Tải bản đầy đủ

Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên trường âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ QUỲNH TRANG

ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
TRƯỜNG ÂM - ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI, 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ QUỲNH TRANG

ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
TRƯỜNG ÂM - ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP


Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số

: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TS. NGUYỄN QUANG BÁU

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến GS.TS Nguyễn Quang Báu, người thầy
đã hết lòng tận tụy giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận
văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ Vật lý lý thuyết
và các thầy cô trong khoa Vật lý, trường Đại học Khoa học Tự nhiên- ĐHQGHN.
Xin chân thành cảm ơn đến tất cả những người thân, bạn bè và đồng nghiệp đã giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Luận văn được hoàn thành với sự tài trợ của Đề Tài NAFOSTED (mã số 103.01 –
2015.22)

Hà Nội, tháng 01 năm 2018
Tác giả luận văn

Lê Thị Quỳnh Trang


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 0
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................... 1
2. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................... 1
3. Nội dung nghiên cứu ..................................................................................................... 1
4. Cấu trúc ......................................................................................................................... 2
5. Kết luận chung .............................................................................................................. 2
CHƢƠNG I. SỰ GIAM CẦM ĐIỆN TỬ, GIAM CẦM PHONON TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP VÀ DÒNG ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP


KHÔNG KỂ ĐẾN PHONON GIAM CẦM ..................................................................... 3
1.1. Tổng quan về sự giam cầm điện tử, giam cầm phonon trong siêu mạng pha tạp ...... 3
1.2. Biểu thức dòng âm điện trong siêu mạng pha tạp khi không kể đến ảnh hưởng của
phonon giam cầm .............................................................................................................. 5
CHƢƠNG II. BIỂU THỨC DÒNG ÂM ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU MẠNG
PHA TẠP DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM ................................... 9
2.1. Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong siêu mạng pha tạp ....... 9
2.2 Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp. .................................... 19
CHƢƠNG III. TÍNH SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÍ THUYẾT .......................... 32
1. Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nhiệt độ ............................................ 34
2. Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào tần số sóng điện từ ............................ 36
3. Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nồng độ pha tạp ................................ 37
KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 41
PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 44


DANH MỤC BẢNG SỐ LIỆU VÀ HÌNH VẼ
SỐ HIỆU

TÊN

TRANG

Bảng 3.1

m s v t
u
n tron qu tr n
to n

s
tn

34

Hình 3.1

Đồ thị biểu diễn sự ph

35

thuộc của m t
n vào nhi t

ộ dòng âm
ộ và năn

ng Fermi với q=3×1011s1

,

nD=1023(m-3).

Hình 3.2

Đồ thị biểu diễn sự ph thuộc
òn âm

củ

củ són

k

37

n vào tần s
t

trị của tham s

y ổi các giá
ặ tr n

o

sự giam cầm phonon (m)

Hình 3.3

Đồ thị biểu diễn sự ph thuộc
của m t ộ òn âm
nồn

n vào

ộ pha tạp và chỉ s

giam cầm phonon m (m =0
ờng liền nét), (m = 1
ờng chấm nhỏ ), (m =3
ờn nét ứt).

38


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thế giới đang chuyển mình trong cuộc cách mạng công nghiệp 4.0, các nước trên
thế giới đang t ch cực nghiên cứu và phát triển l nh vực hoa học c ng nghệ mới và phát
triển các loại vật liệu mới.

hi nghiên cứu hệ bán d n thấp chiều cụ thể là cấu trúc một

chiều và h ng chiều như siêu mạng, hố lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử

các

nhà hoa học đã phát hiện ra nhiều t nh chất đ c biệt của loại vật liệu này so với vật liệu
hối. Nguyên nhân là do hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong hệ thấp chiều
khác với hàm sóng và phổ năng lượng trong bán d n khối.
Trong số các t nh chất vật lý nói chung và t nh chất động nói riêng khi nghiên cứu
hiệu ứng âm điện từ h ng có phonon giam cầm đã có nhiều như luận án “Các hiệu ứng
âm-điện-từ trong các hệ thấp chiều” nghiên cứu.
hi thế giam cầm ể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm trong hiệu ứng âm điện
phi tuyến so với phonon h ng giam cầm trong hiệu ứng âm điện phi tuyến giờ mới được
quan tâm. Trong luận văn này t i đã nghiên cứu đến “Ảnh hưởng của phonon giam cầm
lên trường âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp”
2. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử, tìm biểu thức giải t ch cho
dòng âm điện dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm và t nh số th ng qua sử dụng phần
mềm Matlab.
3. Nội dung nghiên cứu
Với mục tiêu đã đề ra, luận văn nghiên cứu và tính toán chi tiết dòng âm điện trong
siêu mạng pha tạp. Bên cạnh đó luận văn cũng quan tâm nghiên cứu đến sự ảnh hưởng
của phonon giam cầm lên dòng âm điện, so sánh dòng âm điện đó với dòng âm điện
trong siêu mạng pha tạp không có phonon giam cầm để thấy được vai trò của phonon
giam cầm trong hiệu ứng âm điện phi tuyến.

1


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

4. Cấu trúc
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, các tài liệu tham khảo, phần phụ lục và nội
dung chính của luận văn gồm 3 chương. Nội dung của các chương như sau:
Chương 1: Sự giam cầm điện tử, giam cầm phonon trong siêu mạng pha tạp và
dòng điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp không kể đến phonon giam cầm
Chương 2: Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh
hưởng của phonon giam cầm
Chương 3: T nh số và vẽ đồ thị kết quả lí thuyết
1. Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nhiệt độ
2. Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào tần số sóng điện từ
3. Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nồng độ pha tạp
5. Kết luận chung
Biểu thức giải tích của dòng âm điện dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm khác
biệt so với không giam cầm. Chỉ số m đ c trưng sự giam cầm, khi cho tham số m đ c
trưng cho giam cầm bằng không thì biểu thức giải tích trở về đ c trưng h ng giam cầm

2


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

CHƢƠNG I. SỰ GIAM CẦM ĐIỆN TỬ, GIAM CẦM PHONON TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP VÀ DÒNG ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
KHÔNG KỂ ĐẾN PHONON GIAM CẦM
1.1. Tổng quan về sự giam cầm điện tử, giam cầm phonon trong siêu mạng pha tạp
Vật liệu thấp chiều là loại vật liệu mà chiều chuyển động của điện tử trong hệ bị
hạn chế. Điện tử trong hệ thấp chiều ngoài việc chịu ảnh hưởng của thế tuần hoàn của tinh
thể nó còn chịu ảnh hưởng của một thế phụ. Thế phụ này cũng biến thiên tuần hoàn
nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với hằng số mạng. Sự có m t của thế siêu mạng đã
làm thay đổi cơ bản phổ năng lượng của điện tử (phổ năng lượng của điện tử bị lượng tử
hóa), các tính chất quang, tính chất điện, từ,

bị thay đổi rất mạnh so với bán d n khối.

Bán d n siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán d n thuộc
hai loại hác nhau có độ dày cỡ nanomet đ t kế tiếp. Do cấu trúc tuần hoàn, trong bán
d n siêu mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron còn phải chịu một thế
tuần hoàn phụ do siêu mạng tạo ra với chu kì lớn hơn hằng số mạng rất nhiều. Thế phụ
được tạo nên bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng d n của hai bán d n cấu trúc thành siêu
mạng.
Trong bán d n siêu mạng, độ rộng của các lớp đủ hẹp để electron có thể xuyên qua
các lớp mỏng kế tiếp nhau, và hi đó có thể coi siêu mạng như một thế tuần hoàn bổ xung
vào thế của mạng tinh thể.
Bán d n siêu mạng được chia thành hai loại: bán d n siêu mạng pha tạp và bán
d n siêu mạng hợp phần. Bán d n siêu mạng pha tạp có cấu tạo các hố thế trong siêu
mạng được tạo thành từ hai lớp bán d n cùng loại nhưng được pha tạp khác nhau. Siêu
mạng pha tạp có ưu điểm là có thể điều chỉnh dễ dàng các tham số của siêu mạng nhờ
thay đổi nồng độ pha tạp.
Siêu mạng pha tạp (doping superlattices) là hai bán d n đồng chất nhưng được pha
tạp một cách khác nhau và xếp chồng lên nhau. Trong siêu mạng pha tạp, thế siêu mạng
được tạo nên nhờ sự phân bố tuần hoàn trong không gian của các điện tích. Sự phân bố
điện t ch đóng vai trò quyết định đối với việc tạo nên bán d n pha tạp. Ví dụ về một siêu
mạng như vậy được tạo nên nhờ sự sắp xếp tuần hoàn của các lớp bán d n mỏng GaAs
loại n (GaAs:Si) và GaAs loại p GaAs:Be , ngăn cách bởi các lớp không pha tạp (gọi là

3


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

tinh thể n-i-p-i). Thế tuần hoàn trong siêu mạng pha tạp gây ra bởi các điện tích trung
gian, nguyên nhân của sự khác biệt này là do khe hở các thành phần của mạng tạo ra sự
thay đổi chu kỳ ở các mép vùng năng lượng.
hi điện tử bị giới hạn theo một phương thường chọn là phương z thì hai phương
còn lại điện tử chuyển động tự do trong không gian mạng tinh thể. Chuyển động của điện
tử theo phương z bị lượng tử hóa với các mức năng lượng gián đoạn, chuyển động của
điện tử trong m t phẳng (x,y) là chuyển động tự do.
Hàm sóng của điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp có dạng
Nd

 n, p  r   eip r U n  r   eip m.d n  z  md 
 

z

m 1

Trong đó:
+ n = 0, 1, 2,

là chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z
1/2

 2 q2 
+ U n  r  : yếu tố ma trận của toán tử U  exp  ig y  ke z  ; k e   q  2 
Ce 


+ m: khối lượng hiệu dụng của điện tử
+ Nd: là số chu kỳ siêu mạng
+ d: chu kỳ siêu mạng
+ p   p , pz  : là véctơ xung lượng của điện tử véctơ sóng của điện tử)
+  n  z  : hàm riêng trong hố lượng tử biệt lập

Phổ năng lượng của điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp
 4 e2 n p
p2
1

 n  p  


n

Với



p

p
*
2m*
2

 X 0m
2

donor

4

1/2





là tần số plasma gây bởi các tạp chất


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

1.2. Biểu thức dòng âm điện trong siêu mạng pha tạp khi không kể đến ảnh hưởng của
phonon giam cầm
Dùng phương pháp động lượng tử để t nh toán được mật độ dòng âm điện trong
siêu mạng pha tạp.
Ta có phương trình động lượng tử f n, p  an, p an, p






t

là hàm phân bố điện tử trung

bình tại thời điểm t.
i(

f n, p
t

)ac  i

 an, p an, p

t

t

  an, p an, p , H  . (1.1)
t

H e ph 

Sử dụng Hamiltonian H  H 0  H e ph , và


'

CqU n ,n' (q )an, p  q an ', p cq exp  iq t  

n , n , p , q





n , n' , p , k

Dk I n,n' (k z )an, p

  k

an ', p (bk  bk ),

Trong đó:
a n,p ; a n,p : Toán tử sinh và hủy điện tử ở trạng thái n,p

a n,p ,a n ',p

a n ',p ,a n,p

δn,n 'δp

a n,p ,a n ',p

a n,p ,a n ',p'

0

iểu hạt fecmi
,p'

bm,q ; bm,q : Toán tử sinh và hủy phonon ở trạng thái q

bm,q ,bm,q

bm,q , bm,q
p :

bm,q ,bm,q

δm,mδq

bm,q , bm,q

iểu hạt boson
,q

0

ung lượng của điện tử trong m t phẳng vu ng góc với trục của siêu mạng pha tạp.

và các phép biến đổi đại số toán tử trên cơ sở lý thuyết trường lượng tử cho hệ hạt
Fermion và Boson ta thu được

5


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

(

f n , p
t

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

) ac    | Cq |2 | U n ,n '  q  |2 N (q ) 
n ', q



 f (

n , p



 

)  f ( n ', p  q )   n' , p

   n' , p

  q

 
)   

  q

 



  n , p  q  f ( n , p )  f ( n ', p  q ) 

 

  n , p  q  f ( n , p )  f ( n ', p q )   n' , p



 f ( n , p )  f ( n ', p q

  n , p  q

n' , p  q

  q

 



  n , p  q 

  | Dk |2 | I n ,n '  k z  |2 N (k ) 
n ', k



 f (

n , p

)  f ( n ', p

  k



 
)   

)   n' , p

 f ( n , p )  f ( n ', p

  k

  k



  n , p  q  k 

n' , p  k

  n , p  q  k

(1.2)

.

Phương trình là phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp.
Phương trình này há tổng quát và có thể áp dụng cho cơ chế tán xạ điện tử-phonon âm
cũng như điện tử-phonon quang.
Sóng âm ngoài được giả thiết là truyền vu ng góc với trục Oz của siêu mạng. Sau
hi cân bằng mới được thiết lập thì hàm phân bố của điện tử tuân theo điều iện
f n, p
t

ở đây (

f n , p
t

f n, p
t

)ac  (

f n, p
t

)th  0,

(1.3)

) ac là tốc độ thay đổi gây ra bởi sự tương tác điện tử-sóng âm ngoài và tán xạ

điện tử-phonon âm, (
chất

(

f n , p
t

)th là tốc độ thay đổi do tương tác điện tử với phonon nhiệt, tạp

Thay phương trình (1.2 vào phương trình (1.3 thu được phương trình cơ sở của

bài toán

6


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

(

f n , p
t

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

)th    | Cq |2 | U n ,n '  q  |2 N (q ) 
n ', q

 



 



 f ( )  f (

n , p
n ', p  q )   n' , p  q   n , p  q  f ( n , p )  f ( n ', p  q ) 




   n' , p  q   n , p  q  f ( n , p )  f ( n ', p q )   n' , p q   n , p  q  






 f ( n , p )  f ( n ', p  q )   '

  n , p  q
n , p  q








 
 





 



   | Dk |2 | I n ,n '  k z  |2 N (k ) 
n ', k

 
 







 f ( )  f (
)   n' , p  k   n , p  q  k  
n , p
n ', p  k





.
 f ( n , p )  f ( n ', p  k )   n' , p  k   n , p  q  k 







(1.4)
Tuyến t nh hóa phương trình (1.3) bằng cách thay hàm f ( n, p ) bằng f F ( n, p )  f1 ở đây


f F ( n, p ) là hàm phân bố Fermi ở trạng thái cân bằng, và (

f n, p
t



)th   f1 /  ; với  là thời

gian phục hồi xung lượng. Do đó, chúng ta đạt được
f1    | Cq |2 | U n ,n '  q  |2 N (q ) 
n ', q



 

 



 f ( )  f (

n , p
n ', p  q )   n' , p  q   n , p  q  f ( n , p )  f ( n ', p  q ) 






   n' , p  q   n , p  q  f ( n , p )  f ( n ', p  q )   n' , p q   n , p  q  






 f ( n , p )  f ( n ', p  q )   '





n , p
q
n , p  q










 
 



 



   | Dk |2 | I n ,n '  k z  |2 N (k ) 
n ', k




 
 




 f ( )  f (
)   n' , p  k   n , p  q  k  
n , p
n ', p  k





.
 f ( n , p )  f ( n ', p  k )   n' , p k   n , p  q  k 







(1.5)

Dòng âm điện dọc theo chiều truyền sóng âm có dạng sau
j AE  
n

2e
 p f1dp
(2 )2  

7

(1.6)


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

ở đây  p là vận tốc của điện tử cho bởi công thức  p 




 n, p
p

. Thay phương trình vào

phương trình và thực hiện biến đổi tích phân, ở đây bài toán xem xét thời gian phục hồi
xung lượng xấp xỉ là hằng số. Chúng ta thu được dòng âm điện trong siêu mạng pha tạp.
j AE  A1  U n,n ' exp[ 
2

n ,n '

 A2  I n,n '

2

n ,n '

(n  1/ 2) 4 e2 nD 1/2
(
) ]( B  B ) 
k BT
0m

(n  1/ 2) 4 e2 nD 1/2
exp[ 
(
) ](C  C ),
k BT
0m

(1.7)

ở đây
A1 

(2 )2 e 2 cl4q2

0cs

exp(


kBT

); A2 

e 2 (2mkBT  )1/2

exp(
),
3
(2 ) 0cs mq
k BT

m n,n ' m(k  q )
D2
D2
B  (1 
) exp(
); D  q / 2 

,
mkBT
2mkBT
q
q

C 

a 

(m n,n '  k )2  1/2 exp[  2(b c)1/2 ]
4c3/2
mk BT   n,n '  k
m n ,n '  mk

exp(

 n , n '  k
2k BT

 [2c  2a (b c)1/2  a ] 

); b 

(m n,n '  mk ) 2
2mK BT

b K5/2 [2(b c)1/2 ]
,
4c

,



c

2
2
4 e2 nD 1/2
1
;  n,n '  (
) (n  n '); I n,n '   I n ,n ' (k z ) dz.
8mk BT
0m


Như vậy bằng phương pháp phương trình động lượng tử đã thu được dòng âm điện
lượng tử phi tuyến trong siêu mạng pha tạp. Từ biểu thức giải tích của dòng âm điện ta
thấy rằng dòng âm điện phụ thuộc không tuyến tính vào nhiệt độ của hệ, tần số sóng âm
và các tham số đ c trưng cho siêu mạng mạng pha tạp như nồng độ pha tạp.

8


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

CHƢƠNG II. BIỂU THỨC DÒNG ÂM ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU MẠNG
PHA TẠP DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM
Trong chương này sẽ t nh dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp
dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm bằng phương pháp phương trình động lượng
tử, và xem xét cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm.

ết quả thu được dưới ảnh hưởng

của phonon giam cầm được so sánh với ết quả thu được hi h ng có ảnh hưởng
của phonon giam cầm.
2.1. Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong siêu mạng pha tạp
Biểu thức Hamiltonian của hệ điện tử - phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp
dưới tác dụng của trường âm điện phi tuyến:
H  H 0  H e ph

H

   p ' a
,

n,




n ',p'

m,q 

n ,p'

+




a n ',p' +  m,q bm,q
bm,q  +





Cm,q Imn ',n' ,q a n ',p' q a n,p' bm,q  bm,
q 
1

n ',p' ,m,q 





n ',p' ,n1' ,k



Ck U n ',n' k a n ',p'
1

 k

a n ',p' bk exp  ik t 


 (2.1)

Trong đó:
* a n,p ; a n,p : Toán tử sinh và hủy điện tử ở trạng thái n,p

a n,p ,a n ',p

a n ',p ,a n,p

δn,n 'δp

a n,p ,a n ',p

a n,p ,a n ',p'

0

,p'

* bm,q ; bm,q : Toán tử sinh và hủy phonon ở trạng thái q

* p :
phần.

bm,q ,bm,q

bm,q ,bm,q

δm,mδq

bm,q , bm,q

bm,q , bm,q

0

iểu hạt fecmi

iểu hạt boson

,q

ung lượng của điện tử trong m t phẳng vu ng góc với trục của siêu mạng hợp

9


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

* ωm,q : Tần số của phonon âm
1 A(t)
c
t

F0 sin Ωt

*F t

A(t)

cF0
cos Ωt
Ω

* Im n,n ' q z : Thừa số dạng của điện tử trong siêu mạng
* ε n,p : Năng lượng của điện tử trong siêu mạng

ξ2
q2
2v0ρvs

2

* Cm,q

Trong đó:

q z2 : Hằng số tương tác điện tử – phonon âm

ξ : Hằng số thế biến dạng

ρ : Mật độ tinh thể
v s : ận tốc sóng âm
v 0 : Thể t ch chu n hóa chọn v0
*

  p '  a


n,

n, ,p'


n ',p'

1)

a n ',p' : là Hamiltonian tương tác giữa các điện tử.



bm,q : là Hamiltonian tương tác giữa các phonon.
*  m,q bm,q






m,q 

*



n ',p' ,n1' ,k



Ck U n ',n' k a n ',p'
1

 k

a n ',p' bk exp  ik t  : là Hamiltonian tương tác giữa phonon – điện


tử ngoài.
*








Cm,q Imn ',n' ,q a n ',p' q a n,p' bm,q  bm,
 q  : là Hamiltonian tương tác giữa phonon –

n ',p' ,m,q 

1



điện tử trong.
Đối với phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp, tần số và véc tơ sóng q của
phonon bị lượng tử hóa và được biểu diễn dưới dạng q   q , qm  , qm 
m2 ,q  02  v2  q2  qm2  ;


Cm,q

2

 2 q2  qm2

2  vsV

10

m
, m=1,2,3,... ;
d


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

Thay Hamiltonian của 2.1 vào phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử

f n,p  t   a n,p
a n,p


f n,p  t 

i



t



n ',p' ,n1' ,k

f n,p  t 

trong siêu mạng pha tạp: i

t

 [a n,p a n,p , H ]

t

t



 a n,p a n,p ,
 n,  p  '  a n ',p' a n ',p' 
m,q b m,q
b

 m,q 
,

m,q 
n ,p'





Ck U n ',n ' k a n ',p'
1





a
b exp  ik t  
 k n ',p' k



C m,q I nm',n ' ,q a n ',p'  q a n,p' b m,q  b m, q  t  2.2 
1 

n ',p' ,m,q 







Biến đổi vế phải 2.2 ta thu được:




* SH1 = a n,p a n,p ,  n '  p '  a n ',p a n ',p   0




'




n ',p'

'









* SH2 = a n,p a n,p ,  m,q bm,q
bm,q   0












* SH3 = a n,p a n,p ,






n ',p ,n1' ,k

Ta có: a n,p a n,p , a n ',p'





= a n,p n,n 'p






m,q 

 ,p'  k

1

 a n ',p'

 k



a n,p a n ',p bk  a n ',p'

 k

= a n,p a n ',p' n,n 'p ,p' bk - a n,p a n ',p'

 k

+ a n ',p'

 k


a
' b exp  i t  
k
k
  k n ',p 


Ck U n ',n' k a n ',p'



a n ',p' bk   a n,p
a n,p a n ',p'  k a n ',p' bk  a n ',p'  k a n ',p' bk a n,p
a n,p









 k











n,n ' p  ,p'




 a n,p
a n ',p' a n,p bk


a n,p a n ',p b k - a n ',p'  k n,n 'p



 ,p'

a n,p bk

a n,p a n ',p' a n,p bk


= a n,p a n ',p' n,n 'p ,p' bk - a n ',p'

 k

n,n 'p ,p' a n,p bk

Vậy
SH3 t 

=



n ',p ,n1' ,k



n ',p ,n1' ,k

 

Ck Un ',n' k a n,p a n ',p nn 'p


 

1

 

Ck U n ',n' k a n,p a n ',p' b k 
1

n ',p ,n1' ,k

 ,p'  k

 a n ',p'

 k

 



a n,p n,n ' p ,p' bk exp  ik t  t

Ck U n ',n' k a n ',p'
1

11

 k



a n,p b k exp  ik t 

t


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm =

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp




n ',p ,k

Ck U n,n' k Fn ',p' k,n,p ,k  t   Fn,p ,n ',p' ,k  t  .exp  ik t  .






1


* SH4 = a n,p a n,p ,








Cm,q Inm',n '1 ,q a n ',p' q a n ',p' bm,q   bm,
q  
n ',p' ,m,q 


Ta có a n,p a n,p ,a n ',p'




 q



= a n,p  n,n 'p


- a n ',p'

 q









 ,p'  q 















 a n,p
a
a n,p bm,q  bm,
q 
 n ',p'



a n ',p' bm,q  bm, q





a n ',p' q a n ',p' bm,q  bm,
 q  a n,p a n,p

 a n ',p' q a n,p a n ',p' bm,q  bm, q

 ,p'  q 







a n ',p' bm,q  bm,
q   =


a n ',p' bm,q  bm,
q 

n,n ' p ,p'

= a n,p n,n 'p


 q 



= a n,p a n,p a n ',p'





 -a


n,p







.
a n ',p' q a n,p a n ',p' bm,q  bm,
q 





Thay vào SH4 ta được SH4 t =

-

Cm,q Imn ',n '1 ,q a n,p a n ',p' b m,q  a n,p a n ',p' b m, q



n ',p' ,m,q 

-








Cm,q Imn ',n '1 ,q a n,p
a
bm,q  a n,p
a
bm,
q 
 n ',p'
 n ',p'



n ',p' ,m,q 

=





m
*
*
Cm,q Inn
' Fn,p ,n ',p' ,m,q   t   Fn,p ,n ',p' ,m,  q   Fn ',p'  q  ,n,p' ,q  Fn ',p  q ,n,p' ,m,  q 

.

n ',m,q 

Thay 4 số hạng vừa t nh được vào 2.2 ta được
i

+

f n,p  t 
t





 a n,p a n,p
t




n ',p ,k



Ck U n,n' k Fn ',p' k,n,p ,k  t   Fn,p ,n ',p' ,k  t  .exp  ik t  +






1





m
*
*
Cm,q Inn
' Fn,p ,n ',p ,m,q   t   Fn,p ,n ',p' ,m,  q   Fn ',p' q  ,n,p' ,q   Fn ',p  q ,n,p' ,m,  q  . (2.3)

n ',m,q 

Trong đó Fn ,p ,n
1

1

2 ,p 2 ,k

t 

a n1 ,p1 a n2 ,p2 bk

t

Xây dựng phương trình động lượng tử của hàm: Fn ,p ,n
1

12

1

2 ,p2 ,m,q 

t 

a n1 ,p1 a n2 ,p2 bm,q t .

-


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm Fn1 ,p1 ,n 2 ,p2 ,m,q  t 

i

t

 a n1 ,p1 a n2 ,p2 bm,q , H 



* SH1 t = a n ,p a n


=

1

   p '  a


n,

,

2 ,p 2

1

bm,q ,

   p 'a

n , ,p'



n,

t

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

(2.4)


n ',p'


a n ',p'  =  n,  p ' a n1 ,p1 a n2 ,p2 bm,q , a n ',p' a n ',p' 
 n, ,p'


n1 ,p1

a n2 ,p2 bm,q a n ',p' a n ',p'  a n ',p' a n ',p' a n1 ,p1 a n2 ,p2 b m,q




n1 ,p1

a n ',p' bm,q n ',n2 p' ,p2  a n ',p' a n2 ,p2 bm,q n ',n1 p' ,p1



n ,p'

=

   p '  a


n,

,

n ,p'

= n2  p2  a n1 ,p1 a n ',p' bm,q  n1  p1  a n ',p' a n2 ,p2 bm,q
= n  p2   n  p1  a n ,p a n ',p' bm,q
2

1

1



1



= n  p2   n  p1  Fn1 ,p1 ,n2 ,p2 ,m,q  t  .
2

1



* SH2 t = a n ,p a n


1

bm,q ,


m',q 

Ta có a n ,p a n
1

1

2 ,p 2

1

2 ,p2


m',q bm',q ' b m',q ' 



bm,q , bm',q
bm',q'  = a n1 ,p1 a n2 ,p2 bm,q bm',q' bm',q'  bm',q' bm',q' a n1 ,p1 a n2 ,p2 b m,q 


SH2 t = m,q a n1 ,p1 a n2 ,p2 bm,q =  m,q Fn1 ,p1 ,n 2 ,p2 ,m,q  t  .




* SH3 t = a n ,p a n


1

Ta có a n ,p a n

1

= a n ,p a n
1



1

2 ,p2

= a n p a n
1 1

1

2 ,p2

1

2 ,p 2

 k

 k



n ',p' ,n1' ,k

bm,q , a n ',p'

bm,q a n ',p'

2 ,p2  k

bm,q ,

1


b k exp  ik t  


a n ',p' bk exp  ik t  =


 k



1

a

'
  k n ',p 

a n ',p' bk exp  ik t   a n ',p'

a n ',p' bk exp  ik t  a n1 ,p1 a n 2 ,p2 bm,q




 k

a n 2 ,p2 bk bm,q  exp  ik t 



1 1

bm,q bk  a n' ,p'

Vậy SH3 t = Ck Un 'n  k  a n p a n
'
1



Ck U n ',n' k a n ',p'

2 ,p2  k

bm,q bk  a n' ,p'
1

13

 k



a n 2 ,p2 bk bm,q exp  ik t  .


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

* SH4 t = a n ,p a n
1

1

2 ,p 2

m
Cm',q In,n
' a n ',p

bm,q ,

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

a n,p b m',q'

q

b m,

q'

n,n ',m'
p ,q
m
Cm ',q ' I n,n
' a n1 ,p1 a n 2 ,p 2 b m,q , a n ',p

q'

a n,p b m ',q '

b m,

q'

n,n ',m '
p ,q
m
Cm ',q ' I n,n
b m ',q '
' a n1 ,p1 a n,p b m,q

b m,

δn 2 ,n ' δp2 ,p

q'

q'

n,n ',m '
p ,q
m
Cm ',q ' I n,n
' a n1 ,p1 a n ',p

q'

a n 2 ,p2 a n,p δm,m',n 'δq

, q'

n, n ',m '
p ,q
m
Cm ',q ' I n,n
a a b m,q b m ',q '
2 n1 ,p1 n,p

b m,

q'

n,m ',q '

Cm ',q ' I nm1 ,n 'a n ',p1

a n 2 ,p2 b m ',q '

q'

b m,

b m,q

q'

n ',m ',q '

Để giữ lại các số hạng dạng a

n,p

a n,p và bm,q bm,q trong phép lấy tổng trên, ta chọn

như sau:
Fn1 ,p1 ,n 2

Số hạng thứ nhất: lấy n
thì p1 p2 q )
,p ,m,q

n1 , m

'

m,q'

p2

p1

q do cách đ t

2

Số hạng thứ hai: lấy n '
Ta được SH4= a n ,p a n
1

1

2 ,p 2

n 2 , m'

m,q'

m
Cm',q In,n
' a n ',p

b m,q ,

q

p2

p1

a n,p b m',q'

q

b m,

q'

n,n ',m'
p ,q

= Cm,q Inm ,n  a n ,p


1

2

1

  q






.
a n1 ,p bm,q bm,
 q   a n 2 ,p2 a n 2 ,p2 b  m,q  bm,q 

Thay các kết quả SH1, SH2, SH3, SH4 vào (2.4 ta được
i

Fn,p1 ,n 2 ,p2 ,m,q   t 
t

 

Ck Un 'n' k a n1p1 a n
1

= n  p2   n  p1  Fn1 ,p1 ,n2 ,p2 ,m,q  t  + m,q Fn1 ,p1 ,n2 ,p2 ,m,q  t  +
2

2 ,p2  k

1

bm,q bk  a n' ,p'
1

 k



a n 2 ,p2 bk bm,q exp  ik t  +






Cm,q Inm1 ,n2 a n1 ,p  q a n1 ,p bm,q bm,
 q   a n 2 ,p2 a n 2 ,p2 b  m,q  bm,q 

 (2.5)

Phương trình 2.5 là phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha
tạp. Phương trình này há tổng quát và có thể áp dụng cho cơ chế tán xạ điện tử-phonon
âm cũng như điện tử-phonon quang.

14


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

Giải phương trình 2.5 là phương trình vi phân cấp 1 không thuần nhất có dạng:
F  t 
t

 M t F  t  +Nt

Để giải phương trình này trước hết ta cần giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng
Fo  t 
t
t

M



 M t F  t  Biến đổi



F t
o



dt1  F  t   exp
o

t1

Fo  t 

t

o

t



M



t1

dt1  ln Fo  t   ln Fo

t 

=

t

 M dt
t

1



Ta giải phương trình vi phân h ng thuần nhất bằng phương pháp biến thiên hằng số
F  t   M  t  F  t  
o



F t
t

F  t 
t

Mt F t

t

N t ta có

F t  Mt
o

'

dt N t ' exp

Fo  t 
t

=

M  t 
t

Fo  t   M  t  Fo  t 

t
 t'

1
M  t 
 N t F0  t   M  t    dt 'N t ' exp    M t dt1 
t

 


t'

t

ậy F t



M  t 

t

M t1 dt1 .exp

M t1 dt1

t

M t1 dt1 vào trong tích phân  dt ' do không phụ thuộc t’

Đưa t ch phân

t'
 t
 t
t

Suy ra F  t   dt ' N t ' exp   M t1 dt1   M t1 dt1    dt ' N t ' exp   M t1 dt1 

 
 
 t'


hi đó 2.5) có nghiệm
Fn1 ,p1 ,n 2 ,p2 ,m,q  t  

t

 dt '

i

Cm,q Inm1n 2



x exp

i

 p    p  
n1

2

n2

1

m,q

a


n 2 ,p 2


a n 2 ,p2 b m,q
b m,q 


t  t 
1

15

t'


 a n1 ,p1 a n1 ,p1 bm,q  bm,q


t'

x


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -



i

t

C



k



 U ' k a  a b b
n1p1 n 'p1 k k
 n ',n1



n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

 U n ',n' k a n' p

t

1

i
x exp   n1  p1    n 2  p 2   m,q






1  q

a n 2p2 b k b k  x
t


 t  t1  dt1 


(2.6)

Ta có
* Fn1 ,p1 ,n 2 ,p2 ,m,q  

t

i

C

k





 U ' k a  a bb
n1p1 n ' p1 k k
 n ',n1

i
x exp  n1  p1   n 2  p2   m,q




* F n1 ,p1 ,n 2 ,p2 ,m,q  t  

t

*

x exp

i

 dt '

i



 p    p  
n1

1

n2

2



 U n ',n' k a n' p
1

1  q 

a n 2p2 b k b k  x
t


  t  t  dt  (2.7)
1

Cm,q  Inm1n 2
m,q

t

a

1


n 2 ,p 2


a n 2 ,p2 bm,q
b
 m,q 

t'


 a n1 ,p1 a n1 ,p1 bm,q  bm,q


t'

x

  t  t  (2.8)
1

* Từ đó thu được:
t

+ Fn,p ,n ',p ,m,q  t  =

i
m
dt
'
 Cm,q In1n2



i
x exp  n  p     n '  p    m,q




t

+ Fn ',p' q ,n,p' ,q =

 dt '

i



Cm,q Inm1n 2

a


n ',p '

  t  t  dt 
1

a


n,p '

i
x exp  n '  p' q     n  p'   m,q




t

*
n,p ,n ',p' ,m,  q 

+F

=

 dt '



i

Cm,q Inm1n 2

a


n,p 

i
x exp  n '  p'    n  p    m, q





a n,p bm,q
bm,q 


t'


 a n,p
a b b
 n ',p  m,q  m,q 

t'

x

1

(2.9)


a n ',p ' q  bm,q
bm,q 


  t  t  dt 
1

  t  t  dt 

t'

(2.10)

1

16


 a n ',p ' q  a n,p' bm,q  bm,q


1


a n,p bm,q  bm,
q 

1

t'

(2.11)

t'


 a n ',p ' a n ',p' bm,
q  bm,  q 

t'

x

x


Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

+ Fn*',p q ,n,p' ,m, q =
t

 dt '

i



Cm,q Inm1n 2

a


n ',p  q 


a n ',p q  bm,q  bm,
q 

i
x exp  n  p'   n '  p   q    m, q




t'



 a n,p
' a n,p' b m, q  b m,  q 

  t  t  dt 
1

t'

x

1

(2.12)

Thay (2.9), (2.10), (2.11), (2.12) vào (2.3) và kí hiệu

n n1 ,n2 ,p  t   a n1 ,n 2 ,pa n1 ,n 2 ,p t, Nm,q  bm,q
bm,q 


Ta được
i

+

f n,p  t 
t



 a n,p a n,p



t


n ',p ,k



Ck U n,n' k Fn ',p' k,n,p ,k  t   Fn,p ,n ',p' ,k  t  .exp  ik t  +






1





m
*
*
Cm,q Inn
' Fn,p ,n ',p ,m,q   t   Fn,p ,n ',p' ,m,  q   Fn ',p' q  ,n,p' ,q   Fn ',p  q ,n,p' ,m,  q 



n ',m,q 

Giải phương trình động lượng tử - phonon trong siêu mạng pha tạp ta được:


n n,p  n n ',p q  Nm,q 
  n n,p  n n ',p ' q  N m,q 
m
  2  Cm,q Inn

' 
i
i
t
n ',q 
  n ',p q   n,p  q  i
 n ',p q  n,p  q   i






n n ',p q  n n,p N m,q
n n ',p q  n n,p N m,q

+


i
i
 n,p   n ',p q  q  i
 n,p   n ',p q  q  i 


f n,p  t 

1

2



2















+

1
2

C
n ',k





2
k

U n,n '

2








 n n ',p  n n ',p  k N m,q


i
  n ',p '  k   n,p  q  k  i













17








Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

n '

p q 

-



i

n n,p  t 



t




 q   k  i 




 n n,p N k

  n ',p q

n,p 







n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

2

C

2
m,q 

n ',q 

2





 



m


+
In,n
' N m,q   n n,p   n n ',p  q     n ',p  q    n,p   q 



 

 



 

 -



+ n n,p  n n ',p q  n ',p q   n,p  q  n n ',p q  n n,p  n,p  n ',p q  q - n n ',p q  n n,p  n,p  n ',p q  q
-


2

C

2
k

2

U n,n ' N k

n ',k

 n

n,p

 n n ',p



 n,p  n ',p q  q  k

 k

  

n ',p  k

 n,p  q  k






f n,p  t 
t

n


2



Cm,q

2

n ',m,p



2

 

 q 



m


Inn
' N q   n n,p  n n ',p  q     n ',p   n,p  m,q 

 n n ',p q  n ',p  n,p  m,q

n,p

- (n n ',p



+

-



 n n,p ) n,p  n ',p q  m,q

 - n

n ',p q

 

 n n,p  n,p  n ',p q  m,q




2

C

2
k

2

U n,n ' N k

n ',k

 n

n,p

 n n ',p

 k

  

n ',p   k

 

 n,p  q  k   n,p  n ',p q  q  k

Lấy tích phân chạy từ 0  p ta được
n n,p  t   n1 

p
2


n,n ',m,q 

n

n,p

 

Cm,q

2

m
I nn
'

2







Nq n n,p  n n ',p q   n ',p  n,p  m,q +



 n n ',p q  n ',p  n,p  m,q -

18




Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

- (n n ',p



 n n,p ) n,p  n ',p q  m,q

 q 



C

2

2

2

U n,n ' N k

k

n ',k

 n

 n n ',p

n,p

 k

  

 - n

n ',p   k

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

n ',p q

 

 n n,p  n,p  n ',p q  m,q



 

 n,p  q  k   n,p  n ',p q  q  k

2.2 Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp.
2e

j

 2 
2e

j

2

V


p

3

n1dp 

p

n

Cm,q

2

2

Imnn ' N q

n,n ',m,q 

n
+

n,p

e
2

n

n,p

 

 n n ',p q  n ',p  n,p  m,q

C

p

2
k

n ',k

 n



n,p

 n n ',p

Vì n n ',p

 q





U n,n ' N k  Vp dp 
2

  

n ',p  k

 n n,p  q 
2

n ',p q 

 k



 n n ',p q   n ',p  n,p  m,q +

 p  q  

2

2m

 

 n,p  q  k   n,p  n ',p q  q  k

n p
p



2 2
p 
1
 p z  n F
  n   m,q
với n,p 
 q  
2m 
2
 m   n,p

1

  n '  q ; n,p 
2


2

 p 

2

2m

1

  n   q
2


Tuyến t nh hóa phương trình bằng cách thay n n,n '  p   n F  p   n1
j



4e

 2 

2


. p



Cm,q

2

2

Imnn ' N m,q



n,n ',m,q 

n F
n
 p 


. n '  p   q    n  p    q  q  F   n '  p   q     n,p  q 
  dp q 


m


2





19








Ản

ởng của phonon giam cầm ên tr ờng âm -

+



4e

 2 



2

C

p

2
k

2

U n,n '

n ',k

n phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

2

p 
N k    dp 
m

n F
 n 
 n ' (p  k)  n (p  )  q  k   k  F    n (p   k  )   n  p    q  k

 




 k







Vì hàm điện tử không suy biến nên ta đ t j  SH1  SH2

1
   n  p   F  

n nn '  p   n o exp 
 
k  .T
k





Ta có

 p2
 F 
 p2
n F
F 
1
2 n 2 2
1
2 n 2 2 
=

exp 


exp
exp





 2mk T 2mL2 k T k T  k T
k T
 2mk T 2mL2 k T 
 k T






 






Tính SH1=



4e

 2 

2



. p

Cm,q

2

I

m 2
nn '

N m,q q 

n,n ',m,q 



2
 F 
no
 p 
 exp
  dp  k T exp 
k
T
m

  

 p 2 
 2 n 2 2 
exp


 
 x   n '  p  q    n  p   q     n '  p  q    n,p  q 
2
2mk
T
2mL
k
T
 
 





e
p
= 3
 kT



Cm,q

2

I

m 2
nn '



N q q 

n,n ',m,q 

2
 F 
 p 2 
 p 
exp
exp
dp



 exp

 
k T
m
  
 2mk  T 



 2 n 2 2 
 
 x
2
 2mL k T 

x









2

2

 p  q  
2m

 p  q  
2m

2

2

1

  n '  q 
2


1

  n '  q 
2


2

2

 p 
2m

 p 
2m
2

2


1

  n   q  q  
2




1

  n   q  q 

2



20




Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×