Tải bản đầy đủ

TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ 5 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

Chuyên đề 1
TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng 

A
 trong đó A, B là những đa 
B

thức và B là đa thức khác 0. 
2. Hai phân thức 

A
C
 và   gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C. 
B
D

3. Tính chất cơ bản của phân thức : 
                   


A
A.M
  (M là một đa thức khác đa thức 0). 
 = 
B
B.M

                   

A
A:N
  (N là một nhân tử chung). 
 = 
B
B:N

4. Quy tắc đổi dấu : 

A
-A
 =  .  
B
-B

5. Quy tắc rút gọn phân thức : 
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ; 
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. 
6. Quy tắc quy đồng mẫu thức : 
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung ; 


- Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức ; 
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Hai phân thức sau có bằng nhau không ? Vì sao ? 
                          

a+3
a+6


 và 

a-4
a-8

Giải. Ta có   a + 3 a - 8 = a 2  - 5a - 24 ;  a - 4  a + 6  = a 2  + 2 a - 24.  
Vì  a 2  - 5a - 24    a 2  + 2a - 24 nên hai phân thức đã cho không bằng nhau. 
Ví dụ 2. Cho ad = bc trong đó b    0, 3b    d Chứng minh rằng : 
Giải: Ta có  (3a - c)b = 3ab - bc = 3ab - ad.   (1) 
                      (3b - d)a = 3ab - ad.                  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra (3a - c)b = (3b - d)a. 
Do đó 

3a-c
a
 =  .  
3b-d
b

Ví dụ 3. Cho 

(a+b) 2
a 2 +b2

a > b > 0. Chứng minh rằng  2 2  = 
a -b
(a-b) 2

Giải. Vì a > b > 0 nên a + b>0; a – b > 0. 
Vận dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có   

3a-c
a
 =  .  
3b-d
b


 a + b 

2

a 2  - b 2

2

 a + b   a + b   a + b  a - b   a 2  -  b2  a 2  +  b2 .  

 a + b  a -b  a - b  a - b  a - b   a - b 2  a - b 2

 vì 0 < a

2

 - b 2  < a 2  + b 2  .  

x 4 -x 3 -x+1
Ví dụ 4. Cho phân thức  P =  4 3
 
x +x +3x 2 +2x+2

Rút gọn rồi chứng tỏ rằng phân thức p luôn có giá trị không âm với mọi giá trị của 
x. 
P = 



(x - l) - (x 3  - l)
x 3 (x - l) - (x - l)

 
x 2 (x 2 +x+l) + 2(x 2 +x+1) (x 2 +x+l) + 2(x 2 +2)

(x - l) 2 (x 2 +x+l)
(x - l) 2

 0, với mọi x. 
(x 2 +x+l) + 2(x 2 +2) (x - l) 2

Ví dụ 5. Cho phân thức  Q = 

x7  x2  1
.   
x8  x  1

Chứng minh rằng phân thức Q là phân thức chưa tối giản.  
Giải


* Ta có x 7 + x 2 + 1 = x 7 - x + x 2 + x + 1 = x  x 6 - 1 +  x 2 + x + 1
= x  x 3 + l  x 3 - 1 +  x 2 + x + 1
=  x 4 + x   x - l   x 2 + x + 1 +  x 2 + x + 1
=  x 2 + x + l  x 5 - x 4 + x 2 - x + 1 .
* Ta có Q = x 8 + x + 1 = x 8 - x 2 + x 2 + x + 1 = x 2  x 6 - 1 +  x 2 + x + 1
= x 2  x 3 + l  x 3 - 1 +  x 2 + x + 1
=  x 5 + x 2   x - l   x 2 + x + 1 +  x 2 + x + 1
=  x 2 + x + l  x 6 - x 5 + x 3 - x 2 + 1 .

Tử và mẫu có nhân tử chung là đa thức x 2 + x + 1 khác đa thức ±1 do đó phân
thức Q chưa tối giản.
Ví dụ 6. Cho a > b > 0 và a 2 + 3b 2 = 4ab. Tính giá trị của phân thức A =

a+11b
.
2a+b

Giải. Từ điều kiện a 2 + 3b 2 = 4ab suy ra a 2 + 3b 2 - 4ab = 0 hay (a - b)(a - 3b) = 0

Thay a = 3b vào phân thức A ta được
A=

a+11b
3b+11b 14b
=
=
= 2.
2a+b
6b+b
7b

C. BÀI TẬP
• Hai phân thức bằng nhau. Tính chất cơ bàn
1. Tìm đa thức M trong các trường hợp sau :


x 3 +27
x+3
a) 2
=
;
x -3x+9
M

c)

M
x 2 -8x+16
b)
=
;
x+4
16-x 2

x-2y
3x 2 -7xy+2y 2
=
.
M
3x 2 +5xy-2y 2

2. Hai phân thức sau có bằng nhau không ? Vì sao ?
3. Cho ad = bc trong đó cd  0 và c 2  2d 2 . Chứng minh rằng

a 2 -2b 2
ab
=
.
2
2
c -2d
cd

4. Viết các đa thức sau dưới dạng một phân thức đại số với tử và mẫu là những đa
thức có hai hạng tử :
a) A = x 35 + x 34 + x 33 + ... + x + 1 ;
b) B =  x - l   x 2 + l  x 4 + 1 ...  x 64 + 1 .

• Rút gọn phân thức
5. Chứng minh các đẳng thức :
a)

2x-6
;
x 2 -x-6

b)

6x 2 -x-2
.
4x 2 -1

6. Chứng minh các đẳng thức :
x 3 -x 2 +3x-3
x-1
a) 3
=
;
2
x +2x +3x+6
x+2

7. Cho phân thức B =

xy 2 +y 2 (y 2 -x)+2
x 2 y 4 +y 4 +2x 2 +2

a) Chứng minh rằng B > 0 với mọi x, y ;

x 3 -25x
x-5
b) 4
= 2
.
x +125x
x -5x+25


b) Tìm các giá trị của biến để B đạt giá trị lớn nhất.
8. Tính giá trị của phân thức :
a) A =

x 2 -25y 2
với x  -5y và x – 5y = 99;
3x+15y

b) B =

1
3x-9y
x+3y = .
2
2 với x   3y và
2x -18y
4

9. Rút gọn các phân thức :
a 2n -b 2n
a)
;
(a-b)(a n +b n )

x 3n -y3n
b) n n ;
x -y

x 4m -y 4n
c) 3m 2m n m 2n 3n .
x +x y +x y +y

10. Chứng minh rằng với n  N thì các phân số sau đều tối giản:
a)

4n+1
;
5n+1

b)

12n+1
.
30n+1



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×