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Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 19-1-0077-0114

ww

w.
bio
lo

gie

ze

ntr
um

.at

77

ive
rs

ity

l

ibr
a

ry.
o

rg/
;

DIRECTE BESTIMMUNG

SONl BEWEGENDER WELTKÖRPER.

KEGELSCIIMTTE^ SRil DI DIE

He
rita
g

eL

LN

ibr
a

ZWEIER

ry

htt

p:/

/w
ww

.bi



od

DER DUßCHSCHNITTSPüNKTE DER BAHNEN

iod

ive

rsi
ty

VON

Th

eB

JOHANN AUGUST GRUNERT,

); O

rig
i

na

lD

ow

nlo

ad

fro

m

CORRESPONniRF.NIIEM jmGI.lEDF, DKU KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAI'TBN.

bri
dg

e,

MA

ERSTES CAPITEL.
olo

gy

(C

am

Allgemeine Gleiclmiigeii eines Kegelschnittes im Räume.
1-

Ebene

Punkt und eine Gerade gegeben

ein

Co

in einer

sind, so iieisst der geometrische

of

Wenn

mp
a

rat

ive

Zo

§

dem gegebenen Punkte

se

um

Ort aller derjenigen Punkte in dieser Ebene, deren Entfernungen von

ry

of

Kegelschnitt.

ibr
a

stehen, ein

the

Mu

und von der gegebenen Geraden in einem gegebenen eonstanten Verhältnisse zu einander

rL

Der gegebene Punkt heisst der Brennpunkt des Kegelschnittes und die gegebene
Gerade wird dessen Lirectrix genannt. Die constante Zahl, mit welcher man die Entfernung eines jeden Punktes des Kegelschnittes von der Directrix multipliciren muss, um die
ive

rsi

ty,

Er
ns

tM

ay

,

the

des Kegelschnittes.

§•

Um
finden,

die allgemeine

nehmen wir

die

2.

Gleichung der Kegelschnitte

Axe und

in der

§. 1

natürlich in der

CK XIX. Bd.

(^xy)

in

Axe

welcher

ein beliebiger

sie liegen,

der x und die

und bezeichnen

Axe der x liegenden Brennpunktes,

dinate verschwindet, durch/", U. Ist dann
Denkschriftn der mathem.-naturw.

Ebene,

die Directrix respective als die

eines rechtwinkeligen Coordinatensystems der x?/ an,

y
nach

heisst

itis

Axe

Brennpunkt gehende, auf der Directrix senkrecht stehende Gerade
Dig

die

immer durch n bezeichnet wer-

ed

den. Die durcli den

Ha

des Ke2:elschnittes, und soll im Folg-enden
by

Charakteristik

rva

rd

Un

Entfernung dieses Punktes des Kegelschnittes von dem Brennjjunkte zu erhalten, heisst die

Axe

zu
der

die Coordinaten des

so dass also dessen zweite

Coor-

Punkt des Kegelschnittes,

so ist

11


78

/.

offenbar {x
x^ ist das

A. Grunert.

—-ff+y'

Bestimmung der Durchschnittspmikte der Bahnen

Directe

Quadrat seiner Entfernung von der Directrix

+

{x—fy-

1)

Gleichung des Kegelschnittes

also ist

;

nach

§. 1

i/^n'x''

dem angenommenen Systeme.

in

w.
bio
lo

gie

ze

ntr
um

.at

die

dem Brennpunkte, und

das Quadrat der Entfernung dieses Punktes von

ry.
o

Bestimmung nach

1)

offenbar die

ibr
a

der X im Allgemeinen durch u, r; so haben wir zu deren

rg/
;

ww

Bezeichnen wir die Coordinaten der Durchsclinitts2:)unkte des Kegelsclmittes mit der Axe

= 0;
od

n- ir.

t'

.bi

=

v'-

/w
ww

('?«—;/)- -f

ive
rs

ity
l

Gleichungen:

—f=

±nu

erhält; also ist:

ive

unmittelbar u

rsi
ty

man

welcher

ergibt, aus

He
rita
g

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

woraus sich zur Bestimmung von u die Gleichung

iod

=
u^T-~.v
+

0.

eB

2)'

w

nur die unteren Zeichen für

Wenn

dao-cfien n

^

1

?(

einen endlichen völlig bestimmten

sowohl die oberen

so liefern

ist,

als

auch die unteren Zeichen für

rig
i

na

/'.

ow

Werth, nämlich den Werth -

nlo

ad

liefern

ist,

lD

Wenn ?2=1

fro

m

Th

1

Wir sehen also hieraus,
zwei Punkten geschnitten

endliche völlig bestimmte Werthe.
MA

); O

ti

Axe von dem Kegelschnitte nur in einem Punkte, oder in
1 oder ?? ^ 1 ist.
wird, je nachdem 7^
in
denen die Axe von dem Kegelschnitte geschnitten wird, heissen die
Die Punkte,
Scheitel desselben, und es gibt also nach dem Vorhergehenden nur einen Scheitel oder
zwei Scheitel, je nachdem n=l oder w ^ 1 ist.
Wenn ?i
1 ist, so ist die Entfernung des einen Scheitels, den es in diesem Falle nur
e,

dass die

mp
a

rat

ive

Zo

olo

gy

(C

am

bri
dg

=

Mu

der Directi'ix nach
the

gibt, von

se

um

of

Co

=

und der absolute Werth

Entfernung

kleiner als der absolute

ist

gleiches Vorzeichen,

y

Werth

vony": also liegt

ibr
a

ry

of

dieser

- /, hat also mit

rL

diesem Falle der Scheitel zwischen der Directrix und dem Brennpunkte in
ay

in

dem Vorhergehenden

tM

Wenn

ty,

Er
ns

punkte der Entfernung des letzteren von der ersteren.

am

näclisten

^

1 ist,

so ist die

von der Directrix

ist,

Mittel-

Entfernung

f
,

hat also

mit/

Un

ive

rsi

des Scheitels, welcher der Directrix

n

dem

und der absolute Werth dieser Entfernung

ist

kleiner als der absolute

rva

rd

gleiches Vorzeichen,

itis

ed

by

the

Ha

Werth von _/; also liegt der Scheitel, welcher der Directrix am nächsten ist, zwischen der
Directrix und dem Brennpunkte. Die I'-]ntferiiiing der Scheitel vom Brennpunkte ist offenbar
Dig

_ _j_
71+1

woraus

sich ergibt, dass

unteren Zeichen
ist,

man

je

welche mit

y

1

oder



ist
ti

1

'

dem Brennpunkte am nächsten ist, die
Scheitel, welcher der Directrix am nächsten

so dass also der

immer auch zugleich am nächsten
nachdem n
+

H

für den Scheitel, welcher

nehmen muss,

Scheitels von der Directrix

"/

/.

-^

>

1

ist.

bei
,

dem Brennpunkte

und hat

also mit

Für n
1

ist

/'

liegt.

g-leiches

Die Entfernung des anderen
oder unodeiches Vorzeichen,

der absolute Werth dieser Entfernung,

gleiches Vorzeichen hat, grösser als der absolute

Werth vony,

so dass also


:

zweier in Kegelschnitkn
in

um

aiclt

Sonne bewegender Weltkürper.

die

dem anderen

diesem Falle offenbar der Breunpuiikt zwischen der Direcrrix und

>

wo

79
Scheitel

mit/ ungdeiches Vorzeichen hat, lieiit
dem ürennpunkte und dem anderen Scheitel.
Von dem Scheitel, welcher der Directrix oder dem Brennpunkte am nächsten liegt, kann
man nach dem Obio-on immer sagen, dass er zwisclien tler Hircctrix und dem Brennpunkte
liegt, wenn mau nur beachtet, dass es für w = 1 nur einen Scheitel gibt, welcher, wie wir
oben gesehen luiben. von der Directrix und von dem Brennpuidvte gleich weit entfernt ist.
Für n

lieat.

1,

Rede

die in

stellende Entfernung-

rg/
;
ry.
o

wollen wir den einen Scheitel, welchen

diesem Falle nur

es in

ity
l

gibt,

od

ive
rs

Anfang eines neuen, dem primitiven Systeme der xy parallelen Coordinatensystems der
annehmen. Dann ist nach §. 3 und nach der Lehre von der Verwandlung der Coor?/,
.bi

er,

ist.

I

ibr
a

»=

/w
ww

als

ww

-i-

§•

Wenn

w.
bio
lo

gie

ze

ntr
um

.at

eben desshalb die Directrix offenbar zwischen

-f

=

//



-^"i

ry

,/'

>h

;

nach

Gleichung des Kegelschnittes

1) die

dem Systeme der

in

x\yi:

Th

eB

iod

ive

rsi
ty

also

He
rita
g

eL

--

ibr
a

=

-*•

htt

p:/

dinaten allgemein:

fro
ad
nlo

3)

na

lD

-^A,

ow

=

y:

m

woraus man nach leichter Rechnung die Gleichung

^

1

ist,

wollen wnr einen der beiden Seheitel, die es
MA

n

in

diesem Falle gibt,

als

bri
dg

e,

Wenn

); O

rig
i

erhält.

olo

gy

(C

am

Anfang eines neuen, dem primitiven Systeme der xy parallelen Coordinatensystems der x^y^
annehmen. Dann ist nach §. 3 und nach der Lehre von der Verwandlung der Coordinaten

of

Co

mp
a

rat

ive

Zo

allüfemein:

Gleichung des Kegelschnittes in dem Systeme der
um

1) die

Xj

?/,

se

nach

ibr
a

ry

of

the

Mu

also

ive

nach leichter Rechnung die Gleichung
Un

sieh

rd

woraus

rsi

ty,

Er
ns

tM

ay

rL

oder

+

(;r— l)zv

4)

the

Ha

rva

7/;'= + 2nfx,

Dig

itis

ed

by

erffibt.

In

dem

Falle,

§.5.

wenn « ^

1

ist,

und

es also

zwei Scheitel des Kegelschnittes gibt, nennt

man den Mittelpunkt der Entfernung der beiden Scheitel von
der Axe liegt, den Mittelpunkt des Kegelschnittes.
Die Coordinaten des Mittelpunktes im Systeme der

2

f
V


n



1

-^

^—]
«+ W

.

;
'

also

x,

einander, welcher natürlicli in

y sind nach

f-

n-—l

,
'

2) offenbar:

0.
II




'

:

G rtcner

A.

J.

Kimmt man den

Mittelpunkt als Anfang eines den Systemen der

Coordinatensystems der

nach

Gleichung des Kegelschnittes im Systeme der

1) die

x.,y.^\

ze
gie
w.
bio
lo
rg/
;

- ^)",
ity
l

ibr
a

(^2

ive
rs

EechnunQ' die Gleichunoo

= i,f-l):,^_^p
/w
ww

.bi

leicliter

'''

ry.
o

- ^] + y^ =

od

woraus man nach

ww

oder
G-^--'

y^

htt

p:/

5)

+

Form

= tS^/''

y'

ive

(1—«') <'

He
rita
g

eL

wollen wir diese Gleichung auf die

1 ist,

rsi
ty

<

zuerst n

ibr
a

ry

erhält.

Wenn

nlo

ad

fro

m

Th

eB

iod

oder auf die Form

ow

Form

lD

oder auf die

V)?

na

^2^

am

eine reelle Grösse

ist.

7

Zo

7

^;ai

aos

.

Setzen wir der Kürze wegen

——^, =
" f

7

o

.

1

;

— "/

;

vai

aus

.

.

;

mp
a

6):

Co

wird die Gleichung

um

of

SO

;

Vi—«:

)t-

rat

/

olo

=

a

7")

gy

(C

7t^

ive



wo Vi

bri
dg

e,

MA

); O

rig
i

,

bringen,

se

(?)'+ (f )

Mu

'

=

1-

the

8)

ry

of

>

?/

1 ist,
ibr
a

ferner

wollen wir die Gleichung

5)

Form

auf die

tM

ay

rL

Wenn

Er
ns
Un



"

1) -

C:^y__

rva

rd

("

v/

i

J

the

Ha

11)

/'j'-jy

by

itis

f

n'^

(



1

Gleichung

y-i^

y

"/

eine reelle Grösse

a

10)^
so wird die


n-

)

^2^

Dig

wo

\/

'

m2

Form

9)

bringen,

= -;^r,

ty,
rsi

Form

ed

oder auf die

xi—y^

(«-—1)

ive

oder auf die

= val

.

als

x\ij^

parallelen

nach der Lehre von der Verwandlung der Coordinaten:

an, so ist

x.,y.,

Bahnen

xy und

ntr
um

also

Directe Bestimmung der Durchschmttspunkte der

t.

.at

80

1

.

/

ist.

——



«'--1

"/

y

~

,

Setzen wir der Kürze wegen
,
'

b^ val

9)

(?r-(fy=>-

.

abs

'

.

1^«^—

;


1

zweier

in KegchclDiitteii

Sonne bewegendvr

iim dir

.sich,

81

W'elt/.'öipfr.

ß.

§•

Je nachdem
n -=
ist,

l

<:^

//

^

\

>•

II

.

1

Parabel, Ellipse. Hyperbel

wird der Kegelsi-linitt bezieluingsweise eine

im Allgemeinen drei Arten der Kegelschnitte gibt.
ist in dem Systeme der x^ 1/^, je nachdem )i ^= 1 oder

genannt,

o)

und

4j

ntr
um

Nach

.at

so dass es also Iiiernach

die

gie

[n-

12)

ww



rg/
;

+

1) X,-,

ity
l

2 nf.i\

13)

ry.
o

=+

?/,-'

-\A',

ibr
a

oder

w.
bio
lo

=

//,'-'

Gleichung 12) aus der Gleichung 1 ö) hervorgeht, wenn man
1 setzt und das untere Zeichen nimmt.
Gleichuna: h
die

ive
rs

wo

1 ist,

ze

Gleichung der Kegelschnitte:

n^

in dieser letzteren

/w
ww

.bi

od

=

2

.

nf =

n

2

eL

ahn

.

val

.

.

1

4)

ive

=—

/

.

/,

iod

aha

.

.

15)^

eB

val

ahs

rsi
ty

also

He
rita
g

= vcd

p

ibr
a

ry

htt

p:/

Überhaupt nennt man den absoluten Werth der Grösse 2nf den Parameter des
Kegelschnittes, so dass also, wenn der Parameter durch ^j bezeichnet wird,

Th

•2«

nlo

ad

fro

m

oder

na

lD

ow

16)

MA

); O

rig
i

ist.

7.
bri
dg

e,

8.

§.

3

und

§.

5 offenbar:

olo

nach

Zo

Xr,y.;,

gy

(C

am

Bei der Ellipse und Hyperbel sind die Coordinaten der beiden Seheitel im Systeme der

_

rat

mp
a

,.
1

Co

man

/
+

leicht findet:

of

wie

n

1

-/-,
n- —

T

0.

of

the

Mu

se

um

also,



ive

/
n-

Entfernung vom Mittelpunkte

ist:

ay

ihre gemeinschaftliche

Mittelpunkte gleich weit entfernt,

Er
ns

tM

und

dem

rL

ibr
a

ry

Folglieh sind die beiden Seheitel augenscheinlieh von

.

ub-s

"

.

7)

und 10) offenbar

rd

nach

a.

Daher

ist

2 a die

Entfernung der beiden Scheitel von einander.

rva

also

Un

ive

rsi

ty,

val

§.

5 offenbar:
by

und

Dig

itis

ed

sind nach §. 2

x., y.,

the

Ha

Die Coordinaten des Brennpunktes bei der Ellipse und Hyperbel im Systeme der

also,

wie

man

sogleich übcrsieLt:
rfi



l

'

'

und bezeichnen wir folglich die Entfernung des Brennpunktes von dem Mittelpunkte, welche
die Excentricität der Ellipse oder Hyperbel genannt wird, durch e, so ist:
e

=

val

.

ahs

.



.

17)


:

Nach

A. Grunert. Directe Bestimviung der Durchsclmittapuitkte der Bahnen
der Ellipse:

7) ist bei

[\

also,

man

wie

— n-r

1

— H-

leicht findet:

— =

n^f-

6"

ar

.at

J.

(l-«2;2'

ntr
um

82

w.
bio
lo
ww
ry.
o



=

b-

,

ibr
a



'-

ity
l

^

od

man

rg/
;

10) ist bei der Hyperbel:
ß-

/w
ww

.bi

leicht findet:

19)

+

nach dem Vorhergehenden:
iod

die Ellipse ist

Th

eB

Für

=. e\

Ir

ive

er

He
rita
g

eL

nach 17) offenbar:
rsi
ty

folglich

ibr
a

ry

htt

p:/

wie

e\

ive
rs

Nach

also,

—W=

er

18)

gie

ze

folglich nach 17) offenbar:

— n\ =
m

=

-

V

1

??

V

1



(-1

=

=

-•

=

-.

ist

nach dem Vorhergehenden:
lD

Hyperbel

na

die

MA

e,

Curveu:

für beide

ist

= Vi

V^f'^^, n


+ (^V=
a
V

/

am

15)

=

-

1,

ive

Zo

olo

gy

Nach

-

bri
dg

7r

a-

(C

4=

21)

); O

rig
i

Für

ow

nlo

11',

fro

1

ad

—= —

^^)

•^

für die Ellipse:

Co

ist

.,

a-

=

p-

11'

(1— )iä)2

v-

4,;2



4,i_,j2y2'

70

«-

y-

;)-

1—«-

in-

i{\-n-}

4«2

4(n2_i)2

.

'

tM

ay

rL

ibr
a

ry

of

the

Mu

se

um

of

Also

mp
a

rat

4)1-

rva

rd

Un

ive

rsi

ty,

Er
ns

folglich

ist

auf ähnliche Art:
er

= (u-—

1)-

Dig

itis

ed

by

the

Ha

Für die Hyperbel

~"

H'-i-l

4n-

4i>i3

— 1)

folglich:

a

23)

Nach

22)

ist

= -^—

,

b

=

—^—

.

für die Ellipse:

-



4(1— «2)

2(1

— »-)

17

p

;

"^^^^
(t

o



nm

zweier in Keqehclniitteii sich

und nach 23)

also

ist

Hyperbel;

für die

ist

83

Sonne bewegender We/tkiirper.

die

Curven:

für beide

—=

--P



=

p

24)

.

=
^ «V^
1-«(1—
und daher « = =
er

wird nach 7):

setzt, so

b'-

rg/
;

oder

h

ry.
o

=

bei der Ellipse a

ww

w.
bio
lo

s.

§.

Wenn man

gie

ze

ntr
um

.at

.

ive
rs
.bi

Man

hat aber diesen

n sich der Null nähern und gleichzeitig den
so ins Unendliche wachsen, dass, wenn ?• eine gewisse endliche völlig-

Man

lasse

htt

ry

ibr
a

von/

folgen würde.

6

Fall auf folgende Art aufzufassen.

absoluten Werth

od

= 0,

1, also »

/w
ww

?i-

p:/

— =

'

eL

^v,,,-aus 1

ity
l

«-)'i

ibr
a

»-/^

aha

=

nf

.

''

val

eib.s

.

^—-

=

b

.

Th



.

——

m

=

eal

iibs

.

.

der Grösse r immer mehr und

b offenbar beide

lD

Grössen a und

mehr und

bis

zu jedem

na

die

rig
i

ist.

ow

nlo

ei

eB

sich, weil
fro

Pann nähern

ad

ist.

iod

ive

.

rsi
ty

val

He
rita
g

bestimmte reelle positive Grösse bezeichnet, immer

(C

am

bri
dg

e,

MA

); O

beliebigen Grade; die Gleichung

Zo

olo

gy

der p]llipse nähert sich also der Gleichung
rat

^^

=

''

mp
a

+

Mittelpunkte der Ellipse beschriebenen Kreises.
Co

dem

of

aus

r

^'

'^'^^'^

^

Nach

se

die Entfernung des Mittelpunktes der Ellipse von der Directrix
the

Mu

§. 5 ist

dem Halbmesser

(-7^)"

um

eines mit

=

ive

+

(-T-J

of

/

ry

'

u-^

Entfernung des Brennpunktes von der Directrix

bekanntlich /'; und da nun

ay

ist

Er
ns

tM

die

-

rL

ibr
a

1

ty,

r

/

rsi

1

1

n'^

«y
— n-

"



("/)

1— n-

man, dass

diese Differenz, weil n sich der Null, der absolute
rd

so sieht

Werth von

nf

sich

rva

ist,

Un

ive

•^

the

Ha

der endlichen Grösse r nähert, sich unter den gemachten Voraussetzungen der Null nähert,

Dig

itis

ed

by

so dass also der Mittelpunkt des durch die Gleichung

charakterisirten Kreises

Wenn man

bei der

immer genauer und genauer mit dem Brennpuidcte zusammenfällt.

=

Hyperbel a

b

oder

a"

h-

n-f(it-

woraus

;r



1^1,

also n

= V2

(V-2

.

.

abs
val

n-

Ij-

Daher

folgt.

\ral



.fV2,
.

als

=

.

ist
,

f;

b- setzt, so

wird nach 10)

/'-



1

'

nach 10) in diesem Falle:

_

y-al

.

aös

.fVi;

(^-2

.

ral

.

ahs


"
.

f;

'


/.

A. Grune7-t. Directe Bestimmung der Durchschnittspunkte der

Gleichung der Hyperbel nach dem Obigen:

- i:^ =

(-f^]

val

abs ./,

.

gie

.

ntr
um

r2

2

ze

=

p

27)

.at

nach 14):

= 2a =

und nach 17)

2 i;

28)

=

e

w.
bio
lo

ist

ist

ww

Für diese Hyperbel

genannt.

2

wie auch aus 25) mittelst der Formel 19)

val

.

rg/
;

in

2/1

Hyperbel

diesem Falle eine gleichseitige

Die Hyperbel wird

nach 25) offenbar^

- y^ =

oder x^

1

abs .f,

.

ry.
o

26)

ibr
a

folglich die

also

Bahnen

folgt^).

ibr
a

ry

htt

p:/

/w
ww

.bi

od

ive
rs

ity
l

84

dinaten seines Brennpunktes durch /^,

rsi
ty

He
rita
g

eL

Wir wollen uns jetzt einen ganz beliebig im Räume liegenden Kegelschnitt denken, und
Bezug auf ein beliebiges dreiaxiges rechtwinkeliges Coordinatensystem der xyz die Coor«7^,

Die Gleichungen seiner Directrix

bezeichnen.
ive

in

iod

Ä^,

cos

cos

cos 7q

,5|j

ow

nlo

ctQ

die Coordiuaten eines beliebigen, in der Directrix liegenden Punktes sind,
lD

h^,.

c^

na

also ao,

rig
i

WO

ad

fro

m

Th

eB

seien

olo

gy

der Kegelschnitt ganz in der durch den Brennpunkt und die Directrix der Lage

nach bestimmten Ebene

Zo

Da nun

x. y. z einsehliesst.

(C

am

den positiven Theilen der xVxen der

müssen wir zuerst die Gleichung dieser Ebene suchen, welche

liegt, so

mp
a

rat

ive

trix mit

bri
dg

e,

MA

); O

und a^, ßg, Yq die 180" nicht übersteigenden Winkel bezeichnen, welche der eine der beiden
von dem Punkte («o, b^,, c^) nach entgegengesetzten Seiten hin ausgehenden Theile der Direc-

A,x

+

Bii

+ C^ +

=

Do

Ebene

die

Punkte

(ß^,. 6^, c„)

Mu

se

dieser

in

Gleichungen:

und (/,

ibr
a

ry

of

die

mag. Weil

g^^

/;„)

liegen, so haben wir

the

sein

um

of

Co

30)

A,%

+

BJ),

U,,/,

-r

B/j,

j

Er
ns

tM

ay

rL

3^.

+ C/-0 +
+ CX +

=

A,

0,

A, -= 0:

Un

ive

rsi

ty,

aus denen durch Subtraction die Gleichung

J„

(/:



a„)

4-

B,

ig,



b,)

the

Dig

itis

ed

einer der beiden folgenden

33.

j
(

')

Ei konnte
dieser

liier niclit

A^ {x
-1,.

l-^'




in

«0)

f.)

+
+

B,

{y

il, {y




i„)

g,)



c„)

lässt sich

+

C, {z

-(-

C; {z

es

z.

=




c-J

//j

=
-_^-

§• 1

nach 30) und 0I) unter

U,
U.

gegebenen allgemeinen Definition

B. für die Ellipse und die Hyperbel zwei Brennpunkte,

w. gibt, zu entwickeln, indem es vielmehr blos darauf ankam, zu denjenigen Gleichungen der Kegel-

Räume zu gelangen, welche für den vorliegenden vorzugsweise astronomischen Zweck
Archiv der M atheniatik und Physik. Theil XXXi, Nr. Xlli, S. C7.

schnitte im

Mtlirercm

u. s.

C. (A„

unsere Absicht sein, die ganze Theorie der Kegelschnitte aus der in

Curven und die sämmilichen Eigenschaften derselben, dass

zwei Directrixen

+

Eede stehenden Ebene
Formen darstellen:

und die Gleichung der
by

folgt;

Ha

rva

rd

32)

unentbehrlich sind. M.

s.

mit


um

zweier in Kegelschnitten sich

Weil die Directrix ganz
dei"

Ebene

in dieser

Sonne heicegender Welthörper.

die

85

so folgt aus den Gleichungen 29)

liegt,

und

ersten der beiden vorstehenden Gleichungen die Gleiclum"-:

Aus

+

cos «0

A,,

cos

i?o

+

j3y

und der Gleichung 32)

dieser Gleichung

=

Co cos Yu

0.

Avenn

folgt,

3-i)

einen beliebigen Factor

G'o

«o)

cos

G^

[ig^



^»„)

cos «0

ot,

cos

ß„}-,

35)

rg/
;

(/o

Oo)

ß„|

(j

ry.
o

ibr
a

{y

ity
l

a,]

ive
rs

c„)

a,)



od

(Äo



{x

\

h^)\=
Co)

36)

)

^o)

cos a,




Yo

(Äo

(/,

ibr
a



eL

b,)

cos

c„)

cos

«o)

cos

He
rita
g

«o)

cos





{g,

{x

Yo}

«ol

J

— k)

(s

Po!

/,)

— g,)\=

(ij

37)

)

Th

i(5'ü

COS

rsi
ty

{(/o



%

f-o)

ive





ad

fro

m

werden kann.

nlo

von einem ganz beliebigen Punkte {xyz) im Eaume auf die DirecPerpendikel gefällt, und bezeichnen dessen Durchschnittspunkt mit der Directrix
ow

jetzt

rig
i

na

lD

Denken wir uns

werden zwischen den Coordinaten
); O

so

(wi'zo);

a*,

?/,

z

und

offenbar Gleichungen

am

bri
dg

e,

von der Form

w

y,

?«,

MA

durch

cos

Oo)

Y„!

iod

+
+
trix ein

^o)



— h) cos
— cos
— cos

(/7o

Form
{(^0

dargestellt

cos

«„},

ry

\{g^

«o)





j5o

eB

oder unter der

{(/o

cos



cos

.bi

+
+

c«)

(/o

<^«)

/w
ww





(''^o

Yo!,

Ebene entweder unter der Form

so dass also nach 33) die Gleichung unserer
{{Ji^

Yo

cos

ntr
um

{(/,

^o)

p:/

-ßo




(5'o

ze

G^







gie

^u) (^os ßo

w.
bio
lo



ww

Wh^

G-^

htt

=
=
Q =
^0

.at

bezeichnet:

(C

IJ—V

gy

w

cos

cos

Zo

olo

cos 8

mp
a

rat

«„? ßo; To "'^'J 0, to, ur

+

Co

cos

ßo

cos

üj

+

cos

Yo

cos

=r

oJ

39)

um

of

cos «0 cos

3ö)
'

wird die Gleichung

ive

und zwischen den Winkeln

W

Ferner hat man nach 29), weil der Punkt
Gleichungen:
se

stattfinden.

v, tu) in der Directrix liegt, die

of

the

Mu

(?«,

«—H

^

cos Oq

cos

cos 7o

/Sy

Er
ns

tM

ay

rL

ibr
a

ry

" — "O

Aus den Gleichungen 38) und 39)
ty,

folgt:

rsi



ive

+

cos «0

Un

^<)

{y



v) cos ßo



{z

lo)

cos

Yo

=

41)

0,

Ha

rva

also:

the



folglich

itis

{ll,

Dig

=

«o)

COS «0

ßo)

cos «0

ed

by

[x

und

+

rd

[x

r)\

gQ

+
+

(?/



(y

6ü)

cos

^o)

COS ßo

ßo

+
+



(s

{W

Co)

cos

Yo

Co)

COS

Yo>

nach 40), weil bekanntlich
cos

cxo"

-f cos ßo"

+

cos

Yo^

=^

+

1

ist:

U

«0

i'



^0

to



Co

=
=
=

{(a?



!(«
\{x

(?/



+

«o) cos «0 4-

{y



ao)

+

(?/

«o)

Denkschriften der mathem.-namrw, Cl. XIX. Bd.

COS

tXo

cos «0

6o)

cos

ßo



6o)

COS

ßo



^o)

cos ßo

+
+

(.3

Co)

COS

Yo}

COS «„,

(.2



c„)

cos

Yo}

cos ßo,

(.3



Co)

cos

Yul

cos

Yo;

12

42)


:

86

J.

A.

Grüner

Bestimmung der Dwclisclmittspmikte der Bahien

Directe

t.

also:

[x

rto)

iy

b,)




{z

Co)



—u= —
— = —
— = —

/a;

43) ly

V

10



\(x



\{x




(y —
(y —

+

«o) »'OS a„
a^)

cos

a^

-\-

«o)

cos

a,

+

iy

b,)

cos

ßo

b,)

cos

ß^

+
+

6„)

cos

ß^

-f-





(s
(2:

(.?

c„)

cos yJ cos

a„.

Co)

cos

y„|

cos

ß,„

c^)

cos

y^j

cos

-j",,.

.at

(2!

\{x

ntr
um

Bezeichnet nun Pq ^i® Entfernung des Punktes (xyz) von der Directrix, also nach
ze

Obigen offenbar die Entfernung der beiden Punkte (xyz) und (uvic) von einander,

+

(3/





^0)' 4-

!(^— «0)

^

cos a„

(?/— ^0) cos

{%

+

(2



c^)

cos

7o|-

(y—boY

sin ßo'

(z—Co)- sin

-]-





p:/

+

sin Ho'

70'

htt

{x—%)-

60)

2

(?/



60) {z

Co)

cosßo cos

Yo

2 (2



Co)

«o)

eosYo cos

a„,

cosKo cos

ßo

die

Quadrate der Sinus auf bekannte Weise mit-

ßo^

-|-

ive

man

a,) {y

eB

v^'eun

(x—

iod

oder auch, wie sogleich erhellet,



(x —

2

rsi
ty

He
rita
g

eL

ibr
a

ry

45) Po' :=

/w
ww

.bi

oder

+

cos

cos

Yo'

=

1

ow

nlo

«o"

fro

cos

m

Th

der Gleichung
ad

telst

ww

(3— Co)'

^o)^

od

«0)'

-

(s

ry.
o

= (^ —

+

ibr
a

44) Po'

- vf

(^/

ity
l

nach 43) offenbar:

+

ive
rs

folglich

^{x- uy

rg/
;

Po'

ist:

w.
bio
lo

gie

so

dem

na
); O

MA

bo)



cos

Co)



60)

cos

«ol'

[z

Co)

cos

ßo}'

{x

«o)

cos

Yo}'-

(?/

— —
— —

Y„

cos «0

ive

Zo

wir jetzt an, dass (xyz) ein beliebiger Punkt des ganz in der durch den Brennrat

Nehmen

olo

gy

{(z

ßo

e,

{{y

cos

»o)

bri
dg

+
+



rig
i




\(x

am

=

Po'

(C

46)

lD

durch Quadrate der Cosinus ersetzt:

Lage nach bestimmten Ebene liegenden Kegelschnittes sei, so
müssen die Coordinaten x, y, z der Gleichung 36) oder 37) genügen, und ausserdem muss
nach der aus §. 1 bekannten allgemeinen Erklärung der Kegelschnitte, wenn ??o die Charakpunkt und die

of

Kegelschnittes bezeichnet:
ibr
a

ry

teristik unsers

the

Mu

se

um

of

Co

mp
a

Directi-ix der

-f,f +

(j/

-

+

^0)'

(^

— KY = < p:

tM

ay

rL

{x

Daher erhalten wir die beiden, unsern Kegelschnitt vollständig charakterisirenden
Gleichungen, wenn wir mit einer der beiden Gleichungen
ive

rsi

ty,

Er
ns

sein.

^o)

cos

ßo

«o)

cos

Yo

{{g»—

b,)

cos a,

{(''^0



Co)

cos

-f

K/o

+

{(9o

Ha

rva

rd

Un




\{K
{(/o

ed
itis
Dig

47)

ig^
{^h

ßo




(^To



«0) cos Yo



iK



bo)



i/o

by

the

+
+




cos

oto

(/o









^0)

cos

Yol

(x



«o)

^o)

cos

«o! {y



'^o)

«o)

cos

ßo}

(z



c,)

)

b,)

cos

Yol

{x

/o)

\

Co)

cos

«oS (y




ßo)

cos

ßo}

(z



ho)

)


=

0,

=

^0)
)

eine der drei folgenden Gleichungen verbinden
(x

48)

=

?Zo'-'

{

{x



a^y-

+

{y

— b,y

-+-

-f,f + {y(2



Co)'

— [{x —

g,f

+

{z

ao) cos «„

+

I>,f
(?/



^0)

cos ßo

+

(z

— cj

cos

Yo]"'},


,

.

um

zweier in KegelucJuiitteii sich

— a^f

+

a^

sin

{y

— b^f sin ß/ + — c,Y sin
(2^

Yo'

— 2{x —
—2 —
—2 —



«„) (y
(s

(?/

^»o)

(s

Co) (a;




87

b^)

cos

ot«

cos

Co)

cos

ßo

cos

Yo

Yo

cos

a„

öo) cos

[5,

[

^0)

cos

Yo

[(2



Co)

cos «0




(s



(a?

/^o")

cos

a,,]-

Co)

cos

ßo]-

«o)

cos

Y„]'

§. 6

respective

man

diese drei

od

>

»0

1-

htt

p:/

/w
ww

1;

nach

ist, ist

.bi

<

"0

}

ive
rs

Je nachdem unser Kegelschnitt eine Parabel, Ellipse, Hyperbel

«0=1,

ze





\y

gie

[(2/




w.
bio
lo

ßo

ww

cos

rg/
;

«o)

ry.
o

^+



ibr
a

"' ,+

[[X

ity
l

.

ntr
um

.at

th'\(x

die Soidic beioegender Weltkö?'per.

eL

ibr
a

ry

10.

§•

Aus der

He
rita
g

ersten der drei Gleichungen 48) ergibt sich auf der Stelle, dass

(+



4-/ +3'

iod

eB

Th

Co

m

cosao + ?/

-)-

COS

fro

(a?

49)

+
cosßo + s

)

cos

Yo)

cos

Yo)'

Cg

ß^

Yo)'

ad

cos a„-f-6o cos

- hf
{^ cos «o

+ y cos

+2

ßo

cos

Yo)] >•
)

); O

x""

(a»

Ct„

nlo

\

cos

(s

lD

= K^ — 2

+ öo cos ßo

(«0

na

«o"

+

rig
i

+ K + Co' —
[aoa; + % + CoS —

(

- g.y

(^/

ow

-f,f +

{x

ive

rsi
ty

Gleichungen auch unter der folgenden Form darstellen kann:

Wenn

MA

wir die Entfernung des Anfangs der Coordinaten von der Directrix durch



Co'

(C

+

{cio

+

cos «0

gy

60'

5o

COS

ßo

-f-

Co

COS

50)

Yo)',

Entfernung des Brennpunktes von der Directrix durch

£^0

bezeichnen, so

mp
a

rat

die

+

Cfo'

olo

=

rio'

und wenn wir

bri
dg

e,

FIo

am

nach 44) offenbar:

Zo

ist

ive

bezeichnen, so

(/o

+ {g, ~ bof + (^u — Co)' — K/o —
of

«0)'

um

= —

cos «0

Clo)

+ (go — ^0) cos ßo +

Mu

se

-£0'

Co

nach 44):

ist

ibr
a

ry

of

the

Bezeichnen wir den Parameter des Kegelschnittes durch po, so

COS

Yo!'-

51)

nach 14) allgemein:

rL

"'^0-^0,

ay

{(/o— ao)cosoto+((7o— 6o)cosßo+(Äo— Co)cosYoi'. 52)

ive

den an sich willkürlichen Punkt

welchem
Ha

lässt, in

die Directrix

itis

ed

by

dinaten gefällten Perpendikel geschnitten wird, so
Dig

rio'

folglich

=

«q'

^0

cos

(«o, ^o, Co)

von dem auf

the

zusammenfallen

rva

rd

Wenn man

und

Co)

tM

V''(/o— ao)'+(5'o— M'+(/^o— Co)'—
ty,

2??.o





rsi

=

Po

Un

_Po

nach 51):

Er
ns

folglieh

ist

(/?o

+

der Directrix mit

dem Punkte

von dem Anfange der Coor-

sie

ist

^o'

+

53)

Co',

nach 50):
«0 cos «0

Daher verwandelt

sich unter dieser

(^

^ Wo

+
(+x- +
(

+

«o'

-/o)'

W

{

f-

+
+

Co'

x'

ßo

+

Co

cos

Yo

=

0-

54)

Voraussetzung die Gleichung 49)

+ (g- gof + (^ - ^o)'
— 2 (a^x + b,y + Co^)
— (x cos «0 + y cos ßo +

in die

folgende:
55)

z cos

Yo)'

12*


:

88

Grün er

A.

J.

Directe Bestimmung der Dui'chscJtnittspunkte der

t.

und der Ausdruck 52) des Parameters geht
56)

p,

=



2;«o V^(/o

+

«o)'



(5'o

den folgenden über:

in

+

'^o)'

Bahnen



(^^0



Co)'

+

(/, cos «„

g^ cos

|3(,

+

\, cos Yo)",

man natürlich noch auf verschiedene Arten weiter umformen könnte.
Nimmt man nun noch den Brennpunkt als Anfang der Coordinaten an, so dass also
Directrix gefällten Perpen6o, Co) der Durchschnittsjjunkt des von dem Brennpunkte auf die
ntr
um

.at

den

= Oj K= 0; so geht der Ausdruck 56)
ze

0,

gie

alsoyo=

setzt

(7o

+

+

b,'

cv,

Gleichung 55)

Form

lässt sich unter der

ive
rs

die

+

s'

=

(1


ry

z-

— <')

i^'

z cos

fM

+ 2< Ka? + % +

^os),

+

(x cos «„

ibr
a

+

cos ^,

i/

-}-

He
rita
g

f-

Form:

V

+ y' + ^) +

(a?

cos ao

+

?/

cos ßo

+

'^

cos

Yo)'

fro

m

59) ji^o"

+

X-

ive

darstellen, oder unter der

+

c,z)

eL

+ b^ +

(%x

2

rsi
ty



iod

\[-^y

eB

no"

Th

=

htt

p:/

y'

/w
ww

+

X'

58)

.bi

od

und

ity
l

ibr
a

2)i„ V'ßo'

rg/
;



pa

57)

ww

den folgenden über:

ry.
o

in

und

ist,

w.
bio
lo

(«0,

dikels mit der Directrix

- + r + --T^o-



wo n^^\

die Parabel,

«0+2/

(« COS

cos Po

); O

2^

+

a cos 'i^f



2 (oo^

+

baV

+

«o^)

MA

+

«/-

nimmt

ist,

die

Gleichung 59) die folgende sehr einfache

am

Für

+

e,

•'<-•-

rig
i

na

=

'/v

bri
dg

60)

lD

ow

nlo

ad

oder auch unter der Form:

olo

+

cos

?/

ßo

+

cos

.2

Yo)'

+

2

(«o»;

+

%+

^oS).

of

Co

mp
a

rat

{x cos «0

Zo

=

-i\-

ive

61)

gy

(C

Gestalt an:

11-

Mu

se

um

§•

man noch

auf einen anderen bemerkens-

of

the

Die allgemeinen Gleichungen 47) und 49) kann

die

Er
ns

\).qi

v^

ty,

Xo,

rsi

=/o +
the

cio

einschliesst,
sein.

und

Bezeichnet

ive

Entfernung des Punktes

(«„, 6o> ^o)

©0 cos

Xo,

bo

von dem Brennpunkte

= go +

®o cos

fXo,

c^

=

ed

by

62)

übersteigenden "Winkel

den Durchschnittspunkt dieser Geraden mit der Directrix

(ßo, ^o; ^o)

Ha

nun ®o

z respective die 180" nicht

Un

dann

?/,

rd

lasse

der x^

rva

Axen

tM

ay

rL

ibr
a

ry

werthen Ausdruck bringen. Von dem Brennpunkte (/o, g^^ h^ aus denke man sich nämlich in
der Ebene des Kegelschnittes eine Gerade gezogen, welche mit den positiven Theilen der

li^

(fo, go:

+ %

cos

^^o)j

so ist:

Vo.

Dig

itis

"Wenn wir aber einen der beiden 180" nicht übersteigenden Winkel, welche die in Eede
stehende Gerade mit der Directrix einschliesst, durch 0o bezeichnen, so ist offenbar:
63)

=

JS'o

@o sin 00, @o

=

jEq

cosec 0o;

folglieh

{ag=f^
64)

<

^0
Co

=
=

.'7o

//o

+
+
+

cos

Xo

cosec 0o,

^0 cos

fXo

cosec 0o,

E^ cos

Vo

cosec

-E'o

0o.


um

zioeier in Kegelschnitten sich

Führt man diese Ausdrücke von

Gleichungen 47)

in die zweite der

«„, 60, f„

89

Sonne hexoegenäcr Weltkörper.

die

ein, so

wird

dieselbe:
(cos ßo cos

v„

+

(cos Y« cos

X,

-}-

(cos

ji.^,

cos

cos

[Ao)

(,r

a„ cos

v„)

[xj

Yo

— cos
— cos

cos

(%



\

/„)

— g^\

X„) (3

=

ß-'^)

*'•

/2j,)

)

als

Anfang der Coordinaten

(7„

+

^'

-\-

a;-

+/ +

ir

so

nach 49),

ist

ze

gie

h^^O:

w.
bio
lo

= 0,

an,

51) und 64) offenbar:

s

cos

cos

^^,

cos

ß^

+

[0.0

+

od

?/

s cos Yo)'
.bi

+

«o



00 \(x

ibr
a

eL

ive

iod

eB

z offenbar

«0

m

Th

g,)-






(i/



fro
fi^

+

{z

cos

(7o)

ß«

h,)

+

cos

v,

— K)

(s

cos

Yo)|,

(.3

5^0)

^^

/^o)'

cos ßo

+

(3



h,)

cos YuP

am

(?/

cos

ffo)

+
+

/o) cos a,
(«/

(C

Form

olo

gy

gesetzt wird, die



{ij

ad

Ar

= (x — /o)- + —
— {(^ — /ü) cos +

Fo

ry

htt

— cos

\

/,) cos

nlo



setzen,

ow

{x

He
rita
g

müssen wir in der obigen Gleichung für x,y,
wodurch dieselbe, wenn der Kürze wegen

lD

=

TJ,,

66)

Vf,

Gehen wir nun aber wieder zu dem ursprüng-

ist.

na

—f^^ y—^o> ^—^0

cos

Yo

rig
i

x

cos

rsi
ty

verstattet

lichen Coordinatensysteme zurück, so

respective

-\-

X^,

); O

was augenscheinlich

ist,

cos

a^,

MA

cos

e,

=

cos 60

gesetzt

)

p:/

jetzt

bri
dg

wobei

— (x cos

s-

/w
ww

+

(

ive
rs

ity
l

ibr
a

ry.
o

also_/i

= 0,

ww

und setzen

wir jetzt für einen Augenblick den Brennpunkt

rg/
;

Nehmen

ntr
um

.at

o.^

— cos

Zo

-

7.0)^

=

«0-^

j^o^

rat

{z

ive

-f,f + {y- ^0)^ +

- 2 -^ -f
iJo

mp
a

(x

+

se

- 9.r

C^

-

/^J^

=

{n,E,r

1
j

-

the

(y

Mu

+

(^ -/o)-^

um

of

Co

oder

,

C9)

of

Form

die

4- -^j

ry

dem Obigen

68)

,

1

Er
ns

tM

ay

rL

ibr
a

oder nach

^

P^o

gegebenen Ebene aus dem Mittelpunkte (/, (/05 K) oiit dem
beschriebener Kreis ist, so sind dessen Gleichungen die Gleichung 65) und

Curve

ein in der

,

Ha

?o

by

Gleichung
Dig

itis

ed

die

the

Halbmesser

rva

rd

die

Un

Wenn

ive

rsi

ty,

erhält.

Lässt

man

aber in

{X

-/o)^

+ {y-

dem alloemeinen

g,y

+

(z

- k,f =

7V.

71)

Falle des Kegelschnittes die Directrix sich in der

Ebene des Kegelschnittes parallel mit sich selbst in's Unendliche bewegen, so können die
offenbar als constant betrachtet werden, und iJ^ wächst ins
Winkel «o, ßo, Yo ^'^(^ K, M'o
Unendliche. Wenn man nun zugleich «0 so in's Unendliche abnehmen oder sich der Xull
r^ ist; so nähert sich die Gleichung 69) offenbar der Gleinähern lässt, dass immer tig E^
chung 71) als ihrer Grenzgleichung immer mehr und mehr und bis zu jedem beliebigen
5

'>o

=


90

A. Grunert. D/recte Bestimmung der DuicJischnittspunkte der Bahnen

./.

Grade, oder, kürzer gesagt, die Gleichung 69) geht
«0

=

0, 7^0

Man

= oo,

=

-^0

??o

man

wie

sieht hieraus,

oder

?'o

in die

Gleichung 71) über, wenn man

dem

Falle eines Kreises zu verhalten

für -p^ setzt.

?•„

im Allgemeinen

sich

in

hat; weil jedoch die vorliegende Abhandlung zunächst einen astronomischen

Zweck

hat und

für's

Erste ganz absehen, also

od

ive
rs

ity
l

ibr
a

ry.
o

rg/
;

ww

w.
bio
lo

gie

ze

werden wir grösserer Bestimmtheit wegen von diesem Falle
auch stets Mq als nicht verschwindend betrachten.
so

ist,

ntr
um

.at

der in Eede stehende Fall für die Astronomie nur von sehr untergeordneter Bedeutung

und derselben Ebene liegender

in einer

Räume,

eL

mit besonderer Eücksicht auf den Fall,
He
rita
g

Kegelschnitte im

ibr
a

ry

Allgemeine Bestimmung der Durchschnittspnnkte zweier nicht

htt

p:/

/w
ww

.bi

ZWEITES CAPITEL.

wenn

die beiden Kegelschnitte einen

rsi
ty

gemeinschaftlichen Brennpunkt haben, und Eutwickelung der Bedingungen, von denen die Existenz der

Th

eB

iod

ive

Durchsclinittspunkte abhängt.

m

12.
nlo

ad

fro

§•

dieses Capitels

übergehen, müssen wir die

na

lD

ow

Bevor wir zu dem eigentlichen Gegenstande

zwischen drei

); O

rig
i

folgenden Betrachtungen über die xVuflösung zweier linearen Gleichungen

+

=

am

c^z

k^,

a,x

+

b,y

+

c^z

=

k,

gy

(C

a^x 4- h^y

bri
dg

e,

MA

unbekannten Grössen von der Form

Zo

olo

vorausschicken, weil auf dieser auch an sich bemerkenswerthen Auflösung unsere in diesem
mp
a

rat

ive

Capitel anzustellenden Untersuchungen hauptsächlich beruhen.

(«1-

+

+

i>i^



er)

um

!''i,

«1 («o«!
se

jw

+

*o*i

+ Vi)!

*o

+

!'»i

(V +

V+

«0^)

— «0 K«i +

*o*i

+

«o«i)!

*i

the

Mu



of

Co

"Wenn wir

of

=

ry

33

ibr
a

<

rsi

ty,

Er
ns

tM

ay

rL

1)

ive

man

rva

@ im Allgemeinen

durch die leichteste Rechnung überzeugt, die

eine Auflösung der beiden Gleichungen

ed

by

the

Ha

S3,

itis

51,

Dig

drei Grössen

sich auf der Stelle

rd

Un

setzen, so liefern, wie

«oX

+

bfyt/

-f CqS

=

kg, a^x

-\-

h^y

+

c^z

=

k^\


zweier in Kcgelsclinitten

um

sicli

die So/uie bewegender WeUkörjicr.

91

gesetzt wird, die allgemeine Auflösung unserer beiden linearen Gleicliungcn in den

X



91

= GA,

a;

=

2t

+

?/



33

=

(?B, 3

—g=

=

53

+

(9B,.3

=

Formeln

GC

oder
(?A,?/

+ GC

g

3)

Der Factor G

ntr
um

.at

enthalten.

unbestimmt, so lange zu den beiden gegebenen linearen
Gleichungen zwischen a-, y, z nicht noch irgend eine dritte Gleichung zwischen diesen drei
unbekannten Grössen hinzutritt. Wenn dies der Fall ist, wird man in diese dritte Gleichung
die Ausdrücke 3) von a;, y, z einführen, und mittelst der dadurch hervorgehenden Gleichung
die,

ive
rs

genügenden Werthe von

den drei gegebenen Gleichungen
ity
l

bestimmen, wodurch dann jederzeit auch

der Formeln 3) gefunden sein werden.
53, @ ist zwar nicht die einfachste, dessen ungeachtet

Die obige Form der Grössen

od

x, y, z mittelst

.bi

G

/w
ww

den Factor

ibr
a

ry.
o

rg/
;

ww

w.
bio
lo

gie

ze

bleibt so lange

htt

p:/

51,

Anwendung

der Kreis-

ibr
a

ry

aber für viele Untersuchungen, haujitsächlich für solche, welche die

bequem und geeignet. Übrigens lassen sich durch
bekannte analytische Transformationen die drei in Rede stehenden Grössen noch auf verschiedene andere Arten ausdrücken, von denen wir hier nur die beiden folgenden bemerken
iod

ive

rsi
ty

He
rita
g

eL

functionen in Anspruch nehmen, besonders

(«0*1

(«0*1

g

=

i(*'ii«i



«»''i)



«1



^-u

(*0''l

+

(*u«i

(C
gy
Zo

olo

oder:

Dig

itis

ed

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

rsi

ty,

Er
ns

tM

ay

rL

ibr
a

ry

of

the

Mu

se

um

of

Co

mp
a

rat

ive



("u*l

ow



'

"ti^'l/"

- i(Vi — g|i*i) gp — ("o'^i
+ ('•o«! — «0«l)'''

— *u"i)

"»!

^'i




{l<-u«i



«o'"i)

«0

'(/'iJ"

+

(fo«i

— «0"])^



(^o'-i

V

,•

"

'

«'l)*])'^

^cq

'u*i) *ii

*o«i)'-^

nlo

ad

(Vi —

(«0*1

+

*0»l)''*

(^o^i

lD

— ^o"i) "li



+

na



fi

<^o(>if

rig
i

— gp^i)

-

l*o<"i

); O

{i'^o^i

+

*o«i)'-^

MA

ni



e,

(«11*1

bri
dg

=

am

»{

fro

m

Th

eB

wollen:



^(/'i) *ii!

/,

'


92

G runer

A.

J.

Bestimmung der

Directe

t.

Kegelschnitte im Eaume, von denen aber, was wohl

jetzt zT\'ei beliebige

zu beachten und im Folgenden stets festzuhalten
beide in einer

und derselben Ebene

Bahnen

13.

§.

Wir betrachten

Durclisclinittspunkte der

ist,

angenommen wird,

dass dieselben nicht

Bedingung, deren Noth wendigkeit, wenn die

liegen, eine

Bestimmung der Durchschnittspunkte zweier Kegelschnitte im Eaume

.at

die Einfachheit, welche

bekanntlich im Allß-emeinen in vier Punkten schneiden

für

,

zwei nicht in derselben

ww

sich

w.
bio
lo

gie

ze

ntr
um

wir derselben im Folgenden zu geben beabsichtigen, nicht verlieren soll, schon daraus auf
der Stelle ganz von selbst einleuchtet, dass zwei in derselben Ebene liegende Kegelschnitte

ive
rs

ity
l

ibr
a

ry.
o

rg/
;

Ebene liegende Kegelschnitte es aber offenbar im Allgemeinen nur zwei Durchschnittspunkte
geben kann, woher es kommt, dass die Bestimmung der Durchschnittspunkte zweier Kegelim zweiten Falle
dao-eo-en nur auf eine Gleichung des zweiten Grades führen muss, in welchem Umstände
hauptsächlich der Grund der Einfachheit der Auflösung unserer Aufgabe liegt, wenn man
dieselbe o-leich von vorn hei'ein aus dem Gesichtspunkte auffasst, dass man die beiden Kegelschnitte der Bedingung unterwirft, dass sie nicht beide in derselben Ebene liegen sollen.
Nach I, 33) und I, 48) haben die Gleichungen des einen der beiden gegebenen Kegelersten Falle noth wendig auf eine Gleichung des vierten Grades,

im

schnitte

im Allgemeinen

eB

m

(3

lD

ow

{y

nlo

ad

0,

[(x
na

(s

fo)'

a,)

a,

cos

,3„

rig
i

-t-

+

(s



c,)

cos

y,]-},

); O

haben

Co)

Gleichungen des anderen der beiden gegebenen Kegelschnitte die Form
MA

die

A,



B,(y- b,) + C, (z - c,) = 0,
{X -fs- +
- 9^r + c^ - ^0'^
+ (z — cj- — [(.T— «0 cos a, + iy — b,) cos p, +
i-

«,)

gy

(C

{X

:

e,

so

— h)-

-j- (y

(.2

bri
dg

und eben

— a,y

h,)

am

n,- {{x

B,{y

-\-

fro

a,)

Th

— + Co — =
— g,y + — Kf
-f,f +
— — — cos + (y^h)


{x

=

iod

Form

die

A, {x
9)

ive

rsi
ty

He
rita
g

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

/w
ww

.bi

od

schnitte

gibt,

olo

Zo

ive



c,)

cos

y,]=|.

rat

um

nun

die

Bestimmung der Durchschnittspunkte

dieser beiden Kegel-

of

sich

[z

Bedingungen, unter denen es iiberhauj)t nur Durchschnittshandelt, wollen wir zunächst im folgenden Paragraphen die Durchschnittspunkte

die Entwickelung der
of

punkte

es

(y

um

Indem
schnitte und

+

mp
a

a,y-

(1/

se

{{x

h,y-

Mu

wf



the

=



Co

10)

ibr
a

ry

eines jeden der beiden Kegelschnitte mit der gemeinschaftlichen Durchschnittslinie der beiden

rd

Un

ive

rsi

ty,

Er
ns

tM

ay

rL

Ebenen, in denen sie liegen, zu bestimmen suchen, woran sieh dann die weiteren Betrachtungen über die Durchschnittspunkte der beiden Kegelschnitte selbst leicht anknüpfen lassen
werden.
14.

Ha

rva

§•

Dig

itis

ed

by

the

Bezeichnen wir die Coordinaten der Durchschnittspunkte des ersten der beiden gegebenen
Kegelschnitte, welcher durch die Gleichungen 9j charakterisirt wird, mit der gemeinschaftlichen

Durchschnittslinie

Xq,

^of so

3/o)

der beiden Ebenen, in welchen die Kegelschnitte liegen, durch

haben wir nach

9)

und 10) zur Bestimmung dieser Coordinaten

die drei folgen-

den Gleichungen:

— + C; — —
_ c) =
- «J B, — +
A,
—/.)"' +
— goT + — KT
— ^d' + (so— — —
+ (i/o— cos

A^

(a;o



{x,

^

a,)

+
+

B„

(xo

=

«o' {{x^

— aoT +

(l/o

(y„

b,)

(z^

{y,

b,)

C, {z,

(^0

Co)'

[(a^o

c,)

,

,

("^0

«ü) (-'osao

^u)

p,,

+

{z,—c,) cos

-(,]'}.


zweier

Kegelschnitte )i sich nni die Sonne heioegender W'e/tk'h-per.

in.

Die beiden ersten (^ileichungen dieses Systems kann man inner der

9 15

l''(U'm

nun

+

C'of^u?

J?A

+

C,c,

Grunde gelegten Gleichungen im
w.
bio
lo

die in §. 12 mit Rücksicht auf die dort zu

ww

31, 23, S und A, ß, C bezeichneten Grössen, und dann weiter auch die
^o' gai^z nach den in dem genannten Paragraphen gegebenen allgemeinen

a'o, ?/o'

Regeln bestimmen. Die grössere oder geringere
wesentlich dadurch bedingt, ob die Grössen

Auflösung wird aber

selir

man im

ibr
a

ry

ersten Falle blos die Grössen A,
eL

beide verschwinden oder nicht, indem

Formeln

13,

C nach

im zweiten Falle dagegen die
§.12 gegebenen ziemlich complicirten Ausdrücken für diese
und

in 8)

die einfachen

7)

He
rita
g

den einfachen Ausdrücken

htt

p:/

/w
ww

.bi

od

ive
rs

I"]infachheit dieser

ibr
a

Coordinaten

ry.
o

rg/
;

Allgemeinen durch

ntr
um

-I:«.

-ßo^o

ity
l

lassen sich

-ßi,

+
+

ze

A.

yio«o

gie

G,
Q.

ylo, -ßo,

.at

nnd aus den Grössen

darstellen;

,

S, S nach den in
Grössen und die Grössen A, B, G, so wie die gleichfalls eine grössere Complication als die
sehr einfachen Formeln 7) darbietenden P'ormeln 3) in Anwendung zu bringen hat. Zu dem
astronomischen Zwecke, welchen diese Abhandlung vorzugsweise im Auge hat. ist aber für
uns. wie wir nachher sehen werden, nur der erste der beiden genannten Falle, wenn nämlicli
rsi
ty

51,

rig
i

Grössen

bri
dg

e,

MA

); O

die

na

lD

ow

nlo

ad

fro

m

Th

eB

iod

ive

Grössen

(C

können wir aber nach
gy

In diesem Falle

fassen wollen').

ive

G'oA,

mp
a

ij^

Co

und haben dann nach der

Goß,

Mu

se

+

of

tM

ay

-

{K
rL

^oA)-^

Er
ns

GoA) cos

+

{g,

(c„

-^

cos

{h,

ot„

unbekannte Grösse Gq vom zweiten (irade

die

diese Gleichung entwickelt
rva
Ha

— 'V
=

X,

')

A-

{

+

^'o'



"o'

kV +

ist.

N,G,'

die

=

Form
14)

()

-t-

^u'

+

<'

b,

cos

4-

G-



(«0

cos a,

+

^»0

f'os

,3„

C-

— ni

{A-

+

ct„

+

B-

{%

+ Co cos yJ

c^,

cos

•(„)'' \.

— (A cos

«o

+ B cos ß„ + C cos y„)|,
+ B cos + G cos y„)-j;

(A cos

[i,

ilarbietcn, liegt aber,

im Zweck dieser astronomischen Untersuchung.

Denkschriften der mathcm.-naturw.

Cl.

XIX. Bd.

1 .j)

a^

Eine Durchführung ganz im Allgemeinen würde wesentliche .Schwierigkeiten übrigens gar nicht
jetzt nicht

+

+ CK

+ ^K + Cco — («0 cos

B-

j

by

+

B^,

Aöo

y,,]^'

ed

itis

+

'

offenbar:
Dig

<7ir

und auf

+

L,~^^M,G,

the

Aj:

ist

13)

\

G'„C) cos

(c„

ty,

[(«0

ibr
a

ry

-

Bezug auf
Denken wir uns

=

12)

rsi



in

31,

Gfi

ive

(

(«0

G,P.f

Un

""

=/7 +

=

«0

Gleichungen 11) zur Bestimmung dieses Factors

rd

^^^A

Ln

einen gewissen

— Gß-f + [K - G^Cf
- G.Mf
— GJ^f
— G,B) % + —
+

the

-

(/o

gebracht, so

(7^

um

of

dritten der

Gleichung:

welche

=

rat

=

Xo

die

wenn

Zo

Factor bezeichnet,

setzen,

7),

olo

Auge

am

beide verschwinden, von Interesse, wesshalb wir hier von jetzt an auch nur diesen Fall in's

13

wie

gc.-agt,


:

94

A. Grtinert. Directe Bestimmung der Durchschnittspimkte der Bahnen

./.

zur Bestimmung von

iiiid

'

:

wir die Formel

Gj, liribeii

16)

=

Oto

Tr

»

»

worauf

Formeln 12) ergeben.
einfachsten, welche sich geben lassen;

die gesuchten Coordiuaten x^^ y^, z^ mittelst der

dann

sicli

Die obigen Ausdrücke von

N^ sind

die

ntr
um

.at

L^,, TI/q,

cos

cos

Cy

cos

po



rg/
;

— 2^0

ß„

^^^'

Y,i

2c^, «„

cos

i-^

(-'os

est,,

+

B'^

.-f

+

A'^ sin

(

/w
ww

p:/

+ C6(,)

cos ß^ cos fy
htt

(Bc^

)

..

ry

ß,,

c-

a/
— n — 2 AB cos




y^"

— (Coo

-f Ac^,)

cos

y,-,

cos a

J

ibr
a

A-

cos

a,

Cco sin

-f

eL

=

.A;

— (A6, + Boo) cos

ß/

B" sin ß/ -f C" sin



~

\

«0 cos ßu

BC

2

y»'

cos

ßo

cos

— 2 CA cos



yo

cos a„

es verstattet

dem Punkte zusammenfallen lassen,
von dem auf sie von dem Anfange der Coordi-

den Punkt

ist,

(«(,, 6^, c^)

mit

ad

die Directrix des Kegelschnittes

ow

nlo

welchem

in

wie

fro

wir,

m

Wenn

Th

eB

\

He
rita
g

(

sin

rsi
ty

1 7)

B6o

ive

"

+

sin «o"

iod

Aa»

[
.,

.bi

od

ive
rs

ity
l

^ü C'os «0

^o" si^i

ry.
o

2 «0

+

^o" siii ßu"

ibr
a

+

sin et/

CV

ww

w.
bio
lo

gie

ze

wir bemerken jedoch, dass diese Grössen sich auch auf folgende Art darstellen lassen

ist

nach

54)

I,

ßo cos a^ -f

cos

+

ßo

MA

h^

e,

18)

); O

rig
i

na

lD

naten gefällten Perpendikel getroffen wird; so

und unter dieser Voraussetzung nehmen

j,-,

=

0,

Ausdrücke 15) von

L,,, il/g, A'i,

die folgende

am

bri
dg

also die

cos

c^

gy

(C

theilweise einfachere Gestalt an

olo

rat

mp
a

Co

of

«„

+ B

cos ß,

+ C

cos

^i,y\.

Mu

se

um

=
N, =

ive

=./7

M,

19)

+ 9^' + K- — n» {ai + b^ + c^),
A/, + Bg, + CK — < (Aa„ + Bb, + Cc„),
A^ 4- B- + C- — ?v {A^' + B= + C — (A cos
Zo

K

Bezeichnen wir

Coordinaten der Durchschnittsjiunkte des zweiten der

of

the

jetzt ferner die

tM

ay

rL

ibr
a

ry

beiden gegebenen Kegelschnitte, welcher durch die Gleichungen 10) charakterisirt wird, mit
der gemeinschaftlichen Durchschnittsliuie der Ebenen beider Kegelschnitte durch x^, y^, s^^:
Er
ns

wird man auf ganz ähnliche Art wie vorher diese Coordinaten mittelst der Formeln
ive

rsi

ty,

so

-

.Ti

rva

+

by

the

Ha

,

g^'

+

^h'



I/i

=

GiB,

z,



(«1

=

G,C

wenn
'^i'

= A/ + Bg, + CK
— {Aöi-fBöi + Ccj —
= A- + B- + C- —
n^'

N,

G,k,

l«i'

+

'^i'

+

Ci'

cos

a,

+

b,

cos

ßi

+

c,

cos

«;-

(fii

+ 6, cos ßi + Ci cos y,) (A cos + ß cosßj + C cos yJ},
+ B- + C- — (A cos «i + B cos ßi + C cos ^,)-\

cos

SA-

«1

oci

oder
22)

Zi

i,)-\,

itis

M,
'

=-/'

die Grösse G^

=

Dig

Li

wo

ed

bestimmen,

rd

Un

20)

=/r

4- £/r

+

K'

«i" sin «i"

2aiii cos

-\-

«1

b^- sin ß/"

cos

ßi

-\-

c\'

sin

— 2öiC, cos

)

Yi"'

ßi

cos

Yi



26-101

cos

Yi

cos

a,

)


,

:

um

zweier in Kegehcliuitten sich

A/ +
.,

(

(

N,

=

A'^

Bg,

+

A«,

sin a,"

— (A6i +

+

B'^

+

A-

CA.

+
cos

-Brt,)

sin ß,-

r>^'i

cos

a,



jS.

Cc. sin

-\-

(Bci

-|-

Yi'

)

C6,) cos

cos

jS,



y.

I

Ca,

-f

Ac,) cos f cos
i

a,)

C'^

sin

+

«i'-

— 2 AB cos

B" sin

cos

«1

jS/-



|3,

C" sin

-f

BC

2

cos

^i^

cos

ßj



y,

2 (JA cos

Yi

cos

a,

gie

ze

(

95

]Vvlf.k<>rper.

.at

=

Sonne hewegencJer

die

ntr
um

J/,

'

ww

+ N,G{ =

23)

ibr
a

ry.
o

'2M,Cr,

rg/
;

A-

w.
bio
lo

gesetzt wird, sich durch Auflösung der Gleichung

ive
rs

ity
l

oder mittelst der Formel
od

= ^A ± i^^V^^^

.bi

24)

p:/

/w
ww

G,

ry

htt

eryibt.

ibr
a

dem Punkte zusammenfallen, in welchem
von dem Anfange der Coordinaten gefällten

ej mit

von dem auf

die Directrix des Kegelschnittes

Perpendikel getroffen wird; so

(o,, 6.,

eL

Punkt

hier den

He
rita
g

mau auch

sie

rsi
ty

Lässt

wie vorher:
-|-

ßj

cos

eB

cos

Ci

Yi

=

25)

0,

nach

2 1)

ad

folglich

nlo

und

fro

m

^1

Th

+

«1 cos «i

iod

ive

ist

ow

lD

na

rig
i

26)

am

A,

Bestimmung der entsprechenden Grössen

Zo

ive

0,

A—

-i2_,

(^,

rat

=

2M,G,

+C

cos

y,)-'}.

würde man zur

Co

2

il/,<7,

=

0;

27)

um

of

Formeln

se

also die

ji,

G, nach 14) und 23) die Gleichungen

(tq,

mp
a



Xo

cos

die eine oder die andere verschwände, so
(C

A'^,

+ B

a,

gy

"Wenn von den Grössen

bri
dg

-f-

olo

A^i

e,

MA

Jf,

+ 9i + K' — nc {a: + b;- + c,-),
= Ay; + Bg, + CA, — n;' (Aa, + B6, + Cc,)
= A" + B- 4- C- — ??/ jA' + B' C — (A cos
=/.'

); O

A

Mu

=

= ^1-

28)

ibr
a

ry

of

the

G^

ay

rL

haben.

nun ganz von selbst,
nothwendig G^ und G, endliche

Aus allem Bisherigen

tM

Er
ns

ty,

dass,

wenn

die beiden Kegelschnitte

völlig bestimmte reelle

Grössen sein

ive

rsi

sich schneiden sollen,

erhellet

Ha

rva

rd

Un

müssen, die einander gleich sind, so dass also

=

G.

29 j

the

(?o

by

weil dann nach 12) und 20) offenbar
Dig

itis

ed

ist,

ist

,

unter welchen Bedingungen sich nur die beiden Kegelschnitte schneiden können.

Man

hat aber zu beachten, dass, weil, wenigstens im Allgemeinen, sowohl G„, als auch Gj, zw^ei

Gleichung 29) nur so viel aussagen kann und soll, dass der eine oder andere
der beiden Werthe von G^ dem einen oder dem anderen der beiden Werthe von G^ gleich

Werthe

hat, die

sein muss, w-enn die beiden Kegelschnitte sich sehneiden sollen, zugleich natürlich

vorausgesetzt, dass die betreffenden

Werthe endliche

immer

völlig bestimmte reelle Grössen sind.
13*


,,

96

J.

Wie

A. Grunert. Directe Bestimmung der Durclischnittspunkte der Bahnen

wenn

aber,

die Coordinaten ihrer

die Kegelschnitte wirklicli sieh schneiden,

dem Obigen

schnittspunkte zu bestimmen sind, erhellet aus

auch die dazu erforderlichen Formeln sind im

ganz von

gleichfalls

Durch-

selbst,

und

Obigen vollständig enthalten.

ntr
um

.at

§• 1=J-

BA +

C\c,

ww

A,a, -f

ry.
o

C,c,,

rg/
;

+ BA +

A,a,

w.
bio
lo

gie

ze

Die im Vorhergehenden gemachte Voraussetzung, unter welcher die obigen Entwickelungen nur gültig sind, dass nämlich die Grössen

od

/w
ww

Fall

bewegenden Weltkörper bekannt-

sich

p:/

ist.

htt

immer der

Sonne

die

.bi

um

den Gesetzen der allgemeinen Schwere
lich

ive
rs

ity
l

ibr
a

beide verschwinden, lässt sich jederzeit als erfüllt betrachten, wenn die beiden gegebenen
Keo-elschnitte einen gemeinschaftlichen Brennpunkt haben, wie dies bei den Bahnen der nach

nach

ive

/,

47) offenbar

I,

=

0, g, == 0, h,

Y„

c„

«0

Co

ß„

ba

a„

nlo

ad

b^

fro

m

— cos — cos
— «0 cos
cos
IBo =
— cos
(Co ^ «0 cos
fAo

7,

j3y

MA

); O

rig
i

na

lD

30)

=

rsi
ty

0;

eB

folglich

=

K

0,

Th

und

=

^r,

ow

ist,

0,

also

iod

=

/o

wo dann

He
rita
g

Kegelschnitte als Anfang der Coordinaten annehmen,

eL

ibr
a

ry

In diesem Falle können wir nämlich den gemeinschaftlichen Brennpunkt der beiden

bri
dg

=

6,

cos

y,

(C

am

,4]

/

e,

und ganz ebenso
gy

Ib,=c,

c(,

ßi cos

j3,

olo

31)

cos

ive

Zo

d ^

cos

Ci

ß,

«1 cos Yj

cos

a,

mp
a

b^

,

Co

werden kann.

of

gesetzt

rat

(





um

offenbar

Mu

se

ist

Aöo +

+

0,c,

=

+

A,a,

0,

of

^obo

Bfi,

+

C,c,

=

0;

rL

also die zwischen den

unbekannten Grössen

cTo,

3/0,

So i^nd

^1

j

yii ^i

gegebenen

ay

und weil

ibr
a

ry

32)

the

Folglich

Er
ns

tM

linearen Gleichungen nach dem Obigen
ty,

+
+

rsi

Bogo

Un

ive

A^x^

B,y,

=
C,z, =

C
0,

(

)
>

und

)

A^x,

<
i

A,x,

+
+

=
+ C,s, =

B,g, -H Qz,
B,g,

0,

the

muss man nach

8) jetzt offenbar:

by

sind, so

Ha

rva

rd

A,x,

+
^

Dig

itis

ed

fA

33)

\b
C
(

= BA-aB„
= C,A, —A,C,,
= A,B, — B,A,

setzen.

Es

ist

also

A^

34)

+

B^ -f C^ r= (A,B,

~ B,A,f

+

{B,C,

— C,B,y

+

{C,A,

- A^Y

oder nach einer bekannten Relation:
35)

A'^

+

B'^

-^ C^

=

{A,'

+ Bi +

Ci) {Ar

-f

B,'

+

C,')

-

(A,A,

+

B,B,

-f

C„a)^


:

:

um

die

o„

+

{C,A,

— AJJ;)

A,

+

(^„c,

-

zweier in Kegelschnitten sich

Ferner

Sonne bewegender Weltkörper.

97

nach 33):

ist

+

Aff.„

, ;,

;

+

B^.«

=

Cr«

— C,B,)

{B,C,

b,

+

{A,B,



^1

+

(^o«ü



B,A,)

c,

also:


B^a„ —

Co^o

AoCo

cos

ßo

6o

cos

ßo

(ßo cos «0

+

6o

cos

ßo

cos

c\,

+
+
+

Co

COS

Y„)

Co

COS

Y„)

Co

cos

+
+
+

(«0^




y,,)

(«o"
(«o'

ze

V
V

+
+
+

^o"

Co")

COS ao

O

cos

Co^)

cos

36)

j3o,

Y„:

ive
rs

ity
l

.4„6o

C,.

.at

^0

«0

+
+

(«0 f'OS «0

^ü (»0

AA)

gie

= «0
=
=

leicht findet:
w.
bio
lo

-Bofo

6X)

ww

Co^o

^oCo)

ntr
um

man

aber nach 30), wie

ist



(CA

rg/
;

=

Cc,

ry.
o

Kun

+

B6o

-f

ibr
a

Ar/,,

+

Auf ähnliche Art

ist

+

^^o'

cos

(.4,

Co')

+

oco

.bi

+

ßo

cos

Co

B, cos

/w
ww

cos

b,

(^löo

^o)

+

ßo

+ BA +

C'iCo)

Ci cos Yo)-

Cc,

— CoA)

{BA

He
rita
g

=

+

a,

— A.Q
rsi
ty

+

Bb,

(C„^,

+

b,

ive

+

nach 33)

— B,A,)

(A5,

c,,

iod

Aa,

eL

ibr
a

(öTo'

+

(«0 cos ao

p:/



=

Cco

htt

+

B^o

ry

+

Aßo

od

also

— CA) A,

(5,c,



m

=

Cc,

+

fro

+

Bb,

(C^a,

+

B,

A,c,)

ad

+

(^,6,

— B,a,)

Co-

man

(«i"

cos

«1

5j-

+

Ci")

cos

ßi

6j"

4-

Ci")

cos

7j

na

lD

c,-)





rig
i

+

); O

=

(a/

&/

«1 («1 cos ai

MA

i?!«!

+
+
+

(öl"

+

öj

cos

ß^

-(-

Cj

cos yO

^1

(«1

cos

+

ö^

cos

ß,

+

Ci

cos

y,)

Ci

(«1

cos «1 -f

^1

cos

ß,

+

Cj

cos

y,)

a^

;

,

38)

Zo

olo

y4,6i
4,6i

^4iCi

=
=

Ci6i

e,

Ci«!





bri
dg

B^c^

leicht findet

am

aber nach 31), wie

(C

ist

gy

Nun

ow

nlo

A«,

Th

eB

also:

rat

+

cos

6i

ßi

+ ^0 cos ß, + Co
{A^a, + ^o^i + C^c,).

cf) (^0 cos «1

mp
a

6;-

Co

+

(«1 cos ai

+

(«j-

+

Cj

cos

-(,)

cos

y,)

cos

Yo

the

nach 33):

of

ist

ibr
a

C'oA) cos «0

+

cos

ßo

— A,C,)

rL



tM

{BoQ

cos a„

(0)^41

+ C
cos

cos
ßo

+

Yo

(^5,

— B,A,)

,

Er
ns

=

+ B

ry

A

ay

Ferner

Mu

se



=

Cci

of

+

B^-,

um

+

A«!

ive

also:

ßo

-Bo

rva



cos

Ha

(Co cos

Yo)

ed

aber nach 30), wie
itis

ist

Co cos ßo

Ag cos
B'o

Ya

cos ao



A

man

Dig

Nun

by

the

=

A

+ B

cos «0

rd

Un

ive

rsi

ty,

also:



-Bq

— Co


cos

Yo

cos ao

y4o

cos

ßo

+

{Ao cos

Yo

cos



ßo

+ C

Co cos

cos

ao) -Bi

Yo

+

— A^

{B^ cos ao

cos

ßo) C,.

leicht findet:

= —
= —
= —
«0

(^o COS a„

+

&0

cos

ßo

^0

(<^o

cos ao

+

^o

cos

ßo

Co

(«o cos ao

+

^o

cos ßo

+

+
+

Co

cos

Yo)

cos ao,

Co

cos

Yo)

cos ßo,

Co

cos

Yo)

cos

Yo

also

A

= A^üo

4- -Bi^o

+

C'iCo



cos ao 4-

B

(«0 cos ao 4- ^0

cos

cos

ßo

4-

ß« 4- Co

C

cos

cos

Yo)

Yo

(A^ cos ao 4- B, cos

ßo

+ Q cos Yo)-

40)


:

98

A. Grune?'t. Directe Bestimmung

J-

Auf ähnliche Art

— C,B,) cos

{B,C,

,

Dwclischnittspunkte der Bahnen

de?-

nach 33):

ist

A

=

:,

cos

+

ex,

+ B

«1

cos

C

-f

ßi

— A,C\) cos

(C'oA

cos

Yi

+

ß,

— B,A,)

{ÄoB,

cos

7,

man

cos

Yi)

B^

h^

cos

ßj

+

öj

cos

ßi

6j

cos

ß, ^- c, cos Yi) cos Yi

ßi

+

ntr
um

ze

{A^ cos
gie

-\-

cos

ßj

Ci cos «1



^1 cos

Yi

cos



-Bi cos a,

B, cos

a,) Co-

ww

(«1

cos

ai

(«1

cos

Kj

(«1 cos

a,

-f-

+
+

-|-

c,
Ci

cos

Yi)

cos

«i

cos

Yi)

oos

ßi



«,
6j



,

c,

p:/

=
=
=



,3,

rg/
;

C'i

ßi

^li

ry.
o



Jli



leicht findet:

Yi

cos

i?i

(Ci cos «i

ibr
a

aber nach 31) wie

42)

+

^0

ity
l

C, cos ßj)

cos Yi

ive
rs



ßi

od

ist

Yj

+ C

cos

.bi

Nun

cos

(i?i

+ B

«1

/w
ww

=

cos

w.
bio
lo

A

.at

also:

cos

(«1

+

tti

&i

+

ßi

Cj

cos

(A

Yi)

+

cos a,

i?o

ibr
a

C

cos

eL

cos

cos

ß,

+

Yi

C^cos yJ

— (Ai«i + BJ^i +

C'o^i)-

eB

+ V + Co' — («0 cos «0 4- öo cos ß„ + e„ cos
— («1 cos «1 + öj cos ß, + c, cos yO',
«j- + 6/ +
+ cos ß, cos ß, -f cos Yo cos Yi)
(«0«, + Ml + Co^i) (cos «0 cos
cos Yo)
(«0 cos «1 + 60 cos ßi + Co cos Yi) («I cos «0 + &j cos ßo +

^^
41:))

ad

fro

m

Yo)",

lD

ow

Ci'-

ot,

MA

); O



«o"

na

J5i'

C-V'

rig
i

+
+

-ßo'

Th

=
A{- +
C/ =
45)
AA + -Bo^i + C^C, =
A' +

44)

iod

aus 30) und 31)

nlo

man

Leicht findet

ive

rsi
ty

=

cos

+ B

cos «1

He
rita
g

A

...-.

ry

htt

also:

wir die Punkte

und
am

(ßo? ^0? "o)

mit den Punkten zusammenfallen lassen, in

(a,, ö,, c,)

(C

Wenn

bri
dg

e,

c'i

of

Co

mp
a

rat

ive

Zo

olo

gy

denen die Directrixen der beiden Kegelschnitte von den auf sie von dem gemeinschaftlichen
Brennpunkte gefällten Perpendikeln getroffen werden; so ist nach 18) und 25), weil der
gemeinschaftliche ßrennjiunkt der Anfang der Coordinaten ist:

COS

«]

+

&o

COS ßo

+

Co

cos

Yo

-1-

61

COS

-|-

Cj

cos

Yi

ßi

=
=

0,
0;

57)

ist:

ibr
a

I,

ay

rL

und nach

ry

of

the

ßj

Mu

se

um

«0 cos «0

Er
ns

tM

V +

^ü'

+

Co'

=

B-

+

C'-'



B'

+

C-

— (A

(-^)
V
.«o J

,

T

Ha

the

= — -^Po,
= — ?v (Aßo + B^o +
=
B= + C^ —
^

•>

Dig

itis

Lo

nach 19) und 26):
by

ist

ed

Also

rva

rd

Un

ive

rsi

ty,

47)

48)

il/o

A^o

A'^

-^

Cco),

n,' {A:'

+

(A cos

ä„

+ B

cos

ß«

+

cos

ß,

+ C

cos

+

cos yJ'}-

Yo)'}

und

=—TP
= _ (Aa, + Bb,
N, = A- + B- + C- —

^1
49)

il/^

4

n;'

1

7

+
71,'

Cc,),

{A-

+

cos a,

B

C


:

;

um

zweier in KecjcUchnitten sich

99

nach den obig'cn Formeln:

4

B6,

+

Cc,

=

(^)"'

+

«,

cos a,

+ B

cos

% + C

A

cos

4-

B

cos

ß,

B, cos

G, cos

+

ß,

Yo),

C, <^os

y,)



+ I^A +

^iCu,

yt

+

C,c,)

Ji,b,

-\-

50)

ive
rs

ity
l

ibr
a

ry.
o

rg/
;

A-^

cos

+

cos ß^

i5,

= A«o
+ cos = — (A«i
+ b: + a^ = [-^t

A

a,

{A, cos

[-^)

+

cos a,

(.4,

.at

Aa,



ntr
um

B6„ -f Cc„ r=

ze

+

gie

Aao

w.
bio
lo

ist

Sonne beicegender Weltkörper.

ww

Ferner

die

He
rita
g

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

/w
ww

.bi

od

Die Entwickelung dieser Eelationen genügt für unseren Zweck.

eB

Sonne sich bewegenden Weltliörpers.

die

nlo

ad

fro

m

Th

um

Allgemeiue Gleicliungen der Bahn eines

iod

ive

rsi
ty

DRITTES CAPITEL.

Wir nehmen

na

lD

ow

16.

§.

den Anfang eines rechtwinkeligen Coordinatensystems der
Die Ebene der Ekliptik sei die Ebene der x y'. Der positive Theil der Axe der

Sonne

rig
i

als

z'

an.

bri
dg

e,

x' y'

MA

); O

die

nach dem aufsteigenden Knoten der Bahn gerichtet, und der positive Theil der Axe der
y' werde so angenommen, dass man sich, um von dem positiven Theile der Axe der x durch
den rechten Winkel (x-' y') hindurch zu dem positiven Theil der Axe der y' zu gelano-en, nach
rat

nach welcher

,

mp
a

derselben Richtung hin bewegen muss

ive

Zo

olo

gy

(C

am

x' sei

Axe

der

z'

sei

Längen von

bis

nach dem Nordpole der Ekliptik

um

of

Co

360° gezählt werden. Der positive Theil der

in der Ekliptik die

Mu

se

hin gerichtet.

Axe der

getheilt

x!

wird und in welchem der positive Theil der Axe der

y'

ty,

selbe durch die

Er
ns

tM

ay

rL

ibr
a

ry

of

the

Bezeichnen wir die Neigung der Bahn, worunter wir den 180° nicht übersteigenden
Winkel verstehen, Avelchen der auf der positiven Seite der Ebene der xy liegende Theil der
Ebene der Bahn mit dem der beiden Theile der Ebene der x'y' einschliesst, in welche diersi

Gleichung der Ebene der Bahn offenbar in völliger Allgemeinheit:

so ist die

ive

/^;

=

Un

durch

rva

rd

liegt,

y'

tang

/„

oder

y' sin

^



z'

cos ^

=

0.

1)

the

Ha

z

Dig

itis

ed

by

Die 180° nicht übersteigenden Winkel, welche die von der Sonne nach dem Perihelium
der Bahn gezogene Gerade mit den positiven Theilen der Axen der x', y' z einschliesst,
seien respeetive

Axe

,

V; "»d

Z' seien die Coordinaten irgend eines Punktes in der
P-0'5
der Bahn, dessen Entfernung von der Sonne wir durch i? bezeichnen wollen; dann ist

V)

-^'5

i'',

offenbar
A''

= B cos

X„',

Y'

=

7? cos

fji(,',

Z'

cos (180°



j../),

^ R cos

v^'

oder:

X'

= R cos

(180°

— V).

Y'

==R

Z'

= R cos

(180°



v,/);


;

,

100

J.

;

:

A. Grunert. Directe Bestimmung der Durchschnittspiinkte der Bahnen

nachdem der in Rede stehende Punkt in der von der Sonne nach dem Perihelium gehenden
Geraden oder in der direct entgegengesetzten Geraden liegt; also ist:

je

=

A''

±

=

Y'

7? cos \[,

E

±

cos

=

Z'

[j.,/,

R

±

cos

v^'

Formeln die oberen oder unteren Zeichen nimmt, je nachdem der Punkt
[X'
Z') in der von der Sonne nach dem Perihelium gehenden Geraden, oder in der direct
entgegengesetzten Geraden liegt. Betrachten wir aber R nicht, wie bisher, stets als positiv,
sondern als positiv oder als negativ, je nachdem der Punkt [X' Y' Z') in der von der Sonne
nach dem Perihelium gehenden Geraden oder in der direct entgegengesetzten Geraden liegt,-

wenn man

in diesen

ibr
a

= E cos

ity
l

X'

y=

Xo',

= E cos
ive
rs

2)

Z'

i? cos (V,

od

können wir allgemein

v,'

/w
ww

.bi

so

ry.
o

rg/
;

ww

w.
bio
lo

gie

ze

ntr
um

.at

y

htt

p:/

setzen.

Bezeichnen wir die im Sinne der Längen in der Ekliptik von
ibr
a

ry

bis 360° gezählte Ent-

eL

vom

aufsteigenden Knoten durch

und den 90° nicht übersteigenden Neigungswinkel der von der Sonne nach dem Perihelium gezogenen Geraden gegen die
Ebene der x' y' oder die Ebene der Ekliptik, indem wir diesen Neigungswinkel als positiv
oder als negativ betrachten, je nachdem das Perihelium auf der positiven oder negativen
Seite der Ebene der x' y' liegt, durch Jq,- so ist offenbar in völliger Allgemeinheit
He
rita
g

P,,,

=

ow

=

cos P„ cos Jd, cos

[jLy'

P^ cos

sin

Jo; tros

v^'

=

sin /„:

nach

2)

MA

also

); O

rig
i

na

Xo'

lD

cos

3)

nlo

ad

fro

m

Th

eB

iod

ive

rsi
ty

fernung des Periheliums

e,

= E cos Po cos /„,
Y ^E
cos /„
(C

am

bri
dg

X'

olo

gy

sin

Zo

Z'

E

rat

ive

^=^

Y' Z'

Ebene der Bahn

in der

)

sin Jq.
liegt,

müssen seine Coordinaten

so

Co

(A''

mp
a

Weil der Punkt

P(,

und wir erhalten
of

1) befriedigen,

Mu

the

sin

P^ cos

sin

J^



cos

i^

1)

sin

Jj,

und

=

4) die

Gleichung:

,

ibr
a

sich

=

ay

rL

woraus

ry

of

2o

nach

also

um

Gleichung

se

die

tang

fang

/„

sin P^

ist:

ty,

Also

Un

ive

rsi

ergibt.

J,,

Er
ns

tM

5)

cos

J'
"

=
1

—-,

+

tang

!(,2

—--,

sin

sin p^i

=

J,,"
"

——.
i

_,_

tang

iq^

——

sin Pq-

the

Ha

rva

rd

o)'

ed

by

und aus der ersten dieser beiden Gleichungen
ist,

J,^

zwischen

— 90°

und

-j-90° liegt,

allgemein:

Dig

itis

also cos Jo stets positiv

folgt, weil

'

cos

7)

Jr.

^

°

Verbindet

man nun aber

V^l

+

tang

^'-

,

/o'-

sin

P^a

J^,

= cos

-/o

tang J^

ferner in völliger Allgemeinheit:
_

8)

1
,

mit dieser Gleichung die Gleichung
sin

ist,

=

Sin J,

=

tang

yi+

!„

tang

sin /'„
iQ-

sin /"„-

5), so erhält

man, weil


um

zweier in Kccjclsrluiiftcn sich

Sonne beioegender Weltkörper.

die

ohne besondere Cautelen nicht zulässig,
die Richtigkeit der Vorzeichen alterirt werden könnte.

Eine weitere Verwaiuilung dieser Ausdrücke
weil dadurcli

leiclit

101

Nach den Formeln

ist

o), 4), 7), 8) ist

cos

ry.
o

rg/
;

ww

w.
bio
lo

gie

ze

ntr
um

.at

Xu'

Dig

itis

ed

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

rsi

ty,

Er
ns

tM

ay

rL

ibr
a

ry

of

the

Mu

se

um

of

Co

mp
a

rat

ive

Zo

olo

gy

(C

am

bri
dg

e,

MA

); O

rig
i

na

lD

ow

nlo

ad

fro

m

Th

eB

iod

ive

rsi
ty

He
rita
g

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

/w
ww

.bi

od

ive
rs

ity
l

ibr
a

und

i^J


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