Tải bản đầy đủ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Câu 1: [1D1-3-3] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Phương trình lượng giác:
cos3x  cos 2x  9sin x  4  0 trên khoảng  0;3  . Tổng số nghiệm của phương
trình trên là:
A.

25
.
6

B. 6 .

C. Kết quả khác.

D.

11
.
3

Lời giải
Chọn B

Ta có cos3x  cos 2x  9sin x  4  0
 4 cos3 x  3cos x  2sin 2 x  9sin x  5  0

 cos x 1  4sin 2 x    2sin x  1 sin x  5  0

  2sin x  1  cos x  2sin x cos x  sin x  5   0
 2sin x  1  0

sin x  cos x  2sin x cos x  5  0

1
 2



x   k 2

1
6
Giải 1 , ta có 1  sin x   
.
5
2
 x    k 2

6
Với x   0;3  nên 1 có các nghiệm thoả bài toán là: x 
x


6

, x

13
5
, x
,
6
6



17
.
6



Giải  2  , đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   với t  2 .
4

Khi đó t 2  1  2sin x cos x  2sin x cos x  1  t 2 ;
Phương trình  2  trở thành t  1  t 2  5  0  t 2  t  4  0 phương trình vô nghiệm.
Vậy tổng các nghiệm là:
Câu 2:


6



13 5 17


 6 .
6
6
6

[1D1-3-3] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho phương trình
3 tan x  1  sin x  2 cos x   m  sin x  3cos x  . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên

tham số m thuộc đoạn  2018; 2018 để phương trình trên có nghiệm duy nhất

 
x   0;  ?
 2
A. 2018 .

B. 2015 .

C. 4036 .
Lời giải

Chọn A

 
Với x   0;  thì cos x  0 , chia hai vế cho cos x , ta được:
 2

D. 2016 .


3 tan x  1  sin x  2 cos x   m  sin x  3cos x 
 3 tan x  1  tan x  2   m  tan x  3 

3 tan x  1  tan x  2 
 m . 1
tan x  3

 
Đặt t  tan x  1 , x   0;   t   0;    .
 2

 g t  

3t  t 2  1
t2  2

Xét hàm g  t  

Khi

1

đó:

 m .  2

3t  t 2  1
t2  2

trên  0;    . g   t  

3t 4  15t 2  6

t 2  2

2

 0, t  0 .

m 
Suy ra để thỏa yêu cầu bài toán  m  g  0   0 . Mà 
.
m   2018; 2018
Suy ra m1; 2;3;...; 2018 .
Câu 3:

[1D1-3-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Phương trình
1  sin x  1  cos x  m có nghiệm khi và chỉ khi
A. 2  m  2 .
0  m 1.

B. 1  m  4  2 2 . C. 1  m  2 .

D.

Lời giải
Chọn B
TXĐ: D 

.
P  1  sin x  1  cos x

Đặt
 P 2  2  sin x  cos x  2 1  sin x  cos x  sin x cos x .



Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x    t   2 ; 2  .


4

Khi đó t 2  1  2sin x cos x  sin x cos x 

Vậy P 2  2  t  2 1  t 

t 2 1
.
2

t 2 1
 2  t  2 t 1 .
2





TH1:  2  t  1 thì P2  1  2 t  2  2 . Khi đó 1  P2  4  2 2 .





TH2: 1  t  2 thì P2  1  2 t  2  2 . Khi đó 1  P2  4  2 2 .
Vậy 1  P2  4  2 2 mà P  0 nên 1  P 2  4  2 2  1  P  4  2 2 .


Phương trình có nghiệm khi 1  m  4  2 2 .
(Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Tìm góc

Câu 4: [1D1-3-3]

    
   ; ; ;  để phương trình cos 2 x  3 sin 2 x  2 cos x  0 tương đương với

6 4 3 2
phương trình cos  2 x     cos x .
A.  


6

B.  

.


4

C.  

.


2

D.  

.


3

.

Lời giải
Chọn D

 k 2

x 
 2 x    x  k 2

cos  2 x     cos x  

3
3

 2 x     x  k 2
 x    k 2
1
3
cos 2 x  3 sin 2 x  2 cos x  0  cos 2 x 
sin 2 x  cos x
2
2



x   k 2



3
 cos  2 x    cos x  
3

 x    k 2

9
3
 
 3  9

Để hai phương trình tương đương cần có 
  .
3
  

3
(THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018)
Cho phương trình
m sin x  4cos x  2m  5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
phương trình có nghiệm?
A. 4 .
B. 7 .
C. 6 .
D. 5 .

Câu 5: [1D1-3-3]

Lời giải
Chọn C
Điều
kiện

để

phương

trình

m sin x  4cos x  2m  5

m2  16   2m  5  3m2  20m  9  0 
2

Câu 6: Vậy m  1, 2,3, 4,5, 6 . [1D1-3-3]



nghiệm



10  73
10  73
.
m
3
3

(THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Tìm

tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm.
A. m  4 .

B. m  4 .

C. m  4 .

4  m  4 .
Lời giải

D.


Chọn D
Ta có phương trình a sin x  b cos x  c  0 có nghiệm khi a 2  b 2  c 2 . Vậy để phương trình
vô nghiệm thì a 2  b 2  c 2 .
Xét phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm khi 32  m 2  52  m 2  16  m  4
Vậy 4  m  4 .
Câu 7: [1D1-3-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm tất cả các nghiệm
của phương trình cos3x  sin 2 x  sin 4 x  0 .


2
, k .
k
6
3


B. x   k , k  .
6
3
5


C. x  k ; x   k 2 ; x 
 k 2 , k  .
6
6
3



D. x   k ; x    k 2 , k  .
6
3
3
A. x 

Lời giải
Chọn B
Ta

cos3x  sin 2 x  sin 4 x  0
 cos3x  2cos3x.sin x  0  cos3x 1  2sin x   0
có:




x  6  k 3

cos3x  0
cos3 x  0




 x   k 2 , k 
1

sin x 
6
1  2sin x  0

2

 x  5  k 2

6
k .
Câu 8:

x



k ,
6
3

[1D1-3-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho phương trình
  

4sin  x   cos  x    a 2  3 sin 2 x  cos 2 x 1 . Gọi n là số giá trị nguyên
3
6



của tham số a để phương trình 1 có nghiệm. Tính n .
A. n  5 .

B. n  3 .

C. n  2 .
Lời giải

Chọn A

 
 
Ta có 1  2  sin  2 x    1  a 2  3 sin 2 x  cos 2 x
6 
 

a2

a2



 sin  2 x    cos 2 x   1 .
 sin  2 x    1 
2
6
2
6



D. n  1 .


Phương trình 1 có nghiệm 

a2
 1  1  2  a  2 , Do a  nên
2

a  0; a  1; a  2 Vậy n  5 .

(THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Có bao nhiêu giá
trị nguyên của tham số m để phương trình cos3x  cos 2x  m cos x  1 có đúng

Câu 9: [1D1-3-3]

 

bảy nghiệm khác nhau thuộc khoảng   ; 2  ?
 2

A. 3

B. 5

C. 7

D. 1

Lời giải
Chọn D

cos3x  cos 2x  m cos x  1
 4cos3 x  3cos x   2cos2 x  1  m cos x  1
 4cos3 x  2cos 2 x   m  3 cos x  0
Đặt cos x  t với t   1;1 . Ta có
t  0
 2
 4t  2t   m  3  0 *

Với t  0 thì cos x  0  x 


2

 k , có 2 nghiệm là

 3
 

;
thuộc   ; 2  .
2 2
 2


Với mỗi giá trị t   0; 1 thì phương trình cos x  t có 3 nghiệm của thuộc

 

  ; 2  .
 2

Với mỗi giá trị t   1;0 thì phương trình cos x  t có 2 nghiệm của thuộc

 

  ; 2  .
 2

 

Với t  1 thì phương trình cos x  t có 1 nghiệm của thuộc   ; 2  .
 2

Để pt có đúng 7 nghiệm thỏa mãn thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm t1 ; t2 thỏa
mãn điều kiện: 1  t1  0  t2  1 .

*  m  4t 2  2t  3


Từ bảng biến thiên trên ta có m 1;3 . Vậy m  2 .
Câu 10: [1D1-3-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tất cả các giá trị của

 
m để phương trình cos 2 x   2m  1 cos x  m  1  0 có đúng 2 nghiệm x    ; 
 2 2 

A. 1  m  1 .
B. 1  m  0 .
C. 0  m  1 .
D.
0  m  1.
Lời giải
Chọn C
Ta có
cos 2 x   2m  1 cos x  m  1  0  2cos 2 x   2m  1 cos x  m  0
1

cos x  

  2cos x  1 cos x  m   0 
2.

cos x  m
 

Phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x    ;  khi và chỉ khi 0  cos x  1 nên
 2 2 
1
loại cos x  
2
 
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x    ;  khi và chỉ khi 0  m  1 .
 2 2 

Câu 11: [1D1-3-3] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU
LONG-LẦN 2-2018) Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình

 sin x 1  2cos2 x   2m  1 cos x  m  0
thuộc đoạn  0; 2  .
A. 3

có đúng bốn nghiệm thực phân biệt

B. 1

C. 2

D. 4

Lời giải
Chọn B



x

2


sin x  1
x  

2
 sin x 1  2cos x   2m  1 cos x  m  0  cos x  m   3 .


1
 x  5
cos x 
3


2
cos x  m



Để có 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  0; 2  thì phương trình
cos x  m phải có đúng 1 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  0; 2 

 m  1
Vậy có 1 giá trị m duy nhất để thỏa mãn yêu cầu bài toán.
(THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Cho phương
trình cos 2 x   2m  3 cos x  m  1  0 ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực

Câu 12: [1D1-3-3]

  3
của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng  ;
2 2
A. 1  m  2

B. m  2


.


C. m  1

D. m  1

Lời giải
Chọn A

cos 2 x   2m  3 cos x  m  1  0  2cos2 x   2m  3 cos x  m  2  0

  3 
  2cos x  1 cos x  2  m   0  cos x  2  m  0 , vì x   ; 
2 2 

 cos x  m  2
Ycbt  1  m  2  0  1  m  2
Câu 13: [1D1-3-3]

(THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Tìm m để phương

trình 1  sin x   sin x 

A.

1
6
m
2
2

1
 m có nghiệm.
2
C. 0  m  3

B. 0  m  1

D.

6
m 3
2
Lời giải
Chọn D

1
 1

Đặt t  sin x   t  1 , phương trình trở thành 1  t  t   m
2
 2



3
3
t 1  1
 1

 2 1  t   t    m 2  m  0  Đặt f  t    2 t 2     t  1
2
2
2 2  2
 2



f  t  

2t 
t 2 

1
2

t 1

2 2

, f  t   0  t 

1
1
 1 3
 f    3 , f 1  f     .
4
4
 2 2

Ta có BBT:

Phương trình đã cho có nghiệm khi

3
6
 m2  3 
m 3.
2
2

(THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Điều kiện của

Câu 14: [1D1-3-3]

tham số thực m để phương trình sin x   m  1 cos x  2 vô nghiệm là:

m  0
A. 
.
 m  2
m  0.

C. 2  m  0 .

B. m  2 .

D.

Lời giải

Chọn C
Để phương trình sin x   m  1 cos x  2 vô nghiệm thì

12   m  1 
2

 2

2

 2  m  0 .

Câu 15: [1D1-3-3] (Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Tìm tất cả giá trị nguyên của
m để phương trình 8sin 2 x   m  1 sin 2 x  2m  6  0 có nghiệm.
A. 3 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn B

8sin 2 x   m  1 sin 2 x  2m  6  0  8sin 2 x  4   m  1 sin 2 x  2m  2  0
 4cos 2 x   m  1 sin 2 x  2  2m .
Phương

trình



nghiệm

khi:

 4   m  1

 16  m 2  2m  1  4  8m  4m 2  3m 2  6m  13  0 

2

2

  2  2m 

2

3 4 3
3 4 3
.
m
3
3


Vì m

 m  1;0;1; 2;3 .

Câu 16: [1D2-0-2] Có bao nhiêu số tự nhiên ba chữ số đôi một khác nhau mà tổng chữ số đầu
và cuối bằng 10 ?
A. 80 .
B. 64 .
C. 120 .
D. 72 .
Lời giải
Chọn B
Gọi số cần tìm có dạng abc , a  0 .
Ta có a  c  10   a; c    9;1 ,  8; 2  ,  7;3 ,  6; 4  .
Chọn a , c có 2!.4  8 (cách).
Chọn b có 8 (cách) (do b  a; c ).
Vậy có 8.8  64 số thỏa đề bài.
Câu 17: [1D1-3-3]

(SGD Hà Nam - Năm 2018) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số

thực m để phương trình 2  m  1  sin 2 x    4m  1 cos x  0 có nghiệm thuộc

 π 3π 
khoảng  ;  .
2 2 
1

A.  ;   .
2

.

 1 
C.   ;0 .
 2 

 1 
B.   ;0  .
 2 

D.  0;  

Lời giải
Chọn B
Đặt t  cos x , t   1;0  thì phương trình đã cho trở thành 2  m  t 2    4m  1 t  0

 2t 2  t  m  4t  2   t  2t  1  2m  2t  1  t  2m (do t 

1
)
2

 1 
Phương trình có nghiệm khi 2m   1;0   m   ;0  .
2 
Câu 18: [1D1-3-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Gọi S là tập hợp
tất cả các nghiệm thuộc khoảng  0; 2018  của phương trình sau:

3 1  cos 2 x   sin 2 x  4cos x  8  4
Tính tổng tất cả các phần tử của S .





3  1 sin x


A. 103255 .

B.

310408
.
3

C.

312341
.
3

D.

102827 .
Lời giải
Chọn B
Ta có

3 1  cos 2 x   sin 2 x  4cos x  8  4





3  1 sin x

 2 3 sin 2 x  2sin x cos x  4cos x  4 3 sin x  4sin x  8  0

 2sin x



 



3 sin x  cos x  2  4

 2  sin x  2 



3 sin x  cos x  2  0



3 sin x  cos x  2  0


π

 3 sin x  cos x  2  0  sin  x    1  x   k 2 , k  .
3
6

Vì x   0; 2018 nên 0 

0;1; 2;...;321 .



1
1009 1
 k 2  2018    k 
 k
3
6
π
6



 

Suy ra S   ;  2 ;  2.2 ;...;  321.2 
3
3
3 3

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là T  322.



3

 2 1  2  3  ...  321

310408
.
3

Câu 19: [1D1-3-3] (Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Số nghiệm thuộc đoạn  0;  

của phương trình cos x  cos 2x  cos3x 1  0 là
B. 3 .

A. 4 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn B
Ta



 cos x   2cos x  1   4cos x  3cos x   1  0
2

3

 4 cos3 x  2 cos 2 x  4 cos x  2  0 .

cos x  cos 2x  cos3x 1  0



x  0
cos x  1


2
x 0; 
.
 cos x  1   x 
3


1
x  
cos x  


2
Câu 20: [1D1-3-3] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất của hàm số y 
A. m  1; M 

1
.
2

sin x  cos x
lần lượt là:
2sin x  cos x  3
1
C. m   ; M  1 .
2

B. m  1; M  2 .

D.

m  1; M  2 .

Lời giải
Chọn B
Ta có: 2sin x  cos x  3  0 với x 

y

.

sin x  cos x
 y  2sin x  cos x  3  sin x  cos x .
2sin x  cos x  3

  2 y  1 sin x    y  1 cos x  3 y (*).
Hàm số y 

sin x  cos x
xác định với x 
2sin x  cos x  3

nên (*) có nghiệm.

  2 y  1    y  1   3 y  .
2

2

2

 1  y  2 .

Nên giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 
là: m  1; M  2 .

sin x  cos x
lần lượt
2sin x  cos x  3

Câu 21: [1D1-3-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Các nghiệm

của phương trình 2 1  cos x  1  cot 2 x  

sin x  1
được biểu diễn bởi bao
sin x  cos x

nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác ?
A. 3 .

B. 2 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn D

 sin x  0
Điều kiện 
sin x  cos x  0

D. 1 .


Ta có 2 1  cos x  sin x  cos x   sin 2 x.  sin x  1

 2 1  cos x  sin x  cos x   1  cos 2 x  .  sin x  1
 1  cos x  sin x  cos x  sin x cos x  1  0

cos x  1
2
 1  cos x  1  sin x   0  
 sin x  1
Chỉ có sin x  1 là thỏa điều kiện ban đầu.
Vậy các nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi 1 điểm trên đường tròn lượng
giác.
Câu 22: [1D1-3-3] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Cho

m
. Số các giá trị nguyên dương của m
cos x
nhỏ hơn 10 để phương trình có nghiệm là:

phương trình m sin x   m  1 cos x 

A. 9 .

B. 8 .

C. 10 .

D. 7 .

Lời giải
Chọn A
m sin x   m  1 cos x 

m
 m sin x cos x   m  1 cos 2 x  m 
cos x

m
m 1
sin 2 x 
1  cos 2 x   m  m sin 2 x   m  1 cos 2 x  m  1  0 có nghiêm
2
2
khi và chỉ khi

m  4
2
2
. Do đó số các giá trị nguyên
m2   m  1  1  m   m2  4m  0  
m  0
dương của m nhỏ hơn 10 là 9 .
Câu 23: [1D1-3-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho x0 là nghiệm



của phương trình sin x cos x  2  sin x  cos x   2 thì giá trị của P  sin  x0   là
4

2
.
2

A. P 

P

C. P 

B. P  1 .

2
.
2
Lời giải

Chọn A

1
.
2

D.




Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   , t   2; 2  .


4

Ta có t 2  sin 2 x  cos 2 x  2sin x.cos x  1  2sin x.cos x , suy ra sin x.cos x 

t 2 1
2

.
Phương trình đã cho trở thành

t  1
t 2 1
.
 2t  2  t 2  4t  5  0  
2
t  5   2; 2 
Từ đó ta có



2


.
2 sin  x    1  sin  x   
4
4 2




2

Như vậy P  sin  x0   
.
4 2

BẢNG ĐÁP ÁN
1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

B

A D A

C

A B

C

A B

A

C

D

B

C

C

A A B

D D A D B

B

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
C

D D D

B

D B

D B

A A A D

C

C

B

C

A C

C

C

C

B

C

Câu 24: [1D1-3-3] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính tổng
3sin x  cos x  4
tất cả các giá trị nguyên của hàm số y 
.
2sin x  cos x  3
A. 8 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 9 .
Lời giải
Chọn C
y

3sin x  cos x  4
  2sin x  cos x  3 y  3sin x  cos x  4
2sin x  cos x  3

  2 y  3 sin x   y  1 cos x  3 y  4  0
Điều kiện phương trình có nghiệm:  2 y  3   y  1   4  3 y 
2

2

2

 4 y 2  12 y  9  y 2  2 y  1  16  24 y  9 y 2  4 y 2  14 y  6  0 

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên bằng 6 .

1
 y  3.
2

A


(THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho phương

Câu 25: [1D1-3-3]

trình sin 2018 x  cos2018 x  2  sin 2020 x  cos2020 x  . Tính tổng các nghiệm của phương
trình trong khoảng  0; 2018
2

 1285 
A. 
 
 4 

B.  643 

C.  642  

2

2

D.

2

 1285 

 
 2 
Lời giải
Chọn D

sin 2018 x  cos2018 x  2  sin 2020 x  cos2020 x 
 sin 2018 x 1  2sin 2 x   cos2018 x 1  2cos2 x   0
cos 2 x  0
 sin 2018 x.cos 2 x  cos 2018 x cos 2 x  0   2018
.
2018
sin x  cos x

+ cos 2x  0  2 x 



 k  x 

2


4



k
k 
2

+ sin 2018 x  cos 2018 x  tan 2018 x  1 ( x 
 x


4

 k  k 

  2  . Từ 1


2

 1

 k không là nghiệm)  tan x  1

và  2  ta có x 


4



k
k 
2

 là nghiệm của

pt.
Do x   0; 2018   0 


4



k
 2018  0  k  1284, k  .
2

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng  0; 2018 bằng







2

1284.1285
 1285 
.1285  1  2  ...  1284   .1285 
 
 .
4
2 4
4
 2 

Câu 26: [1D1-3-3]

(Sở Ninh Bình - Lần 1 - 2018 - BTN)

Cho phương trình



tan x  tan  x    1 . Diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng
4

giác biểu diễn các họ nghiệm của phương trình gần với số nào nhất trong các số dưới
đây?
A. 0,948

B. 0,949

C. 0,946
Lời giải

D. 0, 947


Chọn B



cos x  0
x

 k


2
Điều kiện  

,k  .

cos
x


0




 x   k
4
 

4
Với điều kiện trên, phương trình trở thành tan x 

tan x  1
1
1  tan x

 x  m
 tan x  0
 tan 2 x  tan x  0  

,m


tan
x


1
x



m



4

(thỏa điều kiện)


 2
2 2
2
;
;
Gọi A 1;0  , B  
 , C  1;0  và D 
 là các điểm biểu diễn tập
2 
 2 2 
 2
nghiệm của phương trình đã cho

Ta có tứ giác ABCD là hình chữ nhật có AB  2  2 ; AD  2  2 .
Khi đó S ABCD  AB. AD  2  1, 41 .
Câu 27: [1D1-3-3] (THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm tất cả các

giá trị của m để phương trình sin 4 x  cos 4 x  cos 2 4 x  m có bốn nghiệm phân biệt

  
thuộc đoạn   ;  .
 4 4
A. m 
C.

47
3
hoặc m  .
64
2

47
3
m .
64
2

B.

47
3
m .
64
2

D.

47
3
m .
64
2

Lời giải
Chọn C

sin 4 x  cos4 x  cos2 4 x  m  sin 2 x  cos 2 x   2sin 2 x.cos 2 x  cos 2 4 x  m .
2


sin 2 2 x
3 cos4x
 1
 cos 2 4 x  m  
 cos 2 4 x  m .
2
4
4

Đặt t  cos4x , t   1;1 .
Phương trình trở thành
Xét hàm số f  t  

3 t 2
 t  m .
4 4

3 t 2
  t , t   1;1 .
4 4

1
1
f   t   2t  0  t  
4
8
3
 1  47
, f  1  , f 1  2 .
f   
2
 8  64

Phương trình sin 4 x  cos 4 x  cos 2 4 x  m có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn

  
  4 ; 4  .
Khi và chỉ khi phương trình f  t   m có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1;1 .


47
3
m .
64
2

Câu 28: [1D1-3-3] (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của

9 

 15 
phương trình sin  2 x    3cos  x 
  1  2sin x với x   0;2 là:
2 
2 


A. 6 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn D

9 

 15 
sin  2 x    3cos  x 
  1  2sin x
2 
2 






 sin  2 x    3cos  x    1  2sin x  cos2x  3sin x  1  2sin x
2
2



 x  k
sin x  0


2

 2sin x  sin x  0 
  x   k 2  k 
1
sin x 

6

2

5
x 
 k 2
6





 5 

 . Vậy có 4 nghiệm. [1D1-3-3] (THPT Đức Thọ 6 6

Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình

Câu 29: Do x   0;2 nên x  0; ; ;



cos2 x  sin 2 x  2  cos2   x  trên khoảng  0;3  là
2

A. 2 .

B. 3 .

C. 4.

D. 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn B



cos2 x  sin 2 x  2  cos2   x   cos2 x  sin 2 x  2  sin 2 x
2


 cos 2 x  sin 2 x  2







 2 cos  2 x    2  cos  2 x    1  2 x   k 2  x    k
4
8
4
4


k  
Trên  0;3   x 

Câu 30:

15
23
7
, x
, x
.
8
8
8

[1D1-3-3] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Từ phương trình


1  5  sin x  cos x   sin 2 x  1  5  0 ta tìm được sin  x   có giá trị bằng:
4




A.



3
.
2

B. 

2
.
2

C.

2
.
2

D. 

3
.
2

Lời giải
Chọn C





Ta có 1  5  sin x  cos x   sin 2 x  1  5  0

sin x  cos x  1  tm 
2
.
   sin x  cos x   1  5  sin x  cos x   5  0  
sin x  cos x  5  l 





2
  1
Do đó sin  x   
 sin x  cos x   .
4
2
2

Câu 31: [1D1-3-3](THPT LƯƠNG TÀI - BẮC NINH - LẦN 2 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm tất

cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình sin

x
x
  m  1 .cos  5 vô
2
2

nghiệm ?
A. m  3 hoặc m  1 .

B. 1  m  3 .

C. m  3 hoặc m  1 .

D. 1  m  3 .


Lời giải
Chọn D
Phương trình sin

x
x
  m  1 .cos  5 vô nghiệm khi
2
2

a 2  b 2  c 2  1   m  1  5  m2  2m  3  0  1  m  3 .
2

Câu 32: [1D1-3-3] (THPT LƯƠNG TÀI - BẮC NINH - LẦN 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho

1  cos x  cos 2 x  cos x   sin 2 x  0 . Tính tổng các nghiệm nằm

phương trình

cos x  1
trong khoảng  0; 2018  của phương trình đã cho?
B. 2037171 .

A. 1019090 .
1017072 .

C. 2035153 .

D.

Lời giải
Chọn D
Điều kiện: x    k 2 , k  .

1  cos x  cos 2 x  cos x   sin 2 x  0


cos x  1
1  cos x  cos 2 x  cos x   1  cos2 x



 0

cos x  1
 cos 2x  cos x 1  cos x  0  cos 2x  1  x  k , k  . Đối chiếu điều kiện
ta thấy với k lẻ sẽ không thỏa. Vậy các nghiệm thuộc  0; 2018  của phương trình

Khi đó, 2 ; 4 ;6 ;...; 2016  , có tất cả 1008 nghiệm.
Tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng  0; 2018  :
S  x1  x2  ...  x1008 

1008
 2  2016   1017072 .
2

Câu 33: [1D1-3-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Gọi S là tập hợp

các

nghiệm

thuộc

 0;100 

khoảng

của

phương

trình

D.

7550
.
3

2

x
x

 sin  cos   3 cos x  3 . Tổng các phần tử của S là
2
2

A.

7400
.
3

B.

7525
.
3

C.

7375
.
3

Lời giải
Chọn C
2

Ta



 sin x  3 cos x  2

x
x

 sin  cos   3 cos x  3  1  sin x  3 cos x  3
2
2




1
3


 sin x 
cos x  1  sin  x    1  x   k 2 , k  .
6
2
2
3


1
599
Theo đề bài cho ta có 0  x  100  0   k 2  100    k 
12
6
12
Mà k   k  0;1;2;3;4,....;48;49
S

Vậy

50
 2 1  2  3  4  .....  49 
6
49  49  1 7375
50

 2

.
6
2
3


6




6

 2 


6

 2  2  ...... 


6

 49  2



Câu 34: [1D1-3-3] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) 2018 nghiệm trên khoảng  0; 2 

của phương trình 27 cos 4 x  8sin x  12 là:
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn D
Ta có: 27 cos 4 x  8sin x  12  27 sin 4 x  54sin 2 x  8sin x  15  0

  3sin 2 x  2sin x  3 9sin 2 x  6sin x  5  0
3sin 2 x  2sin x  3  0

2
9sin x  6sin x  5  0

1  10
  1;1
sin x 
3
 3sin 2 x  2sin x  3  0  

1  10
  1;1
sin x 
3


Với sin x 

1  10
trên khoảng  0; 2  phương trình có 2 nghiệm.(dựa vào
3

2018 giao điểm giữa đồ thị hàm 2018 y  sin x và đường thẳng y 

1 6
  1;1
sin x 
3
2

9sin
x

6sin
x

5

0



1 6
  1;1
sin x 
3


1  10
).
3


Với sin x 

1 6
trên khoảng  0; 2  phương trình có 2 nghiệm.(dựa vào 2018
3

giao điểm giữa đồ thị hàm 2018 y  sin x và đường thẳng y 

1 6
).
3

Vậy trên khoảng  0; 2  phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Câu 35: [1D1-3-3] Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 4sin 2 x  3 3 sin 2 x  2 cos 2 x  4 là:

A. x 


6

B. x 

.



C. x 

4

.


3

D. x 

.


2

Lời giải
Chọn A
Ta có
4sin 2 x  3 3 sin 2 x  2 cos 2 x  4  2 1  cos 2 x   3 3 sin 2 x  1  cos 2 x   4

 3 sin 2 x  cos 2 x  1 

3
1
1
 1

sin 2 x  cos 2 x   sin  2 x   
2
2
2
6 2


 



2
x

  k 2
x   k



6 6
6


 nghiệm dương nhỏ nhất là x  .
6
 2 x    5  k 2
 x    k


6
6

2
Câu 36: [1D1-3-3] Nghiệm của phương trình sin 2 x  3 sin x cos x  1 là:

A. x 


2

C. x  

 k ; x 


6


6

 k .

 k 2 ; x  

B. x 

5
 k 2 .
6

D. x 
Lời giải

Chọn A
Ta có
1  cos 2 x
3

sin 2 x  1
2
2
3
1
1
 1


sin 2 x  cos 2 x   sin  2 x   
2
2
2
6 2


sin 2 x  3 sin x cos x  1 


2


6

 k 2 ; x 
 k 2 ; x 


6

 k 2 .

5
 k 2 .
6

.


 



 2 x  6  6  k 2
 x  6  k
.



5


2 x  
 x   k
 k 2


6
6
2
Câu 37: [1D1-3-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018)Gọi S là tập hợp tất cả
các nghiệm thuộc khoảng  0; 2023 của phương trình lượng giác

3 1  cos 2 x   sin 2 x  4cos x  8  4





3  1 sin x . Tổng tất cả các phần tử của S


310408
.
3
104760 .

A.

B. 102827 .

C.

312341
.
3

D.

Lời giải
Chọn A.
Ta có

3 1  cos 2 x   sin 2 x  4cos x  8  4

 2 3 sin 2 x  2sin x cos x  4cos x  8  4







3  1 sin x



3  1 sin x

 2 3 sin x  sin x  2   2 cos x  sin x  2   4  sin x  2 

 2 3 sin x  2 cos x  4 (vì sin x  1  2 )


 3 sin x  cos x  2  sin x cos  cos x sin  1
6
6

 


 sin  x    1  x    k 2  x   k 2  k 
6 2
3
6


Theo đề bài x   0; 2023 

k  0;1;...;321 .

.

1  2023 

 k 2   0; 2023  2k    0;

3
3 
 

Tổng tất cả các phần tử của S là

310408

322.   0  1  2  ...  321 2  322.  51681.2 
.
3
3
3
Câu 38: [1D1-3-3] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Tổng các nghiệm của phương trình

 5 
2 cos 2 x  3 sin 2 x  3 trên  0;  là:
 2 
A.

7
.
6

B.

7
.
3

C.

7
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn C



2 cos 2 x  3 sin 2 x  3  cos 2 x  3 sin 2 x  2  cos  2 x    1
3


D. 2 .


 2x 


3

 k 2  x 

Xét 0  x 


6

 k  k 

.

5

5
 0   k 
 k  0 , k 1, k  2 .
2
6
2

Với k  0  x 


6

; k 1 x 

Vậy tổng các nghiệm bằng

13
7
; k 2 x
.
6
6

7
.
2

3
3
Câu 39: [1D1-3-3]Giải phương trình cos x  sin x  cos2 x .

A. x  k 2 , x 
x  k 2 , x 


2


2

 k , x 

 k  , x 

C. x  k 2 , x 


2


4


4

 k .

B.

 k 2 .

 k  , x 


4

 k .

D. x  k , x 


2

 k , x 


4

 k .

Lời giải
Chọn C

cos3 x  sin 3 x  cos 2 x   cos x  sin x 1  sin x cos x   cos2 x  sin 2 x
cos x  sin x  0 (i)
  cos x  sin x 1  sin x cos x  sin x  cos x   0 
1  sin x cos x  sin x  cos x  0  ii 
+) Giải (i).  i   tan x  1  x 


4

 k .



+) Giải (ii). Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   .  2  t  2 .
4

t 2 1
t  1  2sin x cos x  sin x cos x 
:
2
2

1

t 2 1
 t  0  t 2  2t  1  0  t  1 (tm)
2

 x  k 2





 2 sin  x    1  sin  x    sin  
.
 x    k 2
4
4
4



2


Câu 40: [1D1-3-3]Tìm m để phương trình cos2 x   2m  1 cosx  m  1  0 có đúng 2 nghiệm
 
x   ;  .
 2 2 

A. 1  m  0 .

C. 0  m  1.

B. 0  m  1 .
1  m  1.

D.

Lời giải
Chọn B

1

cos
x


cos 2 x   2m  1 cos x  m  1  0 1  2 cos x   2m  1 cos x  m  0  
2.

cos x  m
2

 
1
Vì x    ;  nên 0  cos x  1 . Do đó cos x   (loại).
 2 2
2
 
Vậy để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm x    ;  khi và chỉ khi
 2 2
0  cos x  1  0  m  1 .

Câu 41: [1D1-3-3]Giải phương trình 1  sinx  cosx  tanx  0 .

A. x    k 2 , x 
C. x    k 2 , x 


4


4



 k .

B. x    k 2 , x    k 2 .

 k 2 .

D. x    k 2 , x    k .

4



4

Lời giải
Chọn D
ĐK: cos x  0 .

1  sin x  cos x  tan x  0 

sin x  cos x
 1

 sin x  cos x  0   sin x  cos x  
 1  0
cos x
 cos x 



x    k
sin x   cos x



.
4

cos x  1
 x    k 2
2
2
2
Câu 42: [1D1-3-3]Giải phương trình sin x  sin x tan x  3 .

A. x  
x


3


6

 k .

B. x  


6

 k 2 .

 k 2 .

Lời giải

C. x  


3

 k .

D.


Chọn C
ĐK: cos x  0  x 


2

 k .

sin 2 x  sin 2 x tan 2 x  3 

sin 4 x  sin 2 x cos 2 x
 3  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x   3cos 2 x
cos 2 x



 tan 2 x  3  tan x   3  x  

3

 k (tm).

2
2
Câu 43: [1D1-3-3]Phương trình 1  cos x  cos x  cos 3 x  sin x  0 tương đương với

phương trình.
A. cos x  cos x  cos3x   0 .

B. cos x  cos x  cos 2 x   0 .

C. sin x  cos x  cos 2 x   0 .

D. cos x  cos x  cos 2 x   0 .
Lời giải

Chọn D
1  cos x  cos2 x  cos3x  sin 2 x  0  1  cos x   cos2 x  sin 2 x   cos3x  0

  cos x  cos3x   cos 2 x  1  0  2cos 2 x cos x  2cos 2 x  0  cos x  cos 2 x  cos x   0.





Câu 44: [1D1-3-3]Giải phương trình 4 sin 4 x  cos4 x  5cos 2 x.

A. x  
x


6


6



 k .

k
2

B. x  


24



k
2

.

C. x  


12



k
2

.

D.

.
Lời giải

Chọn A
4  sin 4 x  cos4 x   5cos 2 x  4 1  2sin 2 x cos 2 x   5cos 2 x

 4  2sin 2 2 x  5cos 2 x  4  2 1  cos 2 2 x   5cos 2 x  2cos 2 2 x  5cos 2 x  2  0

1

cos 2 x 





2  cos 2 x  cos  2 x    k 2  x    k .

3
3
6
cos 2 x  2 (l )
Câu 45: [1D1-3-3]Phương trình sin3x  cos 2x  1  2sin x cos 2 x tương đương với phương

trình


sin x  0
A. 
.
sin x  1

2

sin x  0
B. 
.
sin x  1

sin x  0
C. 
.
sin x  1

sin x  0
.
D. 
sin x   1

2
Lời giải

Chọn A
sin 3x  cos 2 x  1  2sin x cos 2 x  3sin x  4sin 3 x  1  2sin 2 x  1  2sin x 1  2sin 2 x 

sin x  0
 2sin x  sin x  0  
.
sin x  1

2
2

Câu 46: [1D1-3-3]Phương trình


A. cot( x  )   3 .
4

sin x  cos x
 3 tương đương với phương trình.
sin x  cos x


B. tan( x  )  3 .
4



C. tan( x  )   3 . D.
4



cot( x  )  3 .
4

Lời giải
Chọn C
sin x  cos x
 3  sin x  cos x  3  sin x  cos x 
sin x  cos x
1
1
1
 1


sin x 
cos x  3 
sin x 
cos x 
2
2
2
 2








 sin  x     3 cos  x    tan  x     3 .
4
4
4








Câu 47: [1D1-3-3]Giải phương trình sin 3 x  cos3 x  2 sin 5 x  cos5 x .

A. x 
x


4


4

 k .

B. x 


4



k
2

.

 k 2 .

Lời giải
Chọn B

C. x 


4

 k 2 .

D.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×