Tải bản đầy đủ

TICH VO HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ





Câu 1: [0H2-2-3] Cho hình vuông ABCD có I là trung điểm của AD. Tính cos AC, BI .
A.

1
.
3

1
.
10

B.

C.

1
.

5

D. 

2
.
10

Lời giải
Chọn D
Gọi AB  a
Ta có AC  AB 2  BC 2  a 2





Khi đó, AC.BI  AC. BA  BD  AC.BA  AC.BD   AC. AB

  AC. AB.cos BAC  a.a 2.cos 45  a 2

BI  AB2  AI 2  a 2 

a2 a 5

4
2





AC.BI  AC.BI .cos AC, BI  a 2  a 2.





 cos AC , BI  




a 5
.cos AC, BI
2



2
.
10

Câu 2: [0H2-2-3] Cho tam giác vuông ABH vuông H tại có BH  2; AB  3 . Hình chiếu
của H lên AB là K . Tính tích vô hướng BK . BH .
A. 4 .

B.

4
.
3

C.

3
.
4

Lời giải
Chọn D
Ta có: AH  AB 2  HB 2  9  4  5

HK . AB  HB.HA  HK 





HB.HA 2 5

AB
3
2

BK .BH  BH  HK .BH  BH  HK .BH

 22  HK .HB.cos BHK  4  HK .HB.
 BK .BH  4 

20 16

.
9
9

HK
 4  HK 2
HB

D.

16
.
9


Câu 3: [0H2-2-3] Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên các cạnh AB , BC , CD, DA lần lượt
lấy các điểm M , N , P , Q sao cho AM  BN  CP  DQ  x (0  x  a ) . Tích tích
vô hướng PN. PQ .
B. AC 2 .

A. AB 2 .

C. 0 .

D. AD 2 .

Lời giải
Chọn C







Ta có: PN .PQ  PD  DQ PC  CN  PD.PC  PD.CN  DQ.PC  DQ.CN
 DP.PC  DQ.CN   DP.PC  NB.CN  

2
2
ax x
ax x
. .DC 
. .CB  0 .
a a
a a

Câu 4: [0H2-2-3] Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên các cạnh AB , BC , CD, DA lần lượt
lấy các điểm M , N , P , Q sao cho AM  BN  CP  DQ  x (0  x  a ) . Tính diện
tích tứ giác MNPQ ta được:
A. 2 x 2  2ax  a 2 .
x 2  2ax  a 2 .

B. 2 x 2  2ax  a 2 .

C. 2x 2  ax  a 2 .

D.

Lời giải
Chọn B







Ta có: PN .PQ  PD  DQ PC  CN  PD.PC  PD.CN  DQ.PC  DQ.CN
 DP.PC  DQ.CN   DP.PC  NB.CN  

2
2
ax x
ax x
. .DC 
. .CB  0
a a
a a

Suy ra PN  PQ
Dễ dàng chứng minh được QM  MN  NP  PQ
Suy ra MNPQ là hình vuông
Có MQ  AM 2  AQ 2  x 2   a  x   2 x 2  2ax  a 2
2

Vậy SMNPQ  MQ 2  2 x 2  2ax  a 2 .
Câu 5: [0H2-2-3] Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên các cạnh AB , BC , CD, DA lần lượt
lấy các điểm M , N , P , Q sao cho AM  BN  CP  DQ  x (0  x  a ) . Tích tích
vô hướng PN . PM ta được :
A. x 2  ( x  a)2 .

x  (2a  x) .
2

2

B. x 2  (a  2 x) 2 .

C. x 2  (a  x)2 .

D.


Lời giải
Chọn C





Ta có: PM .PN  PQ  QM PN  PQ.PN  QM .PN
 QM .PN  QM  QM 2  x 2   a  x  .
2

2

Câu 6: [0H2-2-3] Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên các cạnh AB , BC , CD, DA lần lượt
lấy các điểm M , N , P , Q sao cho AM  BN  CP  DQ  x (0  x  a ) . Nếu
a2
PM . DC 
thì giá trị của x bằng:
2

A.

a
.
4

B.

a
.
2

C.

3a
.
4

D. a .

Lời giải
Chọn C
Ta có: PM .DC 





a2
a2
a2
 PQ.DC  PN .DC 
 PQ  PN .DC 
2
2
2

2
2
2
ax
2x  a
x
a2
a2
a2

 PD.DC  PC.DC 

DC  DC 
DC 
a
a
a
2
2
2

 2ax  a 2 

a2
3
 x  a.
2
4

Câu 7: [0H2-2-3] Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Gọi các điểm , E , F lần lượt là trung
điểm của HA, HB, HC ;

M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB ;

A ', B ', C ' lần lượt là chân đường cao xuất phát từ A, B, C ; Đường tròn đường

kính NE đi qua:
A. M và A .
M , N, P .

C. P và C .

B. N và B .
Lời giải

Chọn D

D.


A

D
B'N

P
H

C'

I O
F

E
B

A'

C

M

Đây chính là bài toán đường tròn Ơle, 9 điểm đã cho nằm trên đường tròn đường
kính NE
Gọi I là trung điểm OH .
Tứ giác HDOM là hình bình hành nên I là trung điểm . DM . Tam giác DAM
vuông tại A nên D, A, M nằm trên đường tròn tâm I đường kính DM .
Tứ giác AOMD cũng là hình bình hành nên DM  AO

 R
Do đó D, A, M thuộc đường tròn  I ,  .
 2

 R
Chứng minh tương tự ta có 9 điểm trên cùng nằm trên đường tròn  I , 
 2
Câu 8: [0H2-2-3] Cho tam giác ABC có AB  c, CA  b, BC  a, BAC   . Vẽ đường phân
giác AD của góc A ( D  BC ) . Tính AD .
bc cos 
bc
2(1  cos  ) . B.
.
bc
bc
(b  c) cos 
.
bc

A.

C.

bc
1  cos  .
bc

Lời giải
Chọn A

c
bAB  c AC
Theo tính chất đường phân giác BD  DC  AD 
b
bc
Do đó

D.


2

 b AB  c AC 
1
AD  AD  
b 2 c 2  c 2b 2  2bc AB. AC
 
2
bc

 b  c 




2

2

1

b  c 

b c

2 2

2

Vậy AD 

 c b  2b c cos   
2 2

2 2



2b 2 c 2 1  cos  

b  c 

2

bc
2(1  cos  )
bc

Câu 9: [0H2-2-3] Cho ABC là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây sai ?
B. AB. AC  AC.AB .

A. AB. AC  .









D. AB. AC  BA.BC .

C. AB. AC BC  AB AC.BC .
Lời giải
Chọn C
Ta có tam giác ABC đều.
Suy ra: AB  AC  BC và A  B  C  60 .
Suy ra:

+ AB. AC  AB. AC.cos 60 

AB. AC

2

, AB. AC  0, AB  AC  a.

+ AB. AC  AC.AB (Tích vô hướng của hai vectơ có tính chất giao
hoán).





 AB. AC BC  k .BC

+
mà BC và AB không cùng phương.
AB
AC
.
BC

AB
.
l

l
.
AB















Suy ra: k.BC  l. AB hay: AB. AC BC  AB AC.BC .
+ AB. AC  AB. AC.cos 60  BA.BC.cos 60  BA.BC .
Suy ra: Các mệnh đề A, B, D là các mệnh đề đúng, mệnh đề C là mệnh đề sai.
Câu 10: [0H2-2-3] Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a , đáy nhỏ CD  2a ,
đường cao AD  3a ; I là trung điểm của AD . Tính DA.BC bằng:
A. 9a 2 .
tính được.

B. 15a 2 .

C. 0 .
Lời giải

Chọn A

D. Không


Gọi E là trung điểm của cạnh AB .
Suy ra: ADCE là hình chữ nhật.
Xét

AEC là tam giác vuông tại E , ta có:

tan C 

AE 2a 2
2

  tan 180  C    tan C   và C là góc nhọn.
CE 3a 3
3





 cos 180o  C  

1

1  tan 180  C 

1

2

 2
1   
 3

2



3
.
13

 3 
2
Suy ra: DA.BC  CE.BC  CE.BC.Cos 180  C   3a.a 13.  
  9a .
 13 
+ AB. AD  CB.CD  0 ( Do AB  AD, CB  CD ).
Suy ra đáp án A là đáp án đúng.
Cách 2 : DA.BC  DA.ED   DA.DE   AE.DE.cos ADE  3a.DE.

AD
 9a 2 .
DE

Câu 11: [0H2-2-3] Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a , đáy nhỏ CD  2a ,





đường cao AD  3a ; I là trung điểm của AD . Tích IA  IB .AC bằng:
A.

3a 2
.
2

B. 

3a 2
.
2

C. 0 .

D. 9a 2 .

Lời giải
Chọn C
Sử dụng một số tính chất của hình học phẳng ta chứng minh được IE  AC .
Ta có: IA  IB  2 IE (Do E là trung điểm của AB ).





Suy ra: IA  IB . AC  2IE. AC  0 .
Suy ra: Đáp án C là đáp án đúng.


Câu 12:

[0H2-2-3] Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà
CM .CB  CA.CB là:

A. Đường tròn đường kính AB .
B. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC .
C. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC .
D. Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB .
Lời giải
Chọn B





Ta có : CM .CB  CA.CB  CB CM  CA  0  CB. AM  0  CB  AM .
Suy ra : Tập hợp những điểm M thỏa CM .CB  CA.CB là đường thẳng đi qua A
và vuông góc với BC .
Câu 13: [0H2-2-3] Cho hai điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn
2

CM .CB  CM là:
A. Đường tròn đường kính BC .

B. Đường tròn  B; BC  .

C. Đường tròn  C; CB  .

D. Một đường khác.
Lời giải

Chọn A
2





Ta có: CM .CB  CM  CM . CB  CM  0  CM .MB  0  CM  MB
Do đó quĩ tích các điểm M thỏa mãn CM .CB  CM
BC .

2

là đường tròn đường kính

Câu 14: [0H2-2-3] Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a , đáy nhỏ CD  2a ,
đường cao AD  3a ; I là trung điểm của AB . Tích DA.BC bằng:
A. 9a 2 .

B. 15a 2 .

C. 0 .

D. 9a 2 .

Lời giải
Chọn A

CI
 CI 2  9a 2 .
BC
Câu 15: [0H2-2-3] Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a , đáy nhỏ CD  2a ,
đường cao AD  3a ; I là trung điểm của AB . Câu nào sau đây sai?

Ta có DA.BC  CI .BC  CI .CB  CI .CB.cos BCI  CI .CB.


A. AB.DC  8a 2 .

B. AD.CD  0 .

C. AD. AB  0 .

D.

DA.DB  0 .

Lời giải
Chọn D

Phương án A: AB.DC  AB.DC.cos 0  AB.DC  8a 2 .
Phương án B: AD.CD  DA.DC  DA.DC.cos90  0 .
Phương án C: AD. AB  AD. AB.cos90  0 .
AD
 AD 2  9a 2 .
DB
Câu 16: [0H2-2-3] Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a , đáy nhỏ CD  2a ,

Phương án D: DA.DB  DA.DB.cos ADB  DA.DB.





đường cao AD  3a ; I là trung điểm của AB . Tích IA  IB ID bằng:
A.

3a 2
.
2

B. 

3a 2
.
2

C. 0 .

D. 9a 2 .

Lời giải
Chọn C





Ta có IA  IB ID  0.ID  0 (vì IA , IB là hai vectơ đối nhau).
Câu 17: [0H2-2-3] Cho tam giác đều ABC cạnh a , với các đường cao AH , BK vẽ HI  AC
. Câu nào sau đây sai?
A. BA.BC  2BA.BH .

B. CB.CA  4CB.CI .

C. AC  AB BC  2BA.BC .

.  4KC.CH .
D. CACB





Lời giải
Chọn D


a2
1
, 2 BA.BH  2.BA. BC  BA.BC .
2
2
Phương án B: CB.CA  CB.4.CI  4CB.CI .
Phương án C:

Phương án A: BA.BC  BA.BC.cos 60 

 AC  AB BC  AC.BC  AB.BC  CA.CB  BA.BC
 CACB
. .cos60  BA.BC.cos60  2 BA.BC

Phương án D: CA.CB  2CK .2CH  4CK .CH  4 KC.CH .
Câu 18: [0H2-2-3] Cho tam giác đều ABC cạnh a , với các đường cao AH , BK vẽ HI  AC
. Câu nào sau đây đúng?
A. AB. AC 
CB.CK 

a2
.
2

B. CB.CK 

a2
.
8

C.

 AB  AC  BC  a ..

a2
.
2

Lời giải
Chọn A

a2
Phương án A: AB. AC  AB. AC.cos 60 
.
2

1
1
a2
Phương án B: CB.CK  CB. .CA  CB.CA.cos 60 
.
2
2
4
Phương án C:





a2 a2
AB  AC BC  AB.BC  AC.BC   BA.BC  CA.CB   
 0.
2
2

2


1
1 a2 a2
Phương án D: CB.CK  CB. .CA  . 
.
2
2 2
4
Câu 19: [0H2-2-3] Cho hình vuông ABCD cạnh a . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. AB. AD  0 .

B. AB. AC  a 2 .

C. AB.CD  a 2 .

D. AB  CD  BC AD  a 2 .





Lời giải
Chọn C

Phương án A: AB. AD  AB. AD.cos90  0 .
Phương án B: AB. AC  AB. AC.cos 45  a.a 2.
Phương án C: AB.CD  AB.CD.cos180  a 2 .







1
 a2 .
2



2

Phương án D: AB  CD  BC AD  AB  BD AD  AD  a 2 .
Câu 20: [0H2-2-3] Cho tam giác ABC có BC  a; CA  b; AB  c . Gọi M là trung điểm cạnh
BC . Hãy tính giá trị AM .BC
A.

a 2
.
2

B.

c2  b2
.
2

C.

c2  b2  a 2
.
3

D.

c2  b2  a 2
.
2

Lời giải
Chọn A
Ta có
1
1
AM .BC  ( AB  AC ).BC  ( AB.BC  AC.BC ) .
2
2
1
 [c.a.cos(1800  B)  b.a.cos(1800  C )]  (c.a.c osB  b.a .cos C )
2
1 2
a 2  c2  b2
a 2  b2  c2
2
 (c.a.
 ab.
)   .2a   a .
2
2ac
2ab





Câu 21: [0H2-2-3] Tam giác ABC có BC  a; CA  b; AB  c . Tính AB  AC .BC


A.  a 2 .

B.

c2  b2
.
2

C.

c2  b2  a 2
.
3

D.

c2  b2  a 2
.
2

Lời giải
Chọn A
0
0
( AB  AC ).BC  ( AB.BC  AC.BC ) .  [c.a.cos(180  B)  b.a.cos(180  C )]

1
  (c.a.c osB  b.a .cos C )
2

1 2
1 2
1
a 2  c2  b2
a 2  b2  c2
  (c.a.
 ab.
)   .2a   .a .
4
2
2
2ac
2ab





Câu 22: [0H2-2-3] Cho hình vuông ABCD cạnh a . Khi đó AB  AC . BC  BD  BA



bằng
A. 2 2a .

B. 3a 2 .

C. 0 .

D. 2a 2

Lời giải
Chọn D

 AB  AC . BC  BD  BA  AB.BC  AB.BD  AB.BA  AC.BC  AC.BD  AC.BA
2
 0  a.a 2.cos1350  a 2  a.a 2.cos450  0  a.a 2.cos1350  2.a .

Câu 23: [0H2-2-3] Cho hai véctơ a và b khác 0 . Xác định góc giữa hai véctơ a và b nếu
2
hai véctơ a  3b và a  b vuông góc với nhau và a  b  1
5
A. 90 .

B. 180 .

C. 60 .

D. 45 .

Lời giải
Chọn B
13
13
2
2 2
a.b 
( a  3b).(a  b)  0   a.b  3a.b  3  0 
5
5
5
5 5
 a.b  1  1.1.cos(a; b)  cos(a; b)  1  (a; b)  1800 .

Câu 24: [0H2-2-3] Tam giác ABC có sin C 

7 AC  3
,
, BC  6 và góc C nhọn. Tính
4

cạnh AB
A.

27 .

B. 3 2 .

C. 27 .
Lời giải

Chọn B

D. 8 .


2

 7
3
Ta có: cos C  1  sin C  1  
 4   4


2

AB  AC 2  BC 2  2 AC.BC.cos C  32  62  2.3.6.

3
3 2.
4

Câu 25: [0H2-2-3] Cho hai điểm A  3 ; 1 và B  5 ; 5 . Tìm điểm M trên trục y Oy sao cho

MB  MA lớn nhất.
A. M  0 ; 5 .

B. M  0 ; 5 .

C. M  0 ; 3 .

D.

M  0 ; 6  .
Lời giải

Chọn A
Lấy M  0 ; y   yOy , với y bất kì.
Ta có: MB  MA  AB ;
xA .xB   3 5  15  0 . Vậy A, B nằm cùng bên đối với y Oy . Do đó

MB  MA lớn nhất khi MB  MA  AB , khi đó M , A, B thẳng hàng và M nằm
ngoài đoạn AB .
MB   5 ; 5  y  ; MA   3 ; 1  y  .
Vậy 5 1  y   3  5  y   0  y  5 . Do đó M  0 ; 5 .
Câu 26: [0H2-2-3] Cho tam giác ABC , biết A  xA ; y A  , B  xB ; yB  , C  xC ; yC  . Để chứng
minh công thức tính diện tích S ABC 

1
 xB  xA  yC  y A    xC  xA  yB  y A 
2

một học sinh làm như sau :
Bước 1: AB   xB  xA ; yB  y A    x1 ; y1   AB  x12  y12

AC   xC  xA ; yC  y A    x2 ; y2   AB  x22  y22






cos BAC  cos AB, AC 

x1 x2  y1 y2
x12  y12 . x22  y22

Bước 2: Do sin BAC  0 , nên :


x1 x2  y1 y2
sin BAC  1  cos 2 BAC  1  
 x2  y 2 . x2  y 2
1
2
2
 1
Bước 3: Do đó S ABC 
 S ABC 

2


 



x1 y2  x2 y1
x12  y12 . x22  y22

1
1
AB. AC.sin BAC  x1 y2  x2 y1
2
2

1
 xB  xA  yC  y A    xC  xA  yB  y A 
2

Bài làm trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Bài giải đúng.
bước 3.

B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2.

D. Sai từ

Lời giải
Chọn A
Bài giải đúng.
Câu 27: [0H2-2-3] Cho tam giác ABC có A  2;  3 , B  4; 1 . Đỉnh C luôn có tung độ
không đổi bằng 2 . Hoành độ thích hợp của đỉnh C để tam giác ABC có diện tích
bằng 17 đơn vị diện tích là
A. x  5 hoặc x  12 . B. x  5 hoặc x  12 .
C. x  3 hoặc x  14 . D. x  3 hoặc x  14 .
Lời giải
Chọn C
Áp dung công thức S ABC 

1
 xB  xA  yC  y A    xC  xA  yB  y A 
2

1
 x  2  .4  30  2 x  11
2
 17  2 x  11  17  x  3 hoặc x  14

Ta được : S ABC 
Theo đề SABC

Câu 28: [0H2-2-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho tam giác
ABC vuông cân tại A và M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho
MA : MB : MC  1: 2: 3 khi đó góc AMB bằng bao nhiêu?
A. 135
B. 90
C. 150
D. 120
Lời giải
Chọn A


Giải sử T  f (2 2)  2 f (1) ; MB  x  MA  2x ; MC  3x với 0  x  BC  2
.
Ta có cos BAM 

1  4 x 2  x 2 3x 2  1

2.1.2 x
4x

1  4 x2  9 x2 1  5x2
cos MAC 

.
4x
4x

Có 

14
f  x   ex  2x .
3

1
2

2

 3x 2  1   1  5 x 2 
4
2
2
4

 
  1  9 x  6 x  1  1  10 x  25 x  16 .
4
x
4
x

 

 2 5 2 2 1
 (l )
x 
17
5
4
2
 34 x  20 x  2  0  
.
 2 52 2
x 
17

 cos AMB 



AM 2  BM 2  AB 2 4 x 2  x 2  1

2.2 x.x
2 AM .BM

5 x 2  1  25  10 2  20  8 2  2
.
 
 1 :

4x2
17
17
2



Vậy AMB  135 .



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×