Tải bản đầy đủ

(Gv trần minh tiến ) 42 câu oxyz image marked image marked

Câu 1: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( P ) : 2x + 3y + 4z − 5 = 0

và điểm A ( l; −3;l ) . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng

(P) ?
A. d =

3
29

8
29

B. d =

C. d =

8
9


D. d =

8
29

Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Theo SGK, ta dễ dàng có được d =

2.1 + 3. ( −3) + 4.1 − 5
22 + 32 + 42

=

8
29

Câu 2: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
d:

có phương trình

x − 4 y −1 z − 2
=
=
.
2
1
1 Xét mặt phẳng ( P ) : x − 3y + 2mz − 4 = 0, với m

là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)?
A. m =

1
2

B. m =

1


3

C. m = 1

D. m = 2

Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d qua A ( 4;1;2) có một VTCP là u = ( 2;1;1)
Mặt phẳng ( P ) có một VTPT là n = (1; −3; 2m )

A  ( P ) 4 − 3.1 + 2m.2 − 4  0 4m − 3  0
1


m=
Yêu cầu bài toán  
1
2
2 − 3 + 2m = 0
u.n = 0
m = 2
Câu 3: (GV Trần Minh Tiến): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm

A (1;2;3) , B (3;3;4) ,C(−l; l;2) ?
A. thẳng hàng và A nằm giữa B và C

B. thẳng hàng và C nằm giữa A và B

C. thẳng hàng và B nằm giữa C và A

D. là ba đỉnh của một tam giác

Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Dễ dàng ta tính được AB = ( 2;l;l ) ; AC = ( −2; −l; −l ) , suy ra A là trung điểm cúa BC.


Câu 4: (GV Trần Minh Tiến): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm

A ( l; −l;l ) , B ( 0;l; −2) và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ (Oxy). Giá trị lớn nhất của
biếu thức T = MA − MB là
B. 12

6

A.

C. 14

D.

8

Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng ( Oxy ) .
Khi đó B' ( 0;l;2) và MA − MB = MA − MB' . Ta có MA − MB  AB'
Dấu bằng xảy ra khi M  I (giao điểm của AB' với mặt phẳng ( Oxy )).

(1 − 0) + ( −1 −1) + (1 − 2 )

Khi đó MA − MB = AB' =

2

2

2

= 6

Bổ trợ kiến thức:
Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững
Đường thẳng d đi qua M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và có vecto chỉ phương u ( a; b;c ) có phương trình tham

 x = x 0 + at

số d :  y = y0 + bt ( t 
z = z + ct
0


)

và phương trình chính tắc d :

x − x 0 y − y0 z − z0
=
=
( abc  0 )
a
b
c

Câu 5: (GV Trần Minh Tiến): Cho phép biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm

x ' = x M
. Viết phương trình
M ( x M ; yM ) có ảnh là điểm M ' ( x '; y ') theo công thức F : 
y
'
=

y

M
đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn ( C) : (x − l)2 + (y − 2)2 = 4 qua phép biến hình F?
A. ( C ') : ( x + 1) +
2

( y + 2)

2

B. (C ') : ( x − l ) + ( y + 2 ) = 4

=4

2

D. ( C ') : ( x − l ) + ( y − 2 ) = 4

C. ( C ') : ( x + l ) + ( y − 2 ) = 4
2

2

2

2

2

Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Gọi M ( x M ; y M )  ( C )  ( x M − 1) + ( y M − 2 ) = 4 (*)
2

2

x ' = x M
x M = x '

Với F ( x ) = M' ( x '; y') , theo quy tắc 
thay vào (*) ta có được:
 y ' = − yM
 yM = y '

( x − 1)

2

+ ( − y − 2 ) = 4  M  ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4
2

2

2


Bổ trợ kiến thức:
Phép biến hình: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định
duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Phép dời hình là
phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Bài toán trên có thể giải theo cách khác như sau:
Đường tròn

( C)

tâm I (1;2 ) và A (1;4)  ( C)  F ( I ) = I' (1; −2 ) là tâm

( C')



F ( A ) = A' (1; −4)  ( C')
Vậy đường tròn ( C') có tâm I (1; −2) và bán kính R = IA = 2
 ( C ') : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4
2

2

Câu 6: (GV Trần Minh Tiến): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm

A ( 0;a;0 ) , B ( 0;0;b ) , C ( 2;0;0 ) , D ( l;l;l ) . Giả sử (Q) là mặt phẳng thay đổi nhưng luôn luôn
đi qua đường thẳng CD và cắt các đường thẳng Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B. Tồn tại
m=

1
1
a  b  0 sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhò nhất. Tìm m?
2
2

A. m = 2

C. m = 8

B. m = 4

D. m =

1
2

Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Ta có ( Q) đi qua A, B, C  ( Q ) :


x y z
+ + = 1, mà D  ( Q )
2 a b

1 1 1
+ + = 1  2 ( a + b ) = ab
2 a b

Ta có: AB ( 0; −a; b ) , AC ( 2; −a;0 )  AB.AC = ( ab; 2b; 2a )  S =

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

S=

1
2

( ab )

2

+ 4a 2 + 4b 2 

1
2

( ab )

2

+ 4a 2 + 4b 2 .

1
2
9 ( ab )
2

Ta lại có: ab = 2 ( a + b )  4 ab  ab  16.
Do đó

S

1
2
9 ( ab )  24
2

tại

a=b=4

Bổ trợ kiến thức:
Một số dạng toán mà học sinh cần nắm vững.
+ Một là biết điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng (P) đi qua điểm


M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và có vectơ pháp tuyến là n ( A; B;C ) . Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là

A ( x − x 0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0.
+ Hai là biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương. Mặt phẳng (P) đi qua điểm

M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và có cặp vectơ chỉ phương là a, b. Khi đó nếu ta gọi n là một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng (P) thì n sẽ bằng tích có hướng của hai vectơ a và b. Tức là n = a, b  .
+ Ba là biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác. Mặt phẳng (P) đi qua
điểm M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình là:
Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình là:

A ( x − x 0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0.
+ Bốn là biết 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không
thẳng hàng A, B, C. Khi đó mặt phẳng (P) có cặp véctơ chỉ phương là AB, AC hoặc AB, BC
hoặc AC, BC ...
Câu 7: (GV Trần Minh Tiến): Cho không gian Oxyz, cho các điểm

(

A ( 2;3;0 ) B 0; − 2;0

C ( a;b;c )

)

và đường thẳng d có phương trình

x = t

d : y = 0 .
z = 2 − t


trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tính chính xác

giá trị của a + b + c?
A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi CA + CB nhỏ nhất.
Gọi C ( t;0;2 − t ) . Ta có CA = 2 ( t − 2 ) + 32 ,CB = 2 (1 − t ) + 22
2

Đặt u =

(

Điểm

)

2t ( t − 2 ) ;3 , v =

(

)

2

(

2 (1 − t ) ; 2  u + v = − 2;5

Áp dụng tính chất u + v  u + v
Dấu “=” xảy ra khi u cùng hướng với v

CA + CB = u + v  u + v = 2 + 25 = 3 3

)


Dấu “=” xảy ra khi

2 ( t − 2)
2 ( t − 1)

=

3
7
 t = a+b+c = 2
2
5

Bổ trợ kiến thức:
Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững
Đường thẳng d đi qua M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và có vecto chỉ phương u ( a; b;c ) có phương trình tham

 x = x 0 + at

số d :  y = y0 + bt ( t 
z = z + ct
0


)

và phương trình chính tắc d :

x − x 0 y − y0 z − z0
=
=
( abc  0 )
a
b
c

Câu 8: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

(S) : x 2 + y2 + z2 + 4x − 6y + m = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
( P ) : 2x − 2y − z + 1 = 0, ( Q) : x + 2y − 2z − 4 = 0. Tìm m để mặt cầu (S) cắt đường thẳng d
tại hai điểm M, N sao cho MN = 8?
B. m = −5

A. m = 12

C. m = −3

D. m = −12

Đáp án A
Mặt cầu (S) có tâm I ( −2;3;0) và bán kính R = 13 − m = IM ( m  13)
Gọi H là trung điểm của MN suy ra MH = 4. IH=d ( I;d ) = −m − 3. d qua A có
 u, AI 


VTCP u = ( 2;1; 2 )  d ( I;d ) =
= 3. Vậy
u

−m − 3 = 3  m = −12

* Bổ trợ kiến thức: một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững.
Phương

( S) : ( x − a )

trình
2

mặt

cầu

tâm

I ( a; b;c )

bán

kính

R



+ ( y − b) + (z − c) = R 2
2

2

Trong không gian Oxyz cho phương trình x 2 + y2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là
phương trình mặt cầu khi A 2 + B2 + C2 − D  0. Khi đó mặt cầu có tâm I ( −A; −B; −C)
và bán kính R = A2 + B2 + C2 − D.
Câu 9: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian Oxyz cho hai điểm E(2;1;5), F(4;3;9).
Gọi ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) : 2x + y − z + 1 = 0, ( Q ) : x − y + 2z − 7 = 0.
Điểm I(a;b;c) thuộc ∆ sao cho biểu thức P = IE − IF lớn nhất. Tính a + b + c?
A. 4

B. 1

C. 3

D. 2


Đáp án A
x = 1 + t
x = 2 + t '


Ta có  :  y = −5t , EF:  y = 1 + t '
z = 3 − 3t
z = 5 + 2t '


1 + t = 2 + t '
t = 0

Xét hệ −5t = 1 + t '  
 EF cắt  tại A(1;0;3)
3 − 3t = 5 + 2t '  t ' = −1


Trong mặt phẳng (;EF) mọi điểm I thuộc  ta có IE − IF  EF. Dấu “=” xảy ra khi
I, E, F thẳng hàng, suy ra I  A (1;0;3) , từ đây các en chọn được phương án đúng
trong các phương án trên.
Câu 10(GV Trần Minh Tiến)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
2x − 2y − z + 1 = 0
và mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z2 + 4x − 6y + m = 0 . Tìm m để d cắt (S)
 x + 2y − 2z − 4 = 0

(d) : 

tại hai điểm M, N sao cho MN = 8?
A. m = 12

B. m = 10

C. m = −12

D. m = −10

Đáp án C
(S) có tâm I ( −2;3;0 ) , R = 13 − m
Lập phương trình mặt phẳng (P) qua tâm I và vuông góc với d tại H là trung điểm
MN  ( P ) : 2 ( x + 2) + ( y − 3) + 2 ( z − 0 ) = 0  2x + y + 2z + 1 = 0

Tọa độ H là giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ phương trình
 x = 2t
y = 1 + t

 t = 0  H ( 0;1; −1)  IH = ( 2; −2; −1)  IH = 3

z = −1 + 2t
2x + y + 2z + 1 = 0

Đến đây các em vận dụng hình vẽ, áp dụng các định lí để tìm ra phương án nhanh
nhất.
* Bổ trợ kiến thức: một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững.
Đường thẳng d đi qua M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và có vectơ chỉ phương u ( a; b;c ) có phương
 x = x 0 + at

trình tham số d :  y = y0 + bt ( t 
z = z + ct
0


) và phương trình chính tắc


d:

x − x 0 y − y0 z − z0
=
=
( abc  0 )
a
b
c

Phương

trình

( S) : ( x − a )

2

mặt

cầu

I ( a; b;c ) bán

tâm

kính

R



+ ( y − b) + (z − c) = R 2 .
2

2

Trong không gian Oxyz cho phương trình x 2 + y2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là
phương trình mặt cầu khi A 2 + B2 + C2 − D  0. Khi đó mặt cầu có tâm I ( −A; −B; −C)
và bán kính R = A2 + B2 + C2 − D.
Câu 11(GV Trần Minh Tiến): Trong không gian Oxyz cho A(0;1;0), B(2;2;2), C(–
2;3;1) và đường thẳng d:

x −1 y + 2 z − 3
=
=
. Tìm điểm M thuộc d để thể tích tứ diện
2
−1
2

MABC bằng 3?
3 3 1
15 9 −11 
A. M  − ; − ;  ; M  − ; ;

 2 4 2
 2 4 2 

3 3 1
15 9 11
B. M  − ; − ;  ; M  − ; ; 
 5 4 2
 2 4 2

3 3 1
15 9 11
C. M  ; − ;  ; M  ; ; 

3 3 1
15 9 11
D. M  ; − ;  ; M  ; ; 

2

4 2

5

 2 4 2

4 2

 2 4 2

Đáp án A
M (1 + 2t; −2 − t;3 + 2t )  d. áp dụng công thức để tìm các em nhé.

Câu

12:

(GV

Trần

Minh

Tiến)

Khoảng

cách

giữa

hai

mặt

phẳng

( P ) : 2x + 2y − z −11 = 0 và ( Q) : 2x + 2y − z + 4 = 0 là?
A. 3

B. 5

C. 7

D. 6

Đáp án B
Dễ thấy được M ( 0;0; −11)  ( P ) ,d ( ( P ) , ( Q) ) = d ( M, ( Q ) ) = 5
Câu 13: (GV Trần Minh Tiến) trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;–1;2), B(3;–
 x = 2 + 4t

4;–2) và đường thẳng d :  y = −6t . Điểm I(a;b;c) thuộc d sao cho IA + IB đạt giá trị
z = −1 − 8t


nhỏ nhất, khi đó a+b+c bằng?
A. −

43
29

Đáp án B

B.

23
58

C.

65
29

D. −

21
58


Ta có AB ( 2; −3; −4)  AB / /d
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d. Ta có: IA + IB = IA'+ IB  A'B.
Dấu “=” xảy ra khi A’, I, B thẳng hàng, suy ra I = A'B  d
Vì AB//d nên I là trung điểm của A’B
Gọi H là hình chiếu của A lên d, suy ra H  ; ;  , suy ra A '  ; ; − 
 29 29 29 
 29 29 ' 29 
43 95

36 33 15

28

65 21 43
Vì I là trung điểm của A’B nên I  ; − ; − 
 29

58

29 

Vậy là ta hoàn thành bài toán, từ đây các em chọn được phương án đúng trong các
phương án trên.
Câu 14: (GV Trần Minh Tiến) trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
x = 1 + t
x − 3 y −1 z

=
= . Điểm A ( a;b;c )  d và B ( m;n;p )  d ' sao cho
d :  y = −1 − t và d ' :

1
2
1
z = 2


đoạn AB có độ dài ngắn nhất, khi đó a + b + c + m + n + p bằng?
A. 4

B. 1

C. 6

D. 5

Đáp án C
Ta có A (1 + t; −1 − t;2 ) và B ( 3 − t ';1 + 2t '; t ') suy ra
AB = ( 2 − t − t '; 2 + t + 2t '; t '− 2 )

AB có độ dài nhỏ nhất khi AB là đoạn vuông góc chung của d và d’ hay:

AB.u d = 0
 t = t ' = 0  A (1; −1; 2 ) , B ( 3;1;0 ) . Vậy là ta hoàn thành xong bài toán!

AB.u
=
0

d'


Câu 15: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
d:

x y z
= = ,
1 2 3

ba

điểm

A ( 2;0;1) , B ( 2; −1;0) , C (1;0;1) và M ( xM ; yM ; zM )  d .

MA + MB + MC ?
2

3  339

A. 126  xM −  +
.
14 
19

2

3  339

C. 126  xM +  +
.
14 
14


B. 126 xM 2 − 54 xM + 30 .
2

3  339

D. 126  xM +  +
.
14 
19


Tính


Đáp án B.
Hướng dẫn giải: Ta có được: MA ( 2 − xM ; − yM ;1 − zM ) , MB ( 2 − xM ; −1 − yM ; − zM )
MC = (1 − xM ; − yM ;1 − zM ) ta lại có MA + MB + MC = ( 5 − 3xM ; −1 − 3 yM ; 2 − 3zM )

 xM = t

Mà M ( xM ; yM ; zM )  d   yM = 2t  MA + MB + MC = ( 5 − 3t ; −1 − 6t ; 2 − 9t ) do đó dễ dàng
 z = 3t
 M

( 5 − 3t ) + ( −1 − 6t ) + ( 2 − 9t )

 MA + MB + MC =

2

2

2

= 126t 2 − 54t + 30 .

Câu 16: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

( ) : 2x + 3 y + 6 z −18 = 0 . Mặt phẳng ( ) cắt

Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C . ( S ) là mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . Bán kính mặt cầu ( S ) là?
9
.
2

A. R =

B. R =

3 14
.
2

C. R =

3 6
.
2

D. R =

3 21
.
2

Đáp án B.
Hướng

dẫn

giải:

Ta



( )  Ox = A  A (9;0;0) , ( )  Oy = B  B ( 0;6;0) ,

( )  Oz = C  C ( 0;0;3) .
Mặt cầu S qua O nên có dạng x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz = 0 ( d = 0)
9

92 − 18a = 0
a = 2


9 3
Mặt cầu S đi qua A, B, C nên có hệ 62 − 12b = 0  b = 3  I  ;3; 
2 2
32 − 6c = 0

3

c =
2

2

2

3 14
9
3
.
R =   + 32 +   − 0 =
2
2
2

Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững:
Phương trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) có bán kính R là ( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .
2

2

2

Trong không gian Oxyz cho phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2 Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là phương
trình mặt cầu khi A2 + B 2 + C 2 − D  0 . Khi đó mặt cầu có tâm I ( − A; − B; −C ) và bán kính

R = A2 + B2 + C 2 − D .


Câu 17: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1; −1;2) ,

B ( −2; −2;1) và mặt phẳng ( P ) : x + 3 y − z + 2 = 0 . Gọi ( Q ) là mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB ,  là giao tuyến của ( P ) và ( Q ) . Điểm M ( a, b, c ) thuộc  sao cho độ dài đoạn
thẳng OM là nhỏ nhất, khi đó a + b + c bằng?
A.

3
.
2

3
B. − .
2

C. 1 .

D. 4 .

Đáp án B.
3
 3 3 3
Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của AB suy ra I  − ; − ;  , ( Q ) : x + y + z + = 0
2
 2 2 2

7

 x = − 4 + 2t

1 
 7
 là giao tuyến của ( P ) và ( Q ) suy ra  :  y = −t
 M  − + 2t ; −t ; − t 
4 
 4

1
z = − t
4

2

25
 5  25
OM = 6  t −  +

32
 8  32

Dấu “=” xảy ra khi t =

5
 1 5 3
 M  − ; − ; −  , từ đây các em chọn được phương án đúng
8
 2 8 8

trong các phương án trên.
Bổ trợ kiến thức: Một số dạng toán mà học sinh cần nắm vững:
- Một là biết điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ pháp tuyến là n ( A; B; C ) . Khi đó phương trình mặt phẳng ( P ) là
A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 .
- Hai là biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp véc tơ chỉ phương. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có cặp véc tơ chỉ phương là a , b . Khi đó nếu ta gọi n là một véc tơ pháp
tuyến của mặt phẳng ( P ) thì n sẽ bằng tích có hướng của hai véc tơ a và b . Tức là

n =  a, b  .
- Ba là biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác. Mặt phẳng ( P ) đi qua
điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mặt phẳng ( Q ) có phương trình là Ax + By + Cz + D = 0
.


Khi đó mặt phẳng ( P ) sẽ có phương trình là A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 .
- Bốn là biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng ( P ) đi qua 3 điểm
không thẳng hàng A, B, C . Khi đó mặt phẳng ( P ) có cặp véc tơ chỉ phương là AB, AC hoặc
AB, BC hoặc AC , BC …

Câu 18: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −2;3;4) và mặt phẳng

( P) : x + 2 y − z + 5 = 0

và đường thẳng d :

x + 3 y +1 z − 3
=
=
. Gọi  là đường thẳng nằm
2
1
1

trên ( P ) đi qua giao điểm d và ( P ) đồng thời vuông góc với d . Điểm M ( a, b, c ) thuộc 
sao cho độ dài đoạn thẳng AM là nhỏ nhất, khi đó a + b + c bằng?
A.

13
.
3

3
B. − .
2

C.

7
.
2

D. 0 .

Đáp án A.
Hướng

dẫn

giải:

Dễ

AM ⊥   AM .u = 0  t =

thấy

được

AM

ngắn

nhất

khi



chỉ

khi

4
 7 4 16 
. Kết luận M  − ; ;  , từ đây các em chọn được phương
3
 3 3 3

án đúng trong các phương án trên.
Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thửng d đi qua

M ( x0 ; y0 ; z0 )

và có véc tơ chỉ phương

u ( a; b; c )

có phương trình tham số

 x = x0 + at
x − x0 y − y0 z − z0

=
=
d :  y = y0 + bt ( t  R ) và phương trình chính tắc d :
( abc  0 ) .
a
b
c
 z = z + ct
0

Câu 19(GV Trần Minh Tiến)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

x = 2 + t
x +1 y −1 z + 3

=
=
d1 :  y = 4 + 2t , d 2 :
và mặt phẳng ( ) : 2 x + 2 y − 3z − 9 = 0 . Trong các
2
1
2
 z = 1 + 2t

khẳng định sau, số khẳng định đúng là?
(1) d1 / / d 2 .

(2) d1  ( ) .

(3) d1  d 2 .

(4) cos d1 , d 2 =

A. 0 .
Đáp án D.

(

B. 1 .

C. 3 .

)

8
.
9

D. 2 .


Hướng dẫn giải: Dễ thấy được (1) u d1 không cùng phương ud2 , do đó (1) sai.
(2) ud1 .n = 0 , A ( 2;4;1)  d1 , A  ( ) . Do đó d1  ( ) .
(3) u d1 không cùng phương ud2 , do đó (3) sai và

(

)

(4) cos d1 ; d 2 =

u1.u2

=

u1 . u2

1.2 + 2.1 + 2.2
1 + 2 + 2 . 2 +1 + 2
2

2

2

2

2

2

=

8
.
9

Câu 20: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho

x = 1+ t
x y −1 z +1

: =
=
, d :  y = −1 − 2t , D ( 0;1;2 ) . Tìm M   , N  d sao cho DM = 3DN ?
2
1
−1
z = 2 + t

A. M ( 0;1; −1) , N ( 0; −1;1) .

B. M ( 0; −1;1) , N ( 0;1; −1) .

C. M ( 0;1; −1) , N ( 0;1;1) .

D. M ( 0;1; −1) , N ( 0;1; −1) .

Đáp án C.

 x = 2t1
x y −1 z + 1

Hướng dẫn giải: Ta dễ dàng có được:  : =
=
  :  y = 1 + t1 , M  
2
1
−1
 z = −1 − t
1


M ( 2t1;1 + t1; −1 −1t1 ) , DM ( 2t1; t1; −3 − 3t1 ) .N  d  N (1 + t; −1 − 2t; 2 + t ) ,

DN (1+ t; −2 − 2t; t ) .DM = 3DN  DM cuø
ng phöông DN



2t1
t1
−3 − 3t1
2t
t1
−3 − 3t1
( −2 − 2t ) .2t1 = t1 (1 + t )
=
=
 1 =
=

1 + t −2 − 2t
t
1 + t −2 − 2t
t

( −2 − 2t ) . ( −3 − 3t1 ) = t1.t


t = 0
−4 (1 + t ) .t1 = t1 (1 + t )

1
 M ( 0;1; −1) , N ( 0;1;1) .
t
=
1

2
1
+
t
.

3

3
t
=
t
.
t
(
)
(
)


1
1


Câu 21: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ toạn độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )
có phương trình Ax + Dy + Cz + B = 0 và điểm M ( x; y; z ) . Gọi H là hình chiếu của M lên
mặt phẳng ( ) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
A. MH = d ( M , ( ) ) =

Ax + Dy + Cz + B

C. MH = d ( M , ( ) ) =

Axo + Dyo + Czo + B

Đáp án A.

A2 + D 2 + C 2
A2 + D2 + C 2

B.

MH = d ( M , ( ) ) =

D. MH = d ( M , ( ) ) =

Ax + By + Cz + D
A2 + B 2 + C 2

Axo + Byo + Czo + D
A2 + B 2 + C 2


* Hướng dẫn giải: Có ( ) : Ax + Dy + Cz + B = 0  d ( M , ( ) ) =

Ax + Dy + Cz + B
A2 + D 2 + C 2

Câu 22: (GV Trần Minh Tiến) Cho ba điểm A(2; −1;5), B(5; −5;7) và M ( x; y;1) . Với giá trị
nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng?
A. x = −4, y = 7

B. x = 4, y = 7

C. x = −4, y = −7

D. x = 4, y = −7

Đáp án A. x = −4, y = 7
Hướng dẫn giải: Dễ dàng có được AB = ( 3; −4; 2 ) , AM = ( x − 2; y + 1; −4 ) , A, B, M thẳng
 x = −4
hàng   AB; AM  = 0  
y = 7

Câu 23: (GV Trần Minh Tiến)Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O ,

A(1;0;0), B(0; −2;0), C (0;0; 4) ?
A. x 2 + y 2 + z 2 − x + 2 y − 4 z = 0
C. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 8z = 0

B. x 2 + y 2 + z 2 + x − 2 y + 4 z = 0
D. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 8z = 0

Đáp án A.
Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0

(S )

(S ),

mặt cầu

1

d = 0
a = 2
1 − 2a + d = 0


 b = −1
đi qua bốn điểm O, A, B, C nên ta suy ra được 
4 + 4b + d = 0
c = 2
16 − 8c + d = 0

d = 0

Câu 24: (GV Trần Minh Tiến) Cho mặt phẳng ( P) : x + 2 y − 2 z − 9 = 0 và điểm A(−2;1;0) .
Tọa độ hình chiếu H của A trên mặt phẳng ( P ) là?
A. H (1;3; −2)

B. H (−1;3; −2)

C. H (1; −3; −2)

D. H (1;3; 2)

Đáp án B.
* Hướng dẫn giải:
Gọi  là đường thẳng đi qua A và  ⊥ ( P )   đi qua A ( −2;1;0 ) và có VTCP
a = n p = (1; 2; −2 ) .


 x = −2 + t

Phương trình  :  y = 1 + 2t Ta có: H =   ( P )  toạ độ H thoả mãn hệ
 z = −2t


 x = −2 + t
 y = 1 + 2t


 z = −2t
 x + 2 y − 2 z − 9 = 0

Đến đây các em giải tiếp hệ và thay t vào để tìm ra được toạ độ của H.
* Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi qua
M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương u ( a; b; c ) , có phương trình tham số

 x = x0 + at
x − x0 y − y0 z − z0

=
=
d :  y = y0 + bt ( t  R ) và phương trình chính tắc d :
( abc  0 )
a
b
c
 z = z + ct
0


Câu 25: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

(d ) :

x −1 y +1 z − 5
x −1 y + 2 z +1
=
=
=
=
và (d ) :
. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
2
3
3
2
1
2

(d) và (d’) là?
A. Chéo nhau

B. Song song với nhau C. Cắt nhau

D. Trùng nhau

Đáp án A.
* Hướng dẫn giải: Đường thẳng ( d ) có vectơ chỉ phương u = ( 2;3;1) , ( d  ) có vectơ chỉ
phương v = ( 3; 2; 2 ) . Vì u , v không cùng phương nên ( d ) cắt ( d  ) hoặc ( d ) chéo ( d  )

 x −1 y +1 z − 5
 2 = 3 = 1
Xét hệ phương trình 
 x −1 = y + 2 = z +1
 3
2
2
Vì hệ vô nghiệm nên ta kết luận được ( d ) chéo ( d  ) .
Câu 26: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian

:

Oxyz

cho đường thẳng

x −1 y −1 z
=
= và mặt phẳng ( P) : a x + by + cz − 3 = 0 chứa  và cách O một khoảng lớn
1
2
2

nhất. Tính chính xác a + b + c = ?
A. -2

B. 3

C. 1

D. -1

Đáp án C.
* Hướng dẫn giải: Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên  , suy ra K (1 + t;1 + 2t;2t ) ,
OK = (1 + t;1 + 2t; 2t )


 2 1 2
K  3 ; 3 ; − 3 
1
 

Vì OK ⊥  nên OK .u = 0  t = −  
3
OK =  2 ; 1 ; − 2 



3 3 3

Gọi H là hình chiếu của O lên ( P ) , ta có: d ( O; ( P ) ) = OH  OK = 1
Đẳng thức xảy ra khi H ≡ K.
Do đó ( P ) cách O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi ( P ) đi qua K và vuông góc với OK.
Từ đó ta dễ dàng suy ra phương trình của ( P ) là: 2 x + y − 2 z − 3 = 0  a + b + c = 1
* Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán học mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có Vectơ chỉ phương u ( a; b;c ) có phương trình tham số
 x = x0 + at
x − x0 y − y0 z − z0

=
=
d :  y = y0 + bt ( t  R ) và phương trình chính tắc d :
( abc  0 )
a
b
c
 z = z + ct
0


Câu 27: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian

:

x −1 y −1 z
=
=
1
2
2



mặt

phẳng

Oxyz

cho đường thẳng

( ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 .

Mặt

phẳng

(Q) : a x + by + cz + 3 = 0 chứa (  ) và tạo với ( ) một góc nhỏ nhất. Tính chính xác giá trị
của a + b + c ?
A. -1

B. 3

C. 5

D. 1

Đáp án D.
Hướng dẫn giải: Dùng công thức để giải nhanh: n(Q) =  n( ) , n  , n  . Áp dụng công thức



nên ta có n(Q ) = ( −8; 20; −16 ) suy ra:

(Q) : −8 ( x −1) + 20 ( y −1) −16z = 0  2x − 5 y + 4z + 3 = 0  a + b + c = 1
Câu 28: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A(0;-2;-1) và B(1; -1; 2). Tọa độ điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao cho: MA = 2 MB là?
1 3 1
A.  ; − ;  .
2 2 2

B. ( 2;0;5) .

2 4 
C.  ; − ;1 .
3 3 

D. ( −1; −3; −4) .

Đáp án: C.
▪ Hướng dẫn giải: Kiến thức cơ bản từ SGK Hình học lớp 12, AM = 2MB .


▪ Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thưucs toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và có vectơ chỉ phương u ( a; b;c ) có phương trình tham số

 x = x 0 + at

d  y = y0 + bt ( t 
z = z + ct
0


) và phương trình chính tắc d :

x − x 0 y− y0 z − z 0
=
=
( abc  0 ) .
a
b
c

x = 1 + t

Câu 29(GV Trần Minh Tiến)Trong không gian với hệ toạn độ Oxyz, cho d1 :  y = 2 + 3 t,
z = 3 − t

x = 2 − 2 t 2

d 2 :  y = −2 + t 2 . Nhận xét nào sau đây là đúng về vị trí tương đối của hai đường thẳng đã
z = 1 + 3 t
2

cho?
A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Cắt nhau.

D. Chéo nhau.

Đáp án: C.

1 + t = 2 − 2 t 2
 t = −1

▪ Hướng dẫn giải: Dễ thấy được 2 + 3 t = −2 + t 2  
. Do đó hai đường thẳng này
t
=
1

2
3 − t = 1 + 3 t
2

cắt nhau. Các em xem lại các vị trí tương đối và điều kiện xảy ra từng trường hợp trong
SGK Hình học lớp 12 cơ bản của NXB GD VN.
▪ Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và có vectơ chỉ phương u ( a; b;c ) có phương trình tham số

 x = x 0 + at

d :  y = y0 + bt ( t 
z = z + ct
0


)

và phương trình chính tắc d :

x − x 0 y− y0 z − z 0
=
=
( abc  0 ) .
a
b
c

x = 1 + t

Câu 30: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d :  y = 2 + 3t và
z = 3 − t

mặt phẳng ( P ) : x+ 3y+10z− 37 = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. d ( d, (P) ) = 110.

B. d ( d,(P) ) = 0.

C. d ⊥ (P).

D. d và (P) cắt nhau.

Đáp án: B.


▪ Hướng dẫn giải: Ta có u.n = 0, A (1, 2,3)  d, A  ( P ) . Do đó d  ( P )  d ( d, ( P ) ) = 0
▪ Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và có vectơ chỉ phương u ( a; b;c ) có phương trình tham số

 x = x 0 + at

d :  y = y0 + bt ( t 
z = z + ct
0


)

và phương trình chính tắc d :

x − x 0 y− y0 z − z 0
=
=
( abc  0 )
a
b
c

Câu 31: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
d:

x z− 3 y− 2
=
=
và hai mặt phẳng (P) : x − 2 y + 2 z = 0,
2
1
1

( Q) : x− 2 y+ 3z− 5 = 0.

Mặt

cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt thẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc
với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S)?
2
2
2
A. ( S) : ( x + 2 ) + (y+ 4) 2 + ( z + 3) = .
7

B. ( S) : ( x − 2 ) + (y− 4) 2 + ( z − 3) =

9
.
14

2
2
2
C. ( S) : ( x − 2 ) + (y− 4) 2 + ( z − 3) = .
7

D. ( S) : ( x + 2 ) + (y + 4) 2 + ( z + 3) =

9
.
14

2

2

2

2

Đáp án: A.

x = 2 t

▪ Hướng dẫn giải: Ta dễ có được d :  y = 3 + t ( t 
z = 2 + t


)  I ( 2 t; t+ 3; t+ 2 ) .

Mà I  ( P )  2 t − 2 = 0  t = 1  I ( 2;4;3) .
Gọi R là bán kính của (S) , ta có ( Q) tiếp xúc với (S)
 d ( I; ( Q ) ) = R  R =

2 − 2.4 + 3.3 − 5
12 + ( −2 ) + 32
2

=

2
.
14

Kết hợp với (S) có tâm I ( 2; 4;3)  ( S) : ( x − 2 ) + ( y− 4 ) + ( z − 3) =
2

2

2

4 2
= .
14 7

▪ Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Phương trình mặt
cầu tâm I ( a; b;c ) bán kính R là ( S) : ( x − a ) + ( y− b ) + ( z − c ) = R 2 . Trong không gian
2

2

2

Oxyz cho phương trình x 2 + y2 + z 2 + 2 Ax+ 2 By+ 2Cz+ D = 0 là phương trình mặt cầu khi
A 2 + B2 + C2 − D > 0 . Khi đó mặt cầu có tâm

R = A2 + B2 + C2 − D .

I ( − A; − B; − C)

và bán kính


Câu 32: (GV Trần Minh Tiến)Trong không gian với hệ toạn độ Oxyz, cho hai điểm
A( −1;1; 0) và B ( 3;1; −2 ) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của cạnh

AB và vuông góc với đường thẳng AB?
A. − x+ 2z + 3 = 0.

D. 2x− z − 3 = 0.

C. 2 y − 2z − 3 = 0.

B. 2 x − y − 1 = 0.

Đáp án: D.
 −1 + 3 1 + 1 0 − 2 
▪ Hướng dẫn giải: Ta có I là trung điểm của cạnh AB  I 
;
;
  I (1;1; −1)
2
2 
 2

Mặt

phẳng

(P)

qua

I (1;1; −1)



nhận

AB = ( 4;0; −2 )



một

VTPT

 ( P ) : 4 ( x −1) + 0. ( y−1) − 2 ( z−1) = 0  ( P ) : 4x − 2z − 6 = 0  ( P ) : 2x − z − 3 = 0 .
▪ Bổ trợ kiến thức: Một số dạng toán mà học sinh cần nắm vững.
+ Một là biết điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm

M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và có vectơ pháp tuyến là n ( A; B;C ) . Khi đó phương trình mặt phẳng ( P )
là A ( x − x 0 ) + B ( y− y0 ) + C ( z− z0 ) = 0 .
+ Hai là biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm

M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và có cặp vectơ chỉ phương là a, b . Khi đó nếu ta gọi n là một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng ( P ) thì n sẽ bằng tích có hướng của hai vectơ a và b . Tức là

n = a, b  .
+ Ba là biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác. Mặt phẳng ( P ) đi qua
điểm M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và song song với mặt phẳng

( Q)

có phương trình là:

Ax+ By+ Cz+ D = 0 . Khi đó mặt phẳng ( P ) sẽ có phương trình là:

A ( x − x 0 ) + B ( y− y0 ) + C ( z − z 0 ) = 0
+ Bốn là biết 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng ( P ) đi qua 3 điểm
không thẳng hàng A, B, C. Khi đó mặt phẳng ( P ) có cặp véctơ chỉ phương là AB, AC
hoặc AB, BC hoặc AC, BC …
Câu 33: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; −1;3)
và hai đường thẳng d1 :

x − 4 y+ 2 z − 1
x − 2 y+ 1 z− 1
=
=
, d2 :
=
=
.
1
4
−2
1
−1
1

Viết phương trình

đưởng thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d 2 ?


A. d :

x − 1 y+ 2 z − 3
=
=
.
4
1
4

B. d :

C. d :

x − 1 y+ 1 z − 3
=
=
.
2
−1
−1

D. d1 :

x − 1 y+ 1 z − 3
=
=
.
2
1
3
x − 1 y+ 1 z − 3
=
=
.
−2
2
3

Đáp án: C.

x = 2 + t

▪ Hướng dẫn giải: Gọi M = d d 2 , ta có d 2 :  y = −1 − t ( t 
z = 1+ t


)  M ( t + 2; − t − 1; t + 1) .

Đường thẳng d nhận AM = ( t + 1; − t; t − 2 ) là một VTCP. Đường thẳng d1 có một VTCP là
u = (1; 4; −2 ) .

Ta có d ⊥ d1  AM.u = 0  ( t + 1) − 4t − 2 ( t − 2 ) = 0  −5t + 5 = 0  t = 1
 AM = ( 2; −1; −1) .

Đường
d:

thẳng

d

qua

A (1; −1;3)



nhận

AM = ( 2; −1; −1)



một

VTCP

x − 1 y+ 1 z − 3
=
=
.
2
−1
−1

▪ Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua M ( x 0 ; y0 ;z0 ) và có vectơ chỉ phương u ( a; b;c ) có phương trình tham số

 x = x 0 + at

d :  y = y0 + bt ( t 
z = z + ct
0


)

và phương trình chính tắc d :

x − x 0 y− y0 z − z 0
=
=
( abc  0 )
a
b
c

Câu 34: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A(1; −2;1), B(0; 2; −1), C(2; −3;1). Điểm M thỏa mãn T = MA 2 − MB2 + MC2 nhỏ nhất. Tính

giá trị của P = x 2M + 2 y 2M + 3z 2M ?
A. P = 101.

B. P = 134.

C. P = 114.

Đáp án: B.

AM = ( x − 1; y+ 2; z − 1)


▪ Hướng dẫn giải: Giả sử M ( x; y; z )  BM = ( x; y − 2; z + 1)


CM = ( x − 2; y+ 3; z − 1)

D. P = 162.


AM 2 = ( x − 1)2 + ( y+ 2 )2 + ( z − 1)2

2
2

 BM 2 = x 2 + ( y − 2 ) + ( z + 1)

2
2
2
2
CM = ( x − 2 ) + ( y+ 3) + ( z − 1)
2
2
2
2
2
2
2
2
 T = ( x − 1) + ( y+ 2 ) + ( z− 1)  −  x 2 + ( y− 2 ) + ( z+ 1)  + ( x − 2 ) + ( y+ 3) + ( z− 1) 

 
 

2
2
2
2
2
2
2
2
= ( x − 1) − x 2 + ( x − 2)  + ( y+ 2 ) − ( y− 2 ) + ( y+ 3)  + ( z− 1) − ( z+ 1) + ( z− 1) 

 
 


= ( x − 3) − 4 + ( y+ 7 ) − 32 + ( z − 3) − 8  −4 − 32 − 8 = −44 , từ đây các em chọn được
2

2

2

phương án đúng trong các phương án trên.
Câu 35: (GV Trần Minh Tiến) Tìm giao điểm của d :

x − 3 y +1 z
=
=
và (P) :
1
−1
2

2x − y − z − 7 = 0 ?

A. M(3;-1;0)

B. M(0;2;-4)

C. M(6;-4;3)

D. M(1;4;-2)

Đáp án A


2 x − y − z − 7 = 0
x = 3

 x − 3 y +1

=
  y = −1  M(3;-1;0)
Hướng dẫn giải: Ta có được 
−1
 1

z = 0
x −3 z
 1 = 2


Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua M(x 0 ,y0 ,z0 ) và có vectơ chỉ phương u (a, b, c) có phương trình tham số

 x = x0 + at

d :  y = y0 + bt ( t 
 z = z + ct
0


)

và phương trình chính tắc: d :

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
( abc  0 ) .
a
b
c

Câu 36: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :
x y +1 z − 2
x +1 y z − 2
=
=
= =
cắt đường thẳng d :
sao cho khoảng cách giữa d và
a
b
c
2
1
−1
:

x −5 y z
=
= là lớn nhất. Tính a + b + c ?
2
−2 1

A. -8

B. -1

C. 1

Đáp án A

 M = d  d
Hướng dẫn giải: Gọi 
 M ( −1 + 2t; t; 2 − t ) , suy ra
A
0;

1;
2

d
(
)



D. 12


ud = AM = ( 2t − 1, t + 1; −t ) , N ( 5;0;0 ) , u = ( 2; −2;1)  u , AM  = ( t − 1; 4t − 1;6t )
2
u , AM  . AN
2 + t)
(


d (d, ) =
=3
= 3 f (t )
53t 2 − 10t + 2
u , AM 



4

1
t =
 4 
Ta có f  ( t ) = 0   37  min f ( t ) = f    ud = − ( 29; −41; 4 )  a + b + c = −8 .
37
 37 
t = −2



Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững. Đường thẳng d đi
qua M(x 0 ,y0 ,z0 ) và có vectơ chỉ phương u (a, b, c) có phương trình tham số

 x = x0 + at

d :  y = y0 + bt ( t 
 z = z + ct
0


)

và phương trình chính tắc: d :

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
( abc  0 ) .
a
b
c

Câu 37(GV Trần Minh Tiến): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (2;0;0), B
(0;3;1), C (-3;6;4). Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB. Độ dài đoạn AM
là?
A. 3 3

B. 2 7

C.

29

D.

30

Đáp án C
Hướng dẫn giải: Dễ dàng tìm được tọa độ điểm M ( −1; 4; 2 )  AM = 29 .
Câu 38(GV Trần Minh Tiến): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật

ABCD.ABCD có A  O(0;0;0) , B (x; 0; 0), D (0; x; 0), A ( 0;0; y ) , x  y  0 và mặt
phẳng ( ABD ) vuông góc với (IBD) với I là trung điểm cạnh CC . Giả sử x = 8, tính thể tích
khối tứ diện BDAI ?
A. V = 128

B. V = 64

C. V =

1152
5

D. V = 256

Đáp án A

(

)

Hướng dẫn giải: Ta có AB ( x;0; − y ) , AD ( 0; x; − y )  AB, AD  = xy; xy; x 2 ,
y
y
3


C ( x; x;0 ) , C ( x; x; y )  I  x; x;   AI  x; x; −   AB, AD  .AI = x 2 y .
2
2
2



Do đó ta có được V =

1
1 3
x2 y
 AB, AD  .AI = . x 2 y =
.

6
6 2
4

Ta lại có ( ABD ) ⊥ ( IBD )   AB, AD .  BI, BD = 0


y
y


 xy xy

Mà BI  0; x;  , BD  x;0;    BI, BD  =  ; ; − x 2  .
2
2


 2 2


x3 83
Do đó  AB, AD  .  BI, BD  = x 2 y 2 − x 4 = 0  V =
= = 128
4
4

Câu 39: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

( P ) : x − 2z + 3 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ?
A. n = (1; −2;3)

B. n = (1;0; −2 )

C. n = (1; −2;0 )

D. n = ( 3; −2;1)

Đáp án B


Hướng dẫn giải: Mặt phẳng ax + by + cx + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 > 0) có một VTPT là
r
n = (a; b; c) . Dựa vào đó, ta thấy ngay

(P): x - 2z + 3 = 0 có một VTPT là

r
n = (1; 0; - 2)

Câu 40: (GV Trần Minh Tiến) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm

A (1;2;3) , B ( 3;3;4 ) , C ( −1;1; 2 ) ?
A. thẳng hàng và A nằm giữa B và C.

B. thẳng hàng và C nằm giữa A và B.

C. thẳng hàng và B nằm giữa A và C.

D. là ba đỉnh của một tam giác.

Đáp án A


uuur
uuur
Hướng dẫn giải: Dễ dàng ta tính được AB = (2;1;1); AC = (- 2; - 1; - 1) , suy ra A là

trung điểm của BC
Câu 41: (GV Trần Minh Tiến) Cho mặt phẳng ( ) : x − 2 y + z −1 = 0 và điểm A ( 2; −1;3) ,

B ( 0;0;1) . Tìm mặt phẳng ( ') đi qua hai điểm A,B sao cho góc giữa hai mặt phẳng ( ) và

( ') là bé nhất?
A. ( ') : x + 4 y − z + 5 = 0

B. ( ') : 2 x + 8 y − 2 z − 2 = 0

C. ( ') : x + 4 y+ z−1 = 0

D. ( ') : x − 4 y+ z−1 = 0

Đáp án C


Hướng dẫn giải: Dễ thấy A(2; - 1;3)Î (a ¢) Þ loại B, D . B (0;0;1)Î (a ¢) Þ loại A.



Bổ trợ kiến thức: Một số dạng toán mà học sinh cần nắm vững.


+ Một là biết điểm thuộc mặt phẳng và vecto pháp tuyến. Mặt phẳng (P ) đi qua điểm
r
M (x0 ; y0 ; z0 ) và có vecto pháp tuyến là n ( A; B; C ) . Khi đó phương trình mặt phẳng (P ) là

A(x - x0 )+ B (y - y0 )+ C (z - z0 )= 0
+ Hai là biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp vecto chỉ phương. Mặt phẳng (P )đi qua điểm
r
r r
M (x0 ; y0 ; z0 )và có cặp vecto chỉ phương là a, b . Khi đó nếu ta gọi n là một vecto pháp tuyến

r
r
r
r
r r
của mặt phẳng (P )thì n sẽ bằng tích có hướng của hai vecto a và b . Tức là n = éêa, bù
ë ú
û
+ Ba là biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác. Mặt phẳng (P )đi qua
điểm

M (x0 ; y0 ; z0 )



Ax + By + Cz + D = 0 .

song
Khi

song
đó

với

mặt

mặt
phẳng

(Q)có phương trình là:

phẳng



(P)sẽ

phương

trình

là:

A(x - x0 )+ B (y - y0 )+ C (z - z0 )= 0
+ Bốn là biết 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng (P ) đi qua 3 điểm
uuur uuur
không thẳng hàng A, B, C. Khi đó mặt phẳng (P )có cặp vecto chỉ phương là AB, AC hoặc
uuur uuur
uuur uuur
AB, BC hoặc AC, BC …
Câu 42(GV Trần Minh Tiến): Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
:

x −1 y −1 z
=
= và mặt phẳng ( ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 . Mặt phẳng ( Q ) :ax+by+cz+3=0
1
2
2

chứa  và tạo với ( ) một góc nhỏ nhất. Tính chính xác giá trị của a+b+c?
A. –1.

B. 3.

C. 5.

D. 1.

Đáp án D


uuur
Hướng dẫn giải: Dùng công thức để giải nhanh: n(Q) =

éénuuur ; nuur ù; nuur ù
êëêë (Q) V ú
û Vú
û

uuur
Áp dụng công thức nên ta có n(Q) = (- 8;20; - 16)suy ra:

(Q): - 8(x - 1)+ 20(y - 1)- 16z = 0 Û 2x - 5 y + 4z + 3 = 0 Þ a + b + c = 1


Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững.
Phương

trình
2

mặt
2

cầu

tâm

I (a; b; c)bán

kính

R



2

(S ): (x - a ) + ( y - b) + (z - c) = R 2 .Trong không gian Oxyz cho phương trình
x 2 + y 2 + z 2 + 2 Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là

phương

trình

mặt

cầu

khi


A2 + B 2 + C 2 - D > 0 . Khi đó mặt cầu có tâm I (- A; - B; - C )và bán kính

R=

A2 + B2 + C 2 - D .

Một số dạng toán mà học sinh cần nắm vững
+ Một là biết điểm thuộc mặt phẳng và vecto pháp tuyến. Mặt phẳng (P ) đi qua điểm
r
M (x0 ; y0 ; z0 ) và có vecto pháp tuyến là n ( A; B; C ) . Khi đó phương trình mặt phẳng (P ) là

A(x - x0 )+ B (y - y0 )+ C (z - z0 )= 0
+ Hai là biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp vecto chỉ phương. Mặt phẳng (P )đi qua điểm
r
r r
M (x0 ; y0 ; z0 )và có cặp vecto chỉ phương là a, b . Khi đó nếu ta gọi n là một vecto pháp tuyến

r
r
r
r
r r
của mặt phẳng (P )thì n sẽ bằng tích có hướng của hai vecto a và b . Tức là n = éêa, bù
ë ú
û
+ Ba là biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác. Mặt phẳng (P )đi qua
điểm

M (x0 ; y0 ; z0 )

Ax + By + Cz + D = 0 .



song
Khi

song
đó

với

mặt

mặt
phẳng

phẳng

(P)sẽ

(Q)có phương trình là:


phương

trình

là:

A(x - x0 )+ B (y - y0 )+ C (z - z0 )= 0
+ Bốn là biết 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng (P ) đi qua 3 điểm
uuur uuur
không thẳng hàng A, B, C. Khi đó mặt phẳng (P )có cặp vecto chỉ phương là AB, AC hoặc
uuur uuur
uuur uuur
AB, BC hoặc AC, BC …



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×