Tải bản đầy đủ

(megabook) 13 câu nhị thức newton image marked image marked

1010
1011
2018
Câu 1 (MEGABOOK-2018). Tính tổng S= C1009
2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 (trong tổng đó,

các số hạng có dạng C k2018 với k nguyên dương nhận giá trị lien tục từ 1009 đến 2018)
A. S= 22018 − C1009
2018

1
B. S= 22017 + C1009
2018
2

1
C. S = 22017 − C1009
2018
2

D. S = 22017 − C1009

2018

Đáp án B
Áp dụng công thức: Ckn = Cnn − k , C0n + C1n + C2n + ... + Cnn = 2n
1010
1011
2018
Ta có: S = C1009
2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018

Xét S' = C02018 + C12018 + C22018 + ... + C1009
2018
0
1
2009
2010
2018
2018
Lấy S + S' = C2009
+ C2009
2018 + C2018 + C2018 + ... + C2019 + C2018 + ... + C2018 = 2
2019

(1)

0
1
2009
2009
2010
2018
Lấy S − S' = C2009
2018 + C2018 + C2018 + ... + C2019 − C2018 − C2018 − ... − C2018 = 0

( 2)

2009
Lấy (1) + ( 2) vế theo vế ta được: 2S = 22018 + C2018
 S = 22017 +


C2009
2018
2

1 

Câu 2(MEGABOOK-2018): Số hạng chính giữa của khai triển  x + 2 
x 


A. C1004
2008 .

1
x

B. C1005
2008 .

1004

1
x

C. C1003
2008 .

1005

1
x

2008

1004
D. C1004
2008 .x

1003

Đáp án A
1 

Khai triển  x + 2 
x 


2008

có 2009 số hạng, do đó số hạng chính giữa ứng với k = 1004.
1004

Số hạng ở giữa là: C

1004 1004
2008

x

 1 
 2
x 

= C1004
2008 .

1
x

1004

.

Câu 3 : (MEGABOOK-2018) Hệ số của x 5 trong khai triển x (1 − 2x ) + x 2 (1 + 3x ) là:
5

A. 61204

D. 61268

C. 3320

B. 3160

10

Đáp án C
Hệ số của x 5 trong khai triển x (1 − 2x ) là ( −2 ) .C54
5

4

Hệ số của x 5 trong khai triển x 2 (1 + 3x )

10

3
là 33.C10

3
= 3320
Vậy hệ số của x 5 trong khai triển x (1 − 2x ) + x 2 (1 + 3x ) là ( −2 ) .C54 + 33.C10
5

10

4


Câu 4: (MEGABOOK-2018)Trong khái triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ

(

3+ 4 5

)

124

A. 32

B. 33

C. 34

D. 35

Đáp án A
Ta có

(

3+ 4 5

)

k
=  C124

124

124 − k

( ) ( 5)
4

3

k

Xét số hạng thứ ( k + 1) là
k
Tk +1 = C124

( ) ( )
124 − k

4

3

Tk +1 là số hữu tỉ 

k

5

124 − k
2

k
= C124
3

k

.5 4 , k  124

k
124 − k
và là các số tự nhiên nghĩa là 124 − k chia hết cho 4
4
2

 k = 4t với 0  k  124  0  4t  124  0  t  31, t 
Vậy có 32 giá trị của t tức là có 32 giá trị k thỏa mãn yêu cầu bài toàn.
Tóm lại trong khai triẻn

(

3+ 4 5

)

124

có 32 số hạng hữu tỉ

(

)

Câu 5: (MEGABOOK-2018) Tìm hệ số x 7 trong khai triển của f ( x ) = 2 − x + 3x 2 . Biết
n

C0n + C1n + C2n = 29 (Ckn là tổ hợp chập k của n)

C. a 7 = −53173

B. a 7 = −38053

A. a 7 = −38052

D. a 7 = −53172

Đáp án B
Ta có C0n + C1n + C2n = 29 (điều kiện n  , n  2)  1 + n +

1
( n − 1) .n = 29  n = 7
2

f ( x ) = ( 2 − x + 3x 2 ) = ( 2 − x ) + 3x 2  =  C7k ( 2 − x ) + ( 3x 2 )
7

7

7

k

k =0

7−k

7

k

k =0

j

=  C7k  C kj .2k − j. ( −1) .x j.37 −k.x14−2k
j

=  C7k .Ckj .2k − j. ( −1) .37 − k.x14− 2k + j = C07 ( 2 − x ) ( 3x 2 ) + C17 ( 2 − x ) ( 3x 2 ) + .. + C77 ( 2 − x ) ( 3x 2 )
7

k

k =0

j

j

0

7

1

6

7

ta có 14 − 2k + j = 7  j = 2k − 7 do đó ( i; j) = ( 4;1) = ( 5;3) = ( 6;5) = ( 7;7 )
Suy ra hệ số của x 7 là
a 7 = C74 C14 24−1. ( −1) .37 − 4 + C57 C35 25−3. ( −1) .37 −5 + C67C56 26−5. ( −1) .37 −6 + C77C77 27 −7. ( −1) .37 −7
1

3

5

7

0


n

 1

Câu 6(MEGABOOK-2018)Tìm hệ số của x 26 trong khai triển  4 + x 7  biết n thỏa mãn
x

2
n
20
biểu thức sau C12n +1 + C2n
+1 + ... + C 2n +1 = 2 − 1.

B. 126

A. 210

D. 924

C. 462

Đáp án A
2
20
Biểu thức đã cho viết thành C02n +1 + C12n +1 + ... + C2n
+1 = 2
n
2n +1
2n +1
Mà C02n +1 + C12n +1 + ... + C2n
+1 + ... + C2n +1 = 2

2n +1− k
Do tính chất C k2n +1 = C 2n
+1 nên
n
2n +1
2 ( C02n +1 + C12n +1 + ... + C2n
 221 = 22n +1  n = 10
+1 ) = 2

k
Số hạng tổng quát trong khai triển ( x −4 + x 7 ) là C10
.x −4(10−k ) .x 7k
k
Hệ số của x 26 trong khai triển là C10
với −4 (10 − k ) + 7k = 26  k = 6

6
= 210.
Hệ số đó là C10
n

Câu

7

:

(MEGABOOK-2018)Tìm

hệ

số

x 7 trong

 3
3 
 3 − 2 x  biết
 x


rằng

Cnn −−34 + Cnn −−36 = 6n + 20

A. −24634368

C. −55427328

B. 43110144

D. Kết quả khác

Đáp án B

6 ( n − 3) + ( n − 3)( n − 4 )( n − 5) = 6 ( 6n + 20 )  n 3 −12n 2 +17n − 204 = 0
Giải ra được n = 12.
12

3
 1

Trong khai triển nhị thức New-ton  3x 3 − 2x 2 2  ,



12 − k

 1
Số hạng tổng quát là C .  3x 3 


k
12

Vậy k thỏa mãn −

k

3
1
3
(12 − k ) + k


k
k
2
.  −2x 2  hay C12
( −1) .312−k.2k.x 3



1
3
(12 − k ) + k = 7
3
2

6
.66 = 43110144 .
Giải ra k = 6. Hệ số x 7 là: C12

1 

Câu 8: (MEGABOOK-2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của  x x + 4 
x 


với x  0 , nếu biết rằng C 2n − C1n = 44

n


A. 165

B. 238

C. 485

D. 525

Đáp án A
Ta có C2n − C1n = 44 

n ( n − 1)
− n = 44  n = 11 hoặc n = −8 (loại)
2
11

Với

(

n = 11,

k
C11
x x

)

11− k

số

hạng

thứ

k +1

trong

khai

triển

của

1 

 x x + 4  là
x 


k

33 11
− k
 1 
k
2 2
=
C
x
11
 4
x 

Theo giả thiết, ta có

33 11k
=
= 0 hay k = 3
2
2

3
= 165
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là C11

Câu 9 : (MEGABOOK-2018) Đa thức P ( x ) = ( x − 1) + x ( x + 1)
2n

2n −1

(n 

, n  3) viết lại

thành

P ( x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a 2n x 2n . Đặt T = a 0 + a 2 + a 4 + ... + a 2n , cho biết T = 768 .
Hãy tính giá trị của a 3 .
A. a 3 = 0

B. a 3 = 1

C. a 3 = 2

Đáp án A
Khi x = 1  P (1) = 22n −1 = a 0 + a1 + a 2 + ... + a 2n

x = −1  P ( −1) = 22n = a 0 − a1 + a 2 + ... + a 2n
Suy ra: 22n −1 (1 + 2) = 2 ( a 0 + a 2 + a 4 + ... + a 2n )

 22n −1.3 = 2 x 768  22n −1 = 29  2n − 1 = 9  n = 5
Vậy P ( x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + a 3x 3 + a 4 x 4 + a 5x 5
P ' ( x ) = a1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + 4a 4 x 3 + 5a 5 x 4
P '' ( x ) = 2a 2 + 6a 3 x + 12a 4 x 2 + 20a 5 x 3
P ''' ( x ) = 6a 3 + 24a 4 x + 60a 5 x 2
 P ''' ( 0 ) = 6a 3

Mặt khác ta có: P ( x ) = ( x − 1) + x ( x + 1)
2n

2n −1

D. a 3 = 3


 P ' ( x ) = 2n ( x − 1)

2n −1

+ ( x + 1)

 P '' = 2n ( 2n − 1)( x − 1)

2n − 2

2n −1

+ ( 2n − 1) x ( x + 1)

+ 2 ( 2n − 1)( x + 1)

 P ''' = 2n ( 2n − 1)( 2n − 2 )( x − 1)

2n −3

2n − 2

2n − 2

+ ( 2n − 1)( 2n − 2 ) x ( x + 1)

+ 3 ( 2n − 1)( 2n − 2 )( x + 1)

2n −3

2n −3

+ ( 2n − 1)( 2n − 2 )( 2n − 3 ) x ( x + 1)

Ta có: P''' ( 0) = 6a 3  a 3 = 0

(

Câu 10 : (MEGABOOK-2018) Trong khai triển 2x + 2−2x

)

n

, tổng hệ số của số hạng thứ hai

và số hạng thứ ba là 36, số hạng thứ 3 lớn gấp 7 lần số hạng thứ hai. Tìm x?
1
3

A. x =

B. x =

1
2

C. x = −

1
2

D. x = −

1
3

Đáp án D.
C1n + Cn2 = 36

Theo giả thiết ta có 
2
x n −2
−2x 2
1
x n −1
−2x 1
C
2
.
2
=
7C
2
.
2
(
)
(
)
(
)
(
)

n
n


Phương trình (1) cho n +

(1)
(2)

n ( n − 1)
= 36  n 2 + n − 72 = 0 . Giải ra n = 8
2

Thay n = 8 vào ( 2 ) : 22x = 25x +1  x = −

1
3
m

 2 x 16 32 
Câu 11: (MEGABOOK-2018) Trong khai triển nhị thức  16 +
 , cho số hạng thứ
 8
2 x 

tư trừ số hạng thứ sáu bằng 56, hệ số của số hạng thứ ba trừ hệ số của số hạng thứ 2 bằng 20.
Giá trị của x là

A. −1

B. 2

C. 1

Đáp án C
Theo giả thiết ta có C 2m − C1m = 20



m ( m − 1)
− m = 20  m 2 − 3m − 40 = 0  m = 8
2

( ) .( ) −C ( ) .( )
( 3) ( 2 )
( 3) ( 2 )
2x

C83

16

 2x −

5

5

16

25
x

3

3

2x

5
8

16

3

3

16

25
x

3

3

= 56

2
2
= 1  ( 2 x ) − 2 x − 2 = −1 (loại)  2x = 2 (nhận)  x = 1
x
2

D. −2

2n − 4


Câu12(MEGABOOK-2018)Khitriển

A = (1 + x 2 ) (1 − 2x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + a 3x 3 + ... + a 2m+ n x 2m+ n . Biết rằng
m

n

a 0 + a1 + a 2 + ... + a 2m+n = 512, a10 = 30150 . Hỏi a19 bằng:
A. – 33265

B. – 34526

C. – 6464

D. – 8364

Đáp án D
Cho x = 1  2m. ( −1) = 29  m = 9 và n chẵn
n

Khai triển (1 + x 2 ) (1 − 2x ) =  C9k Cin ( −1) .2i.x 2k +i
9

n

9

n

i

k =0 i =0

9

n

 a10 =  C9k Cin ( −1) .2i với k + i = 10
i

k =0 i =0

Trong đó i  m  10, i 2
Nếu n = 10 thì các cặp ( k;i ) thỏa 2k + i = 10 là ( 5;0) , ( 4;2) , (3;4 )
2
4
.23 + C39 .C10
.24 + ... = 305046  30150 (loại)
Và a10 = C95 + C94 .C10

Nếu n = 8 thì a10 = C95 + C94 .C82 .23 + C39 .C84 .24 + ... = 108318  30150 (loại)
Nếu n = 6 thì a10 = C59 + C94 .C62 .23 + C39 .C64 .24 + C92 .C66 .26 = 30150 (nhận)
Do

đó

A = (1 + x 2 )

19

(1 − 2x )

6

9

n

9

n

=  C9k Cin ( −1) .2i.x 2k +i  a19 =  ( −1) .2i
i

k =0 i =0

i

với

k =0 i =0

2k + i = 19 trong đó k,i  N và i lẻ.
Các cặp ( k;i ) = ( 9;1) , (8;3) , ( 7;5)
Vậy a19 = C99C16 . ( −1) .2 + C89 .C36 . ( −1) .23 + C97 .C56 . ( −1) .25 = −8364
3

5

1010
1011
2018
Câu 13 : (MEGABOOK-2018) Tính tổng S = C1009
2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 (trong tổng đó,

các số hạng có dạng C k2018 với k nguyên dương nhận giá trị liên tục từ 1009 đến 2018)
A. S = 22018 − C1009
2018

1
B. S = 22017 + C1009
2018
2

1
C. S = 22017 − C1009
2018
2

Đáp án B
Áp dụng công thức Ckn = Cnn −k , C0n + C1n + C2n + ... + Cnn = 2n
1010
1011
2018
Ta có S = C1009
2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018

Xét S' = C02018 + C12018 + C22018 + ... + C1009
2018

D. S = 22017 − C1009
2018


0
1
2009
2010
2018
2018
Ta có S + S' = C2009
+ C2009
2018 + C2018 + C2018 + ... + C2018 + C2018 + ... + C2018 = 2
2018 (1)
0
1
2009
2009
2010
2018
Lấy S − S' = C2009
2018 + C2018 + C2018 + ... + C2018 − C2018 − C2018 − ... − C2018 = 0 ( 2 )

2009
Lăy (1) + ( 2) theo vế ta được 2S = 22018 + C2018
 S = 22017 +

C2009
2018
2



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×