều cao h  4 và bán kính đáy
R  2 đang chứa một lượng nước có thể tích V .
Người ta bỏ vào bên trong cốc một viên bi hình
cầu có bán kính r  1 thì lượng nước dâng lên
vừa phủ kín viên bi. Tính thể tích V của lượng
nước có trong cốc.

16  5 5
2 5
B. V 


12
3
44 5
8  5 5
C. V 
D. V 


3
6
Câu 15: [2H2-2-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cắt một khối
trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh

A. V 

AB và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết BD  a 2 , DAC  60 .
Tính thể tích khối trụ.

3 6 3
a .
16
3 2 3
a .
48

A.

B.

3 2 3
a .
16

Lời giải
Chọn B

C.

3 2 3
a .
32

D.


C

D

B

600
A

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên tam giác ADC vuông tại D và BD  AC  a 2
.
Xét tam giác vuông ADC có
DC
a 6
sin DAC 
 DC  AC sin DAC  DC  a 2.sin 60  DC 
 bán
AC
2
a 6
kính mặt đáy của hình trụ là r 
.
4
AD
a 2
cos DAC 
 AD  AC cos DAC  AD  a 2 cos60  AD 

AC
2
a 2
chiều cao của hình trụ là h 
.
2
2

 a 6  a 2 3a3 2
Thể tích khối trụ là V   r h   
.


4
2
16


2

Câu 16: [2H2-2-3] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [2H2-3] Bạn A
muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam
giác đều ABC có cạnh bằng 90  cm  . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật
MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P , Q tương ứng

thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ . Thể tích lớn
nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là
A

Q

B

M

P

N

C


A.

91125
 cm3  .
4

108000 3



B.

91125
 cm3  .
2

C.

13500. 3



 cm  .
3

D.

 cm  .
3

Lời giải
Chọn C
A

Q

B

P

M

I

N

C

Gọi I là trung điểm BC . Suy ra I là trung điểm MN . Đặt MN  x ,  0  x  90  .
Ta có:

3
MQ BM
x

 MQ 
 90  x  ; gọi R là bán kính của trụ  R  .
AI
BI
2
2
2

3
 x  3
Thể tích của khối trụ là: VT   
 90  x     x3  90 x 2 

8
 2  2
Xét f  x  

f  x 

x
8
3

 3x
8
3

2

3

 90 x 2  với 0  x  90 .

 x0
.
 180 x  , f   x   0  
 x  60

Khi đó suy ra max f  x   f  60  
x(0;90)

13500. 3



.

Câu 17: [2H2-2-3] (THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tam
giác SOA vuông tại O có MN // SO với M , N lần lượt nằm trên cạnh SA , OA
như hình vẽ bên dưới. Đặt SO  h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo
thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính
R  OA . Tìm độ dài của MN theo h để thể tích khối trụ là lớn nhất.


S

M

O
A. MN 
MN 

h
.
2

B. MN 

N
h
.
3

A
C. MN 

h
.
4

D.

h
.
6

Lời giải
Chọn B
Đặt MN  x,  x  0  và OA  a,  a  0  , a là hằng số.
MN NA
MN .OA
xa
xa
 NA 
 ON  a 
 NA 

.
SO OA
SO
h
h
Khối trụ thu được có bán kính đáy bằng ON và chiều cao bằng MN .

Ta có

2
hx
2 1
Thể tích khối trụ là V   .ON 2 .MN   .x.a 2 
   a 2h 2 2 x  h  x 
 h 

2



 a 2  2h 

3

  .
2h 2  3 

Dấu bằng xảy ra khi 2x  h  x  x 

h
.
3

Câu 18: [2H2-2-3] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một
nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích V cho trước Mối
quan hệ giữa bán kính đáy R và chiều cao h của hình trụ để diện tích toàn phần
của hình trụ nhỏ nhất là?
A. h  3R .

C. h  2R .

B. R  h .
Lời giải

Chọn C
V   R2h  h 

V
 R2

D. R  2h .


STP  2 R2  2 Rh  2 R 2  2 R.

V V
V V
V
 2 R 2    3. 3 2 R 2 . .
2
R
R R
R R

 3. 3 2 V 2
STP đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 R 2 

V
 R2h
 2 R 2 
 2R  h
R
R

Câu 19: [2H2-2-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Cho hình trụ có hai
đáy là hai hình tròn  O  và  O  , chiều cao 2R và bán kính đáy R . Một mặt
phẳng   đi qua trung điểm của OO và tạo với OO một góc 30 . Hỏi   cắt
đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A.

2R 2
.
3

B.

4R
.
3 3

C.

2R
.
3

D.

2R
.
3

Lời giải
Chọn A
C
O'
D

M

B K
H

O
A

Gọi M là trung điểm của OO . Gọi A , B là giao điểm của mặt phẳng   và đường tròn

O 

và H là hình chiếu của O trên AB  AB   MHO  .

Trong mặt phẳng  MHO  kẻ OK  MH ,  K  MH  khi đó góc giữa OO và mặt phẳng

  là góc

OMK  30 .

R 3
.
3
R2 R 2
Xét tam giác vuông AHO ta có AH  OA2  OH 2  R2 
.

3
3
2R 2
Do H là trung điểm của AB nên AB 
.
3

Xét tam giác vuông MHO ta có HO  OM tan 30  R tan30 

Câu 20: [2H2-2-3] (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn
tâm O và O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 4cm . Trên đường tròn đáy


tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm B , sao cho
AB  4 3cm . Thể tích khối tứ diện ABOO là

A.

64 3
cm .
3

B. 32cm3 .

C. 64cm3 .

D.

32 3
cm .
3

Lời giải
Chọn D

Tam giác OAO vuông cân tại O  OA  4 2 .
Tam giác OAB có AB 2  OB 2  OA2

 OAB vuông tại O  OB  AO
Lại có OO  OB  OB   OAO  .
Tam giác OAO vuông cân tại O  SOAO  8  cm2 
1
1
32
 VB.OAO  .OB.S OAO '  .4.8   cm3 
3
3
3

Câu 21: [2H2-2-3] Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp
đậy với dung tích 1000 cm3 . Tính bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết
kiệm được nguyên liệu nhất.
A.

10
.
3
2

B.

10 5



C.

.

10 3 5
3



.

D.

5
3



.

Lời giải
Chọn A
Thể tích khối trụ có bán kính R chiều cao h là: V   R 2 .h

S  2 Rh  2 R 2 

2000
1000 1000
1000 1000
 2 R 2 

 2 R 2  3 3
.
.2 R 2  300 3 2
R
R
R
R
R

.
Đẳng thức xảy ra 

1000
1000
10
 2 R 2  R 3 
R 3
R
2
2


Câu 22: [2H2-2-3] (THPT Nguyễn Hữu Quang) Cho tứ diện ABCD cạnh a . Diện tích
xung quanh hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và có chiều
cao bằng chiếu cao tứ diện ABCD là:
A.

2 a 2 2
.
3

B.

 a2 2
3

.

C.

2 a 2 3
.
2

D.

 a2 3
2

Lời giải
Chọn A
A
a

B

D
a

O
M
C

Ta có R  OB 

a 3 2 a 3
.
. 
2 3
3

l  OA  AB 2  OB 2  a 2 

a2 a 6

3
3

Diện tích xung quanh hình trụ là S xq  2 Rl  2

a 3 a 6 2 a 2 2
.

3
3
3

Câu 23: [2H2-2-3] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình chữ nhật ABCD có
AB  2a , BC  3a . Gọi M , N là các điểm trên các cạnh AD , BC sao cho
MA  2MD , NB  2NC . Khi quay quanh AB , các đường gấp khúc AMNB ,
ADCB sinh ra các hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là S1 , S 2 . Tính tỉ số

A.

S1 12
 .
S2 21

B.

S1 2
 .
S2 3

C.

S1 4
 .
S2 9

D.

S1
S2

S1 8

S2 15

.
Lời giải
Chọn A
Hình trụ có diện tích toàn phần S1 , đường sinh MN  2a và bán kính đường tròn
đáy là AM  2a
Diện tích toàn phần S1  2 . AM .MN  2 AM 2  16 a 2


Hình trụ có diện tích toàn phần S 2 , đường sinh DC  2a và bán kính đường tròn
đáy là AD  3a
Diện tích toàn phần S2  2 . AD.DC  2 AD2  30 a2 . Vậy

S1 16 8

 .
S2 30 15

Câu 24: [2H2-2-3] (THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG) Một hình trụ có hai đường tròn
đáy nằm trên một mặt cầu bán kính R và có đường cao bằng bán kính mặt cầu.
Diện tích toàn phần hình trụ đó bằng:

3  2 3  R
A.
3

3  2 2  R
3

2

.

3  2 3  R
B.
2

3  2 2  R
C.

2

.

2

2

.

D.

2

.
Lời giải

Chọn B

Đường cao hình trụ h  R nên ta có bán kính của đáy hình trụ

r  R2 

R2 R 3

.
4
2

S xq  2 rh  2

R 3
R   R2 3 .
2

Vậy Stp  S xq  2Sđáy   R





3  2 3  R2
R 3
.
3  2 
 
2
 2 
2

2

Câu 25: [2H2-2-3] (THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG) Cho hình trụ có đường cao bằng
8a . Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ 3a , cắt hình trụ theo
thiết diện là hình vuông. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng
A. 80 a 2 , 200 a 3 .
B. 60 a 2 , 200 a 3 .
C. 80 a 2 ,180 a 3 .
D.
60 a 2 ,180 a 3 .


Lời giải
Chọn A

Thiết diện ABCD là hình vuông có cạnh là 8a  h  8a  .
Khoảng cách từ trục đến mặt phẳng  ABCD  là d  3a
2

h
Suy ra bán kính đường tròn đáy r  d 2     5
2

Vậy S xq  2 rh  80 a 2 , Vtr   r 2h  200 a3 .

Câu 26: [2H2-2-3] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua
trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của
khối trụ. Biết AD  6 và góc CAD bằng 60. Thể tích của khối trụ là
A. 126 . .

B. 162 .

C. 24 . .

D. 112 .

Lời giải
Chọn B
Ta có xét tam giác ACD có:

tan DAC 

DC
 DC  AD.tan DAC  6. tan 600  6 3
AD

Vì DC là đường kính của khối trụ nên suy ra bán kính khối trụ là
1
R  DC  3 3
2

 

 diện tích đáy khối trụ là S   R 2   3 3

2

 27

Suy ra thể tích khối trụ là V  h.S  6.27  162 .

C

D

600

A

B


Câu 27: [2H2-2-3] (THPT LÝ THÁI TỔ) Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng
sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000 cm3 . Bán kính của nắp đậy để nhà
sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng
A.

3

500



cm .

B. 10. 3

5



cm .

C.

500



cm .

5

D. 10.



cm .
Lời giải
Chọn A
Gọi h  cm  là chiều cao hình trụ và R  cm  là bán kính nắp đậy.
R

1000
Ta có: V   R 2 h  1000 . Suy ra h 
.
 R2

h

Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần Stp của

O'

hình trụ nhỏ nhất.
Ta có: Stp  2 R 2  2 Rh  2 R 2  2 R.

 2 R 2 

1000
 R2

1000 1000
1000 1000

 3. 3 2 R 2 .
.
 3 3 2 .10002
R
R
R
R

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 R 2 

1000
500
R3
.
R


Câu 28: [2H2-2-3] (THPT TIÊN LÃNG) Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ
tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4, 2 m. Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có
đường kính bằng 40 cm , 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng
26 cm . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại
sơn giả đá là 380 000 đ/m 2 (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao
nhiêu tiền để sơn cột 10 cây cột nhà đó (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?
A. 16 468 000 đ .

B. 31 688 000 đ .

C. 15 835 000 đ .

D.

15 844 000 đ .

Lời giải
Chọn D
Diện

tích

xung

quanh

S1  2 .0,2.4,2  1,68  m2  .

của

mỗi

một

O

cây

cột

trước

đại

sảnh




Diện

tích

xung

quanh

của

S2  2 .0,13.4, 2  1,092  m2 

mỗi

cây

cột

đường

kính

26cm

là:

Vậy số tiền cần có là T   4.S1  6.S2  .380.000  15.844.182 đ .

Câu 29: [2H2-2-3] (THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH) Người ta muốn dùng vật liệu bằng
kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích V cho
trước (hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó). Hãy xác định chiều cao h và bán kính
R của hình trụ theo V để tốn ít vật liệu nhất.
A. R  2h  2 3

h  2R  2 3

V
.
2

B. R  2h  2

V
.
2

C. h  2 R  2

V
.
2

D.

V
.
2
Lời giải

Chọn D
Để vật liệu tốn ít nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất.
Ta có: Stp  2 R 2  2 Rh .
Do V   R 2 h nên h 

Stp  2 R 2  2 R.

V
. Suy ra
 R2

V
V V
V V
 2 R 2    3. 3 2 R 2 . .  3. 3 2 V 2 .
2
R
R R
R R

Đẳng thức xảy ra khi 2 R 2 

V
V
V
R 3
. Khi đó h  2 3
.
R
2
2

Câu 30: [2H2-2-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG1) Thiết diện qua trục của hình trụ là một
hình chữ nhật có chu vi là 12  cm  . Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ đó là:
B. 8  cm3  .

A. 32  cm3  .

C. 16  cm3  .

64  cm3  .

Lời giải.
Chọn B
Gọi r là bán kính hình trụ, chiều cao h
Ta có: 2r  h  6  h  6  2r ,  0  r  3
 r  r  6  2r 
Khi đó: V   r h   r  6  2r   
  8
3

3

2

2

D.


Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là 8  cm3  .

Câu 31: [2H2-2-3] (CỤM 7 TP. HỒ CHÍ MINH) Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa
hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ bằng hai lần
128
đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là
m3  . Tính

3
2
diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị m .
A. 50  m 2  .

B. 64  m 2  .

C. 40  m2  .

D.

48  m2  .

Lời giải
Chọn D .
Gọi 4 x  m  là đường sinh hình trụ.

 đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là x  m  .
Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy R  x
đường sinh l  h  4x và thể tích khối cầu có bán kính R  x .

4  128

Do đó:   x 2 .4 x  x3  
 x  2  m .
3 
3

Vậy diện tích xung quanh bồn nước là: S    4 x 2  2.x.4 x   48

m  .
2

Câu 32: [2H2-2-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Cho hình lập phương
ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy bằng a với O và O ' là tâm của hình vuông ABCD
và A ' B ' C ' D ' . Gọi T  là hình trụ tròn xoay tại thành khi quay hình chữ nhật
AA 'C'C quanh trục OO ' .Thể tích của khối trụ T  bằng
A.

1 3
a .
3

B.

1 3
a .
2

C.
Lời giải

Chọn B

1 3
a .
6

D. 2 a 3 .


D'

C'
O'
B'

A'

D

C
O

A

Bán kính hình trụ r 

B

AC a 2
.

2
2

Chiều cao hình trụ h  OO  a
2

 a 2   a3
Thể tích khối trụ là V  h. r  a. . 
.
 
2
 2 
2

Câu 33: [2H2-2-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho hình
trụ có tỉ số diện tích xung quanh và diện tích toàn phần bằng

1
. Biết thể tích khối
3

trụ bằng 4 . Bán kính đáy của hình trụ là
A. 3 .

B.

3.

C.

2.

D. 2 .

Lời giải
Chọn D
Gọi bán kính của hình trụ là R .
V  4  h. R 2  4  h 

4
R2

1 .

1
1
R
S XQ  STP  2 Rh  2 R  R  h   3h  R  h  h 
3
3
2

Từ 1 và  2  suy ra:

 2 .

4
R
 R2
2
R
2

Câu 34: [2H2-2-3](THPT LƯƠNG TÀI - BẮC NINH - LẦN 2 - 2017 - 2018 - BTN) Khi
cắt khối trụ T  bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục của trụ T 
một khoảng bằng a 3 ta được thiết diện là hình vuông có diện tích bằng 4a 2 .
Tính thể tích V của khối trụ T  .


A. V  7 7 a 3 .

B. V 

7 7 3
a .
3

8
C. V   a 3 .
3

D.

V  8 a 3 .

Lời giải
Chọn D

Thiết diện là hình vuông ABCD . S ABCD  4a2  AD  CD  2a
Gọi

H

là trung điểm

CD

 OH  CD  OH   ABCD   OH  a 3

 OD  DH 2  OH 2  a 2  3a 2  2a .
h  AD  2a, r  OD  2a  V   r 2 h  8 a 3 .

Câu 35: [2H2-2-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Một chiếc cốc hình trụ có đường kính
đáy 6 cm , chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra
ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Khi đó diện tích của
bề mặt nước trong cốc bằng

9 26
 cm2 .
10
9 26
 cm2 .
5

A.

B. 9 26 cm2 .

Lời giải

C.

9 26
 cm2 .
2

D.


Chọn C

Ta có: OH  3 , OB  OH 2  HB 2  3 26 , cos HOB 

1
.
26

Áp dụng công thức hình chiếu về diện tích của hình phẳng ta có: S   S .cos HOB

1
 .32 9 26
2
S


cm2 .
1
2
cos HOB
26
S

Cách khác là dùng diện tích hình elip.
S

1
1
1
1
9 26
S E    ab   .3. 152  32   .3.3 26 
cm2 .
2
2
2
2
2

Câu 36: [2H2-2-3] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Một cái nồi nấu nước người
ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là 60 cm, diện tích đáy 900 cm2. Hỏi
người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm thân
nồi đó? (bỏ qua kích thước các mép gấp) .
A. Chiều dài 60 cm, chiều rộng 60 cm.
60 cm.

B. Chiều dài 900 cm, chiều rộng

C. Chiều dài 180 cm, chiều rộng 60 cm.
60 cm.

D. Chiều dài 30 cm, chiều rộng

Lời giải

Chọn A
R
Gọi

bán
kính
mặt
Sđáy   R 2  900   R 2  R 2  900  R  30 .

đáy.

Ta

có:

Suy ra chu vi đáy là: 2 R  60 .
Vậy cần miếng kim loại hình chữ nhật có chiều dài 60 cm, chiều rộng 60 cm
để làm thân nồi đó.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×