Tải bản đầy đủ

(gv văn phú quốc) 60 câu tích phân nguyên hàm image marked image marked





2

Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho

1

 ( 2 x − 1 − sin x ) dx =   a − b  − 1.

Mệnh đề nào

0

trong các mệnh đề sau là sai?
A. a + 2b = 8.

B. a + b = 5.


C. 2a − 3b = 2.

D. a − b = 2.

Đáp án B




2
 ( 2 x − 1 − sin x ) dx = x − x + cos x|02 =  
2

Ta có

0



1
−  − 1.
 4 2

Suy ra a = 4, b = 2.
Vajay a + b = 6 (B sai).
Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) thỏa f (1) = 30; f ' ( x ) liên tục và
4

 f ' ( x ) dx = 70 . Tính giá trị của f ( 4)
1

A. 100.

B. 50.

C. 40.

D. 21.

Đáp án A


4

Ta có 70 =  f ' ( x ) dx = f ( x )| = f ( 4 ) − f (1) = f ( 4 ) − 30
4

1

1

Vậy f ( 4) = 100.
Câu 3: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính nguyên hàm

ln ( ln x )
 x dx.

A. ln x.ln ( ln x ) + C.

B. ln x.ln ( ln x ) + ln x + C.

C. ln x.ln ( ln x ) − ln x + C.

D. ln ( ln x ) + ln x + C.

Đáp án C
Đặt t = ln x  dt =
Khi đó



dx
.
x

ln ( ln x )
dx =  ln tdt
x

dt

u = ln t
 du =

Đặt 
t . Khi đó  ln tdt = t ln t − t + C .
 dv = dt v = t




ln ( ln x )
dx = ln x.ln ( ln x ) − ln x + C .
x


 
Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a   0;  . Hãy tính
 2


e

xdx
+
1 + x2

C. I = e

B. I = −1

A. I = 1

tan a

cot a

dx

 x (1 + x )
2

e

D. I = −e

Đáp án B
Xét hàm số T ( x ) =

tan x


e

tdt
+
1+ t2

cot x

dt

 t (1 + t )
2

e

 
xác định với mọi x   0; 
 2

Ta sẽ tính T ( a )
Gọi F ( t ) , G ( t ) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số

y=

t
1
và y =
2
1+ t
t (1 + t 2 )

Khi đó T ( x ) = F ( tan x ) − F ( e ) + G ( cot x ) − G ( e )
Suy ra T ' ( x ) = F ' ( tan x ) .
=

1
1
− G ' ( cot x ) . 2
2
cos x
sin x

tan x
1
1

= tan x −
=0
2
2
2
2
cot x
(1 + tan x ) cos x cot x (1 + cot x ) sin x


 
Do đó T ( x ) là hàm hằng trên khoảng x   0;  . Khi a = thì
4
 2
xdx
dx
dx
 
T =
+
=  = −1
2
2
 4  e 1 + x e x (1 + x ) e x
1

1

1

Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho biết với mỗi u  0 phương trình t 3 + ut − 8 = 0 có
nghiệm dương duy nhất f ( u ) . Hãy tính

7

 f ( u ) du
2

0

A.

31
2

B.

33
2

C.

35
2

D.

37
2

Đáp án A
Xét hàm số h ( t ) = t 3 + ut − 8
Ta có h ' ( t ) = 3t 2 + u  0 với mọi t  0 . Do đó h là hàm đồng biến trên khoảng ( 0; + )
Mặt khác h ( 0) = −8, h ( 2) = 2u  0 nên tồn tại duy nhất c  ( 0;2) suy cho h ( c ) = 0


Với mỗi 0  x  2 ta có u ( x ) =

8 − x3
 0 . Suy ra x3 + u ( x ) .x − 8 = 0 . Do đó x là nghiệm
x

dương của phương trình t 3 + u ( x ) .t − 8 = 0 . Do tính duy nhất của nghiệm ta suy ra

f (u ( x )) = x
Ta có u ' ( x ) = −

8
− 2x
x2

Khi x = 2 thì u = 0 và khi x = 1 thì u = 7 . Áp dụng công thức đổi biến ta có
7



1

2

0

0

f 2 ( u ) du = −  f 2 ( u ( x ) ) dx =  ( 8 + 2 x 3 ) dx =

0

Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho

31
2

6

6

0

0

6
 ln ( x + 3) dx = x ln ( x + 3) 0 −  f ( x ) dx . Tìm hàm số

f ( x) .
C. f ( x ) =

B. f ( x ) = x 2 .

A. f ( x ) = x.

x
.
x+3

D. f ( x ) =

1
.
x+3

Đáp án C
1

u = ln ( x + 3) du =
dx

Đặt 
x+3
dv = dx
v = x
6

6

Khi đó  ln ( x + 3) dx = x ln ( x + 3)| − 
6

0

0

0

Vậy f ( x ) =

Câu

7:

x

 ( 3t

2

x
dx
x+3

x
.
x+3

(Gv

Văn

Phú

Quốc

2018)

Tìm

tập

nghiệm

của

phương

− 2t + 3) dt = x 3 + 2 .

0

A. S = 1; 2

B. S = 1; 2;3

C. S = 

Đáp án A
x

 ( 3t

2

− 2t + 3) dt = x 3 + 2  t 3 − t 2 + 3t| = x 3 + 2
x

0

0

x = 1
 x3 − x 2 + 3x = x3 + 2  x 2 − 3x + 2 = 0  
.
x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = 1; 2.

D. S =

trình


Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h ( t ) là
thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h ' ( t ) = 3at 2 + bt và : (Gv Văn Phú Quốc 2018)
- Ban đầu bể không có nước.
- Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m3 .
- Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m3 .
Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.
B. 2200 m3 .

A. 8400 m3 .

C. 600 m3 .

D. 4200 m3 .

Đáp án A
5

Ta có

 ( 3at

2

0

1
25

5
+ bt ) dt =  at 3 + bt 2  = 125a + b = 150.
2
2

0

Tương tự ta có 1000a + 50b = 1100.
Vậy từ đó ta tính được a = 1; b = 2.
Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là : (Gv Văn Phú Quốc 2018)
20

 h ' ( t ) dt = ( t

3

+ t 2 )| = 8400 ( m3 )
20

0

0

Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0;1 . Hỏi mệnh đề
nào sau đây đúng?


A.



 xf ( sin x ) dx =   f ( sin x ) dx
0

0



C.

B.

0



0

0

 xf ( sin x ) dx = 2  f ( sin x ) dx




2
 xf ( sin x ) dx =   f ( sin x ) dx



D.

 xf ( sin x ) dx =
0

0





2 0

f ( sin x ) dx

Đáp án D


Đặt I =  xf ( sin x ) dx
0

Đổi biến x =  − t ta được
0







0

0

I = −  ( − t ) f ( sin ( − t ) ) dt =  ( − t ) f ( sin t ) dt =  f ( sin t ) dt − I

Đén đây ta suy ra được kết quả ở (D)
Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số thực a bất kì và giả sử f là môt hàm liên tục. Hỏi
mệnh đề nào sau đây đúng?


a

A.


0

a

C.


0

a x


f ( x )( x − a ) dx =    f ( t ) dt  dx
00


a

B.


0

x

f ( x )( x − 2a ) dx =    f ( t ) dt  dx
00


a x


f ( x )( a − x ) dx =    f ( t ) dt  dx
00


a

a

D.


0

x

f ( x )( 2a − x ) dx =    f ( t ) dt  dx
00

a

Đáp án B
x

Đặt F ( x ) =  f ( t ) dt . Ta cần chứng minh
0

a

a

0

0

 f ( x )( a − x ) dx =  F ( x ) dx

Ta có F ' ( x ) = f ( x ) . Khi đó
a



a

a

a

0

0

0

f ( x )( a − x ) dx = a  f ( x ) dx −  xf ( x ) dx = aF ( a ) −  xF ' ( x ) dx

0

Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta có

a

a

0

0

 xF ' ( x ) dx = aF ( a ) −  F ( x ) dx

Thay vào ta thu được kết quả ở B
Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Thời gian và vận tốc của một vật khi nó đang trược
xuống mặt phẳng nghiêng được xác định bởi công thức

2

 20 − 3vdv (giây). Chọn gốc thời gian

là lúc vật bắt đầu chuyển động. Hãy tìm phương trình vận tốc.
A.

20 20 − 32t
− e
3
3

B.

C.

20 20 − 32t
20 20 − 3t
− e hoặc + e 2
3
3
3
3

D. 4 + 4e

20 20 − 32t
+ e
3
3

Đáp án A
Ta có t = 

2
2
dx = − ln 20 − 3v + C với C là hằng số
20 − 3v
3

Vào thời điểm t = 0 thì vật có vận tốc bằng 0. Suy ra

2
2
0 = − ln 20 + C  C = ln 20
3
3

2
2
Khi đó t = − ln 20 − 3v + ln 20
3
3
3
 ln 20 − 3v = ln 20 − t
2

 20 − 3v = 20.e

3
− t
2



3t
2



3
− t

v =
2
20 − 3v = 20.e



3
− t

 20 − 3v = −20.e 2
v =


20 20 − 32 t
− e
3
3
20 20 − 32 t
+ e
3
3

Để ý rằng phương trình thứ hai không thể đạt v = 0 tại t = 0 cho nên ta chỉ nhận phương trình
thứ nhất là v =

20 20 − 32 t
− e
3
3

Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x 2 và y = x . Tính giá trị của biểu thức 3S ( 3S − 2 )
B. −1

A. 1

2018

.
D. 32018

C. 0

Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong

x 2 = x  x = 0 hoặc x = 1
1

1

Diện tích hình phẳng cần tìm là S =  x 2 − x dx = 
0

Do đó 3S ( 3S − 2 )

2018

(

)

x − x 2 dx =

0

=1

Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình phẳng

(C ) : y = x3 − 3x + 2 và ( P ) : y =
(H )

1
3

(H )

giới hạn bởi đường cong

2 x + 2 . Thể tích của khối tròn xoay nhận được khi cho

quay quanh trục Ox có dạng V =

a
b

+ 2018c + 2019d

Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?
A. abcd = 0

B. 9a − b − c − d = 1

C. a + b + 2c + 3d = 39

D.

b+d
=8
a + c +1

Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và ( P ) là

x3 − 3x + 2 = 2 x + 2  2 x = x3 − 3x
Giải phương trình này, ta thu được hai nghiệm là x = 0; x = 2
2

Thể tích vật thể cần tìm là V =  
0

Suy ra a = 4; b = 35; c = 0; d = 0

((

) −(x
2

2x

3

)

− 3 x ) dx =
2

4
35


Kiểm tra từng mệnh đề, nhận thấy D sai vì

b+d
35 + 0
=
=7
a + c +1 4 + 0 +1


Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử tích phân I =

tan 2 x − tan x
dx = e − k . Tính giá
x
e



3
4

trị của k
A. −1

B. 1

D. −

C. 0

1
2

Đáp án B


Ta có I =

2
−x
 ( tan x − tan x )e dx =

3
4



Trong đó J =

 e

−x



tan xdx; K =
2

3
4



−x
2
 e tan xdx −

3
4

 e

−x



 e

−x

tan xdx = J − K

3
4

tan xdx

3
4

Ta sẽ tính tích phân K bằng phương trình tích phân từng phần
2

u = tan x
du = (1 + tan x ) dx
Đặt 

−x
−x
dv = e dx 
v = −e





−x

Khi đó K = −e tan x

=e

−



+

 e

−x

3
4

dx + J = −e



+

 e (1 + tan x ) dx
−x

2

3
4
3
4



−e

−x

3
4

3
4

+ J = −e −  + J

Vậy I = e − = e − k  k = 1

Câu 15: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
x3 x 2
+ + x+C
3 2

A. F ( x ) =

x3 x 2
− + x+C
3 2

B. F ( x ) =

C. F ( x ) =

x3 x 2
+ − x+C
3 2

D. F ( x ) = −

x3 x 2
+ − x+C
3 2

Đáp án A
Ta có



f ( x ) dx = 

(x

2

+ 1) − x 2
2

x2 + x + 1

dx =  ( x 2 − x + 1) dx =

x3 x 2
− + x+C
3 2

x4 + x2 + 1
x2 + x + 1


Câu 16: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

và thỏa mãn



f ( − x ) + 2 f ( x ) = cos x . Tính tích phân I =

2

 f ( x ) dx



A. I =

1
3

2
3

B. I =

2

D. I = 2

C. I = 

Đáp án B

2

 f ( − x ) dx

Xét tích phân J =



2

Đặt x = −t  dx = −dt
Đổi cận x = −


2

t =


2

;x =


2

t =−


2

Khi đó

I=





2

2





f ( −t ) dt = J  3I + 2 I =





2

Vậy I =



 f ( − x ) + 2 f ( x )  dx =

2

 cos xdx = 2



2

2

2
3

Câu 17: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=

(

A.

)

x + 1 ln x ; các đường thẳng x = 1, x = e2 và trục hoành

8e3 − 9e2 + 13
9

B.

8e3 − 9e2 + 13
3

C.

8e3 + 9e2 + 13
3

Đáp án D
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Đó f ( x )  0, x  1; e 2  nên
e2

e2

S =  f ( x ) dx = 
1

(

)

x + 1 ln xdx

1

1

u = ln x
du = x dx
Đặt 

dv = x + 1 dx v = 2 x x + x

3

(

)

2 x 
+ 1 x ln x
Khi đó S = 
 3


e2

1

2 x 
8e3 + 8e 2 + 13
−  
+ 1 dx =
3
9
1 

e2

D.

8e3 + 9e2 + 13
9


Câu 18: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh
trục Ox của hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = log 2 x ; x + y − 3 = 0; y = 0
1

A. V =   + log 2 e ( 2 ln 2 − 1) 
3


1

B. V =   + log 2 e ( 2 ln 2 + 1) 
3


1

C. V =   − log 2 e ( 2 ln 2 − 1) 
3


1

D. V =   − log 2 e ( 2 ln 2 + 1) 
3


Đáp án A
Ta có x + y − 3 = 0  y = 3 − x
Giao điểm của đồ thị hàm số y = log 2 x với đường thẳng y = 3 − x và y = 0 lần lượt là

( 2;1) , (1;0)
3
2

2
Khi đó V =    log 2 xdx +  ( 3 − x ) dx  = V1 + V2
2
1

2

2

1

1

Trong đó V1 =   log 2 xdx =  log 2 e  ln xdx =  log 2 e ( 2ln 2 − 1)
3

V2 =   ( 3 − x ) dx =
2

2


3

1

Vậy V =   + log 2 e. ( 2 ln 2 − 1) 
3


Câu 19: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Vận tốc của một vật chuyển động là v ( t ) =

1 sin ( t )
+
2


(m/s). Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến
kết quả hàng phần trăm)
A. 0,37 m

B. 0,36 m

C. 0,35 m

D. 0,34 m

Đáp án D
Quãng đường mà vật đó di chuyển là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

 1 sin ( t ) 
1
 1

S= +
dt =  t + 2 cos ( t ) 
2
 

 2

0 
1,5

1,5

=
0

3
1
+ 2  0,34 (m)
4 

e x dx
ae + e3
=
ln
với a, b là các số nguyên
 2 + ex
ae + b
−1
2

Câu 20: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử

 b

 b

+ 2017  + cos 
− sin 2018 
dương. Tính giá trị của biểu thức P = sin 
 a

 a



B. −1

A. 1

C.

1
2

D. −

1
2

Đáp án B
d (2 + e
e x dx
−1 2 + e x = −1 2 + e x
2

Ta có

2

ln

x

) = ln

( 2 + ex )

2

= ln ( 2 + e 2 ) − ln ( 2 + e −1 )

−1

2 + ee
2e + e3
ae + e3
=
ln
=
ln
2 + e−1
2e + 1
ae + b





Suy ra a = 2; b = 1 hay P = sin  + 2017  + cos  + 2018  = −1
2

2




Câu 21: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho

1
mx + m − 8
2

dx =

2
3x + 1 + C . Tính giá trị của
3

e

tích phân I =



x ln 2 xdx

m−2

A. −

1 
( e + 1)
2

B.

1 
( e + 1)
2

C.

1 
( e − 1)
4

D. −

1 
( e − 1)
4

Đáp án C
Do

1



mx + m − 8
2

dx =

2
3x + 1 + C nên
3
'

1
2

=
3x + 1 + C  =
m=3
3x + 1

mx + m2 − 8  3
1

e

Khi đó I =  x ln 2 xdx =
1

1 2
( e − 1)
4

Câu 22: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) =

x2

dt

 ln t

với x  1 . Tìm tập giá trị T của

x

hàm số
B. T = 1; + )

A. T = ( 0; + )

C. T = ( −;ln 2 )

D. T = ( ln 2; + )

Đáp án D
Ta có g ' ( x ) = 2 x

1
1
x −1

=
 0, x  1  g ( x ) đồng biến trên (1; + )
2
ln x ln x
ln

(

Suy ra tập giá trị của hàm số g ( x ) là T = g (1+ ) ; g ( + )
Do

)

1
1
→ + khi x → +
là hàm số nghịch biến nên g ( x )  ( x 2 − x )
ln t
ln x 2

Do đó g ( + ) = +


Để tính g (1

+

2ln x

) đặt t = e , ta được g ( x ) = 
v

ln x

Khi đó g ( x )  e

2ln x
2ln x

=



ln x

ev
dv
v

dv
= x 2 ln 2
v

Chứng minh tương tự, ta thu được g ( x )  x ln 2
Theo định lí kẹp, ta suy ra g (1+ ) = ln 2
Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T = ( ln 2; + )

Câu 23: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Ở một thành phố nhiệt độ (theo ℉) sau t giờ, tính từ 8 giờ
sáng được mô hình hóa bởi hàm T ( t ) = 50 + 14sin

t
2

. Tìm nhiệt độ trung bình trong khoảng

thời gian từ 8 giờ sáng đến 8 giờ tối. (Lấy kết quả gần đúng)
B. 45, 45 F

A. 54,54 F

C. 45,54 F

D. 54, 45 F

Đáp án C
Nhiệt độ trung bình từ 8h sáng cho đến 20h là tổng nhiệt độ chia cho khoảng thời gian, cho
nên được tính bằng: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1
t 
14

 50 + 14sin dt = 50 −  45,54 F

20 − 8 8 
2 

20

Câu 24: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0;2a . Hỏi mệnh
đề nào sau đây đúng?
A.

B.

C.

2a

2a

0

0

 f ( x ) dx =  f ( x ) + f ( 2a − x ) dx

2a

2a

0

0

 f ( x ) dx = −   f ( x ) + f ( 2a − x ) dx

2a

a

0

0

 f ( x ) dx =   f ( x ) + f ( 2a − x ) dx

Đáp án C
Đặt t = 2a − x . Khi đó
2a



f ( x ) dx =  f ( x ) dx +

a

2a

0

0

0

a

a

a

0

0

0



a

0

0

a

f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  ( 2a − t ) dt

=  f ( x ) dx +  f ( 2a − x ) dx =   f ( x ) + f ( 2a − x )  dx


2a

D.



a

f ( x ) dx = −  f ( x ) + f ( 2a − x ) dx

0

0

Câu 25: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình
phẳng giới hạn bởi đường cong y = x , trục tung và đường thẳng y = 2 quay quanh trục Oy.
A. V =

31
5

B. V =

32
5

C. V =

33
5

D. V =

34
5

Đáp án B
2

2

0

0

Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V =   x 2 dy =   y 4 dy =

32
5

Câu 26: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong mặt phẳng Oxy , cho prabol ( P ) : y = x2 . Viết
phương trình đường thẳng d đi qua M (1;3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và
d đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 2 x − y + 1 = 0

B. 2 x + y + 1 = 0

C. x − 2 y + 1 = 0

D. x + 2 y + 1 = 0

Đáp án A
Giả sử d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A ( a; a 2 ) , B ( b; b 2 ) với b  a
Phương trình đường thẳng d : y = ( a + b ) x − ab
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng d. Ta có: (Gv Văn Phú Quốc
2018)
b

b

b

a

a

a

S =  ( a + b ) x − ab − x 2 dx =  ( x − a )( x − b ) dx = −  ( x − a )( x − b ) dx

a+b 2
1
3
1

= −  x3 −
x + abx  = ( b − a )
2
3
a 6
b

Do M (1;3)  d nên a + b = ab + 3
Suy ra S 2 =

3
1 
1 
1 
2 3
2
2
b − a)  =
a + b ) − 4ab  =
(
(
( ab + 3) − 4ab 





36
36
36

3
1 
83 128
8 2
2

=
S
( ab + 1) + 8  =

36
36
9
3

min S =

8 2
 ab + 1 = 0  ab = −1  a + b = 2
3

Vậy ta lập được phương trình đường thẳng d : y = 2 x + 1  2 x − y + 1 = 0






Câu 27: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử tích phân

3
4

tan 2 x − tan x
dx = e − k . Tính giá trị
ex

của k
A. −1

B. 1

D. −

C. 0

1
2

Đáp án B


Ta có I =

 ( tan

2

x − tan x ) e dx =
−x

3
4

 tan

 e

−x



tan xdx −
2

3
4



Trong đó J =



2



 e

−x

x.e dx; K =

3
4

−x

 e

−x

tan xdx = J − K

3
4

tan xdx

3
4

Ta sẽ tính tích phân K bằng phương pháp tích phân từng phần
2

u = tan x
du = (1 + tan x ) dx
Đặt 

−x
−x
dv = e dx 
v = −e





−x

Khi đó K = −e tan x

=e

−



+

 e

−x

3
4

dx + J = e



3
4

+

 e (1 + tan x ) dx
−x

2

3
4



−e

−x

3
4

3
4

+ J = −e −  + J

Vậy I = e − = e − k  k = 1

Câu 28: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

x3 x 2
− + x+C
3 2

x3 x 2
C. F ( x ) = + − x + C
3 2

B. F ( x ) =

x3 x 2
+ + x+C
3 2

x3 x 2
D. F ( x ) = − + − x + C
3 2

Đáp án A
Ta có



f ( x ) dx = 

(x

2

+ 1) − x 2
2

x2 + x + 1

dx =  ( x 2 + x + 1)dx =

x3 x 2
− + x+C
3 2

x4 + x2 + 1
x2 + x + 1


Câu 29: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

và thỏa mãn



f ( − x ) + 2 f ( x ) = cos x . Tính tích phân I =

2

 f ( x ) dx



A. I =

1
3

B. I =

2
3

2

D. I = 2

C. I = 

Đáp án B

2

 f ( − x ) dx

Xét tích phân J =



2

Đặt x = −t  dx = −dt
Đổi cận x = −


2

t =


2

;x =


2

t =−


2

Khi đó

I=





2

2





f ( −t ) dt = J  3I = J + 2 I =





2



 f ( − x ) + 2 f ( x )  dx = J =

2

 cos xdx = 2



2

2

2
3

Vậy I =

Câu 30: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=

(

)

x + 1 ln x ; các đường thẳng x = 1, x = e2 và trục hoành

8e3 − 9e2 + 13
A.
9

8e3 − 9e2 + 13
B.
3

8e3 + 9e2 + 13
C.
3

Đáp án D
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Do f ( x )  0, x  1; e 2 
e2

e2

1

1

nên S =  f ( x ) dx = 

(

)

x + 1 ln xdx

1

u = ln x
du = x dx

Đặt 
dv = x + 1 dx v = 2 x x + x

3

(

)

2 x 
+ 1 x ln x
Khi đó S = 
 3


e2

1

2 x 
8e3 + 9e 2 + 13
−  
+ 1 dx =
3
9
1 

e2

8e3 + 9e2 + 13
D.
9


Câu 31: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục
Ox của hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = log 2 x ; x + y − 3 = 0; y = 0
1

A. V =   + log 2 e ( 2 ln 2 − 1) 
3


1

B. V =   + log 2 e ( 2 ln 2 + 1) 
3


1

C. V =   − log 2 e ( 2 ln 2 − 1) 
3


1

D. V =   − log 2 e ( 2 ln 2 + 1) 
3


: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Đáp án A
Ta có x + y − 3 = 0  y = 3 − x
Giao điểm của đồ thị hàm số y = log 2 x với các đường thẳng y = 3 − x và y = 0 lần lượt là

( 2;1) , (1;0)
3
2

2
Khi đó V =    log 2 xdx +  ( 3 − x ) dx  = V1 + V2
2
1

2

2

1

1

Trong đó V1 =   log 2 xdx =  log 2 e  ln xdx =  log 2 e ( 2ln 2 − 1)
3

V2 =   ( 3 − x ) dx =
2

2


3

1

Vậy V =   + log 2 e ( 2 ln 2 − 1) 
3


Câu 32: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Vận tốc của một chuyển động là v ( t ) =

1 sin ( t )
+
2


(m/s).Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến
kết quả hàng phần trăm)
A. 0,37 m

B. 0,36 m

C. 0,35 m

D. 0,34 m

Đáp án D
Quãng đường mà vật đó di chuyển là

 1 sin ( t ) 
1
 1

0  2 +  dt =  2 t −  2 cos ( t )

1,5

S=

1,5

=
0

3
1
+ 2  0,34 (m)
4 

Câu 33: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử F ( x ) là một họ nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

sin x
trên khoảng ( 0; + ) . Tính tích phân
x

A. F ( 3) − F (1) .

B. F ( 6 ) − F ( 2 ) .

3

sin 2x
dx .
x
1



C. F ( 4) − F ( 2) .

D. F ( 6 ) − F ( 4 ) .


Đáp án B
Đặt t = 2x  dt = 2dx .
Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = 1  t = 2; x = 3  t = 6 .
F ( x) = 

sin x
sin u
dx  F ( u ) = 
du
x
u

3

3

3

6

sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
sin u
1 x dx = 1 2 2 x dx  1 x dx = 2 u du = F ( 6 ) − F ( 2 ) .
Câu 34: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động nhanh
dần đều, 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6 m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một
chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng
nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại
thời điểm đuổi kịp A.
A. 48 m/s.

B. 36 m/s.

C. 24 m/s.

D. 12 m/s.

Đáp án C
Gọi gia tốc trong chuyển động nhanh dần đều của chất điểm A là a thì vận tốc của A là

vA ( t ) = at . Tại thời điểm t = 8 ta có vA ( 8 ) = a.8 = 6  a =

3
m / s2 ) .
(
4

Quãng đường A chuyển động được trong 8 giây đầu là
8

3
3 
S1 =   t  dt = t 2 = 24 m .
4 
8 0
0
8

Thời gian A chuyển động đều cho đến lúc gặp B là 12 giây.
Quãng đường A đi được trong chuyển động đều là S2 = 6.12 = 72m .
Quãng đường A đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp B là

S = S1 + S2 = 24 + 72 = 96m .
Gọi gia tốc của B là b thì vận tốc của B là vB ( t ) = bt .
Quãng đường B đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp A là 96 m.
8

8

bt 2
S
=
btdt
=
= 32b = 96  b = 3 m / s 2 .
Ta có
0
2 0

Vận tốc của B tại thời điểm gặp A là vB (8) = 3.8 = 24m/s .
Câu 35: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) =

x2



x

Tính g  ( x ) .

t sin tdt xác định với mọi x  0 .


A. 2 x 2 sin ( x 2 ) −
C. x 2 sin ( x 2 ) −

sin

( x) .

B. 2 x 2 sin ( x 2 ) −

24 x

sin

( x) .

D. x 2 sin ( x 2 ) −

24 x

sin

( x) .

4

sin

x

( x) .

4

x

Đáp án A

( x ).
sin ( x )
.


Đặt f ( t ) = t sin t . Theo định nghĩa tích phân ta có g ( x ) = F ( x 2 ) − F

( )

Khi đó g  ( x ) = 2 xF  x 2 −

F( x)
2 x

= 2 xf ( x 2 ) −

f

( x ) = 2x sin ( x )
2

2

2 x

24 x

a

Câu 36: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giá trị của a để đẳng thức

 cos ( x + a ) dx = sin a
2

0

xảy ra.
C. a = 3 .

B. a =  .

A. a =  .

D. a = 2 .

Đáp án D
a

a

0

0

2
2
2
2
2
2
 cos ( x + a ) dx =  cos ( x + a ) d ( x + a ) = sin ( x + a ) = sin ( a + a ) − sin ( a )

Với a = 2 ta có sin

4

0

(

)

2 + 2 = sin

(

)

2 .

Câu 37: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm tập S tất cả các số nguyên dương n thỏa điều kiện
e

n

 ln x dx  e − 2 .
1

B. S = 2 .

A. S = 1 .

C. S = 1; 2 .

D. S =  .

Đáp án C
e

e

e

n
e
I =  ln dx =  ( ln n − ln x ) dx = x ln n 1 −  ln xdx
x
1
1
1
= ( e − 1) ln n − ( x ln x − x ) 1 = ( e − 1) ln n − 1
e

Với n = 1 ta có I = −1  e − 2 .
Với n = 2 ta có I = e ln 2 − ( ln 2 + 1) = ( e −1) ln 2 −1  e −1 −1 = e − 2
Câu 38: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tích phân hai nghiệm của phương trình

1 + ln t
1
dt = .
t
2
1
x


e

A. 1.

B.

1
.
e2

C. 2e .

D.

4
.
e2


Đáp án B
x
(1 + ln t )
1 + ln t
1
1
dt =   (1 + ln t ) d (1 + ln t ) = 
Ta có 
t
2
2
2
1
1
x

e

e

(1 + ln x )


2

2

2 x

=
1
e

1
.
2

x = 1
ln x = 0
1
2
=  (1 + ln x ) = 1  

.
 x = 12
ln
x
=

2
2

e


Do đó tích hai nghiệm của phương trình là

1
.
e2

Câu 39: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Từ đẳng thức

1
+ 4 cos3 u − 2sin 2 v + C =  f ( t ) dt có tìm
5
t

được hàm số y = f ( x ) hay không ?
A. Không tìm được hàm số y = f ( x ) .
B. Tìm được hàm số y = f ( x ) = −

x6
.
5

C. Tìm được hàm số y = f ( x ) = −

5
.
x6

D. Tìm được hàm số y = f ( x ) khác với kết quả ở (B), (C).
Đáp án C
Từ đẳng thức đã cho, lấy đạo hàm hai vế ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018) −
Do đó f ( x ) = −

5
= f (t ) .
t6

5
.
x6

Câu 40: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b và thỏa
mãn điều kiện f ( x ) = f ( a + b − x ) , x  a; b .
Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

b

b

a

a

 xf ( x ) dx = − ( a + b )  f ( x ) dx .

a+b
f ( x ) dx .
C.  xf ( x ) dx = −
2 a
a
b

b

B.

b

b

a

a

 xf ( x ) dx = ( a + b )  f ( x ) dx .

a+b
f ( x ) dx .
D.  xf ( x ) dx =
2 a
a
b

Đáp án D
Đặt t = a + b − x  dx = −dt
Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = a  t = b; x = b  t = a .

b


Khi

đó

:

(Gv

Văn

Phú

b

b

a

b

a

a

b

a

Quốc

2018)

 xf ( x ) dx =  xf ( a + b − x ) dx = −  ( a + b − t ) f ( t ) dt =  ( a + b − t ) f (t ) dt
b

b

b

b

a

a

a

a

= ( a + b )  f ( t ) dt −  tf ( t ) dt = ( a + b )  f ( x ) dx −  xf ( x ) dx

a+b
f ( x ) dx .
Do đó  xf ( x ) dx =
2 a
a
b

b

Câu 41: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y = ( x + 1) , x = sin xy và 0  y  1 .
2

A.

2

1
− .
 3

B.

2

1
+ .
 3

C.

3



1
.
2

+

D.

3





1
.
2

Đáp án B
Ta có x = sin  y   −1;1  x + 1  0 .
Mà 0  y  1 nên y = ( x + 1)  x = y − 1 .
2

1

(

)

Vậy S =  sin  y − y + 1 dy =
0

2

1
+ .
 3

Câu 42: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi h ( t ) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm
nước được t giây. Biết rằng h ( t ) =

13
t + 8 và lúc đầu bồn cầu không có nước. Tìm mức
5

nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A. 1,66 cm.

B. 2,66 cm.

C. 3,66 cm.

D. 4,66 cm.

Đáp án B
Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
6

4
12 
3
h ( 6 ) =  h ( t ) dt =  ( t + 8 ) 3 −   2, 66 ( cm )
5 0
 20
0
6

a
2

Câu 43: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tích phân I = 
0

A. I =

( 2 − 1) a .
2

B. I =

( 2 + 1) a .
2

C. I =

x
dx theo a.
a−x

( − 2 ) a .
4

Đáp án A
Đặt x = a sin 2 t  dx = 2a sin t cos tdt .
Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = 0  t = 0; x =

a

t =
2
4

D. I =

( + 2 ) a .
4



4

Khi đó I = 
0



4
( − 2 ) a
a sin 2 t
.2
a
.sin
t
.cos
tdt
=
2
a
sin 2 t =
.

2
4
a (1 − sin t )
0

Câu 44: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số

2 ( x + 1) , x  0
f ( x) = 
. Tìm k để
2
k (1 − x ) , x  0

1

 f ( x ) dx = 1.

−1

B. k = 2 .

A. k = 1 .

C. k = 3 .

D. k = 4 .: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

Đáp án C

1

Ta có



−1

0

1

−1

0

f ( x ) dx =  −2 ( x + 1) dx +  k (1 − x 2 dx ) = −1 +

2k
=1 k = 3.
3

Câu 45: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) =
A. g  ( x ) =

9 x2 −1
.
9 x2 + 1

t 2 −1
 t 2 + 1 dt . Tính đạo hàm g ( x ) .
2x

3x

B. g  ( x ) =

9 x2 −1 4 x2 −1
C. g  ( x ) = 2
.

9 x + 1 4 x2 + 1

D. g  ( x ) =

4 x2 −1
.
4 x2 + 1

3 ( 9 x 2 − 1)
9 x2 + 1



2 ( 4 x 2 − 1)
4 x2 + 1

.

Đáp án D
Đặt f ( t ) =

t 2 −1
.
t2 +1

Gọi F là một nguyên hàm của f. Theo định nghĩa tích phân ta có
g ( x ) = F ( t ) 2 x = F ( 3x ) − F ( 2 x ) .
3x

Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp ta được

g  ( x ) = 3F  ( 3 x ) − 2 F  ( 2 x ) = 3 f ( 3 x ) − 2 f ( 2 x ) =

3 ( 9 x 2 − 1)
9 x2 + 1



2 ( 4 x 2 − 1)
4 x2 + 1

.

Câu 46: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

(C1 ) : x + 4 y − y 2 = 0 và (C2 ) : x − 2 y + y 2 = 0 .
A. 11.

B. 10.

C. 9.

D. 8.

Đáp án C
Phương trình tung độ giao điểm giữa ( C1 ) : x = y 2 − 4 y và ( C2 ) : x = 2 y − y 2 là: (Gv Văn Phú
Quốc 2018)


y = 0
.
y2 − 4 y = 2 y − y2  
y = 3
3

Vậy S =  ( 2 y − y 2 ) − ( y 2 − 4 y )  dy = 9 .
0

Câu 47: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho elip

(E) :
A.

x2 y 2
+
= 1 quay quanh trục Ox.
a 2 b2

4
 ab 2 .
3

B.

4 2
a b.
3

C.

3
 ab 2 .
4

D.

3 2
a b .
4

Đáp án A
Ta có thể xem khối tròn xoay này là do hình giới hạn bởi bốn đường
x = a, x = −a, y = 0, y =

b 2
a − x 2 quay quanh trục Ox tạo nên.
a

b2
 b2
Vậy V =   2 ( a 2 − x 2 ) dx = 2
a
a
−a
a



 2
x3 
4
a
x

=  ab  .


3  − 3


e

Câu 48: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho I =  x3 ln xdx =
1

A.

a 1
= .
b 2

3ea + 1
. Mệnh đề nào là đúng?
b

C. ab = 60 .

B. a + b = 20 .

D. a − b = 12 .

Đáp án B
1

du = dx

u
=
ln
x


x
Đặt 
.

3
4
dv = x dx v = x

4
e

x4
1
e4 1
3e 4 + 1
Khi đó I = ln x −  x 3dx = − x 4 =
.
4
41
4 14 1
16
1
e

e

Suy ra a = 3, b = 16 hay a + b = 20 .
Câu 49: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) biết f ( 0 ) = 1 và f  ( x ) =

4 x2 + 4 x + 3
2x +1

. Biết nguyên hàm của f ( x ) có dạng F ( x ) = ax2 + bx + ln 2 x + 1 + c . Tính tỉ lệ a : b : c .
A. a : b : c = 1: 2:1 .

B. a : b : c = 1:1:1.

C. a : b : c = 2: 2:1 .

D. a : b : c = 1: 2: 2 .

Đáp án B
Ta có f ( x ) = 

4x2 + 4 x + 3
2 

2
dx =   2 x + 1 +
 dx = x + x + ln x + 1 + C .
2x +1
2
x
+
1




Do f ( 0 ) = 1 nên c = 1 . Suy ra f ( x ) = x2 + x + ln 2x + 1 + 1 .
Vậy a : b : c = 1:1:1.
Câu 50: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) (m/s) có gia tốc

v ( t ) =

3
(m/s2). Vận tốc ban đầu của vật là 6 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm
t +1

tròn kết quả đến hàng đơn vị)
A. 10 m/s.

B. 11 m/s.

C. 12 m/s.

D. 13 m/s.

Đáp án D
Ta có v ( t ) =  v ( t ) dt = 

3
dt = 3ln t + 1 + C .
t +1

Do vận tốc ban đầu là 6 m/s nên v ( t ) = 3ln t + 1 + 6 .
Vận tốc của vật sau 10 giây là v ( 6) = 3ln11 + 6  13 ( m / s ) .
Câu

51:

(Gv

 ( x − 2) sin 3xdx = −

Văn

Phú

Quốc

2018)

( x − m ) cos3x + 1 sin 3x + C . Tính giá trị của

A. 14

n

p

B. −2.

C. 9

Giả

sử

rằng

m+n+ p .
D. 10

Đáp án A
du = dx
u = x − 2


Đặt 
cos 3 x .
dv = sin 3 xdx v = −
3


Khi đó

 ( x − 2) sin 3xdx = −

( x − 2 ) cos 3x + 1 sin 3x + C.
3

9

Suy ra m = 2, n = 3, p = 9
Vậy m + n + p = 14.
Câu 52: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho f là một hàm số. Tìm số thực a  0 sao cho x  0 ,
x


a

f (t )
dt + 6 = 2 x
t2

A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 10.

Đáp án C
Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của

f (t )
t2

Theo định nghĩa tích phân ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x  0, F ( x ) − F ( a ) + 6 = 2 x
Cho x = a ta thu được

a = 3  a = 9.


Câu 53: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho f ( x ) là hàm liên tục và a  0 . Giả sử rằng với mọi
a

dx
theo a.
1+ f ( x)
0

x 0; a ta có f ( x )  0 và f ( x ) f ( a − x ) = 1. Hãy tính I = 
A. a.

B.

a
.
2

D. a 2 .

C. 2a

Đáp án B
Đặt x = a − t  dx = −dt .
a
a
f (t )
dt
dt
=
=
dt
Ta có I = − 
1+ f (a − t ) 0 1+ 1
1 + f (t )
a
0
f (t )
0

a

Suy ra 2 I = I + I =  dt = a.
0

Vậy I =

a
2

Câu 54: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Hàm số f ( x ) =

e2 x

 t ln tdt

ex

A. Đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = − ln 2.
B. Đạt cực tiểu tại x = − ln 2 và đạt cực đại tại x = 0.
C. Đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = ln 2.
D. Đạt cực tiểu tại x = ln 2 và đạt cực đại tại x = 0.
Đáp án A
Gọi F(t) là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên ( 0; + ) .
Ta có f ( x ) = F ( e 2 x ) − F ( e x )
Suy ra f ' ( x ) = 2e2 x F ' ( e 2 x ) − e x F ( e x ) = 4 xe 4 x − xe 2 x = xe 2 x ( 4e 2 x − 1) .
Vậy f ' ( x ) = 0  x = 0, x = − ln 2.
Kết luận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) f đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = − ln 2 Câu 34:
(Gv Văn Phú Quốc 2018) Hình phẳng S giới hạn bởi ba đường y = x, y = 2 − x, x = 0 . Khi quay
S quanh Ox, Oy tương ứng ta được hai vật thể tròn xoay có thể tích là Vx , V y . Hãy lựa chọn
phương án đúng?
A. Vy =


.
3

C. Vx + Vy =

B. Vx = 12.

20
.
3

D. Vx + Vy =

8
.
3


b
Câu 55: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử S = a ln − 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
c
x +1
với các trục tọa độ. Hỏi mệnh đề nào là đúng?
x−2

đồ thị hàm số y =
A. a + b + c = 8

C. a − b + c = 1

B. a  b

D. a + 2b − 9 = 0

Đáp án A
Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( −1;0 ) . Khi đó
0

S=

−1

x +1
dx =
x−2

x +1
−1 x − 2 dx =
0

= ( x + 3ln x − 2 )| = 3ln
0

−1

0



3 

 1 + x − 2  dx

−1

3
−1
2

Suy ra a = b = 3, c = 2
Vậy a + b + c = 8.
Câu 56: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho ( P ) : y = x2 + 1 và đường thẳng d : mx − y + 2 = 0 .
Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất: (Gv Văn Phú Quốc
2018)
A.

1
.
2

B.

3
4

C. 1

D. 0

Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là x 2 − mx − 1 = 0
Ta có  = m2 + 4  0, m . Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 .
x2

Giả sử x1  x2 . Khi đó S =  ( mx + 2 − x 2 − 1) dx =
x1

 mx 2 x 3

=
− + x
3
 2


x2

x1

x2

 ( mx + 1 − x ) dx
2

x1

 m2

1
= ( x2 − x1 ) 
+ 1 − ( m 2 + 1) 
3
 2


 m2 2  4
= m + 4. 
+  .
 6 3 3
2

Vậy min S =

4
m=0
3

Câu 57: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm giá trị của m để ( Cm ) : y = x 4 ( m 2 + 2 ) x 2 + m 2 + 1 cắt
trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành phần phía trên trục
hoành có diện tích bằng
A. m = 2

96
.
15
B. m = 2

C. m = −2

D. m = 3


Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm của ( Cm ) với trục Ox: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

 x = 1
x 4 − ( m2 + 2 ) x 2 + m2 + 1 = 0  
2
 x =  m + 1
 ( Cm ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt  m  0 (*)
Khi đó: (Gv Văn Phú Quốc 2018) diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( Cm ) với trục hoành
phần phía trên trục hoành là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1
20m2 + 16 96
S =  x 4 − m2 + 2 x 2 + m2 + 1 dx 
=
 m = 2 (thỏa (*))
15
15
−1

(

(

)

)

Câu 58: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y = ( x 2 + 1) e x . Tính vi phân của y.

1
2
A. dy = e x ( x + 1) dx .
2

B. dy = e x ( x + 1) dx .

C. dy = e x ( x + 1) dx .

D. dy = e x ( x − 1) dx .
2

2

Đáp án A
'

'

 x3 
  x3  
 





y ' =   sin  3 x +  +  sin  3 x +   = x 2 sin  3 x +  + x 3 cos  3x + 
4 3  
4 
4
4



 3
Câu 58: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền
2

( P ) : y = x − 6 x + 5
khi quay quanh trục Oy.


Ox : y = 0

B. 36 .

A. 24 .

C. 48 .

D. 64 .

Đáp án D
Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 6 x + 5 .

( P ) có tọa độ đỉnh là B (3; −4) , cắt trục hoành tại A (1;0) , C (5;0) .
AB có phương trình x = y + 4 − 3; BC có phương trình x = y + 4 + 3 .
0

VOy =  

−4

(

)

2

0

y + 4 + 3 dy −  

−4

(

)

2

y + 4 − 3 dy = 64 .

Câu 59: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y =





A. y ' = x 2 sin  3 x +  + x 3 cos  3 x +  .
4
4






B. y ' = x 2 sin  3 x +  + x 3 cos  3 x +  .
4
3







C. y ' = x 3 sin  3 x +  + x 2 cos  3 x +  .
4
4



x3


sin  3x +  . Tính đạo hàm y’.
3
4



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×