Tải bản đầy đủ

Phương pháp giải các bài toán toạ độ trong không gian

1

Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779

Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian

Lời nói đầu .
Đây là một tài liệu giúp các em có thêm một số phương pháp học tập mơn Tốn, với những gợi
ý về phương pháp giải Tốn mang tính chất gợi mở.
Trước khi đọc lời giải của dạng tốn, các em nên suy nghĩ, tìm tòi lời giải theo lối tư duy của
mình dựa trên nền tảng kiến thức đã học, cách suy nghĩ của riêng mình hay đã được thầy cơ ở lớp
hướng dẫn, nếu chưa tìm ra hãy cố gắng suy nghĩ thêm một chút nữa. Khi nào các em cảm thấy khó
khăn hay chưa có một phương hướng nào để tìm ra thì mới đọc lời giải cho dạng bài tốn ở tài liệu
này. Trong đây chỉ là một hướng giải cho một bài tốn theo cách thơng thường, chưa phải là cách tốt
nhất và đây là tài liệu trợ giúp mà khơng phải là chìa khố vạn năng. Các em hãy tìm tòi, sáng tạo cho
mình một lối đi riêng, hồn thiện tri thức của mình.
Chúc các em thành cơng !

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
A. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1.Hệ trục toạ độ trong khơng gian.


z

Hệ trục Oxyz gồm Ox,Oy,Oz đơi một vng góc .
Ox : trục hồnh.
Oy : trục tung.
Oz : trục cao.
mp (Oxy) : z = 0
mp (Oyz) : x =0
mp (Ozx) : y=0
Các véctơ đơn vị i , j , k lần lượt thuộc Ox,Oy,Oz

O

x

2.Toạ độ của véctơ.
nếu = x. + y. + z. thì toạ độ véctơ u =(x,y,z) và x: hồnh độ, y: tung độ, z: cao độ.
với i = (1,0,0) , j = (0,1,0) , k =(0,0,1).
3.Các cơng thức liên quan đến toạ độ.
Cho a = (x,y,z)
b = (x’,y’,z’) thì
�x  x '

1 . a = b  �y  y ' (hiểu là :2 véctơ bằng nhau khi hồnh độ,tung độ,cao độ = nhau)
�z  z '

2.

+ b = (x + x’,y + y’, z + z’).
a - b = (x - x’, y - y’, z - z’)
3 k. =(k.x, k.y, k.z)  2 véctơ và cùng phương  = = (điều kiện: khi mẫu ≠ 0)
4 Tích vơ hướng của 2 véctơ là 1 số được xác định bởi cơng thức :
a . b = x.x’ + y.y’
5. Độ dài của 1 vectơ :

b  x' 2  y ' 2  z ' 2
6. Góc giữa 2 véctơ

2



a  x2  y2  z2

a, b ,ký hiệu

( vì

2

a a  a  a

2

)

.

(a, b ) thì : cos(a, b) 

a.b
a .b



x.x' y. y ' z.z '
x 2  y 2  z 2 . x' 2  y ' 2  z ' 2

((vì theo định nghĩa tích vơ hướng : a.b  a . b . cos( a, b)  cos( a, b) 

a.b
a .b

))

4. Tính chất quan trọng của 2 vectơ vng góc : a  b  a.b 0  x.x' y. y ' z.z ' 0

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -###

y


Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779

2

Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian

5.Toạ độ của một điểm: M(x,y,z)  OM ( x, y, z ) hay OM  x.i  y. j  z.k (với O là gốc toạ độ )
M  mp (Oxy ) : z 0  M ( x, y ,0)
Các điểm đặc biệt : Gốc toạ độ: O(0,0,0) và M  mp (Oyz ) : x 0  M (0. y, z )
M  mp (Oxz ) : y 0  M ( x,0, z )
Chú ý : mp (Oxy) do khuyết z nên có z=0)
M  trục Ox (khuyết y,z  y=z=0) nên M(x,0,0).
M  trục Oy  M(0,y,0)
M  trục Oz  M(0,0,z) ( hiểu nơm na :Trục nào hay mp nào khuyết cái gì thì cái đó = 0 )
6. Cơng thức tính toạ độ véctơ theo toạ độ 2 đầu mút
Cho A(xA,yA,zA) và B(xB,yB,zB)  AB = (xB - xA; yB - yA ; zB -zA ) (sau trừ trước)
BA
VD :
MN
AB
A
trước sau

trước

sau

7. Cơng thức tính độ dài đoạn thẳng AB là : AB = AB =

( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2  ( z B  z A ) 2

Hay có thể viết : AB = ( x A  x B ) 2  ( y A  y B ) 2  ( z ¢  z B ) 2
8.Tích có hướng của 2 véctơ ,
( là 1 vectơ )
Ký hiệu : [ u, v ]
(( hoặc uv )) với u (a, b, c)
và v (a ' , b' , c ' )
b c
c a a b
| ;|
| ;|
| ) = ( bc’ - b’c ; ca’ - a’c ; ab’ - a’b )
thì : [ u, v ] = ( |
b' c ' c ' a ' a ' b'
a b
| = a.b’ - a’.b
với định thức cấp 2 được tính bởi cơng thức : |
a ' b'
** Các tính chất của tích có hướng :
[,]
a) Tích có hướng [ u, v ] là 1 véctơ vng góc với cả 2 véctơ u và
ur r
ur r


mu
m.u  0


B
b) Đặt ]=  �ur r � �ur r
mv
m.v  0


r r
r r
r r
c) Độ dài của véctơ có hướng : |[ u , v ]| = u . v .sin(u, v)
O
r r
d) Độ dài véctơ [ u , v ] bằng số đo diện tích hình bình hành OAMB
r r
r
e) Điều kiện để 2 véctơ và cùng phương  [ u , v ]= 0
9. Ứng dụng của tích có hướng.
uuu
r uuur

AB
a) Tính diện tích hình bình hành. Shbh ABCD= | �
� , AD �|
uuu
r uuur
A
b1: Tính : AB, AD
uuu
r uuur
r
AB, AD �
b2 : Tính tích có hướng �

�= u
r
D'
b3 : Shbh = u (đơn vị diện tích )
D
b) Tính thể tích hình hộp (hay khối hộp)
A'
* Định nghĩa hình hộp : là hình gồm tất cả các mặt là hình bình hành
uuu
r uuur uuu
r
D

AB
,
AD
.
AA
** Cách tính thể tích hình hộp : V = | �

� '|
uuur uuur uuur
B1: Tính AB , AD , AA '
uuu
r uuur
r
A
�= u ( là 1 véctơ )
AB
,
AD
B2 : Tính �



M
A

B

C'

C
B'
C

B

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -###


3
Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
uuu
r uuur uuu
r
r uuur
AB, AD �
. AA ' = u . AA ' = số m ( Tích vơ hướng là 1 số )
B3 : Tính �


B4 : Tính giá trị tuyệt đối của số m.
r uuur uuur
1 uuu
AB
, AC �
. AD | (các bước giống như ở phần b)
c) Tính thể tích của tứ diện ABCD : VtứdiệnABCD = | �

6 �
10. Tính
r r chấtr liên
r quan giữa tích vơ hướng và tích có hướng
a) u  v � u.v  0
r r
r
r
r
b) u và v cùng phương � [ u , v ]= 0
c) , , đồng phẳng  [ , ]. = 0 .
11. Phương trình mặt cầu.
a)Định nghĩa: Điểm M  mặt cầu S(I,R)  IM = R (1).
b) Xây dựng : Gọi M(x,y,z) và tâm I(a,b,c)  IM = thay vào (1)
 = R (bình phương 2 vế )
 (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2
c) Phương trình mặt cầu S có tâm I(a,b,c) và bán kính R là :
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2
*** d) Các dạng phương trình mặt cầu :
Dạng 1: (dạng tổng qt)
TâmI (a, b, c )

(S) : (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2  �
bán kính R

Dạng 2 : ( dạng khai triển)
(S) : x2 + y2 +z2 + 2ax + 2by +2cz + d = 0 
Vd 1: Cho (S) : (x-3)2+(y-5)2+(z+ )2 = 6
(dạng 1) 
2
2
2
Vd 2: Cho (S) : x +y +z + 6x + 8y - 10z - 1 = 0 (dạng 2) 
(Tìm tâm theo quy tắc:”chia đơi ,đổi dấu” )
12. Phương trình mặt phẳng.
a) Định nghĩa véctơ pháp tuyến của mp ()
Nếu giá của vng góc với mp ()
* Chú ý : Nếu mp () có 1 VTPT thì véctơ k. cũng là VTPT của mp ()

VD: mp( ) có 1 VTPT =(2,4,-10)  mp () có VTPT = (1,2,-5)
=(20,40,-100)
=(-2,-4,10) .....
b) Phương trình tổng qt của mp
Cho mp ()
có VTPT =(A,B,C)
Đi qua M(x0,y0,z0)
 Phương trình tổng qt của mp ( ) là :
A.(x - x0) + B.(y - y0) + C.(z - z0) = 0
Hay khai triển và rút gọn ,ta có dạng : Ax + By + Cz + D = 0

13. Các trường hợp riêng của pt mp () :Ax + By + Cz + D = 0
+ Nếu A = 0 (khuyết hệ số A) thì () // hoặc chứa Ox.
+ Nếu B = 0
thì () // hoặc chứa Oy.
+ Nếu C = 0
thì () // hoặc chứa Oz.
+ Nếu D = 0
thì () đi qua gốc toạ độ O(0,0,0).
14.Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
z
( Dùng khi mp() đi qua 3 điểm nằmtrên 3 trục Ox,Oy,Oz)
Nếu mp () đi qua M(a,0,0)  Ox
P
N(0,b,0)  Oy
P(0,0,c)  Oz
O

M

N

y

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -###
x

M


4
Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
 pt mp () : + + = 1 ( còn gọi là pt mp theo đoạn chắn )
VD: mp () đi qua M(3,0,0)  Ox
N(0,5,0)  Oy
P(0,0, -7)  Oz
 pt mp () : + + = 1 ....  - 35x - 21y +15z +105 = 0 (do chuyển vế, rút gọn )
15. Vị trí tương đối giữa 2 mp :
Cho 2 mp () : Ax + By + Cz + D = 0
(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0
+ 2 mp cắt nhau  ≠ ≠ ( chỉ cần 1 tỉ số khác nhau là đủ )
+ () // (’)
 = = ≠
+ ()  (’)
 = = =
Chú ý : với điều kiện các Mẫu số ≠ 0
16. Cơng thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp .
Gọi M(x0,y0,z0) và mp () : Ax + By + Cz + D = 0
 Khoảng cách từ M đến mp () ,ký hiệu d(M,())
 d(M,()) = MH ( với H là hình chiếu của M lên mp ( )
Thì : d(M,()) =

M

H

17. Phương trình đường thẳng.
a) Phương trình tham số của đường thẳng
+ Định nghĩa vectơ chỉ phương của đt d ( với ≠ )
là VTCP của đt d khi giá của song song hoặc trùng với d
* Chú ý : Nếu mp () có 1 VTCP thì véctơ k. cũng là VTCP của mp ()
VD: mp( ) có 1 VTCP =(2,4,-10)  mp () có VTCP = (1,2,-5)
= (20,40,-100)
3 = (-2,- 4,10) .....
* Phương trình tham số của đt d
Đi qua M(x0,y0,z0)
Có VTCP = (a,b,c)
là:
với t là tham số .
Và tương ứng mỗi giá trị của tham số t ta có tương ứng toạ độ 1 điểm thuộc đt d
VD nhận biết : Cho đt (d)  đt (d)
d đi qua M(1,2,-3)
b) Phương trình chính tắc của đt d .
d có VTCP = (5,-6,0)
Bằng cách khử t ở pt tham số ,ta có pt chính tắc của đt (d) là : = = ( với abc ≠ 0).
18. Vị trí tương đối giữa 2 đt .
Cho 2 đt (d) :

(d’) :
TH1: * d  d’  3 véctơ , và
cùng phương
 [ , ] =[ , ] =
TH2 : ** d// d’ 
M'o
 [,]= và [ , ] ≠
Mo
d'

TH3 : d,d’ cắt nhau  
TH4 : d,d’ chéo nhau  , và khơng đồng phẳng
 [, ]. ≠ 0
19. Cơng thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng.
Cho đt ( ) : đi qua M0 và có VTCP
 khoảng cách từ M đến ( ) là : d(M, )=
B1: Tính ,
B2: Tính [,] =
B3: Tính độ dài || và độ dài || ,rồi thay vào cơng thức.
20. Cơng thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

d

d

d'

d
Mo
d M'o

Mo

d
d'

Mo
M'o

M'o
M

d'
d

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -### Mo


5
Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
Cho 2 đt ( ) : đi qua M và có VTCP
d
( ’) : đi qua M’ và có VTCP ’
Khoảng cách giữa 2 đt là : d( , ’) = (**)
d'
Mo
B1: Tính véctơ có hướng [ , ’]
M'o
B2: Tính tích vơ hướng [ , ’]. = 1 số cụ thể.
B3: Tính độ dài véctơ có hướng |[ , ’]|
B4: Thay các kết quả trên vào cơng thức (**)

B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KG.
Cần học thuộc và nắm vững các cơng thức. Cần thiết khi làm bài cần vẽ hình minh hoạ ( nếu có thể)
Dạng 1:
Tìm toạ độ trung điểm của 1 đoạn thẳng.(Toạ độ trung điểm bằng trung bình cộng của 2 đầu mút )
Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là :
Dạng 2 : Tìm toạ độ trọng tâm của 1 tam giác. (Toạ độ trọng tâm bằng trung bình cộng của 3 đỉnh )
Toạ độ trọng tâm G của ABC là :
Dạng 3: Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ( bằng trung bình cộng của 4 đỉnh)
Toạ độ trọng tâm I của tứ diện ABCD là : .
Dạng 4 : Chứng minh 4 điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng
 c/m : , , khơng đồng phẳng.
uuur uuur uuur
 c/m : [AB,AC].AD �0
uuur uuur uuur
B1: Tính AB,AC,AD
uuur uuur
AB.AC�
B2: Tính véctơ có hướng �
( là 1 véctơ)

uuur uuur u�
uur
B3: Tính tích vơ hướng [AB,AC].AD = m ( là 1 số )
+ Nếu m �0 thì A,B,C,D khơng đồng phẳng.
+ Nếu m= 0 thì A,B,C,D đồng phẳng
Dạng 5 : Tính độ dài đường cao AH của ΔABC .
A
2.S ABC
Ta có: AH 
(*)
<< hoặc AH = d(A,BC) >>
BC
1 uuur uuur
C1)
b1: Tính diện tích S ABC  | [AB,AC] |
2
(x B  x C ) 2  (y B  y C ) 2  (z B  z C ) 2
b3: Thay vào (*) � AH  ?
C2) : Vì AH= d(A,BC) (vận dụng cơng thức 19 )
uuu
r uuur


AB,BC


AH 
(*)
uuur
BC
r uuur
B1: đt BC có VTCP u  BC  ?
b2: Tính độ dài

BC =

B

H

C

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -###


6
Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
u
u
u
r
u
u
u
r
uuu
r uuur
r
AB,BC �
B2: Tính AB,BC � �

�= u
r uuur
B3: Tính độ dài u , BC rồi thay vào (*)
uuu
r uuur
^
^
Dạng 6: Tìm số đo của 1 góc VD: tính ABC  Hiểu là ABC = ( BA,BC )
uuu
r uuur
B1: Tính BA , BC
uuu
r uuur
uuu
r uuur
A
BA.BC
B2: Ta có : cos B  cos( BA,BC ) 
(cơng thức tính góc )
BA.BC
x.x'  y.y'  z.z'
=
x 2  y 2  z 2 . x' 2  y' 2  z' 2 B
?
C
^
B3: Dùng máy tính , tìm ra góc B
3 2
� B^ = ?
ta nhấn : shift  cos  ( 3 2 �4 )
4
Dạng 7: Tìm số đo góc của 2 đường thẳng AB ,CD (Cách làm tương tự dạng 6 )
Lưu ý : Góc giữa 2 đt AB,CD là góc nhọn ,có số đo 0α0 �90� 0
uuur uuur
B1: tính AB , CD
uuur uuur
uuur uuur
B2: tính cos( AB , CD ) ,rồi suy ra góc ( AB , CD ) = α
B3: tùy theo α : + Nếu α �900 thì (AB,CD) = α
+ Nếu α > 900 thì (AB,CD) = 1800 - α
<<< lấy góc bù >>>
VD : cosB =

uuur uuur
+ Nếu ( AB , CD ) = 700 � (AB,CD)= 700
uuur uuur
+ Nếu ( AB , CD ) = 1790 � (AB,CD)= 10 << Lấy góc bù >>
1 uuur uuur �uuur
AB, AC �
.AD (*)
Dạng 8 : Tính thể tích của tứ diện ABCD theo cơng thức VABCD  �

6
A
uuur uuur uuur
B1: Tính AB , AC , AD
uuu
r uuur

AB,
B2: tính tích có hướng �
� AC �
uuu
r uuur uuur
AB, AC �
B3: tính tích vơ hướng �

�. AD = m
B
B4: tính giá trị tuyệt đối của m ,rồi thay vào cơng thức (*)
VD:

D

C

Dạng 9: Tìm toạ độ hình chiếu của 1 điểm trên các trục toạ độ và các mp toạ độ
Gọi M(m,n,p) thì toạ độ hình chiếu của M(m,n,p) lên trên :
trục Ox là H(m,0,0)
trục Oy là K(0,n,0)
trục Oz là J(0,0,p)
M(m,n,p) có toạ độ hình chiếu trên
mp (Oxy) là D(m,n,0)
mp (Oyz) là E(0,n,p)
mp (Oxz) là F(m,n,p)
<VD : mp(Oxy) khuyết z nên cao độ z = 0 >>
Dạng 10 : Tìm toạ độ điểm đối xứng của 1 điểm qua 1 mp toạ độ hay 1 trục toạ độ.
Điểm đối xứng của M(x,y,z) qua
mp (Oxy) là M’(x,y,-z)
mp (Oyz) là M’(-x,y,z)
mp (Ozx) là M’(x,-y,z)
Điểm đối xứng của M(x,y,z) qua
trục Ox là M’(x,-y,-z)
trục Oy là M’(-x,y,-z)
trục Oz là M’(-x,-y,z)
uuur
uuur
Dạng 11: Tìm toạ độ 1 điểm M chia 1 đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( nghĩa là : MA  k.MB ) khi biết
A,B
uuur
uuur
B1: Gọi M(x,y,z) cần tìm , ta có : MA  k.MB (*)

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -###


Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
uuur uuur
uuur
B2: Tính MA , MB và k. MB
B3: Thay vào (*) ,tìm được x,y,z = ?

7

Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian

�x  x'
r r
r
r

<�z  z'

>>
Dạng 12 : Tìm toạ độ đỉnh thứ tư của hình bình hành ((VD: uTìm
uur toạ độ đỉnh D của hbh ABCD))
uuur
B1: Gọi D(x,y,z) là đỉnh của hbh ABCD ,ta có AD = BC
uuur uuur
A
B
B2: Tính AD , BC
B3: (Cho toạ độ 2 véctơ bằng nhau � x,y,z = ?
Dạng 13: Toạ độ một số điểm đặc biệt
+ Gọi M �trục Ox � M(x,0,0)
M �trục Oy � M(0,y,0)
M �trục Oz � M(0,0,z)

D
+ Gọi M �mp (Oxy) � M(x,y,0)
M �mp (Oyz) � M(0,y,z)
M �mp (Ozx) � M(x,0,z)

C

M

Dạng 14: Cách chuyển đổi ngơn ngữ trong một số dạng bài tốn :
nghĩa là

A

B

� MA = MB
* Điểm M cách đều 2 điểm A,B
(2 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau
)
* Điểm M cách đều 2 đường thẳng Δ và Δ ’ � d(M, Δ ) = d(M, Δ ’) < 2 khoảng cách bằng nhau
>
* Điểm M cách đều điểm A và đường thẳng Δ � MA = d(M, Δ )
� d[M,(P)] = d[M,(Q)]
* Điểm M cách đều 2 mp (P), (Q)
 Hiểu nơm na : “ cách đều “ � “ khoảng cách, độ dài bằng nhau “
*** ) 2 véctơ vng góc
r r( hoặc
r r2 đoạn thẳng , 2 đường thẳng vng góc )
Sử dụng cơng thức : a  b � a.b  0
Dạng 15 : Tìm toạ độ điểm M �trục Ox và cách đều 2 điểm A,B cho trước .
B1: Gọi M�Ox � M(m,0,0)
B2: Vì M cách đều A,B � MA = MB (*)
B3: Tính độ dài MA , MB theo m
� m= ?
B4: Thay vào (*) và giải phương
r trình
r
Dạng 16 : Tìm tham số m để 2 véctơ a , b vng góc.
r r
<< Chuyển hố vng góc a  b thành Tích vơ hướng = 0 >>
r r
rr
B1: Để a  b � a.b  0
r r
B2: Tính tích vơ hướng a . b ,rồi cho = 0 để giải phương trình � m= ?
r r ur
Dạng 17 : Xét sự đồng phẳng của 3 véctơ u , v , w
r r ur
<< Ghi nhớ : [ u , v ]. w = 0 thì đồng phẳng
r r ur
[ u , v ]. w �0 thì khơng đồng phẳng >>
r r
B1: Tính tích có hướng [ u , v ] =
(( là 1 véctơ))
r r ur
B2: Tính tích vơ hướng [ u , v ]. w = (( là 1 số ))
r r ur
r r ur
B3: + Nếu [ u , v ]. w = 0 � 3 véctơ u , v , w đồng phẳng
r r ur
r r ur
+ Nếu [ u , v ]. w �0 � 3 véctơ u , v , w khơng đồng phẳng
Dạng 18 : Chứng minh 3 điểm thẳng hàng ((uuhoặc
chứng minh 3 điểm khồng thẳng hàng ))
ur
uuur
(Hiểu là: A,B,C thẳng hàng � AB , AC cùng phương
C
uuur
uuur
� AB = k. AC
uuur
B1: Tính AB = (x,y,z)
B

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , Atất cả chỉ là
thử thách - - - - -###


8
Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
uuur
AC = (x’,y’,z’)
x y z
B2: lập tỉ số ; ;
x' y' z'
x
y
z
uuur uuur


� AB , AC cùng phương � A,B,C thẳng hàng
+ Nếu
x' y' z'
x
y
z
� � (( chỉ cần 2 tỉ số khác nhau là đủ ))
+ Nếu
x' y' z'
uuur uuur
� AB , AC khơng cùng phương � A,B,C khơng thẳng hàng
Dạng 19 : Tính chu vi Δ ABC
A
B1: Ta có chu vi Δ ABC là : C ΔABC = AB + BC + CA (*)
B2: Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC ,CA
((vận dụng cơng thức độ dài đoạn thẳng))
C
B3: Thay vào (*)
B
Dạng 20 : Tính diện tích Δ ABC
1 uuur uuur �
AB, AC � (*)
Vận dụng cơng thức : S ΔABC  �
2�
B1: Tính ,
B2 : Tính tích có hướng [ , ] = = (x,y,z) << là 1 véctơ >>
B3: Tính độ dài véctơ nói trên
Thay vào cơng thức (*)  S = (đơn vị diện tích )
Dạng 21 : Tính số đo các góc của ABC .
A
^
uuu
r uuur
A  ( AB, AC )
^
uuu
r uuur
B  ( BA,BC ) .
^
uuu
r uuu
r
B
?
C  ( CA,CB )
Rồi vận dụng cơng thức tính Cơsin của góc giữa 2 véctơ , dùng MTBT để tìm số đo góc.
Dạng 22 : Chứng minh 4 điểm A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện .
 Chứng minh 4 điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng
(Xem lại dạng 4 )
Dạng 23 : Tìm toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu
* Nếu mặt cầu có pt dạng tổng qt : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

** Nếu mặt cầu có pt dạng khai triển : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

<< “ chia đơi ,đổi dấu “>>
Lưu ý : Nếu mặt cầu (S) có pt là : 3x2 + 3y2 + 3z2 + 12x - 18y + 6z - 5 = 0
 x2 + y2 + z2 + 4x - 6y + 2z - = 0 (( Chia 2 vế cho 3 ))

Q
Dạng 24 : Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm M,N,P,Q cho trước
(Hiểu là : M,N,P,Q thuộc (S) nên ta thay toạ độ của M,M,P,Q vào pt (S)
B1: Gọi pt mặt cầu (S) có dạng : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (1)
I
B2: Lần lượt thay toạ độ của 4 điểm M,N,P,Q vào pt (1) ,ta có 4 pt mới
B3: Giải hệ gồm 4 pt trên bằng phương pháp thế  a,b,c,d = ?
B4: Thay a,b,c,d vào pt (1)  pt mặt cầu (S)
Dạng 25 :Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm M,N,P và có tâm nằm trên mp (Oxy) P (Oyz);
(Ozx)>
Cách 1:

C

M

N

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -###


9
Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
2
2
2
B1: Gọi pt mặt cầu (S) có dạng : x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (1)  Tâm I(-a ,-b,c)
B2: Vì M,N,P  (S) ,nên ta thay lần lượt toạ độ M,N,P vào pt (1)  có 3 pt là .... (*)
Vì tâm I  (Oxy)  c = 0 (**)
B3: Kết hợp (*) và (**) ,ta giải hệ 4 pt  a,b,c,d = ...? (( giải hệ 4 pt bằng phương pháp
thế))
Cách 2:
B1: Gọi mặt cầu (S) có tâm I  mp (Oxy) và có bán kính R
 Toạ độ tâm I có dạng I(x,y,0)
B2: mặt cầu (S) đi qua 3 điểm M,N,P  MI = NI = PI = R  Hệ ; Giải hệ  x,y,R= ?
B3: đã biết  pt mặt cầu (S)
Dạng 26: Viết pt mặt cầu có bkính R, tiếp xúc với 1 mp và có tâm nằm trên 1 đường thẳng cho trước.
VD: Mặt cầu (S) có bán kính R ; (S) tiếp xúc với mp (Oyz) và (S) có tâm  tia Ox
B1: Gọi mcầu (S) có tâm I(m,0,0)  Ox
Ox
B2: Để (S) tiếp xúc với mp (Oyz) : x = 0
 d[I,(Oyz)] = R (*)
I
B3: Tính khoảng cách : d[I,(Oyz)] , rồi thay vào pt (*) để giải pt
 m=?
R
B4: Mcầu (S) có  pt mặt cầu (S) :
Oyz
Dạng 27 : Viết pt mặt cầu có tâm I(a,b,c) và tiếp xúc với 1 mp () : Ax + By + Cz + D = 0H
(( Có tâm rồi ,chỉ cần tìm thêm bán kính là đủ ))
B1: Vì mcầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mp ()
 Bán kính R = IH = d(I,)
I
B2: Tính khoảng cách d(I,) = ...
<< vận dụng cơng thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp >>
H
B3: Mặt cầu (S) có  pt mặt cầu (S) :
Dạng 28 : Xét vị trí tương đối của 2 mp () : Ax + By + Cz + D = 0
và (’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0
B1: Lập các tỉ số : , , ,
( với điều kiện A’,B’,C’,D’ ≠ 0 )
B2: Xét các trường hợp :
TH1 : Nếu ≠ ≠
 () cắt (’)
TH2 : Nếu = = ≠  () // (’)
TH3 : Nếu
= = =
 ()  (’)
Đặc biệt : Nếu cần chứng minh 2 mp () và (’) vng góc ,ta cần c/m 2 VTPT vng góc .
uu
r
B1: Tìm VTPT của () là nα  ( A,B,C )
uur
B2: Tìm VTPT của (’) là nα'  ( A,B,C )
uu
r uur
B3: Tìm tích vơ hướng nα .nα'  A.A'  B.B'  C.C'  0
uu
r uur
 nα  nα'
 ()  (’)
Dạng 28: Viết pt mặt phẳng thường gặp.
Cách 1: << Tìm 1 VTPT và 1 điểm đi qua >>
Tìm
mp () đi qua điểm M(x0,y0,z0)

mp () có 1 VTPT = (A,B,C)

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -###


10 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
 pt tổng qt của mp () là : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
 Rút gọn có dạng : Ax + By + Cz + D = 0
Cách 2 : << Tìm 1 điểm đi qua và cặp Véctơ Chỉ Phương >>
Định nghĩa véctơ chỉ phương của 1 mp : là 1 véctơ có giá song song hoặc nằm trên mp .
B1: Tìm điểm M(x0,y0,z0)  mp ()
B2: Tìm ra 1 cặp VTCP = (a,b,c)
= (a’,b’,c’)
uu
r
uu
r uu
r

u
,u
B3:  Véctơ pháp tuyến của mp () là nα  �
1
� 2 �= (A,B,C)
<< Vận dụng cơng thức Tích có hướng >>
B3: * mp () có VTPT = ( A,B,C)
** mp () đi qua M(x0,y0,z0)
 pt tổng qt của mp () là : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
 Rút gọn có dạng : Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 29 : Viết pt mp () đi qua 3 điểm M,N,P cho trước .
B1: mp () có 2 véctơ chỉ phương : = = ?
= = ?
uu
r uu
r uu
r

u
,u
B2: Ta có VTPT của mp () là : nα  �
�1 1 �= ... ?
B3: mp ()

M
N

P

có VTPT = (A,B,C)
Đi qua M(x0,y0,z0)
  pt tổng qt của mp ():
Dạng 30 : Viết pt mp đi qua 2 điểm A,B và song song với trục Ox ( hoặc trục Oy ,Oz)
B1: mp () đi qua A,B  () nhận làm 1 VTCP
A
B
= =?
B2: Vì () // Ox  () có VTCP thứ 2 là = = (1,0,0)
uu
r uu
r uu
r

u
,u
B3: Tìm VTPT của mp () là : nα  �
�1 1 �
x
 mp ( ) có VTPT và điểm đi qua  pt tổng qt của mp () O
Dạng 31 : Viết pt mp () đi qua 1 điểm M(x0,y0,z0) và song song với 1 mp () : Ax + By + Cz + D =
0
B1: Vì mp () // () : Ax + By + Cz + D = 0
 Dạng pt của mp () là : Ax + By + Cz + m = 0 (1)
B2: Thay toạ độ của điểm M vào pt (1)  m = ?
B3: Kết luận về pt mp ()
Dạng 32 : Viết pt mp () đi qua 2 điểm A,B và vng góc với 1 mp cho trước
B1: vì () đi qua 2 điểm A,B  () có 1 VTCP = = ... (1)
uu
r uu
r
A
B2: vì ()  ()  nβ  uα = ... (2)
B

r
i  (1,0,0 )

A

( VTPT của mp () chính là 1 VTCP của mp ()
uu
r uu
r uu
r

u
,u
B3: Từ (1) và (2)  VTPT của mp () là : nα  �
�1 1 �= ...?
Mà () đi qua điểm A  pt tổng qt của mp () :
Dạng 33 : Viết pt mp () đi qua G(m,n,p) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A,B,C sao cho G là
trọng tâm ABC
z
B1: Gọi () cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại A(a,0,0) ,B(0,b,0) và C(0,0,c)
C
 pt mặt phẳng chắn () : + + =1 (1)
B2: Vì () đi qua G nên ta thay toạ độ G vào pt (1) ta được 1 pt (*)
G
O
B3: Vì G là trọng tâm ABC 
(**)
B4: Kết hợp (*) và (**)  a,b,c = ...?
x

A

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -###

y
B


11 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
Thay vào pt (1)  pt mp ()
z
Dạng 34 : Viết pt mp () đi qua H(m,n,p) và cắt các trục toạ độ tại A,B,C
C
sao cho H là trực tâm ABC.
B1: Gọi mp () đi qua H và cắt các trục toạ độ tại A,B,C
sao cho H là trực tâm ABC .
H
Ta có : OH  (ABC) << bạn đọc tự chứng minh >>
uu
r
O
B2  là 1 VTPT của mp ()  nα = = (m,n,p)
B
Mà () đi qua H(m,n,p)
A
 pt mp () : m(x - m) + n(y - n) + p(z - p) = 0
x
Dạng 35 : Tìm tham số m để 2 mp song song
VD: Cho 2 mp () : Ax + By + Cz + D = 0
và (’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0
B1: Để () // (’)  = =
B2: giải hệ 2 pt :
<< vận dụng quy tắc nhân chéo >>  giá trị của tham số m
Dạng 36 : Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mp song song () và ()
B1: Gọi điểm M(x,y,z) cách đều 2 mp () và ()  d(M,) = d(M,) (*)
B2: Tính các khoảng cách :
d(M,) = ...?
d(M,) =...? << theo x,y,z >>
Thay vào (*) ,nhân chéo ,rút gọn
M
 1 pt tổng qt của 1 mp dạng : Ax + By + Cz + k = 0
B3: Kết luận : Tập hợp các điểm M nằm trên mp có pt : Ax + By + Cz + k = 0
<< mp này // () // () >>
   Có thể ghi nhớ : k=
Dạng 37 : Tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song () : Ax + By + Cz + D= 0
() : Ax + By + Cz + m= 0
<< Ghi nhớ : Khoảng cách giữa 2 mp song song chính bằng khoảng cách
từ 1 điểm bất kỳ trên mp này đến mp kia )
b1: Chọn 1 điểm M(x0,y0,z0)  mp ()
M
b2: Ta có d(,) = d(M,) =...
<< vận dụng cơng thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp >>
kết quả : d(,) =
H
Dạng 38: Tìm toạ độ điểm A trên trục Oz
a) Cách đều điểm M(m,n,p) và mp () : Ax + By + Cz + D = 0
b) Cách đều 2 mp () và (’)
Cách giải: Gọi A  Oz  A(0,0,z)
a) b1: Vì A cách đều điểm M va mp ()  AM = d(A,) (*)
b2: Tính : + độ dài AM =
+ khoảng cách d(A,) =
rồi thay vào pt (*)
b3: Giải pt  z= ?
 toạ độ A
b)b1: Vì A cách đều 2 mp () và (’)
 d(A,) = d(A,’) (**)
b2: Tính các khoảng cách trên (theo z)
b3: Thay vào (**)  z = ...?
Dạng 39 : Viết pt mp () song song với mp () : Ax + By + Cz + D = 0
và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
b1: Gọi mp () // () : Ax + By + Cz + D = 0
 mp () có dạng : Ax + By + Cz + m = 0
b2: Từ pt của mặt cầu (S) ,  Toạ độ tâm I(-a,-b,-c)

I

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ H là
thử thách - - - - -###

y


Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779

12

Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
và bán kính R=
b3: Để () tiếp xúc với (S)  d(I,) = R (*)
b4: Tính d(I,) = ? << theo m >>
thay vào pt (*)  m = ...

Dạng 40 : Tìm toạ độ các điểm thuộc 1 đt (d) có pt tham số (*)
(t  R)
Dạng a) Nếu có t = Hằng số ,ta thay vào pt (*) ,tính được
và đó là toạ độ điểm M  d.
Dạng b) Nếu chưa có t ,cần dựa vào giả thiết của bài tốn để tìm ra t ,sau đó thay t vào pt  toạ độ
Dạng c) Hỏi điểm A(m,n,p) có thuộc đt d hay khơng ?
B1: thay toạ độ điểm A là vào pt (*) để tìm t = ?
B2: + nếu chỉ có 1 giá trị của t  điểm A  d
+ nếu có 2 giá trị khác nhau của t trở lên  A  d
Dạng 41: Viết pt tham số đường thẳng là giao tuyến của 2 mp cho trước () : Ax + By + Cz + D = 0
và (’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0
�Ax  By  Cz  D  0
<< Lưu ý : pt giao tuyến d là hệ pt (I) �
>>
�A’x  B’ y  C’z  D’  0
�Ax  By  Cz  D  0
Cách 1: B1: Toạ độ điểm M  d là nghiệm của hệ �
�A’x  B’ y  C’z  D’  0
Cho z = 0   toạ độ M(x0,y0,z0) (*)
uu
r uu
r

uu
r uur
udα  n
uu
r

uu
r
r uu
r  = [ nα ,nβ ] với nα = (A,B,C)
B2: Ta có �uu
udβ  n
ud

uu
r
β
Và nβ = (A’,B’,C’)

α

 = (a,b,c) (**)
B3: Từ (*) và (**)  pt tham số của đt d : (t  R)
d
�Ax  By  Cz  D  0
Cách 2 : B1: toạ độ M  d là nghiệm của hệ �
�A’x  B’ y  C’z  D’  0
B2: cho z = 0   toạ độ M =
cho z = 1   toạ độ N =
<< chú ý : có thể chọn z = một giá trị khác tuỳ ý >>
B3: vì M,N  d  + VTCP của d là = = ... = (a,b,c)
+ và d đi qua M
 pt tham số của d
�Ax  By  Cz  D  0
Cách 3: trong hệ �
ta chọn z = t , rồi tính x,y theo biến t
�A’x  B’ y  C’z  D’  0
 pt tham số d :
Dạng 42 : Viết pt tham số của đường thẳng d đi qua 2 điểm cho trước A(x0,y0,z0) và B(x1,y1,z1)
B1: vì d đi qua A,B
 * d đi qua A(x0,y0,z0)
** VTCP của d : = = (x1- x0, y1 - y0,z1 - z0) = (a,b,c)
A
B2: pt tham số của đt d :
Dạng 43 : Viết pt tham số của đường cao của 1 tứ diện (khi biết 4 đỉnh)

B

d

A

B1: Gọi đt d là đường cao AH của tứ diện
uu
r uu
r
 VTPT của mp (BCD) chính là VTCP của đt d  udα  n

D

B
H

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -###
d
C


13 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
uu
r
uu
r
B2: Tính nα = [ , ]  ud = ... = (a,b,c)
B3: mà d đi qua A(x0,y0,z0)

 pt tham số của đt d:

A

Dạng 44 : Tìm toạ độ hình chiếu của 1 điểm trên 1 mp
VD : Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên mp (BCD)
B
B1: tìm pt tham số của đt d là đường cao AH : (*)
H
<< cách làm như dạng 43 >>
B2: viết pt tổng
uu
r qt của mp (BCD) có :
d
C

VTPT nα = [ , ] = (a,b,c)

Mp (BCD) đi qua B
 pt tổng qt của mp (BCD) là : Ax+By+Cz+D=0
(**)
B3 : + thay x,y,z ở (*) vào pt (**)  t =
+ thay t vào pt (*)   toạ độ hình chiếu H(x,y,z)

D

Dạng 45 : Viết pt 1 đt đi qua 1 điểm M và vng góc với 2 đường thẳng cho trước
B1: Gọi đt ( ) đi qua M(x0,y0,z0) và  d1,d2
uu
r uur

u
uu
r uur uur
� Δ  u d1
ud1 ,ud 2 �
 �uur uur � u Δ  �

� ( a,b,c )
d1
u

u

d2
uu
r
�Δ

B2:  pt tham số của đt ( )
d1
<< Nếu cần pt chính tắc ,ta khử t ở pt vừa tìm được là :
uur
= = = t >>
ud 2
Dạng 46 : Tính khoảng cách từ 1 điểm M đến 1 đường thẳng d
B1: Tìm 1 điểm M0(x0,y0,z0)  d
M
và VTCP
h
B2: gọi h là chiều cao của hình bình hành
 Shbh = h. ||
 h= =
(*)
H
Mo
B3: Tính các véctơ : , và [,]
rồi tính độ dài : |[,]| ; ||
B4 : thay vào cơng thức (*)  h =
Dạng 47 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau  và ’
là : d( , ’) =
Với : đt  đi qua M và có VTCP
đt ’ đi qua M’ và có VTCP
M
Dạng 48 : Chú ý các dạng đặc biệt
* Trục Ox : có VTCP = (1,0,0)
** mp (Oxy) có VTPT = (0,0,1) và có pt : z =
0
trục Oy : có VTCP = (0,1,0)
Mp (Oxz) có VTPT = (0,1,0) và có pt : y =
M'
0
trục Oz : có VTCP = (0,0,1)
Mp (Oyz) có VTPT = (1,0,0) và có pt : x =
0

uur
u

d

Dạng 49 : Mối quan hệ song song giữa đường thẳng ; mặt phẳng .
+ nếu d//d’  =
uu
r uu
r
+ nếu () // ()  nα  nβ

α

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -###

d2

d

uu
r



Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
uu
r
r
+ nếu d // ()  u d  nα

14

Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian

Dạng 50 : Mối quan hệ vng góc giữa đường thẳng ; mặt phẳng
+ nếu d  d’  
uu
r uur
+ nếu ()  ()  nα  nβ
uu
r
+ nếu d  ()  = nα

d

uu
r


α

Dạng 51 : Tìm 1 véctơ vng góc với 2 véctơ cho trước
( có nhiều véctơ như vậy ,nhưng ta chỉ tìm 1 véctơ )
nếu  = [,]
<< là tích có hướng của và >>
Dạng 52 : Viết pt hình chiếu của 1 đường thẳng d trên 1 mp ()
<< đt và mp khơng // >>
VD: cho đt d : và mp () :Ax+By+Cz+D=0
B1: Tìm M0(x0,y0,z0)  d và VTCP = ...
Q
uu
r
B2: tìm nα = (A,B,C)
d
u
u
r
B3: Gọi * mp (Q) chứa d
uu
r
ud
** và (Q)  ()
  = [, nα ] = ...?
Mà (Q) chứa M0(x0,y0,z0)  pt tổng qt mp (Q)
H
B4: gọi đường thẳng  là hình chiếu của đt d trên mp ()
r
r
r
r r

u Δ  nQ


n
r � uΔ  �
  = (Q)  ()  �r
�Q ,nα � ( a,b,c )
u Δ  nα

B5: tìm giao điểm I = d  ()
B6: ta có đt *  đi qua I
**  có VTCP   pt tham số của đt  :
Chú ý : nếu d // ()  hình chiếu  sẽ đi qua điểm I = ()  (Q)
Tìm toạ độ I bằng cách xét hệ
, rồi cho z = 0  x,y =...?

uu
r


α

Dạng 53 : Viết pt mp (Q) chứa 1 đt d và mp (Q) vng góc với mp (P)
B1: tìm M0(x0,y0,z0)  d và VTCP =
Q
B2: tìm =
B3: gọi mp (Q) chứa đt d và  mp (P) 
uu
rd
 = [ , ] = (A,B,C)
ud- z0) =
Mà mp (Q) đi qua M0(x0,y0,z0)  pt tổng qt mp (Q) : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z
0
Dạng 54 : Viết pt mp chứa 1 điểm M và đt d
B1: Tìm toạ độ M0  d và VTCP =
uu
r
B2: tính =
M

B3: gọi mp (P) chứa M và đt d 

P

 = [ , ] = ... = (A,B,C) (1)
Mà () đi qua M(x0,y0,z0)
Từ (1) ,(2)  pt mp (P):

(2)

Dạng 55 : Viết pt đt đi qua 1 điểm và cắt cả 2 đt cho trước
B1: Viết pt mp () chứa M và đt d1 << xem dạng 49 >>

M0

A

α

P
d1

uu
r
ud

d

d2

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả
M chỉ là B
thử thách - - - - -###
β

uu
r



15 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
B2: Viết pt mp ( ) chứa M và đt d2
B3: đt  cắt cả d1 và d2 nên = ()  ()
B4: viết pt giao tuyến  của () và ()
<< xem dạng 38 >>
Dạng 56 : Viết pt mp chứa 2 đường thẳng cắt nhau
B1: gọi M0  d  M0 = ...?
B2: mp (P) chứa 2 đt d,d’  (P) có cặp VTCP là : ,
B3:   = [ , ] = ... (A,B,C) (1)
B4: mà (P) đi qua M0 (2) , Từ (1) ,(2)  pt tổng qt của mp (P)

uu
r
nP
d
d’

Dạng 57 : Viết pt mp (P) đi qua 1 điểm M0 và song song với cả 2 đt d,d’ cho Ptrước
B1: vì mp (P) // d ,d’ 
d
 = [ , ] = ... (A,B,C) (1)
B2: vì (P) đi qua M0(x0,y0,z0)
(2)
từ (1) ,(2)  pt tổng qt mp (P)

I

uu
r
nP
M0

Dạng 58 : Viết pt đường vng góc chung của 2 đt chéo nhau d,d’ (( 2 đt có pt tham số ))
Cách 1:
P
A
B1: gọi A,B là đoạn thẳng vng góc chung của d,d’
d’
d
với A  d  A(x0 + at, y0 + bt ,z0 + ct )
B  d’  B(x0’+ a’t’, y0’+ b’t’ ,z0’ + c’t’)
B2 : ta có   (*)
B3 : tính (( theo t , t’)) ,rồi tính các tích vơ hướng ở hệ (*)
B
B4 : giải hệ 
 toạ độ A,B =...?
B5: đt AB có * đi qua A
** có VTCP =
 pt tham số của đt AB :
Cách 2 : B1: gọi AB là đoạn thẳng vng góc chung của 2 đt d,d’
 
uu
r uu
r

uu
r
uu
r uur
u Δ  ud

u
,ud ' �
r uur � u Δ  �
B2: gọi đt ( ) là đt chứa AB  �uu
d


u Δ  ud'

B3: Viết pt mp () chứa 2 đt  và d
r uu
r
uu
r uu
r
uu
r uu

u
,u
( ) có cặp VTCP u Δ ,ud  nα = �
�Δ d �
Và () đi qua điểm M0  d
  pt mp ()
B4: Viết pt mp ( ) chứa 2 đt  và d’
r uu
r
uu
r uu
r
uu
r uu

u
,u
( ) có cặp VTCP u Δ ,ud '  nα = �
Δ
d


Và () đi qua điểm M0’  d’
  pt mp ()
B5: Viết pt đt  = ()  () << xem lại dạng 41 >>
Dạng 59 : Tính độ dài đường vng góc chung của 2 đt chéo nhau .
Cách 1 : Tức là ta đi tìm khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau << xem lại cơng thức số 20 >>
Cách 2 : (( hiểu là tìm độ dài đoạn vng goc chung ))
B1 : tìm toạ độ 2 đầu mút của đoạn vng góc chung AB << xem lại dạng 58 >>
B2 : tính độ dài đoạn AB
d
Dạng 60 : Tìm góc giữa 1 đt d và 1 mp (P)
(( ghi nhớ : là góc có số đo  900 ))
+ nếu d // (P)  góc (d,P) = 00
0
### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả achỉ

thử thách - - - - -###
P

Δ

d'


16 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
+ nếu d  (P)  góc (d,P) = 900
Tổng qt : Góc giữa đt d và mp (P) chính là góc tạo bởi đt d và
và đt  với  là hình chiếu của d lên mp (P)
Cách giải :
B1: tính góc ( , ) = a0
B2: + nếu a0 nhọn  góc giữa đt d và (P) là : (d,P) = 900 - a0 (( lấy góc phụ ))
+ nếu a0 = 900  (d,P) = 900
+ nếu a0 tù  (d,P) = a0 - 900
d
Dạng 61 : Tìm toạ độ giao điểm của 1 đt d và 1 mp (P)
B1: với đt d ,ta xác định điểm M0(x,y,z) = (x0+at, y0+bt,z0+ct) (1)
B2: thay toạ độ M0 vào pt mp (P) : Ax + By + Cz + D = 0
P
 tìm được t = ...?
thay vào (1)  toạ độ M0
Dạng 62 : Viết pt 1 đt d nằm trong 1 mp (P) , đi qua 1 điểm A và vng góc với 1 đt a
B1: ta có d đi qua A(x0,y0,z0) (1)
a
Và   = [ , ] = ... = (a,b,c) (2)
B2: từ (1) và (2)  pt tham số của đt d
Dạng 63 : Tính khoảng cách từ 1 điểm M đến 1 đt d
Cách 1: xem cơng thức 19
Cách 2 :
B1: gọi H(x,y,z) là hình chiếu của M trên đt d :
B2: ta có   . = 0 (*)
B3: tính
((( theo biến t )))
Và tính . = ... ?
B4: giải pt (*)  t = ...?
 toạ độ H  độ dài MH =
Cách 3 :
B1: viết pt mp (P) đi qua M và vng góc với đt d
 = = ...
B2:  pt tổng qt của mp (P)
B3: tìm toạ độ giao điểm H của d  (P)
B4: khoảng cách từ M đến d chính là độ dài của đoạn MH
 d(M,d) = MH =
Dạng 64 : Viết pt đt đi qua 1 điểm M(x0,y0,z0) và vng góc với 1 mp (P) cho trước
B1: vì d  (P)  = = ... = (a,b,c) (1)
B2: mà d đi qua M0(x0,y0,z0)
(2)
 pt tham số của đt d :
Dạng 65 : Viết pt đt d đi qua 1 điểm M ,đồng thời song song với 2 mp (P) và (P’)
B1: gọi đt cần tìm là d
Vì 
 = [ , ] =... = (a,b,c) (1)
B2: mà d đi qua M0(x0,y0,z0)
(2)
P
Từ (1) ,(2)  pt tham số của đt d :
Dạng 66 : Viết pt mp (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại 1 điểm M
B1: tìm toạ độ tâm I
B2: ta có (P) nhận là VTPT  = = ...? (1)
P’
B3: mp (P) đi qua M(x0,y0,z0)
(2)
Từ (1) ,(2)  pt mp (P) : A(x -x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Dạng 67: Viết pt mp trung trực của 1 đoạn thẳng AB

AM d

d
H

M
h
d
H

Mo
d

H

M

d

I

M

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -###


17 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian
Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779
Định nghĩa : mp trung trực của 1 đoạn thẳng là mp đi qua trung điểm và vng góc với đoạn thẳng
ấy
B1: tìm toạ độ trung điểm I của AB
 toạ độ I (1)
B2: mp trung trực (P) nhận làm VTPT  =
(2)
A
từ (1) ,(2)  pt tổng qt của mp (P)
I
Dạng 68: Viết pt mp (P) đi qua 1 điểm M ,đồng thời vng góc với cả 2 mp () và ()
uur uu
r

uu
r
uu
r uu
r
�nPα  n
� (1)
n
,n
r  nPα  �
B1: ta có  �uur uu
β


�nPβ  n
B2: mà (P) đi qua M (2)
từ (1) và (2)  pt tổng qt của mp (P):
Dạng 69 : Chứng minh đường thẳng vng góc với mp
B1: tìm VTCP của đt : ; tìm VTPT của mp :
B2: nếu và cùng phương  đt d// (P)
P 3 ))
<< c/m 2 vectơ cùng phương bằng cách lập tỉ số >> ((xem cơng thức số

B

α

β

Dạng 70 : Phương pháp giải bài tốn hình học bằng cách chọn Hệ trục toạ độ
Nhận dạng : thường gặp trong dạng bài tốn có yếu tố : Hình lập phương ,hình hộp chữ nhật,
hình tam diện vng , hoặc hình có 3 cạnh vng góc từng đơi một...
B1: Chọn hệ trục Oxyz
B2: tìm toạ độ tất cả các điểm
B3: dựa vào u cầu của bài tốn ,ta chuyển về các phép tốn tương ứng có liên quan toạ độ
VD : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a (như hình vẽ : hình a )
Hãy xây dựng 1 hê trục
B'

A'

D'

z

D'

B

A

B'

A'

C'

C'

B

A
D

a

C

Hình a
B1: chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình b
với : gốc O  A
Ox  AD
Oy  AB
Oz  AA’
B2:  A(0,0,0) B(0,a,0) C(a,a,0)
D(a,0,0)
A’(0,0,a) B’(0,a,a) C’(a,a,a) D’(a,0,a)



D

a

C

Hình b

x

Chúc các em học tập tốt ! 

### - - - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là
thử thách - - - - -###

y



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×