Tải bản đầy đủ

( phần bonus )44 câu oxyz image marked image marked

Câu 1 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian Oxyz, cho
điểm A ( 3; −1;1) . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( Oyz ) là điểm
B. M ( 0; −1;1)

A. M ( 3;0;0)

C. M ( 0; −1;0 )

D. M ( 0;0;1)

Đáp án B

Câu 2 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian Oxyz, cho
đường thẳng d :

x − 2 y −1 z
=
= . Đường thẳng d có một véc tơ chỉ phương là:
−1
2
1


A. u1 = ( −1; 2;1)

B. u 2 = ( 2;1;0 )

C. u 3 = ( 2;1;1)

D. u 4 = ( −1; 2;0 )

Đáp án A
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là u d = ( −1; 2;1)
Câu 3 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian Oxyz, cho
ba điểm M ( 2;0;0) , N ( 0; −1;0) , P ( 0;0;2) . Mặt phẳng ( MNP ) có phương trình là:
A.

x y z
+ + =0
2 −1 2

B.

x y z
+ + = −1
2 −1 2

C.

x y z
+ + =1
2 1 2

D.

x y z
+ + =1
2 −1 2

Đáp án D
Phương trình mặt phẳng ( MNP ) :


x y z
+ + = 1.
2 −1 2

Câu 4 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian Oxyz cho
hai điểm A (1;2;1) và B ( 2;1;0) . Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là
A. 3x − y − z − 6 = 0

B. 3x − y − z + 6 = 0

C. x + 3y + z − 5 = 0

D. x + 3y + z − 6 = 0

Đáp án B
Mặt phẳng đó có véc tơ pháp tuyến là n P = AB = ( 3; −1; −1)
Mà mặt phẳng đó qua A ( −1;2;1)  ( P ) : 3x − y − z + 6 = 0.
Câu 5 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian Oxyz cho
hai đường thẳng d1 :

x −3 y−3 z + 2
x − 5 y +1 z − 2
=
=
, d2 :
=
=
và mặt phẳng
−1
−2
1
−3
2
1

( P ) : x + 2y + 3z − 5 = 0. Đường thẳng vuông góc với ( P )
A.

x −1 y +1 z
=
=
1
2
3

B.

cắt d1 và d 2 có phương trình là

x − 2 y − 3 z −1
=
=
1
2
3


C.

x −3 y−3 z + 2
=
=
1
2
3

D.

x −1 y +1 z
=
=
3
2
1

Đáp án A
Giả sử đường thẳng d cắt d1 ,d 2 lần lượt tại

M, N  M ( 3 − t1;3 − 2t1; −2 + t1 ) , N (5 − 3t 2 ; −1 + 2t 2 ;2 + t 2 )
Ta có MN = ( t1 − 3t 2 + 2; 2t1 + 2t 2 − 4; −t1 + t 2 + 4 ) và n P = (1; 2;3)

 t1 − 3t 2 + 2 = k
 t1 = 2
M (1; −1;0 )


Mà d vuông góc với ( P ) nên MN = kn P  2t1 + 2t 2 − 4 = 2k  t 2 = 1  
 N ( 2;1;3)
− t + t + 4 = 3k
k = 1
 1 2

Ta có MN = (1; 2;3)  d :

x −1 y +1 z
=
=
1
2
3

Câu 6 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, cho điểm M (1;1;2) . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt các trục x’Ox,
y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC  0 ?
A. 3

B. 1

C. 4

D. 8

Đáp án A
Phương trình mặt phẳng ( P ) với

x y z
+ + = 1, với A ( a;0;0) , B ( 0;b;0) ,C ( 0;0;c ) .
a b c

Ta có OA = OB = OC  a = b = c và M  ( P ) 

1 1 2
+ + = 1 ( *) .
a b c

a = b = c
 a = b = −c
, mà a = b = −c không thỏa mãn điều kiện (*).
Suy ra 
và 
a = −b = c
 a = − b = −c

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 7 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Trong không gian với hệ tọa độ
 8 4 8
Oxyz, cho hai điểm A ( 2; 2;1) , B  − ; ;  . Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của
 3 3 3

tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng ( OAB) có phương trình là
A.

x +1 y − 3 z +1
=
=
1
−2
2

1
5
11
y−
z−
3=
3=
6
1
−2
2

B.

x+

C.

x +1 y − 8 z − 4
=
=
1
−2
2

2
2
5
y−
z+
9=
9=
9
1
−2
2

x+

D.


Đáp án A
Ta có OA;OB = k (1; −2; 2 )  Vec tơ chỉ phương của đường thẳng ( d ) là u = (1; −2; 2 )
Cách 1: Kẻ phân giác OE ( E  AB) suy ra

OA AE 3
3
 12 12 
=
=  AE = AE  E  0; ;  .
OB BE 4
4
 7 7

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp OAB  I  ( OE )  OI = kOE, với k  0.
Tam giác OAB vuông tại O, có bán kính đường tròn nội tiếp r = 1  IO = 2.
Mà AE =

15
3
12 2
12
;OA = 3;cos OAB = → OE =
suy ra OE = OI  I ( 0;1;1)
7
5
7
7

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là ( d ) :

x +1 y − 3 z +1
=
=
.
1
−2
2

Cách 2: Chú ý: Với I là tâm đường tròn nội tiếp ABC , có các cạnh a,b,c ta có đẳng thức
véc tơ sau:
BC.x A + CA.x B + AB.x C

 x1 =
BC + CA + AB

BC.y A + CA.y B + AB.y C

aIA + bIB + cIC = 0  Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ  y1 =
BC + CA + AB

BC.z A + CA.z B + AB.z C

 Z1 =
BC + CA + AB


Khi đó, xét tam giác ABO=> Tâm nội tiếp của tam giác là I ( 0;1;1)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là ( d ) :

x +1 y − 3 z +1
=
=
.
1
−2
2

Câu 8 (ĐỀ THI THỬ 2018): Cho điểm M ( −3;2;4) , gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu của
M trên trục Ox, Oy, Oz. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
(ABC)
A. 6x − 4y − 3z − 12 = 0

B. 3x − 6y − 4z + 12 = 0

C. 4x − 6y − 3z + 12 = 0

D. 4x − 6y − 3z − 12 = 0

Đáp án D
A, B, C là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz  A ( −3;0;0) , B ( 0;2;0 ) , C ( 0;0;4 )
Ta có AB = ( 3; 2;0 ) và AC = ( 3;0; 4 ) suy ra  AB; AC = (8; −12; −6 )  n ( ABC) = ( 4; −6; −3)
Phương trình mặt phẳng (ABC) là 4x − 6y − 3z + 12 = 0
Hoặc phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn, ta được (ABC):

x y z
+ + =1
−3 2 4


Vậy mặt phẳng có phương trình 4x − 6y − 3z + 12 = 0 song song với mặt phẳng (ABC) 23:

Câu 9 (ĐỀ THI THỬ 2018)Cho mặt cầu ( S) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 25 và mặt
2

2

2

phẳng

( ) : 2x + y − 2z + m = 0 . Các giá trị của m để (  )

và (S) không có điểm chung là:

A. m  −9 hoặc m  21

B. m  −9 hoặc m  21

C. −9  m  21

D. −9  m  21

Đáp án B
Xét ( S) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 25  I ( −1; 2;3) và bán kính R = 5
2

2

2

Để (S) và (  ) không có điểm chung khi

d ( I; ( P ) )  R 

−1.2 + 2 − 2.3 + m
22 + 11 + ( −2 )

2

 m  21
 5  m − 6  15  
 m  −9

Câu 10 (ĐỀ THI THỬ 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S) : ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 3)
2

2

2

=9

. Mệnh đề nào đúng?
A. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy)
B. Mặt cầu (S) không tiếp xúc với cả ba mặt ( Oxy ) , ( Oxz ) , ( Oyz )
C. Mặt cầu (S) tiếp xúc với ( Oyz )
D. Mặt cầu (S) tiếp xúc với ( Oxz )
Đáp án A
Xét mặt cầu ( S) : ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 9  I ( 2; −1;3) và R = 3
2

2

2

Mặt phẳng ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) có phương trình lần lượt là z = 0; x = 0; y = 0
Có d ( I; ( Oxy ) ) = 3; d ( I; ( Oyz ) ) = 2; d ( I; ( Oxz ) ) = 1 nên mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy)
Câu 11: (ĐỀ THI THỬ 2018) Cho điểm M ( 3;2;1) , Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt
các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình
mặt phẳng (P) là:
A.

x y z
+ + =0
3 2 1

B. x + y + z − 6 = 0

C. 3x + 2y + z − 14 = 0 D.

x y z
+ + =1
3 2 1


Đáp án C
Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A ( a;0;0) , B ( 0;b;0 ) , C ( 0;0;c )
Nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng
M  (P) 

3 2 1
+ + =1
a b c

x y z
+ + = 1 mà
a b c

(1)

Ta có AM = ( 3 − a; 2;1) , BM = ( 3; 2 − b;1) và BC = ( 0; −b;c ) , AC = ( −a;0;c )


c − 2b = 0
AM.BC = 0
Mặt khác M là trọng tâm  ABC  

c − 3a = 0

BM.AC = 0
Từ (1) và (2) suy ra a =

( 2)

14
; b = 7; c = 14  ( P ) : 3x + 2y + z − 14 = 0
3

Cách 2: Chứng minh được OM ⊥ ( ABC)
OA ⊥ BC
 BC ⊥ ( OAM )  BC ⊥ OM , tương tự AB ⊥ OM  OM ⊥ ( ABC)
Ta có 
AM ⊥ BC

Khi đó ( P ) : 3x + 2y + z −14 = 0
Câu 12: (ĐỀ THI THỬ 2018)Gọi I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm

M (1;0;0) , N ( 0;1;0) , P ( 0;0;1) , Q (1;1;1) . Tìm tọa độ tâm I
1 1 1
A.  ; − ; 
2 2 2

2 2 2
B.  ; ; 
3 3 3

1 1 1
C.  ; ; 
2 2 2

 1 1 1
D.  − ; − ; − 
 2 2 2

Đáp án C
1 1 1
Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPQ chính là trung điểm của OQ  I  ; ;  . (Do dễ
2 2 2

thấy
MOQ, NOQ, POQ đều nhìn PQ dưới 1 góc vuông).
Cách 2: Dễ thấy MNPQ là tứ diện đều cạnh a 2 . Khi đó tâm mặt cầu tứ diện cũng là trọng
 x + x N + xP + xQ   1 1 1 
;...  =  ; ; 
tâm tứ diện. Khi đó G  M
4

 2 2 2

x = 1 + t

1 1 1
Cách 3. Viết ( ABC) : x + y + z −1 = 0 suy ra tâm I  d :  y = 1 + t cho IM = IQ  I  ; ; 
2 2 2
z = 1 + t



Câu 13: (ĐỀ THI THỬ 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( P ) : 2x + y − 3z + 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng
khoảng bằng

(Q) song song và cách (P) một

11
2 14

A. −4x − 2y + 6z + 7 = 0; 4x + 2y − 6z + 15 = 0
B. −4x − 2y + 6z − 7 = 0; 4x + 2y − 6z + 5 = 0
C. −4x − 2y + 6z + 5 = 0; 4x + 2y − 6z − 15 = 0
D. −4x − 2y + 6z + 3 = 0; 4x + 2y − 6z − 15 = 0
Đáp án A
Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên (Q) có dạng 2x + y − 3z + m = 0
Điểm M ( −1;0;0)  ( P ) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) là
d ( M; ( Q ) ) =



11
2 14

−2 + m
22 + 12 + ( −3)

2

15

m
=

 −4x − 2y + 6z + 7 = 0
11
11
2
=
 m−2 =  
 (Q) : 
2
2 14
 4x + 2y − 6z + 15 = 0
m = − 7

2

Câu 14 (ĐỀ THI THỬ 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho

A ( a;0;0) , B ( 0;b;0 ) , C ( 0;0;c ) với a, b, c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy,
Oz sao cho a + b + c = 2 . Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ
diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M tói mặt phẳng (P)
A. 2017

B.

2014
3

C.

2016
3

D.

2015
3

Đáp án D
Gọi D, K lần lượt là trung điểm của AB, OC.
Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (OAB) và cắt mặt phẳng trung trực của OC
tại I  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC suy ra z1 =
Tương tự DF =

a
a
b
a b c
 x1 = ; y1 =  I  ; ; 
2
2
2
2 2 2

Suy ra x1 + y 2 + z 2 =

a +b+c
= 1  I  ( P ) : x + y + z −1 = 0
2

c
2


Vậy khoảng cách từ điểm M đến (P) bằng d =

2015
3

Câu 15: (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
cho OA = 2i + 2j + 2k, B ( −2; 2;0 ) và C ( 4;1; −1) . Trên mặt phẳng (Oxz), điểm nào dưới đây
cách đều ba điểm A, B, C.
3 1
A. M  ;0; 
4 2

 −3 −1 
B. N  ;0; 
2 
 4

 3 −1 
C. P  ;0; 
2 
4

 −3 1 
D. Q  ;0; 
2
 4

Đáp án C
Ta có A ( 2;2;2 ) và PA = PB = PC =

3 21
4

Câu 16: (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt phẳng ( P ) : 2x − y + x −10 = 0 và đường thẳng d :

x + 2 y −1 z −1
=
=
. Đường thẳng Δ
2
1
−1

cắt (P) và d lần lượt tại M và N sao cho A (1;3;2) là trung điểm MN . Tính độ dài đoạn MN
.
A. MN = 4 33

B. MN = 2 26,5

C. MN = 4 16,5

D. MN = 2 33

Đáp án C
Vì N =   d nên N  d , do đó N ( −2 + 2t;1 + t;1 − t )

 x M = 2x A − x N
 x M = 4 − 2t


Mà A (1;3;2 ) là trung điểm MN nên  y M = 2yA − y N   yM = 5 − t
z = 2z − z

A
N
z M = 3 + t
 M
Vì M =   ( P ) nên M  ( P ) , do đó 2 ( 4 − 2t ) − ( 5 − t ) + ( 3 + t ) − 10 = 0  t = −2
Suy ra M (8;7;1) và N ( −6; −1;3)
Vậy M = 2 66 = 4 16,5
Câu 17 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
ba điểm A (1;2; −4) , B (1; −3;1) , C ( 2;2;3) . Tính đường kính l của mặt cầu (S) đi qua ba
điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy)
A. l = 2 13
Đáp án C

B. l = 2 41

C. l = 2 26

D. l = 2 11


Gọi tâm mặt cầu là I ( x; y;0)

IA = IB



IA = IC



( x − 1) + ( y − 2 )

2

+ 42 =

( x − 1) + ( y + 3)

( x − 1) + ( y − 2 )

2

+ 42 =

( x − 2 ) + ( y − 1)

2

2

2

2

+ 12

2

2

+ 32

2
2
2
2

( y − 2 ) + 4 = ( y + 3) + 1

2
2

 x − 2x + 1 + 16 = x − 4x + 4 + 9

10y = 10
 x = −2


 l = 2R = 2
2x = −4
y = 1

( −3) + ( −1)
2

2

+ 42 = 2 26

Câu 18 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
đường thẳng d :

x −1 y − 2 z −1
=
=
, A ( 2;1;4) . Gọi H ( a;b;c ) là điểm thuộc d sao cho AH
1
1
2

có độ dài nhỏ nhất. Tính
T = a 3 + b 3 + c3

A. T = 8

D. T = 5

C. T = 13

B. T = 62

Đáp án B

x = 1 + t

Phương trình tham số của đường thẳng d :  y = 2 + t ( t 
z = 1 + 2t


)

H  d  H (1 + t;2 + t;1 + 2t )
Độ dài AH =

( t −1) + ( t + 1) + ( 2t − 3)
2

Độ dài AH nhỏ nhất bằng

2

2

= 6t 2 − 12t + 11 = 6 ( t − 1) + 5  5
2

5 khi t = 1  H ( 2;3;3)

Vậy a = 2, b = 3, c = 3  a 3 + b3 + c3 = 62
Câu 19 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm M (3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các
điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các
mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P)
A. 3x + 2y + z + 14 = 0 B. 2x + y + 3z + 9 = 0 C. 2x + 2y + z − 14 = 0 D. 2x + y + z − 9 = 0
Đáp án D
Gọi A ( a;0;0) ; B ( 0;b;0 ) ; C ( 0;0;c )
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

x y z
+ + = 1( a.b.c  0 )
a b c


Vì (P) qua M nên

3 2 1
+ + =1
a b c

(1)

Ta có MA = ( a − 3; −2; −1) ; MB = ( −3; b − 2; −1) ; BC = ( 0; −b;c ) ; AC = ( −a;0;c )


2b = c
MA.BC = 0
Vì M là trực tâm của tam giác ABC nên 

3a = c

MB.AC = 0
Từ (1) và (2) suy ra a =

( 2)

14
14
; b = ; c = 14 . Khi đó phương trình ( P ) : 3x + 2y + z −14 = 0
3
2

Vậy mặt phẳng song song với (P) là: 3x + 2y + z + 14 = 0
Câu 20 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0 có bán kính R = 19 , đường thẳng

x = 5 + t

d :  y = −2 − 4t và mặt phẳng ( P ) : 3x − y − 3z −1 = 0 . Trong các số a;b;c;d theo thứ tự
z = −1 − 4t

dưới đây, số nào thỏa mãn a + b + c + d = 43 , đồng thời tâm I của (S) thuộc đường thẳng d
và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P)?
A. −6; −12; −14;75

B. 6;10;20;7

C. −10;4;2;47

D. 3;5;6;29

Đáp án A
Ta có I  d  I ( 5 + t;2 − 4t; −1 − 4t )
t = 0
Do (S) tiếp xúc với (P) nên d ( I; ( P ) ) = R = 19  19 + 19t = 19  
 t = −2

a 2 + b2 + c2
 a b c
− d = 19
Mặt khác (S) có tâm I  − ; − ; −  ; bán kính R =
4
 2 2 2

Xét khi t = 0  I ( 5; −2; −1)  a;b;c;d = −10;4;2;47
Do

a 2 + b2 + c2
− d  19 nên ta loại trường hợp này
4

Xét khi t = 2  a;b;c;d = −6; −12; −14;75
Do

a 2 + b2 + c2
− d = 19 nên thỏa
4


Câu 21 (Toán Học Tuổi Trẻ): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC
với A (1;1;1) , B ( −1;1;0) , C (1;3;2) . Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác

ABC nhận vecto a nào dưới đây làm một vecto chỉ phương?
A. a = (1;1;0 ) .

B. a = ( −2; 2; 2 ) .

C. a = ( −1; 2;1) .

D. a = ( −1;1;0 ) .

Đáp án D
Câu 22 (Toán Học Tuổi Trẻ)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết mặt phẳng

( P ) :ax + by + cz −1 = 0 với c  0 đi qua hai điểm A ( 0;1;0) , B (1;0;0) và tạo với mặt phẳng
( yOz ) một góc 60 . Khi đó giá trị a + b + c thuộc khoảng nào dưới đây?
Đáp án A
Phương trình mặt phẳng ( yOz ) là x = 0
Từ giả thiết có: b − 1 = 0, c = − 2  a + b + c = 2 − 2  ( 0;3)
Câu 23: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A ( 2;4;1) , B ( −1;1;3) và mặt phẳng ( P ) : x − 3 y + 2z − 5 = 0 . Một mặt phẳng (Q) đi qua hai
điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng là ax + by + cz − 11 = 0 . Khẳng định nào
sau đây là đúng?
A. a + b = c.

B. a + b + c = 5.

C. a  ( b; c ) .

D. a + b  c.

Đáp án B
Ta có AB = ( −3; −3; 2 ) và mặt phẳng (P) có VTPT là nP = (1; −3; 2 ) ; ( P ) ⊥ ( Q )  mặt phẳng
(Q) có VTPT là nQ =  n p , AB  = −4 ( 0; 2;3) .
Phương trình mặt phẳng ( Q ) : 2 y + 3z −11 = 0  a + b + c = 0 + 2 + 3 = 5.
Câu 24: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
 x = −2 + 2t
( P ) : 2x − y + z −10 = 0 điếm A (1;3;2) và đường thẳng d :  y = 1 + t . Tìm phương trình
z = 1− t

đường thẳng  cắt (P) và d lần lượt tại hai điểm M, N sao cho A là trung điểm cạnh MN.
A.

x − 6 y −1 z + 3
=
=
.
7
−4
−1

B.

x − 6 y +1 z − 3
=
=
.
7
4
−1

C.

x − 6 y −1 z + 3
=
=
.
7
4
−1

D.

x + 6 y +1 z − 3
=
=
.
7
−4
−1


Đáp án B

N  d  N ( 2t − 2; t + 1; −t + 1) .
Theo giả thiết A (1;3;2) là trung điểm của cạnh MN  M ( 4 − 2t;5 − t; t + 3) .
Mà M  ( P )  t = −2  N ( −6; −1;3) . Đường thẳng  qua N ( −6; −1;3) và NA = ( 7; 4; −1)
là một VTCP, suy ra  :

x + 6 y +1 z − 3
=
=
.
7
4
−1

Câu 25: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
x −1 y + 2 z − 3
=
=
. Tìm điểm M thuộc d
A ( 0;1;0) , B ( 2;2;2) , C ( −2;3;1) và đường thẳng d :
2
−1
2
để thể tích của tứ diện MABC bằng 3.
 15 9 11 
 3 3 1
A. M  − ; ; −  ; M  − ; − ;  .
 2 4 2
 2 4 2

 3 3 1
 15 9 11 
B. M  − ; − ;  ; M  − ; ;  .
 5 4 2
 2 4 2

3 3 1
 15 9 11 
C. M  ; − ;  ; M  ; ;  .
2 4 2
 2 4 2

3 3 1
 15 9 11 
D. M  ; − ;  ; M  ; ; 
5 4 2
 2 4 2

Đáp án A

M  d  M ( 2t + 1; −t − 2;2t + 3) .
Phương trình mp ( ABC ) là: x + 2 y − 2z − 2 = 0 .
Diện tích tam giác ABC là: S ABC =

9
.
2

1
17
5
V = 3  d ( M , ( ABC ) ) .S ABC = 3  d ( M , ( ABC ) ) = 2  t = − Hoặc t = − .
3
4
4

Câu 26: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( P) : 2x + y − 2z + m = 0 và mặt cầu ( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4 y − 6z − 2 = 0 . Có bao nhiêu giá
trị nguyên của m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có
chu vi bằng 4 3 .
A. 3.

B. 4.

C. 2.

D. 1.

Đáp án C
Gọi r là bán kính của đường tròn (T) theo giả thiết đường tròn (T) có chu vi bằng 4 3 .
Nên 4 3 = 2 r  r=2 3 . Mặt cầu (S) có tâm I (1; −2;3) và bán kính r = 4 . Khoảng cách
từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là:


2x1 + y1 2z1 + m
3

=

6 + m
3

m = 0
=2
m = 12

Cõu 27 (Toỏn Hc Tui Tr)Trong khụng gian Oxyz , cho im M (1;3; - 1) v mt phng

(P): x - 2 y + 2z = 1 . Gi N l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn (P). Vit phng trỡnh mt
phng trung trc ca on MN
A. x - 2 y + 2 z + 3 = 0 B. x - 2 y + 2 z + 1 = 0 C. x - 2 y + 2 z - 3 = 0 D. x - 2 y + 2 z + 2 = 0
ỏp ỏn B
Cõu 28: (Toỏn Hc Tui Tr) Trong khụng gian Oxyz , cho hai ng thng ct nhau

ỡù x = 1- t Â
ỡù x = 2 + t
ùù
ùù
D 1 : ớ y = 2 + 2t ; D 2 : ùớ y = - t Â
ùù
ùù
ùùợ z = 2t Â
ùùợ z = - 1- t

(t, t Âẻ Ă ). Vit phng trỡnh ng phõn giỏc ca gúc nhn to bi D 1 , D 2
A.

x- 1 y
z
= =
2
3 - 3

B.

x- 1 y z
= =
1
1 1

C.

x+ 1
y
z
=
=
2
- 3 3

D. C A,B,C u sai

ỏp ỏn A
uur
ur
Ta cú D 1 ầ D 2 = M (1;0;0), u1 = (1; 2; - 1), v u2 = (- 1; - 1; 2) l cỏc VTCP ca hai ng
r ur uur
ur uur
ur
uur
thng ó cho, u1.u2 = - 5 < 0, u1 = u2 = 6 , nờn u = u1 - u2 = (2;3; - 3) l mt VTCP ca

ng phõn giỏc D ca gúc nhn to bi D 1 , D 2 .
Vy D :

x- 1 y
z
= =
2
3 - 3

ổ17 11 17 ử
; ữ
Cõu 29: (Toỏn Hc Tui Tr)Trong khụng gian Oxyz , cho hỡnh nún nh S ỗỗ ; ữ
ỗố18

9 18 ữ

cú ng trũn ỏy i qua ba im A(1;0;0), B (0; - 2;0), C (0;0;1) . Tớnh di ng sinh l
ca hỡnh nún ó cho
C. l =

94
6

di ng sinh ca hỡnh nún l l = SA = SB = SC =

86
6

A. l =

86
6

B. l =

194
6

ỏp ỏn A

D. l =

5 2
6


Câu 30: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian Oxyz , cho điểm H (1;2; - 2), mặt phẳng

(a )đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A,B,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (a )
A. x 2 + y 2 + z 2 = 81

B. x 2 + y 2 + z 2 = 1

C. x 2 + y 2 + z 2 = 9

D. x 2 + y 2 + z 2 = 25

Đáp án C
Bán kính mặt cầu R = OH = 3
Câu 31: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hình bình hành ABCD. Qua A,B,C,D lần lượt vẽ các
nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía so với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau
và không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P )cắt Ax, By, Cz, Dt tại A¢, B¢, C ¢, D¢tương
ứng sao cho AA¢= 3, BB¢= 5, CC ¢= 4 . Tính DD¢
A. 4

B. 6

C. 2

D. 12

Đáp án C
AA¢+ CC ¢= BB¢+ DD¢

Câu 32 (Toán Học Tuổi Trẻ)Trong không gian Oxyz , cho điểm M (2;0;1). Gọi A,B lần
lượt là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox và trên mặt phẳng (Oyz ). Viết phương trình
mặt phẳng trung trực của đoạn AB
A. 4x - 2z - 3 = 0

B. 4 x - 2 y - 3 = 0

C. 4x - 2z + 3 = 0

D. 4x + 2z + 3 = 0

Đáp án A
Câu 33 (Toán Học Tuổi Trẻ)Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
x y- 2
z
=
. Hai mặt phẳng
1
1
- 1
(P),(P¢) chứa d và tiếp xúc với (S ) tại T , T ¢. Tìm tọa độ trung điểm H của T , T ¢

(S ): x2 + y 2 + z 2 - 2x + 2z + 1 = 0 và đường thẳng d : =

æ5 1 5 ö
A. H çç ; ; ÷
÷
÷
çè 6 3 6 ø

æ5 2 7 ö
B. H çç ; ; - ÷
÷
çè 6 3 6 ø÷

æ 5 1 5ö
C. H çç- ; ; ÷
÷
÷
çè 6 3 6 ø

æ 7 1 7ö
D. H çç- ; ; - ÷
÷
çè 6 3 6 ÷
ø

Đáp án A
Câu 34: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình:

x2 + y 2 + z 2 − 2(m + 2) x + 4my − 2mz + 5m2 + 9 = 0 . Tìm m để phương trình đó là phương
trình của một mặt cầu


A. −5  m  1

B. m  −5 hoặc m  1 C. m  −5

D. m  1

Đáp án B
Điều kiện: −5m2 − 9 + (m + 2)2 + 4m2 + m2  0

 m2 + 4m − 5  0
 m  (−; −5)  (1; +)
Câu 35: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vecto
a(5;7; 2), b(3;0; 4), c( −6;1; −1) . Tìm tọa độ của vecto m = 3a − 2b + c

A. m = (3; 22; −3)

B. m = (3; 22;3)

C. m = (−3; 22; −3)

D. m = (3; −22;3)

Đáp án A
m = 3a − 2b + c = (3; 22; −3)

Câu 36: (Toán Học Tuổi Trẻ) Mặt phẳng cắt mặt cầu:

(S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y + 6 z −1 = 0 có phương trình là
A. 2 x + 3 y − z − 16 = 0 B. 2 x + 3 y − z + 12 = 0 C. 2 x + 3 y − z − 18 = 0 D. 2 x + 3 y − z + 10 = 0
Đáp án D
Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là: I (1; −1; −3); R = 2 3
Tính khoảng cách d từ I đến các mặt phẳng và so sánh với R, khoảng cách d  R thì mặt
phẳng cắt mặt cầu
Câu 37: (Toán Học Tuổi Trẻ)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2; −1)

x = t

và đường thẳng d :  y = t
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách
z = 1+ t

từ A đến (P) là lớn nhất.
A. 2 x + y − 3z + 3 = 0 B. x + 2 y − z − 1 = 0
Đáp án A
Gọi H (t ; t ;1 + t )  d sao cho AH ⊥ d
Có AH = (t − 3; t − 2; t + 2)

C. 3x + 2 y − z + 1 = 0

D. 2 x − y − 3z + 3 = 0


AH ⊥ d  AH .ud = 0  t − 3 + t − 2 + t + 2 = 0  t = 1
 AH = (−2; −1;3)

Phương trình mặt phẳng cần tìm chứa d và nhận vecto AH là vecto pháp tuyến.
 ( P) : 2 x + y − 3z + 3 = 0

Câu 38: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; −3)
và mặt phẳng ( P) : 2 x + 2 y − z + 9 = 0 . Đường thẳng d đi qua A và có vecto chỉ phương
u = (3; 4; −4) cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới

góc 900 . Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. H (−2; −1;3)

B. I (−1; −2;3)

C. K (3;0;15)

D. J (−3; 2;7)

Đáp án B

 x = 1 + 3t

Phương trình đường thẳng d là:  y = 2 + 4t
 z = −3 − 4t

Gọi tọa độ điểm B là: B(1 + 3t; 2 + 4t; −3 − 4t )
Vì B  ( P)  2(1 + 3t ) + 2(2 + 4t ) − (−3 − 4t ) + 9 = 0
 t = −1  B = (−2; −2;1)

Ta có AMB = 900 và M  ( P)  quỹ tích điểm M là giao điểm của mặt cầu đường kính AB
và mặt phẳng (P)
 1

Ta có trung điểm của AB là K  − ;0; −1
 2


1

 x = − 2 + 2t

Phương trình đường thẳng qua K và vuông góc với (P) là  y = 2t
 z = −1 − t


 1

Gọi H  − + 2t ; 2t ; −1 − t   D trên mặt phẳng (P)
 2


 H là hình chiếu vuông góc của K trên (P)


 1

H  − + 2t ; 2t ; −1 − t   ( P )  t = −1
 2

 5

1

 H  − ; −2;0   HB =  ;0;1
 2

2


MB lớn nhất khi M  BH
Gọi vecto chỉ phương đường thẳng BM là u MB

 u MB

 x = −2 + t

= (1;0; 2)  BM :  y = −2
 z = 1 + 2t


Vậy đáp án B. I (−1; −2;3)  BM
Câu 39 (Toán Học Tuổi Trẻ): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tính khoảng cách

x = 1+ t

từ điểm M (1;3;2 ) đến đường thẳng  y = 1 + t là
 z = −t

A.

2

B. 2

C. 2 2

D. 3

Đáp án C.
Gọi đường thẳng đã cho là d và nhận u (1;1; −1) làm một vecto chỉ phương.
Gọi H là một điểm nằm trên đường thẳng đã cho, ta có: H (1 + t;1 + t; −t ) , để H là hình chiếu
của M lên đường thẳng thì MH ⊥ d hay MH .u = 0  1( t ) + 1( t − 2 ) − 1( −t − 2 ) = 0  t = 0
Khi đó H (1;1;0 ) và d ( M , d ) = MH = 2 2.
Câu 40: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình
đường vuông góc chung của hai đường thẳng d :
d :

x −2 y −3 z + 4
=
=
;
2
3
−5

x +1 y − 4 z − 4
=
=
3
−2
−1

A.

x y z −1
= =
1 1
1

B.

x −2 y −2 z −3
=
=
2
3
4

C.

x −2 y + 2 z −3
=
=
2
2
2

D.

x y −2 z −3
=
=
2
3
−1

Đáp án A.


Dễ thấy đáp án A có U = (1;1;1) cùng vuông góc với hai vecto chỉ phương của đường thẳng
đã cho.
Câu 41: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ABC có

A ( 2;4) , B ( 5;1) , C ( −1; −2) . Phép tịnh tiến TBC biến ABC thành ABC. Tìm tọa độ trọng
tâm của ABC.
A. ( −4;2 )

B. ( 4; 2 )

C. ( 4; −2 )

D. ( −4; −2)

Đáp án D.

 A ( 2; 4 )

Ta có: BC = ( −6; −3) . Với  B ( 5;1)

C ( −1; −2 )
 A ( −4;1)

  B ( −1; −2 )  GABC ( −4; −2 ) .
 
C ( −7; −5)
Câu 42: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

A ( 0; −2; −1) , B ( −2; −4;3) , C (1;3; −1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z − 3 = 0. Tìm điểm
M  ( P ) sao cho MA + MB + 2MC đạt giá trị nhỏ nhất.
1 1

A. M  ; ; −1
2 2


 1 1 
B. M  − ; − ;1
 2 2 

C. M ( 2;2; −4)

Đáp án A.
Gọi I là điểm thỏa mãn IA + IB + 2IC = O  I ( 0;0;0 )
Ta có:
MA + MB + 2MC = 4MI + MA + MB + 2MC = 4MI
 MA + MB + 2MC min  MI min
1 1

 M là hình chiếu của I trên ( P )  M  ; ; −1 .
2 2


D. M ( −2; −2;4)


Câu 43 (Toán Học Tuổi Trẻ): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( P) : x + 2 y + z − 4 = 0

và đường thẳng d :

x +1 y z + 2
= =
. Viết phương trình đường thẳng
2
1
3

 nằm trong mặt phẳng ( P ) , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d

A.

x −1 y −1 z −1
=
=
5
−1
−3

B.

x −1 y −1 z −1
=
=
5
1
−3

C.

x −1 y +1 z −1
=
=
5
−1
2

D.

x +1 y + 3 z −1
=
=
5
−1
3

Đáp án A.
Gọi A = d  ( P )  A (1;1;1) . Mặt khác  cũng cắt đường thẳng d  A .
  ( P )
 u = ud , n( P )  = ( 5; −1; −3) .
Vì 
 ⊥ d

Đường thẳng 


x −1 y −1 z −1
qua A (1;1;1)
 :
=
=
.

5

1

3
u
=
5;

1;

3
(
)



Câu 44: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét đường thẳng 
đi qua điểm A ( 0;0;1) và vuông góc với mặt phẳng Ozx. Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa
điểm B ( 0;4;0) tới điểm C trong đó C là điểm cách đều đường thẳng  và trục Ox
A.

1
2

B. 3 2

C.

6

D.

65
2

Đáp án C.
Gọi C ( a; b; c ) , ta có d ( C, Ox ) = b2 + c2 và d ( C;  ) = a 2 + ( c − 1) . Do đó
2

a 2 = b 2 + 2c − 1.

 BC = b2 + 2c − 1 + ( b − 4 ) + c 2  6
2

Câu 45: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm

A ( 0;0;2) , B ( 3;4;1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của AX + BY với X , Y là các điểm thuộc mặt
phẳng Oxy sao cho XY = 1
A. 3

B. 5

C. 2 + 17

D. 1 + 2 5


Đáp án B.
Đặt X ( a; b;0) , Y ( c; d ;0 ) thì ( a − c ) + ( b − d ) = 1.
2

2

Theo bất đẳng thức Minkowski, ta có:

a 2 + b2 +

(3 − c ) + ( 4 − d )

 a 2 + b2 +

2

2

(3 − c ) + ( 4 − d )
2

(c − a) + (d − a)

+

2

2

2

4

Lại áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta được:

AX + BY = a 2 + b2 + 4 +

(3 − c ) + ( d − 4)
2

2

+1  5

5



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×