Tải bản đầy đủ

42 bài toán vận dụng cao tích phân và nguyên hàm có Đáp Án

Th.S: MAI THÀNH LONG

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN - LTĐH 2015

4

1
dx
2

1

2cos
x


1) I =




2) I =

4


2

4) I =


4


4


2



 sin x cos x 

 cos3 2 x �
.sin 4 xdx


2

0

7) I =


2

1  sin x x
.e dx

1



cos
x
0

1
dx
10) I = �



0 cos x.cos x 


� 4�

15) I =

3sin x  4cos x
dx
2
2

3sin
x

4cos
x
0

12) I =

� �
tan �x  �
� 4�
dx

cos 2 x
0



 sin x 

3 cos x

e


x
1



14) I =


  sin x  cos x 

3

dx


2

1


cos
x

x
dx



�2  3sin x  1

0


2



3

1
dx
16) I = �




sin
x
cos
x



6
� 6�

dx

ln 3 x
4  ln x  4  ln x
2

7sin x  5cos x

4


6

0

17) I =


2


2

sin x

x   x  sin x  sin x
dx
2

 1  sin x  sin x

3

6

6


2



8) I =

1
sin x. sin 2 x  dx
9) I = �
2


13) I =

6) I =

sin x. 1  cos 2 x
dx
2

cos x


3
2
3


2

11) I =

1
dx
2
2

sin
2
x
.cos
x

4

3

5) I =

x  sin 2 x
dx

1

sin2x
0

3

1
dx

sin
x
.
1

cos
x


3) I =


2

2



dx

2

18) I =

x2
dx
2
 2 x  4


 x  1  x
0


Th.S: MAI THÀNH LONG

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

(x 2  5 x  6)e x
19) I= �
dx
x
x

2

2013.
e


0

2

20) I =

�sin x
sinx-sin x �
e
.sìn2x+
dx



cos
2
x

7

0�
1
e 2
 ln x  1
23) I =
x
dx

x

ln
x
1
21) I =

3

1

25) I =


2
0

2

x

 9 . 3  2


1 x 

29) I =

1 x




8

24) I =

26) I =

2

dx

28) I =

.e

1
 cot x
sin 2 x

32) I =


3 3 e
0

H D GIẢI:

x

e

34) I =

ln 3 1  ln 2 x
dx

x
1



1

 2e x  7

2

dx



1

2
1

dx

2

1 �x x

1

x

e dx


38) I = �
x�
1�
40) I =
e

x 2 .e  x

0

x

dx

2 cos 4 xdx


0

ex

 1 x 2  1

0

3


 x  2


2



x  x 3  2014 x
dx
4
37) I = �
x
1

41) I =

2

36) I  x.log 2 x  9 dx

.e dx

1 3

1

�x

dx 30) I = x tan 2 xdx


0

39) I =

10 x3  3 x 2  1  10 x

4

x

ln 6

dx

0

�1x

e
x




31) I = � 2  x � 2  2 tan x �dx


�cos x

3 x


4
3
x ln x
dx
33) I  �2
2
1  x  1
2

2


4




 x  1

�1  6 x  3x
0

4

35) I =

ln x
dx

x

1
3

0

sin 3 x

x2  1

x  tan x  e x dx

2

0

dx

cos x  2cot 2 x  3cot x  1

1

 tan


1

1

1


2

22) I =


4

1

1 x

1

27) I =

x
2

� 2 x3 4 x �
dx
�x e 


1 x �
0�
1

1

42)


ln  3x


1
3

 x 2   2ln x �
dx


2 x 2  x  1  2ln x   ln 2 x


1

4

x

2

 x ln x 

2

dx


Th.S: MAI THÀNH LONG

4

1) I =

1
dx =
2

 1  2cos x



4

Đặt t = tanx => dt =
=> dt =

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

4


1




4

1

cos 2 x


4

1
1
1
dx  � 2
. 2 dx
2
 tan x  3 cos x
 2 cos x

.

4

1
dx . Đổi cận... => I =
cos 2 x

3 (1+tan2 u)du. Đổi cận... => I =


2

1

1
dt . Đặt t = 3 tanu
2

t

1
1

 3
9

2
x

sin
x =
2) I =
dx

1

sin2x
0

2


2

x
sin 2 x
dx

dx  I1  I 2


1  s ìn2x
1  s ìn2x
0
0

2





2
x
x
12
x
I1  �
dx  �
dx

dx
2


1

s
ìn2x
2


2
sin
x

cos
x

0
0 
0 sin
�x  �
� 4�

ux

� �

2
du

dx

cos �x  �
4

1

1


� � 1
� 4�
dx  ... 
dv 
dx � �

�  �� I1   x cot �x  �  �
v   cot �x  �
2
4
� �
� 4 � 2 0 sin �x   �


sin 2 �x  �
4�




0

� 4�
� 4�



2


2


2


2

sin x
1
1  cos 2 x
1
1
1 cos 2 x  sin 2 x
I2  �
dx  �
dx  �
dx  �
dx
2
2

1

sìnx
2
4
2


2
0
0  sin x  cos x 
0 sin
0  sin x  cos x 
�x  �
� 4�
2


2


2

1
1 1
�  � 1 d  sin x  cos x 
  cot �x  �  �
dx   ln sin x  cos x
4
2 2
� 4 �0 2 0 sin x  cos x
 2
Vậy I = I1  I 2 
4


2
0



1
2


2

3) I =

1
dx

 sin x. 1  cos x
3

. Đặt t =

1  cos x => 2tdt = - sinxdx. Đổi cận...


Th.S: MAI THÀNH LONG
1

2tdt
I  �2

2
t
2

t
.
t


3
2

1

t 2

ln
2 2 t 2
1

3
2

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

1

2dt


2
2
t
t

2


3
2

1

t

1

1

dt

2
�t 2  t 2  2  dt  �
t

2
3
3
2

1
3
2

t 2   t 2  2

 ...  1 

2



6 1

ln 2  3
3
2

1

dt

�t
2

3
2




3

1
dx
2
2

sin
2
x
.cos
x


4) I =

4

3


3


3

4

4

sin x  cos x
1
1
dx
dx
� 2
dx  � 2 . 2  � 2
4
4  cos x cos x  sin 2 x
 4sin x.cos x
2

2

4




3


3

4


3

1
1
1�
tan x �
3 2 3 1
2
1

tan
x
d
tan
x

cot
2
x

tan
x









4 �
2
4�
3 �
6
3

5) I =

4

4

3

4

sin x  cos x 

2
 cos3 2 x �
.sin 4 xdx



2

0


4

=

1sin2x

2

0

4


4

.2sìn2xcos2xdx  �
2sìn2xcos 4 2xdx  I1  I 2
0

Tính: I1= 21sin2x.2sìn2xcos2xdx . Đặt t = 1 + sìn2x => dt = 2cos2xdx . Đổi cận ...


0


�du  dt
� u t

I1  �
2  t  1 dt  �
t.2 dt  �
2 dt . Đặt: �
� � 2t
t
dv  2 dt �
v
1
1
1

� ln 2

2
2
2
t
1
6 �1
� t
t 2
t
t
I1 
.2 
2 dt  �
2 dt 
 �  1�
2 dt

ln 2 1 ln 2 �
ln
2
ln
2


1
1
1
2

2

t



2

t

t

6 �1
4
2
�1 t 2
 �  1�
.
.2 
 2
ln 2 �ln 2 �ln 2 1 ln 2 ln 2

4


4

0

0


Tính: I  2sìn2x.cos 4 2 xdx   cos 4 2 xd  cos 2 x    1 cos 5 2 x 4  1
2
0





5

5


Th.S: MAI THÀNH LONG
Vậy I  I1  I 2 

2 � 1 �1
2

�
ln 2 � ln 2 � 5


4

6) I =

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

sin x. 1  cos x
dx
2

cos
x




2

3


4

0


4

sin x sin x
sin x
sin 2 x
dx   � 2 dx  � 2 dx
= �
2
cos
x
cos x

 cos x
0




3

2

3


4

0


0
1 �

� 1

 �
1
dx  �
dx   x  tan x      tan x  x  04


� 2  1�
2
cos  1 �
3
 � cos x �
0�

3



7
 3 1
12

7) I =


2

1  sin x x
.e dx

1  cos x
0


2

x


2

=

x


2


2

x

e dx
sin x.e dx 1
e
sin x x
I�
�
 �
dx  �
e dx
x
1

cos
x
1

cos
x
2
1

cos
x
2
0
0
0 cos
0
2




x
x
x
2
2
2sin
.cos
x
2
1
e
x
12 e
x
2
2
dx  �
tan e x dx  I1  I 2
I �
dx  �
e dx = I  �
x
2 0 cos 2 x
2
2 0 cos 2 x
0
0
2cos 2
2
2
2
x

� u e
�du  e x dx
x
2

1 e dx


1
��
Tính: I1 = �
Đặt �
dv

dx
x
2 0 cos 2 x
v  2 tan
2 x


cos

2
2

2


� 
1� x
x2
� I1  2.e tan
 2 I 2 � e 2  I 2

2�
20


� I  I1  I 2  e


2

2
3

8) I =

x   x  sin x  sin x
dx
2

1

sin
x
sin
x



3

2
3

=

x


 sin
3

2

x

dx 

2
3

dx

=I

1

sin
x


1

3

+I2


Th.S: MAI THÀNH LONG

2
3

� ux
�du  dx

Đặt �
hoctoancapba.com
dx � �
v


cot
x
dv



sin 2 x


x
Tính: I1 = � 2 dx
 sin x
3

I1 = - xcot x

2
3

3

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

2
3


cot xdx 
 ln sin x
 �
3


2
3

3




3

3
2
3

2
3

dx

1
� x
x� 2
 �
sin

cos

3 �
3
2�
� 2
7
5
5
  cot
 cot
 2cot
 42 3
12
12
12

42 3
Vậy I =
3
dx
Tính: I2 = �
=
 1  sin x

9) I =

2


2


2

6

6



2
3

2
3

dx
�x  �


cot
�  �
� 2 �x  �
�2 4 �

sin

3


3
�2 4 �

1
3
2
sin
x
.
 cos 2 xdx . Đặt t = cosx => dt = - sinxdx
sin
x
.
sin
x

dx
=


2
2


0

Đổi cận... => I = -

3

�2  t
3
2


4

2

dt 

3
2

3

�2  t

2

dt

3
3
sin u � dt 
cos udu
2
2

Đặt t =

0


4



3
3
3� 1
�4 3
2
I=
cos
udu

1

cos
2
u
du

u

sìn2u



�     2

2�
4
4
2

�0 16
0
0

6

1
dx
10) I = �



0 cos x.cos x 


� 4�
1
1
1

Ta có: cosx. cos (x + ) = cosx (
cosx sinx) =
cos2x (1- tanx)
2
2
2
4
=> I =


6


6


3 3
d  tan x 
dx
2� 2
  2�
  2 ln tan x  1 06   2 ln
3
cos x  1  tan x 
tan x  1
0
0


Th.S: MAI THÀNH LONG

11) I =

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM


2

3sin x  4cos x
dx
2
2

3sin
x

4cos
x
0


2

=3


2

sin x
cos x
dx

4
dx


2
2
2
2
3
1

cos
x

4cos
x
3
sin
x

4
1

sin
x




0
0


2

=3


2

sin x
cos x
dx

4
dx = I1 +I2
2
2


3  cos x
4  sin x
0
0

Tính: I1 = 3


2

sin x
dx Đặt t = cosx => dt = - sinxdx, đổi cận....
2

3  cos x
0

1

I1 = 3

dt
 3
Đặt t = 3 tanu => I1 = ... =
2

t 3
6
0

Tính: I2 = 4


2


2


2

d  sin x 
cos x
sin x  2 = ln3
=-4
dx


ln


4  sin 2 x
sin x  2   sin x  2 
sin x  2 0
0
0 

 3 + ln3
6

Vậy I =

2


2

7sin x  5cos x
dx Đặt t = x +  => dt = dx
12) I =

2 2  sin 3 �x   �
4
  sin x  cos x 


4
4


4

� �
2
2
2
2�
3
7�
sin t.

.cos t � 5 �
cos t.
 sin t.

4
2
2
2
2
1

� �

Đổi cận... => I =
dt
3

sin t
2 2 

7sin x  5cos x

dx = 
3



1

2
3
4

2 sin t  6 2 cos t
1
dt


cot t
=
sin 3 t
2
2 2 �
1

2

13) I =

� �
tan �x  �
� 4�
dx

cos
2
x
0


6

3
4

2

3
4

d  sin t  1
3
3� 3
 
sin t
2 2sin 2 t

2

3
4


2

2


Th.S: MAI THÀNH LONG

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

� sin 2 x �
1
�  � tan x  1
2
x  �
;cos 2 x  cos x. �
1
.  1  tan 2 x 
Ta có: tan �
�
2
2
� 4 � 1  tan x
� cos x � 1  tan x

6

tan 2 x  1


 tan x  1

=> I = -

2

2
dx Đặt t = tanx => dt = ( tan x + 1) dt, đổi cận...

0

1
3

dt


 t  1

I=-

2



0

14) I =

1
3

1
1
1 3


t 1 0
2
3 1


2

1


cos
x

x
dx



2

3sin
x

1


0


2


2

cos x
I�
dx  �
x.cos xdx  I1  I 2
2

3sin
x

1
0
0
* Tính I1 = I 
1


2


2
0

2
cos x
dx ; Đặt t  3sin x  1 => t = 3sinx + 1
3sin x  1

=> 2tdt = 3cosx dx
2

2

2

2
t
2
2
2
2
dt

1

dt

t

2ln
t

2

2  2ln 2 2  1  2ln 3 





3 1 2t
3 1 2t
3
3
1
2 4 3
� I1   ln
3 3 4
� I1 

* Tính I 
2


2

x.cos xdx


� ux
�du  dx
��
dv  cos xdx �
v  sin x


Đặt �

0


2




� I 2  x.sin x  �
sin xdx   cos x 02   1
2
2
0

2
0


2




� I 2  x.sin x  �
sin xdx   cos x 02   1
2
2
0
4 3  1
Vậy: I  I1  I 2  ln  
3 4 2 3

2
0


2

15) I =


0

sin x

 sin x 

3 cos x



3

dx


Th.S: MAI THÀNH LONG

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

2

1
sin x


dx
Do : sin x  3 cos x  2sin( x  ) nên I = 8 � �  �
Đặt t = x +
3
0 sin 3 x 
3


� 3�

1
3
dt =dx, sinx = sin ( t ) = sin t 
cos t . Đổi cận...
3
2
2
5
5 1
3
5

6
sin t 
cos t
1
3
1 6 2
6
2
cot td  cot t 
I=
dt =   cot t   

3

16
16
8
sin t

3
3

3
5
3
1
3
3
2

cot t 6 


=
6
4 3 32
4 3 12
3

1


� ��
cos
�x  � �

1
2
� 6 � 6�

dx =
16) I = �
dx

� �




3

sin x cos �x  �
sin x.cos �x  �
6
6
� 6�
� 6�
� �
� �
�  ��

 �
x �
cos x  sin �x  �
sin x
sin �x  ��
2 cos �
2�
2
cos x
� 6�
� 6 � dx 2 �
� 6 ��


dx
=


sin
x
� �


3 �
3

 �
sin x.cos �x  �
cos �x  �
6
6 �

� 6�
� 6�



2


2


2

=

ln 4
2 �
2
�  ��
ln
sin
x

ln
cos
x


.ln
2
=


��
3
3�
3
� 6 ��
6

* Cách khác: Do sinx.cos (x +

2

�3
� 1

1
)  sin x � cos x  sin x � sin 2 x
6
2
�2
� 2

2








1
1
2 d 3 cot x  1
2
. 2 dx  

ln 3 cot x  1 2
Nên I = 2 �

3 cot x  1 sin x
3
3
3 cot x  1

6
6



6





2
ln 4
.ln 2 
3
3

e

17) I =


x
1



ln 3 x
4  ln x  4  ln x
2

2



dx

Đặt t = lnx =>dt =



3 cot x  1

1
dx , đổi cận...
x


Th.S: MAI THÀNH LONG
1

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
1

t3





1
dt  �
t 4  t 2  4  t 2 dt hoctoancap ba.com
I= �
20
4  t2  4  t2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2 2
2
2 2
t 4  t dt  �
t 4  t dt  �
4t  d  4t   �
4  t  d  4  t2 
= �


20
20
40
40
1

1



3
3
1
1
1
2 2
2 2
  4  t    4  t   5 5  3 3  16
6
6
6
0
0



*Cách khác:
Đặt t = 4  ln 2 x 

4  ln 2 x � t 2  8  2 16  x � t 2  8  2 16  ln 4 x
� t 3 � ,đổi
ln 3 x
4
2
4
4
2
4
� t  64  16t  4  16  ln x  � 4ln x  16t  t �
dx  �2t  �
dt
x
� 4�
5 3

5 3

cận... => I =

3
� 1 2� � t �
2 t �
dt  �
2t  �


4
12 �4



4





1
5 5  3 3  16
6



2

x 11
dx

2


0  x  1  x  1  3


2
2
dx
x 1
�

dx  I1  I 2
2

2
2


x

1

3


x

1
.
x

1

3
 �
 �
0
0 
2
dx
Tính I1 = �
Đặt x+1 = 3 tant => dx = 3 (1+ tan2t)dt, đổi cận...
2
0  x  1  3
2

x2
dx =
18) I = �
2
x

1
x

2
x

4




0


3

3  1  tan 2 t 

 3
I1  �
dt

...

2
18
 3  1  tan t 
6

2

x 1
dx Đặt u = (x+1)2 + 3 =>du = 2(x +1)dx, đổi cận...
Tính: I2 = �
2
2


0  x  1
 x  1  3�




12



12

1
du
1 �1
1�
1 u 3
I2  �
 �
 �
du  ln

2 4 u  u  3 6 4 �u  3 u �
6
u
Vậy I =

12


4

ln 3
.
6

 3  3ln 3
18

1
(x+2)e x .  x  3  e x
(x 2  5 x  6)e x
19) I= �
dx = �
dx . Đặt t = (x+2)ex +2013
x
x
x  2   2013.e
x  2  e  2013
0 
0 
1

=> (x+2)ex = t – 2013, dt = [ex+(x + 2)ex]dx = [(x + 3)ex]dx, đổi cận...


Th.S: MAI THÀNH LONG

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

3e 2013

t  2013
3e 2013
dt

t
 2013ln t

2015
t
2015

I=

� 2 x3 4 x �
dx
�x e 


1

x
0�

1

20) I =

1

1

=

3e 2013
2015

1

 3e  2  2013ln

3e  2013
2015

4

x
x
.
e
dx

dx  I1  I 2


1

x
0
0
2

x3

1

1 t
e 1
e dt 
Tính I1 = x .e dx Đặt t = x3 => dt = 3x2dx => I1 = �
30
3
0


2

1

Tinh I2 =

4


1

x3

x

0

x

dx Đặt t =

4

x � t 4  x � dx  4t 3 dt
1

1

1
�t 3 � 1 dt
t 3
1 �
�2
� I 2  4 � 2 .t dt  4�
t 1 2
dt  4 �  t �  4�


1

t
t

1
t 2 1

�3 �0
0
0�
0
8
   4J
3



1

4
dt

2
1  tan 2 u

Với J  �
Đặt
t
=
tanu
=>
dt
=
(1
+
tan
u)du
=>
4 
2
J

du

u
2

0
t 1
0
1  tan u
4
0
8
� I2    
3
e  9  3
Vậy I =
3

21) I =

I=


2


2

�sin x
sinx-sin 3 x �
e .sìn2x+
dx



cos
2
x

7


0

e


sin x

0

Tính: I1 =


2

sin x.cos 2 x
.sìn2xdx  � 2
dx  I1  I 2
2cos
x

8
0

2

e


sin x

0

Đặt


2

.sìn2xdx = 2 �
sin x.esin x d  sin x 
0

� u  sin x
du  cos dx




sin x
dv  esin x d  sin x 
�v e


I1  2sin x. e


sin x 2
0


2


2

 2�
e .cos xdx 2e  2 �
e .d  sin x   2e  2 e
0

sin x

0

sin x


sin x 2
0

2


Th.S: MAI THÀNH LONG

Tính: I2 =

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM


2

sin x.cos 2 x
dx Đặt t = cosx => dt = -sinxdx, đổi cận...
2

2cos x  8
0

1

1

1
t2
1 �
4 � 1 1 t 2
I2 = �
dt  �
1 2
dt   ln


2
2 0 t 4
2 0� t 4� 2 2 t2
5  ln 3
Vậy I =
2
22) I =

=


4

 tan


2

0

4

1


0

1 ln 3

2 2

x  tan x  e x dx

4


4

1
.e x dx  �
e x dx  �
tan x.e x dx  I1  I 2  I 3
2

cos x
0
0
0

� u  ex
�du  e x dx

1
��
Tính: I1 =
1
.e x dx Đặt �
2

dv

dx
�v  tan x
cos x

0
cos 2 x


4

I1 = tan x.e

Tính: I2 =


4


x 4
0

4


4

�
tan x.e dx  e  I 3 � I1  I 3  e
x


4

0

e dx  e

x

0


x 4
0


4

 e 1

Vậy I = 1
23) I =

e

2


1

1
 ln x  1
x
dx
x  ln x

1

e

=

2 x  ln x  1
dx

x
x

ln
x


1

Đặt t = lnx => x = et, dt =

1
1 t
� et  1 �
2et  t  1
e 1
dt  �
1 t
dt  1  �t dt  1  J
cận... => I � t


e 1
e t �
e t
0
0�
0
1 t
e 1
dt Đặt u = et  t � du   et  1 dt , đổi cận...
Tính: J = �
t
e t
0

J

e 1

du

�u

 ...  ln  e  1

1

Vậy I = 1 + ln(e + 1)

1
dx ,đổi
x


Th.S: MAI THÀNH LONG

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

dx

� u  ln x
ln x

� du 
dx Đặt �
x
24) I = �
dx � �
dv

x

1
3


v  2 x 1
x 1 �

8
8
x 1
I  2 x  1.ln x  2 �
dx  6ln 8  4ln 3  2 J
3
x
3
8





8

Tính: J =

x 1
dx Đặt t =

x
3

x  1 � t 2  x  1 , 2tdt  dx , x = t2 – 1, đổi cận...
3

3

3
t
1 � �
t 1 �
� 1
J �
.2tdt  �
2

dt  �
2t  ln
2


�  2  ln 3  ln 2
t

1
t

1
t

1
t

1



�2
2
2

Vậy I = 20ln2 - 6ln3 – 4
1

25) I =


2
0

1

2

x

x
2

 9  . 3  21 x

dx

x
2

1

x
2

x
2

1
2
2 .2
2x
�I �
dx  �
dx  �
dx
x
x
x
x
2
2

9
3.2

2
x
0

3.2  2
0  2  9
 2  9 3  2x 0 
t 2  25
2t
x
2
x
x
Đặt t  3.2  2 � t  3.2  2 � 2  9 
� 2 x dx 
dt
3
3ln 2
2
2
 t  5
2
t
2 1  t  5   t  5
1
I
.�2
dt 
. .�
dt 
ln
ln 2 1  t  25  t
ln 2 0 1  t  5  .  t  5 
5ln 2  t  5 



2

1

1 � 3
2� 1
9
ln  ln �
.ln

5ln 2 � 7
3 � 5ln 2 14
1

26) I =

�1  6 x  3x

2

dx cau ca

0

1

2


I  �22  �
� 3  x  1 � dx Đặt 3  x  1  2sin t � 3dx  2cos tdt
0

 Khi x = 0 � sin t 

 3

�t 
2
3

 Khi x = 1 => sin t = 0 => t = 0
0

0

0

3

3

2
4 1
� I  �4  4sin t  2 �
cos t.
cos tdt 
. �
 1  cos 2t  dt
2
3
3



2

3


Th.S: MAI THÀNH LONG

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

0

2 � 1
2 �
 1 � 3 �


t

sin
2
t







�
3� 2
3 �3 2 � 2 �


3
2 1

Vậy I 
3 3 2
1

1

1

1

x  1  x2  1
x 1
x2  1
dx
27) I = �
= �
dx  � dx  �
dx  I1  I 2
2
2x
2x
2x
1 1  x  1  x
1
1
1
1
1
1 � 1� 1
1

dx

x

ln
x
1
Tính: I1  �


� �
1
2 1 � x � 2
1

1

x2  1
I2  �
dx; t  x 2  1 � 2tdt  2 xdx; x  �1 � t  2 � I 2  0
2x
1
Vậy I = 1
1

28) I =

10 x3  3 x 2  1  10 x

�x
0

2

 1 x 2  1

1

1

x

1
dx  10 �
dx  3�2 dx  10 I1  3I 2
x 1
x2  1
0
0

1

x
I1  �
dx; t  x 2  1... � I1  2  1
2
x 1
0
1
1

I 2  �2 dx; x  tan t... � I 2 
x 1
4
0
3
Vậy I  10 2  1 
4




2

29) I =



cos x  2cot 2 x  3cot x  1



sin 3 x


4

2

cot x  2cot 2 x  3cot x  1

�

4

2

sin x

.e cot

2

.e

1
 cot x
sin 2 x

x  cot x 1

1

dx

dx

2
1
u  2u 2  3u  1 eu u 1du; t  u 2  u  1
u  cot x � du   2 dx... � I  �
sin x
0

3

dt   2u  1 du � I  �
 t  1 et dt
1


Th.S: MAI THÀNH LONG

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

�u  t  1
du  dt




dv  et dt �v  et

3

I  e  t  1 1  �
et dt  ...  e  e 2  1
3

t

1

30) I =


4


4


4

1
2

 1�
dx  �
x. 2 dx  �
xdx  J 

cos
x
cos
x
32


0
0
0

� 1
x tan xdx = x � 2




4

2

0


4

� ux
�du  dx
1

J �
x. 2 dx; �
��
1
v  tan x
cos x �
dv 
dx �
0
cos 2 x


4


4

d  cos x  

J  x tan x  �
tan xdx   �
  ln cos x
4
cos
x
4
0
0
 1
2
Vậy I =  ln 2 
4 2
32
1

 �x
e
x




31) I = � 2  x � 2  2 tan x �dx


�cos x

3 x


4

4
0

1
x







4

4


4
0



 1
 ln 2
4 2

e
x2
I  �2 dx  � 2 dx  �
2 x tan xdx  J  M  N
x
cos
x
3
3
3
4
1
x



e
1
1
J  �2 dx; t  � dt   2 � J 
x
x dx
3 x
4

4
3

e dt  e

t

4
3

e

1


1


� u  x2

du  2 xdx

x


2
M  � 2 dx; �
��
� M  x tan x 3  �
2 x tan xdx
1
v

tan
x
cos
x
4
dv 
dx �
3
3

cos 2 x

4
4
2
2
9
9
M
N �M N 
16
16
4
1
2
9
Vậy I = e 3  e  
16


2


Th.S: MAI THÀNH LONG

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM


du  2 x.ln 2.dx
� u2

��
32) I = 2 x cos 4 xdx Đặt �
1

dv  cos 4 xdx � v  sin 4 x

0

4

2

x


2


2


2

1
1
ln 2 x
I  .2 x.sin 4 x  .ln 2 �
2 x sin 4 xdx  
.�
2 sin 4 xdx
4
4
4
0
0
0


u  2 x , du  2 x ln 2dx

Đặt � dv  sin 4 xdx

1
� v  cos 4 x

4



2
ln 2 �1 x
ln
2
1



I 
. � .ln 2.�
2 x.cos 4 xdx �
� .2 .cos 4 x � 
4 �4
4 �4
�0
0



�2

2

1
.ln 2



2
2




ln 2 2
ln 2
ln 2

I
2  1�
.I � I �
1
�


16 �
16
� 16 �
� 16
� 2 �
.ln 2
�2  1�


I
16  ln 2 2
� u  ln x
1

du

dx
3


x ln x
x


dx
x

33) I  �2
2

dv 
dx �
1
2
1  x  1
2
v



x

1
2



� 2  x  1



2

1
dx
ln 3 1  x  1  x
I 
.ln
x



 � 2
dx
1
2
2�
20
2
2  x 2  1
x
x

1
x
x

1




1
1
1

3

3

3

2

2

3
3
d  x 2  1 9ln 3 1
3
3
ln 3 1
1
x
ln
3
ln
3
1

 ln x 1  �2 dx  

 �2

 ln  x 2  1
1
20 2
2 1 x 1
20
2 4 1 x 1
20
4
9ln 3 ln 5 9ln 3  5ln 5



20
4
20

e

34) I =

ln 3 1  ln 2 x
dx

x
1

Đặt t = lnx => dt =

1
dx , đổi cận...
x


Th.S: MAI THÀNH LONG

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

2t


u  ln  t 2  1
du  2
dt


�� �
t 1

� dv  dt

� vt
1
1
1
2 t2
1
2
2
I  t.ln  t  1  �
dt  ln 2  J
2
0
3
3 0 t 1
3
3
1

1
I �
ln  t 2  1 dt
30

1

1

t 2 1 1
dt
dt  1  �
Tính J = � 2
2
t 1
t 1
0
0

Đặt t = tanu => dt = ( 1 + tan2u)du, đổi cận...


4

tan 2 u  1

J  1 � 2
du  1 
tan u  1
4
0

2  ln 2  2   
6
1
2
x 1 x
.e dx
35) I = �
2
0  x  1
Vậy I 

Do :

x2  1

 x  1

2

 e 1 2J
1

Tính J 

1
1
�x
2 x.e x �
x.e x
x
 1
�I �
e 
dx  �
e dx  2 �
dx


2
2
2


 x  1
 x  1 � 0
0�
0  x  1
1

2x

x.e

� u  x.e x

du  e x  x  1 dx


dx � �
1

dv

v


2
�  x  1

 x  1



x


 x  1

2

dx

0

1

1

x.e x
e
J 
�
e x dx    e  1
x 1 0 0
2
Vậy I = 1
4







36) I  x.log 2 x  9 dx
0

2

2x

du

dx
2
2


x

9
ln
2
u

log
x

9






2
��

� x2 9 x2  9
� dv  xdx
v  

� 2 2
2
4

4

x2  9
1
25ln 5  9ln 3  8
I
.log 2  x 2  9  
xdx  ... 

2
ln 2 0
ln 2
0


Th.S: MAI THÀNH LONG

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

* Cách khác: t = x2 + 9...
25

25

1
t
t
25ln 5  9ln 3  8
25
ln
tdt

.ln
t

dt

=> I =
9
2ln 2 �
2ln 2
2ln 2 �
ln 2
9
9
1 3

1

1

3

3

3

3
x  x 3  2014 x
x  x3
dx
dx
dx

2014
 I1  I 2
3
37) I = �
= � x4

x4
1
1
1 x

1
1
2
xx
x
I1  � 4 dx  � 3 dx
x
x
1
1
1 3

1 3

3

3

Đặt t 

3

1
1
dx
3
 1 � t 3  2  1 � 3   t 2 dt ,đổi
2
x
x
x
2

3

cận... => I1  6
1

1

3

3

dx
� 1 �
I 2  2014 �3  2014. �
 2 �  8056 hoctoan capba.com
x
� 2 x �1
1
Vậy I = I  6  8056  8062
1

1

1

2

2

2

1
1
x
1 �x 1x

� 1 �x x
x
1 x  �
e dx = �
e dx  �
e dx  J  K

�x  �
38) I = �
x
x


1�
1
1�
1

� � 1 �x  x

du  �
1 2 �
e dx

u e ��

� � x �


�dv  dx
vx


1
x
x

J �
e dx
1
2

J  x. e

1 1
x
x
1
2

1

1
x
x

1

5
2

1
x

e
� 1�
�
e dx  e 2   K
�x  �
x�
2
1�
x

2
5
2

Vậy I  J  K  e 2  e 



e2 2  e

2

ln 6

39) I =


3 3 e
0

e

x

x

 2e  7
x



2
dx

Đặt t =

x
3  e x � t 2  3  e x , 2tdt  e dx ,đổi cận....

3
3
 2t  1   t  1 dt
2t
t
I �
dt

2
dt

2


2
2t 2  3t  1
2t  1 .  t  1
2 3t  2  t  3   7
2
2 
3

3

3

 2ln t  1 2  ln 2t  1 2  ...  ln
1

40) I =


ln  3 x


1
3

4

 x 2   2ln x �
dx


80
63
Do: ln( x4 + x2 ) -2lnx = ln [ x2.( 3x2+1 )] – lnx2


Th.S: MAI THÀNH LONG

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

6 xdx

2

u

ln
3
x

1
du





 ln 3 x  1 dx Đặt:
��
= ln( 3x2 + 1 ), nên I = �
3x 2  1

1
� dv  dx

3
� vx
1
1
6x2
4ln 2  ln 3
2
I  x.ln  3x  1 1  � 2 dx 
J
3
x

1
3
1
3
1

2

3
1

1

1

3

3

3

6x2
2 �
1
4
1

J  � 2 dx  �
2

dx

2
x

2
dx

 2K
1


2

3x 2  1 �
3
3
1 3x  1
1�
1
3x  1
1

Với K =


1
3



1



3x

2

1

dx

Đặt





3 x  tan t � 3dx   1  tan 2 t  dt


3

1 1  tan 2 t

4 
�K 
dt


J


2

1

tan
t
3
3
6 3
3 3
6

12ln 2  3ln 3  12   3
9

2 x

x.  2  x 
u

x
.
e
1
du

dx
2 x


x
x .e


e
dx
dx � �
41) I = �
Đặt �
2
dv

2
0  x  2

� v 1
x  2



2 x

Vậy I 

1

1

x 2 .e  x
1
I
�
x.e  x dx   J
2 x 0 0
e
1



x

Với J  x.e dx

� ux
�du  dx


dv  e  x dx �
v  e  x


Đặt �

0

1

1
1
2
�
e  x dx    e  x    1
0
0
e
e
0
3e
Vậy I =
e

J   x. e

e

42)

2 x 2  x  1  2ln x   ln 2 x


1

e

x

2

 x ln x 

2

(ln 2 x  2 x ln x  x 2 )  x 2  x

�
1

x 1

x 2  ln x  x 

2

dx
e

e

1
x2  x
dx  �2 dx  �2
dx  A  B
2
x
1
1 x  ln x  x 


Th.S: MAI THÀNH LONG

e

ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM

e

1
1
e 1
A  �2 dx  

x
x1
e
1
e

1
1
e
e
d  ln x  1
1
e
x
B�
dx




2
2

ln x  x
e 1
1  ln x  x 
1  ln x  1
1
2e 2  1
Vậy I = I 
e  e  1



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×