Tải bản đầy đủ

Phương pháp giảng dạy hình học lớp 11 phần thiết diện

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng:
1.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng
2.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng
cho trước
3.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho
trước.
4.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước.
5.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và vuông góc một đường thẳng cho
trước.
6.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.
Dạng 1: Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng
Phương pháp:
Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt của
hình chóp.
Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm
chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được giao tuyến với các mặt này.
Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác phẳng khép kín ta được
thiết diện.
Bươc 4: Dựng thiết diện và kết luận.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là điểm bất kì nằm trên cạnh SC (không trùng với S, C), N và P
lần luợt là trung điểm của AB, AD. Tìm thiết diện của hình chóp với (MNP).
S

Giải:
Ta có:
 MNP  � ABCD   NP

M
Q

Kéo dài BC và NP cắt nhau tại I,
khi đó  MNP  � SBC   KM
Kéo dài DC cắt NP tại J,
 MNP  � SCD   MQ

J

K
A
P

 MNP  � SAD   PQ

Vậy thiết diện là ngũ giác KMQPN.

D

N

I
B

C

Dạng 2:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) ((P) chứa một đường thẳng a song song với một
đường thẳng b cho trước ( a và b chéo nhau)) .
@Phương pháp:
Bước 1: Chỉ ra 2 mp (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b .
Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng ( có thể dựng thêm các đường phụ).


1


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Bước 3: Khi đó:  P  � Q   Mt P a P b
Bước 4: Sử dụng các cách tìm thiết diện đã biết ta tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt còn lại của
hình chóp.
Bước 5: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC, (P) là mặt phẳng qua
AM và song song BD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt (P).
Giải:
Ta có:
S
BD P  P  , BD � SBD 
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD.
Gọi I  SO �AM
Khi đó  P  � SBD   Ix P BD
Ix cắt SB tại K, cắt SD tại N.
Do đó:
 P  � SBC   MK

M
K

 P  � SCD   MN
 P  � SAB   AK
 P  � SAD   AN

Vậy thiết diện là tứ giác KMNA.

N

I
A

D
O

B

C

Dạng 3:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai đường thẳng
cho trước:
@Phương pháp:
Bước 1: Tìm điểm M �(P) ∩ (Q)
Bước 2: Chỉ ra mp (P) P a ( hoặc b ) � (Q). Suy ra giao tuyến (P) và (Q) là đường thẳng qua M và song
song a ( hoặc b ).
Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến của các mặt khác của hình chóp với (P) bằng các cách đã biết.
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang ( AD song song BC ), M là điểm bất kì thuộc AB và
( ) là mặt phẳng qua M và song song với AD và SB.
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( ) . S
Giải:
Ta có: M �   � ABCD 
K
P
( ) song song với AD nên:
( ) � ABCD   Mx P AD
Gọi N  Mx �CD
( ) song song với SB nên:
( ) � SAB   MP P SB

A

Tương tự ta có: ( ) � SAD   Px P AD

D

M
B

N

2

C


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Gọi K  Px �SD
( ) � SCD   KN
Vậy thiết diện là hình thang MNKP.
Dạng 4:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng
cho trước.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điểm chung M của hai mặt phẳng (P) và một mặt phẳng nào đó của hình chóp.
Bước 2: Chỉ ra  P  P  Q  .
Tìm a   P  � R  (b   Q  � R  ) . Khi đó giao tuyến là đường thẳng qua M song song với a
( hoặc b ).
Bước 3: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang, cạnh đáy AB, CD  AB .
   là mặt phẳng qua M trên cạnh AB và song song với mặt phẳng (SAD).
Tìm thiết diện của hình chóp với    .
Giải:
Ta có:
M �   � ABCD  ,

S

P

K

M �   � SAB 

Do    song song với (SAD) nên:

   � ABCD   MN P AD
   � SAB   MK P SA
   � SCD   NP P SD
   � SBC   KP

Vậy thiết diện là hình thang KMNP.

A

D

M

B

N

C

Dạng 5:Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước
Giả sử cần xác định thiết diện của một hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và vuông góc
với d cho trước.
Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm hai đường thẳng a và b
cắt nhau cùng vuông góc với d ( trong đó ít nhất một đường thẳng đi qua điểm M).
Bước 2: Khi đó (P) P ( a ,b).
Bước 3: Tìm giao tuyến của (P) với hình chóp bằng các cách đã biết.
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.
Chú ý: Nếu đã có sẵn 2 đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau mà cùng vuông góc với d thì ta chọn (P) song
song với a (hay chứa a ) và b song song với (P) (hay chứa b). Rồi thực hiện các bước còn lại.
3


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Gọi    là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. Xác định thiết diện khi    cắt hình chóp (S.ABCD).
Giải:
Ta có:
S
AD  AB �
�� AD   SAB 
AD  SA �
� AD  SB
Từ A kẽ đường thẳng vuông góc với SB tại H.
Do đó    � HAD 
Khi đó:
H
   � SAB   AH

   � SAD   AD
   � ABCD   AD
Do    �AD P BC
Nên    � SBC   Hx P BC

I
D

A

B

C

Gọi I  Hx �SC
Khi đó    � SBC   HI
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang AHID.
Dạng 6: Thết diện chứa một đường thẳng a và vuông góc với một mặt phẳng .
Bước 1: Chọn 1 điểm A nằm trên đường thẳng a sao cho qua A có thể dựng được đường thẳng b vuông
góc với mp    một cách dễ nhất.
Bước 2: Khi đó, mp ( a ,b) chính là mp    cần dựng

Bước 3: Tìm giao tuyến của    với hình chóp bằng các cách đã biết.
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, J
lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi (P) là mặt phẳng qua Ị và vuông góc với mặt (SBC). Tìm thiết diện
của hình chóp với mặt phẳng (P).
Giải:
IJ  AB �
S
Ta có
�� IJ   SAB  � IJ  SB
IJ  SA �
Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với SB tại K.
Do đó  P  � KIJ 
Ta có

 P  � SAB   KI
 P  � ABCD   IJ
 P  �IJ P BC �  P  � SBC   KN P BC
 P  � SCD   NI

A

K

D

N

I

Vậy giao tuyến là hình thang KNIJ.

J

B

4

C


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Chú ý: Việc tìm thiết diên của mặt phẳng    với hình lăng trụ được tiến hành tương tự như đối với hình

chóp. Nhưng chú ý rằng hình lăng trụ có 2 mặt đáy song song nhau, nếu    cắt 1 mặt đáy nào thì cuãng cắt
mặt đáy còn lại theo giao tuyến song song vơi giao tuyến vừa tìm được.
Việc tìm thiết diện của hình lập phương được tiến hành giống như đói với hình lăng trụ.
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, các điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và CC1.
Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (A1MN).
Giải:
 A1MN  � BCB1C1   MN
A
Kéo dài AC và A1N cắt nhau tại I.
Khi đó:
 A1MN  � ABC   MP

C

I

M
P

 A1MN  � ABB1 A1   PA1

B

N

Vậy thiết diện là tứ giác PMNA1.
A1

C1

B1

Những khó khăn cơ bản khi giải toán thiết diện và biện pháp khắc phục.
 Tìm thiết diện của một hình nào đó cắt bởi mặt phẳng nào đó chẳng hạn tìm thiết diện của hình chóp cắt
bởi mặt phẳng P: là ta tìm các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp. Các “đoạn giao
tuyến” liên tiếp tạo ra khi cắt các mặt của hình chóp bởi mặt phẳng (P) hình thành một đa giác phẳng, ta gọi
hình đa giác đó là thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) với hình chóp.
Như vậy, thực chất bài toán tìm thiết diện chính là bài toán tìm các giao điểm của mặt phẳng (P) với các
cạnh của hình chóp và tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp.
Từ đó ta có thể thấy những khó khăn trong khi giải bài toán về thiết diện phần lớn bắt nguồn từ những khó
trong việc tìm “giao điểm”(của mặt phẳng và các cạnh của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng) cũng như xác
định các “đoạn giao tuyến”(của mặt phẳng và các mặt của hình được cắt bởi mặt phẳng)
 Ta sẽ lần lượt chỉ ra những khó khăn đó, nhưng một khó khăn đầu tiên mà ta có thể bắt gặp trong giải
toán thiết diện là làm sao có một hình vẽ thuận lợi cho việc giải toán, vì hình học không gian (HHKG) đòi
hỏi sự tư duy trừu tượng cao mà thiết diện là một vấn đề tương đối phức tạp của HHKG, do vậy một hình vẽ
thích hợp sẽ tăng khả năng tư duy của chúng ta.
1. Những khó khăn trong việc vẽ hình không gian và việc tìm lời giải dựa nhiều vào trực giác, thiếu cơ
sở từ các định lý hay hệ quả dẫn lời giải sai:
Hình vẽ chưa thể hiện hết giả thiết bài toán, hình vẽ sai gây nên sự bế tắc trong việc tìm lời giải, hay
trực giác không chính xác dẫn tới bài giải sai.
5


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Một số học sinh chịu ảnh hưởng quá nặng của hình học phẳng do vậy khi vẽ hình trong HHKG lại tuân thủ
một cách máy móc về độ dài, diện tích, góc…điều này sẽ làm cho các em bị bế tắt khi giải toán HHKG.
Ví dụ 0: khi vẽ một hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông thì các em mặc nhiên vẽ hình chóp
có đáy ABCD là hình vuông và có đỉnh là S.
Rõ ràng hình vẽ thỏa yêu cầu bài toán nhưng việc vẽ hình như
S
vậy sẽ gặp nhiều khó khăn trong khi giải bài toán.
- Thứ nhất: hình vẽ có nhiều đường khuất mà ta có thể
hạn chế được. Điều này gây nhiều khó khăn khi giải
những bài toán phức tạp.
- Thứ hai: cạnh AD là nét khuất nhưng chưa được thể
hiện trên hình vẽ.
- Thứ ba: giao diện mặt bên  SAD  quá nhỏ, điều này
gây nhiều khó khăn trong việc giải những bài toán mà
ta
cần kẻ thêm những đường thẳng nằm trong mặt phẳng
đó.
A
B
- Thứ tư: đa giác đáy là hình vuông thì được học sinh thể
hiện hoàn là một hình vuông như bên hình học phẳng.
Nếu đề bài yêu cầu thêm là mặt phẳng  SAD  vuông
góc với mặt phẳng đáy thì học sinh khó mà vẽ được
hình đúng như ý mình.
Ngoài ra, việc thể hiện những hình vẽ như vậy còn làm cho học
sinh mất nhiều thời gian cho việc vẽ hình.
Ví dụ 1:
B C D . Dựng thiết diện của
Cho hình lập phương ABCD. A����
D
C
hình lập phương với một mặt phẳng di qua trung điểm M của
cạnh DD ' , trung điểm N của cạnh D ' C ' và đỉnh A .
Học sinh giải bài toán như sau:
C'
B' nhau nên
A�
A  và  CC ��
D D  song song với
Do hai mặt bên  BB�
giao tuyến của hai mặt này với mặt phẳng  AMN  cũng N
song với nhau. Do đó
D'
 AMN  � AA ' B ' B   AB ', AB�P MN

 AMN  � AA ' D ' D   AM
 AMN  � A ' B ' C ' D '  B ' N

M

Vậy thiết diện cần tìm chính là hình AMNB�
Phân tích sai lầm:
Học sinh đã biết được giao tuyến của mặt phẳng

phải song

A'

C'

C
B
B'

N

 AMN 

và mặt

D
A�
A Plà đường thẳng đi qua A và song
phẳng  BB�
A song với MN.
Trực giác cho thấy giao tuyến đó là đường thẳng D'
. Điều này chưa đúng vì chưa có cơ
AB�
A' sở chứng minh
AB�
P MN .
Giải
Ta có:  AMN  � AA ' D ' D   AM

C
M

B

Trong mặt phẳng  AA ' D ' D  dựng AM cắt A ' D ' tại P.
6

D

A


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

 AMN  � A ' B ' C ' D '  PN
Trong mặt phẳng  A ' B ' C ' D ' 
P, M , B ' thẳng hàng.
thật vậy,
Ta có:
MD� 1
PD� 1
 �

AA 2
PA� 2
D�
N 1

Ta lại có
A��
B 2
từ đó suy ra PN đi qua B�và
D D   MN
 AMN  � CC ��
B B   AB�
 AMN  � AA��

ta nhận thấy

NB� 1
 .
PB� 2

Vậy thiết diện cần tìm chính là hình AMNB�
.
Đối với bài toán tìm thiết diện thì hình vẽ là rất quan trọng.
@ Nguyên nhân:
Vẽ hình không thể hiện hết giả thiết hoặc vẽ hình sai. Do bước đầu tiếp xúc với hình học không gian
đòi hỏi trừu tượng và tư duy cao, không thường xuyên luyện tập vẽ hình.
Không nắm vững được những khái niêm do dó không thể hiện hết giả thiết dẫn đến không đủ dữ
kiện để giải quyết bài toán. Các khái niệm HS không nắm vững hoặc hiểu nhầm, ví dụ: “ tứ diện đều”, “
hình chóp có đáy là tam giác đều”, “ hình chóp đều”, “hình lăng trụ đều”(hình lăng trụ đứng và có đáy là đa
giác đều, các mặt bên là hình chữ nhật…)

@ Biện pháp khắc phục: giúp học sinh nắm vững những quy tắc vẽ hình trong không gian, rèn luyện cho
học sinh kỹ năng vẽ hình trong không gian như: hình chóp( hinh chóp tứ giác đều, hình chóp có đáy là hình
vuông,…), hình lăng trụ, hình hộp. Giúp học sinh nắm vững khái niệm về các hình trong không gian để có
cách vẽ hình chính xác….
Các quy tắc cơ bản khi vẽ hình trong không gian:
- Dùng nét ( ___ ) để biểu diễn cho những đường nhìn thấy.
- Dùng nét (---) để biểu diễn những đường khuất.
- Hai đường thẳng song song ( cắt nhau ) được biểu diễn thành hai đường thẳng song song ( cắt nhau ).
- Hình biểu diễn của hình thang là hình thang.
- Hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hìnhSvuông là hình bình hành.
- Một tam giác ABC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bất kì….
Chú ý: vẽ hình không gian đúng quy tắc là chưa đủ mà còn phải đảm bảo thật có lợi cho việc quan sát trực
giác, điều này giúp ta dễ tìm ra lời giải cho bài toán.
Khả năng tư duy trừu tượng kém tạo ra những khó khăn về trực giác. Khi giải một số bài tập HS thường
mắc phải các sai lầm do quan sát trực quan tạo ra.

A
2. Khó khăn trong việc tìm ra một lời giải từ giả thiết.
Học sinh thường rơi vào bế tắc không biết bắt đầu từ đâu cho một bài toán tìm thiết diện.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
SA   ABCD  . Gọi    là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB.
7

D

B

C


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng    .
Trong bài toán này học sinh thường rơi vào bế tắc,
không biết bắt đầu lời giải từ đâu, do
không thấy được hình biểu diễn của mặt phẳng   
Nguyên nhân:
Do học sinh chưa nắm được phương pháp chung để
giải các dạng bài tập tìm thiết diện.
giải
Trong mặt phẳng  SAB  dựng AM  SB
AD  SA
Ta có:
AD  AB
do đó AD   SAB 
suy ra AD  SB (1)
mặt khác AM  SB (2)
từ (1) và (2) suy ra  ADM   SB

S

M

vậy  ADM  �  

�AD �  

�BC � SBC 
� Mt     � SBC 
ta có: �
AD
P
BC

�M �   � SBC 


A

B
N

Mt P BC , Mt P AD Mt cắt SC tại N.
   � SAB   AM

   � SDC   DN

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác DAMN.
D
@ Biện pháp khắc phục:
C
- Hình thành cho học sinh phương pháp chung nhất để giải bài toán tìm thiết diện:
Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng với các mặt của hình chóp hay hình lăng trụ…Từ đó suy ra các đoạn giao
tuyến. Nối các đoạn giao tuyến ta được đa giác phẳng, đó chính là thiết diện cần tìm.
Phân loại các dạng bài tập tìm thiết diện, giúp học sinh biết được cách giải với từng dạng bài toán đề cho
(phần này được trình bài ở mục 1).
- Như đã nói ở trên nguồn gốc của những khó khăn trong giải toán thiết diện được xuất phát phần lớn ở
những khó khăn về tìm “giao điểm” cũng như xác định “đoạn giao tuyến”. Mà việc xác định “đoạn giao
tuyến” hoặc là ta đã có hoặc nếu không có sẳn thì xác định đoạn giao tuyến bằng cách tìm các giao điểm là
phổ biến (tuy nhiên còn có phương pháp khác sẽ nêu ra sau)
- Như vậy quy cho cùng vấn đề tìm “giao điểm” là cốt lõi trong bài toán thiết diện.
Vậy làm sao để tìm được “giao điểm” chẳng hạn là giao điểm của hình chóp cắt bởi mặt phẳng nào đó.
Khó khăn bắt đầu từ đây mà nguyên nhân chủ yếu là các em học sinh không nắm vững phương pháp dẫn
đến sai lầm.
Có thể nêu ra hai phương pháp tìm giao điểm của một đường thẳng và một đường thẳng:
8


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Cách 1:
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta đi tìm giao điểm của đường thẳng a và một đường
thẳng b nằm trong mặt phăng (P).

b � P 
� a � P   I

a �b  I

Cách 2:
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa a, sau đó xác định
giao tuyến b của hai mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó giao điểm cần tìm là giao điềm của hai đường thẳng a và
b.

a � Q 

 P  � Q   b � a � P   I


a �b  I

Chú ý: ở cách 2 khi tìm giao điểm I ta cần xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Việc xác định
giao tuyến của hai mặt phẳng thường là ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó. Nhưng đôi khi việc xác
định như vậy lại gặp những khó khăn và từ đó dẫn đến những khó khăn cho bài toán tìm thiết diện.
Ta có một cách khác tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
Ta tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. Nếu hai mặt phẳng đó lần lượt chứa hai đường thẳng
song song nhau. Giao tuyến là đường thẳng qua điểm chung và song song với hai đường thẳng đó.
Một ví dụ minh họa:
Ví dụ 2.1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm nằm trong tam giác SCD. Xác định thiết diện của hình
chóp khi cắt bởi mp(ABM).

S
K
M
C

B
J

I

P
A

O
D

:

Giải:
9


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Đầu tiên ta tìm giao điểm I của AM và (SBD)
Gọi P  SM �DC
Khi đó trên mp(ABCD), gọi O  AP �BD
Ta có SO   SAP  � SBD 
Gọi I  AM �SO
Mà AM �( SAP )
Vậy ta suy ra I  AM � SBD  .
Trên mp(SBD), gọi J  BI �SD
Khi đó trên mp(SCD), gọi K  JM �SC
Vậy tứ giác ABKJ là thiết diện cần tìm.
Ví dụ 2.2 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC và CD sao cho BM =
2MC và CN = 2ND. Gọi P là trung điểm AD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNP).
Giải:
A
Q
P

D

B

E

N
M
C

Vì BM = 2MC và CN = 2ND nên MN không song song với BD, do đó BD và MN cắt nhau tại E.
Trên mp(ABD), PE cắt AB tại Q, khi đó: MN,NP,PQ,QM lần lượt là các đoạn giao tuyến khi cắt các mặt của
tứ diện bằng mp(MNP).
Vậy tứ giác MNPQ là thiết diện cần tìm.
3. Những khó khăn do không hiểu kỹ các định lý, hệ quả dẫn đến những kết luận sai.
- Sử dụng các định lý, hệ quả một cách chủ quan dựa trên trực giác và những ý nghĩ ở hình học phẳng,
chẳng hạn HS thường cho rằng trong không gian có định lý sau: “hai đường thẳng cùng vuông góc với một
đường thẳng thì song song với nhau”, “ hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với
nhau”,… hoặc các định lý, hệ quả mà HS thường hiểu nhầm:
+ Một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
đó.
+ Hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng nào nằm trong một mặt phẳng mà vuông góc
với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Luôn có thể dựng được một mặt phẳng đi qua 4 điểm phân biệt.
10


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Ví dụ 3:
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC đ ều, SA   ABC  . Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh SC .G ọi



là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB .
học sinh giải như sau:
SA   ABC  � SA  AB

    AB
Suy ra    P SA

Trong mặt phẳng (SAC)
kẽ đường thẳng qua M và song song với SA cắt AC tại Q
Gọi I là trung điểm AB, khi đó: AB  CI
Mặt khác MQ P SA , nên MQ   ABC  � MQ  AB
Do đó MQ P CI

S

M

Suy ra    P CI

N

Mà CI � ABC  �  ABC  P   
Suy ra    P BC

Q

A

   � SBC   MN P BC
   � ABC   QP P BC
   � SAB   NP P SA

C

Do đó:

P

B

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ .

Giải
Ta c ó SA   ABC  � SA  AB

    AB
Suy ra SA P  
Ta có SA � SAC 
M �   � SAC 
Do đ ó    � SAC   MQ ,

I

S

N

M

MQ PSA cắt AC

A
t ại Q.
gọi I là trung điểm của AB ta có CI  AB .
Suy ra CI P   
P
CI �( ABC ) .
I
Do đ ó    � ABC   QP , QP PCI và cắt AB tại P.
Ta có SA P    , SA � SAB 

Q

P �   � SAB  suy ra PN     � SAB  với PN PSA , PN cắt SBB tại N.

MN     � SBC 

11

C


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ .

@ Nguyên nhân:
- Hình học không gian khá trừu tượng nên việc nắm kỹ các định lý rất khó khăn, và trực giác không mang
lại kết quả như hình học phẳng mà đôi khi còn đánh lừa người giải toán khi họ thể hiện sai trên hình vẽ.
- HS còn dựa nhiều vào những kiến thưc ở hình học phẳng, thản nhiên áp dụng một cách tùy ý bằng cách
suy diễn từ hình học phẳng sang hình học không gian.
@ Khắc phục:
- Giúp HS nắm vững các định lý trong SGK bằng cách vận dụng vào giải các bài tập. Việc vận dụng các
định lý, hệ quả vào các bài giải phải hiểu đó là định lý, hệ quả nào thuộc quan hệ song song hay quan hệ
vuông góc, phát biểu chính xác hệ quả định lý đó.
- Vẽ hình rõ ràng nhằm tận dụng hết giả thiết, điều này rất có lợi để áp dụng các định lý.
- Phân dạng các bài tập về thiết diện. Mỗi dạng thường vận dụng những định lý, hệ quả nào,…
4. Khó khăn do hiểu nhầm các khái niệm, dẫn tới bế tắc hoặc có một lời giải sai.
Các khái niệm mà học sinh không nắm vững có thể dẫn tới việc thể hiện thiếu dữ kiện của bài toán, hoặc
đưa ra những khái niệm sai.
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD và các mặt bên hợp với đáy 1 góc  . Hãy xác định thiết diện
tạo nên bởi mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC với các mặt bên của hình chóp.
Phân tích: trực giác cho HS thấy rằng mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC phải chứa hai đường
� và SCD

phân giác của góc SBA

S

HS tiến hành giải như sau:
Trong mp (SAB) ta dựng đường phân giác BM
� cắt SA tại M
của góc SBA
Ta có:    � SAB   BM

N

Trong mặt phẳng (SAD) dựng đường
� cắt SD tại N.
phân giác góc SCD
   � SCD   CN

C

D
M

   � SAD   MN
   � ABCD   BC

S

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác BCNM .
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó: do học sinh không hiểu
mặt phẳng phân giác của góc nhị diện là gì, định nghĩa
B
góc giữa hai mặt phẳng.
Giải:
Gọi  P  là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC ,C P  đi qua BC.

   � ABCD   BC .

N
A
K
D

M

Dựng trung điểm I, J của cạnh BC và BD.
Ta có: SI  BC ( do tam giác SBC cân tại S ).
IJ  BC
� chính là góc phẳng nhị diện cạnh BC.
Do đó SIJ

I

J

12

B

A


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
� cắt SJ tại K.
Dựng phân giác IK của góc SIJ
Vậy  P  � BC , IK 
Ta có: BC P AD, BC � P  , AD � SAD 
K � P  � SAD 

Do đó MN   P  � SAD 
MN P AD, MN P BC với MN đi qua K và cắt
SA, SD lần lượt tại M và N.
MB   P  � SAB 
NC   P  � SCD 

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác BCNM .
@ Nguyên nhân: không nắm các khái niệm,các định nghĩa, dựa vào quan sát trực giác để hình thành khái
niệm trên cơ sở của hình học phẳng…
@ Khắc phục:
- Giúp học sinh nắm vững các khái niệm, các định nghĩa chẳng hạn: góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng….
- Hình thành cho học sinh phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng, cách chứng minh hai mặt phẳng song song,…
4. CÁC KỸ NĂNG CẦN RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI CÁC BÀI
TOÁN THIẾT DIỆN.
a) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình đúng và chính xác, giúp cho các em năng cao khả năng tư duy
tưởng tượng trong hình học không gian chẳng hạn như các ví dụ sau:
S

- Nếu đáyS là tứ giác lồi tùy ý, ta vẽ hình thường dùng là:

B
A

D

A

D
B

C

C

- Nếu đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông:
S

A

D

13
B
C


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

S

Nếu đáy là hình thang:

A

D

B

Hay cho các em biết là thiết diện của một tứ diện không thểC là ngũ giác, vì tứ diện chỉ có bốn mặt, thiết diện
của tứ diện cũng không nhất thiết là tứ giác …
Ví dụ 1: Chẳng hạn ở ví dụ 2, 4 mà ta xét sau đây.
b) Nâng cao kỹ năng giải bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thực chất của bài toán tìm giao tuyến
của hai mặt phẳng là tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng, khi đó giao tuyến chính là đường thẳng đi qua
hai điểm chung đó. Chú ý giúp học sinh hiểu được định lý : “Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân
biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó”.
+ Trường hợp: đề đã cho sẵn hai điểm chung của hai mặt phẳng khi đó ta chỉ cần dựng giao tuyến là
đường thẳng đi qua hai điểm đó.
+ Trường hợp đề chỉ cho một điểm chung của hai mặt phẳng ta có hai cách tìm giao tuyến như sau:
cách 1: dựng thêm một điểm chung khác nữa bằng cách kéo dài các đường thẳng cắt nhau thuộc hai mặt
phẳng đó.
A

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, K lần lượt là 3 điểm bất kì trên AB, AD và BC sao cho MN không
song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNK).

M

Giải:
Ta có:

N

 MNK  � ABC   MK
 MNK  � ABD   MN

D

I

B
P

14

K
C


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Trong mặt phẳng  ABD  dựng MN cắt BD tại I
ta được  MNK  � ABC   IK , IK cắt DC tại P

 MNK  � ADC   NP
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNPK .

Cách 2: từ một điểm chung đã có ta sử dụng các định lý về quan hệ song song để tìm quan hệ giữa giao
tuyến với đường thẳng đã có mà ta có thể dựng được đường giao tuyến đó. Chẳng hạn sử dụng hệ quả:
“nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo một giao tuyến thì giao tuyến đó song
song với hai đường thẳng đó”.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I , J lầm lượt là trọng tâm của tam
giác SAB và tam giác SAD . M là trung điểm CD . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

 IJM  .
Trong mặt phẳng  SLN  ta có

SJ SI 2

 do đó IJ P LN .
JL IN 3

S

IJ � JIM  , NL � ABCD 
M � JIM  � ABCD 
Suy ra Mt � JIM  � ABCD 
V

Mt cắt AD, BC lần lượt
tại T và W ta được:

T

U

J

D

I

A

L

MW � JIM  � ABCD 
TJ   JIM  � SAD 

M

Trong mặt phẳng  SAD  dựng JT cắt SA, SD

X

N

lần lượt tại U và V .
C

UI   JIM  � SAB  ,
Trong mặt phẳng  SAB  dựng UI cắt SB tại X .
15

W

B


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Ta có XW   JIM  � SBC 
MV   JIM  � SCD  , vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác UVMWX .
c) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng có phương pháp giải từng dạng toán trong bài toán thiết diện (trình bày
ở mục 1)
d) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích và dự đoán được các trường hợp có thể xảy ra của yêu cầu
bài toán trong giải bài toán thiết diện.
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC. Trong tam giác BCD lấy
điểm M sao cho hai đường thẳng KM và CD cắt nhau. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM).
Giải

A

Gọi P  KM �CD .Ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Điểm P thuộc đoạn CD
Khi đó ta được:

 HKM  � BCD   KP .
 HKM  � ACD   HP

H

B

D

 HKM  � ABC   KH
Do đó, thiết diện cần tìm là HKP .

M

K

A

Trường hợp 2: điểm P ở ngoài đoạn CD. Khi đó:

C

Gọi I  KM �BD .

N

 HKM  � ABC   KH

 HKM  � BCD   KI
B

H
I

Trong mặt phẳng (ACD) dựng HP cắt AD tại N.
Khi đó :

K

 HKM  � ACD   HN
 HKM  � ABD   NI
Vậy thiết diện là tứ giác KHNI.

P

D

M

C
P

16


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Ví dụ 5: Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a. SA  a và vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi M là một điểm tùy ý trên cạnh AC,    là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AC. Tùy theo
vị trí điểm M trên cạnh AC, có nhận xét gì về thiết diện tạo bởi    với tứ diện S.ABC.
Giải
Gọi E là trung điểm của AC, ta có BE  AC
Do đó, ta cần xét hai trường hợp khác nhau về vị rí của M trên cạnh AC và trong đó ta giả sử dựng
SA   ABC  � SA  AC .
Trường hợp 1: M thuộc CE
Ta có: SA   ABC  � SA  AC
    AC
Do đó: SA P    , SA � SAC 
M �   � SAC 
Vậy    � SAC   Mt P SA , Mt cắt SC tại N.

S

Do đó    � SAC   MN
Ta có BE  AC nên tương tự ta cũng có:

N

   � ABC   Mx P BE
Mx cắt BC tại P. Do đó    � ABC   MP

   � SBC   NP

E

A

M

S

C

Vậy thiết diện cần tìm là tam giác vuông MNP vuông tại M.

P

Trường hợp 2: M thuộc đoạn AE ( trừ điểm E).
Gọi E là trung điểm của AC, ta có BE  AC

B

Ta có: SA   ABC  � SA  AC

    AC

Do đó: SA P    , SA � SAC 

P

Q
A

E
M

C

M �   � SAC 

N
17

B


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Vậy    � SAC   Mt P SA , Mt cắt SC tại P.
Do đó    � SAC   MP
Ta có BE  AC nên tương tự ta cũng có:

   � ABC   Mx P BE
Mx cắt AB tại N. Do đó    � ABC   MN
Do đó: SA P    , SA � SAB 
N �   � SAB 
Vậy    � SAB   Ny P SA , My cắt SB tại Q.
Do đó    � SAB   NQ

   � SBC   QP
Như vậy, trong trường hợp này ta được thiết diện là hình thang vuông

MNQP ( vuông tại

M và N).
d) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm các đoạn giao tuyến thông qua việc dựng thêm các chi tiết ( điểm,
đoạn thẳng, mặt phẳng ) trong hình vẽ.
Ví dụ 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB,
SD và OC.
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
Giải
Ta lần lượt tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng

 MNP 

Với các mặt của hình chóp.
S

Ta có MN P BD mà MN � MNP  , BD � ABCD 
P � MNP  � ABCD 

K

Nên  MNP  � ABCD   Pt với Pt P MN , Pt P BD .
Trong mặt phẳng  ABCD  dựng

N

M

Pt P BD cắt AB, BC , CD lần lượt tại T , L, Q

A

Vậy  MNP  � ABCD   LQ

D
O

Trong mặt phẳng  SAB  nối KM cắt
T

B18

L

P

Q
C


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
SA tại M ta được:

 MNP  � SAB   MK
 MNP  � SAD   KN
 MNP  � SCD   NQ
 MNP  � SBC   LM .
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MKNQL .

CÁC BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN

Dạng 1:Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng.
Bài 1 : Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M,N theo thứ tự là trung
điểm của các cạnh SB và SC. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).
Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành. Gọi M, N,P, lần lượt là trung điểm SA, BC, CD.
Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC, E là điểm trên cạnh CD với ED
= 3 EC. F là điểm trên cạnh BD sao cho EF // BC. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện
ABCD.
Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a.Gọi M, N, P là trung điểm
AB, AD và SC.
a) Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP).
b) Tìm diện tích thết diện.
c) Chứng minh rằng thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương ( tức là hai phần có thể tích
bằng nhau).
Dạng 2 : Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) qua đường thẳng a và song song với đường
thẳng b ( a và b chéo nhau).
Bài 1 : Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, CD cho lần lượt các điểm M, N. Gọi (P) qua MN và song
song với AD. XÁc định thiết diện của (P) và tứ diện (ABCD).
Bài 2 : Cho hinh chóp S.ABCD, M, N là hai điểm lấy trên các cạnh AB và CD. Gọi (P) là mặt phẳng qua
MN và song song với SA. Tìm thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD.
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm lấy trên BD và AC, (P) là mặt phẳng qua MN và
song song với AD.Tìm thiết diện của tứ diện và mặt phẳng.

19


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung đểm của AB và N là một
điểm thuộc BC. Gọi (P) là mặt phẳng qua MN và song song với SD. Xác định thiết diện của hình chóp và
mặt phẳng (P).
Dạng 3: Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song song với hai đường
thảng cho trước.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác
định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình
gì?
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt
phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB song song với BD và SA.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD O là giao điểm của AC và BD, M là trung
điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) vói hình chóp S.ABCD nếu (P) qua M và đồng thời song
song với SC và AD.
Dạng 4: Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) song song với một mặt phẳng cho trước:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có AD song song với BC, AD =2BC. Gọi E là
trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE. I là một điểm di động trên cạnh AC khác với A và C. Qua
I, ta vẽ mặt phẳng (P) song song với (SBE). Tìm thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABCD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo,
AC  a, BD  b, tam giác SBD đều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với AI  x(0  x  a) . Lấy (P) là
mặt phắng đi qua I và song song với mặt phẳng (SBD).
a) Xác định thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABCD.
b) Tìm diện tích S của thiết diện ở câu a) theo a, b, x . Tìm x để S lớn nhất.
Bài 3: Cho tứ diện đều SABC cạnh A. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
Qua M vẽ mặt phẳng (P) song song với (SIC). Tìm thiết diện tạo bởi ((P) và SABC.
Dạng 5: Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) qua điểm M cho trước và vuông góc với đường
thẳng d cho trước.
Bài 1: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến  . Lấy A, B thuộc  và lấy
C � P  , D � Q  sao cho AC  AB, BD  AB và AB  AC  BD . Xác định thiết diện của tứ diện ABCD

khi cắt bới mặt phẳng    đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi
AC  AB  BD  a

Bài 2: Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác đều và cạnh SA vuong góc với mặt phẳng ABC. Gọi (P) là
mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện SABC cắt bởi mặt phẳng (P).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A. Cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Gọi M là một điểm trên cạnh AB và (P) là mặt phẳng qua M vuông góc với AB. Tìm thiết
diện của hình chóp S.ABCD và mặt phẳng (P).

20


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. SA vuông góc với mặt (ABCD). Gọi O là
giao điểm của AC và BD. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng qua O và vuông gốc với AD. Xác định thiết diện của
hình chóp S.ABCD và mặt phẳng (P).
�  600 . Cạnh
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB  a, ABC
SC  a và vuông góc với (ABC).
a) Tìm thiết diện qua M �SA và vuông góc SA.
b) Đặt AM  x . Tính diện tích thiết diện.
c) Vẽ đường biểu diễn diện tích. Tìm vị trí của M để thiết diện đạt diện tích lớn nhất.
Dạng 6: Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng a vuông góc với mặt
phẳng (Q)
Bai 1: Cho hình vuông ABCD cạnh A. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A lấy điểm
S. Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD). Hãy xác định mặt phẳng (P). Mặt
phẳng (P) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện gì?
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). ABCD là hình chữ nhật tâm O. Gọi
(P) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Hãy tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD và
mặt phẳng (P).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên là SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD). Hãy xác định thiết diện của
mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi
I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi (P) là mặt phẳng qua I,J và vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Tìm thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD.
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên tạo với đáy góc  .
a) Tìm thiết diện qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD).
b) Tìm tỉ số thể tích

V1
hai phần của hình chóp bị chia bởi thiết diện nói trên.
V2

Một số bài toán khác.
Bài 1: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạch AD và CC ' sao cho
AM CN

. Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng
MD NC '
 ACB ' .
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' và các trung điểm E,F của các cạnh AB, DD ' . Hãy xác định
các thiết diện của hình lập phương cắt bởi các mặt phẳng (EFB),  EFC ' và (AFK) với K là trung điểm của
cạnh B ' C ' .
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi O là tâm của hình lập phương.
a) Tìm thiết diện qua O và vuông góc với đường chéo A ' C .
b) Chứng minh rằng thiết diện chia hình lập phương thành hai phần tương đương.
21


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M và N là tâm của đáy ABCD và mặt bên DCC ' D ' .
a) Tìm thiết diện tạo bởi  A ' MN  .
b) Tìm tỉ số thể tích

V1
hai phần của hình lập phương bị chia bởi thiết diện nói trên.
V2

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a. M là điểm di động trên AB.
a) Tìm thiết diện tạo bởi  A ' MC  . Thiết diện là hình gì.
b) Xác định vị trí của M để thiết diện là hình chữ nhật. Có vị trí nào của M để thiết diện là hình vuông
không?
c) Xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích bé nhất và hãy tính giá trị ấy.

22



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×