Tải bản đầy đủ

ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

x2  x  2
, điểm trên
x2
đồ thị mà tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ
nhất thì có hoành độ bằng.

Câu 1: [2D1-8-4] [THPT CHUYÊN KHTN - 2017] Cho hàm số y 

A. 2  4 8 .

C. 2  4 10 .

B. 2  4 6 .

D.

2  12 .
4

Lời giải
Chọn A


\ 2 .

Tập xác định D 

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  2  x  2  0 .
Gọi tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng y  ax  b .

Khi đó a  lim

x 

f  x
x

1 2 

x 2 1   2 
x  x2
x x 
 lim 
 lim
x 
x  x  x  2 
2 

x 2 1  2 
x 

2

 1 2 
1   2 
x x 
 lim 
 1.
x 
2 

1  2 


x 


 x2  x  2

3x  2
b  lim  f  x   ax   lim 
 x   lim
 3.
x 
x 
x

x

2
x

2


Vậy tiệm cận xiên: y  x  3 .
Gọi M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số.

x2  x  2
x2  4x

.
y
y 
2
x2
 x  2
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M  x0 ; y0  là.

y  y   x0  x  x0   y0  y 

x02  4 x0

x02  x0  2
.
x  x0  
2 
x

2
x

2
 0 
0

 5x  2 
Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng  A  2; 0
.
 x0  2 
Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận xiên  B  2 x  2; 2 x 0  1 .


Giao của hai tiệm cận I  2;5 .

8
Ta có IA 
, IB  2 2 x0  2 , AB 
x0  2

2

 2 x0  4 

2

 2 x 2  8 x0 
 0
 .
 x0  2 

Chu vi

8
P  IA  AB  IB 
 2 2 x0  2 
x0  2

2

 2 x02  8 x0 
2
x

4

 0  
  8 2  2 32 2  32
x

2
 0

2

.
Dấu bằng xảy ra  x  2  4 8 .
x2  x  2
. Điểm trên
x2
đồ thị mà khoảng cách từ giao điểm của hai tiệm cận đến tiếp tuyến tại đó lớn nhất
có hoành độ bằng.

Câu 2: [2D1-8-4] [THPT CHUYÊN KHTN - 2017] Cho hàm số y 

A. 1  4 8 .

B. 2  4 6 .

D. 3  4 8 .

C. 2  4 8 .
Lời giải

Chọn C
x2  x  2
4
y
 x 3
.
x2
x2

Hàm số có hai đường tiệm cận đứng và xiên lần lượt có phương trình là.

x  2 và y  x  3  Tọa độ giao điểm của hai tiệm cân la điểm I  2;5 .
 a2  a  2 
Gọi M  a;
 là tiếp điểm của đồ thị hàm số và tiếp tuyến  d  .
a2 

Tiếp tuyến  d  tại: y  y  a  x  a  

a2  a  2
.
a2

  a 2  4a  x   a  2  y  3a 2  4a  4  0    .
2

d  A;   

8 a2

a

2

 4a    a  2 
2


4

8 a2
 a  a  4     a  2 
2

.
4

Đặt a  2  t .

8
t2
.


 d  A;   
4
2
2 t  8t  16
2t 4  8t 2  16
 t  2  t  2    t 4
8t

8t


t2
max .
Để d  A;   max thì f  t   4
t  8t 2  16

f  t  

t

2t 5  16t
4

 8t 2  16 

2

t  0
CĐ.
0
4
t   8

Bảng biến thiên.

.
Suy ra f  t  max tại t   4 8  a  2   4 8  a  2  4 8 .

Câu 3: . [2D1-8-4] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Cho hàm số y 

2x  3
có đồ
x2

thị  C  . Tìm trên  C  những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của  C  cắt hai
tiệm cận của  C  tại A , B sao cho AB ngắn nhất.

 3
A.  0;  ; 1; 1 .
 2
 5
 4;  ;  3;3
 2

 5
B.  1;  ;  3;3 .
 3

C.  3;3 ; 1;1 .

Giải
Chọn C
Ta có lim y  lim
x 

x 

2x  3
 2 nên y  2 là tiệm cận đứng;
x2

lim y   nên x  2 là tiệm cận đứng.

x 2

 2x  3 
Lấy M  x0 ; 0
   C  với  C  là đồ thị hàm số.
x0  2 

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y  yx0   x  x0   y0
 y

1

 x0  2 

2

.  x  x0  

2 x0  3
.
x0  2

D.


 2x  2 
Tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng tại A  2; 0
 ; cắt tiệm cận ngang tại
 x0  2 

B  2 x 0  2; 2  .
2
2

 2 
 1  
2
AB   2 x0  4   
  4  x0  2   
   2 (Theo bất đẳng thức

 x0  2 
 x0  2  
Cô-si).
2

2

Dấu  xảy ra khi  x0  2 

2

 1 
 x0  1
. Vậy M (1;1) hoặc M (3;3). .

 
 x0  3
 x0  2 

Câu 4: [2D1-8-4] [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG- NAM ĐỊNH –
5/2018] Biết đồ thị hàm số y   m  4  x3  6  m  4  x 2  12mx  7m  18 (với m là
tham số thực) có ba điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua
ba điểm cố định đó.
A. y  48 x  10 .
y  2 x  1.

B. y  3x  1 .

C. y  x  2 .

D.

Lời giải
Chọn A
Gọi M  x0 ; y0  là điểm cố định của đồ thị hàm số đã cho.
Khi đó: y0   m  4  x03  6  m  4  x02  12mx0  7m  18 luôn đúng m 



x

3
0

 6 x02  12 x0  7  m  y0  4 x03  24 x02  18 luôn đúng m 

3
2
3
2


 x0  6 x0  12 x0  7  0
 x0  6 x0  12 x0  7



3
2
3
2


 y0  4 x0  24 x0  18  0
 y0  4 x0  24 x0  18  0

 y0  4 12 x0  7   18  0  y0  48 x0  10 .
Vậy phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định là y  48 x  10 .

Câu 5: [2D1-8-4] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Gọi (H) là đồ thị
2x  3
hàm số y 
. Điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc (H) có tổng khoảng cách đến hai đường
x 1
tiệm cận là nhỏ nhất, với x0  0 khi đó x0  y0 bằng?
A. 2 .

B. 1 .

C. 0 .
Lời giải

D. 3 .


Chọn B
Tập xác định.

\ 1 .

Dễ có tiệm cận đứng d1 : x  1 và tiệm cận ngang d 2 : y  2 .
Ta có d  M , d1   d  M , d 2   x0  1 

2 x0  3
1
2.
 1  x0  1 
x0  1
x0  1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x0  1 
x0  2  y0  1  x0  y0  1 .

1
 x0  0  x0  2 . Vì x0  0 nên
x0  1



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×