Tải bản đầy đủ

DÃY SỐ

u1  1
2 n . Số hạng tổng quát u n của dãy số là
u

u


1


 n1
n

Câu 1: [1D3-2-3] Cho dãy số  un  với 

số hạng nào dưới đây?
C. un  1   1 .

B. un  1  n .

A. un  1  n .


D. un  n .

2n

Lời giải
Chọn D
Ta có un1  un   1  un  1  u2  2; u3  3; u4  4;...
2n

Dễ dàng dự đoán được un  n .
Thật vậy, ta chứng minh được un  n * bằng phương pháp quy nạp như sau:
+ Với n  1  u1  1 . Vậy * đúng với n  1
+ Giả sử * đúng với mọi n  k  k 

*

 , ta có: u

k

 k . Ta đi chứng minh * cũng

đúng với n  k  1 , tức là: uk 1  k  1
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số  un  ta có: uk 1  uk   1  k  1 . Vậy
2k

 *

đúng với mọi n 

*

.


u1  1
2 n 1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số

un 1  un   1



Câu 2: [1D3-2-3] Cho dãy số  un  với 

là số hạng nào dưới đây?
A. un  2  n .

B. un không xác định.

C. un  1  n .

D. un  n với mọi n .
Lời giải

Chọn A
Ta có: u2  0; u3  1; u4  2 ,... Dễ dàng dự đoán được un  2  n .
u1  1

Câu 3: [1D3-2-3] Cho dãy số  un  với 

2
un 1  un  n

hạng nào dưới đây?
n  n  1 2n  1
A. un  1 
.
6
n  n  1 2n  1
C. un  1 
.
6

n  n  1 2n  2 
.
6
n  n  1 2n  2 
D. un  1 
.
6

B. un  1 

Lời giải
Chọn C
u1  1

2
u2  u1  1

Ta có: u3  u2  22
.
...

u  u   n  12
n 1
 n

. Số hạng tổng quát un của dãy số là số


Cộng hai vế ta được un  1  12  22  ...   n  1  1 
2

n  n  1 2n  1
.
6

u1  2
. Số hạng tổng quát un của dãy số là
un 1  un  2n  1

Câu 4: [1D3-2-3] Cho dãy số  un  với 

số hạng nào dưới đây?
A. un  2   n  1 .
2

B. un  2  n2 .

C. un  2   n  1 .
2

D.

un  2   n  1 .
2

Lời giải
Chọn A
u1  2
u  u  1
1
 2
Ta có: u3  u2  3
.
...

un  un 1  2n  3
Cộng hai vế ta được un  2  1  3  5  ...   2n  3  2   n  1 .
2

u1  2

Câu 5: [1D3-2-3] Cho dãy số  un  với 
1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy
u


2

n

1

un

số này là:
n 1
n 1
n 1
A. un  
.
B. un 
..
C. un  
.
D.
n
n
n
n
un  
.
n 1
Lời giải
Chọn C
3
4
n 1
5
Ta có: u1   ; u2   ; u3   ;... Dễ dàng dự đoán được un  
.
2
3
n
4
1

u1 
Câu 6: [1D3-2-3] Cho dãy số  un  với 
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số
2

un 1  un  2
này là:
1
1
1
A. un   2  n  1 .
B. un   2  n  1 . C. un   2n .
D.
2
2
2
1
un   2n .
2
Lời giải
Chọn B


1

u1  2

u2  u1  2

Ta có: u3  u2  2 .
...

un  un 1  2

1
1
 2  2...  2   2  n  1 .
2
2
u1  1

với 
un . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này
un 1  2

Cộng hai vế ta được un 
Câu 7: [1D3-2-3] Cho dãy số  un 

là:
n

1
B. un   1 .  
2

1
A. un   1 .   .
2

1
un   1 .  
2

n 1

.

1
C. un   
2

n 1

.

D.

n 1

.
Lời giải

Chọn D
u1  1

u2  u1
2


u
Ta có: u3  2 .
2

...

un  un 1

2
Nhân

u1.u2 .u3 ...un   1 .

hai

vế

ta

u1.u2 .u3 ...un 1
1
1
 un   1 . n 1   1 .  
2.2.2...2
2
2

được

n 1

n 1 lan

u1  2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số
un 1  2un

Câu 8: [1D3-2-3] Cho dãy số  un  với 

này :
A. un  nn1 .

B. un  2n .
Lời giải

Chọn B

C. un  2n1 .

D. un  2 .


u1  2
u  2u
1
 2
Ta có: u3  2u2 .
...

un  2un 1
Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3...un  2.2n1.u1.u2 ...un1  un  2n .
1

u1 
với 
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số
2
un 1  2un

Câu 9: [1D3-2-3] Cho dãy số  un 

này:
B. un 

A. un  2n1 .

1
.
2n 1

C. un 

1
.
2n

D.

un  2n2 .

Lời giải
Chọn D
1

u1  2

u2  2u1

Ta có: u3  2u2 .
...

un  2un 1

1
Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un  .2n 1.u1.u2 ...un 1  un  2 n  2 .
2
1
Câu 10: [1D3-2-3] Cho dãy số  un  với un  2
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n 1
1
A. un 1 
.
B. un  un 1 .
2
 n  1  1

C. Đây là một dãy số tăng.

D. Bị chặn dưới.
Lời giải

Chọn B
Ta có un 1 

1

 n  1

Dó đó un1  u n 

2

1



1
n  2n  2
2

1
1
2n  1
 2
 2
0
n  2n  2 n  1  n  1 n2  2n  2 
2

Nên ta suy ra điều đã có mâu thuẫn.
Câu 11: [1D3-2-3] Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001;... . Số hạng tổng

quát của dãy số này có dạng?


,00
01 .
A. u n  0

...

n chöõsoá 0
1
u n  n 1 .
10

B. u n 

1
u

0
,
00
...
01
.
C.
.
n


10 n 1
n1 chöõsoá 0

D.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có:
Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0
Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0
Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0
…………………………….
Suy ra un có n chữ số 0 .

u1  5
.Số hạng tổng quát u n của dãy số là số
u n 1  u n  n

Câu 12: [1D3-2-3] Cho dãy số u n  với 

hạng nào dưới đây?
(n  1)n
A. u n 
.
2
(n  1)n
C. u n  5 
.
2

(n  1)n
.
2
(n  1)(n  2)
D. u n  5 
.
2
Hướng dẫn giải

B. u n  5 

Chọn B
Ta có un  5  1  2  3  ...  n  1  5 

n  n  1
.
2

u1  1
2 n . Số hạng tổng quát u n của dãy số
un1  un   1

Câu 13: [1D3-2-3] Cho dãy số  un  với 

là số hạng nào dưới đây?
B. un  1  n .

A. un  1  n .

C. un  1   1 .
2n

D. un  n .

Lời giải
Chọn D
Ta có: un1  un   1  un  1  u2  2; u3  3; u4  4;... Dễ dàng dự đoán được
2n

un  n
Thật vậy, ta chứng minh được un  n * bằng phương pháp quy nạp như sau:


+ Với n  1  u1  1 . Vậy * đúng với n  1
+ Giả sử * đúng với mọi n  k  k 

*

 , ta có: u

k

 k . Ta đi chứng minh * cũng

đúng với n  k  1 , tức là: uk 1  k  1
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số  un  ta có: uk 1  uk   1  k  1 . Vậy
2k

 *

đúng với mọi n 

*

.
u1  1

Câu 14: [1D3-2-3] Cho dãy số  un  với 

2
un 1  un  n

. Số hạng tổng quát un của dãy số là số

hạng nào dưới đây?
n  n  1 2n  1
A. un  1 
.
6
n  n  1 2n  1
C. un  1 
.
6

n  n  1 2n  2 
.
6
n  n  1 2n  2 
D. un  1 
.
6

B. un  1 

Lời giải
Chọn C

Ta

u1  1

2
u2  u1  1

2
.
u3  u2  2
...

u  u   n  12
n 1
 n

có:

un  1  12  22  ...   n  1  1 
2

Câu 15: [1D3-2-3] Cho dãy số  un 

Cộng

hai

ta

vế

n  n  1 2n  1
.
6

u1  2
với un 1  un  2n  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là

số hạng nào dưới đây?
A. un  2   n  1 .
2

B. un  2  n2 .

un  2   n  1 .
2

Lời giải
Chọn A

được

C. un  2   n  1 .
2

D.


Ta

có:

u1  2
u  u  1
1
 2
.
u3  u2  3
...

un  un 1  2n  3

Cộng

hai

vế

ta

được

un  2  1  3  5  ...   2n  3  2   n  1 .
2

u1  2

Câu 16: [1D3-2-3] Cho dãy số  un  với 
1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy
u


2

n

1

un

số này là:
n 1
n 1
n 1
A. un  
.
B. un 
.
C. un  
.
D.
n
n
n
n
un  
.
n 1
Lời giải
Chọn C
3
4
n 1
5
Ta có: u1   ; u2   ; u3   ;... Dễ dàng dự đoán được un  
.
2
3
n
4
Câu 17: [1D3-2-3] Cho dãy số  un 

1

u1 
với 
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số
2
un 1  un  2

này là:
A. un 
un 

1
 2  n  1 .
2

B. un 

1
 2  n  1 .
2

C. un 

1
 2n .
2

D.

1
 2n .
2

Lời giải
Chọn B

1

u1  2

u2  u1  2
1
1

Ta có: u3  u2  2 . Cộng hai vế ta được un   2  2...  2   2  n  1 .
2
2
...

un  un 1  2



Câu 18: [1D3-2-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018)Cho dãy số (un ) thỏa

2 2
un  a , n 
3
Giá trị của biểu thức T  ab là
mãn: u1  1 ; un 1 
A. 2 .

*

. Biết rằng lim  u12  u22  ...  un2  2n   b .

B. 1 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn A.
Ta có n 

un 1 

*

,

2 2
2
un  a  un21  3a   un2  3a  .
3
3

Đặt vn  un2  3a thì  vn  là cấp số nhân với v1  1  3a và công bội q 
2
Do đó vn   
3

n 1

2
1  3a   un2  vn  3a   
 3

n 1

2
.
3

1  3a   3a .

Suy ra
n

2
1  
  2 n 
3
u12  u22  ...  un2  2n  1  3a     2n  3na  3 1  3a  1      n  3a  2 
 3 
2


1
3
.
Vì lim  u12  u22  ...  un2  2n   b nên
2



  2 n 

3a  2  0
a 
lim  3 1  3a  1      n  3a  2    b  

3 ,
 3 


b

3
1

3
a









b  3

suy ra T  ab  2 .

Câu 19: [1D3-2-3] (THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - LẦN 1 - 2017 - 2018) Tính tổng
S  1  2.2  3.2 2  4.2 3  ........  2018.2 2017

A. S  2017.22018  1 .
S  2019.22018  1 .

B. S  2017.22018 .

Lời giải
Chọn A

C. S  2018.22018  1 . D.


Ta có A  1  2  22  23  ...  2n  2n1  1
Xét 2S  1.2  2.2 2  3.2 3  4.2 4  ...  2017.2 2017  2018.2 2018
Và S  1  2.2  3.2 2  4.2 3  ...  2017.2 2016  2018.2 2017
Suy

S  2018.22018  1  2  22  23  ...  22017 

ra

 2018.22018   22018  1  2017.22018  1 .
Câu 20: [1D3-2-3] (Tổng Hợp Đề SGD Nam Định - 2017 - 2018 - BTN) Cho dãy số  un 
u1  1
xác định bởi 
3
un 1  un  n , n 

*

. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho

un  1  2039190 .

B. n  2019 .

A. n  2017 .
n  2018 .

C. n  2020 .

D.

Hướng dẫn giải
Chọn C

u1  1

3
u2  u1  1
3

Ta có u3  u2  23  un  1  13  23  ...   n  1
.................

un 1  un  n3

 n  n  1 
Ta lại có 1  2  ...   n  1  1  2  3  ...  n  1  

2 

3

3

3

 n  n  1 
Suy ra un  1  

2 


Theo giả thiết ta có

2

2

2

un  1  2039190 

n  n  1
 2039190
2

n  2020
mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên
 n  n  1  4078380  
n  2019
n  2020 .


Câu 21: [1D3-2-3] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho
dãy số  un 

u1  cos   0     

xác định bởi 
. Số hạng thứ 2017 của dãy số đã
1  un
u

,

n

1
 n 1
2


cho là

  
.
 22017 

A. u2017  sin 

  
  
. C. u2017  cos  2016  . D.
2017 
2 
2 

B. u2017  cos 

  
u2017  sin  2016  .
2 
Lời giải
Chọn C
Do 0     nên
Ta có u2 

u3 

1  cos 


 cos 2  cos .
2
2
2
1  cos



2  cos 2   cos 
2
4
4

  
Vậy un  cos  n1  với mọi n 
2 

*

. Ta sẽ chứng mình bằng quy nạp.

Với n  1 đúng.
Giả sử với n  k 

*

  
  
ta có uk  cos  k 1  . Ta chứng minh uk 1  cos  k 1  .
2 
2 

  
1  cos  k 1 
2 
1  uk



 cos 2  k   cos  k  .
Thật vậy uk 1 
2 
2 
2
2
  
Từ đó ta có u2017  cos  2016  .
2 
Câu 22: [1D3-2-3] (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho dãy số

 un 

u1  2
được xác định như sau: 
un 1  4un  4  5n  n  1

Tính tổng S  u2018  2u2017 .
A. S  2015  3.4 2017 .
S  2016  3.4 2018

B. S  2015  3.42017

C. S  2016  3.42018

Lời giải
Chọn C
Đặt: un  vn  n suy ra v1  u1  1  3 và vn 1  4vn  5

D.


Đặt vn  yn  1 suy ra y1  2 và yn 1  4 yn
 yn   1

n 1

.22 n1 ; un  yn  n  1   1

Do đó S  u2018  2u2017  2015  3.42017 .

n 1

.22 n1  n  1



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×