PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ
TP. HCM — 2018.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
1 / 46
NỘI DUNG
1
BÀI TOÁN CAUCHY
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
2 / 46
NỘI DUNG
1
BÀI TOÁN CAUCHY
2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
2 / 46
NỘI DUNG
1
BÀI TOÁN CAUCHY
2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
3
BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH CẤP 2
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
2 / 46
Bài toán Cauchy
Đặt vấn đề
Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn
đến việc giải phương trình vi phân. Bài toán
đơn giản nhất là bài toán Cauchy
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
3 / 46
Bài toán Cauchy
Đặt vấn đề
Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn
đến việc giải phương trình vi phân. Bài toán
đơn giản nhất là bài toán Cauchy
y (x) = f (x, y(x)),
y(a) = y 0
a
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
x
b,
TP. HCM — 2018.
(1)
3 / 46
Bài toán Cauchy
Đặt vấn đề
Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn
đến việc giải phương trình vi phân. Bài toán
đơn giản nhất là bài toán Cauchy
y (x) = f (x, y(x)),
y(a) = y 0
a
x
b,
(1)
với y = y(x) là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn
[a, b], y 0 là giá trị ban đầu cho trước của y(x)
tại x = a.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
3 / 46
Bài toán Cauchy
Đặt vấn đề
Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm
được nghiệm đúng của một số phương
trình đơn giản, còn đối với trường hợp
f (x, y) có dạng bất kỳ thì nói chung không
có phương pháp giải.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
4 / 46
Bài toán Cauchy
Đặt vấn đề
Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm
được nghiệm đúng của một số phương
trình đơn giản, còn đối với trường hợp
f (x, y) có dạng bất kỳ thì nói chung không
có phương pháp giải.
Ngoài ra, trong những trường hợp có thể
tìm ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy (1)
quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
4 / 46
Bài toán Cauchy
Đặt vấn đề
Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm
được nghiệm đúng của một số phương
trình đơn giản, còn đối với trường hợp
f (x, y) có dạng bất kỳ thì nói chung không
có phương pháp giải.
Ngoài ra, trong những trường hợp có thể
tìm ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy (1)
quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng.
Vì vậy, việc tìm những phương pháp giải
gần đúng bài toán Cauchy có vai trò rất
quan trọng trong thực tế.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
4 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler
Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) ta
chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng
b−a
. Khi đó các điểm chia là
n
x 0 = a, x k = x 0 + kh, k = 0, 1, 2, . . . , n, x n = b. Giá
trị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm x k
được ký hiệu là y k và ta có y k ≈ y(x k )
nhau với h =
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
5 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler
Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) ta
chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng
b−a
. Khi đó các điểm chia là
n
x 0 = a, x k = x 0 + kh, k = 0, 1, 2, . . . , n, x n = b. Giá
trị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm x k
được ký hiệu là y k và ta có y k ≈ y(x k )
Giả sử y(x) là nghiệm duy nhất của bài toán
nhau với h =
(1), có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên đoạn
[a, b]. Với mỗi k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 theo công
thức Taylor trên đoạn [x k , x k+1], ta có
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
5 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler
y(x k+1 ) =
(x k+1 − x k )2
y(x k ) + y (x k )(x k+1 − x k ) + y (ξk )
, với
2
ξk ∈ (x k , x k+1 ).
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
6 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler
y(x k+1 ) =
(x k+1 − x k )2
y(x k ) + y (x k )(x k+1 − x k ) + y (ξk )
, với
2
ξk ∈ (x k , x k+1 ). Vì y = y(x) là nghiệm của
phương trình (1) và h = x k+1 − x k nên ta có
h2
y(x k+1 ) = y(x k ) + h. f (x k , y k ) + y (ξk )
2
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
6 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler
y(x k+1 ) =
(x k+1 − x k )2
y(x k ) + y (x k )(x k+1 − x k ) + y (ξk )
, với
2
ξk ∈ (x k , x k+1 ). Vì y = y(x) là nghiệm của
phương trình (1) và h = x k+1 − x k nên ta có
h2
y(x k+1 ) = y(x k ) + h. f (x k , y k ) + y (ξk )
2
Bỏ đi phần dư và thay các giá trị gần đúng
của hàm tại các điểm nút, ta được công
thức Euler
y(x k+1 ) ≈ y k+1 = y k +h f (x k , y k ), k = 0, 1, 2, . . . , n−1.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
6 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler
Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA PHƯƠNG PHÁP EULER
Ý nghĩa hình học của công thức Euler là từ điểm
(x k , y k ) thuộc đường cong y = y(x), kẻ tiếp tuyến với
đường cong. Đường tiếp tuyến sẽ cắt x = x k+1 tại y k+1
chính là giá trị gần đúng của hàm tại x = x k
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
7 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler
VÍ DỤ 1.1
Sử dụng phương pháp Euler để xấp xỉ
nghiệm của bài toán Cauchy
y (x) = y − x 2 + 1,
y(0) = 0.5
0
x
2,
với n = 10. Tại những điểm nút chia so sánh
giá trị gần đúng với giá trị chính xác, biết
nghiệm chính xác của bài toán là
y(x) = (x + 1)2 − 0.5e x .
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
8 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler
Giải.
2−0
Với n = 10 thì h =
= 0.2, x k = 0.2k, y 0 = 0.5.
10
Công thức tính nghiệm gần đúng là
y k+1 = y k + h(y k − x k2 + 1)
với k = 0, 1, . . . , 9.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
9 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler
Giải.
2−0
Với n = 10 thì h =
= 0.2, x k = 0.2k, y 0 = 0.5.
10
Công thức tính nghiệm gần đúng là
y k+1 = y k + h(y k − x k2 + 1)
với k = 0, 1, . . . , 9.
Bấm máy. Y = Y + 0.2(Y − X 2 + 1) : X = X + 0.2
CALC Y = 0.5 =, X = 0 =
1
2
Y =, X = 0.2 =
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
9 / 46
Bài toán Cauchy
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xk
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
yk
0.5000000
0.8000000
1.1520000
1.5504000
1.9884800
2.4581760
2.9498112
3.4517734
3.9501281
4.4281538
4.8657845
Công thức Euler
y(x k )
|y(x k ) − y k |
0.5000000 0.0000000
0.8292986 0.0292986
1.2140877 0.0620877
1.6489406 0.0985406
2.1272295 0.1387495
2.6408591 0.1826831
3.1799415 0.2301303
3.7324000 0.2806266
4.2834838 0.3333557
4.8151763 0.3870225
5.3054720 0.4396874
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
10 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler cải tiến
Trong công thức Euler, thay f (x k , y k ) bởi
f (x k , y k ) + f (x k+1 , y k+1 )
ta được công thức
2
Euler cải tiến
y(x k+1 ) ≈ y k+1 = y k + h
f (x k , y k ) + f (x k+1 , y k+1 )
,
2
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Việc tính toán theo công
thức Euler cải tiến rất phức tạp vì cả 2 vế
đều chứa y k+1 là ẩn cần tìm. Để đơn giản ta
thay y k+1 ở vế phải bởi y k + h f (x k , y k ).
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
11 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler cải tiến
Lúc này ta có công thức
y(x k+1 ) ≈ y k+1 =
f (x k , y k ) + f (x k+1 , y k + h f (x k , y k ))
,
2
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
yk + h ·
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
12 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler cải tiến
VIẾT LẠI CÔNG THỨC EULER CẢI TIẾN:
K 1k = h f (x k , y k )
K 2k = h f (x k + h, y k + K 1k )
K 1k + K 2k
y k+1 = y k +
2
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
13 / 46
Bài toán Cauchy
Công thức Euler cải tiến
VÍ DỤ 1.2
Sử dụng phương pháp Euler cải tiến để xấp
xỉ nghiệm của bài toán Cauchy
y (x) = y − x 2 + 1,
y(0) = 0.5
0
x
2,
với n = 10. Tại những điểm nút chia so sánh
giá trị gần đúng với giá trị chính xác, biết
nghiệm chính xác của bài toán là
y(x) = (x + 1)2 − 0.5e x .
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
14 / 46
Bài toán Cauchy
Với n = 10 thì h =
Công thức Euler cải tiến
2−0
= 0.2, y 0 = 0.5. Công
10
thức tính nghiệm gần đúng là
y k+1 = y k + h
f (x k , y k ) + f (x k+1 , y k + h f (x k , y k ))
2
với k = 0, 1, . . . , 9.
Bấm máy. Y = Y + 0.1 × (Y − X 2 + 1 + Y +
0.2(Y − X 2 + 1) − (X + 0.2)2 + 1) : X = X + 0.2
1
CALC Y = 0.5 = X = 0 =
2
Y =, X = 0.2
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TP. HCM — 2018.
15 / 46
