Tải bản đầy đủ

Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hệ số hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn khi có mặt trường sóng điện từ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Đào Công Vƣơng

ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN HỆ SỐ HALL
TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ
HẠN KHI CÓ MẶT TRƢỜNG SÓNG ĐIỆN TỪ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đào Công Vƣơng

ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN HỆ SỐ HALL

TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ
HẠN KHI CÓ MẶT TRƢỜNG SÓNG ĐIỆN TỪ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã Số : 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Đặng Thị Thanh Thủy
GS.TS Nguyễn Quang Báu

Hà Nội -2018


LỜI CẢM ƠN

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Đặng Thị
Thanh Thủy và GS.TS Nguyễn Quang Báu – những người đã trực tiếp hướng
dẫn và chỉ bảo tận tình cho em trong quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo của các thầy cô trong
bộ môn Vật lý lý thuyết, Trường đại học khoa học tự nhiên – Đại Học Quốc
Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học tập và hoàn thành
luận văn này một cách tốt nhất.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường THPT Xuân
Áng đã luôn tạo mọi điều kiện tốt nhất cho em trong suốt thời gian em học
tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng
nghiệp đã luôn động viên em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận
văn này.
Luận văn được hoàn thành với sự tài trợ của Đề tài QG.17.38
Hà Nội, ngày 05 tháng 01 năm 2018
Học viên

Đào Công Vương


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
Chƣơng 1: Hàm sóng, phổ năng lƣợng của điện tử và phonon giam
cầm trong dây lƣợng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn và hệ số


Hall khi chƣa kể đến ảnh hƣởng của phonon giam cầm ............................. 3
1.1 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử và phonon giam cầm ............. 3
1.2 Hệ số Hall trong dây lượng tử khi chưa kể đến phonon giam cầm .......... 5
Chƣơng 2: Biểu thức giải tích của hệ số Hall khi kể đến phonon giam
cầm. .............................................................................................................. 10
2.1 Hamintonian của hệ điện tử-phonon giam cầm trong dây lượng tử
hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn ........................................................... 10
2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm có kể đến
phonon giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn ..... 12
2.3 Biêủ thức giải tích của hệ số Hall ......................................................... 15
Chƣơng 3: Tính số kết quả lý thuyết cho dây lƣợng tử GaAs/GaAsAl .... 25
3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tỷ số Ω/𝛚c ........................................ 27
3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào nhiệt độ ............................................. 28
3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ ........................... 29
KẾT LUẬN .................................................................................................. 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................... 31
PHỤ LỤC..................................................................................................... 34


DANH SÁCH BẢNG BIỂU
Bảng 3.0. Các tham số của dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao
vô hạn GaAs/GaAsAl

DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tỷ số

 / c

tại giá trị B=6T trong

hai trường hợp phonon giam cầm (đường nét đứt) và phonon không giam
cầm(đường nét liền) trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn
Hình 3.2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào nhiệt độ của hệ trong hai trường
hợp phonon giam cầm (đường nét đứt) và phonon không giam cầm (đường
nét liền
Hình 3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ trong hai
trường hợp phonon giam cầm (đường nét đứt) và phonon không giam
cầm(đường nét liền)


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Trong những năm gần đây, vật lý chất rắn đã đạt được nhiều thành tựu
đáng kể nhờ việc chuyển đối tượng nghiên cứu từ vật liệu bán dẫn khối sang
bán dẫn thấp chiều.
Trong bán dẫn khối các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh
thể. Trong bán dẫn thấp chiều - hai chiều( hố lượng tử bán dẫn,siêu mạng),
một chiều (dây lượng tử), không chiều (chấm lượng tử), chuyển động của
điện tử trong hệ bị giới hạn theo một số chiều xác định trong không gian và
chỉ chuyển động tự do theo các chiều còn lại trong mạng tinh thể. Theo các
chiều bị giới hạn năng lượng của điện tử bị lượng tử hóa, có một số xác định
các mức năng lượng bị gián đoạn EN (N =1,2,3...), dẫn đến sự thay đổi đáng
kể các đặc tính của vật liệu: mật độ trạng thái, hàm phân bố, mật độ dòng,
tensor độ dẫn… .
Khi chịu tác động của sóng điện từ các hiệu ứng động của bán dẫn thấp chiều
như hiệu ứng Radio điện, hiệu ứng Hall, hiệu ứng âm điện … cho kết quả mới
khác với vật liệu trong bán dẫn khối và khác với trường hợp không có sóng
điện từ [1-13].
Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối dưới ảnh hưởng của sóng điện từ đã được
nghiên cứu [1,6]. Hiệu ứng Hall trong hố lượng tử và siêu mạng dưới ảnh
hưởng của một sóng điện từ trường hợp tương tác electron-phonon quang và
electron-phonon âm [5,16] đã được nghiên cứu. Tuy vậy hiệu ứng Hall trong
dây lượng tử đã được nghiên cứu trong[15] trường hợp phonon không giam
cầm còn trong trường hợp phonon giam cầm vẫn còn được bỏ ngỏ. Để hoàn
thiện bức tranh về hiệu ứng Hall trong hệ thấp chiều chúng tôi chọn đề tài
nghiên cứu “Ảnh hƣởng của phonon giam cầm lên hệ số Hall trong dây

1


lƣợng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn khi có mặt trƣờng sóng điện từ
’’, để phần nào làm rõ vấn đề còn bỏ ngỏ nêu trên.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử để giải bài
toán „„ ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hệ số Hall trong dây lượng tử
hình chữ nhật với thế cao vô hạn khi có mặt trường sóng điện từ ”. Chúng tôi
xây dựng phương trình động lượng tử cho hệ điện tử phonon giam cầm và
giải phương trình để tìm ra biểu thức giải tích của hệ số Hall. Sử dụng chương
trình Matlab để tính số các kết quả lý thuyết cho dây lượng tử hình chữ nhật
GaAs/GaAsAl.
3.Mục đích, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Thu nhận biểu thức giải tích của hệ số Hall và khảo sát sự phụ thuộc của hệ
số Hall vào từ trường ( tần số cyclotron) và nhiệt độ, tần số của trường sóng
điện từ trong trường hợp có kể đến phonon giam cầm trong dây lượng tử hình
chữ nhật với thế cao vô hạn.
- Thực hiện tính số kết quả lý thuyết cho biểu thức giải tích của hệ số Hall
cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl.
4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, phần nôi dung
của luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1: Hàm sóng phổ năng lượng của điện tử và phonon trong dây lượng
tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn và hệ số Hall khi chưa kể đến ảnh hưởng
của phonon giam cầm
Chương 2: Biểu thức giải tích của hệ số Hall khi kể đến phonon giam cầm
Chương 3: Tính số kết quả lý thuyết cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl

2


Chƣơng 1
HÀM SÓNG, PHỔ NĂNG LƢỢNG CỦA ĐIỆN TỬ VÀ PHONON
GIAM CẦM TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI THẾ
CAO VÔ HẠN VÀ HỆ SỐ HALL KHI CHƢA KỂ ĐẾN ẢNH HƢỞNG
CỦA PHONON GIAM CẦM
Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc nano một chiều. Ở đó, chuyển
động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều, chỉ có một chiều được chuyển
động tự do. Hiện nay đã có nhiều phương pháp chế tạo được dây lượng tử có
các tính chất khá tốt. Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp kết
tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD, hoặc eptaxy MBE. Cũng có thể sử dụng
các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường.
1.1 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử và phonon giam cầm
Xét dây lượng tử hình chữ nhật cao vô hạn theo phương z, giả thiết z là
chiều không bị lượng tử hoá (điện tử có thể chuyển động tự do theo chiều
này), với độ rộng của dây theo hai phương x, y mà điện tử bị giam giữ lần


lượt là Lx , L y được đặt trong từ trường B  (0, B,0) và điện trường không đổi

E1  (0,0, E1 ) dưới ảnh hưởng của trường laser có vector điện trường


E( t )  E0 sin( t ) vuông góc với phương truyền sóng, trong đó Eo và  tương

ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ.
Chúng tôi xét trường hợp đơn giản: hố thế bằng không ở trong và vô cực
ở ngoài dây.
Khi đó hàm sóng của điện tử có dạng :

3


0

 ly 
 n,l,k (x, y, z)   1 ikz 2
 nx  2
e
Sin
Sin




 L
Lx
 Lx  Ly
 Ly 
 z

 x  0 x  Lx ;

 y  0 y  Ly
(1.1)
0  x  L x ;

0  y  L y

Phổ năng lượng của điện tử được viết [6,7, 8] như sau:
k x2  2 2  n2 l 2 
1
1  eE1 
 n ,l ( k ) 

 2  2   c ( N  ) 


2m
2m  Lx Ly 
2
2m  c 
2

2

(1.2)

Vector sóng q và năng lương ε của phonon giam cầm trong dây lượng
tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn:
q = (qx , q y , qz ) , với qx =

  m,m ',qz

m
m '
, qy =
Lx
Ly

 m 2  m 2 
 0  vs      
 Lx   Ly  



(1.3)

Hằng số tương tác điện tử- phonon giam cầm:

 e2o 1 1
1
|=
(  )
2V  0    0 q 2  ( m )2  ( m '  )2
z
Lx
Ly

m,m ' 2
q

|C

trong đó
N = 0, 1, 2, ... : là chỉ số mức Landau từ,
n, l =1,2,3….: là chỉ số lượng tử hóa các mức con ,

c 

eB
: là tần số cyclotron,
me

m: là khối lượng hiệu dụng của điện tử,

4

(1.4)


k và q : lần lượt là véctơ sóng của điện tử và phonon,
Lx và Ly : tương ứng là các kích thước của dây lượng tử
theo phương x và y,
C q : là thừa số tương tác giữa điện tử – phonon,

 0 : là hằng số điện môi,
  và  0 : lần lượt là độ thẩm điện môi cao tần và độ thẩm

điện môi tĩnh,
V: là thể tích chuẩn hóa.
1.2 Hệ số Hall trong dây lƣợng tử khi chƣa kể đến phonon giam cầm
Halmintonian của hệ điện tử giam cầm - phonon không giam cầm trong
dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn :
H



n ,l ( k

n ,l , k





Cq

e
 A(t ) )an,l , k an,l , k 
c
2

 b b


q q q



q

2

I n,l ,n ',l ' (q ) an,l ,k  q an ',l ',k (bq  bq ) 

 ( q ) a


a
n,l , k  q n ',l ',k

(1.5)

q

n,l , n ',l ', k , q

Với k và q lần lượt là véctơ sóng của điện tử và phonon; an,l ,k ( an,l ,k )
là toán tử sinh (hủy) điện tử; bq ( bq ) là toán tử sinh (hủy) phonon , với c là
vận tốc ánh sáng trong chân không.
A(t ) 

c
E0 sin(t ) : là thế véc tơ của sóng điện từ,


I n,l ,n ',l ' (q) : là thừa số dạng của điện tử

5


32 4 (q x Lx nn ' ) 2 (1  (1) n  n cos(q x Lx ))
'

I n ,l , n ' ,l ' ' ( q ) 

q L 
x

4

x

 2 q x Lx  (n  n )   (n  n )
2

2

2

'2

32 4 (q x Lx ll ' ) 2 (1  (1) l l cos(q y L y ))

4

2



'2 2 2


(1.6)

'



q L 

4

y

y

 2 2 q y L y  (l 2  l '2 )   4 (l 2  l '2 ) 2
2



2

 (q ) : thế vô hướng

 (q )  (2 i)3 (eE  c[q,h])


 (q)
q

Phương trình động lượng tử tổng quát cho toán tử số

hạt nn,l ,k (t )  an,l ,k an,l ,k

i

 an,l ,k an ,l ,k
t

t

t

:

  an,l ,k an ,l ,k , H 

(1.7)

t

Sử dụng các tính chất của giao hoán tử giữa các toán tử sinh, hủy điện tử và
phonon cùng phép biến đổi đại số toán tử ta thu được phương trình động lượn tử
cho hàm phân bố điện tử:
e
kn ,k δ(ε  ε ,k )
e


 ,k m
 c  h ,  kn ,k δ(ε  ε ,k )  
τ
  ,k m





 n ,k 
2
2
e
2 e
k
  F
 C q I  , ' ( q ) N q k 
 δ(ε  ε , k ) 
m  ,k  k 
m  , ', q , k



  n ', q  k

2
2




 n , k  1  2     ', k  q    , k  o  2    ', k  q    , k  o   
4
 2 



2
 2    ', k  q    , k  o  
4















2 
(1.8)


   n ', k  q  n , k  1  2     ', k  q    , k  o 

 2 



 
2
2

















  (ε  ε , k )
o
o
 ', k  q
 .k
 ', k  q
 ,k
4 2
4 2
 









6




Trong phương trình (1.8) ta đặt:
(1.9)

e
R( )  
kn ,k δ(ε  ε ,k );
 ,k m

Q( )  

S ( ) 

 n ,k 
e
k
 F
 δ(ε  ε , k ) ; F  e.E1;
m  ,k  k 

(1.10)

2
2 e
2
 C(q) I , ' (q ) N q k 
m  , ',q ,k



  2 
2
  n ',q  k  n ,k  1  2     ',k  q    ,k  o  2    ',k  q    ,k  o   

  2 
4


  2 
(1.11)

2
 2    ',k  q    ,k  o      n ',k  q  n ,k  1  2     ',k  q    ,k  o 
  2 
4
 



2
4























   ',k  q    .k  o   
2

 








  (ε  ε ,k ).
o
42  ',k  q  ,k
 





2

Ta thu được phương trình sau đây cho mật độ dòng riêng R

R( )



 c  h  R   Q( )  S ( )

(1.12)

Giải phương trình (1.13) ta thu được:
R( ) 

 ( )
Q( )  S ( )   c  ( ) h , Q( )  h , S ( ) 
1  c2 2 ( )











(1.13)

c2 2 ( ) Q( )  S ( ), h h .

Biểu thức của mật độ dòng toàn phần :


j   R( ) d  .
0

Hằng số tương tác điện tử -phonon quang Cq được xác định bởi [9]:

7

(1.14)


e2o
| Cq | | C | =
2 0 q 2V
2

op 2
q

 1
1 



  0 

trong đó  0 là hằng số điện môi,   và  0 lần lượt là độ thẩm điện môi
cao tần và độ thẩm điện môi tĩnh, V là thể tích chuẩn hóa.
Ở nhiệt độ cao, khí điện tử được giả thiết là không suy biến và tuân
theo phân bố Boltzmann, trong đó tần số phonon q  o là tần số phonon
quang. Thực hiện các tính toán ta được biểu thức cho tenxơ độ dẫn đối với
tương tác điện tử phonon quang như sau:

 ij 

ea
b
2
2




h



h
h


 ij c ijk k c i j  m
2 2 2
1  c2 2
1  c  

 1  c2 2   ij   3c2 2  c4 4  hi h j  c ijk hk  .

(1.15)

Trong đó  ij là hàm delta Kronecker,  ijk là tenxơ Levi-Civita
e Lx
a
4m 

b

2
1/ 2
 
 2m 
1  eE1   2 2  n 2 l 2 
1   


exp
β
ε





N






 2
F
c
   , (1.16)
2
2 


2
m

2
m
L
L
2


  


y 
 c 
 
 x


2 eNo
 (C1  C2  C3  C4  C5  C6  C7  C8 ),
m  , '

B

 Lx kBTe2  1 1 
C1 
  I , 'e 4
3 


8 2   o 

11

    B11
B 
e 2  (2B11m)1/ 2 K 1 (  11 )2  e B ,

(1.18)
2 
2
 2 m

 Lx k BTe 4 Eo2 B11  
1  1
1 
C2 



I  ,  'e B ,




2
3/ 2


16m (  / 8m)
B11   
o 

C3 

 Lx k BTe 4 Eo2 B13 
16m2 (  / 8m)3/ 2

(1.17)


1




B13


8

 1
1 

I  ,  'e B ,


 

o 
 

(1.19)

(1.20)


 Lx k BTe4 Eo2 B14  
1  1
1 
B
C4 

 I  , 'e ,
 
 
2
3/ 2
16m (  / 8m)
B14   
o 

B

 Lx kBTe2  1
1 
C5 
  I  ,  'e 4

8 2 3   o 

15

C6 

 Lx kBTe4 Eo2 B18 
C8 
16m2 (  / 8m)3/ 2
B11 


1  1
1 



I  ,  'e B ,






B15   
o 


 Lx k BTe4 Eo2 B15 
16m2 (  / 8m)3/ 2

 Lx kBTe4 Eo2 B17 
C7 
16m2 (  / 8m)3/ 2

    B15
B 
e 2  (2B15m)1/ 2 K 1 (  15 )2  e B ,

2 
2
 2 m


1  1
1 
B

  

 I  , 'e ,

B17   
o 


1   1
1 
B

  
 8 
 I , 'e ,
B18    
o 


 n '2  n 2
l '2  l 2


2m 
L2x
L2y


2

2


 c  N ' N   o ,




B13  B11   , B14  B11   ,   1 / (kBT )

B15 

 n '2  n2 l '2  l 2


2m  L2x
L2y

2

2

(1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

(1.26)
(1.27)


  c  N ' N   o ,



(1.21)

B17  B15   , B18  B15   , I  , '   I  , ' (q ) dq ,
2

(1.28)
(1.29)



2
2 2  2


n
l2 
1
1  eE  
B   F 


  c ( N  ) 

 .

2m  L2x L2y 
2
2m  c  



(1.30)

Hệ số Hall RH được cho bởi công thức

RH  

1  xz
.
B  x2z   z2z

(1.31)

Trong đó các thành phần  zz và  xz của tenxơ độ dẫn được suy ra từ
công thức (1.15).Phương trình (1.15) cho thấy sự phụ thuộc phức tạp của
tenxơ độ dẫn vào các trường ngoài. Nó được tính toán cho các giá trị bất kì
của các chỉ số n, l , N , n ', l ', N ' .
9


Chƣơng 2
BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA HỆ SỐ HALL KHI KỂ ĐẾN PHONON
GIAM CẦM
Hiệu ứng giảm kích thước đã làm thay đổi đáng kể các tính chất vật lý của
vật liệu bán dẫn thấp chiều. Bên cạnh sự giam cầm điện tử, trong các hệ thấp
chiều, phonon cũng có thể bị giam giữ do hiệu ứng giảm kích thước. Ở
chương này chúng tôi nghiên cứu hệ số Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật
có kể đến yếu tố phonon giam cầm
2.1 Hamintonian của hệ điện tử-phonon giam cầm trong dây lƣợng tử
hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn
Trạng thái giam cầm của phonon được mô tả bởi 2 số lượng tử m , m '
tương ứng với sự giam cầm theo hai phương Ox , Oy .
Hamiltonian của hệ điện tử-phonon giam cầm biểu diễn thông qua toán tử
số hạt:

H (t ) =

e

(
k

q bm ,m ',q bm,m ',q 
 n, c A(t ))an, ,k an, ,k  m
, m ', q
n, ,k

  (q )an,l ,q  k an ,l ,k 
q



Cqm,m ' I nm,l,,mn'',l ' an,l ,k q an ',l ',k (bm ,m ', q  bm,m ',q ) (2.1)

n ,l , k , n ',l '
q ,m,m '

Trong đó:

bm , m ', q ( bm,m ',q ): là toán tử điện tử sinh (hủy) phonon giam cầm.

an,l , k ( an ,l , k ): là toán tử điện tử sinh (hủy) điện tử .

q = (qx , qy , qz ) : là véctơ sóng của phonon giam cầm,

10


m
m '
, qy =
.
Lx
Ly

qx =

với

  m,m ',qz

 m 2  m 2 
 0  vs       : năng lượng của phonon giam cầm.
 Lx   Ly  



 e2o 1 1
1
|=
(  )
2V  0    0 q 2  ( m )2  ( m '  )2 : hằng số tương tác điện
z
Lx
Ly

m,m ' 2
q

|C

tử- phonon giam cầm.
V: là thể tích chuẩn hóa.

  ,  0 : là hệ số điện thẩm cao tần và hệ số điện thẩm tĩnh.

 0 : là hằng số điện môi.
k : là véctơ sóng của điện tử.

 q : là tần số phonon quang.
 và   : là lượng tử số của điện tử (n, ) và (n, ) .
m, m‟: chỉ số đặc trưng cho phonon giam cầm.
A(t ) : là thế vectơ của trường điện từ được xác định



dA(t )
= E0 sin(t )
cdt

(2.2)

Với  (q ) : là thế vô hướng

 (q )  (2 i)3 (eE  c [q,h])


 (q)
q

(2.3)

Thừa số dạng đặc trưng:
I nm, ,m ' (qz ) = (2 ) 2



16 Pm2,m ' / q

m , m '=1,3,5,...

Trong đó

11

(2.4)




Pm , m ' =

Lx

0

dx

x

 cos(

Lx

2
Lx



Ly

0

2
n x
n x
cos(
) cos(
)
Ly
Lx
Lx

dy

(2.5)

 y
m y
m ' y
) cos(
) cos(
) cos(
)
Ly
Ly
Ly

2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm có kể đến phonon
giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử khi phonon
giam cầm được xây dựng từ phương trình động lượng tử cho toán tử số hạt

i

nn,

,k

(t ) = i

t

 
 an, ,k an, ,k  t = [an, ,k an, ,k , H ] t
t

(2.6)

Đặt
F

1 , k1 , 2

, k2 , m , m ', q

(t ) =  a , k a
1

1

2

, k2

bm, m ', q  t

Sử dụng các phép biến đổi toán tử ta được:

i

n ,k
t

 F

C



m,m ' m,m '
q
 , 1

=

m , m ', q

(q )( F

1 , k1 , 2 , k2 , m , m ', q

(t ) 

1

*
1 , k  q ,

I

, k , m , m ',  q

(t )  F

1 , k  q ,

, k , m , m ', q

(t )  F

*
 , k ,1 , k  q , m , m ',  q

Áp dụng phương trình động lượng tử cho toán tử

F ,k ,
1 1

i

(2.7)

(t ))

2 , k2 , m , m ', q

(t ) :


F ,k , ,k ,m,m ',q (t ) = [a ,k a ,k bm, m ', q , H ] t
1 1
2
2
t 1 1 2 2

(2.8)

Đặt F (t ) = F1 ,k1 , 2 ,k2 ,m,m ',q (t ) và thực hiện các phép tính cơ bản.
Ta được:


e
e
F (t ) = i[ 1 (k1  A(t ))    2 (k 2  A(t ))  o ]F (t ) 
t
c
c
i



Cq 1 1 [ I 31,1 1 a ,k
m , m'
1

m1 , m '1 , q1  3
m , m'

 I  31, 2 1 a ,k a
1

m , m'

1

3

b

m , m ', q
3 , k2  q1

1  q1

a

2 , k2

(bm ,m' ,q  bm ,m' ,  q )bm,m ',q  t
1

1

1

(bm ,m' ,q  bm ,m' , q ) t ]
1

1

1

1

12

1

1

1

1

1

(2.9)


Áp dụng phương pháp biến phân và giả thiết đoạn nhiệt: F (t ) |t = = 0 ta
thu được nghiệm:



t

F (t ) = i  dt2


1

1

m , m'

m1 , m1' , q1  3

m , m'

 I 31, 2 1 a ,k a

Cq 1 1 [ I11, 3 1 a ,k q a

3 , k2  q1

m , m'

1

3

1

1

2 , k2

(bm ,m' ,q  bm ,m' , q )bm,m ',q  t
1

1

1

1

1

1

2

bm,m ',q (bm ,m' ,q  bm ,m' , q ) t ] 
1

1

1

1

 exp{i[ 1 (k1 )    2 (k2 )  o ](t  t2 ) 

1

1

(2.10)

2

ie t
(k1  k2 ) A(t1 )dt1}
m*c t2

Sử dụng công thức hàm Bessel đối số thực:
exp(iz sin x) =  n=J n ( z)exp(inx) ( J n ( z ) thay (2.11) vào (2.7)


n ,k (t )
t

 (eE  c [k,h])

n ,k (t)
k



2 m,m ' 2
 eE0 q   eE0 q 
m,m '
J
J
exp
is

t
C
(
q
)
I  1 , 






 r m2 r ,s m2
 q
s , r 
m , m ',q  1

 





t





  dt2  n ,k (t2 ) N m,m ',q (t')  n ,k  q (t2 )(N m,m ', q (t')  1)  exp i  1 (k  q )    (k)  0  r  i  t  t2  

1
 







  n ,k  q (t2 )(N m,m ',q (t')  1)  n ,k  q (t2 )(N m,m ', q (t'))  exp i   (k  q )    (k)  0  r  i  t  t2  
1
 1
 




(t'))  exp i  (k )   (k  q )    r  i   t  t 


  n ,k  q (t2 ) N m,m ',q (t')  n ,k  q (t2 )(N m,m ', q (t')  1)  exp i   (k )    (k  q )  0  r  i  t  t2   
1
 1
 

  n ,k  q (t2 )(N m,m ',q (t')  1)  n ,k (t2 )(N m,m ', q
1
 1





0

2

 trong biểu thức trên là tham số vô cùng bé đưa vào để đảm bảo giả thiết

đoạn nhiệt.
Sử dụng cách tính gần đúng
n

,k

(t2 )

n , k ;

t

 dt expi 
2



1 ( k  q )

n

,k  q

(t2 )

n , k ;

n

,k q

   (k)  0  r  i   t  t2  



1
   (k)  0  r  i
 (k q )
1

Ta được:

13

(t2 ) n ,k


n ,k (t )

n ,k (t)

 eE0 q   eE0 q  1
J

 r  m2  J r,s  m2  rs exp is  H  t 
t
k
1 m , m ',q
s , r 

 

 n ,k (t2 ) N m,m ',q  n ',k q (t2 )(N m,m ',q  1) n ,k (t2 )(N m,m ',q  1)  n ,k q (t2 ) N m,m ',q




(
k

q
)


(k)



r


i


(k

q)


(k)



r


i


'

0
1

0


 (eE c [k,h])

 

C

m,m '
q

2

(q ) I

m,m ' 2
 , '





n ,k q (t2 ) N m,m ',q  n ,k (N m,m ',q  1) n 1,k q (t2 )(N m,m ',q  1)  n ,k (N m,m ',q  1) 


  ' (k )    1 (k  q )  0  r  i
  ' (k )    1 (k  q )  0  r  i 

Áp dụng
1
1

i (x)
x  i x

Suy ra

1
1

 2 i (x)
x  i x  i
Áp dụng

Nm,m ',q  1  Nm,m ',q
Do vậy phương trình trở thành
e

m
 ,k

*

kn ,k  (    ,k )

 (  ,k )
=-

 c [h, e

k
n  (    ,k )]=
m*  ,k

n ,k
2
2
e
2 e
k
(
F
) (    ,k )  *   Cqm,m ' Im,,m1 ' N m,m ',q ,k  (    ,k )
*
m  ,k
m m,m ',q 1
k


  2 
2


   n1 ,q  k  n ,k  1  2   ( 1 (k  q )    (k )  o )  2  ( 1 (k  q )    (k )  o  ) 
4

(2.11)
  



 2
2



(

(
k

q
)


(
k
)




)

n

n
1

o
  1 ,k q  ,k   42  ( 1 (k  q )    (k )  o  ) 
42



 
 2 
2
 1  2   ( 1 (k  q )    (k )  o )  2  ( 1 (k  q )    (k )  o  )  
4
  
 

14


Phương trình (2.11) chính là phương trình động lượng tử cho hàm phân
bố không cân bằng điện tử giam cầm trong dây lượng tử khi có sự giam cầm
phonon.
2.3 Biêủ thức giải tích của hệ số Hall
Phương trình (2.11) ta đặt:

e
kn ,k δ(ε  ε ,k );
 ,k m

(2.12)

R( )  
Q( )  

 n ,k 
e
 k  F
 δ(ε  ε , k ) ;
m  ,k  k 

(2.13)

F  e.E1;
S ( ) 

2 e
m*

m, m '

  Cq

m, m ', q  1

2

2

Im,,m ' N m,m ',q ,k  (    ,k )
1


  2 
2


  n1 ,q  k  n ,k 1  2   ( 1 (k  q )    (k )  o )  2  ( 1 (k  q )    (k )  o  ) 

   
4




 2
 2  ( 1 (k  q )    (k )  o  )   n1 ,k  q  n ,k   2  ( 1 (k  q )    (k )  o  ) 
  4
4
 


2

 
 2 
2
 1  2   ( 1 (k  q )    (k )  o )  2  ( 1 (k  q )    (k )  o  )  
  
 
4



Ta thu được phương trình:
R( )




 c 
 h  R   Q( )  S ( )

Giải phương trình (2.14) ta thu được:

15

(2.14)


R( ) 

 ( )
Q( )  S ( )   c  ( ) h , Q( )  h , S ( ) 
1  c2 2 ( )











(2.15)

c2 2 ( ) Q( )  S ( ), h h .

Phương trình (2.15) là tổng quát có thể áp dụng cho các loại phonon
khác nhau. Sau đây ta sẽ áp dụng phương trình này để tính toán hệ số Hall
cho tương tác điện tử giam cầm-phonon quang giam cầm được suy từ biểu
thức của mật độ dòng toàn phần:


j   R( )d 

(2.16)

0

Hay có thể viết:

j  L0 (Q)  L0 (S )

(2.17)

Ta tính Lo (Q)




c 2 ( )
c2 3 ( )
 ( ) Q
 h Q d   
Lo (Q)  
d  
h (h , Q) d 

1  c2 2 ( )
1  c2 2 ( ) 
1  c2 2 ( )
0
0
0

(2.18)

Từ hàm phân bố điện tử:

n(o)

n , k  no, k  k  (  , k )


 ,k

 ,k

no  e
;  ,k

 ( F   ,k )

, 

1
k BT .

Vào (2.14) ta được:
Q( )  

e
m*



k F
n



k




,k

(0)
,k




 k  (  , k )n'(0)
 (    ,k )
,k 


(2.19)

Trong gần đúng tuyến tính:
e
Q( )   *
m

 n(0)

,k
k
F

 (    , k )


k
 ,k





Thay (2.20) vào (2.18) ta có:

16

(2.20)



 n(0),k 
 ( )
e
 ( )
Lo1 (Q)  
Q( )d    * 
 k  F k  (    ,k ) d 
2 2
2 2
1



(

)
m
1



(

)
 ,k
c
c
0
0




 (  ,k )  n(0),k 
e
 *
k
F
m  ,k 1  c2 2 (  ,k )  k 

(2.21)

Giả thiết hàm phân bố điện tử có dạng: n , k  e
(o)

 (  F   ,k )

Ta có:
n(o),k
k



  e

n(o),k   ,k
  ,k k

  e

 (  F    ,k )

  2 k 2  2 2  n2 l 2 
1
1  eE 
 *  *  2  2   c ( N  )  *  1 
k  2m 2m  Lx Ly 
2 2m  c 


2




(2.22)

2

 (  F    ,k )

m*

k

Thay (2.22) vào (2.21) ta có
e
Lo1 (Q)  *
m

 (  ,k )

 2   ( F  ,k )
F
 1   2 2 ( )  m* k e
 ,k


c
 ,k

(2.23)

Xét trường hợp đơn giản nhất  (  , k )   o  const
Suy ra
Lo1 (Q) 

e
m*


 1  o2 2
 ,k
c o

 2   ( F  ,k )
F
 m* k e



(2.24)

Ta có:

e

 (  F    ,k x )

 e  F e

2
 2 k 2  2 2  n2 l 2 
1
1  eE  
   *x  *  2  2  c ( N  )  *  1  
2 2 m  c  
 2 m 2 m  Lx Ly 







2
 
  2 k x2  (2.25)
 2 2  n2 l 2 
1
1  eE1   
 exp    F  *  2  2   c ( N  )  * 
   exp 
* 


2
m
L
L
2
2
m

 2m 
y 
 c   
 
 x

Thay (2.25) vào (2.24) ta được

17


2
 
e  o
 2 2  n2 l 2 
1
1  eE1   
Lo1 (Q)  *
 exp   F  2m*  L2  L2   c ( N  2 )  2m*     F 
m 1  c2 o2 
 c   
 
 x y

(2.26)

 2    2k 2 
  * k 2  exp 
* 
k m
  2m 

Đặt
 2 2
  2k 2 
Z    * k  exp 

2m* 
k m



Chuyển tổng k thành tích phân
L
 (...)  x
2
k

Lx / 2



(....) dk,

 Lx /2


a

 e

 x 2 n

x dx  

(

n 1
)
2 ( n  1 )

2

a

Ta có:
2
L
Z  x
2 m*

  2k 2
2
k
exp


2m*

 Lx / 2
Lx / 2


dk 


3/ 2

2
(2.27)
 2m* 
L

 x
* 
2 
2 m  
2

Thay (2.27) vào (2.26) ta có:
2
 
e  o
 2 2  n2 l 2 
1
1  eE1   
Lo1 (Q)  *
 exp   F  2m*  L2  L2   c ( N  2 )  2m*     F 
m 1  c2 o2 
 c   
 
 x y
3/2
(2.28)
Lx 2  2m*  

 aeE (   F )


2 m*   2  2

Sau một vài phép biến đổi (2.18) trở thành

18




o 
E  c o  h E   c2 o2 h (h, E)   (   F ) d  
2 2 

1  c  o
0

Lo (Q)  ae 


ea o
E  c o  h E   c2 o2 h (h, E) 
2 2
1  c  o



ea o
 E  c ijk hk Eij  c2 o2 hi h j Eij  
2 2  ij ij
1  c  o



ea o
  c ijk hk  c2 o2 hi h j  Eij
2 2  ij
1  c  o





Tính L0(S)
Ta có:   ,( k  q )    ,k  o 

2
*

m

k 2 q 2  B1

q 2  2 2  n '2  n2 l '2  l 2 
 2   c ( N ' N )  o
Trong đó B1  * 

2m 2m*  L2x
Ly 
Ta có
A1 

C

 

m,m ' 2
q

m , m ', q

2

Im,,m' ' N q ,k n(0),k  (  ,q k    ,k  o )

',

Thực hiện chuyển tổng thành tích phân
Lx /2

Lx
k  2  dk
 Lx /2
Suy ra


*
  
2  Bm 
 Lx
A1 
N q I m,,m' '  Cqm,m '   1 2 e 
2
q
 q 

Với
I nm, ,m ' (qz ) = (2 ) 2



16 Pm2,m ' / q

m , m '=1,3,5,...

19

F

  , 

m* B1 

q 2 


Pm , m ' =
 cos(



Lx

0

dx

x
Lx

2
Lx



Ly

0

) cos(

dy

2
n x
n x
cos(
) cos(
)
Ly
Lx
Lx

 y
m y
m ' y
) cos(
) cos(
)
Ly
Ly
Ly

Nên


m* B1 

 B1m*     F  , q 2 
 Lx
 e o  1 1 
1
m,m '
A1 
N q I ,1 

e
  
2
 o  q 2  ( m )2  ( m '  )2  q 2 
q 2V  o   
z
Lx
Ly
2

Với
Nq 

k BT

0

Sử dụng công thức chuyển tổng thành tích
 (...) 
q

q x  qy 

V





2

 2 3

0



0

 qdq  dz  d .

qx
.
2

Suy ra
2
 Lx kBT  e2o  1 1   
 2 2  n2 l 2 
1
1  eE1   
A1 
   exp    F  *  2  2   c ( N  )  * 
 
2 o 2V  o     o   
2m  Lx Ly 
2 2m  c   

 




 mB12
2 q2



mB1
e
2(q 2  B2 )

B1 


q 2   n '2  n2 l '2  l 2
q2

 2  2  ( N ' N )c  o   B11 

2m 2m  Lx
Ly
2m


0

B2  (

dq

m 2
m ' 2
) (
)
Lx
Ly

Sử dụng tích phân 1 trang 338 Gradshteg and Ryzhik

20


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×