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Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 16-2-0019-0172

19

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w.
bio
log
iez
en
tr

um
.at

ANWENDUNG
.or
g/;

DES

AUF ZAVEIFACHE


/w
ww
.bi

od
ive

rsi
t

ylib

rar
y

SOGENANNTEN VARIATIONSCAL CU L\S
DREIFACHE INTEGRA LR
Lib
r

ary

htt

p:/

UNI)

IN

IlKK

SITZUNd DEK

'VI

ATHIvM ATISCH-NATUUWISSKN.SCHAFTI.ICHEN CI-ASSK

AM


L'l.

JULI

1861;.

); O

rig

ina
lD

ow

nlo

ad
f

rom

VOK(!KI,Kirr

Th
eB

iod

ive

rsi

ty

STRAUCH.

W.

G.

Dr.

He
rita
ge

Von

Ca

eZ

welchem vor ungefähr zwanzig

Jaln-en die

Anwendung

des (sogenannten)

mp
ara

tiv

±Jei' Zustand, in

1.

oo
log
y(

§•

mb

rid
ge
,

MA

Einleitung^.

Variationsoalcurs auf zweifache,

hat die Pariser Aka-

Co

dreifaclie etc. Integrale sich befand,

Mu

se
u

m

of

demie der Wissenschaften bewogen, diesen Gegenstand zu einer Preisfrage für das Jahr 1842
zu machen', damit endlich auch die letzte Partie des höchsten Zweiges der Analysis zu einer

soll

ibr

tM
ay

rsi

ty,

nebstdem

Maxima und Minima der vielfachen Integrale vollständig zu bestimmen, und
man praktische Anwendungen geben, die sich auf dreifache Integrale beziehen".

die

ns

um

Er

müssen,

Gränzgleiehungen herstellen, die mit den Hauptgleiehungen verbunden werden
rL

„i\Ian soll die

ary

of

the

gewissen Stufe der Vollendung erlioben werde. Die Forderung, welche gestellt wurde, war:

Un

ive

In dieser Forderung besteht jedoch nur die erste Hälfte dessen, was der Gegenstand eigentrva
rd

denn die zweite, eben so
Ha

lich erheischt;

Aviclitige

die genannte

oder

Minimum oder

Akademie

itis
ed

Maximum

Dig

ob ein

by
t

he

die Herstellung des Prüfungsmittels, d. h. jenes

nicht

und

bei

weitem schwierigere, Hälfte

Ausdruckes, welcher die Merkmale abgibt,

keines von beiden stattfindet. Der Gi'und aber,

,

Aus dem

in der

Sitzung

warum

vollständige Erledigung des Gegenstandes verlangt hat,

die

wohl der gewesen zu sein dass man fürchtete es möge
feinen Untersuchungen keine Abhandlung eingesendet werden.
scheint

ist

vom

,

31. Juli

1843

bei

Anhäufung von

erstatteten Berichte geht hervor

,

so viel

dass vor

Ablauf des Termins vier Abhandlungen eingetroffen waren, von denen aber nur zwei einer

'

„Comptes

reiidus hebtlomailaii'PS'des süances

ile

racfulcmie des sciences'^ Hand XIII, Seite

1

I7(i. .\ucli

Band XV,

S. 114l'

ii.

1145


.

20

G. W. Strauch.

worden sind'. Die eine derselben war von
andere war von Delaunav. und wurde einer Ehrenmel-

besonderen Auszeichnung würdig gefunden

Sarrus, und wurde gekrönt
dung theilhaftig^
Herr Delaunay maelite

die

'"'

:

seine Abliandlung sofort bekannt;

XVII

in den mit der Jahreszahl 1843 versehenen Band

— 120)

dem

denn

er Hess sie aufneh-

des „Journal de l'^cole royale
um
.at

men

„Memoire sur le calcul des variations'".
Dagegen die Veröffentlichung der, obgleich gekrönten, Abhandlung des Herrn Sarrus wurde
lange hinausgeschoben; und sie erschien erst in dem mit der Jahreszahl 1848 versehenen
Bande X der „M6moires präsentes par divers savants ä academie des scienees" (Seite 1
imter

Titel

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

polytechnique" (Seite 37

des vai"iations"

le calcul

Cauchy, welchem
bekannt geworden war', schon in dem mit
Indessen hatte Herr

Sarrus'sche Abhandlung im Manuscript

die

/w
ww
.bi

der Jahreszahl 1844 versehenen Bande III

analyse et dephysique mathdmatique" (Seite 50

d'

„Memoire sur

calcul des variations" eine

— 130)

ary

htt

p:/

seiner „Exercices

Lib
r

Abhandlung bekannt gemaclit

unter
,

in

dem

Titel

welcher er

He
rita
ge

le

rar
y

„Recherches sur

ylib

Titel

rsi
t

dem

od
ive

bis 128) unter

.or
g/;

1'

bezweckte, die Theorie des (sogenannten) Variationscalcul's an seine bereits mit so grossem

aufgenommene Theorie des Differentialcalcul's anzureihen, zugleich aber auch die
von Sarrus mitgetheilten Formeln auf concisere Weise darzustellen.
Nun aber sind die Resultate der genannten drei Abhandlangen nicht einmal im Stande,
der von der Pariser Akademie gestellten einfacheuForderung zu genügen": und so habe ich
mich entschlossen, diesem so wichtigen Zweige der Analysis eine neue Bearbeitung zu widmen.
2.

mb

überflüssig, hier, in der letzten Partie des (sogenannten) Variationscalcul's, die
Ca

Es wäre

§•

rid
ge
,

MA

); O

rig

ina
lD

ow

nlo

ad
f

rom

Th
eB

iod

ive

rsi

ty

Beifalle

tiv

eZ

oo
log
y(

Grundlage desselben noch einmal vorzutragen, weil diese bereits in den vorhergehenden
Partien abgefertigt sein muss. Desshalb sollen hier auch nur Resultate mitgetheilt werden, und

wenn man

und dreifachen Integrale beschränkt. Hat man nämlich die zweifachen Integrale gründlich abgehandelt, so kann man
das dabei angewendete Verfahren sofort aucli auf die dreifachen Integrale ausdehnen und von
da an hat die weitere Ausdehnung auf vierfache, fünffaclie etc. Integrale keinen Anstand mehr.
Im ersten Bande (Seite 70 und 71) meines V^'^erkes „Theorie und Anwendung des sogenannten Variationscalcul's. Zürich 1S49" habe ich darauf aufmerksam gemacht, dass die
Worte „Vai'iation, variabler Bestaudtheil. etc." in den früheren Zweigen der Analysis schon
sich auf die zweifachen

se
u

m

of

Co

mp
ara

dabei genügt es vollständig,

rsi

ty,

Er

ns

tM
ay

rL

ibr

ary

of

the

Mu

;

Un

ive

auf andere Weise verwendet seien, und dass,
rva
rd

durch die neuen Bezeichnungen dy

,

um

Begriffsverwirrungen zu vermeiden, die

d-y, etc. dargestellten Begriffe mit einem noch nicht ver-

Ha

Neuerung, die um so eher angehe, als sie
sich ja auf den höchsten Zweig der Analysis beschränke, und die früheren Zweige unberührt
lasse. Ich habe dafür die Worte „Mutation, mutabler Bestandtheil. etc.'' vorgeschlagen, und
,

eine

Dig

itis
ed

by
t

he

wendeten Worte benannt werden müssten

dieser mein Vorschlag hat seither vielen Beifall gefunden.

Band XVII.

Seite iUl und 202.

1

„Comptes

-

Ebendaselbst Seite 202.

3

Nach bekannter Übung durfte der Verfasser dieser zweiten .\bhandUing, weil sie nicht gelirönt wurde, auch nicht genannt
werden. Er hat sich später aber selbst genannt, wie man in dem so eben citirten Bande XVII. Seite 296 ersehen kann.

1

Herr

^ Wird

reniius Iiebjomadaires des seanees de l'acadcmic des scienc-es"

Cauchy war
in

einer der

einem Nachtrage

(§.

von der Akademie ernannten Berichterstatter.
10-1) noch besonders nachgewiesen werden.

91




Anioendung des sogenannten Variationscalcid's auf zweifache und di-eifaclie Integrale.

Auch

Euler

21

Wort „Mutation" ganz in meinem Sinne gebraucht; z. B. in
seiner „MetlioJus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Lausannae et Genevae 1744". Man sehe daselbst Seite 21 unten, und Nr. 58, 59 und 60 auf
Seite 27 und 28. Namentlich in Nr. 61 auf Seite 29 kommt das Wort häufig vor: und
gerade hier wird Euler's Methode vollständig erklärt.
Wir begegnen diesem Worte aber auch neuerer Zeit in einer Schrift von Gauss, welche

Man

1830".

„Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu

sehe daselbst

aequilibi-ii.

21.

§.

Abhandlung auch

hier vorliegende

Göttingae

im Entferntesten den An-

nicht

.or
g/;

Damit jedoch meine

20 und

§.

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

den Titel führt

das

um
.at

hat schon

gebrauchen. Bei späteren Anlässen

rsi
t

übliche

Wort „Variation" zu

werden, werde ich mich nicht abhal-

die geeigneter sein

,

ylib

Mal wieder das bisher

entschlossen, für dieses

od
ive





/w
ww
.bi

ich gestehe es

rar
y

schein habe, als wolle sie im Kleinen gross sein; so habe ich mich, wiewolil sehr ungern

Namen

zu benennen.

He
rita
ge

meinem Gegenstande

übergehe, will ich noch einige eigenthümliche

selbst

ty

ich zu

Lib
r

3.

§•

Ehe

ary

htt

p:/

ten lassen, verschiedene Begriffe auch mit unterscheidenden

iod

ive

rsi

Bezeichnungen erklären, ohne deren Kenntniss das Folgende unverständlich wäre. Die
Th
eB

sehr zusammengesetzten Ausdrücke und mannigfaltig verbundenen Operationen

,

oft

welche im

dadurch unterschieden, dass

ina
lD
rig

); O

letztere in

sie

Klammern weg, und

totalen

und

Differentialquo-

partiellen

Klammern einschlössen; dagegen andere

überliessen es so der Fertigkeit des Lesers, zu unoo
log
y(

Analytiker Hessen die

die

MA

tienten

Nachfolger haben

seine

rid
ge
,

Euler und

weniger fühlbar macht.

mb

ein solches Bedürfniss

ow

nlo

den einfacheren Zuständen und Beziehungen des Differential- und Integralcalcul's

Ca

sich bei

ad
f

rom

(sogenannten) Variationscalcul vorkommen, machen vielerlei Bezeichnungen nöthig, während

von totalen oder partiellen Differentialquotienten die Eede sei. Bei den Fortschritten der Wissenschaft konnten aber auch die Klammern nicht mehr genügen; und man
sah sich nach einer anderen Bezeichnungsweise um, welche mehr leiste, und um so willkommener sein musste, als die Klammern noch zu sehr vielen anderen Zwecken im Diflerentialse
u

m

of

Co

mp
ara

tiv

eZ

terscheiden, ob

d den Veränderlichen

setzt,


Ij

nach welchem

differentiirt

werden

soll.

Ist z. B.

=
ns

tM
ay

rL

ibr

ary

hinter

of

man

dass

the

Mu

calcul nöthig sinJ. Eine zweckmässige' Bezeichnung der partiellen Differentiale besteht darin,

ive

rsi

ty,

Er

gegeben, so folgt daraus

d w =^ d^w

-\-

dyW

III)

d'w=^d\w-\-'^-dj,d,jW-\-d}^w

he

Ha

rva
rd

Un

IIj

itis
ed

by
t

etc. etc.
'

dit)

Dig

Hier bedeuten also d^w und d^%o dasselbe, was bei Euler bezüglich durch \^j^



f-

]

.

'Die
in

dg

in

dargestellt wird, etc. Ist ferner

dieser

gegeben

Abhandlung durclnveg angewendete Bezeiolinung der

seinem „Traite du calcul

partiellen Differentiale hat

differentiel et integral. Paris. 3 Bd., 1810, 1814, 1819".

-i'en

Bande. Seite 527. und zwar

in

ist.

Lacroix

d"'+"z

Nr. 728. woselbst namentlich die Gleichung

.

dx^.dy"
zu übersehen

schon

vorgesehlagen

Der Vorschlag zu besagter Bezeichnung
'

sich im

dx und

dx™ dy"
.

= d"

d'^

'

z

findet

nicht



Strauch.

G. W.

22

IV)

= (p{x,tj ,z)

io

dx'"

.

,,

darstellt.

^,

.

Ebenso

^

,

der Uuotient

ist

dJ^'

~

-

.

^
rf.,-'"

"

n
dasselbe, was bei ll;uler dureh


.

dz''

I

\

d,>'

.

.

r'+«+P^

.

\

,

,

'

,/.,/"

.

dy" .dzl' 1I

I
d.r'"

.

d,j" .dz''

f

4.

§•

Hat man

ix

,

und

y)

VI) y ^/(j?)
rsi
t

w

(p

nur von x abhängig, was dadurch erreicht wird, dass
od
ive

ist

=

man

?/

aus (f{x,y) eliminirt.

totalen Differentialquotienten nach x zu nehmen, und

die

p:/

Hat man aber

/w
ww
.bi

so

io

rar
y

V)

.or
g/;

die beiden gleichzeitig bestehenden Functionen
ylib

^4)

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

um
.at

bezeichnet wird.

He
rita
ge

Lib
r

ary

htt

aus f(x,y) eliminiren; so differeiitürt man lo bekanntlich in der Weise, dass
rentiale des y als veränderlich behandelt. So verfahrend bekommt man
'^^^

iod



Dig

itis
ed

by
t

he

Ha

rva
rd

Un

ive

rsi

ty,

Er

ns

tM
ay

rL

ibr

ary

of

the

Mu

se
u

m

of

Co

mp
ara

tiv

eZ

oo
log
y(

Ca

mb

rid
ge
,

MA

); O

rig

ina
lD

ow

nlo

ad
f

rom

d^w

ive

dX
d]

Th
eB

d X

rsi

ty

dtv

man y nicht
man die I)iffc-

will


Anwendung

zwischen

es sieh

——

nur

um

und ==,

totale Differentialquotienten handelt,

§.

Hat man



23

und =^, ebenso

kein Unterschied.

etc.

dx^

d.r-

zwischen

Integrale.

5.

die beiden gleichzeitig bestehenden Functionen

w^,f{x,y,z)

XIV)

und

XV)

2

(x

=;f

um
.at

wo

auf zweifache und dreifache

,

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

hier,

des sogenannten VariationscalcuVs

3/),

x und ?/ absolut unabhängig, und w ist nur von
abhängig,
was
und
dadurch
erreicht
wird,
X
dass man z aus y
aber die vollständigen partiellen Differentialquotienten nach x und nach ?/ zu nehmen, und

man w bekanntlich in der Weise, dass man
behandelt. Will man ferner für den Verlauf der Unterx und das
auch implicit vorkommen; so gebe man
ylib

;

so differentiirt

rsi
t

z selbst nicht eliminiren

od
ive

man

die Differentiale des z als veränderlich

suchung bemerkbar machen, dass das

/w
ww
.bi

will

rar
y

.or
g/;

so sind diesmal die beiden Veränderlichen

p:/

t/

dw

d

He
rita
ge

Lib
r

ary

htt

den vollständigen partiellen Differentialquotienten auch diesmal einen doppelten Bruchstrich. So verfahrend bekommt man
z

Dig

itis
ed

by
t

he

Ha

rva
rd

Un

ive

rsi

ty,

Er

ns

tM
ay

rL

ibr

ary

of

the

Mu

se
u

m

of

Co

mp
ara

tiv

eZ

oo
log
y(

Ca

mb

rid
ge
,

MA

); O

rig

ina
lD

ow

nlo

ad
f

rom

Th
eB

iod

ive

rsi

ty

XVI)


24

W. Strauch.

G.

Klammern angedeutete Operation
Werthe an

x oder des y

zuletzt die unten

angehängten besonderen

gesetzt habe.

so fort bei Functionen mit drei und noch mehr absolut unabhängigen Veränderlichen.
§•

Abhandlung systematisch durchzuführen, mag
um
.at

Um jetzt

'•

die vorliegende

dieselbe in zwei

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

Und

die Stelle des

und

ausgeführt,

Abtheilungen gebracht werden, deren erste sich mit den zweifachen, und deren zweite
mit den dreifachen Integralen befasst.

ylib

ff

und
a

W.dij.dx

ö (x)

/w
ww
.bi

i

rar
y

ß [x]

a

ffw.dij.dx
'a

.or
g/;

von folgenden zwei Formen



rsi
t

ein zweifaches Integral in einer

od
ive

Nun kann

sich

Form

und ß unabhängig von x.
aber bei der zweiten Form sind die Integrationsgränzen b{dc) und yJ(x) Functionen von x.
Unter den verschiedenen Formen die ein dreifaches Integral annehmen kann mögen
sind die Integrationsgränzen h
Lib
r

ary

htt

p:/

erscheinen. Bei der ersten

.

He
rita
ge

,

dy

.

dx

.

und

iod

dz

.

rom

c

/j

ad
f

a

Th
eB

W

I

ive

rsi

ty

besonders folgende zwei

Form

/

s,

/
li

W

/
[x)

c {x

,

.

dz

.

dy dx
.

y)

und y unabhängig von x und y. und h
und ß sind unabhängig von x. Bei der zweiten Form aber sind c [x^y) und ;- {x ly) Functionen von X und ?/, und b {x) und ß{x) sind Functionen von x.
sind c

MA

); O

rig

ina
lD

ow

nlo

Jiervorgehoben werden. Bei der ersten

rid
ge
,

Sonach kann man jede der oben genannten zwei Abtheilungen wieder

zwei Abschnitte

Co

mp
ara

tiv

eZ

oo
log
y(

Ca

mb

zerlegen.

in

se
u

m

of

ERSTE ABTHEILl NG.

rL

ibr

ary

of

the

Mu

Aiiwi'mlung des (sugenanntenj Variationscaleul's auf zweifache Integrale.

Er

solche Inteo;rale voikoniiiicn, bei denen die Cuänzoii der ersten Integratinn unabhängig- sind von jenem
rsi

ty,

wo

ns

tM
ay

Erster Abschnitt,

durchgeführt werden

nacli welclieni die zweite Integration

soll.

Un

ive

Veiiiiidei'liehen,

1.

o-

by
t

he

Ha

rva
rd

Ün ters u diu n
8.

itis
ed

§•

sei

dz

Dig

Es

IFein reeller, mit den ßestandtheilen x

imd man sucht für

z eine solche

Function von x und

I)

U =-jj
^a

wo

h

W

.

//.

.

y

,

z

.

-^

dz

,

-^ versehener Ausdruck

dass folgendes Integral

dy .dx

''4

und ß keine Functionen von x sind, ein Maximum oder Minimum wird.
Die "Werthe von a a 6 ,9 sind liier als constant zu l'ctracliten. mit der
,

sicht, dass

a^ a

und ß'^

,

h.

,

:

steten

Rück-


Anwendung

des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache and dreifache Integrale.
d z
-—•. so

d^ z

Man

setze zur Abkürzung-

JJ
a

dx

dp

dn

dy

bekommt man

^

'

b

um noch mehr

abzukürzen, die zu den zwei Differentialquotienten der
d 33

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

Ordnung
d 3z

und

dx

dy

(Ix) und

.or
g/;

Factoren bezüplich mit

o-ehörio-en

vorerst

(I^)

rar
y

ersten

bezeielme,

dz

V

-^ und

n bezüalich statt

um
.at

Man

und

?>

25

rsi
t

ylib



/w
ww
.bi

od
ive

Gleichung auf folgende Weise:

so gestaltet sieh letztere

ß

He
rita
ge

Lib
r

ary

htt

p:/

a

Die Zweckmässigkeit dieser Abkürzungszeichen wird

wo höhere

in

den folgenden zwei Untersu-

vorkommen, noch mehr vor die Anschauung treten.
Man beachte dass die durch (la;) und (ly) repräsentirten Ausdrücke das x und das y
sowohl explicit als auch implicit in z p q enthalten, und dass durch
rsi

ty

Diflerentialquotienten

iod

ive

chungen,

Th
eB

,

.

wo

das x und das

.-

ad
f

ow

nlo



,

etc. etc.

dy

nur explicit vorkommt; und desshalb kann

?/

MA

Form geben:

md^ElH
dx
JJ

ü=

"''

'^'''^''

+
^

dy

dx
+ ('fI^M±^M±).,z]dy.
i
dz
dx
dy
)

\

^

"^

mau

bei

den durchlaufenden Differentialen die betreifenden Integrationen aus, so
Co

Führt

mp
ara

tiv

eZ

^

Ca

mb

rid
ge
,

der Gleichung II auch folgende

III)

,

dx

'

oo
log
y(

man

dy

d 3^z

,

ina
lD

dx

d 3^z



o z

,

rig



,

Functionen dargestellt sind,



d 3z

,

); O

d 3z

oz

rom

,

(I x),

[

,



.

^



dz,



,



(I x),
,



dz,

.

,

,,]

.

*]



dy

ibr

ary

/

of

U=

IV) Ü

the

Mu

se
u

m

of

gibt sich weiter

tM
ay

rL

a

+

,

OX

.



— (Iy)x

,

0^2,

.

.

dx

ty,

Er

ns

f[ i^I/l

Un

ive

rsi

rr^d^w
f

"a

djix)

/

/

\

I
''

dx

dz

— =^=
^„(i,)

dy

dz

.

f

b

he

Ha

rva
rd

-f

itis
ed

by
t

Hieraus folgt die Hauptgleichung
Dig

d.W
dz

'

d^ilx)

d,^{ly)

dx

dy

.

^

und die Gränzengleichung
VI)

f[ (I

a;)„

,

.

dz,

,

,



,

a

Deiikscbriiteu der mathemat.-naturw.

(_'!.

\VI. BU.

Abliaiid]. v.

Nichtmit^l.

(la;),

,
,

.

dz,^

J dy
.

.

dx
dy
"^
.


1

:

W. Strauch.

C.

26

Die Hauptgleichung wird in der Regel eine Partialdifferentialgleichuug der

nung

und dann nimmt

sein;

wei ten Ord-

ihr allgemeines Integral zwei willkürliche Functionen in sich auf.

Die Gränzengleichung hat bereits die Werthe a
dient dazu, die in der gesuchten Function z

=

(x


a

,

b

,

,

ß

in

sich

aufgenommen, und

y) befindlichen Avillkürlichen Stücke zu

,

um
.at

welche sich aber bald so bald so modificiren werden, je nach den verschiedenen

specialisiren,

9.

herzustellen

das Prüfungsniittel

welches

,

wenn man

.

Hauptgleichung

V

/w
ww
.bi

od
ive

rsi
t

ylib

rar
y

Form annimmt:

beachtet, zunäclist folgende

die

.or
g/;

§.
ist

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

Gränzbedingungen.

Jetzt

z

He
rita
ge

Lib
r

ary

htt

p:/

a

d oz

,d dsj

Th
eB

d dz
rom

dy

dj;

hat, dass die

ina
lD

Bedingungen aufzusuchen,

die

''

/

A ß C D E F

durch

{x ^y) eingeführt sei in die

nun

dzj~\

durch die Gränzbedingungen bereits special isirtc

rig

hat

,1

'

ad
f

zu denken

)

dx-

); O

Man


dy

,

bei

,

,

denen

,

(?''?7,

,

repräsentirten Ausdrücke.

während man

sicli

unter

o^s

jede

MA

P^unction z ^=

d dz



d dz

o\3.

.

nlo

V

ow

sich aber

^+ 2D
dx

.

-^]\.dy.dx
C.(^ +2B.^.^^ + A. W^
J

+
^
WO man


.

ty

+ 2E

rsi

d£'

ive

.

iod

Li\

F

x und ?/ denken kann, beständig positiv oder negativ bleibt. Zu diesem Zwecke versuche man, ob man dem unter dem zweifachen Integralzeichen stehenden
Aggregate folgende Form geben kann
a

eZ

oo
log
y(

Ca

mb

rid
ge
,

beliebige Function von

se
u

m

of

Co

mp
ara

tiv

(I

(^^
4dx
^

of

the

Mu

-f 2).

in

r?3-l
J

.

dy.rlx
"^

Gleichung VII unter dem dop])eltcn Integralzeiclien

rL

ibr

ary

und wenn man diese Form mit dem

@. (?^)-+ g.

IX)

21

=A

,

bekommt man
X)

S= -

XI)

,

ive

rsi

ty,

Er

ns

tM
ay

befindlichen Aggregate vergleicht, so

2)=--^-

= —^

B.rn —
6= A.fE — ij)—
'l^_^,
^^

XIII)

,

,


'-

he

Ha

rva
rd

Un

AG— B2

XII)

@

'

Man

— — 4^
— ^)
dx
Dig

XIV) (f

itis
ed

by
t

und
3-

dy

.

'

A C ~ W) = A (E —

(
^

/

\

/;)•-'
1

— 2 B (E —

hat also nur sechs Bestimmungsgleiohungen,

ry)

(D

während doch



o;) -f

C (D
.

— mf

die acht Stücke 31,

S,

(5,5),®,S,:y,ö> zu bestimmen wären, so dass zwei derselben willkürlich sind.

Weil aber diese
so

ist

die

in

VIII

Bestimmungsgleichungen nichts Widersprechendes enthalten,
aufgestellte Form in der That möglich. Führt man jetzt bei den
sechs

d

durchlaufenden Differentialen

Gleichung VII über

in

-^^

d

(ri.dz-)

und

(w.fjjä)

.

,

die betreffenden Integrationen aus, so geht

-^

dy

.


AniüObdtmg des sogenannten Variationscalcut s auf zweifache

27

und. dreifache Integrale.

a

a

a

6

Form

— XIV

IX

Schaut inan wieder auf die sechs Gleichungen

zurück; so sieht man, dass

33

5)

,

od
ive

rsi
t

,

rar
y

31

.or
g/;

befindlichen drei Stücke

ylib

die in der neuen

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

um
.at

^

man

oben besprochene Willkürlichkeit auf diese drei nicht an-

die

p:/

befinden; und somit darf

Form VII

/w
ww
.bi

vollständig durch Stücke bestimmt sind, welche sich schon in der ursprünglichen

man %

bezüglich auf

rsi

zu Null werden lässt; so

ive

XV

ina
lD

ow

nlo

ad
f

rom

und

iod

XIV

ty

benütze nun diese Willkürlichkeit vorerst dazu, dass

reduciren sieh die Gleichungen

Th
eB

Man

He
rita
ge

Lib
r

ary

htt

wenden, sondern nur auf zwei der folgenden fünf:

); O

rig

und
MA

+ 37„,,.«X,, — (Ia.-)a.,„-'?'2a,,, — '?a,_v-0''Sa,J

-dij

mb

rid
ge
,

/

XVII) 0"'?7=y[(Ia;)„,„.
oo
log
y(

Ca

a

ßl/)..

*



-«'Sx,*

ö^x.4



^K.i]

dx

eZ

+ßiil/)..ß-^''^-..ß+(^.,ß-^^l,ß"

rrr,ddz
«

«

d

«

(Sz

,

.

d dz

,

T

Mu

se
u

m

of

Co

/'

mp
ara

tiv

a

immer noch

ein willkürliches Stück.

of

the

In den beiden letzten Gleichungen befindet sich aber
ary

kann man

ibr

als willkürlich, so





,

+

Er

Ö 's«

V]^

ty,

,

eine solche Function von

sein lassen, dass

y

,



.

f)zl
,

^



(I a'),

,,

.

ff'z^
,

,,



^a

,

,

O'3'f

_,,

=

()

ive

,

rsi

[Ix)^

rj

tM
ay

nach y identische Gleichung-

ns

die

r]

rL

Nimmt man nun

Un

d

Gleichung

XVI

eine Function von nur
rva
rd

Weil also für

rj

Ausdruck,

wo

so

ist

rj

-^^0;

und

he

by
t

itis
ed

Dig

rentialquotient

ist,

reducirt sich auf

(F— ^).(AC — B')=A.(E —
Wenn man

y gesetzt worden

Ha

Stattfindet.

7y)-

— 2ß(E — 3y)(D — w) + C.(1) — w)'

jetzt diese Partialdifferentialgleichung,

-^
7r{x)

enthält, integrirt

;

so

bekommt man

eine willkürliche Function von

wenden, dass die nach x identische Gleichung

x

welche nur noch den einzigen

für
ist.

ü>

einen mit x ,y

^

ti{x)

Kann man sodann

Diffe-

versehenen

7r(a;)

so ver-


,

53

,

S

,

so redueirt sich Gleicliung
Ü)

®

,

Ausdrücke

die

XVII

AC— B2

d OZ

d OZ

A

T\

/.i

AfE — r,)— BfD-


t

dx

für

nunmehr folgende Form annimmt:

einsetzt,

m,

man

auf das Doppelintegi'al, welches, wenn

um
.at

stattfindet;
3(

W. Strauch.

G.

AC -

'

r)zy\.dy dx
ww
w.
bio
log
iez
en
tr

28

B^

AC — B-'

Form erkennt man, dass der Zeichenstand des d' U nur von A und
A
alle von b bis ß stetig nebeneinander liegenden Werthe, und
abhangt, d. h. wenn man dem
auch dem x alle von a bis a stetig nebeneinander
bei jedem einzelnen dieser Werthe des
dieser

.or
g/;

Aus

ylib

rar
y

?/

od
ive

und

ist

auch d-

Nun kann man



und

beständig negativ bleiben, so
He
rita
ge

A

Ausdrücke
A

Lib
r

ary

wenn aber dabei

d

^

dy

y

2

'Js

dy

'

ow

nlo

dx

)

MA

); O

('^''^^\
'y.

Ä

J

rid
ge
,

zu folgender höchst beachtenswerthen Regel gelangt:

ergebende Ausdruck positiv oder negativ sein
mb

U

sich

Ca

der für d'

"^

dx

oo
log
y(

„Wenn

man

^

AC-B2

'^,.''~^-

A

dy

\

ist

^d

d Sz

t^z

dx

ina
lD

B

,

i-*^./^^

rig

.

bringen; und so

^y'-f^negativ.

ad
f

)

Form

ohneweiters auf die

auch

rsi

dx

\

ive

dz-i

iod

,d

^

ist

ty

das Aggregat
Th
eB

2) die beiden

U posi-

htt

p:/

beständig positiv bleiben, so

rom

tiv:

A

Ausdrücke

die beiden

/w
ww
.bi

wenn dabei

liegenden Werthe beilegt; und
1)

rsi
t

?/

„beliebigen für os zu wählenden Function;

so

muss das Aggregat

soll

bei jeder

positiv oder negativ

eZ

während man dem ?/ alle von b bis ß stetig nebeneinander liegenden Werthe. und
auch dem x alle von a bis a stetig nebeneinander
„bei jedem einzelnen dieser Werthe des
„liegenden Werthe beilegt".
Dabei beachte man nocli folgenden Ausnahmsfall: Wenn J), d. h. wenn (AC— B^) bei
zu
einigen oder gar bei allen von a bis a und von b bisy? liegenden Werthen des x und des
Null wird, so bleibt die eben ausgesprochene Regel noch immer anwendbar: sie verliert jemp
ara

tiv

„bleiben,

the

Mu

se
u

m

of

Co

i/

alle

Anwendbai'keit, sobald ein einziger der sechs Ausdrücke
Er

ns

doch

tM
ay

rL

ibr

ary

of

i/

.

E

,

I)

,

C

,

B

,

A

Un

ive

rsi

ty,

F

den Nenner bekommt.
und zu diesem Ende
genügen;
Jetzt ist man auf dem Punkte, der Gränzengleichung zu
sollen folgende vier Fälle vorgenommen werden.
rva
rd

einem der genannten Werthe des x und des

?/

Null

in

itis
ed

by
t

he

Ha

bei irgend

Dig

I
§.

zfall. Wenn
Erster Gränzfall.

für die

U).

Gräuzen
keine Vorschriften gemacht
G

auch die Ausdrücke
«

•^;. ^,,

)

o z^

und

«X.,

sind,

so

haben


:

Amoendung

und

des sogenannten Variationsccdcul s auf zweifache

29

drefaclie Integrale.

durchaus keiner Bedingung zu genügen. Hier sind die bei ^ aufgestellten vier Ausdrücke

dem Werthe nach ganz unabhängig von einander, obgleich sie alle aus einer und derselben
Form dz^,i herstammen. Ebenso sind die bei O aufgestellten AÜer Ausdrücke dem Werthe
nach ganz unabhängig von einander, obgleich sie alle aus einer und derselben Form o^s^,„

Und

herstammen.

so fort.
ww
w.
bio
log
iez
en
tr

um
.at

Die Gränzengleichung muss also, damit ihr genügt werde, in folgende vier einzelne
zerfallen

=

In den Gleichungen

0.

rar
y

und müssen,

ylib

rsi
t

constant; sie sind aber nach

?/

x

od
ive

4) ist

identisch,

/w
ww
.bi

und

Differentialgleichungen sind, als totale Differentialgleichungen nach

und hierauf

substituirt

gen bei Specialisirung der
in

XVII

können

integrirt hat,

htt

p:/

Function in letztere vier Gleichun-

ergebenden vier Integralgleichun-

die sich

eingegangenen) willkürlichen Stücke benützt werden.

(in z

Ausdruck reducirt

für das Prüfungsmittel aufgestellte

sich jetzt auf

V

^^'a

,

,

- ^a

J

i>zl

,•

,

,

%+ /

.

(OJ,
,

.d dz

d dz

.„

.

dzi
,



,5

O),
,

,

.

,

,)

.

C?«

.d,dz

.„1

von den zwei Stücken
ist

auch

also

r^

kurzweg

oo
log
y(

Ca

zu Null werden, so

und w eines willkürlich. Lässt mau

r^

rid
ge
,

ist

mb

Nun

MA

); O

rig

ina
lD

ow

/*/r

,3

nlo

a

b

rom

,

ad
f

^ =. /('?«

Th
eB

a

ß

^'

iod

ive

Der

allgemeine

gefundene

die für z

ary

wenn man

und müssen,

behandelt Averden.

cc

Lib
r

Erst

gen

identisch,

y

He
rita
ge

sie

sind aber nach

sie

=

Differentialgleichungen sind, als totale Differentialgleichungen nach?/ behandelt werden.

In den Gleichungen 3)

wenn

4) (Ij/),,,

,

ty

sie

x constant;

2) ist

=

{ly\^,

3)

,

rsi

wenn

und

1)

=

(Lt),„

2)

.

.or
g/;

(Ix)„,,

1)

d

reducirt sich auf:

Co

XVI

of

und Gleichung

mp
ara

tiv

eZ

T/

a>)

+

C.(D



ft))'^

ary

^[x ,g

,

-

{x)]

Er

ns

tM
ay

=

10

Zusammensetzung der drei Bestandtheile x,g und 7t{x)
eine willkürliche Function von x bedeutet. Damit aber bei letzterem, für
Ausdrucke nur das zweifache Integral zurückbleibe, muss noch die nach x
rsi

hergestellten.

ive

(x)

Un

/T

rva
rd

während

Ha

f/"

ty,

^[x,g,7r{x)] eine ganz bestimmte

ist,
0-'

bekommt man

he

wo

so

ibr

jetzt diese Partialdifferentialgleichung integrirt,
rL

Wenn man

of

the

Mu

se
u

m

(F— ^).(AC — B^) = A.E^ — 2B.E.(D —

Dig

itis
ed

by
t

identische Gleichung

oder vielmehr

$
stattfinden,

f [^ ,/5,

TT

(X)]

.

dzl,,

_

|[;r

,

6

,

TT (X-)]

.

oX^,

=

und dieser Gleichung kann man auf zweierlei Weise zu genügen suchen. Man

sehe nämlich zu, ob
1.

^[x,y

für

,7:{x)]

Tr{x)

eine

solche

Function

schon identisch zu Null wird.

des

einzigen Veränderlichen

Wenn

x möglich

aber dieses nicht angeht, so sehe

ist,

man

dass

zu,

ob


G.

W. St?- auch.

(x)

absondern

30
aus der Gleichung z^ sich

tt

bestimmte und mit den fünf Bestandtheilen b,ß,x

,rjzl^i,

-{x)=Cib,i3,x,

eine ganz

(x)

tt

Zusammensetzung

dzi^^)

,

jetzt übergelit in

= ^[x,ij

a)

C{h ,ß,x,dzl^,,dzi^^)\

,

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

bekommt, und w

fj.zl_i,

für

jverseliene

r>s^

,

man

so dass

lässt,

Dabei bleibt nur
-

'

d dz

A

w

seinen Ausdruck

einsetzen muss.

Was

aber auch immer das Er-

und

ob

ü beständig

(T

ary

§.

bemerkt wurde, nur von

negativ oder positiv bleibt.

ive

rsi

ty

ab,

wie sclion im vorigen

es doch,

Lib
r

A

mag, so hängt

sein

(o

He
rita
ge

gebniss von

htt

p:/

aber noch für

A.C-

'

/w
ww
.bi

wo man

dx

y

od
ive

rsi
t

ylib

rar
y

.or
g/;

"

um
.at

2.

11-

Die gesuchte Function soll nur aus jenen Functionen herausgewählt

f al 1\

= a,x-:=ß,?/ = 6,_?/=^9 sich bezüglich auf folgende vier Ausdrücke
rom

alle bei

aj

f'ii/)

V'iy)

f"'(«')

,

f""(^-)

,

<

rig

.

Bei dieser Vorschrift müssen folgende zwei Systeme von (Ueichungen
,

=

r;,2,,,^

,

^'z.,y

=

,

r;^3,,,,



,

o^^^,,,

=

.;^3,,,,

=

()

,

etc.

()

,

etc.

Ca

und

MA

'>X„

rid
ge
,

=

mb

'>X,,

oo
log
y(

); O

specialisiren.

5

ina
lD

ow

nlo

werden, welche

Th
eB

(Irä nz

ad
f

Zweiter

iod

§•

'vX,,=--.ü

=

()

eZ

,

,

statthnden. Die Gleichungen

GUeichungen (^ sind nach x identisch.
also diesmal von selbst hinweg; und wenn die obigen vier
si^^d

nach

und

?/,

die

Co

5

mp
ara

tiv

cf

Die Gränzengleichung VI

se
u

m

of

fällt

of

=

f'(//)

<

ary

.Sa,„

müssen auch

6)

2a,y=\"{:y)

Tj

,

.S^^_,

=

die vier
f"'(x)

,

Gleichungen
S)

Z^^_,

= \""{X)

rL

ibr

5)

sind, so

the

Mu

Ausdrücke bestimmt vorgeschrieben

durcli Integration der liauptgleichung

tM
ay

bei Specialisirung der

eingegangenen willkürlichen

o.

rsi

ive

x

statt

Un

dann

und dann ß statt y in 5) und 6) ein. Man setze ebenso zuerst a und
und 8) ein. Auf diese Weise gelangt man zu folgenden vier neuen

setze zuerst b
in

7)

rva
rd

Man

ty,

Er

ns

Stücke mitbenutzt werden.

Dig

itis
ed

by
t

he

Ha

Gleicliungen":

'

.s.,.

=r

11)

,-.,,,

^r(i)^f"7r/)

(^)

= r{a)

=

(;5)=r(a)

,

10)

,

12) z,,,,=\"(ß)

^.,,,

f'

= r{'^)

Eine auf diesen zweiten Gränzfall bezügliche geometrische Aufgabe ist folgende: „Man sucht zwischen zwei Paar parallelen und
aufeinander senlu-echten Kbenen die Ivleinste Flüche unter allen jenen Flächen heraus, welche durch vier feste Curven, die
in

-

9)

den genannten vier Ebenen liegen, begränzt werden."

Bei der, in voriger Anmerlying gestellten, geometrischen Aufgabe lässt sieh die Nothwondigkeit, dass die vier Gleichungen
9



12 stattfinden müssen, sehr leicht veranschaulichen.

Ebenen schneiden

sich nämlich

der gegebenen vier Gränzcurven gemein sein muss, weil
konnte.

Die

vier, in

nach vier graden Linien; und

man

den Endpunkten der Abscissen

in jeder

dieser vier

Graden

a,

liegt ein

,

a

,

h

,

ß

senkrechten,

Punkt, welcher zweien

sonst durch sie (diese vier Gränzcurven) keine Fläche hegränzeu


:

A^iwcndung des sogenamtteii

uiid

auf sioofache

l'm/atioii^ca/cu/'s

dleif'ache Integnde.

31

Sobald eine einzige dieser vier Gleichungen einen Widerspruch in sich trägt, ist unser zweiter
Fall, wie er hier gestellt ist, unmöglich. Sollten aber die vier vorgeschriebenen Ausdrücke
f'(y)

Der

9

— 12)

letztere sich so specialisiren

werden.

erfüllt

um
.at

genannten vier Gleichungen (Nr.

lassen, dass die

f""(^)

,

noch willkürlich sind; so müssen

sich enthalten, die

in

f"'(^)

,

Ausdruck XVII reducirt

für das Prüfungsmittel aufgestellte allgemeine

sich jetzt

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

Stücke

\"{y)

,

Maximimi oder Minimum

.or
g/;

von selbst auf das zweifache Integral, so dass es diesmal gar nicht nöthig ist, sich um die
Functionen rj und w zu bekümmern, und dass es ohneweiters von 51 und 3) abhängt, ob ein

§

od
ive

12.

Gränzen

Gleichungen

die zwei

vorgeschrieben sind; so findet zwischen

ws,,

und

und ebenso zwischen oz^^ und

ö'.i„,„,

.;.s„,,

ive

Th
eB

folg'ender

dz,^„

.

.;,3,,,

.

= ^V
d'z^,, = w

16)

,


18)

,

ad
f

= %'
=w

r?'.s,_„

.

und

r?'-2,,j

als

abhängig,

Form:

rf ^„,„

<^^..ß

+
+

n
Q"

.



«X,„
^^..ß-

jetzt

und

f)z^„

oz^.

nimmt

so

,,,

MA

man

die

Gränzengleichung

\l folgende

rid
ge
,

Eliminii-t

); O

rig

17)

rM.,„

man Gleichungen von

nlo

15)

,

rom

ab; so bekonnnt

sie

dz^,

,

ow

und soikUm-c

behandle dz^^„

iod

Man

eine Abhängigkeit Statt.

ina
lD

liz^^^^

rsi

ty



He
rita
ge

Lib
r

ary

htt

p:/

für die

/w
ww
.bi

G ranz fall. Wenn

Dritter

rsi
t

ylib

rar
y

stattfindet.

Ca

mb

Form an

"

mp
ara

tiv

eZ

oo
log
y(

ß

in

folgende zwei:

se
u

m

of

Co

Diese Gleichung zerfällt aber ohneweiters
19) (I:r)^,^_(I:^-),_„.^;V=.0

20) (ly),,,-

(I^),.

,



.

r=

0.

the

Mu

,

(13,14,19,20), welche bei Specialisirung der
durch Integration der Hauptgleichung eingegangenen willkürlichen Stücke mitbenutzt wer-

Man

tM
ay

rL

ibr

ary

of

hat also abermals vier Gleichungen

Er

abhängigen Stücke auch aus XVII, und beachtet man
ty,

jetzt die

die Glei-

rsi

man

ive

Eliminirt

ns

den müssen.

U=f{y!^,„ -rj^„,,.
by
t

rf

r --

{I^).,„

G')


Dig

itis
ed

XIX;

he

Ha

rva
rd

Un

chungen 19) und 20); so bleibt nur

a

a

Um
lasse

li

*'i

nun diesen Ausdruck

man

so einzurichten, dass nur das zweifache Integral zurückbleibt,

vorerst folgende (ileichunff


G. W. Strauch.

32

=

'y«..v-'?a,.-r-(I^-)a,.-O'

Dadurch bestimmt

Tj

ist-^

=

XVI

Gleichuno°

0.

(1.11

sich

Function des einzigen Veränderliehen

als

tj

PartialdifFerentialgleichung

wo

ergibt

eine willkürliche Function von
.or
g/;

dieser

versehener Ausdruck,

— 2B(E — 3y)(D — w) + C.(D— w)^

r;)^'

tt i^x)

rsi
t
od
ive

.F''-(Ii/).,,.Q"
/w
ww
.bi

Der

XIX

Ausdruck
p:/

für das Prüfungsmittel aufgestellte

und

©

ab,

ob ein

die

reducirt sich also auf das

Maximum

oder

Minimum

He
rita
ge

Lib
r

51

ary

doppelte Integral, und es hangt abermals von
stattfindet.

Gränzen vier Gleichungen,
rom

Vierter Gränzfall. Wenn

13.

Th
eB

§.

iod

ive

rsi

ty

oder keines von beiden

ist,

w ein mit x,v/.
man so benützen

=

htt

stattfindet.

x

für

ylib

kann, dass die nach x identische Gleichung

co.,ß-oy^.

sich

rar
y

Ttix)

und somit

reducirt sich also auf

(F— ^).(AC — ß-) = A.(E —
Durch Integration

?/,

um
.at

d

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

Stattfinden.

z.

B.

§.11

); O

eigentlich wieder den zweiten Fall, d. h. es finden wieder

aufgestellten Gleichungen

9

rid
ge
,

die in

man

so hat

MA

vorgeschrieben sind;

rig

ina
lD

ow

nlo

ad
f

für die

Dabei

™if^ (^ Statt.

fällt die

Gränzengleichung wie-

sich diesmal ebenso, wie in §. 11,

um

die

Bedeutung von

rj

und w nicht zu

tiv

braucht.

m

of

Co

mp
ara

bekümmern

man

eZ

tegral, so dass

oo
log
y(

Ca

mb

der von selbst Aveg, und das Prüfungsmittel reducirt sich ohneweiters auf das zweifaclie In-

14.

Mu

se
u

S-

in

dem Ausdrucke IFdie

beiden Difl'erentialquotienten

sei

vorkommen, sondern
ibr

zugleich
»

rL

dy

'

es

kann auch einer derselben

~

fehlen. Z. B.

^^^

TFein reeller, mit den Bestandtheilen x^y

.,z,

versehener, Ausdruck; und

ty,

Er

Es

-^

tM
ay

d.

ns

-^— und

ary

of

the

Zusatz. Nicht immer müssen

?/,

dass das Integral

rva
rd

Un

ive

rsi

sucht für z eine solche Function von x und

Ha

a

ü=f fw. dy

.

dx

wo

und

b

Dig

itis
ed

by
t

he

XX)

fl

und ß keine Functionen von x sind, ein Maximum oder Minimum wird.
Hier bekommt man die Hauptgleichung

die

d,W

d^{lx)

dz

dx

Gränzengleichung
XXII) J[(Ia;)„,,

.

oX..



(I^)a,,,



«X, J] .dy

=

mau


:

Anwenchuig den sogenannten Variaüowicalcid s auf zweifache und dre fache

Für das

bekommt man zunächst

Prüfuiiii^sinittel
ö'

XXIII)

U^ f[{ [x)„

f^z„

.



.

,

-



(I:r),

,

r;--'3,

.

,

.

.

„]

dp

sich

Function s

aber zu denken hat, dass die durch die Gränzbedingungen bereits specialisirte

= ^(x,g)

C,E,F repräsentirten Ausdrücke.
nach dem Vorgange des §. 9 verfahrend,

eingefülirt sei in die durch

man

aber,

auch

fol-

rar
y

Letzterer Gleichung kann

.or
g/;

wo man

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

um
.at

'J--'

33

Integrale.

j

[(Ix),

,

.

(7'

,

3,



,

+

y;,

dzl

.



.

,



— (Ix),

_

(?".2,

.



,



/w
ww
.bi

U-^



y/a

,



,

ö'-a

.

J



(iy

p:/

>r

XXIV,

XXV)

S) ===

bekommt man

so

iod

mit

man XXIII

XXVI)

®

= ^^

ow

nlo

,

ad
f

C

rom

Th
eB

Vergleicht

ive

rsi

ty

He
rita
ge

Lib
r

ary

htt

XXIV)

od
ive

rsi
t

ylib

gende Form geben

rig

ina
lD

und

); O

(F-g-:;^).(;^(E--,)^
Ca

hat also diesmal nur drei Bestimmungsgleichungen,

während doch

die vier Stücke

mp
ara

tiv

eZ

oo
log
y(

Man

mb

rid
ge
,

MA

XXVII)

of

m

zurück, so sieht man, dass es auch diesmal

man

aber wieder auf

am zweckmässigsten

ist,

das

und

XXVII

auf

of

XXIV

tM
ay

rL

ibr

Gleichungen

the

Mu

behandeln, und zu Null werden zu lassen. Dabei reduciren sieh die

als willkürlich zu

ary

Stück %

XXIV

Schaut

se
u

(ileichung

ist.

Co

zu bestimmen wären, so dass eines derselben willkürlich

+

o^„,,.^.s^,,



(la;),,,.^'^,,,

— 3y.,„.^s;,J.J^

rsi

ty,

Er

ns

XXVIII) Un

ive


by
t

he

Ha

rva
rd

,

Dig

itis
ed

UlK

XXIX)

Wenn man nun

diese Partialditferentialgieichung integrirt, so

mit x,y^iz{y) versehenen Ausdruck,
so

(F-^).C.--.(E-.,)^
wo

T.{y)

bekommt man

für

Man

erkennt also, dass es diesmal

Minimum oder
I>eiik.scliriften

XXVIII auf das zweifache Integral zurückvon J) = C allein abhangt, ob ein Maximum oder

keines von beiden stattfindet.

der iiKitliem-naturn

.

C'l.

XVI. Bd.

einen

eine willkürliche Function von «/ist, die noch

verwendet werden kann, dass sich Gleichung

zieht.

rj

Abli.iiidl. v. Nichtüiityl.

®


:

34

W. Strauch.

G.

Untersuchung

2.

15-

§•

dz

d^z

sei

PF ein reeller, mit den Bestandtheilen x ,v
'^

rfa;

,

rfv

'

d^d

d'^z

,

,
'

'

-^—



man

'

sucht für z eine solche Function von x und

Integral
a

,1

«/,

d^z

z

dx .dy

,
^

—^

ver-

dy^

dass folgendes

q

r

wird.

.

/w
ww
.bi

od
ive

Minimum

s

,

t

.

ary

htt

,

dy

d"j: z

z

dx-

d j: d

dz

z
ii

ii

dr.dy

ty

dx

y

rsi

d

dif'

ive

bekommt man

dX z

He
rita
ge

Lib
r

statt

dW
W

W

d

d„W dJz

dSz
Sz
d

d

'dp

dz

dx

dg

'

dy

'

d-i
d-(h

((•

dyi

dr

); O

dx dy

dt

MA

ds

(V

;—

1

.

.

d

i)z -\

—dy

r



"V

"

^

^'

J

rid
ge
,

um

noch mehr abzukürzen, die zu den zwei Differentialquotienten der ersten
mb

bezeichne,

d,



Ca

Man

d d oz

rig

W

d

H

ina
lD

ow

md

Th
eB

iod

vorerst
rom

bezüglich

odei-

rsi
t

Maximum

p:/

p

so

sind, ein

und ß keine Functionen von x
Man setze zur Abkürzung

ad
f

h

nlo

wo

ylib

rar
y

.or
g/;

U^ffw.dy.dx

l)

"

,

dx^

um
.at

'

sehener, Ausdruck; und

z

,
'

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

Es

d Sz

d dz

tiv

eZ

oo
log
y(

Ordnung
mp
ara

und
dx

Co

dy

Mu

se
u

m

of

gehörigen Factoren bezüglich mit

und

{\y)

ary

of

the

{\x)
die zu

den Differentialquotienten der zweiten Ordnung

tM
ay

rL

ibr

Auf analoge Weise bezeichne man

d X d dz

d" "*
Sz

y

!/

Er

ns

d~ 8 z
X

5

dx

.

d y-

dy

ive

rsi

ty,

dx"

rva
rd

Un

gehörigen Factoren bezüglich mit

by
t

itis
ed

gestaltet sich letztere

(lUf)

,

Gleichung auf folgende Weise

Dig

Dadurch

{Ilxy)

,

he

Ha

(llx^)

r'r'f
a

+
Man

d

II'




(Ilxy)

.

^Z_ +

(II?/-)

dx .dy

beachte, dass die durch (Ix)

,

(ly)

.

JL_ \.dy. dx
dy- J

,

(Ilic')

,

(llxy)

,

(II?/')

das X und das y nicht allein explicit, sondern auch implicit in

und dass

die

Ausdrücke

dZdz

d dz

'"'^

r

.

dargestellten Ausdrücke
/'

.'y

.

r

.

.v

,

/

enthalten,


Anwendung

des sogenannten

Variationsccdcid s auf zweifache und. dre fache Integrale.

d^Sz

oz
als

——

,

—-

d-iz

-—-

,
^

'

0-z

,
^

dii-

wo das x und das y nur

Functionen,

d


dx

d^Ji::

,

dx

,
'

35

d' >P z
,
'

,
'

,
'

dy'

etc.

explicit vorkommt, zu betracliten sind;

und desshalb

kann man die Gleichung II auch auf folgende Weise darstellen:

d^'

d

.

Kd
1

+

i

d a\xv)\

{11 X')

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

STJ=JJ\

um
.at

d^d^X{llxy).8z]

d dz ^

dx

man

od
ive

d^d,^(\ixy)

j;(ii=.'2)

dy

dx dy

'

dx-

d:i(nf-) .
p:/

dx

/w
ww
.bi

if

c/„(i2/)

dy-

.

)

''

'

)

ary

dz

^

den durchlaufenden Differentialen die betreffenden Integrationen
Lib
r

jetzt bei

He
rita
ge

Führt

d^(ix)

htt

d

,d^w

rsi
t

ylib

rar
y

.or
g/;

III)

(II «?/).,„,.

r7

ive

(;3„,,—

.

+

.3,,^,

dmx^)

,

d

(II .»•«),

(Hxi/),.,

.

r?s,,„

d dz.

,

nlo

ad
f

rom

r'v

Th
eB

iod

IV) dlJ={\lxy),^.^. ö\s,,^,— (IIa:?/),,,

rsi

ty

aus. so gibt sich weiter

ow

^.

diWiß)

(11

); O

rig

].ä,,

xy).

dJz.

.

Ca

mb

d

MA

Adjlly^

-1

.»X.,-(II.%,„.(^
rid
ge
,

-l(i-)-^s

djz.

.

ina
lD

d,(llxy).

d (llxy)

(II»'-)

^

,

d dz

~i

.

L

dx

c?2

dy

dx.dy

dx'^

J

dy^

ary
ibr

d,W

djlx)

=i=
— .=L^=. 4dx
d^ily)

ns

^

d'~

dy

dß,,{nxy)

4(IIa^-')

dx^

+

dlilly'')

-f

dx dy

dy

.,

.

=

rsi
Un

ive

die Gränzenffleichuno;

rva
rd



(IIa-?/),,,

öX.4

.



(IIx?/),,^

.


itis
ed

by
t

he

Ha

VI) {llxy)^^^.dz,^^

Dig

und

ty,

Er

V)'

of

Hauptgleiehung

rL

folgt die

tM
ay

Daraus

the

Mu

,7,/

se
u

m

of

Co

mp
ara

tiv

eZ

d

oo
log
y(

:i

d (11x2)

,

r\

,

d

(i

(lly'i)

(IIa;«),

dSz

T

,

rdj^^

d (Uxy)^

*

a
,

,

'

d (lly^)

diUxy).

fddz

"i

.

dz,^,


8

36

z

G. W. Strauch.

.

Die Hauptgleichung wird

Ordnung

und dann nimmt

sein;

Regel eine Partialdiffereutialgleichung der vierten

in der

allgemeines Integral vier willkürliche Functionen

ihr

inj

sich auf.

Die Gränzengleichung hat bereits die Werthe &

z=^^{x

m

ß

,

sich

aufgenommen, und

dient]

y) befindlichen willkürlichen Stücke zu specia-

,

um
.at

dazu, die in der gesuchten Function

a ,b

,

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

welche sich aber bald so bald so modificiren Averden, je nach den verschiedenen

lisireu,

Gränzbedingungen.

rar
y

für

U

d'-

ylib

Der

das Prüfungsmittel herzustellen.

ist

ergebende Ausdruck wird

sich

rsi
t

Nun

.or
g/;

16.

§•

od
ive

aber aus viererlei Aggregaten bestehen:

aus einem solchen, das von jedem Integralzeichen

2.

aus einem solchen

3.

aus einem solchen, das unter

4.

aus einem solchen, das unter

/w
ww
.bi

1.

ferner

dem

einfachen Integralzeichen

und

/.

He
rita
ge

Lib
r

ary

das unter

,

htt

p:/

frei ist;

dem

einfachen Integralzeichen

steht; zuletzt

iod

ive

rsi

ty

/

dem zweifachen
rom

Th
eB

Integralzeichen

/

stellt.

aber folgendes:

ist

ow

nlo

ad
f

Das mit dem doppelten Integralzeichen versehene Aggregat

/

^+

ina
lD

.oV+2A,.o^^-^- + 2k,.

dz

rig

A,

//

+ 2k,.dz-j^^

2Ä,.
rid
ge
,

MA

); O

VIT)

"

mb

2K.<)z

,

d dz

Ca

d dz

d 8z

d- 8z

d dz

d d dz

d dz

+2B,^.^+2B3^.-f^+2B,-^.^'idx
dx
dy
dx
dx.dy

d- d

2B,-^.^
dx

+

a.v-

eZ

\

-7dx J

dy-

dxdy

d dz
X
-^^^
^dx^
dx.dy

D.'

2

+

.

2D,
"

^^
dx-

d

d^ d z

dy'

i/

^

d-dz

d- dz

d

d-

+

1'

d dz

.

dy-

d dz

ibr

-^

ddjz

d-äz

dx.dy

dtß

'

dx.dy

V

'

f

'

sich aber zu

denken hat, dass

he

by
t

itis
ed

A,

Dig

C,
repräsentirten

Man

,

bereits specialisirte

G,

C3

,

A3

,

,

A,

,

C,

.

A,

A„

,

D,

,

,

B,

,

D,

,

D3

,

.

B,

,

B^

E,

,

.

B,

E,

,

B,

,

F,

,

einundzwanzig A u s d r ü c k e.
man

Aggregat auf folgende Form bringen kann:

letzteres

/,

I

-.d\rj.<^z^
dx

A,

,

versuche nun, ob

a

^^
-^r

Gränzbedingungen

durch

sei in die

Function z^=(p{x,y) eingeführt

1

die durch die

Ha

wo man

rva
rd

Un

ive

rsi

ty,

Er

ns

'

tM
ay

rL

d

ary

of

dx-

dy

Co

d x-

d d dz

of

^

d^dz^-

(
\

.

dy

'

d dx

m

D,

d'dz

se
u

,

dy

V.

d dz

Mu

'

'i

the

'

mp
ara

tiv

ß.-

oo
log
y(

d dz

d Sz ,^

+

'hi-

y'

^
'

d dz
2rj
'

.dz-^—
^
dx

,

yj"
'

diU

.

.2

f'/Js

.[^--\
^ 2e.dz^
+ 2s
\
dy
dx
I

d oz

dos'i^

doz

+
-^.^
dx
dy

,

s"

.[^]
V

,/_,/

/

J


z

Anwendung

,

dy

dx

dy

iJz

'^

'

d

'

i'iz

,

/i"

.

\

'

'

d

z ^.,'\

-^
V
du
fi

>

\

^i

fi

+

d.v

^')z]

91

'

,.,

)

i

,.)

dx

1

d
ylib

rar
y

'

2/x'

-i

dx

d dz

iJz

dy

V

d

^

91""

ßz
^^
^^
+
dx
dy
d

^^ +
du

'

d

+

dx'^

d,dz
d dz

,)z

.

i)

-fdy

d dz

dxd

,

9('"

d 3z

d\fiz
rf- nz

V

d

+
-V
dx-

91"

2/1

'

d' S z

dx.dy

V

d-dz

-^~
+
dx.dy

5r

d Sz

d

,

'

d^d'U

dy-

V

f

}

L

^+

.

d Hz

-i

um
.at

91

d Sz

,

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

"

d'iiz

,

+

d^dz

+w".{\ -^—
+ 2co'.dz^
)
dx
d.v

\co.r)£'

37

Integrale.

.or
g/;

«.y

'

und die fache

des sogenannten Variationscalcul's auf zweifache

r

1

+ ^.d^

z

beiden Aggregate VII und VIII einander gleich, so bekommt

jetzt die

einundzwanzig

Bestimmungsgleichungen

He
rita
ge

man

Setzt

Lib
r

ary

htt

p:/

/w
ww
.bi

od
ive

rsi
t

,

vier unddreissig

während

unbestimmte

rsi

ty

,

man

ad
f

rom

Th
eB

iod

ive

Stücke, nämlich

,

91'

,

91"

91""

91'"
,

,

91

,

«

,

«'

,

«"

,

«'"

,

,

so

ist

MA

g'

,

(§"

(§'"
,

g

rid
ge
,

,

willkürlieh bleiben.
Ca

einundzwanzig Bestimmungsgleichungen nichts Widersprechenes in der That möglieh
dem Aggregate VII die Form VIII zu
eZ

enthalten,

®'

,

.

,

mp
ara

tiv

des

®

,

dreizehn derselben

sind, so dass

Weil aber unsere

J)"

,

(5

.

oo
log
y(

vorhanden

33'

,

W"

mb

2)

); O

rig

91

ina
lD

ow

nlo

und

Es können aber

Co

geben.

neuen Form VIII enthaltenen sechs Stücke

9t

91'

91"

,

S

,

5B'

,

werden durch solche Stücke, welche

sich in der ursprünglichen

Form

rL

ibr

ary

vollständig bestimmt

@

,

of

the

,

Mu

se
u

m

of

die in der

VII befinden; und desshalb darf man
Stücke nicht anwenden.

oben besprochene Willkürlichkeit auf diese sechs

ive

rsi

benütze aber diese Willkürlichkeit dazu, dass

man

vorerst folgende sechs Stücke

Un

Man

ty,

Er

ns

tM
ay

die

rva
rd

D

2)'

3)"

,

®

,

,

®'

g

,

Dann

by
t

lässt.

man immer noch

hat

die zweiuiidzwanzig

A

Dig

itis
ed

zu Null werden

he

Ha

,

rj

,

,

Tj'

,

2t""

,

r/'

s

,

,

s

s"

,

CO

,

ü)'

,

,

w"

,

ß

,

/i'

,

/i"

und
9t'"

,

91'""

S3"

,

von welchen noch sieben willkürlich

sind;

,

S'"

,

S3""

und wenn man

ferentialen die betreffenden Integrationen ausführt, so

im Allgemeinen folgenden Ausdruck

:

,

e'

,

jetzt bei

bekommt man

e"

(5'"
,

den durchlaufenden Diffür das Prüfungsmittel


.

Strauch.

G. W.

38
(T

U= (II

2'

o-z^,ß^

?/)„,, j.

oV„,^—

X^^^.

(IIx-^)„,,

o"-2„,j

.



A„,,

.

oV^,

+

.or
g/;

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

um
.at

IX)

.

>
:^-

rf(II.«2)

rsi
t

ylib

rar
y

=•

r<^J"^^

/w
ww
.bi

od
ive

cl(ll.vij) ^

p:/

dy

,d Sz'i

,

a

,

K

,

ad
f

rom

Th
eB

iod

ive

rsi

ty

He
rita
ge

a

Lib
r

ary

htt

d 3z^

ina
lD

ow

nlo

a

MA

); O

rig

"i.,ß'

d dz

,

,

^

d

'Jz ^

,

d öi

d

Ca

mb

rid
ge
,

d dz^

oo
log
y(

(Ilv'-)

(?

(11*2/) X

- (d^/ - 4f^ ~ 4r^).,

''^.

.

- ("r).

/<',

(

.
,

.

mp
ara

tiv

eZ

.

d ßz

rjs

V).

^

''

,

d

i)z ^

.

d dz

.

d dz

.

d dz

'-

-i

Mu

se
u

m

of

Co

(i

'5^».

ary

of

the

-2/'.,..''^-,..(i^),.~2K,..(i^)^^.(i;-)_ --;.:,..(^)_ j.rfx
ibr

däz

d'8z

d d Sz

,'^"^''^

dßz

-i

6

ty,

Er

a

ns

tM
ay

rL

r"r'i

rsi

d d dz

d'^dz

d 3z

dx^

dy

J

d 3z

\dx.dll
,cf3z

dSz

'

/

d.t

däz

-T

An

Dig

itis
ed

by
t

he

Ha

rva
rd

Un

ive

,

dieser

Form

erkennt man, dass es

am zweekmässigsten

ist,

die noch willkürlichen

sieben Stücke miter folgenden dreizehn

herauszuwählen, und so zu verwenden, dass sich

d'-

suchung, auf das zweifache Integral zurückzieht.

?7 jetzt

abhängig von den drei Ausdrücken
2t

,

33

,

ebenso, wie in der vorigen Unter-

Dann aber

S

ist

der Zeichenstand des

cT^

U


,

Anwendung

auf zweifache und drefaclie Integrale.

des sogenannten VariationscalcuV s

wenn man dem y

39

von b bis ß stetig nebeneinander liegenden Werthe, und bei
jedem einzelnen dieser Werthe des y auch dem x alle von a bis a stetig nebeneinander
liegenden Werthe beilegt; und wenn dabei:
h.

alle

1.

jedes der drei Stücke

Sl

,

33

,

(5

positiv bleibt, so ist auch d' ?7 positiv;

2.

jedes der drei Stücke

31

,

33

,

@

negativ bleibt, so

51

B ©

,

,

bekommt man

wirklich, so

X)

= F,

21

Ei-Fi-E^

=

XIj 35

,

um
.at

Bestimmt man

ü negativ.

auch d~

ist

wenn aber dabei

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

d.

+ 2D2.D3.E2-D, E|-Ei

Dl .El .F1

.D^-Fi. D^

— Ej

Fl

/w
ww
.bi

.

rsi
t

E]

ylib

.

od
ive

e=

XII)

rar
y

.or
g/;

und

man

p:/

Diese drei Ausdrücke sind aber ganz die nemlichen, welche sich ergeben, wenn

He
rita
ge

Lib
r

ary

htt

das Aggregat

\''

d

d'ßz

äz

.d,

i

d'Sz \~

ad
f

Form

und daraus

beachtenswerthe Eegel:

folgt die höchst

rid
ge
,

bringt;

MA

); O

rig

ina
lD

ow

nlo

auf folgende

rom

Th
eB

iod

d 5z

ive

(d

rsi

ty

D,.(^)+2D,.^.^+2D..^..^

U sich

bis

Ca

a stetig neben einander liegenden Werthe beilegt."
Co

„von a

mp
ara

tiv

eZ

oo
log
y(

der für d^

mb

ergebende Ausdruck positiv oder negativ sein soll, so muss das
„Aggregat
positiv oder negativ bleiben, während man dem y alle von b bis ß stetig neben„einander liegenden A¥erthe, und bei jedem einzelnen dieser Werthe des y auch dem x alle

„Wenn

den zwei Ausdrücken 33 und S
entweder einer oder auch beide zugleich bei einigen oder auch bei allen den genannten
Werthen des x und des y zu Null werden, so ist vorstehende Eegel noch immer anwendbar;
sie verliert jedoch alle Anwendbarkeit, sobald ein einziger der einundzwanzig Ausdrücke
:

Wenn von

,

A3

ns

A,

,

Er

,

A,

,

A,



,

C,

C3

,

C,

ive

,

,

Dl

,

,

D,

Bi

,

,

D3

,

B,

.

El

,

B,,

,

,

E,

Bi

,

,

B,
Fl

einem der genannten Werthe des x und des y Null in den Nenner bekommt.
Endo
ist man auf dem Punkte, der Gränzengleichung zu genügen; und zu diesem
by
t

drei Fälle vorgenommen werden.
Dig

sollen folgende

itis
ed

Nun

he

Ha

bei irgend

rva
rd

Un

Gl

rsi

ty,

Ai

tM
ay

rL

ibr

ary

of

the

Mu

se
u

m

of

Dabei beachte man noch den Ausnahmsfall

§.17.

Erster Gränzfall. Wenn

für die

Gränzen keine Vorschriften gemacht

auch die Ausdrücke

^

^
\

d^

d^

cl^
)

'

i

d, J,

'

y

di,

,d^^.U

)^ s

'

^

dij

}^

sind, so

haben


itis
ed

Dig

he

by
t

rva
rd

Ha
ty,

rsi

ive

Un

ary

ibr

rL

tM
ay

ns

Er

of
the
m

se
u

Mu
of
eZ

tiv

mp
ara

Co
oo
log
y(
rid
ge
,

mb

Ca

ina
lD

rig

); O

MA

rom

ad
f

nlo

ow

ty

rsi

ive

iod

Th
eB

He
rita
ge

ary

Lib
r

htt

.or
g/;

rar
y

ylib

rsi
t

od
ive

/w
ww
.bi

p:/

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

um
.at

40
G. W. Strauch.

und


1

)

,

Anwendung des sogenannten Varlatiomcalcid s auf zioeifaclie und

».,<'

a

'

;/

,

a

dreifache Integrale.

" i"

y

,

a

y

,

4

J

a

.d dz

d

2

)^

^

^

X

-//[
,

+

33

.



V



Sr

-fVdx dy +

S'

-f^
aar-

^+

e'

58"'

.or
g/;

^

91""

d .v

cta?

d>U
4- e'"

.

'

Z

-i

bJ

,

ü

+

dz)

Sl

/

2

S""

2-1

-^
dx

@"

d dz ^-

d dz

+

dy

cty

dy

ö^sl

.

/

\.dy. dx

fjz]
^

J

^

^y

3?"

5?'

5

>

iod

^"

£'

^

,

CO

.

)

)

co'

,

w"

,

,

p.

/i

,

,

n"

sieben

dieser dreizehn Stücke,

weil es im hie-

ina
lD

also

ow

Man kann

noch sieben willkürlich.

nlo

ad
f

,

auseinandergesetzt wurde, unter den dreizehn Stücken

(in §. 16)

Th
eB

wie bereits

sind,

rom

Nun

ive

rsi

ty

\

b

d Sz

-^ +

S"

djz

+
hr^
dx'

^
^+

,

21'"

d Sz

+

£

d dz

+
-f^
dx-

Sl"

.

^

b

,

d'^dz

d^ öz

V

<5

+

„ 5z

+
K-Vdx.dy
,d'äz

+

X

b

,

d d dz

(ZI/-

'1,,'^z x

rar
y

^

.

(-7—
dx

<^'l,i- V

rf.B

d dz

,d'dz
Sl

)

V

ylib

d^rJe



[^— ^^_j

6

rsi
t

,

0^3^



6

,

od
ive

- ö^.

/w
ww
.bi



p:/

«
,

htt

ö^s:

5

ary

,

Lib
r

«".

He
rita
ge



ww
w.
bio
log
iez
en
tr

um
.at

(Js

sigen ersten Falle gerade geschehen darf, zu Null werden lassen. Hierauf wird

die

was

in

MA

§.

dadurch eingehenden willkürlichen Functionen

Weise benützen, dass

in der

Alles,

mb

und

); O

rig

man, nach

10 verfahrend, alle vorhandenen Partialdifferentialgleichungen integriren,
rid
ge
,

Analogie des

dass sich der in XIII aufgestellte Ausdruck des d^

d. h.

ist,

voll-

U auf das

Dop-

tiv

eZ

ständig hinwegfällt,

oo
log
y(

Ca

Gleichung XIII noch ausserhalb des doppelten Integrals zurückgeblieben

1«.

§.

Mu

se
u

m

of

Co

mp
ara

pelintegral zurückzieht.

acht

Bedingungen vorgeschrie-

derartige

ary

rL

ibr

ben,

seien

of

the

Zweiter Gränzfall. Für die Gränzen
dass man jedes der Gränzelemente
3x,6

,

rf^s

tM
ay

^«,„

^.,ß
ns

,

,

,

d^z

.

(^

,

a

,

(^

(/

.

,

a

,

t/

dz

d^z

\-^)
^
X

[—)

,
,

b

X


Un
,

iH)

rva
rd

14)

Ha

,

3„,„=f"(j/)

,

15)

3,,,

= f"'(x)

,

3,„,,= f""(x)

16)

=S'(^)

itis
ed



Dig

1^)

by
t

he

^a.,= r(^)

ß

ive

auf folgende Weise
13)

,

rsi

ty,

Er

3a,„

(S)

=r(e/)

,

19)

^r{x)

(%)

,

20)

=r"(-)

(^)

einem bestimmten Ausdrucke entweder wirklich darstellen oder wenigstens
denken kann.
in

als dargestellt

Hierbei müssen folgende nach y identische Gleichungen
öX,,,

=

Uenksfhriften der inathein.-naturw.

«X,,v

,

CI.

XVI.

Btl,

Abhandl.

=
v

,

NichlinitHl.

^"'2,

,

=

,

r/s„.,

=

,

1

etc.


G. W. Strauch.

42

und ebenso folgende nach x identische Gleichungen
o^^x,4

=

dy )^_,

dy

y

=

d-z^^,

,

V

J^_^,

dy

-,

=

()

etc

,

etc.

)^_^

,

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

.

.or
g/;
<'



.

=

0.

etc.

r;^r„.,= ().

etc.

r;'.3„,,,

rar
y

=
^^^,,, =

^^'"'S'a..

'

ylib

=
^3„.^ =

''S«.«

>

/w
ww
.bi

'?3,,,

=
=

rsi
t

^^^a.«

identisch sind, so gelten sie auch bei i/^=l>

i/

od
ive

Weil die Gleichungen ^ nach
yz=ß-. und so liat man auch

Weil ferner die Gleichungen (^ nach a; identiscli sind, so gelten sie aucli bei x
x
«; nnd somit bekommt man abermals das System der Gleichungen Q(..

und

bei

=a

und

IX

auf-

fällt also

diesmal von selbst weg, und der
He
rita
ge

Die ganze Gränzengleichung VI

ary

htt

p:/

=

Lib
r

bei

dy

\

)^^^

stattfinden.

^
^

f7-z^.

.

um
.at

V

=

r;s^_^

,

Ausdruck des Prüfuno-smittels redueirt

gestellte allgemeine

ist.

sich

ohne weiters auf das zwei-

sich

uui

die dreizehn

unbestimmten

ive

rsi

ty

fache Integral, so dass es jetzt gar nicht nöthig

in

iod

Th
eB

ff

V

— Nr.

20) dienen dazu, die durch Integration der Hauptow

Die acht Gleicliungen (Nr. 13

zu bekümmern, und der Zeichenstand des

,/i"

ad
f

kurzweg von 2(,S,@ abhangt.

/j'

rom

A, 37, ^y'jjy",?, £',£", ', a»",/i,

nlo

Stücke

Ca

Gränzen

19-

seien

vier derartige Bedingungen vorgeschrie-

man jedes

der Gränzelemente

Co

mp
ara

tiv

eZ

ben, dass

die

§•

oo
log
y(

Dritter Gränzfall. Für

mb

rid
ge
,

MA

); O

rig

ina
lD

gleichung eingegangenen willkürlichen Stücke zu specialisiren.

einem bestimmten, von x und y unabhängigen, Ausdrucke entweder wirklich darstellen,
oder doch wenigstens darg-estellt denken kann.
the

Mu

se
u

m

of

in

,

a

,

/;
,

y?

giltige,

Gleichungen

rsi

ty,

Er

ns

tM
ay

rL

ibr

ary

of

Hierbei müssen tVdgende, aber nur bei den Werthen a

etc.

rva
rd

Un

ive

etc.

Diese Gleichungen haben aber keine Rückwirkung auf die Ausdrücke

Dig

itis
ed

by
t

he

Ha

stattlinden.

wo entweder

das x oder das y noch allgemein geblieben

ist;

und so müssen, damit

zengleichung vollständig wegfällt, noch die acht Gleichungen (Nr.

nommen

werden. Diese aber muss

und dann kann man
benützen.

Und

sie

man

1

— Nr.

die

Grän-

8) zu Hilfe ge-

zuerst als totale Differentialgleichungen integriren,

bei Specialisirung der in z

eingegangenen willkürlichen Functionen

so fort.

xindere specielle Fälle hinsiclitlich der Befriedigung der Gränzengleichung, besonders
solche Fälle,
()z^

,

,

fjz^f,

,

wo zwischen oX,y inid oX,,,, zwischen ()z^_, und
oz^^^ Abhängigkeiten stattfinden, kann man
oX
,j

,

oz^^^,
sich

oder auch zwischen

nach Belieben bilden.


Amoendung des sogenannten

Zusatz. Nicht immer müssen

dzd^zddzd^z
-^ —^ dx.dy --— zueieich
°
"

,

'

enthalten sein

,

,
'

dxi

dem Ausdrucke TFdie

h\

fünf Differentialquotienten

ww
w.
bio
log
iez
en
tr

um
.at

derselben fehlen. Das Verfahren, besonders das bei Herstellung des Prüfungsmittels

,

ändert

,

wie an folgenden zwei Beispielen gezeigt werden mag.

sieh alsdann ein wenig,

Erstes Beispiel. Es

TFein reeller, mit den Bestandtheilen x

sei

,

d- z

man

versehener Ausdruck, und

y

,

z

,

sucht für z eine solche Function von x und
.or
g/;

-^
d



sondern es kann auch einer oder mehrere

,
'

d,ß

^

43

Integrale.

20.

§.

dy

auf zweifache und dreifache

Variationscalcul s

,

_?/,

,

dass das

ylib

rar
y

X-

d^z
—d^z
-— ——

Ü ==JJw.dy
l'fw. dy

/w
ww
.bi

od
ive

rsi
t

Inteoral

dx

oder

Minimum

man

wird. Hier hat

bei Herstellung des Prüfungsmittels statt
Lib
r

Maximum

He
rita
ge

ein

ary

htt

p:/

.

iod

^- 2

A..<;3.—

2

-JrJs

d
,Jj

(i

ad
f

rom

\

+ 2A,.«^..^ + ^^^<^^-~
Th
eB

A,..V

dlSz

d dz

d äz

r'^r^i

XIT)JJ

ive

rsi

ty

des Doppelintegrals VII diesmal nur folgendes

dßz

d'jz

); O

rig

ina
lD

ow

nlo

+ B,.(^)+äB,.^.-L^ + 2B..^.^
rid
ge
,

)

rf.,--'

''

\

mb

Form

V

'

Ca

die

d.vi

oo
log
y(

)

.

d dz

d dz

djz

m

d^dz

-2

the

Mu

se
u

,

of

Co

mp
ara

tiv

eZ

und dieses muss man auf

^

\

MA

+
~
~
^ C,.(^'H3C..'^/-^+D,.(*;)'!.'''/-(x
^
dy
dy

of

dßz

Er

(^ +

®'

ty,





''^^

+

)"

3

03'

.

dy dx
.

j

XIV

mit

XV

vergleicht, so

vierzehn unbestimmte

bekommt man nur

z e h

Stücke, nämlich

Dig

itis
ed

by
t

gleichungen, während

rva
rd

aber

Ha

Wenn man

he

bringen.

Un

ive

rsi

+ ®

ns

tM
ay

rL

ibr

ary

'^

und

e
vorhanden

sind, so dass

Es können aber

,

e'

,

6"

,

e'"

,

3)

,

3)'

,

3)"

,

®

,

®'
,

%

vier derselben willkürlich bleiben.

die in der

neuen Form

@

,

XV
g'

befindlichen drei Stücke

,

3)

n Bestimmungs-


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