Tải bản đầy đủ

CÁC VẤN ĐỀ VỀ TXĐ VÀ ĐẠO HÀM

Câu 1: [1D5-1-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Đạo hàm
bậc 21 của hàm số f  x   cos  x  a  là



A. f  21  x    cos  x  a   .
2




B. f  21  x    sin  x  a   .
2




C. f  21  x   cos  x  a   .
2





D. f  21  x   sin  x  a   .
2

Lời giải

Chọn C



f   x    sin  x  a   cos  x  a  
2


2 


f   x    sin  x  a    cos  x  a 

2
2 


...

21

f  21  x   cos  x  a 
2

Câu 2: [1D5-1-3]
y  f  x




  cos  x  a  
2




(TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên 1; 2 thỏa mãn f 1  4 và

f  x   xf   x   2 x3  3x 2 . Tính f  2 
A. 5 .

B. 20 .

C. 10 .

D. 15 .

Lời giải
Chọn B
Do x  1; 2 nên
f  x   xf   x   2 x3  3x 2 


xf   x   f  x 
 f  x  

2
x

3


  2x  3
x2
 x 

f  x
 x 2  3x  C .
x

Do f 1  4 nên C  0  f  x   x3  3x 2 .
Vậy f  2   20 .
(Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm
 x 2  1, x  1
số y  f  x   
Mệnh đề sai là
x  1.
 2 x,

Câu 3: [1D5-1-3]

A. f  1  2 . B. f không có đạo hàm tại x0  1.
C. f   0   2. D. f   2   4.


Lời giải
Chọn B

f  x   f 1
2x  2
 lim
 2;
x 1
x

1
x 1
x 1
Ta có
f  x   f 1
x2  1  2
lim
 lim
 lim  x  1  2.
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
lim

 

 

Vậy f  1  f  1  f  1  2. Suy ra hàm số có đạo hàm tại x0  1. Vậy B sai.

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hàm số f  x  

Câu 4: [1D5-1-3]

x2
.
x 1

30
Tìm f    x  .

A. f 30  x   30!1  x 

30

C. f 30  x   30!1  x 

B. f 30  x   30!1  x 

.

30

31

. D. f 30  x   30!1  x 

.

31

.

Lời giải
Chọn B
1
x2
 x 1
.
x 1
x 1
2
2.3
1
3!
; f   x   
; f   x  
.
f   x   1 

3
4
2
4
 x  1
 x  1  x  1
 x  1

Ta có f  x  

Vậy f  n   x    1

n!

n 1

 x  1

n 1

 f 30  x   

30!

 x  1

 30!1  x  .
31

31

(THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Cho hàm số
ax  bx  1, x  0
f  x  
. Khi hàm số f  x  có đạo hàm tại x0  0 . Hãy tính
ax  b  1, x  0

Câu 5: [1D5-1-3]

2

T  a  2b .
C. T  6

B. T  0

A. T  4

Lời giải

Chọn C
Ta có f  0   1.





lim f  x   lim ax2  bx  1  1 .

x  0

x 0

lim f  x   lim  ax  b  1  b 1 .

x  0

x 0

Để hàm số có đạo hàm tại x0  0 thì hàm số phải liên tục tại x0  0 nên

D. T  4


f  0   lim f  x   lim f  x  . Suy ra b 1  1  b  2 .
x 0

x 0

ax  2 x  1, x  0
Khi đó f  x   
.
ax  1, x  0
Xét:
f  x   f  0
ax 2  2 x  1  1
 lim  ax  2   2 .
 lim
+) lim
x 0
x 0
x 0
x
x
f  x   f  0
ax  1  1
 lim
 lim  a   a .
+) lim
x 0
x 0
x 0
x
x
Hàm số có đạo hàm tại x0  0 thì a  2 .
2

Vậy với a  2 , b  2 thì hàm số có đạo hàm tại x0  0 khi đó T  6 .
Câu 6: [1D5-1-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Tính đạo hàm cấp n  n  * 
của hàm số y  ln 2 x  3 .
A. y
C. y

n

2 
 n  1!
 .
 2x  3 

 n

  1

 n

 2 
  1  n  1!
 .
 2x  3 

n 1

B. y

 2 
  n  1!
 .
 2x  3 

 n

  1

n

n

n

 n

D. y

n 1

n

1 
 n  1!
 .
 2x  3 

Lời giải
Chọn D
Ta có: y  ln 2 x  3  y 

 y  22.

2
2x  3

 1 .1 .
2
 2 x  3

 y  23.  1 .

1.2

2

Giả sử y  n   1

 2 x  3

n 1

3

  1

n 1

n

2 
 n  1!
 .
 2x  3 
n

 2 
.  n  1!
 1 . Ta chứng minh công thức 1 đúng. Thật
 2x  3 

vậy:
Với n  1 ta có: y 

2
.
2x  3

Giả sử 1 đúng đến n  k , 2  k   * tức là y  k    1

k 1

k

 2 
.  k  1!
 .
 2x  3 


Ta phải

y

 k 1

1

chứng minh

 2 
  1 .k !

 2x  3 
k

Ta

có:

đúng đến

k 1

.

y

 k 1

 k  

  1 .k !.

  1

  y 

 1 2k  2 x  3
  1 .  k  1!.2 .
2k
 2 x  3
k 1

n  k 1 , tức là chứng minh

k 1

 2 k 
.  k  1! 
 
 2 x  3  

k 1

k

2k 1

k

 2 x  3

Vậy y  n   1

n 1

 2 
  1 .k !

 2x  3 
k

k 1

k 1

.

n

 2 
.  n  1!
 .
 2x  3 

(Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho hàm số
 
y  sin 3x.cos x  sin 2 x . Giá trị của y 10   gần nhất với số nào dưới đây?
3

Câu 7: [1D5-1-3]

A. 454492 .
454490 .

B. 2454493 .

C. 454491 .

D.

Lời giải
Chọn D
1
1
 sin 4 x  sin 2 x   sin 2 x   sin 4 x  sin 2 x 
2
2
n 1
 n
 n

Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được  sin ax    1 a n sin 
 ax 
 2

1
9
9
10
Do đó y    x    1 410.sin  5  4 x    1 .210.sin  5  2 x 
2
1
  410.sin 4 x  210 sin 2 x 
2
 
 y 10    454490.13
3

Ta có y  sin 3x.cos x  sin 2 x 





Câu 8: [1D5-1-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho hàm số
2

khi x  2
 x  ax  b
y 3
. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x  2 . Giá trị
2

 x  x  8 x  10 khi x  2
của a 2  b 2 bằng
A. 20 .

B. 17 .

C. 18 .
Lời giải

D. 25 .


Chọn A
2

 x  ax  b
Ta có y   3
2

 x  x  8 x  10

khi x  2
khi x  2

khi x  2
2 x  a
 y   2
3x  2 x  8 khi x  2

Hàm số có đạo hàm tại điểm x  2  4  a  0  a  4 .
Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x  2 thì hàm số liên tục tại điểm x  2 .
Suy ra lim f  x   lim f  x   f  2 
x 2

x 2

 4  2a  b  2  b  2 .
Vậy a 2  b 2  20 .
(CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Cho hai hàm số
f  x  và g  x  đều có đạo hàm trên
và thỏa mãn:

Câu 9: [1D5-1-3]

f 3  2  x   2 f 2  2  3x   x 2 .g  x   36 x  0 , với x 

. Tính

A  3 f  2  4 f   2 .
A. 11 .

B. 13 .

D. 10 .

C. 14 .
Lời giải

Chọn D
Với x 

, ta có f 3 (2  x)  2 f 2  2  3x   x 2 .g  x   36 x  0

1 .

Đạo hàm hai vế của 1 , ta được

3 f 2  2  x  . f   2  x   12 f  2  3x  . f   2  3x   2 x.g  x   x 2 .g   x   36  0  2  .
3
2

 3
 f  2  2 f  2  0
Từ 1 và  2  , thay x  0 , ta có 
2

3 f  2  . f   2   12 f  2  . f   2   36  0  4 

Từ  3 , ta có f  2   0  f  2   2 .
Với f  2   0 , thế vào  4  ta được 36  0 (vô lí).
Với f  2   2 , thế vào  4  ta được 36. f   2   36  0  f   2   1 .
Câu 10: Vậy A  3 f  2   4 f   2   3.2  4.1  10 . [1D5-1-3] Cho hàm số f ( x) 

1  3x  x 2
.
x 1

Tập nghiệm của bất phương trình f ( x )  0 là
A.

\ 1 .

C. 1;  .

B.  .
Lời giải

Chọn A

D.

.


 1  3 x  x 2 
f ( x)  

 x 1 
1  3 x  x 2   x  1  1  3x  x 2   x  1


2
 x  1

 3  2 x  x  1  1  3x  x 2  x 2  2 x  2


2
2
 x  1
 x  1
2
x  1  1


 0, x  1
2
 x  1



Câu 11: [1D5-1-3] Cho hàm số y  f  x   1  2 x 2

I

f  x 

2 x 1  6 x 2 
1  2x

2



1  2 x2 . Ta xét hai mệnh đề sau:

 II  f  x  . f   x   2 x 12 x4  4 x2 1

Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ  II  .

B. Chỉ  I  .

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai

đều đúng.
Lời giải
Chọn D
Ta có

f   x   1  2 x 2  1  2 x 2  1  2 x 2 


4 x 1  2 x 2   1  2 x 2  .2 x
1  2x2





1  2x2

  4x 1  2 x

2 x  12 x 3
1  2 x2



2

 1  2 x 2 

2 x 1  6 x 2 

2x
1  2 x2

1  2 x2

Suy ra

f  x  . f   x   1  2 x

2



1 2x .
2

2 x 1  6 x 2 
1 2x

2

 2 x 1  2 x 2 1  6 x 2 

 2 x  12 x  4 x  1  2 x 12 x 4  4 x 2  1
4

2

3
2
Câu 12: [1D5-1-3] Cho hàm số y  3x  x  1 . Để y  0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào

sau đây
 2 
A.   ;0  .
 9 

 9 
B.   ;0  .
 2 
9
2


C.  ;    0;   . D.  ;    0;   .
2
9




Lời giải
Chọn A
y  3x3  x 2  1  y  9 x 2  2 x

2
y  0    x  0
9
Câu 13: [1D5-1-3] Cho hàm số f  x   x  1 

x2  2 x 1

I

f  x 

 II 

f   x   0 x  1.

 x  1

2

2
. Xét hai câu sau:
x 1

x  1

Hãy chọn câu đúng:
A. Chỉ  I  đúng.

B. Chỉ  II  đúng.

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai

đều đúng.
Lời giải
Chọn B
f  x  x 1

2
2
x2  2x  3
 f  x  1

 0 x  1
2
2
x 1
 x  1
 x  1

x2  x 1
. Xét hai câu sau:
x 1
1
x2  2 x

( I ) : f ( x)  1 
,
(
II
)
:
f
(
x
)

, x  1.

x

1.
( x  1) 2
( x  1) 2

Câu 14: [1D5-1-3] Cho hàm số f ( x) 

Hãy chọn câu đúng:
A. Chỉ ( I ) đúng.

B. Chỉ ( II ) đúng.

C. Cả ( I ); ( II ) đều sai.

D. Cả ( I ); ( II ) đều đúng.
Lời giải

Chọn D
 u  u.v  v.u
Áp dụng công thức   
ta có:
v2
v

x2  x 1
( x 2  x  1).( x  1)  ( x  1).( x 2  x  1)
 f ( x) 
x  1, ta có: f ( x) 
x 1
( x  1) 2

 f ( x ) 
( II ) đúng.

(2 x  1).( x  1)  1.( x 2  x  1) 2 x 2  2 x  x  1  x 2  x  1 x 2  2 x



( x  1) 2
( x  1) 2
( x  1) 2


Mặt khác: f ( x ) 

x 2  2 x x 2  2 x  1  1 ( x  1) 2  1
1


 1
 ( I ) đúng.
2
2
2
( x  1)
( x  1)
( x  1)
( x  1) 2

3
Câu 15: [1D5-1-3] Cho hàm số f ( x)  2mx  mx . Số x  1 là nghiệm của bất phương trình
f ( x)  1 khi và chỉ khi:

C. 1  m  1 .

B. m  1 .

A. m  1 .

D. m  1 .

Lời giải
Chọn D

f ( x)  2mx  mx3  f ( x)  2m  3mx 2 . Nên f (1)  1  2m  3m  1 



m  1.
 x2

Câu 16: [1D5-1-3] Cho hàm số y  f ( x)  

2 x  1

khi x  1
. Hãy chọn câu sai:
khi x  1

A. f  1  1 .

B. Hàm số có đạo hàm tại x0  1 .

C. Hàm số liên tục tại x0  1 .

2 x
D. f ( x)  
2

khi x  1
.
khi x  1

Lời giải
Chọn A
Ta có: f (1)  1
lim f  x   lim x 2  1 và lim  lim(2
x  1)  1 .


x 1

x 1

x 1

x 1

Vậy hàm số liên tục tại x0  1 . C đúng.
Ta có: lim
x 1

lim

x 1

f ( x)  f (1)
x2 1
 lim
 lim  x  1  2
x 1 x  1
x 1
x 1

2  x  1
f ( x)  f (1)
(2 x  1)  1
 lim
 lim
2
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1

Vậy hàm số có đạo hàm tại x0  1 và

 y  2sin 2 x  y  4cos 2 x  y  0   4
Vậy A sai.
Câu 17: [1D5-1-3] Cho hàm số f ( x)  k. 3 x  x . Với giá trị nào của k thì f (1) 

A. k  1 .

B. k 

9
.
2

C. k  3 .
Lời giải

Chọn D

3
?
2

D. k  3 .


 1

1 1
1

Ta có f ( x)   k .x 3  x   k . .
3 3 x2 2 x


f (1) 

3
1
1 3
1
 k    k 1 k  3
2
3
2 2
3

x
bằng biểu thức nào sau đây?
1  2x
1
1  2x
B.
.
C.
.
4 x
2 x (1  2 x)2

Câu 18: [1D5-1-3] Đạo hàm của hàm số y 

1
.
2 x (1  2 x)2
1  2x
.
2 x (1  2 x)2

A.

D.

Lời giải
Chọn D
Ta có

 
y 


x . 1  2 x   1  2 x  . x

1  2 x 

2

1
2 x

. 1  2 x   2 x

1  2 x 

2

1 2x  4x
1 2x
2 x


2
2 .
2 x 1  2 x 
1  2 x 

1
là:
x 1  x 1

Câu 19: [1D5-1-3] Đạo hàm của hàm số y 

A. y  
C. y 



1
x  1  x 1



2

.

1
1

.
4 x  1 4 x 1

B. y 

1
.
2 x 1  2 x 1

D. y 

1
1

.
2 x  1 2 x 1

Lời giải
Chọn C
Ta có: y 

 y 

1
2



1
x  1  x 1

2
x 1  x 1



1 
1
1
 1 1
x  1  x 1  



.

2  2 x  1 2 x 1  4 x  1 4 x 1

Câu 20: [1D5-1-3] Cho hàm số f  x  

3x 2  2 x  1
2 3x  2 x  1
3

2

. Giá trị f   0  là:


A. 0 .

B.

1
.
2

D. 1 .

C. Không tồn tại.
Lời giải

Chọn B
f   0 

 3x






 2 x  1 .2 3x3  2 x 2  1   3 x 2  2 x  1 . 2 3 x3  2 x 2  1

2

2

3x3  2 x 2  1

3x  2 x  1   3x  2 x  1

 6x  2 2

3



2

2

2

3x3  2 x 2  1



2



2

9 x2  4x
3x3  2 x 2  1 

9 x 4  6 x3  9 x 2  8 x  4

4  3x3  2 x 2  1 3x3  2 x 2  1

.
f  0 

4 1
 .
8 2
2

 1 x 
Câu 21: [1D5-1-3] Cho hàm số y  
 . Đạo hàm của hàm số f  x  là:
1

x


A. f   x  

C. f   x  



2 1  x



1 x



3

.

 
x 1  x 

B. f   x  

2 1 x

2

D. f   x  

.

 
x 1  x 

2 1  x

3



2 1 x
1 x

.

.

Lời giải
Chọn B

 1  x  2
 1  x  1  x 

Ta có : y  2 

2






 1  x  1  x 
 1 x  1 x





2

 x   

2 1 x
.
3
x 1 x





Câu 22: [1D5-1-3] Cho hàm số y  x3  3x 2  9 x  5 . Phương trình y  0 có nghiệm là:
A. 1; 2 .

B. 1;3 .

C. 0; 4 .
Lời giải

Chọn B
Ta có : y  3x 2  6 x  9

y  0  3x 2  6 x  9  0  x  1; x  3 .

D. 1; 2 .


Câu 23: [1D5-1-3] Cho hàm số y  f  x  

A. 1 .

B.

1
 
. Giá trị f '   bằng:
sin x
2

1
.
2

C. 0 .

D. Không

tồn tại.
Hướng dẫn giải.

Chọn C
y

1
1
 cos x
 y2 
 y '2 y 
.
sin x
sin 2 x
sin x

 y' 

1   cos x 
.

2 y  sin 2 x 

1   cos x   sin x cos x

. 2 .
2  sin 2 x 
2
sin x
sin x

 

 sin   cos  
 
2
 2   1 . 0  0 .
f '  
.
2
  2 1
2
sin 2  
2
Câu 24: [1D5-1-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Biết

hàm số f  x   f  2 x  có đạo hàm bằng 5 tại x  1 và đạo hàm bằng 7 tại x  2 .
Tính đạo hàm của hàm số f  x   f  4 x  tại x  1.
A. 8

B. 12

C. 16

D. 19

Lời giải
Chọn D
Có  f  x   f  2 x    f   x   2 f   2 x 

 f  1  2 f   2   5

 f  1  2 f   2   5
 f  1  4 f   4   19.






f
2
f
2
2


2
4
f
f
4
4


14
7











Vậy f  1  f   4   19.
Câu 25: [1D5-1-3] Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra

2 x  3
khi x  1
 3
2
tại x0  1 .
f ( x)   x  2 x  7 x  4
khi x  1

x 1

A. 0 .

C. 5 .

B. 4 .
Lời giải

D. Đáp án khác.


Chọn D
Ta có lim f ( x)  lim  2 x  3   5
x 1

x 1

lim f ( x)  lim
x 1

x 1

x3  2x2  7 x  4
 lim(
x 2  3 x  4)  0
x 1
x 1

Dẫn tới lim f ( x)  lim f ( x)  hàm số không liên tục tại x  1 nên hàm số không có
x1

x1

đạo hàm tại x0  1 .

Câu 26: [1D5-1-3] Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra

 sin 2 x

f ( x)   x
x  x2

A.1.

khi x  0
khi x  0

B.2.

tại x0  0

C.3.

D.5.

Lời giải
Chọn A
Ta có lim f ( x)  lim
x 0

x 0



sin 2 x
 sin x

 lim 
.sin x   0
x 0
x
 x




lim f ( x)  lim x  x 2  0 nên hàm số liên tục tại x  0
x 0

x 0

lim

f ( x)  f (0)
sin 2 x
 lim
 1 và
x 0
x
x2

lim

f ( x)  f (0)
x  x2
 lim
1
x 0
x
x

x 0

x 0

Vậy f '(0)  1 .

Câu 27: [1D5-1-3] Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra

f ( x) 
A.2.

x2  x  x  1
x

B.0.

C.3.
Lời giải

Chọn D

tại x0  1 .
D.đáp án khác.


Ta có hàm số liên tục tại x0  1 và
2
f ( x)  f ( 1) x  x  x  1

x1
x( x  1)

f ( x)  f ( 1)
x2  2 x  1
Nên lim
 lim
0
x 1
x 1
x 1
x( x  1)
lim

x 1

f ( x)  f ( 1)
x2  1
 lim
2
x 1 x( x  1)
x1

Do đó lim
x 1

f ( x)  f ( 1)
f ( x)  f ( 1)
 lim
x 1
x1
x1

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0  1 .
Nhận xét: Hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại x  x0 thì phải liên tục tại điểm đó.
2

 x  x khi x  1
có đạo hàm tại x  1 .

ax  b khi x  1

Câu 28: [1D5-1-3] Tìm a , b để hàm số f ( x)  

a  3
B. 
b  11

 a  23
A. 
 b  1

a  33
C. 
b  31

a  3
D. 
 b  1

Lời giải
Chọn D
Ta có: f (1)  2
lim f ( x)  lim(
x2  x)  2 ; lim f ( x)  lim(
ax  b)  a  b


x 1

x 1

x1

x1

Hàm có đạo hàm tại x  1 thì hàm liên tục tại x  1  a  b  2 (1)
lim

f ( x)  f (1)
x2  x  2
 lim
 lim(
x  2)  3
x 1
x 1
x 1
x 1

lim

f ( x)  f (1)
ax  b  2
ax  a
 lim
 lim
 a (Do b  2  a )
x 1
x 1 x  1
x 1
x 1

x 1

x 1

a  3
Hàm có đạo hàm tại x  1  
.
b  1


2

khi x  0
x  1
[1D5-1-3] Tìm a,b để hàm số f ( x)   2
có đạo hàm
2
x

ax

b
khi
x

0



Câu 2016 .
trên

.
A. a  10, b  11 .

B. a  0, b  1 .

C. a  0, b  1 .

D. a  20, b  1 .

Lời giải
Chọn C
Ta thấy với x  0 thì f ( x) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên

khi

và chỉ khi hàm có đạo hàm tại x  0 .
Ta có: f (0)  1; lim f ( x)  1; lim f ( x)  b  f ( x) liên tục tại x  0  b  1 .
x0

Khi đó: f '(0 )  lim
x 0

x0

f ( x)  f (0)
f ( x)  f (0)
 0; f '(0  )  lim
a
x 0
x
x

 f '(0 )  f '(0 )  a  0 .
Vậy a  0, b  1 là những giá trị cần tìm.

 x2  1
khi x  0

Câu 29: [1D5-1-3] Tìm a , b để hàm số f ( x)   x  1
có đạo hàm tại điểm x  0 .
ax  b khi x  0

A. a  11, b  11 .

B. a  10, b  10 .

C. a  12, b  12 .

Lời giải
Chọn D
Ta có lim f ( x)  1  f (0); lim f ( x)  b
x0

x0

Hàm số liên tục tại x  0  b  1

lim
x 0

f ( x)  f (0)
f ( x)  f (0)
x 1
 lim
 lim a  a
 1 , lim
x 0
x 0 x  1
x 0
x
x

Hàm số có đạo hàm tại điểm x  0  a  1
Vậy a  1, b  1 là giá trị cần tìm.
Câu 30: [1D5-1-3] Tính đạo hàm hàm số y  3 x  2 tan x

D. a  1, b  1 .


A.

5  2 tan 2 x

2 3x  2 tan x
5  2 tan 2 x
.
2 3x  2 tan x

.

B.

5  2 tan 2 x
2 3x  2 tan x

.

5  2 tan 2 x

C.

2 3x  2 tan x

.

D.

Lời giải
Chọn A
Ta có: y 

(3x  2 tan x)'
2 3x  2 tan x



3  2(1  tan 2 x)
2 3x  2 tan x



5  2 tan 2 x
2 3x  2 tan x

2
Câu 31: [1D5-1-3] Tính đạo hàm hàm số y  sin (3x  1)

C. 3 sin(6 x  2) .

B. sin(6 x  2) .

A. 3 sin(6 x  2) .

D. 3 cos(6 x  2) .

Lời giải
Chọn A
'

Ta có: y  2sin(3x  1). sin(3x  1)  2sin(3x  1).3cos(3x  1)  3 sin(6 x  2) .

[1D5-1-3] Tính đạo hàm hàm số y  ( x  1) x2  x  1 .

Câu 2029 .
A.

4 x 2  5x  3
2 x2  x  1

.

B.

4 x 2  5x  3
2 x2  x  1

.

C.

4 x2  5x  3
x2  x  1

.

D.

4 x 2  5x  3
2 x2  x  1

Lời giải
Chọn D
Ta có y  x2  x  1  ( x  1)

2x  1
2 x2  x  1



4 x 2  5x  3
2 x2  x  1



[1D5-1-3] Tính đạo hàm hàm số y  x7  x

Câu 2030 .



2

.

.

A. y  ( x7  x)(7 x6  1) .

B. y  2( x7  x) .

C. y  2(7 x6  1) .

D. y  2( x7  x)(7 x6  1) .
Lời giải

Chọn D

















2
y   x7  x  '  2. x7  x . x7  x '  2 x7  x 7 x6  1 .



.


Câu 32: [1D5-1-3] Tính đạo hàm của hàm số sau y  ( x  2)3 ( x  3)2
A. y  3( x2  5x  6)3  2( x  3)( x  2)3 .

B.

y  2( x2  5x  6)2  3( x  3)( x  2)3 .
C. y  3( x2  5x  6)  2( x  3)( x  2) .

D.

y  3( x2  5x  6)2  2( x  3)( x  2)3 .
Lời giải:
Chọn D

y  3( x2  5x  6)2  2( x  3)( x  2)3 .
Câu 33: [1D5-1-3] Tính đạo hàm của hàm số sau y  x 2  x x  1
A. y  2 x  x  1 
C. y 

x
2 x1

x
2 x1

B. y  2 x  x  1 

.

D. y  2 x  x  1 

.
Lời giải:

Chọn D

y  2 x  x  1 

x
2 x1

.

Câu 34: [1D5-1-3] Tính đạo hàm của hàm số sau y  3 tan 2 x  cot 2x
A. y 

y 

3 3 tan x  cot 2 x
2

.

B.

.

D.

3 tan x(1  tan 2 x)  (1  cot 2 2 x)
.

2 3 tan 2 x  cot 2 x

C. y 

y 

3 tan x(1  tan 2 x)  (1  cot 2 2 x)

3 tan x(1  tan 2 x)  (1  cot 2 2 x)
3 tan 2 x  cot 2 x

3 tan x(1  tan 2 x)  (1  cot 2 2 x)
3 tan 2 x  cot 2 x

.

Lời giải:
Chọn D

y 

3 tan x(1  tan 2 x)  (1  cot 2 2 x)
3 tan 2 x  cot 2 x

.


Câu 35: [1D5-1-3] Tính đạo hàm của hàm số sau y  3 x3  cos4 (2x  )
3

x
2 x1 .

x
2 x1

.




3x 2  8 cos 3 (2 x  ) sin(2 x  )
4
4 .
A. y 
3

 
3 3  x 3  cos 4 (2 x  ) 
3 


B.



3x 2  8 cos 3 (2 x  ) sin(2 x  )
4
4
y 
.
3



3
4
4 3  x  cos (2 x  ) 
3 



6 x 2  8 cos 3 (2 x  ) sin(2 x  )
4
4 .
C. y 
3

 
3 3  x 3  cos 4 (2 x  ) 
3 


D.



3x 2  8 cos 3 (2 x  ) sin(2 x  )
4
4 .
y 
3

 
3 3  x 3  cos 4 (2 x  ) 
3 

Lời giải:
Chọn D



3x 2  8 cos 3 (2 x  ) sin(2 x  )
4
4
y 
.
3



3
4
3 3  x  cos (2 x  ) 
3 




Câu 36: [1D5-1-3] Tính đạo hàm của hàm số sau y  cos2 sin3 x
A. y   sin(2 sin 3 x)sin 2 x cos x .



B.

y  6 sin(2 sin 3 x)sin 2 x cos x .
C. y  7 sin(2 sin 3 x)sin 2 x cos x .

D.

y  3sin(2 sin 3 x)sin 2 x cos x .
Lời giải:
Chọn D

y  3sin(2 sin 3 x)sin 2 x cos x .
Câu 37: [1D5-1-3] Tính đạo hàm các hàm số sau y  

cos x 4
 cot x
3sin 3 x 3


A. y  cot 3 x  1 .

B. y  3cot 4 x  1 .

C. y  cot 4 x  1 .

D.

y  cot 4 x .
Lời giải:
Chọn D

1
4
1
y   cot x(1  cot 2 x)  cot x   cot 3 x  cot x
3
3
3
Suy ra y  cot 2 x(1  cot 2 x)  1  cot 2 x  cot 4 x  1 .
Câu 38: [1D5-1-3] Tìm m để các hàm số y  (m  1) x3  3(m  2) x 2  6(m  2) x  1 có
y  0, x 
A. m  3 .
B. m  1 .
C. m  4 .
D.
m4 2 .

Lời giải:
Chọn C
Ta có: y  3 (m  1) x 2  2(m  2) x  2(m  2) 
Do đó y  0  (m  1) x 2  2(m  2) x  2(m  2)  0 (1)
 m  1 thì (1)  6x  6  0  x  1 nên m  1 (loại)

 m  1 thì (1) đúng với x 

a  m  1  0

  0

m  1

m4
( m  1)(4  m)  0
Vậy m  4 là những giá trị cần tìm.
Câu 39: [1D5-1-3] Tìm m để các hàm số y 
A. m  2 .

mx 3
 mx 2  (3m  1)x  1 có y  0, x 
3

B. m  2 .

C. m  0 .
Lời giải:

Chọn C
Ta có: y '  mx2  2mx  3m  1
Nên y '  0  mx2  2mx  3m  1  0 (2)
 m  0 thì (1) trở thành: 1  0 đúng với x 

D. m  0 .

.


a  m  0

 '  0

 m  0 , khi đó (1) đúng với x 

m  0
m  0


m0
m(1  2m)  0
1  2 m  0
Vậy m  0 là những giá trị cần tìm.
2

 x  x  1 khi x  1
Câu 40: [1D5-1-3] Tính đạo hàm của các hàm số sau f ( x)  

 x  1  3 khi x  1
2 x khi x  1
2 x  1 khi x  1


A. f ( x)   1
.
B. f ( x)  
.
1
khi
x

1

khi
x

1
 2 x 1

x 1



2 x  1 khi x  1

D. f ( x)   1
.
khi
x

1
 2 x 1


2 x  1 khi x  1

C. f ( x)   1
.
khi
x

1
 x 1

Lời giải:
Chọn D
Với x  1 ta có: f '( x)  2x  1
Với x  1 ta có: f '( x) 

1
2 x 1

Tại x  1 ta có:
lim

f ( x)  f (1)
x2  x  2
 lim
3
x 1
x 1
x 1

lim

f ( x)  f (1)
x 1
 lim
  suy ra hàm số không có đạo hàm tại x  1
x 1
x 1
x 1

x 1

x 1

2 x  1 khi x  1

Vậy f ( x)   1
.
 2 x  1 khi x  1

Câu 41:

[1D5-1-3] Tìm

a, b

để các hàm số sau có đạo hàm trên

2

 x  x  1 khi x  1
f ( x)   2

 x  ax  b khi x  1
 a  13
a  3
A. 
.
B. 
.
 b  1
b  11
.

a  23
C. 
.
b  21

a  3
D. 
 b  1


Lời giải:
Chọn D
Với x  1 thì hàm số luôn có đạo hàm
Do đó hàm số có đạo hàm trên

 hàm số có đạo hàm tại x  1 .

Ta có lim f ( x)  1; lim f ( x)  a  b  1
x1

x1

Hàm số liên tục trên
Khi đó: lim
x 1

lim
x 1

 a  b 1  1  a  b  2

f ( x)  f (1)
 1;
x 1

f ( x)  f (1)
 x 2  ax  1  a
 lim
 a2
x 1
x 1
x 1

a  b  2
a  3

thì 
.
a

2

1
b


1



Nên hàm số có đạo hàm trên
Câu 42:

[1D5-1-3] Tìm

a, b

để các hàm số sau có đạo hàm trên

x  x 1
khi x  0

.
f ( x)   x  1
 x 2  ax  b khi x  0

2

A. a  0, b  11 .
a  0, b  1 .

B. a  10, b  11 .

C. a  20, b  21 .

D.

Lời giải:
Chọn D
Tương tự như ý 1. ĐS: a  0, b  1 .
Câu 43: [1D5-1-3] Tính đạo hàm của hàm số sau y  2 sin 3 2 x  tan 2 3x  x cos 4 x



2 x cos 2 x  6 tan 3x 1  tan 3x   cos 4 x  x sin 4 x .
2 x cos 2 x  tan 3x 1  tan 3x   cos 4 x  4 x sin 4 x .
2 x cos 2 x  6 tan 3x 1  tan 3x   cos 4 x  4 x sin 4 x .

A. y  12sin 2 2 x cos 2 x  6 tan 3x 1  2 tan 2 3x  cos 4 x  4 x sin 4 x .
B. y  12sin 2
C. y  12sin 2
D. y  12sin 2

2

2

2

Lời giải:
Chọn D





Ta có: y  12sin 2 2 x cos 2 x  6 tan 3x 1  tan 2 3x  cos 4 x  4 x sin 4 x .
Câu 44: [1D5-1-3] Tính đạo hàm của hàm số sau y  x sin 2x  x3  x2  1


A. y  sin 2 x  2 x cos 2 x 
B. y  sin 2 x  2 x cos 2 x 
C. y  sin 2 x  2 x cos 2 x 
D. y  sin 2 x  2 x cos 2 x 

3x 2  2 x
2 x3  x 2  1

3x 2  2 x
x3  x 2  1

.

.

3x 2  2 x
2 x3  x 2  1

.

3x 2  2 x

.
2 x3  x 2  1
Lời giải:

Chọn D
Ta có: y  sin 2 x  2 x cos 2 x 

3x 2  2 x
2 x3  x 2  1

.

x1
cot x
2
2
A. y  tan 2 x  2 x 1  tan 2 x   tan x  ( x  1)(tan  1) .

Câu 45: [1D5-1-3] Tính đạo hàm các hàm số sau y  x tan 2 x 





B. y  tan 2 x  x 1  tan 2 2 x  tan x  ( x  1)(tan 2  1) .


y  tan 2 x  2 x 1  tan


2 x   tan x  ( x  1)(tan  1) .

C. y  tan 2 x  2 x 1  tan 2 2 x  tan x  2( x  1)(tan 2  1) .
D.

2

2

Lời giải:
Chọn D



Ta có:  x tan 2 x   tan 2 x  2 x 1  tan 2 2 x



 x  1 
2

 cot x   ( x  1) tan x   tan x  ( x  1)(tan  1)







Nên y  tan 2x  2x 1  tan2 2x  tan x  ( x  1)(tan2  1) .


Câu 46: [1D5-1-3] Tính đạo hàm của hàm số sau y  sin 3  2 x    1
3



 


3sin 2  2 x   cos  2 x  
3
3


A. y 
.

3
2 sin  2 x    1
3


B.

 


sin 2  2 x   cos  2 x  
3
3


y 
.

3
2 sin  2 x    1
3

 


sin 2  2 x   cos  2 x  
3
3


C. y 
.

3
sin  2 x    1
3


D.

 


3sin 2  2 x   cos  2 x  
3
3


y 
.

3
sin  2 x    1
3

Lời giải:
Chọn D




3 sin 2  2 x   cos  2 x  
3
3


Ta có: y 
.

3
sin  2 x    1
3


Câu 47: [1D5-1-3] Giải bất phương trình f ( x )  0 với f ( x)  2 x3  3x 2  1 .

x  0
A. 
.
x  1
0  x  1.

B. x  1 .

C. x  0 .

Lời giải:
Chọn A
TXĐ: D 

x  0
Ta có: f ( x)  6 x2  6 x , suy ra f ( x)  0  
.
x  1
Câu 48: [1D5-1-3] Giải bất phương trình f ( x )  0 với f ( x)  2 x 4  4 x 2  1 .

1  x  0
A. 
.
x  1
C. x  1 .

B. 1  x  0 .
D. x  0 .

D.


Lời giải:
Chọn A
TXĐ: D 

1  x  0
Ta có: f ( x)  8 x3  8 x , suy ra f ( x)  0  
.
x  1
Câu 49: [1D5-1-3] Giải bất phương trình 2 xf ( x)  f ( x)  0 với f ( x)  x  x 2  1 .
A. x 

1
3

B. x 

.

1
3

C. x 

.

1
3

.

D. x 

2
3

.
Lời giải:
Chọn A
TXĐ: D 
Ta có: f ( x)  1 

x
x 1
2



f ( x)
x2  1

Mặt khác: f ( x)  x  x2  x  x  0, x 
Nên 2 xf ( x)  f ( x)  0 

2 xf ( x)
x2  1

 f ( x)  0


1
x  0
 2x  x2  1   2
x
.
3

3x  1

Câu 50: [1D5-1-3] Giải bất phương trình f ( x )  0 với f ( x)  x  4  x 2 .
A. 2  x  2 .

C. 2  x .

B. x  2 .
Lời giải:

Chọn A
TXĐ: D  
 2; 2 
Ta có: f ( x)  1 

x
4 x

2

 f ( x)  0  4  x 2  x

2  x  0
2  x  0

   x  0

 2  x  2 .
0

x

2



 4  x 2  x 2


D. x  0 .


Câu 51: [1D5-1-3] Tìm giới hạn sau B  lim
x 0

A. 6 .

B. 4 .

(1  x)(1  2 x)(1  3x)  1
x
C. 3 .
Lời giải:

D. 2 .

Chọn A
Xét hàm số f ( x)  (1  x)(1  2x)(1  3x)  1  B  f '(0)  6 .
n

Câu 52: [1D5-1-3] Tìm giới hạn sau C  lim m
x 0

a
A. C  .
b
.

B. C 

1  ax  1
1  bx  1

m
.
n

( m, n  ; a.b  0)
C. C 

ma
.
nb

D. C 

Lời giải:
Chọn D
Xét hai hàm số f ( x)  n 1  ax  1, g( x)  m 1  bx  1
Suy ra C 

f '(0) ma

.
g '(0) nb

Câu 53: [1D5-1-3] Tìm giới hạn sau C  lim

3

26 x3  1  4 80 x4  1
x 1

x 1

A. 

4
.
27

B. 1 .

C. 2 .

D.

Lời giải:
Chọn A
Đặt g( x)  x  1  g '( x) 

1
2 x

 g '(1) 

f ( x)  26 x  1  80 x  1  f '( x) 
3

 f '(1) 

3

4

1

2
26

4

3

(26 x 3  1)2

80 x 3



2
.
27

f ( x)  f (1)
f ( x)
f '(1)
4
x 1
 lim


Khi đó: C  lim
.
x 1 g( x)
x 0 g( x)  g(1)
g '(1)
27
x 1

4

(80 x 4  1)3

4
.
27

ma
nb




Câu 54: [1D5-1-3] Cho hàm số y  sin 2 x . Tính y ( ) , y (4) ( ) .
3
4
A. 4 và 16 .
B. 5 và 17 .
C. 6 và 18 .
19 .
Lời giải:

D. 7

Chọn A
Ta có y '''  8 cos 2 x , y(4)  16 sin 2 x


2


 4; y(4) ( )  16 sin  16 .
Suy ra y '''( )  8 cos
3
3
4
2
Câu 55: [1D5-1-3] Cho hàm số y  sin 2 x . Tính y ( n ) .


B. y( n)  2n sin(2 x  ) .
2

D. y( n)  2n sin(2 x  n ) .
2


A. y( n)  2n sin(2 x  n ) .
3

C. y( n)  2n sin( x  ) .
2
Lời giải:
Chọn D




Ta có y  2sin(2 x  ), y  22 sin(2 x  2 ) , y  23 sin(2 x  3 )
2
2
2

Bằng quy nạp ta chứng minh y( n)  2n sin(2 x  n )
2


Với n  1  y  21 sin(2 x  ) đúng
2

Giả sử y( k )  2 k sin(2 x  k ) ,
2




suy ra y ( k 1)  y ( k )   2k 1 cos(2 x  k )  2k 1 sin  2 x  (k  1) 
2
2


 

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

2x  1
x2
( 1)n1 .n !
B. y( n) 
.
( x  2)n1

Câu 56: [1D5-1-3] Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau y 
A. y( n) 

(1)n1 .3.n !
.
( x  2)n1

C. y( n) 

( 1)n1 .3.n !
.
( x  2)n1

D. y( n) 
Lời giải:

( 1)n1 .3.n !
.
( x  2)n1




Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×