Tải bản đầy đủ

(trường chuyên) 49 câu nhị thức 2018 image marked image marked

Câu1:

Đại

(Chuyên

(3 − 2x + x )

2 9

Học

Vinh)

Cho

khai

triển

= a 0 x18 + a1x17 + a 2 x16 + ... + a18 . Giá trị của a 15 bằng


A. −804816

C. −174960

B. 218700

D. 489888

Đáp án A
Phương pháp:

(a + b)

Sử dụng khai triển nhị thức Newton

n

n

=  Ckn a n −k bk
k =0

Hệ số a 15 là hệ số của số hạng chứa x 3 . Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 .
Cách giải:
Ta có:

( 3 − 2x + x ) =  C .3 . ( x
2 9

9

k =0

k
9

9−k

2



− 2x )

k

Hệ số a 15 thuộc số hạng a15 x3 nên với k  4 thì sẽ không thỏa mãn.
Với k = 2  C9k .39−k. ( x 2 − 2x ) = 78732 ( x 2 − 2x ) = 78732 ( x 4 − 4x 3 + 4x 2 )
k

2

Với

(

k = 3  C9k .39−k. ( x 2 − 2k ) = 61236 ( x 2 − 2x ) = 61236 x 6 − 3x 4 .2x + 3x 2. ( 2x ) − 8x 3
k

3

2

)

Do đó a15 = 78732. ( −4) + 61236. ( −8) = −804816

Câu

2:

(Chuyên

Đại

cho x 3 + y3 = a.103z + b.102z

Học

Vinh)

Giả

sử

a,

b



các

số

thực

đúng với mọi các số thực dương x, y, z thỏa

mãn log ( x + y ) = z và log ( x 2 + y 2 ) = z + 1 . Giá trị của a + b bằng
A. −

31
2

B. −

25
2

C.

29
31
D.
2
2

Đáp án D
Phương pháp:


 x + y = 10z
log ( x + y ) = z


 x 2 + y2 = 10 ( x + y )

 2
2
2
2
z +1
z
 x + y = 10 = 10.10

log ( x + y ) = z + 1 
Thay 10z = x + y vào x 3 + y3 = a.103x + b.102x , biến đổi, thế và đồng nhất hệ số.
Cách giải:

sao



 x + y = 10z
log ( x + y ) = z

Ta có 
 2
 x 2 + y2 = 10 ( x + y )
2
2
2
z +1
z
 x + y = 10 = 10.10

log ( x + y ) = z + 1 
Khi đó x 3 + y3 = a.103z + b.102z  ( x + y ) ( x 2 − xy + y2 ) = a. (10z ) + b. (10z )
3

2

 ( x + y ) ( x 2 − xy + y 2 ) = a. ( x + y ) + b. ( x + y )  x 2 − xy + y 2 = a. ( x + y ) + b. ( x + y )
3

2

2

b
b

. ( x 2 + y 2 )  x 2 + y 2 − xy =  a +  . ( x 2 + y 2 ) + 2a.xy
10
 10 
b
1


29
a + = 1 a = −

Đồng nhất hệ số, ta được  10
2 . Vậy a + b =
2
2a = −1
b = 15

 x 2 − xy + y 2 = a. ( x 2 + 2xy + y 2 ) +

Câu 3: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho k, n ( k  n ) là các số nguyên dương. Mệnh đề
nào sau đây sai?
A. Ckn =

n!
k!. ( n − k ) !

B. A kn = n!.C kn

C. A kn = k!.C kn

D. C kn = C nn − k

Đáp án D
10


x +1
x −1 
Câu 4: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Cho biểu thức P = 


3
2
 x − 3 x +1 x − x 
với x  0, x  1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của P .
A. 200.
B. 100.
C. 210.
D. 160.
Đáp án C.
Ta có:

x +1

3

x −1
=
x2 − 3 x +1 x − x


(

3

)

1  3
1

x + 1 − 1 +
.
= x−
x
x

10 − k

10

k

1
20 −5k
1
1
10
10
− 
 1
k − 
k
k  3
k
6
2
Suy ra P =  x 3 − x 2  =  C10
x

1
x
=
C

1
x
.
  ( ) 
  10 ( )
k
=
0
k
=
0




 
4
4
Số ha ̣ng không chứa x  20 − 5k = 0  k = 4  a 4 = C10
( −1) = 210.

Câu 5:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển nhị thức
n

1 

Newton  x x + 3  , biết tổng các hệ số của khai triển bằng 128
x

A. 37.
B. 36.
C. 35.
Đáp án C.
n

(

n
1 

Ta có  x x + 3  =  Ckn x x
x  k =0


)

n −k

k

n
 1 
=
Ckn x

3 
 x  k =0

9n −11k
6

.

D. 38.


Suy ra tổ ng các hê ̣ số của khai triể n bằ ng
n

n

k =0

k =0

n

C
k =0
n

k
n

= 128.

Mă ̣t khác (1 + 1) =  Ckn 1n −k.1k =  Ckn   Ckn = 2n = 128  n = 7.
n

k =0

9n − 11k
5.7 − 11k
=5
= 5  k = 3  a 3 = C37 x 5 = 35x 5 .
Suy ra
6
6

Câu 6: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số
( a n ) , n  1 là Sn = 2n 2 + 3n. Khi đó
là cấp số cộng với công sai bằng 1.

B.

(an )

là cấp số

cộng với công sai bằng 4.
C. ( a n ) là cấp số nhân với công bội bằng 1.

D.

(an )

là cấp số

A.

(an )

nhân với công bội bằng 4.
Đáp án B.
Dễ thấ y u n phải là cấ p số cô ̣ng:
n 2a1 + ( n − 1) d 
u + un
Ta có: Sn = 1
.n  
= 2n 2 + 3n  n ( nd + 2a1 − d ) = n ( 4n + 6 )
2
2
d = 4
d = 4


.
2a1 − d = 6 a1 = 5
1
Câu 7: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho dãy số ( U n ) xác định bởi U1 = và
3

Un +1 =
A.

U
U
U
n +1
Un . Tổng S = U1 + 2 + 3 + ... + 10 bằng
2
3
10
3n

3280
6561

B.

29524
59049

C.

25942
59049

D.

1
243

Đáp án B
1

Vn +1 = Vn
10

U

3
Đặt Vn +1 = n +1  
suy ra S =  Vn trong đó Vn là cấp số nhân với công
1
n +1 
1
V1 =

3

1
sai q = .
3
10

1
1−  
1
29524
3
Do đó S = .   =
3 1− 1
59049
3


Câu 8: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho n là số nguyên dương thỏa mãn:
A 2n = C 2n + C1n + 4n + 6. Hệ số của số hạng chứa x 9 của khai triển biểu thức
n

3

P ( x ) =  x 2 +  bằng:
x

A. 18564

B. 64152

C. 192456

D. 194265

Đáp án C
Do
A 2n = C2n + C1n + 4n + 6  n ( n − 1) =

n ( n − 1)
+ n + 4n + 6  n ( n − 1) = 10n + 12  n = 12
2
12

3

Số hạng tổng quát của khai triển P ( x ) =  x 2 +  là:
x

k
12

C

(x )

2 k

12 − k

3
. 
x

k
k
= C12
.x 2k .312− k.x k −12 = C12
.x 3k −12 .312− k

Số hạng chứa x 9 tương ứng với 3k −12 = 9  k = 7  hệ số của số hạng chứa x 9 là :
7
C12
.35 = 192456

Câu 9: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Tính tổng S = 1 + 2.2 + 3.22 + 4.23 + ... + 2018.22017
A. S = 2017.2 2018 + 1 B. S = 2017.22018.
C. S = 2018.22018.
D.
2018
S = 2019.2 + 1.
Đáp án A.
Ta có 2S = 1.2 + 2.22 + 3.23 + ... + 2018.22018
Khi đó 2S − S = 2018.22018 + (1 − 2) .2 + ( 2 − 3) .22 + (3 − 4) .23 + ... −1.
= 2018.2

2018

− ( 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2
0

1

2

3

2017

)

= 2018.2

2018



20. (1 − 22018 )

= 2018.22017 + 1.

1− 2
Câu 10: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Tìm hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai
11
triển nhị thức Newton (1 + 2x )( 3 + x ) .

A. 4620.
: Đáp án C.

B. 1380.

C. 9405.
11

D. 2890.

11

11

k =0
9

k =0

k 11− k k
k 11− k k
k 11− k k +1
3 x =  C11
3 x + 2 C11
3 x .
Ta cos (1 + 2x )( 3 + x ) = (1 + 2x )  C11
11

Số hạng chứa x

9

k =0
8 3
11

là C 3 x + 2C 3 x = 9405x .
9 2
11

9

9

Câu 11: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Tìm hệ số của x 9 trong khai triển


4

3

biểu thức  2x 4 − 3  .
x 

A. −96
Đáp án A

B. −216

C. 96 D. 216

4

4
4
4− k
k
3 
k
k

Ta có  2x 4 − 3  =  Ck4 ( 2x 4 ) ( −3) ( x −3 ) = C k4 24− k ( −3 ) x16−7k .
x  k =0

k =0

Số hạng chứa x 9  16 − 7k = 9  k = 1  a1 = C14 24−1 x 9 = −96x 9 .
Câu 12: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự
k
k +1
k +2
, C14
, C14
nhiên k sao cho C14
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tích tất

cả các phần tử của S.

A. 16 B. 20 C. 32 D. 40
Đáp án C
k +1
k
k +2
2C14
= C14
+ C14
 2.



14!
14!
14!
=
+
( k + 1)!.(13 − k )! k!. (14 − k )! ( k + 2 )!. (12 − k )!

2 (14 − k )
(13 − k )(14 − k )
k +1
=
+
( k + 1)!. (14 − k )! ( k + 1)!. (14 − k )! ( k + 2 )( k + 1)!. (14 − k )!

 2 (14 − k ) = k + 1 +

(13 − k )(14 − k ) 
k+2

( 28 − 2k )( k + 2 ) = ( k + 1)( k + 2 ) + (13 − k )(14 − k )

k = 4
 −2k 2 + 24k + 56 = k 2 + 3k + 2 + k 2 − 27k + 182  4k 2 − 48k + 128 = 0  
 4.8 = 32
k = 8

Câu 13:(Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Tìm hệ số của x 4 trong khai triển nhị thức
n

1 

Newton  2 x + 5  với x  0 , biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn An5  18 An4− 2
x

A. 8064
B. 3360
C. 13440
D. 15360
Đáp án A
Điều kiện: n  6 . Ta có An5  18 An4− 2 

( n − 2 )!  n ( n − 1)  18
n!
 18.
n−5
( n − 5)!
( n − 6 )!

 n2 − n 18 ( n − 5)  n2 −19n + 90  0  9  n  10 → n = 10
10

k

6k
10
10
10−
1 

10− k  1 
k
k 10 − k
Với n = 10 , xét khai triển  2 x + 5  =  C10 ( 2 x ) .  5  =  C10 2 .x 5
x
k =0

 x  k =0


6k
= 4  k = 5 . Vậy hệ số cần tìm là C105 .25 = 8064
5
21
Câu 14: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Trong khai triển biểu thức ( x + y ) , hệ số
Hệ số của x 4 ứng với 10 −

của số hạng chứa x13 y8 là
A. 116280
B.

293930

C. 203490

D. 1287

Đáp án C
x 21− k k
x y ( 0  k  21; k 
Số hạng tổng quát thứ k + 1: Tk +1 = C21

)

ứng với số hạng chứa

x13y 8 thì k = 8 . Vậy hệ số của số hạng chứa x13y 8 là a8 = C821 = 203490
Câu 15. (Chuyên Thái Bình- 2018)Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
21

2 

 x − 2  , ( x  0, n  N *)
x 

7
A. 27 C21

8
C. −28 C21

8
B. 28 C21

7
D. −27 C21

Đáp án D
Ta có: Error! Reference source not found.
Số hạng không chứa x  k – 2(21 – k) = 0  k = 14
14
7
(−2) 21−14 = C21
(−2)7
Số cần tìm là C21

(theo tính chất Error! Reference source not

found.)

Câu 16: (Chuyên Thái Bình- 2018) Biế t rằ ng hệ số của x 4 trong khai triể n nhị thức Newton

( 2 − x ) , ( n  N *)
n

A. n = 5

bằ ng 60. Tìm n .

B. n = 6

C. n = 7

D. n = 8

Đáp án B

(2 − x)

n

, (n  N * )

Số hạng tổng quát trong khai triển là

( −1)

k

Cnk 2n − k . ( x ) , (n  N * )
k

Theo yêu cầu bài toán ta có k = 4
Vậy hệ số x4 của trong khai triển

( −1)

4

Cn4 2n − 4 = 60

Giải phương trình Cn4 2n − 4 = 60  n = 6
Câu 17: (Chuyên Vĩnh Phúc–lần 2) Tìm tất cả các số a trong khai triển của


(1 + ax )(1 + x )

4

có chứa số hạng 22x 3 .
C. a = −3

B. a = 2

A. a = 3

D. a = 5

Đáp án A

(a + b)

Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton

n

n

=  C kn a k b n − k , tìm ra hệ
k =0

số của x 3 trong khai triển trên và cho hệ số đó bằng 22.
4

4

k =0

k =0

Cách giải: (1 + ax )(1 + x ) = (1 + ax )  C k4 x k + a  C k4 x k +1
4

Hệ số có chứa x 3 trong khai triển trên là C34 + aC42 = 4 + 6a = 22  a = 3
Câu 18: (Chuyên Quang Trung -2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển
6
7
12
P ( x ) = ( x + 1) + ( x + 1) + ... + ( x + 1)
A. 1715.
Đáp án A

B. 1711.

Phương pháp
Hệ số của x 5 trong khai triển

C. 1287.

( x + 1) ( k  5 )

kết quả.
Lời giải chi tiết.
Hệ số của x 5 trong khai triển

k

D. 1716.

là C5k . Lấy tổng các hệ số này lại để ra

( x + 1) ( k  5 )
k

là C5k . Do đó hệ số của x 5 trong

5
5
5
+ C11
+ C12
= 1715
khai triển của p ( x ) là C56 + C57 + C85 + C95 + C10

Câu 19: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho đa thức
8
9
10
11
12
p ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) (1 + x ) . Khai triển và rút gọn ta được đa
thức: P ( x ) = a0 + a1x + a2 x 2 + ... + a12 x12 . Tìm hệ số a8
A. 720
Đáp án C

B. 700

C. 715

Phương pháp: Áp dụng công thức khai triển tổng quát:

D. 730

(a + b)

n

n

=  Cnk .a n − k .b k
k =0

n

Đối với bài toán này ta áp dụng công thức (1 + x ) =  Cnk .1n − k .x k . Sau đó dựa vào khai
n

triền bài toán cho P ( x ) = a0 + a1x + a2 x + ... + a2 x
2

Cách giải:
8

+) (1 + x ) =  C8k .18− k .x k  a8 = C88
8

k =0
9

+) (1 + x ) =  C9k .19− k .x k  a8 = C98
9

k =0

12

k =0

ta tìm được hệ số a8 (đi theo x8 )


10

+) (1 + x ) =  C10k .110− k .x k  a8 = C108
10

k =0
11

+ ) (1 + x ) =  C11k .111− k .x k  a8 = C118
11

k =0
12

+) (1 + x ) =  C12k .112− k .x k  a8 = C128
12

k =0

Vậy Hệ số cần tìm là: a8 = C88 + C98 + C108 + C118 + C128 = 1 + 9 + 45 + 165 + 495 = 715
Câu 20: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho đa thức
8
9
10
11
12
p ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) (1 + x ) . Khai triển và rút gọn ta được đa
thức: P ( x ) = a0 + a1x + a2 x 2 + ... + a12 x12 . Tính tổng các hệ số ai , i = 0,1, 2,...,12
A. 5
Đáp án B

B. 7936

C. 0

Phương pháp:
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Sn =
Áp dụng khai triển nhị thức Newton

(a + b)

2

D. 7920

u1 ( q n − 1)
q −1

n

=  Cnk a k b n − k
k =0

n

Sử dụng tổng (1 + 1) =  Cnk = 2n
2

k =0

Cách giải:
8
9
10
11
12
p ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x )

(1 + x ) (1 + 5)

− 1 (1 + x )13 − (1 + x )8 (1 + x )13 (1 + x )8
=
=

1+ x −1
x
x
x
8

=

13

=

 C13m xm

m=0

x

5

8

C

=

n =0

n
8

xn

x

13

8

=  C13m x m−1 −  C13n x n −1
m=0

n =0

 a0 + a1 + a2 + ... + a12 = ( C − C ) + ( C132 − C82 ) + ... + ( C138 − C88 ) + C139 + ... + C1313
1
13

13

8

a =1

b =1

1
8

 C13a −  C8b
n

13

k =0

a =1

Xét tổng (1 + 1) =  Cnk = 2n   C13a = 28 − C80 = 28 − 1
2

 a0 + a1 + a2 + ... + a12 = 213 − 1 − 28 + 1 = 7936

Câu 21: (Chuyên Lam Sơn –Lần 2)Tìm hệ số h của số hạng chứa x 5 trong khai
7

2

triển  x 2 +  ?
x


A. h = 84

B. h = 672

C. h = 560

D. h = 280


Đáp án D
Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton:

(a + b)

2

n

=  Cnk a k b n − k
k =0

7

7
2

Cách giải: Ta có:  x 2 +  =  C7k 2k x14−3k
x  k =0


Hệ số của x5  14 − 3k = 5  k = 3
Vậy h = C73 23 = 280
Câu 22: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Biết n là số nguyên dương thỏa mãn
A 3n + 2A 2n = 100. Hệ số của x 5 trong khai triển

(1 − 3x )

2n

bằng:
5
B. −35 C12

5
A. −35 C10

5
D. 65 C10

5
C. 35 C10

Đáp án A
Điều kiện: n  3. Ta có A3n + 2A2n = 100 

n!
n!
+ 2.
= 100
( n − 3) ! ( n − 2 ) !

 n ( n −1)( n − 2) + 2n ( n −1) = 100  n3 − n 2 −100 = 0  n = 5 (điều kiện : n  3 ).
10

10

k
k
.110− k. ( −3x ) =  C10
. ( −3) .x k .
Với n = 5, xét khai triển (1 − 3x ) =  C10
10

k

k =0

k

k =0

5
5
. ( −3) = −35.C10
.
Hệ số của x 5 ứng với x k = x 5 → k = 5. Vậy hệ số cần tìm là C10
5

2
2017
+ ... + C2017
Câu 23: Cho tổng S = C12017 + C2017
. Giá trị tổng S bằng:

B. 22017

A. 22018

C. 22017 − 1

D. 22016

Đáp án C
Xét khai triển (1 + x ) = C0n + x.C1n + x 2 .Cn2 + ... + x n .Cnn
n

( *)

x = 1
2017
− 1.
Thay 
vào (*), ta được 22017 = C02017 + C12017 + C22017 + ... + C2017
2017  S = 2
n = 2017

Câu
24:
(Chuyên
Hùng
Vương-Bình
Dương.)
Tính
tổng
k
1009
1010
1011
2018
S = C2018 + C2018 + C2018 + ... + C2018 (trong tổng đó, các số hạng có dạng C 2018 với k
nguyên dương nhận giá trị liên tục từ 1009 đến 2018 ).


1
B. S = 22017 + C1009
2018
2

A. S = 22018 − C1009
2018

1
C. S = 22017 − C1009
2018
2

D. S = 22017 − C1009
2018

Đáp án B
Ta có: (1 + x )

2018

2018

2018 2018
=  C k2018 x k = C02018 +C12018 x + ... + C2018
x .
k =0

Chọn x = 1  22018 = C02018 + C12018 + ... + C2018
2018 .
1
1011
2018
1009
1009
2017
+ C1009
Vì Ckn = Cnn −k  22018 = 2 ( C1010
2018 + C 2018 + C 2018 ) + C 2018 = 2S + C 2018  S = 2
2018 .
2

Câu 25: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Hệ số của x9 sau khi khai triển và rút gọn
9
10
14
đa thức f ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + ... + (1 + x ) là:
A. 2901

B. 3001

C. 3010

D. 3003

Đáp án D
n

Phương pháp: Sử dụng khai triển (1 + x ) =  Cnk .x k
n

k =0

n

Cách giải: Ta có : (1 + x ) =  Cnk .x k
n

k =0

Do đó hệ số của x trong khai triển trên là C99 + C109 + C119 + ... + C149 = 3003 .
9

40

40
1

Câu 26: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho  x +  =  a k x k , với a k 
2

k =0

Khẳng định nào sau đây là đúng?
B. a 25 =

25
A. a 25 = 225 C40

1 25
C40
225

C. a 25 =

1 25
C 40
215

D. a 25 = C25
40

Đáp án C
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton là

(a + b)

n

n

=  Ckn a n − k .b k .
k =0

40

40

40
1

1

1
Lời giải: Xét khai triển  x +  =  + x  =  C k40 .  
2

2

2
k =0

40 − k

.x k
15

1 25
 12 
Hệ số của x ứng với x = x  k = 25. Vậy a 25 = C .   = 15 .C 40
2
 2
25

k

25

25
40

Câu 27: (Cụm 5 trường chuyên) Tìm hệ số của x 7 trong khai triển P ( x ) = ( x + 1)

20

.


B. A 720

A. C720

C. A 2013

D. P7

Đáp án A
Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton:

(a + b)

n

n

=  C kn a n b n − k
k =0

20

Cách giải: P ( x ) = ( x + 1) =  C k20 .x k .
20

k =0

Để tìm hệ số của x 7 ta cho k = 7 , khi đó hệ số của x 7 là C720
12

 1

Câu 28: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong khai triển  3 + x 5 
x

4
hạng chứa x là:
A. 924x 4
B. 792
C. 792x 4
Đáp án C.

Phương pháp : Sử dụng khai triển nhị thức Newton:

với x  0. Số

D. 924

n

( a + b ) =  Ckn a n −k b k
n

k =0

12

k

12
12
12
12 − k
1
 1

k  1 
k
k
. 3  .( x5 )
=  C12
. 3k .x 60−5k =  C12
.x 60 −8k
Cách giải :  3 + x 5  =  C12
x
x

x 
k =0
k =0
k =0
7
4
4
4
60 − 8k = 4  k = 7  Số hạng chứa x là C12 .x = 792x .

Câu 29: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Với n là số nguyên dương thỏa mãn A kn + 2A 2n = 100
( A kn là số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử). Số hạng chứa x 5 trong khai
triển của biểu thức (1 + 3x ) là:
2n

A. 61236

B. 256x 3

D. 61236x 3

C. 252

Đáp án D
Phương pháp: Chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử A kn =

n!
( n − k )!

Cách giải:
A kn + 2A 2n = 100  2A 2n  100  A 2n  50


n!
1 − 201
1 + 201
 50  n ( n − 1)  50  n 2 − n − 50  0 
n
2
2
( n − 2 )!

Mà n  , n  2  n 2;3;4;5;6;7 ‘
Thay lần lượt n = 2;3; 4;5;6;7 vào A kn + 2A 2n = 100 :


n

2

3

4

5

6

7

k

Loại

Loại

Loại

3

Loại

Loại

Vậy n = 5
5
.35.x 5 = 61236x 5
Số hạng chứa x 5 trong khai triển ứng với i = 5 . Số hạng đó là: C10

Câu 30: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Trong khai triển
4

( a − 2b )

8

, hệ số của số hạng

4

chứa a b là:
A. 70
Đáp án C

B. 168

D. −1120

C. 1120

Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton

(a + b)

n

n

=  C kn a k b n − k
k =0

Cách giải:

( a − 2b )

8

8

=  C8k a k . ( −2b )

8− k

k =0

8

=  C8k ( −2 )

8− k

a k .b8− k

k =0

k = 4
k=4

8 − k = 4

Để tìm hệ số của số hạng chứa a 4 b 4 ta cho

Vậy hệ số của số hạng chứa a 4 b 4 là C84 . ( −2 ) = 1120
4

Khi đó, (1 + 3x )

2n

10

10

i
= (1 + 3x ) =  C10
( 3x ) =  C10i 3i.x i
10

i

i =0

i =0

Câu 31: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển Nhị
 n x
+ 
thức Niu tơn của 
 2x 2 

A.

297
512

2n

B.

( x  0 ) , biết số nguyên dương n thỏa mãn
29
51

C.

97
12

C3n + A 2n = 50.

D.

279
215

Đáp án A
Ta có C3n + A n2 =

n ( n − 1)( n − 2 )
n!
n!
+
=
+ n ( n − 1) = 50  n = 6
3!( n − 3)! ( n − 2 )!
6

12

12 − k

12
3 x
k  3
Suy ra  +  =  C12
 
x 2
x
k =0

k

12
x
k 12 − k − k 2k −12
=
C12
3 2 x

 
2
k =0

10 2 −10 8
32 x =
Số hạng chứa x 8  2k − 12 = 8  k = 10  a10 = C12

297 8
x
512

Câu 32: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Biết rằng khi khai triển nhị thức Niutơn


n

2

3

n −2  1 
n −3  1 
1 
1

n
n −1
 x + 4  = a 0 . x + a1. x . 4 + a 2 . x .  4  + a 3. x .  4  ...
2 x
x

 x
 x

(với n là số nguyên lớn hơn 1) thì ba số a 0 ,a1 ,a 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Hỏi trong khai triển trên, có bao nhiêu số hạng mà lũy thừa của x là một số nguyên.
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án C
Yêu cầu bài toán  a 0 = 1, a1 =
Khi và chỉ khi 1 +

C1n
C2
, a 2 = n lập thành cấp số cộng
2
4

n ( n − 1)
C2n
= C1n  1 +
= n  n 2 − 9n + 8 = 0  n = 8
4
8

Do đó, số hạng tổng quát của khai triển là Tk = C .
k
8

( x)

8− k

.

16 − 3k

4

Số hạng mà lũy thừa của x là số nguyên ứng với

1

2 k.

( x)
4

k

C8k 16−43k
= k .x
2

 3k 4 mà k 0;1;...;8

Suy ra k = 0;4;8 → Có 3 số hạng lũy thừa của x là số nguyên.
Câu 33: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho n là số

nguyên dương thỏa mãn

A 2n − 3C nn −1 = 11n. Xét khai triển P ( x ) = ( x − 2 ) . Hệ số chứa x10 trong khai triển là:
n

A. 384384

B. −3075072

C. −96096

D. 3075072

Đáp án C
Phương pháp:
n

+) Công thức khai triển nhị thức Newton: ( x + y ) =  Cin .x i .y n −i
n

i =0

+) A kn =

n!
n!
, Ckn =
k!( n − k )!
( n − k )!

Cách giải:
A 2n − 3Cnn −1 = 11n 

 n = 0 ( Loai )
n!
− 3n = 11n  n ( n − 1) − 14n = 0  n 2 − 15n = 0  
( n − 2 )!
 n = 15
15

Với n = 15 : P ( x ) = ( x − 2 ) = ( x − 2 ) =  Cin x i ( −2 )
n

15

i =0

15 −i


Hệ số chứa x10 ứng với i = 10 và bằng C10
15 ( −2 )

15 −10

= −96096

Câu 34: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Giả sử có khai triển
n
(1 − 2x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a n x n . Tìm a 5 biết a 0 + a1 + a 2 = 71
A. −672
Đáp án A

B. 672

C. 627

D.

−627

n
k
2
n
Ta có (1 − 2x )n = 
C kn ( −2 ) x k =1 + C1n ( −2 ) x + C n2 ( −2 ) x 2 + ... + C nn ( −2 ) x n
k =0

Suy ra
Suy ra

a 0 + a1 + a 2 = 71 = 1 − 2C1n + 4C2n = 71  n = 7

a5 = C57 ( −2) = −672
7

Câu

(1 + 2x )

(Chuyên

35:
n

Đại

Học

Vinh-2018)

Cho

= a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a n x n , n  1. Tìm số giá trị nguyên

khai
của

triển
n với

n  2018 sao cho tồn tại k ( 0  k  n −1) thỏa mãn a k = a k +1
A. 2018

B. 673

C. 672

D. 2017

Đáp án B
Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
n

Cách giải: Ta có (1 + 2x ) =  C kn 2k x k ( k  Z )
n

k =0

 a k = Cnk 2k ;a k +1 = Cnk +1 2k +1
 Ckn 2k = Ckn +1 2k +1 


n!
n!
2k =
2k +1
k!( n − k )!
( k + 1)!( n − k − 1)!

1
2
=
n − k k +1

 k + 1 = 2n − 2k  n =

3k + 1
2

1

Ta có n  1; 2018  k   ;1345
3


Do n là số
673 số

1

nguyên nên 3k + 1 là số chẵn => k là số lẻ, thuộc đoạn  ;1345 => có
3


nguyên k thỏa mãn.

Với mỗi số nguyên k xác định 1 số nguyên n. Vậy có 673 số nguyên n thỏa mãn yêu cầu
bài toán.


Câu 36: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)v Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai
5
triển của biểu thức  3x 3 − 2  .



A. -810.
Đáp án A.


x2 

B. 826.

C. 810.

D. 421.

Phương pháp giải:
n
Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton là ( a + b )n = 
C kn .a n − k .b k
k =0

Lời giải: Xét khai triển

5

2 

3
 3x − 2  =
x 


 C . ( 3x )
5

k =0

k
5

3

k

2 

. − 2  =
 x 

5− k

5

C
k =0

k
5

.35− k. ( −2 ) .x15−5k .
k

Hệ số của số hạng chứa x10 ứng với 15 − 5k = 10  k = 1.
Vậy hệ số cần tìm là C15 .34. ( −2) = −810.
Câu 37: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong khai triển (1 + 3x )
hệ số của số hạng đứng chính giữa là
A. 311 C11
B. 312 C12
20
20

20

với số mũ tăng dần,

C. 310 C10
20

D. 39 C920

Đáp án A
Phương pháp giải:
Khai triển với số mũ n là số chẵn thì số hạng chính giữa là
20

1+ n
2

20

Lời giải: Xét khai triển (1 + 3x ) =  C k20.120− k. ( 3x ) =  C k20.3k.x k
20

k

k =0

k =0

Số hạng đứng chính giữa của khai triển ứng với k =

1 + 21
= 11
2

Vậy hệ số của số hạng cần tìm là 311 C11
20
Câu 38: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển thành
10
đa thức của biểu thức A = (1 − x )
là:
A. 30
Đáp án B

B. -120

C. 120

Phương pháp
Sử dụng khai triển nhị thức Newton

(a + b)

n

n

=  C kn a n − k b k
k =0

Cách giải
10

10

k
A = (1 − x ) =  C10
( − x ) =  C10k ( −1) . ( x )
10

k =0

k

k

k

k =0

3
 Hệ số của số hạng chứa x 3 là C10
( −1) = −120
3

D. -30


Câu 39: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Tìm hệ số của x 3 sau khi khai triển và
9
1
3
rút gọn các đơn thức đồng dạng của  − x + 2 x  , x  0 .
x

A. −2940
B. 3210.
C. 2940.
D. −3210
Đáp án A
9
1− x2 + 2x3 )
(
1
2
Ta có  − x + 2x  =
.
x9
x

9

Ta cần tìm hệ số của x12 trong khai triển P = (1 − x 2 + 2x3 ) .
9

Ta có P =  C9k ( 2x3 − x
9

k =0

)

2 k

k = 6
  k = 5 thỏa mãn.
 k = 4

+) Với k = 6  hệ số C96 . ( −1) = 84.
6

+) Với k = 4  hệ số C94 .24 = 2016.
+) Với k = 5  C9k ( 2x 3 − x 2 ) = 126x10 ( 2x − 1) = 126x10  C5k  . ( 2x ) . ( −1)
k

5

5

k

5− k 

k = 0

k  = 2  hệ số 126.C .2 . ( −1) = −5040.
Vậy hệ số cần tìm là 84 + 2016 − 5040 = −2940.
Câu 40: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai
9
1 

triển của  2x + 2  với x  0
x 

A. 4608
B. 128
C. 164
D. 36
Đáp án A
2
5

2

5− 2

9

k

9
9
1 
9− k  1 

Ta có:  2x + 2  =  C9k . ( 2x ) .  2  =  C9k .29− k.x 9−3k
x  k =0

x 
k =0
3
Số hạng chứa x ứng với k thỏa mãn: 9 − 3k = 3  k = 2
Hệ số x 3 trong khai triển là: C92 .27 = 4608
Câu 41: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị
21

2 

thức Newton  x − 2  , ( x  0 )
x 

A. 27 C721
B. 28 C821
Đáp án D

C. −28 C821

21

2 

−2 21
 x − 2  = ( x − 2x ) có SH tổng quát:
x 


Ck21.x 21−k . ( −2x −2 ) = Ck21.x 21−k . ( −2 ) .x −2k = Ck21. ( −2 ) .x 21−3k
k

k

k

D. −27 C721


Số hạng không chứa x là C k21. ( −2 ) .x 21−3k sao cho
k

21 − 3k = 0  k = 7  C721 ( −2 ) = −27 C721
7

Câu 42: (Chuyên Vĩnh Phúc –
A. S = 210

0
2
+ 2.C110 + 22.C10
+ ... + 210.C10
lần 2) Tính tổng S = C10
10

C. S = 410

B. S = 310

D. S = 311

Đáp án B
Phương pháp: Chọn khai triển phù hợp sau đó chọn x.
Cách giải:
10

k
0
1
2
10 10
.x k = C10
.x 0 + C10
.x1 + C10
.x 210 + ... + C10
.x
Xét khai triển (1 + x ) =  C10
10

k =0

0
2
10
+ C110 .2 + C10
.22 + ... + C10
Chọn x = 2 ta có: (1 + 2 ) = 310 = C10
10 .2
10

Câu 43: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho P ( x ) = (1 + 3x + x 2 ) . Khai
20

triển P(x) thành đa thức ta được P ( x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a 40 x 40 . Tính
S = a1 + 2a 2 + ... + 40a 40

B. S = 20.521

A. S = −20.519

C. S = 20.519

D. S = 20.520

Đáp án
Phương pháp:
Công thức nhị thức Newton

( x + y)

n

n

= C0n x n + C1n x n −1 y + ... + Cnn y n =  Cin x n −i yi
i =0

Cách giải:

P ( x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a 40 x 40 .

P' ( x ) = a1 + a 2 x + ... + a 40 x 39 .
Ta có P ( x ) = (1 + 3x + x 2 )  P ' ( x ) = 20 (1 + 3x + x 2 )
20

 20 (1 + 3x + x 2 )

19

19

(3 + 2x )

(3 + 2x ) = P ' ( x ) = a1 + a 2 x + ... + a 40 x 39

Cho x =1
 20 (1 + 3 + 1)

19

( 3 + 2.1) = a1 + a 2 + ... + 40a 40

a1 + a 2 + ... + a 40 = 20.520  S = 20.520


S  MN  S (1 + t;1;1 − t )
S  ( P )  (1 + t ) + 1 − (1 − t ) = 2  1 + 2t = 2  t =

1
3 1
 S  ;1; 
2
2 2

5
3 1
Vậy, biểu thức A đạt GTNN tại  ;1;   x 0 + y 0 =
2
2 2
Câu 44: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Rút gọn tổng sau
S = C22018 + C52018 + C82018 + ... + C2018
2018

A. S =

22018 − 1
3

B. S =

22019 + 1
3

C. S =

22019 − 1
3

D. S =

22018 + 1
3

Đáp án A
2016
A 2018 = C02018 + C32018 + ... + C2018
4
2017
B2018 = C12018 + C2018
+ ... + C2018
2
2018
C2018 = C2018
+ C52018 + ... + C2018

Ta có kết quả sau A 2018 = C2018 = B2018 − 1
(Có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, tổng quát
A6k + 2 = C6k + 2 = B6k + 2 − 1; A6k +5 = C6k +5 = B6k + 2 5 − 1)
Mặt khác ta có
A 2018 + B2018 + C 2018 = C02018 + C12018 + ... + C 2018
2018

(1 + 1)

2018

= 22018

22018 − 1
 S + ( S + 1) + S = 2  S =
3
Câu 45: (Cụm 5 trường chuyên)Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho
S = 2 + ( C10 + C02 + ... + C0n ) + ( C11 + C12 + ... + C1n ) + ... + ( C nn −−11 + C nn −1 ) + C nn là một số có 1000
2018

chữ số.
A. 3
Đáp án A

B. 1

C. 0

D. 2

Phương pháp :
+) Nhóm các tổ hợp có chỉ số dưới bằng nhau.
n

+) Sử dụng tổng (1 + n ) =  Ckn = C0n + C1n + C2n + ...Cnn = 2n
n

k =0

+) Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.
+) Để S là số có 1000 chữ số thì 10999  S  101000
Cách giải:
S = 2 + ( C10 + C02 + ... + C0n ) + ( C11 + C12 + ... + C1n ) + ... + ( Cnn −−11 + Cnn −1 ) + Cnn
S = 2 + ( C 10 + C11 ) + ( C02 + C12 + C22 ) + ( C30 + C13 + C32 + C33 ) + ... + ( C0n + C1n + C2n + ... + Cnn )


n

Xét tổng (1 + n ) =  Ckn = C0n + C1n + C2n + ...Cnn = 2n
n

k =0

Từ đó ta có: S = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 +
1

2

3

n

2 (1 − 2n )
1− 2

= 2 + 2 ( 2n − 1) = 2n +1

Để S là số có 1000 chữ số thì
10999  2n +1  101000  log 2 10999 − 1  n  log 2 101000 − 1  3317, 6  n  3320,9
n là số nguyên dương  n 3318;3319;3320
Câu 46: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Giả sử
(1 + x ) (1 + x + x 2 ) ... (1 + x + x 2 + ... + x n ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a m x m .
m

Tính

a .
r =0

r

B. n

A. 1

C.

( n + 1)!

D. n!

Đáp án C
m

a
r =0

r

= f (1) = 2.3... ( n + 1) = ( n + 1)!

Câu 47: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Tổng
1
2
3
2018 2017
S = 12.C2018
.20 + 22.C2018
.21 + 32.C2018
.22 + ... + 20182.C2018
.2 = 2018.3a. ( 2.b + 1) , với

( 2.b + 1)

a, b là các số nguyên dương và

A. 2017 .
Đáp án C

B. 4035 .

không chia hết cho 3. Tính a + b .
C. 4034 .
D. 2018 .

Xét f ( x ) = (1 + x ) =
n

(1)

n

n

k =0

k =0

=  Cnk .x k  f ' ( x ) =  k .Cnk .x k −1

Nhân x vào 2 vế ta có:
n

x. f ' ( x ) =  k .Cnk .x k
k =0

n

 ( x. f ' ( x ) ) ' =  k 2 .Cnk .x k −1 (2)
k =0

Từ (1) và (2)   x.n ( x + 1)

 n ( x + 1)

n −1

n −1

n
 =  k 2 .Cnk .x k −1
 k =0

+ n ( n − 1) x ( x + 1)

n−2

n

=  k 2 .Cnk .x k −1
k =0

x = 2
Cho 
ta được:
n = 2018
2018

k
2018.32017 + 2.2018.2017.32016 =  k 2 .C2018
.2k −1
k =0

Theo bài:


2018.32016 ( 3 + 2.2017 ) = 2018.3a ( 2b + 1)
Đồng nhất thức: 2018.32016 ( 2.2018 + 1) = 2018.3a ( 2b + 1)
a = 2016

 a + b = 4034 .
b = 2018
Tóm lại: +) Đạo hàm (1)
+) Nhân với x (2)
+) Lại đạo hàm (3)
Câu 48: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Giả sử
(1 − x + x 2 )n = a0 + a1x + a2 x 2 + ... + a 2n x 2n . Đặt s = a0 + a2 + a4 + ... + a2n , khi đó, s
bằng
3n + 1
3n − 1
3n
.
.
.
A.
B.
C.
D. 2n + 1.
2
2
2
Đáp án A (lời giải câu 30)



Thay x = 1 vào giả thiết đã cho, ta được
a0 + a1 + a1 + ... + a2n = 1.



Thay x = −1 vào giả thiết đã cho, ta được
a0 − a1 + a2 − ... + a2n = 3n.



(1)

(2)

Cộng (1) và (2), ta có
3n + 1 = 2(a0 + a2 + a4 + ... + a 2n )

3n + 1
.
Hay s =
2
Câu 49: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Giả sử có khai triển
n
(1 − 2x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a n x n . Tìm a 5 biết a 0 + a1 + a 2 = 71

A. −672
Đáp án A

B. 672
n

D. −627

C. 627

Ta có (1 − 2x ) =  Ckn ( −2 ) x k =1 + C1n ( −2 ) x + C n2 ( −2 ) x 2 + ... + C nn ( −2 ) x n
n

k

k =0

Suy ra a 0 + a1 + a 2 = 71 = 1 − 2C1n + 4C2n = 71  n = 7
Suy ra a5 = C57 ( −2) = −672
7

2

n



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×