Tải bản đầy đủ

(trường chuyên) 135 câu tích phân nguyên hàm năm 2018 image marked image marked

Câu 1(Chuyên Đại Học Vinh)
Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x = 0, x = 1, y = 0 và y = 2x + 1 .
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục OX được tính theo
công thức
1

1

1

0

0

0

A. V =   2x + 1dx B. V =   ( 2x + 1) dx C. V =  2x + 1dx

D.

1


V =  ( 2x + 1) dx
0

B. y = x 2 − 3x + 1
C. y = x 3 − 3x 2 + 1
D. y = −x 4 + 3x + 1
Đáp án

B

Phương pháp: Quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y = f ( x ) ; y = g ( x ) và các đườn thẳng x = a; x = b ( a  b ) quanh trục Ox ta được khối
b

tròn xoay có thể tích được tính theo công thức: V =   f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
a

1

Cách giải: Ta có V =  
0

(

)

1

2x + 1 dx =  ( 2x + 1) dx =
2

0

1

Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh)Tích phân



0

A.

3
2

B.

2
3

dx
dx bằng
3x + 1

C.

1
3

Đáp án B
Phương pháp:
+) Đổi biến và đổi cận để đơn giản biểu thức cần tính tích phân.
+) Sử dụng công thức tính tích phân của các hàm cơ bản để tính.
Cách giải:
Đặt

3x + 1 = t  t 2 = 3x + 1  2tdt = 3dx

D.

4
3


2
2
 x = 0  t = 1 1 dx
1 2t
2
2
2

=
.
dt
dt = t =
Đổi cận: 



3 1 3
 x = 1  t = 2 0 3x + 1 1 t 3 1 3
2

Câu

3

(Chuyên

Đại

Học

1

f ( 2 ) = 16,  f ( 2x ) dx = 2. Tích phân
0

A. 28

f (x)

Vinh)Cho

liên

tục

trên



2

 xf ' ( x ) dx bằng
0

B. 30

C. 16

D. 36

Đáp án A
Phương pháp:
2

+) Đặt ẩn phụ t = 2x tính

 f ( x ) dx
0

2

+) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính

 x.f ' ( x ) dx.
0

Cách giải:
1

Xét

 f ( 2x ) = 2,

đặt 2x = t  2dx = dt  dx =

0

2

2=

x = 0  t = 0
dt
. Đổi cận 
2
x = 1  t = 2

2

1
f ( t ) dt   f ( x ) dx = 4
2 0
0

Đặt
2
2
u = x
du = dx
2

  x.f ( x ) dx = x.f ( x ) 0 −  f ( x ) dx = 2f ( 2 ) − 4 = 2.16 − 4 = 28

dv = f ' ( x ) dx
 v = f ( x ) 0
0

Câu 4: (Chuyên Đại Học Vinh)Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn

 0;1 và f ( 0) + f (1) = 0 . Biết
A.

3
2

Đáp án B
Phương pháp:

B.

2


1

2
0 f ( x ) dx = 2 , 0 f ' ( x ) cosdx = 2 . Tính
1

1

C. 

1

 f ( x ) dx
0

D.

1



1

+) Sử dụng phương pháp từng phần đối với tích phân

 f ' ( x ) .cosxdx.
0

1

+) Sử dụng kết quả

 f ( x ) + k.sin x 

2

dx = 0 tính f ( x )

0

1

+) Lấy tích phân từ 0 đến 1 cả 2 vế tính

 f ( x ) dx
0

Cách giải:
u = cosx
du = − sin xdx

Đặt 
dv = f ' ( x ) dx  v = f ( x )
1

 f ' ( x ) .cosxdx = f ( x ) .cosx

Ta có

1

1
0

0

+  f ( x ) .sin xdx
0


1
= − f (1) + f ( 0 )  +  f ( x ) .sin xdx =   f ( x ) .sin dx =
2
2
0
0
1

1

1

Xét

 f ( x ) + k.sin x 

2

0

1

dx = 0   f
0

1

2

1

( x ) dx + 2k. f ( x ) .sin xdx + k . sin 2 ( x ) dx = 0
2

0

0

1
1 1
2
 k 2 + 2k. + = 0  ( k + 1) = 0  k = −1. Suy ra
2
2 2

1

2

 f ( x ) − sin x  dx = 0
0

cosx
1 1 2
= + =
Vậy f ( x ) = sin x   f ( x ) dx =  sin xdx = −
x 0   
0
0
1

1

1

Câu 5: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
1

mãn

 f ( x ) dx = 9. Tính

−5

A. 27

và thỏa

2

 f (1 − 3x ) + 9 dx .
0

B. 21

C. 15

D. 75

Đáp án B
Ta có

2

2

2

0

0

0

 f (1 − 3x ) + 9 dx =  f (1 − 3x ) dx + 9 dx

Đặt
2
−5
1
x = 0 → t = 1
1
1
t = 1 − 3x  dt = −3dx, 
  f (1 − 3x ) dx = −  f ( t ) dt =  f ( x ) dx = 3
31
3 −5
 x = 2 → t = −5 0


2

Suy ra

2

 f (1 − 3x ) + 9 dx = 3 + 9 dx = 3 + 9x
0

2
0

= 21

0

Câu 6:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi Parabol
x2
x2
y=
và đường cong có phương trình y = 4 −
(hình vẽ). Diện tích của hình phẳng
12
4

(H) bằng

(

2 4 + 3

A.

)

3

B.

4 + 3
6

4 3+
6

C.

D.

4 + 3
3

Đáp án A
PT hoành độ giao điểm là

x2
x2
x4
x2
= 4−

= 4 −  x 2 = 12  x = 2 3
12
4
144
4

(

2 4 + 3

x2 x2 
4


dx
=



4 12 
3
−2 3 
2 3

Suy ra S =

)

2

Câu 7: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Biết

 2x ln ( x + 1) dx = a ln b,

với

0

a, b 

*

và b là số nguyên tố. Tính 6x + 7b

A. 33
Đáp án D

B. 25

C. 42

D. 39


1

2
2
u = ln ( x + 1) du =
x2
2
2

dx
Đặt 
x + 1   2x ln ( x + 1) dx =  x ln ( x + 1)  0 − 
x +1
dv = 2xdx
0
0
v = x 2

2

2

a = 3
1 

2
2 x
 x ln ( x + 1)  −   x − 1 +


 dx =  x ln ( x + 1)  0 −  − x + ln ( x + 1)  = 3ln 3  b = 3
x +1 

2
0
0
 6a + 7b = 39
2

2

2
0

1

Câu 8 (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Tích phân

dx

 2x + 5 dx bằng
0

1
7
log
2
5

A.

B.

1 7
ln
2 5

C.

1 5
ln
2 7

D. −

4
35

Đáp án B

ln 2x + 5
dx
Ta có 
=
2x + 5
2
0
1

1

ln 7 ln 5 1 7

= ln
2
2
2 5

=
0

Câu 9: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm dương, liên
trên

tục

đoạn

 0;1

thỏa

mãn

2
1

3 f ' ( x ) . f ( x )  +  dx  2  f ' ( x ).f ( x ) dx. Tính
9
0 
0
1

1

A.

3
2

B.

5
4

C.

điều

kiện

1

 f ( x )

3

f ( 0) = 1

dx.

0

5
6

D.

7
6

Đáp án D
1

1

2
1
Giả thiết  3  f ' ( x ).f ( x )  dx  2  f ' ( x ).f ( x ) dx


3
0
0

1

2

1

1

1

0

0

0

2

  3 f ' ( x ) .f ( x )  dx − 2  3 f ' ( x ).f ( x ) dx +  dx  0   3 f ' ( x ).f ( x ) − 1 dx  0




0

Khi đó 3 f ' ( x ).f ( x ) −1 = 0  9f ' ( x ) .f 2 ( x ) = 1   9f ' ( x ) .f 2 ( x ) dx =  dx = x + C
1
  9f 2 ( x ) d ( f ( x ) ) = x + C  3f 3 ( x ) = x + C mà f ( 0 ) = 1  C = 3  f 3 ( x ) = x + 1
3




1

 x2

7
1

Vậy  f ( x )  dx =   x + 1dx =  + x  =
3

 6
0 6
0
0
1

3

1

Câu 10:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam Tìm

 x cos 2xdx.

1
1
x.sin 2x − cos2x + C.
2
4
1
1
C. x.sin 2x + cos2x + C.
2
2
Đáp án D.

B. x.sin 2x + cos2x + C.

A.

D.

1
1
x.sin 2x + cos2x + C.
2
4

du = dx
u = x
1
1

Đặt 

  x cos 2xdx = x sin x2x −  sin 2xdx
1
2
2
dv = cos2xdx  v = sin 2x

2
1
1
= x sin 2x + cos2x + C.
2
4
Câu 11:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  a; b . Diện
tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = a, x = b được tình theo công thức.
b

b

B. S =  f ( x ) dx.

A. S =  f ( x )  dx.
2

a

a

b

b

D. S =  f ( x ) dx.

C. S =  f ( x ) dx.

a

a

Đáp án D.

2

Câu 12:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)Biết

 cos xdx = a + b

3, với a, b là các số hữu tỉ.


3

Tính T = 2a + 6b.
A. T = 3. B. T = −1. C. T = −4. D. T = 2.
Đáp án B.
Ta có


2


2


3


3

 cos xdx = s inx

a = 1
1

= 1−
3
1  T = −1.
2
b
=



2
1

Câu 13: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Tính I =  e3x .dx.
0

A. I = e3 − 1.

B. I = e −1.

C. I =

e3 − 1
.
3

1
D. I = e3 + .
2


Đáp án C.
1

Ta có: I =  e3x .dx =
0

e3x
3

1

=
0

e3 − 1
.
3

Câu 14: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam )Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm
trên R thỏa mãn f ( 2 ) = −2;

2

 f ( x ) dx = 1.
0

A. I = −10.
Đáp án A.

Khi đó I =  f '
0

Tính tích phân I =  f '

B. I = −5.

( x ) dx.

0

C. I = 0.

D. I=-18.

x = 0  t = 0
dx
.
 dx = 2tdt và 
2 x
x = 4  t = 2

Đặt t = x  dt =
4

4

( x ) dx =  2t.f ' ( t ) dt = 2 t.f ' ( t ) dt
2

2

0

0

u = t
du = dt

, suy ra
Đặt 
dv = f ' ( t ) dt
 v = f ( t ) '
2

2

2
 t.f ' ( t ) dt = t.f ( t ) 0 −  f ( t ) dt = 2f ( 2 ) − 1 = −5.
0

Vậy tích phân I = 2. ( −5) = −10.
Câu 15: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Cho

3

3

0

2

 f ( x ) dx = a,  f ( x ) dx = b. Khi đó

2

 f ( x ) dx

bằng:

0

A −a − b.
Đáp án D.
Ta có:

B. b − a

2

3

3

0

0

2

C. a + b.

D. a − b.

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx = a − b.
2

Câu 16: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Cho

 f (x

2

+ 1) x dx = 2. Khi đó

1
5

I =  f ( x ) dx bằng
2

A. 2.
Đáp án D.

B. 1.

x = 1 → t = 2
Đặt t = x 2 + 1  dt = 2xdx, 
x = 2 → t = 5

C. -1.

D. 4.


2

5

5

1
1
I
  f ( x + 1) xdx =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx =  I = 4.
22
22
2
1
x

b

Câu 17: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Biết

 ( 2x − 1) dx = 1.

Khẳng định nào sau

a

đây đúng?
A. b − a = 1.

B. a 2 − b 2 = a − b + 1. C. b 2 − a 2 = b − a + 1. D. a − b = 1.

Đáp án C.
Ta có

b

b

a

a

2
 ( 2x −1) dx = ( x − x )

= ( b 2 − a 2 ) − ( b − a ) = 1  b 2 − a 2 = b − a + 1.

Câu 18:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0;1 và
1

thỏa mãn 2f ( x ) + 3f (1 − x ) = 1 − x 2 . Tính I =  f ( x ) dx.
0


.
4
Đáp án C.

A.

B.

1


.
6

C.

1


.
20

D.

1


.
16

1

Ta có 2I =  2f ( x ) dx =   1 − x 2 − 3f (1 − x ) dx =  1 − x 2 dx − 3 f (1 − x ) dx.


0
0
0
0
1





1 − x 2 dx =

0


(casio) và
4

1

1

0

0

 f ( x ) dx =  f (1 − x ) dx  2I =



− 3I  I = .
4
20

Câu 19: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi
quay hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng
x = a, x = b xung quanh trục Ox.
b

b

A.   f 2 ( x ) dx

B.

2
 f ( x ) dx
a

a

b

C.   f ( x ) dx
a

b

D. 2  f 2 ( x ) dx
a


4

Câu 20:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Tính tích phân I =  tan 2 x dx .
0

A. I = 1 −

Đáp án A


4

B. I = 2

C. I = ln 2

D. I =


12



4


4



 1

4

1
dx
=
tanx-x
Ta có I =  tan 2 xdx =  
(
)
0 = 1−

2
cos x 
4
0
2

Câu 21:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Tích phân

2

 2x + 1 dx

bằng

0

A. 2ln5

B.

1
ln 5
2

C. ln 5

D. 4ln5

Đáp án C
2

2

2
2
2
0 2x + 1dx = 0 2x + 1d ( 2x + 1) = ln 2x + 1 |0 = ln 5

3

Câu 22: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho I = 
0

x
4 + 2 x +1

dx =

với a, b, c là các số nguyên. Gía trị của a + b + c bằng
A. 1
B. 2
C. 7
Đáp án A

a
+ b ln 2 + c ln 3,
3

D. 9

2 2
2 3
x = 0  t = 1
t −1
t −t
I=
2tdt = 
dt
Đặt t = x + 1  t = x + 1  2tdt = dx; 
4 + 2t
t+2
x = 3  t = 2
1
1
2
a = 7
2
 t3 2

6 
7

 2
1  t − 2t + 3 − t + 2  dt =  3 − t + 3t − 6ln x + 2  = 3 − 12ln 2 + 6ln 3  b = −12  a + b + c = 1
c = 6
1

2

Câu 23: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên)
e

Với cách biến đổi u = 1 + 3ln x thì tích phân

x
1

2

2
A.  ( u 2 − 1) du
31
Đáp án B

2

2
B.  ( u 2 − 1) du
91

Ta có u = 1 + 3ln x  u 2 = 1 + 3ln x  2udu =

ln x
dx trở thành
1 + 3ln x

9 u 2 −1
du
D. 
21 u

2

2

C. 2 ( u − 1) du
2

1

x = 1  u = 1
3
dx, 
x
x = e  u = 2

u2 −1
e
e
2
ln x
2
2
dx =  3
udu =  ( u 2 − 1) du
Suy ra 
u 3
91
1 x 1 + 3ln x
1

Câu 24: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị ( C) ,
biết rằng

( C)

đi qua điểm A ( −1;0) tiếp tuyến d tại A của

( C)

cắt

( C)

tại 2 điểm


có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị
đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị
tích bằng
2
A.
5
Đáp án D

B.

1
9

( C)

và 2

28
(phần gạch chéo trong hình vẽ)
5

( C)

và 2 đường thẳng x = −1; x = 0 có diện
C.

2
9

D.

1
5

( C)  a + b + c = 0
Phương trình tiếp tuyến tại A ( −1;0) là ( d ) : y = y' (1)( x + 1) = ( −4a − 2b )( x + 1)
Phương trình hoành độ giao điểm của (*) suy ra ( −4a − 2b )( x + 1) = ax 4 + bx 2 + c (*)
Điểm A ( −1;0) thuộc đồ thị hàm số

−4a − 2b = c
Mà x = 0, x = 2 là nghiệm của (*) suy ra 
(1)
−12a − 6b = 16a + 4b + c
2
28
32
8
28
=  ( −4a − 2b )( x + 1) − ax 4 − bx 2 − c dx = 4 ( −4a − 2b ) − a − b − 2c = ( 2 )

5 0
3
3
5
→ y = x 4 − 3x 2 + 2
Từ (1) , ( 2 ) suy ra a = 1, b = −3, c = 2 ⎯⎯
2

Vậy diện tích cần tính là S =  2x + 2 − x 4 + 3x 2 − 2dx =
0

1
5
4

Câu 25: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định)Cho I =
u = 2x + 1. Mệnh đề nào dưới đây sai?
3
1
A. I =  x 2 x 2 − 1 dx
21

(

)

1
x 1+ 2xdx và
2 0
3

(

)

B. I =  u2 u2 − 1 du
1


1  u5 u3 
C. I =  − 
2 5 3 

3

3

D. I =
1

(

)

1 2 2
u u − 1 du
2 1

Đáp án B
u= 2x+1  u du=x dx
Cận
u=1 khi x=0

u=3 khi x=4
3
u 2 − 1)
1  u5 u3 
2 (
I = u
du=  − 
2
2 5 3 
1

3
1

x2 + x + 1
b
1 x + 1 = a + ln 2 , với a, b là
3

Câu 26: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Biết
các số nguyên. Tính S = a − 2b.
A. S = −2
B. S= 5

D. S = 10

C. S= 2

Đáp án C
5
5
x 2 + x+1
1 

d
x=
3 x+1
3  x+ x+1 dx
1
= x2
2

5
3

+ ln ( x+1) 53 = 8 + ln

3
2

Câu 27: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Kết quả của tích phân

2

  1
được viết ở dạng   −  − 1. Khẳng định nào sau đây là sai?
 a b
0
A. a + 2b = 8 B. a + b = 5
C. 2a − 3b = 2 D. a − b = 2
Đáp án B

 ( 2x − 1− sinx ) dx




2



 1
−1 =   −  −1
4 2
 4 2
0
 a = 4; b = 2  a + b = 6  khẳng định B sai.
2
 ( 2 x − 1 − sin x )dx = ( x − x + cos x ) 2 =
2

0



e

Câu 28: (Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định): Biết


1

Tính P = a.b
A. P = 4
Đáp án B

B. P = −8
e

ln x

dx = a e + b với a,b  .

x

C. P = −4

D. P = 8

ln x
dx = 0, 7025574586... rồi lưu vào A. Xét hàm F(X) = A –
x
1
XError! Reference source not found.

Cách 1: Bấm MT tính




(Do A = a e + b ) bằng cách nhập hàm trên vào Mode 7, lấy star: - 4, end: 4, step: 1. Ta sẽ
 a = −2  Z
 X ' = −2
thấy tại
tức là 
thoả mãn ycbt nên P = - 8.

b = 4  Z
F ( X ) = 4
a = −2  Z
ln x
dx = −2 e + 4 = 
x
b = 4  Z
1
e

Cách 2: Tính tích phân từng phần



nên P = - 8.

5

Câu 29: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho

 f ( x ) dx = 4.

Tính

−1
2

I =  f ( 2x + 1) dx
−1

B. I =

A. I = 2

5
2

D. I =

C. I = 4

3
2

Đáp án A
5

1
1
Đặt 2x + 1 = u  2dx = du  I =  f ( u) du = .4 = 2
2 −1
2

Câu 30: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục
trên  a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai
đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) là
a

A.

b

b

 f ( x ) dx

B.

b

 f ( x ) dx

C.

a

 f ( x ) dx

D.

a

a

 f ( x ) dx
b

Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Cách giải: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) ,
b

trục hoành và hai

đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) là S =  f ( x ) dx
a

1

Câu 31: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) tích phân I = 
0

A. 0

B. 1

dx
bằng
x +1

D. ln

C. ln 2

3
2

Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng:
1

Cách giải: I = 
0

1

1

 ax + b dx = a ln ax + b + C

1
dx
= ln x + 1 = ln 2 − ln1 = ln 2
2
x +1

Câu 32: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho biết


2

 ln ( 9 − x ) dx = a ln 5 + b ln 2 + c , với a, b, c là các số nguyên. Tính
2

1

A. S = 34
Đáp án B

S = a + b + c được:

C. S = 18

B. S = 13

D. S = 26

Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
u = ln ( 9 − x 2 ) du = −2x

Cách giải: Đặt 
9 − x2
dv = dx
 v = x
2

 I =  ln ( 9 − x ) dx = x ln ( 9 − x
2

1

2

)

2

1

2

x2
+ 2
dx = 2 ln 5 − 3ln 2 + 2I1
9 − x2
1

x
9 
dx

dx =   −1 +
dx = −  dx + 9
2
2 
9−x
9−x 
3 − x )( 3 + x )
1
1
1
1 (
2

2

2

I1 = 

2

2

9  1
1 
3
3 3+ x
2
= −x +  
+
 dx = −1 + ( − ln 3 − x + ln 3 + x ) 1 = −1 + ln
6 1  3− x 3+ x 
2
2 3− x
2

2

2
1

1

3
3
( ln 5 − ln 2 ) = −1 + ln 5 − 3ln 2 = 5ln 5 − 6 ln 2 − 2
2
2
a = 5

 b = 6  S = a + b + c = 13
c = −2


= −1 +

Câu 33: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho hàm số
1
a
x
f ( x) =
+
bxe
.
Tìm
a

b
biết
rằng

f
'
0
=

22
(
)
3
0 f ( x ) dx = 5
( x + 1)
A. a = −2, b = −8
Đáp án C

B. a = 2, b = 8

C. a = 8, b = 2

D. a = −8, b = −2

Phương pháp:
+) Tính f ' ( 0 ) và sử dụng giả thiết f ' ( 0) = −22 suy ra 1 phương trình chứa a,b.
1

+) Tính  f ( x ) dx và sử dụng giả thiết
0

1

 f ( x ) dx = 5 suy ra 1 phương trình nữa chứa a, b.
0

+) Giải hệ gồm 2 phương trình trên, tìm a và b.
Cách giải:


f ' ( x ) = −3.

a

( x + 1)

4

+ be x + be x

 f ' ( 0 ) = −3a + b = −22

(1)

1
1
1

a
−3
x
x
f
x
dx
=
+
bxe
dx
=
a
x
+
1
dx
+
b


(
)
(
)
0
0  ( x + 1)3
0
0 xe dx = aI1 + bI 2



1

1

I1 =  ( x + 1)

−3

( x + 1)
dx =
−2

0

−2 1

=
0

−1  1  3
 − 1 =
2 4  8

1
u = x
du = dx
x 0
x
x
Đặt 


I
=
xe


2
1  e dx = e − e
x
x
dv = e dx
v = e
0
1

3
  f ( x ) dx = a + b = 5
8
0

1
0

= e − ( e − 1) = 1

( 2)

a = 8
Từ (1) và (2)  
b = 2
Câu 34: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số dương a và hàm số y = f ( x ) liên tục

thỏa mãn f ( x ) + f ( −x ) = a x 

trên

a

. Giá trị của biểu thức

 f ( x ) dx bằng

−a

B. a 2

A. 2a 2

C. a

D. 2a

Đáp án B
a

Phương pháp: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ tính

 f ( − x ) dx

−a
a

a

−a

−a

 f ( x ) dx +  f ( −x ) dx =

Sử dụng công thức :

a

 f ( x ) + f ( −x )dx

−a

 x = −a  t = a
Cách giải: Đặt t = −x  dt = −dx . Đổi cận 
 x = a  t = −a

Khi đó ta có:

I=

a

a

−a

−a

 f ( x ) dx = −  f ( −t ) dt =
a

a

a

 f ( −x ) dx

−a

a

a

 2I =

 f ( x ) dx +  f ( −x ) dx =  f ( x ) + f ( −x ) dx =  adx = a x

I=a

2

−a

−a

−a

−a

a
−a

= 2a 2


Câu 35: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

và có

đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình bên có diện
tích là
b

A.

c

 f ( x ) dx −  f ( x ) dx
a

B.

b
b

c

C. −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
a

D.

b

b

c

a

b

b

b

a

c

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx
 f ( x ) dx −  f ( x ) dx

Đáp án A
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ( x ) , y = 0, x = a, x = b
Lời giải:
b
c
f ( x )  0 khi x  ( a; b )
Ta có S = S1 + S2 =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx. Mà 
f ( x )  0 khi x  ( b;c )
a
b
b

c

b

c

a

b

a

b

Khi đó S =  f ( x ) dx +  −f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx
Câu 36 :(Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1): Cho hàm số y = f ( x ) liên tục
trên đoạn  a; b ; và f ( x )  0, x a;b. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f ( x ) , trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) . Thể tích của vật thể
tròn xoay khi quay D quanh Ox được tính theo công thức
b

A.

b

2
 f ( x )dx

B.   f ( x 2 )dx

a

b

C.    f ( x )  dx
2

b

D.

a

a

a

 f ( x ) dx

Đáp án C
Phương pháp: Dựa vào công thức ứng dụng tích phân để tính thể tích vật tròn xoay.
b

Cách giải: V =   f ( x )  dx
2

a

Câu 37:(Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1): Biết rằng
e

 x ln xdx = ae

2

+ b, a, b  . Tính a + b

1

A. 0

B. 10

C.

1
4

D.

1
2

2


: Đáp án D
b

Phương pháp: Công thức từng phần:

 udv = uv

b

b
a

a

−  vdu
a

dx

du =

u = ln x

x

Cách giải: Đặt 
2
dv = xdx
v = x

2
e

e
x2
1
e2  e2 1  e2 + 1
 I = .ln x −  xdx = −  −  =
2
21
2  4 4
4
1
1
1
a =b= a+b=
4
2

Câu 38: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
1
f (x)
dx = 1. Tính  f ( x )dx
và là hàm số chẵn, biết 
1 + ex
−1
−1
1

A. 1

B. 2

Đáp án
Phương pháp: Đặt t = − x
1
f (x)
dx = 1
Cách giải: I = 
x
1
+
e
−1

C. 4

D.

1
2

(1)

Đặt t = −x  dt = −dx.
 x = −1  t = 1
Đổi cận 
 x = 1  t = −1
−1
−1
f (x)
f ( −t )
f (t)
dx
=

dt
=

x

t
−1 1 + e
1 1 + e
1 1 + et dt (do f ( x ) là hàm chẵn)
et
1

Khi đó: I =
−1

= −
1

1 x
1 x
e f (x)
et f ( t )
e f (x)

dt
=
dt
t
x
−1 1 + ex dt = 1
−1 1 + e
1+ e

( 2)

1 x
1
1
e x + 1) f ( x )
(
ex f ( x )
e f (x)
dt+ 
dt = 2  
dx=2   f ( x )dx=2
Từ (1), (2), suy ra 
1 + ex
1 + ex
1 + ex
−1
−1
−1
−1
1

Câu 39: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn
bởi 2 đồ thị của 2 hàm số y = x 2 và y = x + 2. Diện tích của hình (H) bằng
A.

7
6

B. −

9
2

C.

3
2

D.

9
2


Đáp án D
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng tạo bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) và các đường thẳng
x = a, x = b, a  b
b

S =  f ( x ) − g ( x ) dx
a

Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của y = x 2 và y = x + 2
 x = −1
x2 = x + 2  x2 − x − 2 = 0  
x = 2
Diện tích hình (H):
2

1
1

S =  x − ( x − 2 ) dx =  x − x − 2dx = −  ( x − x − 2 )dx =  x 3 − x 2 − 2x 
2
3
 −1
−1
−1
−1
2

2

2

2

2

2

1
1
3
2
1
 1
 9
=  23 − 22 − 2.2  +  ( −1) − ( −1) − 2 ( −1)  =
2
2
3
 3
 2

Câu 40: ( Chuyên Tiền Giang-2018)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
2

 x.f ( x ) dx = 2,
2

0

. Biế t

4

haỹ tiń h I =  f ( x ) dx.
0

A. I = 2.

B. I = 1.

1
C. I = .
2

D. I = 4.

Đáp án D.
2
4
4
x = 0 → t = 0
1
2
  x.f ( x ) dx =  f ( t ) dt   f ( x ) dx = 4  I = 4.
Đặt t = x  dt = 2xdx, 
20
x = 2 → t = 4 0
0
Câu 41: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
4
y = x2 , y = − x +
và trục hoành.
3
3
11
343
39
61
A.
B.
C.
D.
6
162
3
2
Đáp án A.
2

Vì diện tích của 3 đường nên ta cần vẽ hình:
1
4
PT hoành độ giao điểm giữa 2 đường y = x 2 , y = − x +

3
3
x = 1
1
4
2
x =− x+  
.
x = − 4
3
3
3

1
4
11
 x 4
Dựa vào hình vẽ ta có: S =  x 2 dx +   − +  dx = .
3 3
6
0
1


Câu 42: (Cụm 5 trường chuyên)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên a;b. Giả sử
hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên a;b và u ( x ) ;  x  a;b , hơn nữa

f ( u ) liên tục trên đoạn a;b. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
b

A.

 f ( u ( x ) ) u 'dx =
a

u( b)

C.



u(a )

u( b)



f ( u ) du

B.

u(a )
b

f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx =  f ( u ) du

D.

a

b

b

a

a

 f ( u ( x ) ) u 'dx =  f ( u ) du
b

b

a

a

 f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx =  f ( x ) du

Đáp án A
Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt t = u ( x )
Cách giải:
 x = a  t = u ( a )
Đặt t = u ( x )  dt = u ' ( x ) dx. Đổi cận 
 x = b  t = u ( b )
b

u( b)

u( b)

a

u(a )

u(a )

I =  f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx =

 f ( t ) dt =  f ( u ) du

2



Câu 43: (Cụm 5 trường chuyên) Tính tích phân I =  sin  − x  dx
4

0

A. I = −1

C. I = 0

B. I = 1

Đáp án C
Phương pháp:

1

 sin ( a x + b ) dx = − a cos ( a x + b ) + C

2



2
2


 2

=0
Cách giải: I =  sin  − x  dx = cos  x  =
2
2
4

4 0
0

e − nx dx
, n  . Đặt
1 + e− x
0

1

Câu 44: (Cụm 5 trường chuyên) Cho I n = 

D. I =


4


u n = 1( I1 + I2 ) + 2 ( I2 + I3 ) + 3 ( I3 + I4 ) + ... + n ( In + In1 ) − n . Biết lim u n = L. Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
A. L  ( −2; −1)
Đáp án B

B. L  ( −1;0 )

D. L  ( 0;1)

C. L  (1;2)

Phương pháp: Tính tổng quát n ( In + In +1 ) bằng bao nhiêu, sau đó thay vào tính u n và
sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để rút gọn u n .
Cách giải:
e
e nx dx
e −( n +1) dx
+
=
Ta có: I n + I n +1 = 
−x
−x

1+ e
1+ e
0
0
0
1

1

1

− nx

(1 + e ) dx =
−x

1 + e− x

1

e

− nx

0

−e − nx
dx =
n

1

=
0

−e − n + 1
n

 n ( I n + I n +1 ) = 1 − e − n
 u n = 1( I1 + I 2 ) + 2 ( I 2 + I3 ) + 3 ( I3 + I 4 ) + ... + n ( I n + I n +1 ) − n
1
1 1
u n = 1 − e −1 + 1 − e −2 + ... + 1 − e − n − n = −  + 2 + ... + n
e
e e
 L = lim u n =

1
1
1 − n
e e

=−
1

1−
e

 1
−1

 = en
e −1

−1
 −0,58  ( −1;0 )
e −1

Câu 45: (Cụm 5 trường chuyên) Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f ( x ) liên tục và
luôn dương trên đoạn

0;a  thỏa

mãn f ( x ) .f ( a − x ) = 1, x 0;a . Tính tích phân

a

1
dx.
1+ f (x)
0

I=

A. I =

a
2

B. I = a

C. I =

2a
3

Đáp án A
Phương pháp : Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt

x =a−t .

x = 0  t = a
Cách giải : Đặt x = a − t  dx = −dt. Đổi cận 
x = a  t = 0

D. I =

a
3


a
a
a
f (x)
1
1
1
dt = 
dx = 
dx = 
dx
1
1+ f (a − t )
1+ f (a − x )
1+ f (x)
a
0
0 1+
0
f (x)

0

 I = −

a

a

1
x
a
 f ( x ) = 1  I =  dx =
=
2
20 2
0

Câu 46: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn a;b
và cắt trục hoành tại điểm x = c ( a  c  b ) (như hình vẽ bên). Gọi S là diện tích hình

y = f ( x ) trục hoành và hai đường thẳng
x = a; x = b. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
c

b

A. S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx
a

c

c

b

B. S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
a

c

c

b

a

c

C. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
b

D. S =  f ( x ) dx
a

Đáp án B.
Phương pháp :

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
b

c

b

c

b

a

a

c

a

c

Cách giải: S =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
1

Câu 47: (Chuyên Chu Văn An-2018) Biết

x −5

 2x + 2 dx = a + ln b

với a, b là các số thực.

1
2

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
9
9
A. a + b =
B. ab =
8
30
Đáp án C.
Phương pháp:

C. ab =

8
81

D. a + b =

Chia tử cho mẫu.

x −5
x +1− 6
3 
1
1

dx = 
dx =   −
Cách giải: 
 dx =  x − 3ln x + 1 
x +1 
2

1 2x + 2
1 2x + 2
12
1

1

1

3

3

3

1

1
3

7
24


1

a=

1
1
4 1
2 1
8
8

3
= − 3ln 2 − + 3ln = + 3ln = + ln

 ab =
2
6
3 3
3 3
27
81
b = 8

27

Câu 48: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 1;+ ) và

f (
3

0

)

2

x + 1 dx = 8. Tích phân I =  xf ( x ) dx bằng:
1

A. I = 8
Đáp án B.

B. I = 4

C. I = 16

D. I = 2

Phương pháp: Đặt t = x + 1
x = 0  t = 1
Cách giải: Đặt t = x + 1  t 2 = x + 1  dx = 2tdt, đổi cận 
x = 3  t = 2
3

 f
0

(

)

2

2

2

1

1

1

x + 1 dx =  f ( t ) 2tdt = 2  xf ( x )dx = 8   xf ( x ) dx = 4

3

Câu 49: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho

e

x +1

0

.

dx
= a.e 2 + b.e + c,
x +1

với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c
A. S = 4
B. S = 1
C. S = 0
D. S = 2
Đáp án C
Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, đưa về phương pháp đổi biến số tính tích phân
Lời giải:
x = 0  t = e
e x +1
Đặt t = e x +1  2dt =
dx và đổi cận 
2
x +1
x = 3  t = e
a = 2
3
e2
dx
e2

x +1
2
2
Khi đó  e .
= 2  dt = 2t e = 2e − 2e = a.e + b.e + c  b = −2
x +1
0
e
c = 0

Vậy S = 2
7

Câu 50: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho tích phân


0

m
là một phân số tối giản. Tính m − 7n.
n
A. 2
B. 1
Đáp án B

Phương pháp giải:
Lời giải:

Đặt ẩn phụ

C. 0

x 3dx
3

1+ x

2

=

D. 91

t = 3 1 + x 2 , đưa về tích phân hàm đa thức.

m
, với
n


Đặt t = 3 1 + x 2  t 3 = 1 + x 2  2xdx = 3t 2dt  xdx =
7

Khi đó


0

7



Vậy

0

3

=

1+ x2

x 3dx
3

7

x 3dx

1+ x2

=


0

2

x2
3

1+ x2

.xdx = 
1

 x = 0  t = 1
3t 2
dt và 
2
 x = 7  t = 2

t 3 − 1 3t 2
3
141
.
dt =  ( t 4 − t ) dt =
t
2
21
20
2

m m = 141

→ m = 7n = 141 − 7.20 = 1
n
n = 20

Câu 51: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đồ thị y = x 2 − 2x và y = − x 2 + x .
10
9
A. 6
B. 12
C.
D.
8
3
Đáp án C
Phương pháp giải:
Tìm hoành độ giao điểm, áp dụng công thức tính diện tích giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của ( P1 ) , ( P2 ) là nghiệm của phương trình:

x = 0
x − 2x = − x + x  
x = 3

2
Vậy diện tích cần tính là
2

2

3
2

3
2

3
2

0

0

0

S =  x 2 − 2x − ( − x 2 + x ) dx =  2x 2 − 3x dx =  ( 3x − 2x 2 ) dx =

9
8

Câu 52: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn

2


2

 s inx.f ( x ) = f ( 0 ) = 1. Tính

I =  cos x.f ' ( x ) dx

0

0

A. I = 2
B. I = −1
C. I = 1
Đáp án D
Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân
u = cos x
du = − sin xdx

, Khi đó
Lời giải: Đặt 
dv = f ' ( x ) dx
 v = f ( x )

2
0

D. I = 0


2

I = cos x.f ( x ) +  s inx.f ( x ) dx
0

2


2

 
= cos .f   − cos0.f ( 0 ) +  s inx.f ( x ) dx = −f ( 0 ) +  s inx.f ( x ) dx = −1 + 1 = 0
2 2
0
0


Câu 53: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên
thỏa mãn điều kiện

1

3

1

0

0

−1



 f ( x ) dx = 4,  f ( x ) dx = 6. Tính I =  f ( 2x + 1 ) dx

A. I = 6

B. I = 3

D. I = 5

C. I = 4

Đáp án D
Phương pháp giải:
Chia trường hợp để phá trị tuyệt đối, sử dụng đổi biến số để đưa về tích phân đề bài cho
Lời giải:
Ta có


1

I =  f ( 2x + 1 ) dx =
−1

1
2

1



1
2

1

 f ( 2x + 1 ) dx +  f ( 2x + 1 ) dx =  f ( −2x − 1) dx +  f ( 2x + 1) dx

−1



1
2

−1


I1

1
2

I2

 x = −1  t = 1
dt

• Đặt t = −2x − 1  dx = −
và 
. Khi đó
1
2
x=− t=0


2
0
1
1
1
I1 = −  f ( t ) dt =  f ( x ) dx = 2
21
20

1

dt
x = −  t = 0
• Đặt t = 2x + 1  dx =
và 
. Khi đó
2
2

x = 1  t = 3
3
3
1
1
I 2 =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx = 3
20
20
1

Vậy I =  f ( 2x + 1 ) dx = I1 + I 2 = 2 + 3 = 5
−1

Câu 54: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị các hàm số y = x và y = e x , trục tung và đường thẳng x = 1 được tính theo công
thức
1

A. S =  e x − 1 dx
0

1

1

B. S =



−1

e x − 1 dx

C. S =  x − e x dx
0

Đáp án B
Xét hàm số f ( x ) = ex − x , hàm số liên tục trên đoạn 0;1
Ta có f ' ( x ) = ex −1  f ' ( x )  0, x  ( 0;1)  f ( x ) đồng biến trên 0;1

1

D. S =

e

−1

x

− x dx


1

Suy ra f ( x )  f ( 0 ) = 1  0  e  x, x  0;1  S =  ( e x − 1) dx
x

0

1

Câu 55: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Tích phân I =  e 2x dx bằng
0

A. e − 1

e2 − 1
C.
2

B. e − 1

2

D. e +

1
2

Đáp án C
1

1

1 2x
e 2x
Ta có I =  e dx =  e d ( 2x ) =
20
2
0

1

2x

0

e2 − 1
=
2
2

Câu 56: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Cho

 f (x

2

+ 1) dx = 2. Khi đó

1

5

I =  f ( x ) dx bằng
2

A. 2

C. −1

B. 1

D. 4

Đáp án D
2

5

1

2

Đặt t = x 2 + 1  dt = 2xdx   f ( x 2 + 1) xdx =  f ( t ) .

5

dt 1
=
f ( x ) dx = 2
2 2 2

5

Do đó I =  f ( x ) dx = 4
2

Câu 57: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0;1
và thỏa mãn 2f ( x ) + 3f (1 − x ) = 1 − x. Tích phân

1

 f ( x ) dx bằng
0

A.

2
3

B.

1
6

C.

2
15

D.

3
5

Đáp án C
1

Ta có

1

1

1

2
0 2f ( x ) + 3f (1 − x ) dx = 0 1 − xdx  20 f ( x ) dx + 30 f (1 − x ) dx = 3

(1)


x = 0  t = 1
Đặt t = 1 − x  dx = −dt 

x = 1  t = 0
1

Từ (1) và (2) suy ra 5 x  f ( x ) dx =
0

1

0

1

0

1

0

 f (1 − x ) dx = − f ( t ) dt =  f ( x ) dx

(2)

1

2
2
  f ( x ) dx =
3
15
0

Câu 58: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Hàm số f ( x )

7 cos x − 4s inx
có một
cos x + s inx

   3

nguyên hàm F ( x ) thỏa mãn F   = . Giá trị của F   bằng
2
4 8

A.

3 − 11ln 2
4

B.

3
4

C.

3
8

D.

3 − ln 2
4

Đáp án D
Tách 7cos x − 4sin x = a ( cos x + sinx ) + b ( cos x − sinx ) = ( a + b ) .cos x + ( a − b ).sinx
a + b = 7
3
11
3
11

 a = ; b = → 7 cos x − 4s inx = ( cos x + s inx ) + ( cos x − s inx )
2
2
2
2
a − b = −4

2


2


2


2


4

4

4

4

3 ( cos x + s inx ) + 11( cos x − s inx )
d ( cos x + s inx )
dx =  3dx + 11
cos x + s inx
cos x + s inx




Khi đó 2 f ( x ) dx = 

3
=
+ 11.ln cos x + s inx
4

2






2

4


2
3 11.ln 2
3 11.ln 2
=

  f ( x ) dx =

4
2
8
4




 f ( x ) dx = F  2  − F  4 

4

4


   3 11.ln 2 3 − 11.ln 2
=
suy ra F   = F   + −
4
4
2
4 8
1

Câu 59: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Tích phân

dx

 x + 1 bằng
0

A. log 2

B. 1

D. − ln 2

C. ln 2

Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng:

1

1

 a x + b dx = a ln a x + b + C


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×