Tải bản đầy đủ

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Câu 1: [2D3-2-2]
(Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
f  x   x ln x .
A.

1 32
x  3ln x  2   C .
9



f  x  dx 



2 32
f  x  dx  x  3ln x  1  C .
9

B.


2 32
x  3ln x  2   C
3



f  x  dx 



2 32
f  x  dx  x  3ln x  2   C
9

.
C.

D.

.
Lời giải
Chọn A

I   f  x  dx   x ln x.dx .
Đặt: t  x  dt 

1
2 x

dx  2tdt  dx .

 I  2 t 2 ln t 2 .dt  4 t 2 ln t.dt .

1

du  dt

u  ln t

t


Đặt: 
.

2
3
d
v

t
d
t
t

v 

3

1
1
1

1
 2
 I  2  t 3 ln t   t 2dt   2  t 3 ln t  t 3  C   t 3  3ln t  1  C
3
9
3

3
 9





2 32
 x 3ln x  1  C
9
1 32
 x  3ln x  2   C .
9

(THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Khi tính
x3
dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào?
nguyên hàm 
x 1

Câu 2: [2D3-2-2]

A.  2u  u 2  4 du .

 u

2

B.

 u

2

 4 du .

 3du .
Lời giải

Chọn C

C.  2  u2  4 du .

D.


dx  2u du
Đặt u  x  1 , u  0 nên u 2  x  1  
.
2
x  u 1

Khi đó



x3
u2  1  3
.2udu   2 u2  4 du .
dx  
u
x 1





Câu 3: [2D3-2-2]
(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN)
2x
Biết  xe dx  axe2 x  be2 x  C  a, b   . Tính tích ab .
1
A. ab   .
4

B. ab 

1
.
4

1
C. ab   .
8

1
D. ab  .
8

Lời giải
Chọn C

du  dx
u  x


Đặt 
1 2x
2x
dv  e dx v  e

2
1
1
1
1
Suy ra :  xe 2 x dx  xe 2 x   e 2 x dx  xe 2 x  e 2 x  C
2
2
4
2
1
1
1
Vậy: a  ; b    ab   .
2
4
8
Câu 4: [2D3-2-2]
(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN)
Kết quả của I   xe x dx là
A. I  xe x  e x  C .

I

B. I  e x  xe x  C . C. I 

x2 x
e C .
2

D.

x2 x x
e e C .
2
Lời giải

Chọn A
Cách 1: Sử dụng tích phân từng phần ta có
I   xe x dx   x de x  xe x   e x dx  xe x  e x  C.
Cách 2: Ta có I    xe x  e x  C   e x  xe x  e x  xe x .
Câu 5: [2D3-2-2]

(THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Cho F ( x ) là một nguyên

hàm của hàm số f  x    5 x  1 e x và F  0   3 . Tính F 1 .
A. F 1  11e  3 . B. F 1  e  3 .

C. F 1  e  7 .

F 1  e  2 .
Lời giải
Chọn C
Ta có F  x     5x  1 e x dx .

D.


u  5 x  1 du  5dx
Đặt 
.

x
x
dv  e dx
 ve
F  x    5x  1 e x   5e x dx   5 x  1 e x  5e x  C   5 x  4  e x  C .
Mặt khác F  0   3  4  C  3  C  7 .

 F  x    5x  4 e x  7 .
Vậy F 1  e  7 .
Câu 6: [2D3-2-2] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Tìm nguyên hàm F  x  của
hàm số f  x   x.e2 x .

1

A. F  x   2e2 x  x    C .
2


1
B. F  x   e 2 x  x  2   C .
2

1 
1
C. F  x   e2 x  x    C .
2 
2

D. F  x   2e2 x  x  2   C .
Lời giải

Chọn C
Ta có F  x    x.e2 x dx .
Đặt u  x  du  dx và dv  e 2 x dx chọn v 
Khi

đó

F  x    x.e 2 x dx 

1 2x
e .
2

x
1
x2 2 x 1 2 x
e   e dx  e 2 x  e 2 x  C
2
4
2
2

1 
1
 e2 x  x    C .
2 
2

1 
1
Vậy F  x   e2 x  x    C .
2 
2
Câu 7: [2D3-2-2] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Tìm
nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x cos  2 x  .
A. F  x   x sin 2 x  cos2 x .
C. F  x  

B. F  x  

1
1
x sin 2 x  cos2 x  C .
2
4

Lời giải
Chọn C

du  dx
u  x


Đặt 
sin 2 x
dv  cos 2 x dx v 

2

1
1
x sin 2 x  cos2 x .
2
4

D. F  x   x sin 2 x  cos2 x  C .


 x cos  2 x  dx 

x sin 2 x 1
x sin 2 x cos2 x
  sin 2 x dx 

C .
2
2
2
4

Câu 8: [2D3-2-2] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Nguyên hàm
 
F  x  của hàm số f  x   sin 2 2 x.cos3 2 x thỏa F    0 là
4
1
1
1
A. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15
1
1
1
F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15

B.

1
1
1
C. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15
1 3
1
4
F  x   sin 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15

D.

Lời giải
Chọn C
Đặt t  sin 2x  dt  2.cos 2xdx 

1
dt  cos 2 xdx .
2

Ta có:

F  x    sin 2 2 x.cos3 2 xdx 









1 2
1
1
1
t . 1  t 2 dt   t 2  t 4 dt  t 3  t 5  C

2
6
2
10

1
1
 sin 3 2 x  sin 5 2 x  C .
6
10
1
 1

1
 
F    0  sin 3  sin 5  C  0  C   .
6
2 10
2
15
4
1
1
1
Vậy F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  .
6
10
15

Câu 9: [2D3-2-2] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Cho

 2 x  3x  2 

6

dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A , B 
8

7

và C 

. Giá trị

của biểu thức 12 A  7B bằng
A.

23
.
252

B.

241
.
252

C.
Lời giải

Chọn D
Đặt t  3x  2  x 

t2
1
 dt  dx .
3
3

52
.
9

D.

7
.
9


2
2 t8 4 t7
2 t2 6
7
6

t
+2
t
d
t

.  . C
.
t
d
t
9
3 3
9 8 9 7
1
4
8
7
 .  3x  2   . 3x  2   C .
36
63



Ta có:

Suy ra A 



1
4 7
1
4
, B  , 12.  7.  .
36
63 9
36
63

Câu 10: [2D3-2-2] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Tìm nguyên hàm
2
của hàm số f  x  
.
4x  3
2dx



3



3

A.

 4 x  3  2ln  2 x  2   C .

C.

 4 x  3  2 ln  2 x  2   C .

2dx

1

2dx

1

2dx

1

3

B.

 4 x  3  2 ln 2 x  2  C .

D.

 4 x  3  4 ln 4 x  3  C .

Lời giải
Chọn B
Ta có nguyên hàm của hàm số f  x  

2
2dx
1
3
là: 
 ln 2 x   C , vì:
4x  3
4x  3 2
2

1
3
 1
2
2
ln
2
x


C
 .

 f  x .
2

2

 2 2x  3 4x  3
2

Câu 11: [2D3-2-2] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho
F  x   ax2  bx  c e2 x là một nguyên hàm của hàm số


f  x    2018x



2



 3x  1 e2 x trên khoảng  ;   . Tính T  a  2b  4c .

A. T  3035 .
T  1011 .

B. T  1007 .

C. T  5053 .

D.

Lời giải
Chọn A





Vì F  x   ax 2  bx  c e2 x là một nguyên hàm của hàm số





f  x   2018x 2  3x  1 e2 x trên khoảng  ;   nên ta có:  F  x    f  x  ,
với mọi x   ;   .

  2ax 2  x  2b  2a   2c  b  e2 x   2018x 2  3x  1 e2 x , với mọi x   ;   .



a  1009
2a  2018

2021


.
 2b  2a  3  b  
2

2c  b  1

2023

c   4

 2021 
 2023 
Vậy T  a  2b  4c  1009  2.  
  4.  
  3035 .
2 
4 


Câu 12: [2D3-2-2] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho F  x  là một
1
nguyên hàm của hàm số f  x   x
thỏa mãn F  0   10 . Tìm F  x  .
2e  3
A. F  x  





1
ln 5
x  ln  2e x  3  10 
.
3
3

B. F  x  





1
x  10  ln  2e x  3 .
3

1
3 

C. F  x    x  ln  e x     10  ln 5  ln 2 . D.
3
2 

1
3 
ln 5  ln 2

.
F  x    x  ln  e x     10 
3
2 
3

Lời giải
Chọn A

F  x    f  x  dx  

1
ex
d
x

  2ex  3 e x dx .
2e x  3

Đặt t  e x  dt  e x dx . Suy ra
F  x  

1
1
t
1  ex 
1
x
dt  ln
 C  ln  x
  C  x  ln  2e  3  C
3 2t  3
3  2e  3 
3
 2t  3 t





.
Vì F  0   10 nên 10 
Vậy F  x  

1
ln 5
 0  ln 5   C  C  10  .
3
3





1
ln 5
x  ln  2e x  3  10 
.
3
3

Câu 13: [2D3-2-2] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho F x
ln x
. Tính F e
x

là nguyên hàm của hàm số f x
A. I

1
.
e

B. I

e.

C. I

F 1
1
.
2

D. I

1.


Lời giải
Chọn C
Đặt t

ln x

ln x
dx
x

dt

dx
.
x

tdt

t2
2

C

ln 2 x
2

C

F x

C

F e

F 1

1
.
2

Câu 14: [2D3-2-2] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính
F ( x)   x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng?
1
A. F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4
1
F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4

B.

1
C. F ( x)   (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4
1
F ( x)  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4

D.

Lời giải
Chọn C
du  dx
u  x


Đặt 
, ta được
1
dv  sin 2 xdx v   cos 2 x

2
1
1
1
1
F ( x)   x cos 2 x   cos 2 xdx   x cos 2 x  sin 2 x  C
2
4
2
2
1
  (2 x cos 2 x  sin 2 x)  C .
4

Câu 15: [2D3-2-2] (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm
2
số F  x    x x 2  2dx . Biết F 2  , tính F 7 .
3

 

A.

40
.
3

B. 11 .

 

C.

23
.
6

D. 7 .

Lời giải
Chọn D
Ta có: F  x    x x 2  2dx 

1
1
x 2  2d  x 2  2  

2
3



x2  2

 C
3


Mà F

 2   23  83  C  23  C  2

Vậy F

 7  92  7 .

Câu 16: [2D3-2-2] (ĐỀ ĐOÀN TRÍ DŨNG - HÀ HỮU HẢI - LẦN 7 - 2018) Cho biết
5



1

2

f  x  dx  15 . Tính giá trị của P    f  5  3 x   7  dx .
0

A. P  15
B. P  37
C. P  27
D. P  19
Câu 17: [2D3-2-2] (ĐỀ ĐOÀN TRÍ DŨNG - HÀ HỮU HẢI - LẦN 7 - 2018) Tính
1

I   x x 2  1dx được kết quả ?
0

2
2 2 1
2
2 2
B.
C.
D.
3
3
3
3
Câu 18: [2D3-2-2] (ĐỀ ĐOÀN TRÍ DŨNG - HÀ HỮU HẢI - LẦN 7 - 2018) Cho hàm số
1
f  x  có đạo hàm f   x  
và f  0   1. Tính f  5 .
1 x

A.

A. f  5  2ln 2 .

B. f  5  ln 4  1 .

C. f  5  2ln 2  1 . D.

f  5  2ln 2 .
Câu 19: [2D3-2-2] (THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho
1  ln x
a
F ( x)  (ln x  b) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) 
, trong đó a ,
x2
x
b  . Tính S  a  b .
A. S  2 .

B. S  1 .

C. S  2 .
Lời giải

D. S  0 .

Chọn B

 1  ln x 
Ta có I   f  x  dx  
dx .
2
 x 
1
1  ln x  u
 x dx  du

Đặt  1
khi đó

1
d
x

d
v
 x 2
  v
 x
1
1
1
1
1
I   1  ln x    2 dx   1  ln x    C    ln x  2   C
x
x
x
x
x
 a  1; b  2 .
Vậy S  a  b  1 .
Câu 20: [2D3-2-2] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Tìm nguyên
hàm của hàm số f  x   x ln  x  2  .


A.



f  x  dx 



x2
x2  4x
ln  x  2  
C .
2
4

B.

x2  4
x2  4x
ln  x  2  
C .
2
4

C.
f  x  dx 



f  x  dx 



f  x  dx 

x2
x2  4x
ln  x  2  
C .
2
2

D.

x2  4
x2  4x
ln  x  2  
C.
2
2

Lời giải
Chọn B

dx

du 
u  ln  x  2  
x2

Đặt 
2
dv  xdx
v  x

2



suy ra

f  x  dx   x ln  x  2  dx 

x2
1 x2
ln  x  2   
dx
2
2 x2

x2
1 
4 
x2  4
x2  4 x
ln  x  2     x  2 
d
x

ln
x

2

C .



2
2 
x2
2
2
Câu 21: [2D3-2-2] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Xét


I   x3  4 x 4  3 dx . Bằng cách đặt: u  4x4  3 , khẳng định nào sau đây đúng?
5

A. I 
I

1
u 5 du .
16 

B. I 

1
u 5 du .
12 

C. I   u 5du .

D.

1 5
u du .
4

Lời giải
Chọn A
u  4 x 4  3  du  16 x 3dx 

I

1
du  x 3 dx .
16

1
u 5 du .

16

Câu 22: [2D3-2-2] (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Họ nguyên hàm của hàm
số f  x   x cos 2 x là
x sin 2 x cos 2 x

C .
2
4
cos 2 x
C .
C. x sin 2 x 
2

cos 2 x
C .
2
x sin 2 x cos 2 x

C .
D.
2
4

B. x sin 2 x 

A.

Lời giải


Chọn D

I   x cos 2 xdx .
du  dx
u  x


Đặt 
.
1
dv  cos 2 xdx v  sin 2 x

2
1
1
1
1
Khi đó I  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C .
2
2
2
4
Câu 23: [2D3-2-2](THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI-SÓC TRĂNG-2018) Biết
1
sin x
2
 x2  1 dx  ln x  x  1  C . Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos2 x  1





A.



B.



C.



D.



sin x
cos x  1
2

sin x
cos x  1
2

sin x
cos x  1
2

sin x
cos x  1
2





dx  ln cos x  cos 2 x  1  C .





dx   ln cos x  cos 2 x  1  C .





dx  ln x  cos2 x  1  C .





dx   ln x  cos 2 x  1  C .
Lời giải

Chọn B
Ta có :



sin x

dx  

d  cos x 





  ln cos x  cos 2 x  1  C .

cos x  1
cos x  1
Câu 24: [2D3-2-2] (THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - HKII -2016 - 2017 - BTN) Biết F ( x )
2

2

là một nguyên hàm của hàm số f  x   e2 x và F  0  
A.

1
1
e .
2
2

B.

1
e2.
2

C. 2e  1 .
Lời giải

Chọn D
Ta có : F  x    e 2 x dx 
F 0 

1 2x
e C .
2

3
1
3
  C   C  1.
2
2
2

1 1
F    e 1
2 2

3
1
. Giá trị F   là
2
2

D.

1
e 1 .
2


Câu 25: [2D3-2-2] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Nguyên hàm của hàm 2018
f  x   x.e2 x là:

1 
1
A. F ( x)  e2 x  x    C .
2 
2

1

B. F ( x)  2e2 x  x    C .
2


C. F ( x)  2e2 x  x  2   C .

1
D. F ( x)  e 2 x  x  2   C .
2
Lời giải

Chọn A

du  dx
u  x


Đặt 
1 2x .
2x
dv  e dx v  e

2
Khi đó:

F  x    x.e2 x dx 

1 2x 1 2x
1
1
1 
1
x.e   e dx  x.e2 x  e2 x  C  e2 x  x    C .
2
2
2
4
2 
2

Câu 26: [2D3-2-2] [NGUYỄN KHUYẾN TPHCM – 2017] Cho F  x  là nguyên hàm của
hàm số f  x  

1
1
và F  0    ln 4 . Tập nghiệm S của phương trình
e 3
3
x

3F  x   ln  x3  3  2 là:
A. S  2 .

B. S  2; 2 .

C. S  1; 2 .

D.

S  2;1 .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: F  x   

dx
1 
ex 
1
x

1


 dx  x  ln  e  3  C .
x
x

e 3 3  e 3
3









1
1
Do F  0    ln 4 nên C  0 . Vậy F  x   x  ln  e x  3 .
3
3

Do đó: 3F  x   ln  e x  3  2  x  2 .

Câu 27: [2D3-2-2] (SGD Lạng Sơn - HKII - 2017 - 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số
y  x.e x .
A.

 xe dx  x.e
x

x

C .

B.

 xe dx  x.e
x

x

 ex  C .


C.

 xe dx  e
x

x

C.

D.

 xe dx  x.e
x

x

 ex  C .

Lời giải
Chọn A

u  x
 du  dx

Đặt 
.
x
x
 dv  e d x
v  e
Vậy

 xe dx  x.e   e dx  x.e
x

x

x

x

 ex  C .

Câu 28: [2D3-2-2] (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2017 - 2018 -BTN) Gọi
F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   xe x . Tính F  x  biết F  0   1 .
A. F  x     x  1 e x  2 .

B. F  x    x  1 e x  1 .

C. F  x    x  1 e x  2 .

D. F  x     x  1 e x  1 .
Lời giải

Chọn A
u  x
du  dx

Đặt 
.

x
x
dv  e dx v  e
Do đó

 xe

x

dx   xe x   e x dx   xe x  e x  C  F  x; C  .

F  0   1  e 0  C  1  C  2 . Vậy F  x     x  1 e x  2 .
Câu 29: [2D3-2-2] Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.

2
  x  1 dx 

x2  1
C .
3

B.

x

C.

x

x5 2 x3

 xC .
5
3

D.

x

2

2

 1 dx 
2

2

2

 1 dx  2( x 2  1)  C .
2

x5 2 x3

x.
5
3

 1 dx 
2

Lời giải

Chọn C
Ta có:

2
4
2
  x  1 dx    x  2 x  1 dx 
2

Câu 30: [2D3-1.25-3] Họ nguyên hàm của hàm số
A.

2
5
ln 2 x  1  ln x  1  C .
3
3

x5 2 3
 x  x  C; C 
5 3

.

2x  3
dx là
2
 x 1

 2x

2
5
B.  ln 2 x  1  ln x  1  C .
3
3


C.

1
5
D.  ln 2 x  1  ln x  1  C .
3
3

2
5
ln 2 x  1  ln x  1  C .
3
3

Lời giải
Chọn B
2x  3
4
5
2
5
dx   (

)dx   ln 2 x  1  ln x  1  C
2
3
3
 x 1
3(2 x  1) 3( x  1)

 2x

Câu 31: [2D3-1.26-2] Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f  x  
1

1
.
1 2x

1
ln 1  2 x  C.
2

A.

 f  x  dx  2 ln 1  2 x  C.

B.

 f  x  dx 

C.

 f  x  dx  2ln 1  2x  C.

D.

 f  x  dx  ln 1  2 x  C.

Lời giải

Chọn B
1

1

 1  2 xdx   2 ln 1  2 x  C
Câu 32: [2D3-1.27-3] Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f  x  

1
x x
2

A. F  x    ln x  ln x  1 .

B. F  x   ln x  ln x  1 .

C. F  x    ln x  ln x  1 .

D. F  x   ln x  ln x  1 .
Lời giải

Chọn A
1
1

 Phân tích hàm số f  x  
x 1 x



Các nguyên hàm là
F  x    ln x  ln x  1

Câu 33: [2D3-2-2] Tìm



ln x  1  ln x  C

ln x
dx có kết quả là:
x



một

nguyên

hàm




A. ln ln x  C

ln

B.

x2
 ln x  1  C
2

C.

1 2
ln x  C
2

D.

x2
C.
2
Lời giải

CHỌN C
Sử dụng casio : đạo hàm của đáp án tại 3 trừ hàm dưới dấu tích phân tại 3 bằng 0
thì chọn đáp án.
1

Câu 34: [2D3-2-2] Một nguyên hàm của f x
B. x 2

1 e x là

1

1

1

1 ex

C. x 2e x

D. e x

1

A. xe x

2x

Lời giải
Chọn A
Sử dụng casio : đạo hàm của đáp án tại 3 trừ hàm số dưới dấu tích phân tại 3 bằng
0 thì chọn đáp án.
x( x 2

Câu 35: [2D3-2-2] (THPT AN LÃO) Tìm nguyên hàm
A.

1 2
x
2

1 2
x
32

16

7

7

16

C.

B.

1 2
x
32

7

16

C . C.

7)15 dx

1 2
x
16

7

16

C . D.

C.

Lời giải
Chọn D
Đặt t

Ta có

x2

x( x

7

2

dt

15

7) dx

2 xdx

1
2

xdx

15

t dt

1
dt
2

1 t16
.
2 16

C

1 2
x
32

7

16

C.

Câu 36: [2D3-2-2] (THI THỬ CỤM 6 TP. HỒ CHÍ MINH) Xét I   x3  4 x 4  3 dx .
5

Bằng cách đặt u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng
A. I 

1 5
u du .
4

I   u 5du .

B. I 

1
u 5 du .

12

C. I 

1
u 5 du .

16

D.


Lời giải
Chọn C
u  4 x 4  3  du  16 x 3 dx  x 3dx 

5
1
du
; Suy ra: I   x 3  4 x 4  3 dx   u 5 du
16
16

Câu 37: [2D3-2-2] Nguyên hàm của hàm số f (x )
A.

1 4
sin x
4

1 4
sin x
4

cos x

C B.

1
cos3 x
4

sin3 x. cos x là

C

C.

1 3
sin x
4

C

D.

C
Lời giải

Chọn D
Sử dụng casio: đạo hàm của đáp án tại 3 trừ hàm dưới dấu tích phân tại 3 bằng 0 thì
chọn đáp án.
[2D3-2-2] (CHUYÊN ĐH VINH – L4 - 2017) Hàm số nào sau đây là một nguyên
Câu 38:
hàm của hàm số f  x  
A. F  x  

1
.
x 1

2
?
x 1
B. F  x   x  1 .

C. F  x   4 x  1 .

D.

F  x  2 x 1 .

Lời giải
Chọn C
Ta có : F  x   

d  x  1
2
dx  4
 4 x 1  C .
x 1
2 x 1

Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là



2
dx  4 x  1  C , nên hàm số đã
x 1

cho có một nguyên hàm là hàm F  x   4 x  1 .
Câu 39: [2D3-2-2] (THPT SỐ 1 AN NHƠN) Nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là
A. x cos x  sin x  C .

B. x cos x  sin x  C .

C. – x cos x  sin x  C .

D. x sin x  cos x  C .
Lời giải

Chọn C


Câu 40: [2D3-2-2] (CHUYÊN SƠN LA) Biết

  x  3 .e

2 x

dx  

1 2 x
e  2 x  n   C , với
m

. Khi đó tổng S  m 2  n 2 có giá trị bằng

m, n 
A. 10 .

C. 65 .

B. 5 .

D. 41 .

Lời giải
Chọn C

du  dx
u  x  3


Đặt 
1 2 x
2 x
dv  e dx v   e

2
Khi đó

  x  3 .e

2 x

1
1
1
1
dx   e 2 x  x  3   e 2 x dx   .e 2 x  x  3  e 2 x  C
2
2
4
2

1
1
  e 2 x .  2 x  6  1  C   e 2 x  2 x  7   C  m  4; n  7
4
4

m 2  n 2  65
2

x
2

Câu 41: [2D3-2-2] (CỤM 2 TP.HCM) Biết I    3x  1 e dx  a  be với a , b là các số
0

nguyên. Tính S  a  b.
B. S  16 .

A. S  12 .
S  10 .

C. S  8 .

D.

Lời giải.
Chọn A
2

x

I    3x  1 e 2 dx .
0

u  3x  1
du  3dx




Đặt 
.

x
x
2
2


d
v

e
dx
v

2e


Ta có : I  2  3x  1 e

x 2
2
0

2

x
2

  6e dx  10e  2  12 e
0

x 2
2

 10e  2  12e  12  14  2e .

0

Vậy a  b  12 .
Câu 42: [2D3-2-2] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Họ nguyên hàm của hàm số
f  x   x ln 2 x là


A.

x2
ln 2 x  x 2  C .
2

B. x 2 ln 2 x 

x2
C .
2

C.

x2
 ln 2 x  1  C . D.
2

x2 
1
 ln 2 x    C .
2
2
Lời giải
Chọn D

1

du 

u  ln 2 x 
x

Đặt 
.
2
dv  xdx v  x

2

x2
1 x2
x2
x2
x2 
1
F  x    f  x  dx  .ln 2 x   . dx  ln 2 x   C   ln 2 x    C .
2
x 2
2
4
2
2
Câu 43: [2D3-2-2] Họ các nguyên hàm của f  x   x ln x là:

x2
1
ln x  x 2  C.
A.
2
4
1
x ln x  x  C.
2

1
B. x ln x  x 2  C.
2
2

x2
1
ln x  x 2  C.
C.
2
4

D.

Lời giải:
Chọn C

 x ln xdx
1

v  x2

 xdx  dv 
2
Đặt


ln x  u
du  1

x
2
1 2
1
x
1 2
 x ln xdx  2 x ln x   2 xdx  2 ln x  4 x  C.

.

Suy

ra

Câu 44: [2D3-2-2] (THPT TRIỆU SƠN 2) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x cos x 2 là:
1
sin x  C .
2
quả khác.

A.

B.

1
sin  x 2   C .
2

Lời giải
Chọn B

1
C.  sin  x 2   C .
2

D. Một kết


Câu 45:

[2D3-2-2] (CHUYÊN ĐH VINH – L4 - 2017) Cho tích phân
1
2
I 
dx  a  b ln với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
3
0 3  2x 1
đúng?
4

B. a  b  3 .

A. a  b  3 .
a  b  5.

C. a  b  5 .

D.

Lời giải
Chọn D
Đặt u  2 x  1  u 2   2 x  1  udu  dx . Đổi cận: x  0  u  1; x  4  u  3 .
3
u
3 
2

Vậy I  
du   1 
d
u

u

3ln
3

u
 2  3ln .





1
3u
3u 
3
1
1
3

3

Do đó a  2, b  3 , suy ra a  b  5 .
Câu 46: [2D3-2-2] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm
nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   e2 x , biết F  0   1 .
A. F  x   e2 x .

B. F  x  

e2 x 1
 .
2 2

C. F  x   2e2 x  1 .

D.

F  x   ex .
Lời giải
Chọn B
Ta có: F  x    f  x  dx   e 2 x dx 
Theo giả thiết: F  0   1  C 

1 2x
e C .
2

1
e2 x 1
 .
. Vậy F  x  
2
2 2

Câu 47: [2D3-2-2] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho
F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x . Tính F   x  .
A. F   x   1  ln x .

B. F   x  

1
.
x

C. F   x   1  ln x .

D.

F   x   x  ln x .
Lời giải
Chọn C
Ta có: F  x    f  x  dx   x ln xdx  F   x   x ln x  F   x   ln x  1 .


Câu 48: [2D3-2-2] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Nguyên
hàm của hàm số f  x   x sin x là:
A. F  x    x cos x  sin x  C .

B. F  x   x cos x  sin x  C .

C. F  x    x cos x  sin x  C .

D. F  x   x cos x  sin x  C .

Lời giải
Chọn C
Ta có: I   f  x  dx   x sin x dx .

u  x
Đặt 
Ta có
dv  sin x dx

du  dx
.

v   cos x

I   f  x  dx   x sin x dx   x cos x   cos x dx   x cos x  sin x  C .
Câu 49:

[2D3-2-2] (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Biết
 x cos 2xdx  ax sin 2x  b cos 2x  C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ?
1
A. ab  .
8

B. ab 

1
.
4

1
C. ab   .
8

D.

1
ab   .
4

Lời giải
Chọn A

du  dx
u  x


Đặt 
1
d v  cos 2 xdx v  sin 2 x

2
1
1
1
1
Khi đó  x cos 2 xdx  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C
2
2
4
2
1
1
a , b .
4
2
1
Vậy ab  .
8

(SGD Cần Thơ - HKII - 2017 - 2018) Hàm số f  x  thoả mãn

Câu 50: [2D3-2-2]

f   x   xe x là:
A.  x  1 e  C
x

e x 1
C
B. x 
x 1
2

 x  1 e x  C
Lời giải
Chọn A

C. x 2 e x  C

D.


f   x   xe x  f  x    xe x dx .
Ta có: u  x ; dv  e x dx .
Do đó: du  dx ; v  e x .

 f  x    xe x dx  xe x   e x dx  xe x  e x  C   x  1 e x  C .
Câu 51: [2D3-2-2] (THPT Vũng Tàu - BRVT - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Tìm họ nguyên
hàm F  x  của hàm số f  x   x.e2 x .
A. F  x   2e2 x  x  2   C .

1

C. F  x   2e2 x  x    C .
2

Lời giải

1
B. F  x   e 2 x  x  2   C .
2
1 
1
D. F  x   e2 x  x    C .
2 
2

Chọn D.
du  dx
u  x


Đặt 
1 2x
2x
 v  e dx
v  2 e

F  x    f  x  dx 

1
1 2x 1 2x
1 1
1 
1
xe   e dx  xe 2 x  . e 2 x  C  e2 x  x    C .
2
2
2 2
2
2 
2

Câu 52: [2D3-2-2] (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Nguyên
1  ln x
là:
hàm của f  x  
x.ln x
A.



1  ln x
dx  ln ln x  C .
x.ln x

B.



1  ln x
dx  ln x 2 .ln x  C .
x.ln x

C.



1  ln x
dx  ln x  ln x  C .
x.ln x

D.



1  ln x
dx  ln x.ln x  C .
x.ln x

Lời giải
Chọn D
Ta có I   f  x  dx  

1  ln x
dx .
x.ln x

Đặt x ln x  t   ln x  1 dx  dt . Khi đó ta có I  

 ln x.ln x  C .

1
1  ln x
dx   dt  ln t  C
t
x.ln x


Câu 53: [2D3-2-2] [THPT NGUYỄN HUỆ-HUẾ - 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số
f  x   x sin x .
A.  x cos x  sin x  C .

B. x cos x  sin x  C .

C. x cos x  sin x  C .

D.  x cos x  sin x  C .
Lời giải

Chọn A
Ta có:

 x sin xdx .

u  x
du  dx
Đặt 
.

dv  sin xdx v   cos x
Vậy

 x sin xdx   x cos x   cos xdx  x cos x  sin x  C .



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×