Tải bản đầy đủ

6 boi duong HS gioi toan6 10

http://tailieuchonloc.net
CHUYÊN ĐỀ: SỐ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG.

**********
* Các bài toán về dãy số viết theo quy luật.
Bài toán 1: Tính các tổng sau.
a) 1  2  3  4  ......  n
b) 2  4  6  8  ....  2.n
c) 1  3  5  .....  (2.n  1)
d) 1  4  7  10  ......  2005
e) 2+5+8+……+2006
g) 1+5+9+….+2001
A

1

2

4

8

 16  ....  8192
Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau:
Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số
b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.
Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+….+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190.
b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1  2  3  ....  n  2004
c) Chứng minh rằng:  (1  2  3  ....  n)  7  không chia hết cho 10 n �N
Bài toán 5: a) Tính nhanh 1.2  2.3  3.4  ....  1999.2000
b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh B  1.1  2.2  3.3  ...  1999.1999
c) Tính nhanh : C  1.2.3  2.3.4  ...  48.49.50.
Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trường hợp tổng quát.
Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) 3;8;15;24;35;.....
b) 3; 24;63;120;195;.....
c) 1;3;6;10;15;......
d) 2;5;10;17; 26;.....
e) 6;14; 24;36;50;.....
g) 4; 28;;70;130;....
Bài toán 7: Cho dãy số 1;1  2;1  2  3;1  2  3  4;.....
Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?.
Bài toán 8: Cho S1  1  2; S2  3  4  5; S3  6  7  8  9; S4  10  11  12  13  14;.. . Tính S100 .
Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý.
a) A 

41.66  34.41
3  7  11  ...  79

b) B 

1  2  3  ..  200
6  8  10  ..  34

c) C 

1..5.6  2.10.12  4.20.24  9.45.54
1.3.5  2.6.10  4.12.20  9.27.45

* Các bài toán về tập hợp.
Bài toán 10: Cho a) A   1; 2 ; B   1;3;5
b) A   x, y


; B   x, y , z , t 
Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B.
Bài toán 11: Cho a) A   x �N x M2; x M3; x  100
b) B   x �N x M6; x  100
Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
D  478478478
Bài toán 12: Cho C  353535
a) Viết tập hợp P các chữ số trong C và tập hợp Q các chữ số trong D bằng cách liệt kê phần tử.
b) Bằng cách liệt kê phần tử hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó 2 phần tử thuộc P và
một phần tử thuộc Q.





Bài toán 13: Cho a) A  x �N x  ab; a  3.b

b) B   x �N 20Mx

 xNΣ x 11.n 3; n N ; x 300
c) C �
Xác định các tập hợp trên bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài toán 14: Xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng.
a) A   1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100
b) B   2;6;12; 20;30; 42;56;72;90
CHUYÊN ĐỀ: TẬP HỢP , TẬP HỢP CON - ÁP DỤNG.

1


http://tailieuchonloc.net
**********

Bài toán 1: Cho tập hợp A   a, b, c, d , e .
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử
b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trường hợp
sau.
a) A   1;3;5 ; B   1;3;7
b) A   x, y ; B   x, y, z
c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn.
Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu A ̹̹ B; A B. Hãy viết các tập con thực sự
của tập hợp B   1; 2;3

B   3; 4;5
Bài toán 4: Cho các tập hợp A   1; 2;3; 4 ;
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B
Bài toán 5: Cho tập hợp A   1; 2;3; 4 .
a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A.
Bài toán 6: Chứng minh rằng nếu A �B; B �D thì A �D
Bài toán 7: Có thể kết luận gì về hai tập hợp A, B nếu biết:
a) x �B thì x �A
b) x �A thì x �B , x �B thì x �A
Bài toán 8: Cho tập hợp K   5;6;7;8 . Viết các tập hợp con của tập hợp K sao cho các phần tử
của nó có ít nhất một số lẻ, một số chẵn.
Bài toán 9: Cho H là tập hợp ba số lẻ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên.
a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H.
b) CMR: H �K
H

M
;
M

K
c) Tập hợp M có số phần tử sao cho
.
+ Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử ? nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?
+ Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thoả mãn điều kiện trên.
Bài toán 10: Cho tập hợp M   30; 4; 2005; 2;9 . Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số:
a) Có một chữ số
b) có hai chữ số
c) Là số chẵn.
Bài toán 11: Cho A   x �N x M2; x M4; x  100
; B   x �N x M8; x  100
a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B.
b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?
Bài toán 12: Cho a � 18; 42;60 , b � 35;52 .

Hãy xác định tập hợp M   a  b
Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.
a) CMR: B �A
b) Viết tập hợp M sao cho B �M , M �A . Có bao nhiêu tập hợp M như vậy.
 xNΣ x 7.q 3; q N ; x 150 .
Bài toán 14: Cho A �
a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 15: Cho M   1;13; 21; 29;52 . Tìm x; y �M biết 30  x  y  40
CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG .

2


http://tailieuchonloc.net
**********
Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.
a) Viết tập hợp A.
b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 0  a  b  c.
a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên.
b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448. Tìm ba chữ số a, b, c nói trên.
Bài toán 3: Thay các chữ bởi các chữ số thích hợp để được kết quả đúng.
a) ab  bc  ca  abc
b) abc  ab  a  874
c) abcd  abc  ab  a  4321
d) **.**  *** (2 thừa số ở vế trái chẵn và tích là số
có ba chữ số như nhau)
Bài toán 4: Cho bốn chữ số a, b, c, d khác nhau và khác 0. Lập số lớn nhất và số nhỏ nhất có
bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên. Tổng của hai số này bằng 11330. Tính tổng: a  b  c  d
Bài toán 5: a) Có hay không một số tự nhiên có 4 chữ số sao cho nó cộng với số gồm 4 chữ số
ấy viết theo thứ tự khác được tổng bằng 999.
b) Tồn tại hay không một số tự nhiên có ba chữ số sao cho nó cộng với số gồm ba chữ số ấy
viết theo thứ tự khác được tổng bằng 999 ?.
Bài toán 6: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số của số
đó thì được số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu.
Bài toán 7: Tìm kết quả của các phép nhân
{
{
a) A  33....3.99...9
2005 c. s 2005 c . s

{ {
b) B  33...3.33...3
2005 c. s 2005c. s

Bài toán 8: Tổng của hai số có ba chữ số là 836. Chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5, của số
thứ hai là 3. Nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp hai
lần số kia. Tìm hai số đó.
Bài toán 9: Chia một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ số
như nhau ta được thương là 2, còn dư. Nếu xoá một chữ số ở số bị chia và xoá một chữ số ở số
chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhương số dư giảm hơn trước là 100. Tìm số bị chia
và số chia lúc đầu.
Bài toán 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  2005  1005 : (999  x) với x �N
Bài toán 11: Người ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,…. Hỏi chữ số thứ
659 là chữ số nào ?
Bài toán 12: Cho S  7  10  13  ......  100
a) Tính số số hạng của tổng trên.
b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng.
c) Tính tổng S
Bài toán 13: Tìm số có ba chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục
với chữ số hàng đơn vị. Chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và
dư 2. Tích của số phải tìm với 7 là một số có chữ số tận cùng là 1.
{ 123 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A= 11....122....2
n c.s1
n c.s2

Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A được viết bằng 100 chữ số 3, số B được viết bằng 100
chữ số 6. Hãy tính tích A.B
CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG.

**********
3


http://tailieuchonloc.net
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các tích sau
a) 312.352
b) 162.1252
c) 2002.722
d) 1212.316 2
Bài toán 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) a3 .a9
b) (a 5 )7
b) (a 6 )4 .a12
d) (23 )5 .(23 )3
Bài toán 3: Viết tích sau dưới dạng một luỹ thừa
a) 410.230
b) 925.274.813
c) 2550.1255
d) 643.48.164
Bài toán 4: Viết mỗi thương sau dưới dạng một luỹ thừa
197 :193
a) 38 : 36
; 75 : 7 2
;
; 210 : 83 ; 127 : 67 ; 275 : 813
b) 106 :10
; 58 : 252
; 49 : 642
; 225 : 32 4 ; 183 : 93 ; 1253 : 254
Bài toán 5: Tính giá trị của các biểu thức
a) 56 : 53  33.32
b) 4.52  2.32
Bài toán 6: Viết các tổng sau thành một bình phương.
a) 13  23
b) 13  23  33
c) 13  23  33  43
d) 13  23  33  43  53
Bài toán 7: Viết các số sau dươi dạng tổng các luỹ thừa của 10.
a) 213
b) 421
c) 1256
d) 2006 e) abc
g) abcde
Bài toán 8 : Tìm x �N biết
a) 3x.3  243
b) x 20  x
c) 2 x.162  1024
d) 64.4 x  168
Bài toán 9 : Viết các tích sau dưới dạng một luỹ thừa
a) 5 x.5 x.5 x
b) x1.x 2 .....x 2006
c) x.x 4 .x 7 .....x100
d) x 2 .x5 .x8 .....x 2003
Bài toán 10: Tìm x, y �N biết
2 x  80  3 y

Bài toán 11: Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý
a) (217  17 2 ).(915  315 ).(24  42 )
b) (71997  71995 ) : (71994.7)
c) (12  23  34  45 ).(13  23  33  43 ).(38  812 )
d) (28  83 ) : (25.23 )
Bài toán 12: Viết kết quả phép tính sau dưới dạng một luỹ thừa
a) 166 : 42
b) 278 : 9 4
c) 1255 : 253
d) 414.528
e) 12n : 22 n
g) 644.165 : 420
Bài toán 13: Tìm x �N biết
a) 2 x.4  128
b) x15  x
c) (2 x  1)3  125
d) ( x  5)4  ( x  5)6
e) x10  1x
g) 2 x  15  17
h) (7 x  11)3  25.52  200 i) 3x  25  26.22  2.30 k) 27.3x  243
l) 49.7 x  2041
m) 64.4 x  45
n) 3x  243 p) 34.3n  37
Bài toán 14: Tìm số dư khi chia A, B cho 2 biết
a) A  (4n  6n  8n  10n )  (3n  5n  7 n  9 n )
b) B  2003n  2004n  2005n ; n �N
Bài toán 15: Tìm n �N biết: a) 9  3n  81
b) 25 �5n �125
CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG (TIẾP THEO)

**********
Bài toán 16: Tính giá trị của các biểu thức
4


http://tailieuchonloc.net
310.11  310.5
39.24
723.542
d) D 
1084
212.14.125
g) G 
355.6

a) A 

210.13  210.65
28.104
46.34.95
e) E 
612
453.204.182
h) H 
1805

49.36  644
164.100
213  25
f) F  10 2
2 2
11.322.37  915
i) I 
(2.314 ) 2

b) B 

c) C 

Bài toán 17: Tìm n �N * biết
a) 32  2n  128
b) 2.16 �2n  4
d) (22 : 4).2n  4

1
9
k) 27.3n  243

c) 32.3n  35
1 n
.2  4.2n  9.25
2
l) 49.7 n  2401

e) .34.3n  37

g)

1
9

h) .27 n  3n

i) 64.4n  45
Bài toán 18: Tìm x biết
a) ( x  1)3  125
b) 2 x  2  2 x  96
3
c) (2 x  1)3  343
d) 720 :  41  (2 x  5)  2 .5
Bài toán 19: Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
a) A  20  21  22  ....  22006
b) B  1  3  32  ....  3100
c) C  4  42  43  ....  4n
d) D  1  5  52  ....  52000
Bài toán 20:
Cho A  1  2  22  23  ....  2200 . Hãy viết A+1 dưới dạng một luỹ thừa.

Bài toán 21:
Cho B  3  32  33  .....  32005 . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3.

Bài toán 22:
Cho C  4  22  23  ....  22005 . CMR: C là một luỹ thừa của 2.

Bài toán 23: Chứng minh rằng:
a) 55  54  53 M7
b) 76  75  74 M11
c) 109  108  107 M222
e) 106  57 M59
g) 3n  2  2n 2  3n  2n M10n �N *
h) 817  279  913 M45
i) 810  89  88 M55
k) 109  108  107 M555
Bài toán 24: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2  22 ; 2  22  23 ; 2  22  23  24
b) Chứng minh rằng: A  2  22  23  .....  22004 chia hết cho 3; 7 và 15.
Bài toán 25: a) Viết tổng sau thành một tích 34  35  36  37
b) Chứng minh rằng: B  1  3  32  ....  399 M40
Bài toán 26: Chứng minh rằng:
a) S1  5  52  53  ...  52004 M6;31;156
b) S2  2  22  23  ....  2100 M31
c) s3  165  215 M33
d) S4  53! 51!M29
CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG (TIẾP THEO)

**********
* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.
I. Tóm tắt lý thuyết.
1. Tìm chữ số tận cùng của một tích.

5


http://tailieuchonloc.net
+ Tích của các số lẻ là một số lẻ.
+ Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.
+ x0.a  y 0 (với a �N )
+ x5.a  y5 (với a �N ; a lẻ)
2. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
n
n
n
n
+ x0  y 0 ( n �N * ); + x1  y1 ( n �N ); + x5  y5 ( n �N * ); + x6  y 6 ( n �N * )
+ x4

2 k 1
4n

 y 4 ( k �N ); + x9

2 k 1

 y9 ( k �N ); + x 4

4n

2k

 y 6 ( k �N * ); + x9

4n

2k

 y1 ( k �N * )

4n

+ x 2  y 6 ( n �N * ); + x8  y 6 ( n �N * ); + x3  y1 ( n �N * ); + x7  y1 ( n �N * );
* Chú ý: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
- Một số chính phương có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 không có tận cùng là 2; 3; 7; 8

II. Bài tập áp dụng:
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
22003 ; 499 ;999 ;399 ;799 ;899 ; 7895 ; 748 ; 8732 ; 5833 ; 2335
Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 2007.2009.2011.....2017  2002.2004.2006.2008
Bài toán 3: CMR: các số sau có có chữ số tận cùng như nhau.
a) 11a và a ( a �N )
b) 7a và 2a (a là số chẵn)
Bài toán 4: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10
a) 481n  19991999
b) 162001  82000
c) 192005  112004
d) 8102  2102
e) 175  244  1321
g) 122004  21000
Bài toán 5: Tìm chữ số tận cùng của các số: 22003 và 32003 ; 195 ; 2345 ; 5796
Bài toán 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng 5  52  53  ......  596
73

35

2005

67

75

1 20042006 9294
.(7
 3 ) là một số tự nhiên.
10
Bài toán 8: Cho S  30  31  32  ...  330 . Tìm chữ số tận cùng của S. CMR: S không là số chính

Bài toán 7: Chứng minh rằng số A 

phương.
Bài toán 9: Có hay không số tự nhiên n sao cho n 2  n  2M5
Bài toán 10:
n
n
n
* Chú ý: + x01  y 01 ( n �N * )
+ x 25  y 25 ( n �N * )
+ x76  y 76 ( n �N * )
+ Các số 320 ;815 ;7 4 ;512 ;992 có tận cùng bằng 01
+ Các số: 220 ;65 ;184 ; 242 ;684 ;742 có tận cùng bằng 76
+ Số 26n (n  1) có tận cùng bằng 76.
áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau.
2100 ;71991;5151 ;9999 ;6666 ;14101.16101 ; 22003
Bài toán 11: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 71998  41998
Bài toán 12: Các tổng sau có là số chính phương không ?
a) 108  8
b) 100! 7
c) 10100  1050  1
99

CHUYÊN ĐỀ: LUỸ

THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG
(TIẾP THEO)
=====    =====

* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.

Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
6


http://tailieuchonloc.net
a) 20022005 ; 19921994 ; 332003.342003 ; 282006.811003 ; 1892.18924.18927.....1892100
b) 20032001 ; 19731.19732.19733.......1973100 ; 27 2003.92003 ; 812007.343669.92007
c) 1997 2005 ; 92006.232006 ; 1997 2.19975.19978.....1997 2003 ; 1111999.271999
d) 1981997 ; 19982002 ; 362003.632003 ; 1998.19987.199813......1998151
Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
a) 19992001 ; 992004 ; 7 2005.27 2005 ; 9992006 ; 99999 ; 199919
b) 20042005 ; 19942004 ; 8205.28205 ; 894895 ; 200420
; 1947
Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau
a) 20022001 ; 19922000
; 7281 ;
b) 20032004 ; 1932001 ; 8321
c) 1997 2000 ; 27101
; 2007 2001
d) 1998200 ; 24201 .42201 ; 1982001
Bài toán 4:
Cho A  20  21  22  ....  22005
Tìm chữ số tận cùng của A. Chứng tỏ rằng A không là số chính phương
Bài toán 5:
Cho B  5  52  53  ....  596
a) Chứng minh rằng BM96
b) Tìm chữ số tận cùng của B
Bài toán 6: Cho S  2  22  23  ....  2100
a) Chứng minh rằng S M3
b) Chứng minh rằng S M15
c) Tìm chữ số tận cùng của S
Bài toán 7:
Tìm chữ số tận cùng của các số sau
a) 23!
b) 37! 24!
c) 2.4.6....1998  1.3.5....1997
Bài toán 8:
Các tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?
a) 49!
b) 7.8.9....81
c) 100!
Bài toán 9: Chứng minh rằng
a) 20022004  10021000 M10
b) 19992001  2012005 M10
c) 99  99 M10
Bài toán 10:
Chứng minh rằng: a) 0,3.(20032003  19971997 ) là một số tự nhiên
2004

896

2004

2006

2000

51954

62006

2004

105110

205

112006

8283

2005

2005

52006

9999

20022003

205

20032005

99

b)

9

2006
1998
1
.(1997 2004  19931994 ) là một số tự nhiên
10

CHUYÊN ĐỀ: LUỸ

THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG
(TIẾP THEO)

CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA

=====    =====
7


http://tailieuchonloc.net
* Tóm tắt lý thuyết:
a) Nếu m  n thì a m  a n (a>1)
b) Nếu a  b thì a n  b n (n>0)
c) Nếu a < b thì a.c < b.c (c > 0)
* Bài tập áp dụng:
Bài toán 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
a) 1030 và 2100
b) 333444 và 444333
c) 1340 và 2161
d) 5300 và 3453
Bài toán 2: So sánh các số sau
a) 5217 và 11972
b) 2100 và 10249
c) 912 và 27 7
d) 12580 và 25118
e) 540 và 62010
f) 2711 và 818
Bài toán 3: So sánh các số sau
a) 536 và 1124
b) 6255 và 1257
c) 32 n và 23n (n �N * )
d) 523 và 6.522
Bài toán 4: So sánh các số sau
a) 7.213 và 216
b) 2115 và 275.498
c) 19920 và 200315
d) 339 và 1121
Bài toán 5: So sánh các số sau
a) 7245  7244 và 7244  7243
b) 2500 và 5200
c) 3111 và 1714
d) 324680 và 237020
e) 21050 và 5450
g) 52 n và 25 n ;(n �N )
Bài toán 6: So sánh các số sau
a) 3500 và 7300
b) 85 và 3.47
c) 9920 và 999910
d) 202303 và 303202
e) 321 và 231
g) 111979 và 371320
h) 1010 và 48.505
i) 199010  19909 và 199110
Bài toán 7: So sánh các số sau
a) 10750 và 7375
b) 291 và 535
c) 544 và 2112
Bài toán 8: Tìm x �N biết
a) 16 x  128

x x 1 x  2
18
{ :2
b) 5 .5 .5 �100...0
18c / s 0

Bài toán 9: Cho S  1  2  22  .....  22005 .
Hãy so sánh S với 5.22004
Bài toán 10: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0.
Hãy so sánh m với 10.98
Bài toán 11: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1; 2; 3 với điều kiện mỗi chữ số
được dùng một lần và chỉ dùng một lần

CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG

TẬP SỐ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG.

=====    =====
I. Tóm tắt lý thuyết:
1. Nhắc lại về quan hệ chia hết:

8


http://tailieuchonloc.net
Cho a; b  N ; b 0. Nếu có số tự nhiên k sao cho a  b.k ta nói a chia hết cho b
Kí hiệu: a Mb . đọc là: a chia hết cho b hoặc b chia hết a; hoặc a là bội của b hoặc b là ước của a.
2. Tính chất chia hết của một tổng:
a) Tính chất 1: a Mm ; bMm � a+bMm
+ Chú ý: 1) Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu a �b : a Mm ; bMm � a- bMm
a1 Mm; a2 Mm;....; an Mm � a1  a2  ...  an Mm
2) Tính chất 1 cũng đúng với một tổng nhiều số hạng:
b) Tính chất 2: Nếu a không chia hết cho m; b chia hết cho m thì a+b không chia hết cho m
+ Chú ý: - Tính chất 2 đúng với một hiệu a>b
- Tính chất 2 đúng với một tổng nhiều số hạng, trong đó chỉ có một số hạng không
chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết cho m.
3. Các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9.
a. Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những
số đó mới chia hết cho 2.
b. Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là 0 hặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó
mới chia hết cho 5.
c. Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số
đó mới chia hết cho 9.
d. Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số
đó mới chia hết cho 3.
e. Các dấu hiệu chia hết cho 4; 8; 25; 125
II. Bài tập áp dụng.
Bài toán 1: Chứng minh rằng: nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu a Mm � k .a Mm ( k �N )
Bài toán 3: Chứng minh rằng: a) ab  ba M
b) ab  ba M9 với a>b
11
Bài toán 4: Chứng minh rằng:
a) S  1  2  22  ....  239 là bội của 15
b) T  1257  259 là bội của 124
c) M  7  7 2  3 ...  7 2000 M
d) P  a  a 2  a 3  ....  a 2 n Ma  1; a, n �N
8
Bài toán 5: Cho a Mc và b Mc . Chứng minh rằng: ma  nb Mc; ma  nb Mc; m, n �N
Bài toán 6: CMR: tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp
không chia hết cho 5.
Bài toán 7: CMR: a) tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6,
b) tổng ba số lẻ liên tiếp không chia hết cho 6
Bài toán 8: Tìm n �N để
a) n  6Mn
b) 4.n  5Mn
c) 38  3n Mn
d) n  5Mn  1
e) 3n  4Mn  1
g) 2n  1M
16  3n
Bài toán 9: Cho a; b �N và a  b M7 . Chứng minh rằng: 4a  3b M7
n
{ M3 b) a, b, n �N thì B  (10  1).a  (11...1
{  n).b M9
Bài toán 10: CMR:a) n �N thì A  2.n  11...1
nc / s1

Bài toán 11: a) CMR: n �N thì 10n  2M3

nc / s1

{  9  nM9
b) 88...8

CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG

nc / s 8

TẬP SỐ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG.

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT

=====    =====
Phương pháp 1: để chứng minh AMb ( b �0 ). Ta biểu diễn A  b.k trong đó k �N
125
Bài toán 1: Cho n �N . Chứng minh rằng: (5n)100 M

9


http://tailieuchonloc.net
Bài toán 2: Cho A  2  22  .....  22004 . Chứng minh rằng:
a) AM6
b) AM7
c) AM30
2
1998
Bài toán 3: Cho S  3  3  ...  3 . Chứng minh rằng :
12
a) S M
b) sM39
2
100
Bài toán 4: Cho B  3  3  ...  3
120
Chứng minh rằng: BM
Bài toán 5: Chứng minh rằng
a) 3636  910 M45
b) 810  89  88 M55
c) 55  54  53 M7
d) 7 6  7 5 7 4 M
e) 2454.5424.210 M7263
g) 817  279  913 M45
11
h) 3n 3  3n 1  2n 3  2n  2 M6n �N
i) (210  211  212 ) : 7 là một số tự nhiên.

Phương pháp 2: Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng
Nếu a �bMm và a Mm � b Mm
Bài toán 6: Tìm n �N để:
a) 3n  2Mn  1
b) n 2  2n  7Mn  2
c) n 2  1Mn  1
d) n  8Mn  3
e) n  6Mn  1
g) 4n  5M2n  1
h) 12  n M8  n
i) 20Mn
k) 28Mn  1
13
l) 113  n M7
m) 113  n M
n

N
.
Bài toán 7: Tìm
để các phân số sau có giá trị là số tự nhiên
a)

n2
3

b)

7
n 1

c)

n 1
n 1

d)

2n  8 n

5
5

Phương pháp 3: Để chứng minh một biểu thức chứ chữ (Giả sử chứa n) chia hết
cho b ( b �0 )Ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho b
Bài toán 8: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
c) Chứng minh rằng: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24
d) Chứng minh rằng: Tích của 5 số tự nhiên liên liếp chia hết cho 120
(Chú ý: Các bài toán trên đây được sử dụng trong chứng minh chia hết, không cần CM lại)
Bài toán 9: Chứng minh rằng: a) (5n  7)(4n  6) M2n �N
b) (8n  1)(6n  5) không chia hết cho 2  �N
Bài toán 10: Chứng minh rằng: A  n(n  1)(2n  1)M6n �N
Bài toán 11: a) Cho n �N . Chứng minh rằng: n 2 M3 hoặc n 2 chia 3 dư 1
b) CMR: Không tồn tại n �N để n 2  1  300...0
Bài toán 12: Chứng minh rằng: m, n �N ta luôn có m.n(m 2  n 2 ) M3
Bài toán 13: Chứng minh rằng: (n  20052006 )(n  20062005 )M2n �N
2
1 4 44 2 4 4 43
Bài toán 14: CMR không tồn tại n �N để n  1  20042004.....2004
15 so 2004

CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG

TẬP SỐ TỰ NHIÊN .

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT (TIẾP)



=====    =====
Phương pháp 4: Để chứng minh AMb . Ta biểu diễn b dưới dạng b  m.n . Khi đó
+ Nếu (m, n)=1 thì tìm cách chứng minh AMm và AMn � AMm.n hay AMb
10


http://tailieuchonloc.net
+ Nếu (m; n) �1 ta biểu diễn A  a1.a2 rồi tìm cách chứng minh a1 Mm; a2 Mn thì tích
a1.a2 Mm.n tức AMb
Bài toán 1: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
c) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.
d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120
Bài toán 2 : Chứng minh rằng: nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a 2  1M6
Bài toán 3: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8
b) Chứng minh rằng: Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48
c) Chứng minh rằng: Tích của bốn số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 384
Bài toán 4: : Chứng minh rằng: B  10n  18n  1M27
Bài toán 5: Chứng minh rằng:
a) 10n  36n  1M27n  N ; n 2
{ M27
b) số 11...1
27 c / s1

 Phương pháp 5: Dùng dấu hiệu chia hết
Bài toán 6:
Bài toán 7:

Chứng minh rằng:

1020006  8M72

{
Chứng minh rằng: a) Số 55...5
không chia hết cho 125 ( n �N * )
nc / s 5

b) 10n  23 M9
c) 3737  2323 M
10
Bài toán 8:
Chứng minh rằng:

a) 1033  8M2;9
c) 1050  5M3;5

b) 1010  14M3; 2
d) 1025  26M2;9

Bài toán 9:
Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ số biết rằng một số chia hết cho 125, số kia chia
hết cho 8.
Bài toán 10: Chứng minh rằng n �N thì
a) 24 n1  3M5
b) 24 n 2  1M5
c) 92 n1  1M
10
4n
4 n1
d) 7  1M5
e) 3  2M5
10
Bài toán 11 : Chứng minh rằng (2  1)10 M25
Bài toán 12: Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó.
a) Chứng minh rằng: b Ma
b) Giả sử b=k.a. Chứng minh rằng k là ước của 10.
c) Tìm các số ab nói trên
CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG

TẬP SỐ TỰ NHIÊN .

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT (TIẾP)

 Phương pháp 6: để chứng minh

AMb ta biểu diễn A  A1  A2  ....  An và chứng

minh các Ai (i  1, n)Mb
Bài toán 1: CMR:

{ M3
a) n �N thì A  2.n  11...1
nc / s1

11


http://tailieuchonloc.net
n
{  n).bM9
b) a, b, n �N thì B  (10  1).a  (11...1
nc / s1

{  9  nM9
c) 88...8
nc / s 8

Bài toán 2:
Hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh rằng aM9
Bài toán 3:
Tìm các chữ số x, y để 1994 xyM72
* Các bài toán tổng hợp:
Bài toán4:
Chứng minh rằng: 88  220 M
17
13 � 10m  n M
13 m, n �N
Bài toán 5: Chứng minh rằng: m  4n M
Bài toán 6:
Có hay không hai số tự nhiên x, y sao cho ( x  y )( x  y )  2002
Bài toán7: Tìm n �N để
13
a) 4n  5M
b) 5n  1M7
c) 25n  3M53
d) 18n  3M7
Bài toán 8 :
Chứng minh rằng nếu ab  cd M
11 thì abcd M
11
11
Bài toán 9 : Cho hai số tự nhiên abc và deg đều chia 11 dư 5. Chứng minh rằng số abc deg M
Bài toán 10 :
13 . Chứng minh rằng: abc deg M
13
Cho abc  deg M
Bài toán 11:
Cho biết số abcM7. Chứng minh rằng: 2a  3b  c M7
Bài toán 12 : Cho số abcM4 trong đó a, b là các chữ số chẵn. Chứng minh rằng:
a) cM4
b) bacM4
Bài toán 13:
Tìm các chữ số a, b sao cho a  b  4;7 a5b1M3
Bài toán 14:
17( a, b �N ) . Chứng minh rằng: 10a  b M
17
Cho 3a  2b M
Bài toán 15:
17(a, b �N ) . Chứng minh rằng: 10a  b M
17
Cho a  5b M
n
Bài toán 16: Chứng minh rằng: 9.10  18M27 n �N
Bài toán 17: Chứng minh rằng: nếu abcd M99 thì ab  cd M99 và ngược lại
CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG

TẬP SỐ TỰ NHIÊN .

ÔN TẬP TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT (TIẾP)

Bài toán 1: Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a chia hết cho b và b chia hết cho a.
Bài toán 2: Tìm số tự nhiên n sao cho các phân số sau có giá trị là số tự nhiên
3n  5
n 1
2n  13
d)
n 1

a)

n  13
n 1
3n  5
e)
n2

b)

3n  15
n 1
6n  5
g)
2n  1

c)

12


http://tailieuchonloc.net
Bài toán 3:
Biết a  bM7. Chứng minh rằng: abaM7
Bài toán 4:
Biết a  b  c M7. Chứng minh rằng: nếu abcM7 thì b=c
Bài toán 5: Tìm số tự nhiên ab sao cho 567a9bM45
Bài toán 6: Tìm các cặp số tự nhiên (a,b) sao cho
a)

1 1 b
 
a 6 3

b)

a 1 3
 
4 b 4

Bài toán 7: Cho số N  dcba . Chứng minh rằng:
a) N M4 � a  2bM4
b) N M8 � a  2b  4c M8
c) N M16 � a  2b  4c  8d M16 với b chẵn
Bài toán 8: Chứng minh rằng:
a) 2 x  3 y M17 � 9 x  5 y M17
b) a  4bM13 � 10a  b M13
c) 3 a  2bM17 � 10a  bM17
Bài toán 9: Chứng minh rằng:
a) 10n  72n  1M81n �N
{ M81
b) 11...1
81c / s1
Bài toán 10: Tìm các số tự nhiên n sao cho
a) n  11Mn  1
b) 7nMn  3
2
c) n  2n  6Mn  4
d) n 2  n  1Mn  1
Bài toán 11: Chứng minh rằng một số có hai chữ số chia hết cho 7 khi và chỉ khi tổng
của chữ số hàng chục và 5 lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho 7.
Bài toán 12: Với a, b là các chữ số khác 0. Chứng minh rằng:
a) abbaM11
b) aaabbbM37
c) abababM7
d) abab  baba M9 và 101 với a>b
Bài toán 13:
Cho số tự nhiên A, Người ta đổi chỗ các chữ số của số A để được số B gấp ba lần
số A. Chứng minh rằng B chia hết cho 27.
CHUYÊN ĐỀ: SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ .

=====    =====
Bài toán 1:
Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 2005.
Bài toán 2:
Tìm các số nguyên tố p để 4 p  11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
Bài toán 3:
Cho A  5  52  ....  5100
a) Số A là số nguyên tố hay hợp số.
b) Số A có là số chính phương không ?
13


http://tailieuchonloc.net
Bài toán 4: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số ?
a) A  1.3.5.7...13  20
b) B  147.247.347  13
Bài toán 5:
{
{
Cho n �N * . Chứng minh rằng số A  11...1211...1
là hợp số.
nc / s1
nc / s1
Bài toán 6:
a) Cho n là một số không chia hết cho 3. Chứng minh rằng: n 2 chia 3 dư 1.
b) Cho p là số nguyên tổ lớn hơn 3. Hỏi p 2  2003 là số nguyên tố hay hợp số ?
Bài toán 7:
Cho n �N ; n  2 và n không chia hết cho 3. Chứng minh rằng: n 2  1 và n 2  1
không thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài toán 8:
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.
a) Chứng tỏ rằng: p có dạng 6k  1 hoặc 6k  5 với k �N *
b) Biết 8 p  1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng: 4 p  1 là hợp số.
Bài toán 9:
Cho p và p  8 đều là số nguyên tố (p>3). Hỏi p+100 là số nguyên tố hay hợp
số ?
Bài toán 10: Cho n  29k với k �N . Với giá trị nào của k thì n:
a) Là số nguyên tố
b) Là hợp số
c) Không là số nguyên tố cũng không là hợp số.
Bài toán 11:
Chứng minh rằng: nếu 8p-1 và p là số nguyên tố thì 8p+1 là hợp số.
Bài toán 12:
Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho 7 p  q và pq  11 đều là số nguyên tố.
Bài toán 13:
Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.
Bài toán 14:
Tìm số nguyên tố p sao cho a) 3 p  5 là số nguyên tố.
b) p+8 và p+10 đều là số nguyên tố.
CHUYÊN ĐỀ: SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ . (TIẾP THEO)
=====    =====
Bài toán 15: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số
a) A  13.15.17  91 .
b) B  2.3.5.7.11  13.17.19.21 .
c) C  12.3  3.41  240
d) D  45  36  72  81
e) E  91.13  29.13  12.13
g) G  4.19  5.4
2
3
h) H  3  3.17  34.3
i) I  7  7 2  73  7 4  75
Bài toán 16: Cho n  2.3.4.5.6.7 . CMR: 6 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số: n+2;
n+3; n+4; n+5; n+6; n+7
14


http://tailieuchonloc.net
Bài toán 17:
Tìm số nguyên tố p sao cho p  6; p  8; p  12; p  14 đều là số nguyên tố
Bài toán 18:
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: ( p  1)( p  1) chia hết cho 24.
Bài toán 19:
Cho p và 2p+1 là hai số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng: 4p+1 là hợp số.
Bài toán 20:
Cho p và 10p+1 là hai số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng: 5p+1 là hợp số.
Bài toán 21:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p >3, ba số p, p+2, p+4 không thể đồng
thời là những số nguyên tố.
Bài toán 22:
Hai số 2n  1 và 2n  1 với n >2 có thể đồng thời là số nguyên tố hay đồng thời là
hợp số được không ?
Bài toán 23:
Tìm số nguyên tố p để có
a) p+10 và p+14 đều là số nguyên tố.
b) p+2; p+6 và p+8 đều là số nguyên tố.
c) p+6;p+12; p+24; p+38 đều là số nguyên tố.
d) p+2; p+4 cũng là số nguyên tố.
Bài toán 24:
Tìm các số nguyên tố a, b, c sao cho 2a  3b  6c  78
Bài toán 25:
CMR: 2001.2002.2003.2004 +1 là hợp số.
Bài toán 26:
Tìm số nguyên tố p sao cho p 2  44 là số nguyên tố.
Bài toán 27:
CMR: Hai số 1994100  1 và 1994100  1 không thể đồng thời là số nguyên tố
Bài toán 28:
Tìm số nguyên tố p sao cho p  94 và p+1994 cũng là số nguyên tố
Bài toán 29: Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2 p  p 2 cũng là số nguyên tố.
ÔN TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ SỐ TỰ NHIÊN
=====    =====
18.123  9.4567.2  3.5310.6
Bài toán 1: Tính
1  4  7  10  .....  55  58  490
2181.729  243.81.27
c) C  2 2
3 .9 .243  18.54.162.9  723.729

a) A 

5.415.99  4.320.89
5.29.619  7.229.276
210.615  314.15.413
d) D  18 7 3 15 25
2 .18 .3  3 .2

b) B 

Bài toán 2: a) Hãy viết liên tiếp hai mươi chữ số 5 và đặt một số dấu cộng vào giữa các chữ số
để được tổng bằng 1000.
b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 và đặt một số dấu cộng vào giữa các chữ số để được tổng
bằng 1000.

15


http://tailieuchonloc.net
Bài toán 3:
Cho bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình 1. Người ta viết vào các ô
của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10 (mỗi số chỉ viết 1 lần). Biết
4
rằng tổng của các số ở các hàng, các cột và hai đường chéo bằng
10
2
nhau. Hãy lập bảng đó
8
Bài toán 4: Trong hộp có 2000 viên bi. Hai người tham gia một trò
Hình 1
chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất 11 viên bi và nhiều nhất là
20 viên bi ra khỏi hộp. Người nào bốc 11 viên bi cuối cùng thì thua
cuộc.
Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên thắng cuộc.
Bài toán 5: CMR: số tự nhiên viết bởi 100 chữ số 1 tiếp theo là 100 chữ số 2 là tích của hai số
tự nhiên liên tiếp.
Bài toán 6: Tìm số tự nhiên abc biết (a  b  c)3  abc trong đó a, b, clà ba chữ số khác nhau.
Bài toán 7: Cho ba số tự nhiên a, b, c trong đó a và b là các số khi chia cho 5 dư 3, còn c khi
chia cho 5 dư 2.
a) Tìm số dư của a+b+c; a+b-c; a+c-b khi chia cho 5.
b) Hai số nào trong ba số trên có tổng chia hết cho 5, hiệu chia hết cho 5 ? Vì sao ?
Bài toán 8: Phải thay x bởi chữ số nào để
a) 113  x M7
b) 113+x chia 7 dư 5
c) 20 x20 x20 xM7
d) 12  2 x3M3
e) 5 x793 x 4M3
Bài toán 9: Ba lớp 6A, 6B, 6C chia nhau một số bút máy, đựng trong 6 hộp. Hộp thứ nhất đựng
31 chiếc, hộp thứ hai đựng 20 chiếc, hộp thứ ba đựng 19 chiếc, hộp thứ tư đựng 18 chiếc, hộp
thứ năm đựng 16 chiếc và hộp thứ sáu đựng 15 chiếc.Hai lớp 6A và 6B đã nhận 5 hộp và số bút
máy mà lớp 6A nhận gấp 2 lần số bút máy của lớp 6B. Hỏi lớp 6C nhận được bao nhiêu bút
máy ?
102006  8
là số tự nhiên.
3
Bài toán 11: Tìm tất cả các số dạng 6a1bc biết rằng số đó chia hết cho 3; 4 và 5.
Bài toán 12: Tìm các chữ số x, y để: a) 56 x3 yM36
b) 71x1 yM45
Bài toán 13: Giả sử p1 ; p2 là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp ( p1  p2 ). Chứng minh rằng số
p1  p2
là một hợp số.
2

Bài toán 10: Chứng minh rằng số A 

ÔN TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ SỐ TỰ NHIÊN (TIẾP)
=====    =====
Bài toán 1: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 303. Tìm số lớn nhất trong ba số
đó.
Bài toán 2: Tổng của bốn số lẻ liên tiếp là 216. Tìm bốn số đó.
Bài toán 3: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng:
a) Tổng của chúng bằng 266 và giữa chúng chỉ có ba số lẻ
b) Tổng của chúng bằng 310 và giữa chúng chỉ có 2 số chẵn.
Bài toán 4: Tổng của hai số a và b với hiệu của chúng bằng 58. Tính a và b.
16


http://tailieuchonloc.net
Bài toán 5: Hiệu của hai số là 57. Nếu bỏ chữ số 3 ở hàng đơn vị của số bị trừ thì được
số trừ. Hãy tìm số bị trừ và số trừ.
Bài toán 6: Bình nghĩ về một số. Lấy số đó cộng thêm 5 rồi chia tổng đó cho 3, nhân
với 4, trừ đi 6, chia cho 7 được 2. Hỏi Bình nghĩ về số nào ?
Bài toán 7: Cho tích a.b.c
Nếu thêm b vào a thì tích tăng thêm là A. Nếu thêm c vào b thì tích tăng thêm là B. Nếu
tăng a vào c thì tích tăng thêm là C. Chứng minh rằng: a 3 .b3 .c3  A.B.C
Bài toán 8: Rút gọn

125100.2160
a) A  289 80
5 .4

98.58
b) B  8 3 4
3 .27 .5

Bài toán 9: a) Tìm những số tự nhiên chẵn x<200 để khi chia cho một số tự nhiên n thì
được thương là 4 và dư 30
b) Trong một phép chia cho 45 ta được thương bằng số dư. Tính số bị chia.
Bài toán 10: Trong một phép chia, thương là 16, số bị chia lớn hơn số chia là 210. Tìm
số chia.
Bài toán 11: Trong phép chia số tự nhiên a cho 45 ta được thương là q và số dư là q 2 .
Tính a
Bài toán 12: Tìm những số tự nhiên a �200 , biết rằng trong phép chia a cho b được
thương là 4 và số dư là 35.
Bài toán 13: Tìm hai số có tổng gấp ba lần hiệu và bằng nửa tích của chúng.
Bài toán 14: Tổng các chữ số của một số có hai chữ số là 13 và hiệu giữa số đó với số
có hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại bằng một số có chữ số hàng đơn vị là 7. Tìm số
đó.
Bài toán 15: Tìm chữ số tận cùng của số 19m  5n  1890 p trong đó m, n, p �N
Bài toán 16: Cho x, y, z là các số tự nhiên khác 0 thoả mãn x 2  y 2  z 2  192
Tìm chữ số tận cùng của số 19 x  5 y  20032 z .
Bài toán 17: Chứng tỏ rằng: tổng một số chẵn các số hạng của các số tự nhiên khác 0
đầu tiên thì chia hết cho số tự nhiên đứng liền sau số hạng lớn nhất của tổng
Bài toán 18: Thay x, y bởi các chữ số thích hợp để 123x 4 yM9
Bài toán 19: Chứng minh rằng:
n(2n  1)(7 n  1) M6 n �N

Bài toán 20: Số n  n  1 chẵn hay lẻ ? Tìm số dư của phép chia số đó cho2, cho 5.
2

NGUYÊN LÝ ĐIRICHLE - ÁP DỤNG
=====    =====
I. Tóm tắt lý thuyết:
- Nguyên lý Đirichlê còn gọi là nguyên lý “ thỏ và lồng ”
 Dạng phát biểu đơn giản: “ Nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cái lồng thì có ít nhất 1 lồng nhốt
nhiều hơn 2 con thỏ ”
 Tổng quát: “Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a  bq  r trong đó 0  r  b thì có ít nhất
một một lồng nhốt từ q+1 con thỏ trở lên ”

17


http://tailieuchonloc.net
 Chú ý: - Các bài toán áp dụng nguyên lý Đirichlê để giải thường là các bài toán chứng
minh sự tồn tại một sự vật hay sự việc nào đó mà không cần phải chỉ ra một cách cụ thể sự vật
hay sự việc đó.
- Ta cần suy nghĩ để làm xuất hiện khái niệm “ Thỏ ” và “ Lồng ”, khái niệm “nhốt
thỏ vào lồng “ nhưng khi trình bày lời giải cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ toán học thông
thường.
II. Bài tập áp dụng:
Bài toán 1:
Chứng minh rằng: trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất 2 số có chữ số tận
cùng giống nhau.
Bài toán 2:
Chứng minh rằng: trong 5 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có thể chọn ra hai số mà hiệu
của chúng chia hết cho 4.
Bài toán 3:
Chứng minh rằng: trong 101 số tự nhiên bất kỳ có thể tìm được hai số có hai chữ số tận
cùng giống nhau.
Bài toán 4:
Chứng minh rằng: trong n+1 số tự nhiên bất kỳ có thể tìm được hai số có hiệu của chúng
chia hết cho n.
Bài toán 5:
Một lớp học có 50 học sinh làm bài kiểm tra toán. Điểm bài kiểm tra là một số tự nhiên.
Biết rằng không có học sinh nào bị điểm dưới 5 và có 2 điểm 10. Chứng minh rằng: có ít nhất
10 học sinh có cùng một loại điểm.
Bài toán 6: Một tổ 10 học sinh thảo luận về thi đua, có 1 học sinh phát biểu 5 lần, các học sinh
khác đều phát biểu nhưng có số lần phát biểu ít hơn. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 3 học
sinh có số lần phát biểu như nhau.
Bài toán 7:Có 62 quyển vở chia cho 12 học sinh. Chứng minh rằng:
a) ít nhất cũng có 1 học sinh được từ 6 quyển vở trở lên
b) Với mọi cách chia bao giờ cũng có ít nhất là hai học sinh được một số vở như nhau.
Bài toán 8:Có 12 mảnh giấy, trên mỗi mảnh ghi một trong các số 1, 2, 3. Chia đều 12 mảnh
giấy đó cho 6 người. Mỗi người tình tổng các số ghi trên hai mảnh giấy. Chứng minh rằng ít
nhất cũng có 2 người có cùng một tổng.
Bài toán 9:
Một lớp học có 40 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh có cùng tháng sinh.
Bài toán 10:
Chứng minh rằng: tồn tại một bội của 1989 được viết bởi toàn các chữ số 1 và 0.
NGUYÊN LÝ ĐIRICHLE - ÁP DỤNG (TIẾP THEO).
=====    =====
Bài toán 11:
Một trường có 1000 học sinh gồm 23 lớp. Chứng minh rằng phải có ít nhất một
lớp có từ 44 học sinh trở lên.
Bài toán 12:
Một lớp học có 50 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 5 học sinh có tháng sinh
giống nhau.

18


http://tailieuchonloc.net
Bài toán 13:
Một lớp học có 50 học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là
thiếu 3 bài tập. Chứng minh rằng tồn tại 17 học sinh thiếu bài tập như nhau (Trường hợp
không thiếu bài tập coi như thiếu 0 bài)
Bài tập 14:
Bốn lớp 6A, 6B, 6C, 6D có tất cả 44 học sinh giỏi, trong đó số học sinh giỏi của
lớp 6D không quá 10 người. Chứng minh rằng ít nhất một tong ba lớp 6A, 6B, 6C có số
học sinh giỏi từ 12 trở lên.
Bài toán 15:
Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh
được điểm 10. Chứng minh rằng: ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra
bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên )
Bài toán 16:
Cho 12 số tự nhiên khác nhau có hai chữ số. Chứng minh rằng tồn tại hai số có
hiệu là một số có hai chữ số như nhau.
Bài toán 17:
Chứng minh rằng: tồn tại một bội số của 17
a) Được viết bởi toàn các chữ số 1 và 0.
b) Được viết bởi toàn chữ số 1.
Bài toán 18:
Chứng minh rằng: tồn tại một bội số của 23 được viết được viết bởi toàn chữ số 4.
Bài toán 19:
Chứng minh rằng : tồn tại một bội số của 17 có tận cùng là 219.
Bài toán 20:
Chứng minh rằng: a) Tồn tại một bội số của 2003 có tận cùng là 2006.
b) Tồn tại một bội số của 2003 được viết bởi toàn chữ số 3.
Bài toán 21:
Chứng minh rằng: a) Tồn tại một bội số của 89 được viết bởi toàn chữ số 5.
b) Tồn tại một bội số của 89 có tận cùng là 1234.
Bài toán 22:
a) Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 3k có tận cùng là 001.
b) Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 7 k có tận cùng là 0001.
CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG - ÁP DỤNG.

=====    =====
* CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ LƯỢNG CÁC ƯỚC CỦA MỘT SỐ.

Bài toán 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 6 ước.
Bài toán 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 10 ước số
Bài toán 3: a) Ta gọi n là số hoàn chỉnh nếu tổng các ước số của n bằng 2n. Tìm số hoàn
chỉnh trong các số sau: 6; 28; 32; 496
b) Tìm số hoàn chỉnh n biết n=p.q trong đó p, q là các số nguyên tố.
19


http://tailieuchonloc.net
Bài toán 4: Tìm số tự nhiên A biết A chia hết cho 5, A chia hết cho 49 và A có 10 ước
số.
Bài toán 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 15 ước, có 9 ước.
Bài toán 6: Cho số tự nhiên B  p1x . p2 y trong đó p1; p2 nguyên tố; x, y �N * .
Biết B2 có 15 ước. Hỏi B3 có bao nhiêu ước?
Bài toán 7: Biết rằng số tự nhiên n có đúng 1995 ước số trong đó có 1 ước nguyên tố
chẵn. a) Chứng minh rằng: n là số chính phương.
b) Chứng minh rằng n chia hết cho 4.
c) n có nhiều nhất mấy ước nguyên tố.
Bài toán 8: Một số tự nhiên n là tổng bình phương của ba số tự nhiên liên tiếp. Chứng
minh rằng: n không thể có 17 ước số.
Bài toán 9: Cho a là một hợp số. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố a chỉ chứa 2 thừa số
nguyên tố khác nhau là p1; p2 . Biết a 3 có tất cả 40 ước số. Hỏi a 2 có bao nhiêu ước ?
* CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài toán 10: Tìm số chính phương có bốn chữ số được viết bởi các chữ số 3,6,8,8
Bài toán 11: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 12 ta được số A  123...1112
Số A có thể có 81 ước số không ? Tại sao ?
Bài toán 12: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nhân nó với 135 ta được một số
chính phương.
Bài toán 13: Tìm số chính phương có bốn chữ số được viết bởi các chữ số 0,2,3,5
Bài toán 14: Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai
chữ số cuối giông nhau.
Bài toán 15: Viết số tự nhiên từ 1 đến 101 thành một dãy số làm thành só A.
a) A có là hợp số không ?
b) A có là số chính phương không ?
c) A có thể có 35 ước không ?
Bài toán 16: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng: 2n+1 và 3n+1 đều là số chính
phương.
Bài toán 17: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, một số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2.
Chứng minh rằng: A-B là một số chính phương.
Bài toán 18: Tìm số tự nhiên n (n>0) sao cho tổng
1! 2! 3! ....  n ! là một số chính phương.

ÔN TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT - SỐ NGUYÊN TỐ .
=====    =====
Bài toán 1: Cho n �N chứng minh rằng: a) (n  10)(n  15) M2
b) n(n  1)(2n  1)M6
Bài toán 2: Một học sinh viết các số tự nhiên từ 1 đến abc phải viết tất cả m chữ số.
Biết rằng mM108 . Tìm abc
Bài toán 3:
Cho tổng 1  2  3  4  ...  8  9
20


http://tailieuchonloc.net
xoá hai số bất kỳ thay bằng hiệu của chúng và cứ làm như vậy nhiều lần. Có cách nào
làm cho kết quả cuối cùng bằng 0 được không ?
Bài toán 4:
Chứng minh rằng: không tồn tại các số tự nhiên a, b, c sao cho
abc  a  333; abc  b  335; abc  c  341

Bài toán 5:Chứng minh rằng: nếu ab  2.cd thì abcd M67
Bài toán 6:Chứng minh rằng: nếu ab  cd  eg M11 thì abc deg M11
Bài toán 7: Chứng minh rằng: a) abcabcM7;11;13
b) abc deg M23; 29 nếu abc  2.deg
Bài toán 8:
Chứng minh rằng nếu viết thêm đằng sau một số có hai chữ số số gồm hai chữ số
ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
Bài toán 9:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó.
Bài toán 10:
Chứng minh rằng số tự nhiên viết bởi 27 số 10 liên tiếp thì chia hết cho 27.
Bài toán 11:
Tìm số nguyên tố p sao cho a) p  2; p  10 là số nguyên tố.
b) p  10; p  20 là số nguyên tố.
Bài toán 12:
a) Cho p và p+4 là các số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng p+8 là hợp số.
b) Cho p là số nguyên tố, 8p-1 là số nguyên tố. CMR: 8p+1 là hợp số
c) Cho p là số nguyên tố, 20p+1 cũng là số nguyên tố. CMR: 10p+1 là hợp số.
Bài toán 13:
Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị.
Chứng minh rằng d M6
Bài toán 14:
Cho a, b �N ; n �N * . Biết a n M7.
Chứng minh rằng: a 2  98b M49
Bài toán 15: Cho a, b �N ; n �N * . Biết a n M5
Chứng minh rằng: a 2  225b M25

21



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×