Tải bản đầy đủ

Bài giảng xác suất thống kê ( 6.lý thuyết ước Lượng )

Bài 6

ƯỚC LƯỢNG


Kiến thức liên quan

• Tính toán từ dữ liệu mẫu (dạng điểm, dạng tần số,
dạng khoảng…)
• Định lý giới hạn trung tâm
• Luật phân phối của tham số đặc trưng mẫu
(trung bình mẫu, tỷ lệ mẫu, phương sai mẫu…)


Nội dung
Lý thuyết ước lượng
Các khái niệm:







Ước lượng điểm, khoảng
Độ tin cậy, mức ý nghĩa, sai số, khoảng ước lượng

Các bài toán ước lượng






Ước lượng trung bình
Ước lượng tỷ lệ
Ước lượng phương sai


Nhắc lại các ký hiệu và khái niệm
Tổng thể

Mẫu cụ thể

Kích thước
̅

Trung bình
Độ lệch chuẩn

(ĐLC mẫu)
Tỷ lệ
(

= m/n
là số phần tử có t/c A trong mẫu)

Các ký hiệu tương ứng cho mẫu ngẫu nhiên: , ,


Ước lượng không chệch
• Một tham số thống kê mẫu được gọi là ước lượng


không chệch của tham số tổng thể nếu kỳ vọng của nó
bằng với tham số tổng thể.
Ví dụ:

= : là ước lượng không chệch của

= : là ước lượng không chệch của

= : là ước lượng không chệch của
• Để ước lượng trung bình , phương sai , tỷ lệ của
tổng thể, ta dùng ̅ , , để ước lượng.
• Trong các bài toán ước lượng và kiểm định, trường
hợp mẫu lớn, chưa biết , người ta thay bằng (vì
≈ khi lớn)


Ước lượng hiệu quả
• Nếu phân phối mẫu của hai tham số thống kê có cùng trung
bình, tham số thống kê có phương sai nhỏ hơn sẽ ước
lượng hiệu quả hơn.
• Ví dụ:
 Với một tổng thể có phân phối chuẩn:
=
=

à
là các ước lượng không chệch của .
 Tuy nhiên:
<
⇒ ước lượng của phân phối trung bình mẫu hiệu quả hơn
ước lượng của phân phối trung vị mẫu.
Giá trị tương ứng của thống kê hiệu quả này được gọi là
ước lượng có hiệu quả.


Ước lượng không chệch
Chú ý:
• Ước lượng không chệch thường được sử dụng
khi tìm ước lượng điểm.
• Trong thực hành khó có thể có được cả hai tiêu
chuẩn hiệu quả và không chệch.


Ước lượng điểm
• Ví dụ: công ty A có hàng ngàn công nhân.
– Thăm dò 100 công nhân của công ty nhận thấy thu
nhập trung bình là 2,5 triệu đồng/tháng.
– Sử dụng trung bình mẫu để ước lượng thu nhập trung
bình của công nhân công ty A.
– Ta nói thu nhập trung bình của công nhân công ty
được ước lượng là 2,5 triệu đồng/tháng,
• Một ước lượng tham số của tổng thể được cho bởi một
con số được gọi là ước lượng điểm của tham số tổng thể.


Ước lượng khoảng
• Ví dụ: Kiểm tra 50 bóng đèn của một công ty, thấy tuổi
thọ trung bình là 1000 giờ.
– Sử dụng tuổi thọ trung bình của 50 bóng đèn trên để
ước lượng cho tuổi thọ trung bình của bóng đèn do
công ty trên sản xuất với sai số là 100 giờ.
– Ta nói tuổi thọ trung bình của bóng đèn do công ty trên
sản xuất từ 900 giờ đến 1100 giờ.
• Một ước lượng của tham số tổng thể được cho bởi hai con
số mà tham số tổng thể nằm trong khoảng hai số đó
được gọi là ước lượng khoảng của tham số tổng thể.


Tóm tắt
• Nếu nói một độ dài nào đó là 5,28 m thì ta nói về
ước lượng điểm.
• Nếu nói độ dài đó là 5,28  0,03 m, i.e độ dài đó nằm
trong khoảng 5,25 và 5,31 m thì ta đã đưa ra một
ước lượng khoảng.
• Giá trị 0,03 được gọi là sai số của phép ước lượng.
• Sai số của phép ước lượng, ký hiệu , thể hiện độ
chính xác của phép ước lượng đó.
• Sai số càng nhỏ, độ chính xác càng cao.


Khái niệm ước lượng
• Ước lượng (khoảng) là đi tìm một khoảng tin cậy, sao cho
xác suất (tức khả năng) tham số tổng thể nằm trong khoảng
tin cậy này bằng độ tin cậy
cho trước.
• Ví dụ: với độ tin cậy 95%, ta cần tìm 1 khoảng tin cậy (min,
max) nào đó:
<μ<
= 95%
• Ngược lại, sẽ có


khả năng ta ước lượng sai (vì sao?)

Các bài toán ước lượng
– Ước lượng trung bình
– Ước lượng tỷ lệ
– Ước lượng phương sai


Ước lượng trung bình tổng thể


Phân phối T (phân phối Student)
• Định lý: Nếu tổng thể có phân phối chuẩn, thì BNN
=

~ (

1)

/
Trong đó, ( – 1): phân phối T với bậc tự do ( – 1).
• Khi bậc tự do nhỏ, phân phối T tương đối khác so với
phân phối chuẩn.

• Khi bậc tự do lớn (~ 30 trở lên): phân phối T rất gần
với phân phối chuẩn.


Phân phối Student (phân phối T)
• Phân phối T do nhà thống kê người Anh
William S. Gosset đưa ra vào năm 1908, khi
đang làm cho hãng bia Guiness (thống kê để
chọn bia ngon)
• Do nguyên tắc giữ bí mật của hãng bia, ông lấy
bút danh là Student.


Ước lượng trung bình tổng thể
• Mục tiêu: ước lượng với độ tin cậy 1
1
là khả năng ∈ khoảng tin cậy mà ta đưa ra.
 Dùng ̅ để ước lượng (vì ̅ là ước lượng ko chệch
của )
• Ta cần tìm khoảng tin cậy ( ̅
, ̅ + ):
̅
< < ̅+ =1
• Ví dụ: Độ tin cậy 1

= 95% nghĩa là

– Có 95% khả năng thuộc khoảng tin cậy mà ta đưa ra
– Ngược lại, có = 5% khả năng ta ước lượng sai


Ước lượng khoảng tin cậy trung bình tổng thể
1. Mẫu lớn



:

• Biết : Sử dụng phân phối chuẩn

=

/

Với độ tin cậy 1- :
– Khoảng tin cậy đối xứng của : ̅
Trong đó =

<

0,1
< ̅+



– Khoảng tin cậy bên trái của :




Khoảng tin cậy bên phải của :

< ̅ + với =
> ̅

• Chưa biết : thay bằng (vẫn dùng pp chuẩn)
(tương tự trường hợp biết )

với =


Ước lượng khoảng tin cậy trung bình tổng thể
2. Mẫu nhỏ

<

(đk: tổng thể có pp chuẩn)
=

• Biết : dùng phân phối chuẩn



/

0,1

• Không biết : sử dụng phân phối T (phân phối Student) bậc
tự do (

1):

=

/

∼ (

1)

Với độ tin cậy 1- :
– Khoảng tin cậy đối xứng của :
̅

(

, ⁄ )

<

< ̅+

(

– Khoảng tin cậy bên trái của :


Khoảng tin cậy bên phải của :

, ⁄ )

< ̅+
> ̅

(

, )
(

, )


Hai xu hướng thống kê
– Theo
• Biết : dùng pp chuẩn
• Không biết : dùng pp T
– Theo kích thước mẫu:
• ≥ 30: dùng pp chuẩn
• < 30:
–Biết : dùng pp chuẩn
–Không biết : dùng pp T


Tóm tắt bài toán ước lượng trung bình tổng thể


Giá trị tới hạn

Tính bằng casio

(khi dùng pp chuẩn N(0,1))

Mod ↓
Mod ↓

Inverse Normal
Normal CD


Ví dụ: mẫu lớn

Độ đo các đường kính của một mẫu ngẫu nhiên
gồm 100 vòng bi do một máy sản xuất trong một
tuần có đường kính trung bình là 0,824 cm và độ
lệch chuẩn mẫu là 0,042 cm.
Hãy tìm khoảng tin cậy đường kính trung bình
của tất cả các vòng bi với độ tin cậy 96%.


Giải






̅ = 0.824cm: đường kính trung bình của mẫu ngẫu nhiên
gồm = 100 vòng bi.
Gọi là đường kính trung bình của tất cả các vòng bi do máy
sản xuất (tổng thể).
Ta cần tìm khoảng tin cậy: ̅
< < ̅+
Vì kích thước mẫu lớn ( > 30), nên ta dùng PP chuẩn.
Giá trị tới hạn = 2.05

• Sai số biên: =

= 0.00862cm

• Khoảng tin cậy: ̅
, ̅ + = (0.8154,0.8326)
• Kết luận: với số liệu mẫu trên và độ tin cậy 96%, đường kính
trung bình của tất cả các vòng bi do máy sản xuất được ước
lượng trong khoảng từ 0.8154cm đến 0.8326cm.


Ví dụ: mẫu bé, biết

Trọng lượng của những vỉ thuốc do một công ty dược sản
xuất có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 0.038mg. Một
mẫu ngẫu nhiên gồm 10 vỉ thuốc có trọng lượng trung bình
là 4.87mg. Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin cậy của
trọng lượng trung bình các vỉ thuốc do công ty sản xuất.


Ví dụ: mẫu bé, không biết

Một mẫu gồm 10 độ đo đường kính của một quả cầu, có
đường kính trung bình là 4,38 cm và độ lệch chuẩn mẫu là
0,06 cm. Biết rằng đường kính của một quả cầu có phân
phối chuẩn, hãy tìm khoảng tin cậy của đường kính tất cả
các quả cầu với độ tin cậy 95%.


Ước lượng khoảng tin cậy trung bình tổng thể
Các dạng toán của ước lượng trung bình tổng thể:
• Cho biết độ tin cậy 1- , kích thước mẫu n.
Tìm khoảng tin cậy
• Cho biết độ chính xác , kích thước mẫu n.
Tìm độ tin cậy 1• Cho biết độ tin cậy 1- , độ chính xác .
Tìm kích thước mẫu.
Nhận xét:
Như vậy trong 3 tham số: n, và 1- , nếu biết được 2 tham
số thì có thể suy ra tham số còn lại.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×