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Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 14-2-0001-0122

bio
log
iez
en
tru
m.
at
rar
y.o
rg/
;w
ww
.

ÜBEK DIE AUFLÖSUNG EINES SYSTEMES

htt
p:/
/w
ww
.bi

od
ive
rsi
t

ylib

VON

MEHREREN UNBESTIMMTEN GLEICHUNGEN
He
rita
g

eL
ibr
ary

DES ERSTEN GRADES IN GANZEN ZAHLEN.

Bio

IGNAZ HEGER.
rom

ow
nlo
ad
f

DEK SITZUNG DEK MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM

24.

JULI

1856.

ge
,M



A)

;O

rig
ina
lD

IN

Th
e

Dk
VORGELEGT

div
ers
ity

Von

unbestimmten Analytik haben wohl
Anwendung

dies nicht

bisher im Allgemeinen nur eine sehr

Analysis gefunden; von

dem

pa
rat

kann

in der

ive

der

untergeordnete

mehr gesagt werden; dasselbe hat vielmehr
Co
m

± robleme

Zo
olo
gy
(

Ca
mb
rid

Vorbemerkung'.

vorliegenden Probleme jedoch

für die verschiedensten Gebiete

Anzahl aufführen. Hier mögen einige Beispiele genügen.
the

Fälle in grosser

Mu
se
um

of

der Analysis eine nicht geringe, nur bisher wenig beachtete Wichtigkeit. Es lassen sich solche

um

die

ibr
ary

of

In der Theorie der höheren Buchstabengleichungen handelt es sich sehr häufig

tM

B.

z.

auf die Auflösung eines Systemes von zwei Gleichungen des ersten

sich

rd

lässt

rva

und diese

Un

ive

rsi
ty,

Er

ns

kannten, wie

ay

rL

Auflösung eines Systemes von binomischen Gleichungen höheren Grades mit mehreren Unbe-

ed

by

the

Ha

Grades:

Genüge

leistenden

wobei

und

c

3j

gezogenen

^nrj

|,

rj,

i,j in

=

i
,

2)^+qyj=j

ganzen Zahlen zurückführen. In der That kann man

Werthe von x und

reelle
/

Dig

mit vier Unbekannten:

(/?)

m^

itis

iß)

1/

darstellen, in der

die

Form:

Zahlen bedeuten, die so zu wählen sind, dass die aus den Gleichungen

und^ ganze Werthe

erlangen. Solcher

Werthe

^,

t^

lassen sich unendlich viele

auffinden; allein für die beabsichtigte Auflösung der Gleichungen («) sind nur jene von Wichtigkeit, die

nicht

um

ganze Zahlen von einander

Jienksrhriften der matheni.-naturw. Gl.

XIV. Bd. Ahhandl.

v.

Nichtmitgl.

differiren

,

weil nur diesen

^,

:y

andere und

stets
«1


Ignaz Heger.

2

andere Werthe von x und y entsprechen. Um sich diese beschränkte Anzahl von Werthen
|. yj zu verschaffen, hat man mit der Auflösung des Systemes (/?) in ganzen Zahlen nach den

Unbekannten

beginnen und findet so drei specielle Auflösungen: erstens: die

i,j zu

|, ^,

unmittelbar ersichtliche:

^o,j =

i

zweitens:

o-.

sten ganzen, von Null verschiedenen Werth von

wennj

= o gesetzt wird,

j ^o, wo

y,

wo

die

i

Werthe:

0, 1, 2, 3,

.

.

/i

.



1,

ist.

Ertheilt

man nun

rar
y.o
rg/
;w
ww
.



Unbekannte fähig

ist,

den numerisch kleinsten ganzen, von

y

Null verschiedenen Werth bezeichnet, dessen ^ überhaupt fähig

nach der Grösse

den numerisch klein-

/i

bedeutet, dessen diese

i

=

und drittens: diej

die i^=n.

bio
log
iez
en
tru
m.
at

vier

der anderen J hingegen die:

der Reihe

0, 1, 2, 3. ...

und zwar in allen hier möglichen jiv Combinationen, sucht nun aus den Gleichungen (y9),
die sich dadurch in bestimmte verwandeln, die Werthe von 6 und ;y, und substituirt endlich
die gefundenen c, fj in die Gleichungen {y) so ergeben sieh alle von einander verschiedenen
Werthe für x und ?/, welche das vorliegende System («) erfüllen. Mehr als diese /iv Auflösun1,

htt
p:/
/w
ww
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od
ive
rsi
t

ylib

V

;

div
ers
ity

He
rita
g

eL
ibr
ary

gen bestehen nicht.
Diese Methode, ein System von zwei binomischen Gleichungen aufzulösen, lässt sich auch
dann noch anwenden, wenn die Anzahl der Gleichungen und mit ihr jene der Unbekannten

vor.

ow
nlo
ad
f

Zahlen

rom

Th
e

Bio

grösser ausfällt, nur liegt dann statt der zwei Gleichungen [ß) ein System von mehreren unbestimmten Gleichungen mit der doppelten Anzahl von Unbekannten zur Auflösung in ganzen

rig
ina
lD

Eine andere Anwendung, die sieh von der Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen des ersten Grades machen

Form mit Hülfe

des Summenzeichens, das

man dem

ge
,M

A)

;O

gliedriger Ausdrücke in symbolischer

der Darstellung viel-

lässt, findet sich bei

Ca
mb
rid

allgemeinen Gliede vorsetzt. Eine solche symbolische Darstellung von Polynomen erweist sich

und von der einfachsten Form

+

'

a.,x-

die bekannte

a^x'Y
/

-|-

-\-

= S\

La/ «j/ «2'

a^a.'^'a.r-.
'
.

.

.

.

.a;''.x'" + -'"+

+ "'''].
J

«r/

Mu
se
um

of

'

Co
m

a.x

pa
rat

ive

Polynomialformel
{a
4\

ist

Zo
olo
gy
(

sehr oft als vortheilhaft. Ein Beispiel dieser Art

Hier bezieht sich die Summirung auf die Buchstaben

o.,

//,,

a.,.

...«,.

und

ist

auf alle jene

rL

ibr
ary

of

the

ganzen und positiven Werthe dieser Grössen auszudehnen, welche die Gleichung:

= «-(-

«1

«o

-j-

-|-

....

-|-

«^

ns

tM

ay

;?.

Im gegenwärtigen

wäre auf

alle

Falle liegt nur eine einzige unbestimmte Gleichung vor, und sie

rsi
ty,

Er

erfüllen.

,

in

ganzen und positiven Zahlen aufzulösen

,

wenn man das

Un

ive

möglichen Weisen
Ha

rva

rd

symbolisch ausgedrückte Polynom entwickeln wollte.

So wie hier eine einzige, können
the

by

um

die

Ausdehnung der Summe

Dig

itis

ed

gleichungen auftreten,

dieser Polynomialformel der Coefficient

von

8\La/ «,.' a^,/
und die Summirung

ist

anderen Fällen zwei und mehrere Bedingungs-

in

.

.

.

x-'"

Ur.'

festzustellen.

So

z.

B.

ist

in

«"«,"'0./=.
"

hier auf alle jene ganzen

.a/'-l
J

.

und positiven Werthe von

o.,

«,,

o..,,.

auszudehnen, welche die zwei folgenden Bedingungsgleichungen gleichzeitig erfüllen:


m=
n

-f «1
'/,

+

a,

4- 2 «.

eben

gegeben durch

-j-a.,
-j-

+.

3 «3 -|-

.

.

.

.

.

+

o.,

4- ra^.

.

.

«^


über die Auflösung

Formeln mit

Almliclio

Unzahl

in

sieh

e/'ues

Si/s(emes von mehrereu nubentivirnten Gleichungen

und mehreren ßedingungsgleidningen lassen

zweien

einer,

man begegnet

aulV.ählen;

3

etc.

den verseliicdenstcn Bereichen

in

iluien

der

Analysis.

das Gesagte dürfte zur

Genüge beweisen,

sind

demnach sehr zahlreich

und

,

dass gerade dieses Problem der unbestimmten Ana-

und jedenfalls

besitze,

öfter

viel

unbestimmten Probleme höheren Grades.

in

Anwendung

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

als die
ist

Rede stehenden Problemes

unbedeutende Wichtigkeit

lytik eine nicht

komme,
Es

in

bio
log
iez
en
tru
m.
at

Die Anwendungen des

gewiss überraschend, dass gerade dieser Theil der Analytik bisher wenig gepflegt
ylib

wurde, und keine allgemeine und zweckentsprechende Auflösungsmethode für solche Systeme
htt
p:/
/w
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.bi
od
ive
rsi
t

von Gleichungen besteht.

Die allgemeine Auflösung einer einzelnen, unbestimmten Gleichung des ersten Grades
schon lange bekannt. Die hiezu dienliche Methode wurde zuerst von

dieses

und

eine andere Ableitungsweise für diese Eegel,
eL
ibr
ary

Zusammenhang

Lagrange

Euler

zeigte den

Problemes mit der Theorie der Kettenbrüche; zuletzt endlich wurde

Cauchy

eben derselbe Gegenstand noch von

auf eine gänzlich verschiedene Art behandelt,

von Wichtigkeit

ist.

Hiemit war gewissermassen die

Bio

die zunächst in theoretischer Hinsieht

He
rita
g

ist

div
ers
ity

ganzen Zahlen

angegeben; später gab

in

Th
e

Grundoperation für die unbestimmten Probleme des ersten Grades

festgestellt.

ow
nlo
ad
f

rom

Die Behandlung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen des ersten Grades mit einer beliebig grossen Anzahl von Unbekannten

war aber,

einige specielle Fälle aus-

ge
,M

A)

;O

rig
ina
lD

genommen, nicht ei'ledigt; sondern bestand mehr oder weniger nur in blossem Probiren, aber
in keinem geregelten analytischen Verfahren. Der Weg, den man dabei einschlug, war stets

Nun

eignet

von

verschiedenen

diesen

all'

Behandlungsweisen

von

eines Systemes

Zo
olo
gy
(

sieh

Ca
mb
rid

den bekannten Auflösungsmethoden für bestimmte Gleichungen des ersten Grades nachgebildet.

Rang

einer analytischen Methode. Alle übrigen für bestimmte Systeme bestehenden
Co
m

auf den

pa
rat

ive

mehreren bestimmten Gleichungen des ersten Grades nur das Substitutionsverfahren für die
Auflösung eines Systemes von unbestimmten Gleichungen. Dieses allein hatte einen Anspruch

Mu
se
um

of

Auflösungsmethoden sind bei unbestimmten nicht anwendbar.

Wenn

the

leistet,
of

Anforderungen Genüge

ibr
ary

nicht allen

aber schon bei den Systemen bestimmter Gleichungen die Substitutionsmethode

Ein Beispiel dieser Art

ist

der von

um

Gramm er

oft

nämlich handelt es sich gar nicht

Ge-

die Aufstellung eines allgemeinen

gegebene Lehrsatz für

die

Auflösung

Un

setzes.

Sehr

numerische Berechnung, sondern
Er

die wirkliche

dar.

ns

tM

einem noch weit höheren Grade

ive

um

in

rsi
ty,

chungen

ay

rL

keit als ein Bedürfniss erscheinen; so stellt

und andere Methoden von grösserer Durchsichtigsich diese Mangelhaftigkeit bei unbestimmten Glei-

von mehreren bestimmten Gleichungen des ersten Gi'ades, überhaupt die so
fruchtbringende Lehre von der Determinante. Dieser Satz hat für die numerische Berechnung
by

the

Ha

rva

rd

eines Systemes

kommt

aber in den verschiedensten Gebieten der Analysis

itis

ed

nur eine sehr untergeordnete Rolle,

Anwendung und ist von
Dig

in

bei den

aus

ist

unbestreitbarer Wichtigkeit. Ein ähnliches Bedürfniss

stellt sich

auch

unbestimmten Problemen des ersten Grades heraus, und von diesem Gesichtspunkte

das in

Gauss

Rede stehende Problem

bis jetzt als ungelöst zu betrachten.

hat in seinem berühmten

Werke:

Disquisitiones

arithmeticae

pag.

26

— 30

Problem behandelt, nämlich die Auflösung eines Systemes von mehreren Congruenzen des ersten Grades mit einer gleich grossen Anzahl von Unbekannten und einem gemeinschaftlichen Modulus. Es gibt allerdings Fälle, in welchen ein System von unbestimmten

ein ähnliches

Gleichungen sich darauf zurückführen

lässt; allein dies ist

keineswegs allgemein der

Fall.

Die


4

Ignaz Heger.

daselbst ausgesprochene Behauptung:

„Simili modo^ ut in aequationibus

,

perspicitur, etiam hie

totidem congruentias liaheri dehere, quot sint incognitae determinandae^^ wird nicht erwiesen

und

That unrichtig. Es besteht im Gegentheile gar kein nothwendiger Zusammenhang
zwischen der Anzahl der Unbekannten und jener der Congruenzen, ohne dass dadurch das
Problem unmöglich würde. Eine einzige Congruenz kann genügen, um eine grosse Anzahl
in der

bio
log
iez
en
tru
m.
at

ist

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

von Unbekannten zu bestimmen, und eine einzige Unbekannte kann mehrere verschiedene
Congruenzen gleichzeitig erfüllen. Widersprüche, denen man dabei gelegentlich begegnet und
die das Problem uumöglich machen, können sowohl bei einer einzigen Congruenz, wie bei
mehreren solchen vorkommen, gleichviel, wie gross die Anzahl der darin erscheinenden Unbe-

hängen von ganz anderen Umständen ab.
Trotzdem, dass die erwähnte Behauptung sich als nicht stichhältig erweist, ist dennoch der
von Gauss betretene Weg an das Bestehen der Gleichheit in der Anzahl der Congruenzen und
der Unbekannten, als einer unerlässliehen Bedingung gebunden, und es dürfte sehr schwer
kannten sein mag;

eL
ibr
ary

htt
p:/
/w
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od
ive
rsi
t

ylib

sie

anderen FäUe anzupassen, wo diese beiden Anzahlen ungleich
der bekannten Behandlungsweise eines Systemes bestimmter Gleichungen des
He
rita
g

halten, sein Verfahren für jene
sind, weil es

vollkommen nachgebildet ist.
der vorliegenden Abhandlung niedergelegte Methode

eben

Bio

gut

so

für

die

wie

einfachen,

Th
e

sich

für

rom

Die in

div
ers
ity

ersten Grades

ow
nlo
ad
f

Leser, welcher über die Hauptergebnisse dieser

wir

die

ist

ganz allgemein. Sie eignet

complicirtesten

Fälle.

Denjenigen

Abhandlung einen Überblick gewinnen
auf

will,

stehen mit der Lehre der

§.
ganz zu durchlesen, verweisen
gewonnenen
Sätze gewähren die grösste
Die
Zusammenhange.
Determinante in einem innigen
Durchsichtigkeit und erth eilen zugleich der numerischen Berechnung die grösstmögliche
rig
ina
lD

sie

Sie

Ca
mb
rid

ge
,M

A)

;O

ohne

17.

Zo
olo
gy
(

Einfachheit.

1.

Co
m

pa
rat

ive

§•

System von mehreren solchen vorliegt,
welche eine grössere Anzahl von Unbekannten in sich schliessen, als sie zu bestimmen im
Stande sind, und nun unter der Unzahl von Auflösungen, die ihnen entsprechen, jene hervorgehoben werden sollen, bei welchen alle Unbekannten ganze Zahlwerthe besitzen; so zerfällt
of

eine Gleichung des ersten Grades, oder ein

in folgende drei
ay

Aufgabe

Probleme:

tM

diese

rL

ibr
ary

of

the

Mu
se
um

Wenn

ns

Erstens: Es

angegeben werden

,

ob der vorgelegten Gleichung oder

dem gegebe-

rsi
ty,

Er

soll

the

Ha

rva

rd

Un

ive

nen Systeme durch ganze Werthe sämmtlicher Unbekannten Genüge geleistet werden könne.
Diese Frage, deren Beantwortung nur in Ja oder Nein bestehen kann, lässt sich noch in
einer allgemeineren Form, auf folgende Weise stellen: Es soll der kleinste mögliche Nenner

Dig

itis

ed

by

angegeben werden, der einer Gruppe von zusammengehörigen Werthen sämmtlicher Unbekannten eigen ist, wenn man sie in Bruchform auf einerlei Benennung bringt. Die Beantwortuno- dieser verallgemeinerten Frage besteht immer in der Angabe einer bestimmten ganzen
Zahl. Ist dieselbe zufällig Eins, so bestehen ganze Auflösungen, sonst aber nicht.

von den bestehenden Auflösungen in ganzen Zahlen eine einangeben, z. B. jene, bei der gewisse Unbekannte die numerisch kleinsten

Zweitens: Man
und specielle
Werthe besitzen.
Drittens: Es
zige

dargestellt werden.

soll

sollen alle bestehenden Auflösungen in

ganzen Zahlen durch eine Formel

(


über die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen

Über

die

allgemeine Form der Auflösung eines Systemes unbestimmter G
in ganzen Zahlen.

1

c i cli u n

ge

2bio
log
iez
en
tru
m.
at

§

5

etc.

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

Ein System von n Gleichungen des ersten Grades mit einer überwiegenden Anzahl w?-]-^*
von Unbekannten lässt sich im Allgemeinen auf unendlich viele verschiedene Weisen erfüllen.
Dies findet nicht nur dann Statt, wenn die Werthe der Unbekannten keiner weiteren Bedin-

In beiden Fällen lassen sich

menfassen in eine Formel, in der

diese unendlich vielen Auflösungen des Systemes zusam-

all'

m

unabhängigen Grössen erscheinen. Nimmt

man

keine Rück-

ob die Genüge leistenden Werthe der Unbekannten ganze oder gebrochene

m

Unbekannte, die meist nach Willkür erwählt werden dürfen, die
He
rita
g

Zahlen sind; so können

eL
ibr
ary

sicht darauf,

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

ylib

gung unterliegen, als der, das vorgelegte System von Gleichungen zu erfüllen; sondern auch
wenn nur durch ganze Zahlwerthe der Unbekannten dem Systeme Genüge geleistet werden soll.

Rolle der unabhängigen Veränderlichen übernehmen, und die übrigen n Unbekannten sind

Th
e

Bio

div
ers
ity

dann vollkommen bestimmte lineare Functionen derselben. Hat man aber nur jene Auflösungen
im Auge, bei welchen sämmtliche Unbekannte ganze Zahlwerthe besitzen, falls dies überhaupt

Grundgrössen, deren Wahl willkürlich

man nun

Ertheilt

einer jeden dieser

bleibt, insofern

m

man

sie

auf ganze

Grundgrössen nach der Reihe

A)

Zahlen beschränkt.

rig
ina
lD

m

;O

Functionen von

ow
nlo
ad
f

rom

im Bereiche der Möglichkeit liegt, so kann im Allgemeinen keine der Unbekannten die Rolle
einer unabhängigen Grösse übernehmen; sie sind im Gegentheile alle bestimmt, als lineare

ge
,M

ganzen Zahlwerthe und zwar sowohl die positiven, so wie die negativen

;

alle

so liefern die bespro-

Zo
olo
gy
(

Ca
mb
rid

chenen linearen Ausdrücke der Reihe nach und gruppenweise die Werthe der Unbekannten in
ganzen Zahlen, welche das System von Gleichungen erfüllen. Diese allgemeine Form der
ive

Auflösungen in ganzen Zahlen bildet den Gegenstand der folgenden Untersuchungen.
Co
m

pa
rat

Wir betrachten das System:

+
+

lm+l^m+1

+•• +

Im+a'-^m+n ^=^

-m+1 ^'m+1

+•••+

"m+n'^m + n =^

3„.x-„, -\-

i,„+,x„,^,

+

+

3„,+„:r,„+„

n„,x„,

»,„+iX,„+i

+

+ «,„+„A',„+„ —

-^2 -^2

1», -^'m







of

^l"*^!

Is^S

Mu
se
um

12^2

the

+

of

+ •••• +
+
^3 ^3 T"
"T
+ -^m^m "T
Siar, + S^x, -f 83X3 +
+
ll^l



ns

Er

cCj

Xo

,

ive

mit den Unbekannten

+ WgX-ä +

-t-

rsi
ty,

«2X3

,

Un

-\-

.

.

.

.

a;,„_^„.

-I-

Die Symbole

1,

,

l,

,

I3

,

.

.

.

.



»,„+„

bedeuten

rd

n,x^

tM

ay

rL

ibr
ary

(1)

''

bestimmte ganze Zahlen vorausgesetzt werden.
Ha

rva

die Coefficienten, die als

dieses

System durch ganze Werthe der Unbekannten

Dig

itis

ed

by

the

Es ist unmittelbar einleuchtend, dass
erfüllt werden könne. Die Werthe:

leisten

Genüge. Es

chungen

scheint, als

ob durch das gleich Null Setzen der zweiten Theile dieser Glei-

die Allgemeinheit der

Untersuchungen beeinträchtigt würde

;

allein

man

überzeugt

sich leicht vom Gegentheile. Das gleich Null Setzen der zweiten Theile gewährt den Vortheil,
dass man von der Voruntersuchung, ob ganze Auflösungen wirklich bestehen, oder nicht,
enthoben ist. Dem ersten Anscheine nach allgemeiner wäre die Betrachtung des Systemes von

n Gleichungen des ersten Grades mit m-\-n Unbekannten:


Ignaz Heger.

(2)

Oi^Cj

-|-

OjX.,

-|-

Og^Jg

?l,X,

+

??22-3

+

?«3-'^3

-|-

042;^

-j-

.

+ "4a^4 +

-|- C),„iC„, -\-

.

.





+ «»a^» +

l^^'m+l

T

«™+ia^„, + l

+

O^









H~

^,„+K^ni4.>,

=

^Ic

bio
log
iez
en
tru
m.
at

6





+ «,„+„*„,+,,=?*<.

+

o.,.T.j-j—

03CC3

-[-

04X4 -p

/ijCC] -|- n.2X.2 -\-

n^Xo^

-f-

^i^x^

numerisch kleinste



"r

.

.

.

-|- o„,

a'„-f- o„_|_i

;^„,.t,„ -|- w„,_|_i a;,„,^j -|-





"T

.

.

.

-j- -j ,„.)_„ 2?,„+„

.

.

x^,

div
ers
ity

^m+n^'m+„^ ^i^*



.

^=:

"J^-^'t

-|- 'n,n^n-^m-\->i^^
'^a-^'*

ccg,

auch zufällig der specielle

Bio

Xj.

^„,+„, x^ erfüllbar.

x^,

ganzen Werthen aufgelöst werden können, im

rom

Th
e

(2) in

dies eine Unmöglichkeit.

ist

Ja noch mehr,

ist

überhaupt

N der

von Null verschiedene Werth, den x^ bei der Auflösung des Systemes

,

eben diese Zahl

so ist

,

;O

ganzen Zahlen erhalten kann

dem Systeme

(2) anstatt

Ca
mb
rid

in

(2)

N der kleinste

Genüge

geleistet

(3)

mögliche Nenner der

werden kann. In der

der Unbekannten:

Zo
olo
gy
(

man

ge
,M

A)

gebrochenen Werthe, durch welche dem Systeme
That, substituirt

-j-

a;,„_|_i

He
rita
g

+ ...-)-

+

^M+l-^m+l

.

den verschiedenen ganzen Werthen von

all'

entgegengesetzten Falle aber

in



wird auch das System

vor, so

^m^m



durch ganze Werthe der Unbekannten

ist stets

Findet sich nun unter

Werth Eins

~r

ow
nlo
ad
f

denn dieses

-'-•l'^'l

ylib

OjCCi

"]~ •'-a'^'a "I

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

l2*'2

eL
ibr
ary

-f"

rig
ina
lD

(3)

ll^^l

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

von dem es aber in Zweifel steht, ob es durch ganze Werthe sämmtlieher Unbekannten erfüllt
werden könne oder nicht. Nicht so aber verhält es sich bei dem früher erwähnten Systeme:

ive

x.

of

Co
m

pa
rat

andere

Mu
se
um

(^)

the

of

ay

Unterschiede, dass
tM

dem
,

jCa

,

;C3

,

;£.!

,

Er

^1

.

.

.

rsi
ty,

nung

ns

vor, mit

N ersetzt

;L',„

Brüchen mit dem

nach dem Wegschaffen des Nenners A^gei'adezu das System

so geht
rL

Nenner ^suchen;

so viel heisst, als die Auflösungen desselben in

ibr
ary

was mit anderen Worten

,

;L',„_,.,

it'i,

x-.j,

X3, x^

.... ^,„+„,

die

x^, a;„+i,

Unbekannte

er,,

.

.

.

x^_^^

(3) her-

durch die andere Bezeich-

aber durch den bestimmten Werth

itis

ed

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

kommt. Die Auflösung des Systemes (3) steht daher mit jener des anderen (2) im
innigsten Zusammenhange. Der numerisch kleinste und von Null verschiedene Werth von x,.
entscheidet über die Möglichkeit oder Unmöglichkeit, das System (2) in ganzen Zahlen aufzulösen, je nachdem derselbe gleich Eins, oder davon verschieden ist, und lehrt überhaupt den

Nenner der in Bruchform gesuchten Auflösungen kennen. Die
ganzen Zahl werthe der übrigen Unbekannten Xi, x.,, x«.... x;„^„ aber, welche dem speciellen
Werthe x,=^\ entsprechen, sind zugleich die ganzen Werthe der dem Systeme (2) Genüge
leistenden gleichnamigen Unbekannten jene dem kleinsten von Null und Eins verschiedenen
Werthe x,
zugehörigen aber sind die Zähler der dann nur in Bruchform (4) bestehenden
Werthe der" gleichnamigen Unbekannten in (2).
Hiedurch ist zur Genüge dargethan, dass mit der Auflösung des Systemes (1) trotz des
Dig

kleinsten gemeinschaftlichen

^N

speciellen Falles:

,


über die Auflösung eines Systemes
1,

mehreren unbestimmten Gleichungen

iion

= = = .... = =
3,

2,

»,

()

dor vollständigeu Allgemeinheit der Untersuchung keinerlei Eintrag geschieht.

Gestalt nach bestimmen.

....

:

'Vm-\-n

-

(1) sei. Wir werden nun noch die übrigen zu
Unbekannte von Null verschiedene ganze Werthe

Dass solche wirklich bestehen,

ylib

ganzen Zahlen des Systemes

ermitteln haben, bei welchen einige oder alle

lässt sich erweisen,

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

eine Auflösung in

Ifj

X'j

iCj

einen Ausdruck.

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

Schon früher wurde bemerkt, dass

erhalten.

Wir wollen

Form der Auflösungen in ganzen Zahlen ermitteln,
ganzen Auflösungen, keine einzige ausgenommen, enthält, seiner allgemeinen

die allgemeine

der in sich alle

d. h.

bio
log
iez
en
tru
m.
at

nun

7

etc.

wie alsogleich geschehen

soll.

Um

aber den Beweis in der einfachsten Weise führen zu können, ohne uns in die Discussion ver-

Ausnahmen

Führung des Beweises keineswegs unmög-

einlassen zu müssen, die die

eL
ibr
ary

schiedener

machen, sondern nur seine Gestalt verändern; wollen wir von den Voraussetzungen ausgehen: erstens, dass das System (1) wirklich aus n von einander verschiedenen Gleichungen
div
ers
ity

He
rita
g

lich

Th
e

die n

Unbekannten:

5

•'^»1+2

)

durch dieselben bestimmt werden können, wenn





-^m+n

man

die übrigen entweder mit beliebigen Zahl;O

unabhängige Veränderliche betrachtet. Es
A)

als



ist

hinreichend bekannt, dass

ge
,M

werthen belegt, oder

.

rig
ina
lD

•^m+i

ow
nlo
ad
f

rom

und Addition hervorgehen könne, und zweitens, dass

Bio

bestehe, d. h. dass keine derselben aus den übrigen durch Multiplication mit gewissen Zahlen

gemachten Voraussetzungen nicht nothwendig immer erfüllt sind, und solche Ausnahmsfälle gar nicht zu den Seltenheiten gehören, wo unter den n Gleichungen eines gegebenen Systemes, zwei oder mehrere von den übrigen nicht wesentlich verschieden sind; ferner,
dass gewisse, der darin enthaltenen Unbekannten, in keinerlei Weise die Eolle der abhängigen
pa
rat

ive

Zo
olo
gy
(

Ca
mb
rid

diese zwei

Form

Co
m

Veränderlichen zu übernehmen im Stande sind; andererseits

ist es

aber auch einleuchtend, dass

Mu
se
um

the

stets

Genüge
of

Ordnen der Unbekannten,

leisten könne.

Bei der allgemeineren

Form

(2)

ibr
ary

des

bei der hier vorausgesetzten

of

der Gleichungen (1) diesen beiden Bedingungen, durch
Weglassen der von den übrigen nicht verschiedenen Gleichungen und durch ein entsprechen-

man

Er

ns

tM

ay

rL

könnte dies ganz allgemein nicht behauptet werden, weil hier ein Widersprechen der Gleichungen im Bereiche der Möglichkeit liegt; und solchergestalt gewahren wir einen neuen Vorzug

Bezug auf

die

Form

der Gleichungen

(1).

Un

ive

diesen Voraussetzungen lässt sich der Beweis, dass auch von Null verschiedene
rd

Nach

rsi
ty,

der hier getroffenen Wahl, in

by

the

Ha

rva

ganze Auflösungen des Systemes bestehen, ohne Schwierigkeit führen, so wie die allgemeine
Form der vollständigen Auflösung in ganzen Zahlen ableiten.
Dig

itis

ed

Man denke sich das System (1) auf bekannte Weise nach x,„^,, »;,„+.,, ••••««+„ aufgelöst,
x„, als unabhängige Veränderliche betrachindem man die überschüssigen Grössen a-, x,
,

,

Die Werthe dieser Unbekannten lassen sieh nach dem, was über Systeme linearer Gleichungen bekannt ist, darstellen in Bruchform. Der gemeinschaftliche Nenner aller dieser
Brüche ist eine bestimmte Zahl, die Zähler aber sind Polynome, welche die überschüssigen

tet.

Grössen

x,,

x.,, ... x,„

Allgemeinen sind

es

enthalten in linearer Form, aber kein constantes Glied besitzen. Also

Brüche von der Form:

im


Ignaz Heger.

8
ilfj, il£,

und ^sind bestimmte ganze Zahlen. Den früher gemachten Voraus^jedenfalls von Null verschieden, da ein Verschwinden dieser Grösse

-Mj,

il/,„

setzungen zufolge

ist

nur in jenen zwei Ausnahmsfällen vorkommen kann, wo entweder nicht
von einander verschieden sind, oder doch wenigstens die w Grössen a:;,„^.i,

,

Gleichungen

a?„,+2,

.

.

.

,

wenn man

In der That erfolgt dies sonder Zweifel,

bio
log
iez
en
tru
m.
at

«3

aller dieser

es

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

Werthe

a-j, x.^,

m

nicht

a:,„^„

nun keinem Zweifel mehr, dass man die
x^^ von Null verschieden, ganz und dermassen wählen könne, dass die
Brüche, oder was dasselbe ist, jene von x,„j^^ x^,^^,
x,„_^„ ganz ausfallen.

durch dieselben bestimmt werden. Hier unterliegt

Grössen

alle

für x^,

x^-, ajg

,

.

.

.

a;,„

ganze Zahlen

setzt,

ylib

welche durch A^theilbar sind, und somit ist also erwiesen, dass das System (1) wirklich auch
a?^+„, und
durch von Null verschiedene ganze Zahlwerthe sämmtlicher Grössen cCj, »2, a^a

zwar auf unendlich viele
eine allgemeine Formel alle

erfüllt

.

werden könne. Wir wollen

.

jetzt

durch

eL
ibr
ary

Werthe

dass alle

Unbekannten, welche den unendlich vielen

einer

He
rita
g

lässt sich zeigen,

.

diese unendlich vielen verschiedenen Auflösungen darzustellen

versuchen.

Es

,

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

verschiedene Weisen

div
ers
ity

ganzen Auflösungen entsprechen, die Glieder einer arithmetischen Reihe bilden. Bezeichnen

Th
e

Bio

wir mit x den numerisch kleinsten und von Null verschiedenen Werth von CC], der unter allen
möglichen ganzen Auflösungen des vorliegenden Systemes vorkommt. Dass ein solcher wirk-

kann wohl nicht mehr bezweifelt werden, nachdem gerade früher erwiesen wurde,
dass von Null verschiedene Werthe der Unbekannten, also auch von a^j, den Gleichungen genügen. Die diesem kleinsten Werthe x-^ entsprechenden ganzen Werthe der Unbekannten, oder,
Falls deren wieder mehrere verschiedene bestehen, eine specielle Zusammenstellung solcher,
A)

;O

rig
ina
lD

ow
nlo
ad
f

rom

lich existirt,

oder davon verschieden sind, seien:

Null,

gleich

sie

ge
,M

ob

Ca
mb
rid

gleichgiltig,

Es ist nun eine unmittelbare Folge dass auch dann
Werthe mit einer völlig willkürlichen ganzen Zahl ^,, d. h.
a;,„

I

„.

,

die Producte

,

a^g

dieser

,

a;^

.

,

.

.

.

bestimmten

pa
rat

ive

Zo
olo
gy
(

111

iCg

x'2

,

Ci

1

I

.....

a?3 Ci

aj„,^„

CT]

Co
m

X] C]

demnach gleichfalls Null, d. h. diese Werthe erfüllen
Es bestehen demnach unzählig viele Werthe von x,,., die alle durch
und

sind

die

ibr
ary

?i

of

zuo-etretenen Factor
(1).

die

ay

rL

Gleichungen

the

Mu
se
um

of

den Gleichungen genügen werden. In der That unterscheiden sich die durch Substitution dieser
Werthe hervorgehenden Substitutionsresultate von jenen der früheren Werthe nur in dem hin-

Er

ns

tM

Formel

a?i

ive

rsi
ty,

(5)

Un

werden, unter

1

a;iCi

eine völlig willkürliche Zahl verstanden.

^1

Allein ausser diesen

rva

rd

vorgestellt

=

the

Ha

Werthen sind auch keine andern mehr möglich. Gesetzt nämlich, es bestünde noch ein
anderer ganzer Werth von x^ dem auch ganze Werthe der übrigen Unbekannten x\ x'j
der
der sich nicht in der Form (5) darstellen lässt mit andern Worten
'f'm+n entsprechen
,

,

.

.

.

,

,

,

Dig

itis

ed

by

,

durch

£Ci

nicht theilbar

ist;

so könnte

x',

nicht der kleinste mögliche

von Null verschiedene

Werth, so liegt derselbe
ganze Werth sein, dessen
offenbar zwischen zwei zunächst an einander liegenden Werthen der Formel (5) z. B,
x, fällig ist.

1

In der That

— —

1

sei



a;,eund es

ist

offenbar:


U

— x-,?1

I

1)

x, dieser


Über die AufllmuHj
abor

g'K'ii'lizeitig

.r,

der ganzer Wertli

Werth, dessen

.r,



.r,

luul

,

fähig

mchrcroi

Si/atemc^s roi/

eiiie.i

c zufolge

der liucarcii l'dnu der

wäre

folglich

uielit

.r,

was der früher gemachten

ist,

ein

Icicliiingcii

(

t^ondern

,

Gleichungen

int/n\s/ii)niife7i

— .r,c

x\

der kleinste unmerisehe

Es enthalten nämlich

eine wichtio-e Folgerung wollen wir hier ziehen.

III

Xy

.T.j

,

1

a'3

,

.

,

.

.

.^,„_(_„

.

a:,

die Zahlen:

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

Noch

nicht darstellbar wäre.

['>]

Es folgt
einen Werth

Voi'aussetziing widerspräche.

bio
log
iez
en
tru
m.
at

der durch die Formel

i)

(uüiiige leisten-

hieraus, dass keine ganze Auflösung des Systemes (1) bestehen kiinne, in der
besitzt,

etc.

ylib

keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich, denn wäre ein solcher vorhanden, so

würden

für f

wei-d(Mi

können, ohne dass

ganzer Zahlen, auch Brüche mit eben diesem Factor im Nenner gesetzt

III
C|

^"2^1

7

I

?!

^'.i

1



,





•^',„-|.„Sl



eL
ibr
ary

-t'i

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

statt

,

aufhören, ganze Werthe zu sein und die Gleichungen zu erfüllen,

aber würde kleinere

a?,

He
rita
g

1

annehmen können, Avas zu dem schon früher erwähnten Widerspruch führen
würde, und demnach unstatthaft ist.
als

könne, so

div
ers
ity

Bio

auch hier bewiesen wurde, dass
gilt dies

keiner andern Form, als in der (5) voi'kommen
Th
e

x^ in

rom

Wenn

a*,

doch keineswegs von den übrigen Unbekannten
ow
nlo
ad
f

Werthe,

rig
ina
lD

selben hier gefundenen Werthe:
*

'

X^i;^

,

.

.

.

.

Bezug auf

die für die-

..

C|

.r„,_(_„

ge
,M

A)

,

;O

<

X.2<^\

in

im Gegentheile zeigen, dass ausser diesen unendlich vielen Auflösungen
noch andere bestehen. In der That setzen wir in den Gleichungen (1)
lässt sich

^

,

.

.

.

X2

-\-

^3 ^''^3^1

1

ive

X.2^=X.j^l;i

T

-^ 3



5



^m+n—-





I

»i+i(

unbestimmte Zusätze verstanden, so erhält man neue Gleichungen,

x'„,^„

welche die neuen Unbekannten

.r',

a^'3

,

,







a:^',„+„

sich schliessen

hi

ibr
ary
X.^

und lassen

sich unmit-

X^2

)

"^'3

«^3

,





Xj^^j^^,



X

,^,_|_„

tM

ay

,

rL

U

ihre W^erthe zu

of

wenn man:
X^

(1),

und

the

bestimmen haben. Diese Gleichungen unterscheiden sich von den
telbar daraus ableiten,

^'

^»i+u^l

pa
rat

x\

1

Co
m

x!^

C|

of

unter

== X,

Mu
se
um

X^

(\3j

Zo
olo
gy
(

Ca
mb
rid

Es

rd

Un

ive

rsi
ty,

Er

ns

Sie sind folgende

setzt.

+ %x',+
O2X2 + 33X3 +

...
.

.

by

.

+

+

%„,x'„,

+

3,,„a',„ -f

-I-

n„,x'„ -h »,„+,a;'„,+, -f

+
3„,+,x-',„+, +

2,„^.,a;',„+,

.

.

.

.

.

.

+
+

3,„+„x-',„+„

=
=

«,„+„<„+„

=

2„.+„a'',„+„

(>

Dig

itis

ed

(7)

the

Ha

rva

%x'2

/ZoX'o

+ n.;,x\-ir ...

.

.



-|-



System von unbestimmten Gleichungen dar, wenn überhaupt
1 überschüssigen Grössen, und
/M einen von Eins verschiedenen Werth besitzt, aber mit m
Avie
verstatten gleichfalls unendlich viele verschiedene von Null diflferirende Auflösungen
Sie stellen gleichfalls ein



,

früher allgemein bewiesen worden. Wendet man hier die eben früher angewendeten Schlussfolgerungen an, so gelangt man zur Überzeugung, dass kein einziger Werth von x\_ bestehen

könne, der nicht durch die Formel:
Denkschriften der m.irhpiii.-naturw. CI. \IV. Ed. AblianclJ.

v.

Nichtmitgl.

*'


10

Ignaz Heger.

.

{

O

^2 ~~ -^2 ^"2

)

2

gegeben wäre, unter a:, eine bestimmte ganze Zahl verstanden, die den kleinsten von Null
verschiedenen Werth angibt, dessen x-i fähig ist, um eine Auflösung des Systemes in ganzen
Zahlen zu ermöglichen, und wo ^2 eine völlig willkürliche Zahl bedeutet. Die Werthe der
alle,

2

Xg

,

,

X ^^^Xj^<;.2

.

,

.

.

3J

.

„,_|_„

^= iC,„_j.„ 1^2

2

a?4

,

...

a;,„^.„

ganze Zahlen vorstellen,

einer speciellen Auflösung des

irgend

die

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

2

wo

2

2

2

X ^^^^Xr^q.;,

(yj

aber doch einige, gegeben durch die Formel

2

Gleichungen

in die

(6), so

wenn xj =x.,
erhält man

12

I

(iUj

Xf ^=:

a'j

C|

X^^^

5

gesetzt wird. Substituirt

Xi,qi

-f" •'^2^2

12^

-*'3^'^3^1

5

*^'3

^2

I

man







(8)

12

•^m + n



Werthe

diese

ylib

(7) entsprechen,

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

Systemes

bio
log
iez
en
tru
m.
at

übrigen Unbekannten sind, wohl nicht

•^m+uCl

*^»i

I

+

h

,

(9)

V)

nunmehr keinem Zweifel unterworfen, dass die beiden ersten dieser Gleichungen
(10) alle möglichen ganzen Werthe von er, und x., liefern, welche in den ganzen Auflösungen
des Systemes (1) erscheinen können. Von den übrigen Werthen (10) gilt dies jedoch nicht
mehr, im Gegentheile bedürfen dieselben alle noch einer Completirung, ausser wenn zufällig
m=2 ist. Diese Vervollständigung der Werthe (10) lässt sich auf dieselbe Weise vollführen,
und

Th
e

Bio

div
ers
ity

He
rita
g

eL
ibr
ary

es ist



1

*^

1

A)

fg

Ci -\-

3

C2

eine willkürliche ganze Zahl, x^

Null verschiedenen Werth von

welcher für

aTj

=

,

aber den kleinsten möglichen, von

im Systeme

£»,=

ganze Auflö-

(1)

ive

a^g,

^3

3

Zo
olo
gy
(

hier bedeutet

Ca
mb
rid

CTg

und

»'2?i

ge
,M

^

\

2

=
+ ^i^i
= X3
Xg
+ ^3
;O

^2

1^

^1

12

1

n

rig
ina
lD

•^1

ow
nlo
ad
f

Werthen:

drei completen

Sie führt zunächst zu folgenden

rom

wie jene der früheren Werthe so eben bewerkstelligt wurde.

Co
m

pa
rat

sungen ermöglicht.

Dieses Verfahren der Completirung der gewonnenen Werthe

so lange fortzusetzen,

of

ist

auch der Werth der letzten

Ist

aber dies geschehen,

the

of



^,„+n vollständig,
ibr
ary

,

da

vervollständigt worden.

auch die Werthe der übi-igen Unbekannten x^^^
durch die vorliegenden 71 Gleichungen vollkommen
,

Grössen

x^

x.,

,

verfügt hat.

x„,



,

tM

die überschüssigen

Er

ns

gelangt so zu den folgenden Werthen:
rsi
ty,

Man

sie

man über

ay

bestimmt werden, sobald

x-,„

sind dann

so

rL

x„^2

überschüssigen Unbekannten

Mu
se
um

bis

ive

1

Xj ^j

Xj
Un

12
12

Xii ^j

Xo

-j-

Xg ^o

+

^33

X,n

=^^,Jl

+

X,.S,

+

a?„.e3

'^ni+l

^^

T~

^m +

^ni + i

itis

'

Form

3

C'j

f 1 T" ^m+l

3

schliesst in sich

'?2

-'s.

»

m

"^3
S;

3

2

)

Diese

s2

^= Xg

Dig

12'

~j~

Xg

ed

by

the

Ha

rva

rd

1

X.)

+

m

+

^.nl,.

m

.

\

^3 "V

!

*^m+l ^m

'"

^

willkürliche ganze Grössen

^,

nämlich, als überschüssige Unbekannte in den Gleichungen (1)

f

,

Cj

.

fg

,

.



erscheinen,



$„„ so viele

und diesem


Vber die Aiißösio/g eines Siistomes von mehreren inihestimniten Uleichangeii

Unistande

Systemes

ist

es

zuzuschreiben,

dass

alle

ganzen

in;>L;li<'lien

AuHfisungon des

gewonnen werden künnen, indem mau den

aus diesen Formeln

(1)

wii-klich

11

etc.

darin erseliei-

m

L'nbekannten

:

Ci

Grössen
a-„,+,

I2

,

x„,^.,

,

Die Grössen x^

,

Ci

x\,

,

x^ deren drei:

;

,

.

,

.

Xg

,

C3

.

.

a-„,_,_„.

.

.

.

,



und nur

I3

,

gerade so, wie

sich,

der numerisch kleinste von Null verschiedene Werth, dessen

fähig

ist,

eL
ibr
ary

worden;

=

aber nicht überhaupt, sondern für x^=x.2

zulässige nicht verschwindende numerische

Werth von

u.

cc,,,,

s.

wenn

x^
ist,

nämlich

ist

ohne irgend

rig
ina
lD

hat:
-^i

die Grössen

aj„,^i

erscheinenden überschüssigen Unbekannten

alle darin

^1

übrigen überschüssigen

alle

a:„,^.2

,

.

.

.

in

folgender

m

"

•^m—\

•'-i

,

gehen durch Auflösung der Gleichuiigen

sie

;O

Weise verfügt

endlich der kleinste

ow
nlo
ad
f

wenn man über

denn

1

•'^m

ge
,M

A)

(1) hervor,

,

a'„,

rom

vollkommen bestimmte Zahlen

w.

Th
e

Bio

Unbekannten gleich Null gesetzt werden. Dessgleichen' sind auch
•^'ra+«

übrigen abhängigen

numerische von Null verschiedene Werth dessen

Xj ist der kleinste

He
rita
g

.^•3

gesetzt

div
ers
ity

kleinste

:=

alle

a'„,

Unbekannten einen gebrochenen Werth aufzunöthigen; x., ist ebenso der
numerische, von Null verschiedene Werth von x.^. aber unter der Voraussetzung, dass

einer der übrigen

x'i

a-.,

:

letzte

überhaupt fähig

x-^

Ci

derselben

die

vollkommen bestimmte Zahlen:

sind

x„,

.

Ci

c„, ii>



Co

<

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

enthält alle

^o

näiuli
ylib

deren zwei:

enthält

enthält nur eine einzige derselben.

.x\

:

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

vorkommen

schüssigen Unbekannten

bio
log
iez
en
tru
m.
at

nenden willkürlichen Grössen alle möglichen ganzen (sowohl positiven, wie negativen)
Werthe ertheilt. Man bemerkt ferner, dass diese willkürlichen Grössen nicht in allen über-

112

*'?«•

untercCg
Xg
den Formeln (12) erscheinenden Grössen
liegen noch immer einer gewissen Willkürlichkeit, die aber der Brauchbarkeit derselben

Es

nämlich klar, dass x,

ist

a:;^

nm

,

,

ein Vielfaches

von

,

.r.>

.

.

.

.

nach Belieben

bestehende Formel aufhören wird, alle möglichen

of

liefern.

Gleiches

gilt

von allen übrigen Grössen

x^

,

Mu
se
um

ganzen Werthe dieser Unbekannten zu

x..

Co
m

geändert werden könne, ohne dass die für

pa
rat

ive

keinerlei Eintrag' thut.

Zo
olo
gy
(

Ca
mb
rid

Alle übrigen in

2

Formel der erwähnten Art, sondern
ig
Es besteht demnach
unendlich viele verschiedene, die aber alle in Bezug auf Brauchbarkeit gleichen Werth besitzen.
Diese Willkürlichkeit lasst sich freilich wohl auch beheben, man dürfte nur z. B. die Bestim.

.

.

.

tM

Grössen:

treffen, dass alle

1

X.,
•>

1

Xo

,

Xi

Dig

itis

ed

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

rsi
ty,

Er

ns

mimg

ay

rL

ibr
ary

of

the

,

nicht blos eine einzige

die numerisch kleinsten
so

würde

und positiven Werthe erhalten

sollen,

deren

sie

überhaupt

fällig sind,

alsogleich jede Willkürlichkeit verschwinden.

Die in diesen Formeln angenommene Ordnung der Unbekannten lässt sich in den meisten
Italien durch jede beliebige andere ersetzen, allein in gewissen Ausnahmsfällen, die später

genauen Erörterung werden gemacht werden, besteht auch in dieser
Hinsicht eine gewisse Beschränkung, da sich bisweilen einige Unbekannte nicht dazu eignen,
die Rolle der unabhängigen Veränderlichen zu übernehmen. Avas im Grunde hier
zum Gegenstande

einer

schüssigen Unbekannten thun.


Ignaz Heger.

12

Die hier aufgestellte Form der allgerueinen Auflösung unbestimmter Gleichungen des ersten
Grades ist keineswegs die einzige mögliclie, denn es lassen sich auch andere, namentlich voll-

kommen symmetrische Formen
man

Stande sind, allein

und

,

gleichfalls alle

dann

ist

möglichen ganzen Auflösungen zu

liefern im
Werthe einiger der willkürlichen Grössen
wenn man nicht Gefahr laufen will eine und

genöthigt, die

innerhalb bestimmter Grenzen einzuschliessen,
dieselbe Auflösung zu widerholten

willkürliche ganze

Malen daraus zu

bio
log
iez
en
tru
m.
at

in sich schliessen

m

als

erhalten.

Die hier aufgestellte Form, die nicht symmetrisch

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

Grössen

mehr

für dieselben finden, die sogar

besitzt aber

ist,

,

den Vortheil, dass

sie

und keine einzige wiederholt, und dies ist der Grund, warum wir ihr
vor allen übrigen den Vorzug unbedingt einräumen, wenn es sich um wirkliche Auflösung des
Svstemes handelt. Die symmetrischen Formen hingegen eignen sich sehr gut, um vermittelst
der Substitutionsmethode die Auflösungen eines Svstemes von Gleichungen zu bewerkstelligen
und die für dieselben geltenden Eegeln abzuleiten. Wir fanden es aber zweckmässiger, von
Auflösungen

liefert

Methode Gebraucli zu machen.

He
rita
g

einer andern

eL
ibr
ary

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

ylib

alle

div
ers
ity

andere Zahlen:

Bio

welches im zweiten Theile der Gleichungen

(2) abzuleiten,

1^

2^.

.

,

3i.

,

.

.

aufweiset.

.

Denkt man

sich

statt

der Nulle,

nämlich zuvörderst die

allge-

ow
nlo
ad
f

,

Th
e

anderen Systemes

rom

in

Die unmittelbare Betrachtung dieser allgemeinen Form der Auflösung des Systemes (1)
ganzen Zahlen verstattet nun unmittelbar, auch die allgemeine Form der Auflösungen des

rig
ina
lD

meine Form der Auflösungen für das System (3) gebildet, welches noch eine weitere Unbekannte x,. enthält, der wir den ersten Eang einräumen wollen so gelangt man zur folgenden

s-

Xj. ^,1

Ca
mb
rid

^=

X/.

ge
,M

A)

;O

Formel

,

12^
12

^

^

ive

Zo
olo
gy
(

1

3

+

+ a;3?2

pa
rat

=»"3 Co

+3^3 ^1
Co
m

a*3

12

Mu
se
um
the

-—

•^m+1 Co

x,„-(-„

^=

•'^,„-(-».

of

^»l+l

-^«i

+

l

?'l

.

"^ )«+)!

Ci

-r

.

.

3

-^m+l Co ~r •^»i+l C3

m

+

-p ^,„+lC,„

ay

rL

ibr
ary

1

.

;

of

(13)

a^sCa

2

1

Co

n

3

•^»j+ji

+

C2 ~r •^m+n C3 ~r

willkürlichen ganzen Grössen versehen und liefert alle möglichen ganzen
(2).

Gesetzt nun, es wäre zufällig:

the

Ha

rva

rd

Auflösungen des Systemes

=

1

by
ed

1 ein

möglicher Werth

itis

=

,

der auch den übrigen Unbekannten Xi

,

x.,

,

....

x,„^„

ganzen Zahlen aufgelöst werden

ganz zu sein, so wird auch das System (2) in
Die vollständige Formel für die ganzen Auflösungen desselben geht aus den (13)

verstattet,

können.

Xf.

Dig

also x^

C,»

ive

1

Un

Sie ist mit TO -f

m
-^m+n

rsi
ty,

Er

ns

tM

11

hervor für x,^^l

,

also für f^
Xj
X.,

=

1.

Sie

— x^

ist

folgende:
1

-f-

X^ Ci

k


über die Auflösung eines Systemcs ron mehreren nnbestimmten Gleichungen

12
2

3

4-a',,.'?..

+a;„.l3

•^M+1 ^^^

•'^'m+l

"T

•^»1+1 Cl

1

U

3

^m+I So ~r ^m+I Cn
-2

1

+
+

+

a-,„ jf„,
"'

-(-

^^«i+lCm

//i

:)

u

u

ü
lyt

,-y»



1

•*':!

'

•'-i

-y^
,

.

Auflösung der Gleichungen

*,„-(-„





ganzen Zahlen,

(2) in

haben die bekannte Bedeutung.

hingegen

Ist

in

die übrigen Glieder

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

rgeuil eine specielle



ylib

^w

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

Hier hcdeutct nun

•*



»

bio
log
iez
en
tru
m.
at

=3',,,

11^

m

I

+a'„,^,

U



1+)

etc.

von Eins verschieden, zum Beispiele gleich N, so verstattet
keine ganzen Auflösungen. Es wird aber die Auflöslichkeit des

(13) x^

eL
ibr
ary

offenbar das System (2)

ganzen Zahlen allsogleich möglich, wenn man alle im zweiten Theile dieser
.... n,. mit der Zahl ^multiplicirt. Dies
2,.
Gleichungen erscheinenden Constanten 1^
geschieht aber geradezu, wenn man die Unbekannten in Bruchform (4) mit den Nenner
(2)

in

,

N

div
ers
ity

,

He
rita
g

Systemes

X,

=~

X,

z=--(x.,

X, C,

+

X.Ci

gegeben sind durch

die Formel:

)

;O

'

^

+

(3)

rig
ina
lD

1

(.T,

10

N

12'

u

1

ow
nlo
ad
f

versehenen Auflösungen des Systemes

10

+

A)

iV"

ge
,M

Nenner

^^2^2)

Ca
mb
rid

kleinsten

rom

Th
e

Bio

aufstellt; und die ganzen Auflösungen, gezogen aus den solchergestalt veränderten Gleichungen, sind die Werthe der Zähler dieser Brüche. Es folgt hieraus, dass die mit dem

2

ä

^

\

^x„J,

+ xj,

'"

+

+

^

\

x,„c,„)

of

x„,^,

"

1



3

2

;>

\

"*

3

2

ay

1

II

tM

1

rL

ibr
ary

of

the

1

3

Co
m

+

=-^ix„.

Mu
se
um

x„,

2

1

J

(15)

pa
rat

ive

Zo
olo
gy
(

1

rva

rd

Un

ive

rsi
ty,

Er

ns

X.

Über Systeme von zwei Gl eicliu ngen mit mehr

als

zwei Unbekannten.

ed

by

the

Ha

,

3.

Dig

itis

§•

(16)

+ b,7j + c,z
-\-c,z-\a,x +

a,x

-\-

b.,i/

sei

+ d,u + e,v -4^g,w=k\
+ d.Ai -f e,r + g.,w =k,

das gegebene System von zwei Gleichungen des ersten Grades mit einer beliebig grossen

Anzahl von Unbekannten: x
1.

,

y

^

i

^

.•<",

•y

,

w.

Erörterung derBedingung für das Vorhandensein ganzer Auflösungen.

Die Frage, ob einem vorliegenden Systeme von zwei Gleichungen ganze Werthe der
Unbekannten genügen können, oder nicht, lässt zwar in einem jeden speciellen Falle nur


Ignaz Heger.

1-i

immer

Wegen

eine einzige Beantwortung zu: Ja oder Nein; allein

man kann

auf sehr verschiedenen

zu diesem Endresultate gelangen. Die Beantwortung dieser Frage kann nämlich nicht

Ansehen der Gleichungen erfolgen, sondern erfordert immer eine
Rechnung. Dieses Kechnungsverfahren kann jedoch auf sehr viele verschiedene Weisen eingeleitet werden, und alle diese verschiedenen Welsen führen zu demselben Endresultate; aber
nicht alle sind von gleichem Werthe in Bezug auf Einfachheit und Übersicht. Ich bin durch
eine sorgsame Prüfung all' der verschiedenen möglichen Methoden zu einer bestimmten Regel
gelangt, welche vor allen übrigen einen unbestreitbaren Vorzug der Einfachheit und Allgebesitzt.

lautet folgendermassen

Man

:

bilde aus den Coefficienten der beiden
ylib

Die Regel

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

meinheit

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

bio
log
iez
en
tru
m.
at

unmittelbar, durch blosses

gegebenen Gleichungen:^

Dig

itis

ed

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

rsi
ty,

Er

ns

tM

ay

rL

ibr
ary

of

the

Mu
se
um

of

Co
m

pa
rat

ive

Zo
olo
gy
(

Ca
mb
rid

ge
,M

A)

;O

rig
ina
lD

ow
nlo
ad
f

rom

Th
e

Bio

div
ers
ity

He
rita
g

eL
ibr
ary

«1


{a

.

[ae)

,

umiiittelbar einleuolitend. dass

ist

((>c)

[he]

und

^'„

[de).

(c-e)

.

^'„

zwei relative Primzahlcu sind, denn jeder Factor,

welcher diesen beiden Zahlen gemeinschaftlich zukäme
(irössen der

Gruppe

und der andern

(18)

würde auch

.

(19), somit in

um

= ^„
{ag) = cPM)

=

.

(6 e)



{bg)^4>^{h<^)

^-^(b c)

{d e) =^

{ce)=(p„{Ct)

.

(c^r)
,

.= ^^(cg)

,,

.

.

(c?^)



(f ,^{\i t)

= ^.(bg)

,

(o'.ry)

=

^^, (e

g)

Bio

(a e)

e)

Th
e

(20) (a

(^bc)='ip,,(\it)

.

ersichtlicli

eL
ibr
ary

[ac) =f'„(aci

,

Faetoren

ylib

(a b

He
rita
g

(p^^

div
ers
ity

=

di(\se

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

zu machen, die neuen Bezeichnungen ein:
b)

gleichzeitig in allen

Grössen (17) erscheinen, was

allen

der gemachten Voraussetzung widerspräche. Führen wir nun.

((/

bio
log
iez
en
tru
m.
at

so

[ar)

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

[\9)

())

ow
nlo
ad
f

rom

wobei

(bc)

,

(b e)

c)

(c e)

,

(b c)

,

Zo
olo
gy
(

(rt

Ca
mb
rid

ge
,M

A)

,

;O

(nc)

(21)

rig
ina
lD

(ab)

Cruppe von Zahlen anzusehen ist, welche keinen von Eins vei'schiedenen Factor
gemeinschaftlich besitzen können, und für die andere Gruppe
eine

(ag)

Wir müssen

(cg)

(bg)

,

(cg)

,

hier die Relationen:
rL
ay

«1 (6 c)
Er

ns

tM

(23)

,

of

gilt.

ibr
ary

genau dasselbe

(bg)

.

the

(22)

Mu
se
um

of

Co
m

pa
rat

ive

als

=
=

b, [a c) -f c, (« b)
b,

(a c)

+

c,

{a b)

Un

ive

rsi
ty,

a, (b c)




rva

rd

vorausschicken, von deren identischem Erfülltsein

man

unmittelbar überzeugen kann,

sicli

{ab)

the

Grössen

,

(bc)

(ac)

,

Dig

itis

ed

by

die

Ha

durch ihre binomischen Wertlie ersetzt und die dabei
möglichen Reductionen durchführt. Solcher Relationen lassen sich hier so viele Paare aufd e g Combinationen zu dreien zulassen. Sie
c
b
stellen, als die Grössen a
c beziehungsweise durch
b
lassen sich aus den (23) ableiten, wenn man die Grössen a

wenn man

,

,

,

.

.

.

.

,

,

,

,

jene der andern Combination: a
nicht zu zweifeln.

,

b

,

d

;

a

,

b

,

e

.

;

.

.

An

ersetzt.

ihrer

Giltigkeit

Für unseren Zweck bedürfen wir jedoch nur jene Relationen, welche g

ist

m

g enthaltenden Terne entsprechen. Ihre Anzahl kommt
e zulassen. Denkt man
d
c
b
gleich der Anzahl Amben, welche die Grössen: a
so findet
sich dieselben gebildet, dabei aber die neuen Bezeichnungen (20) eingeführt,

sich

schliessen,

also

einer

,

man:

,

,

.

.

.

.

,


Ignaz Hege?-.

(24




(l^i

*p9



(Ci 92)

4',^,

[h

(c, 93)





[d

(e>




92)

92)

=
=
c) =

^,5r (a,

c (b, B,)]

+
+
+

cp,^,g

(b,

e (bi

+

f.

(b> £2)

b (Ol

9-2
)

]

c (a, g;)]

9-i)]

9, 9

(

<7

'ii ^"2)

c,

<-»

1

=

bio
log
iez
en
tru
m.
at

IG

Jede dieser Gleichungen repräsentirt im Grunde zwei Gleichungen, indem man den ohne
den andern 2 beifügen kann.

und addirt

0.

,

man

Multiplicirt

alsdann; so erhält

sie

soAvohl den Index

als

1

diese Gleichungen beziehungsweise mit

man

Ö,

Form:

eine neue Gleichung von der

(25
in

^'„

)

welcher

A

A+


+

.g [ia, b,) 6, 4- (0, c) e,

Ausdruck

ein mehrgliedriger

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

ylib

0.,

a,ft,c,....f/,e,^

Coeffifienten:

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

Stellenzeiger versehenen

{{\ C,) ^3

+

+

=

(öl C2) Ö.]



dessen Gestalt uns aber nicht weiter interessirt.

ist,

Wählt man nun

die bisher

massen, dass

sämmtlich ganze Werthe erhalten und zugleich die Eelation:

eL
ibr
ary

rig
ina
lD

+ ^^''.=

bedeutet nunmehr,

ge
,M

A)

wie leicht einzusehen, eine ganze Zahl.
Ca
mb
rid

g durch ^^ theilbar sein, und da ^^ und
dass geradezu g den Factor ^^ in sieh schliessen müsse. Dies
und man kann durch die neuen Bezeichnungen:

unmittelbar, dass ^^

.

.

.

ä„ der-

1

Diese Gleichung zeigt

relative

4>,j

gilt

Primzahlen

sowohl für

^j

,

sind,

wie inv g.,,

Co
m

pa
rat

ive

Zo
olo
gy
(

.

.



;O

A

=

,

in:

^.,A

(27)

(b, c,) ä„

0^

Grössen (21) keinen von Eins verschiedenen Factor
diese unbestimmte Gleichung in ganzen Zahlen auf-

die

Gleichung (25) über

löslich ist; so geht die

+

e,+

(b. c,)

div
ers
ity

was immer möglich ist, indem
gemeinschaftlich besitzen und demnach
erfüllen,

und

He
rita
g

+

,

Bio

a, c,) 0,

ß.,

Th
e

(

^

rom

+

(a, b,) 0,

(26)

f)j

ow
nlo
ad
f

sie

unbestimmt gelassenen Multiplicatoren

Dieser Factor

aber zugleich der grösste
the

ist

Mu
se
um

of

diesen Factor ersichtlich maclien.

gemeinschaftliche Theiler von

g^

und

kann auf folgende Weise eingesehen
werden: Jeder in g^ und g., gemeinschaftlich ercheinende Factor muss nothwendig auch in
verknüpften Grössen (18) vorkommen, weil sie Binome sind, deren erstes Glied
allen mit
h.

i],

und

sind relative

130

of

d.

Dies

Primzahlen.

ay

rL

ibr
ary

g.>

ns
Er

^.,,

das zweite g^ besitzt.
rsi
ty,

den Factor

tM

(jT

Würde nun

ausser

4)^

noch ein anderer Factor gleichzeitig

und in g., erscheinen, so müsste auch in den Grössen (18) ausser ^^ noch dieser andere
Factor vorhanden sein. Aber es wäre dann nicht jA^, sondern ein Vielfaches von ^^ der grösste
gemeinschaftliche Divisor dieser Grössen, was den gemachten Bestimmungen widerspräche.
Es kann somit ausser ^^^ kein anderer Factor gleichzeitig in g^ und g.^ erscheinen und ^^ ist ihr
Dig

itis

ed

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

in g^

grösster gemeinschaftlicher Divisor

d.

h.

i:|o

.

fl,

sind relative Primzahlen.

Demnach

ist

der

obige Satz erwiesen.

§. 5.

2

gen

.

H

(10)

(29)

i 1

fs s

a t z. Leitet

man

aus den ursprünglich gegebenen zwei Gleichun-

zwei neue, ihnen gleichgeltende:
rt/

X

-\-

b; y -h <; s -f

.

,

.

.

.

-j- r/,' 2(

-f e/ w -^

g;

iv

= k;


Auflosung eines Systemes

Tiber die

a^x

(;^0

ah:

II (I

i

(l

io

c/s

diu

-'-

-f

-\-

unbestimmtpii (llrirlntiiqon


17

+ glw=:k.J

e^v

diesem neuen Systeme en tspredi cnd

Oi'ös.«en:

e n

.

(a/^r.;)

.

<)

(XV

.

[b; e:)

,

(c/e,')

(c?/e;)

(^./^r;)

.

(c'g:)

(d,'

(^i'6;)

.

(X/cV)

[k,'d:)

gl)

(e/^r,')

.

ylib

(ö/e,')

(^ve3')

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

(31)

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

bio
log
iez
en
tru
m.
at

H(i s

+

h.Uj

-\-

roii nielircrcu

.

enen des ursprünglichen Systemes;

(kig.:)

,

(6,63)

.

(k^bo)

(0,6,)

.

(c^fea)

Th
e

(a, e,)

Bio

(32)

div
ers
ity

He
rita
g

eL
ibr
ary

(«1 bo)

.

(/^iC.,)

.

(Xi(?a)



{k^e^)

.

[k^g.^)

rig
ina
lD

(ÄJi«,)

ow
nlo
ad
f

rom

2;

man

gleichgeltende abzuleiten vermag,

A)

aus den ursprünglichen Gleichungen neue, ihnen

bekannt.

ist

ge
,M

dessen

mittelst

Man

Ca
mb
rid

Das Verfahren,

;O

prop ortional.

multiplicirt

nämlich die erste und die

man

eine neue Gleichung. Wiederholt
ive

alsdann, so erhält

Zo
olo
gy
(

zweite mit irgend welchen Zahlen, die völlig willkürlich gewählt seiü können,

pa
rat

anderen willkürlich gewählten Multiplicatoren, so erhält

und

addirt sie

man dasselbe Verfahren mit zwei
man eine zweite Gleichung. Diese

dem ursprünglichen Systeme vollkommen gleichgeltend, wenn
man bei der Wahl der Multiplicatoren eine einzige Vorsicht gebraucht hat, von der alsogleieh
Erwähnung geschehen soll. Bezeichnen wir mit ^j, ^^ die beiden zuerst erwähnten Multipli(29) die entsprechende Gleichung, mit
ibr
ary

und mit

catoren

of

the

Mu
se
um

of

Co
m

zwei neuen Gleichungen sind

/i^,

/i^

die beiden

anderen Multipli-

welche zur zweiten neuen Gleichung (30) führen-; so sind, diese zwei Gleichungen für
Werthe der Unbekannten erfüllt, welche dem ursprünglichen Systeme genügen, und noch
ns

rsi
ty,

Er

alle

tM

ay

rL

catoren.

wenn

die beiden Quotienten t^

Un

ive

überdies von einander verschieden,

wenn
rva

leicht einzusehen, dass die hier
the
by

alten die einzio- möa:liche sei
ed

dem

auch

,

X^/x.^



Ao/ii



ungleich ausfallen,

von Null verschieden

ist.

erwähnte Ableitungsweise neuer Systeme

da bei allen übrigen erlaubten Transformationen und

itis

aus

ist

die Determinante

Ha

Es

rd

oder mit anderen Worten,

und

Dig

Combinationeu der Gleichungen die lineare Form derselben verloren ginge, abgesehen davon,
dass neue
aufstellen,
^.1

,

^

/jt]
,

tienten



Wurzeln eingeführt würden. Trotzdem lassen sich dennoch unendlich viele Systeme
die alle dem ursprünglichen vollkommen äquivalent sind, weil die Multiplicatoren
auf unendlich viele Arten gewählt werden können, ohne dass die beiden Quo,

/J..2

und



gleich werden.

Wir übergehen

es hier, diese

Behauptungen zu erweisen und

weiter zu erörtern, da dieselben als bekannt vorausgesetzt werden können

zmn Beweise

Man

,

und schreiten nun

des obigen Satzes.

hat unter den angegebenen Umständen:

Denkschriften der mathem.-naturw.

CK XIV.

E<1.

Abhandl. von Niciitmitgl.

^'


Ignaz Heger.

18
ciy

«.,'

= a^ki + a.,h
=
Oj/ij

eine Reihe
(57)

und

-{-

a.2iu

,

h^'

--^b^A^

,

bj

= bji^ +

von Gleichungen,

die

-\-

,

b.^/jL.,

,

=
cV =

c/

im Grunde nur

Aus ihnen

(58) feststellen.

b.,L

c-j >^j

Co

-)-

Ci/ij -\- c^jio,

^2'

^=

/w/x, -f A'o/i.

-|-

k.,k,

neuen Gleichungen

rar
y.o
rg/
;w
ww
.
ylib

(h'b.^)

,

Aus diesen Gleichungen

(61 Co)

(>^,

/io)

{b; g.:) ={b,g.;){k,n.^

.,

{k;a.^):^{k,a,){k,iu)

z=

Co')

(6/

,

= {a,g.^{k,n.^

für die übrio-en Grössen:

eL
ibr
ary

(«1 Co) {ki /io)

{a,h.;){K,j..;)

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

man

findet

=

=
(h:g.^) =
{< g-i)

He
rita
g

{a;g.;)

=

Icyk^

=

ik,b.;){kji,)

man, dass

{ßig-^iKlJ-^)
(k,g.;)(k,/x,).

div
ers
ity

(35)

Co')

=

nun unmittelbar:

folgt

{
(34)

(«/

,

k^

die Ableitungsweise der

also

und auf dieselbe Weise

4

bio
log
iez
en
tru
m.
at

(33)

Grössen (31) des neuen Systemes den
Grössen (32) des ursprünglich gegebenen proportional sind, womit der obige Satz erwiesen
ist, und zwar lassen sie sich durch Multiplication mit (kifi.,) =Xi/io
-/lo/ii aus ihnen ableiten.
die

Th
e

Bio

ersieht

ist

der aus der Theorie der Determinanten bekannte Satz von der Multiplication der
rig
ina
lD

Dies

ow
nlo
ad
f

rom



Wenn

bei einem Systeme von zwei Gleichungen die Detereinen grössten gemeinschaftlichen Divisor ^ besitzen und
ive

Hilfssatz.

minanten

tJ-

(17)

pa
rat

3.

§•

Zo
olo
gy
(

Ca
mb
rid

ge
,M

A)

;O

Determinanten.

{k,a,)

(Ä-,6o)

.

,

(^,Co)

(k,d.^

,

(k,e.^

.

[k,g.;)

the

(36)

Mu
se
um

of

Co
m

derselbe auch in den Determinanten

of

Factor erscheint, so lässt sich ein anderes System von zwei Gleichungen
(29) und (30) ableiten, das demselben vollkommen äquivalent ist, und bei
welchem die Determinanten:
rsi
ty,

Er

ns

tM

ay

rL

ibr
ary

als

rd

Un

ive

(«,;&,')

{b;c.;)

,

itis

«d')

.

{b;d:)

.

(c/d')

{b;e:)

.

(c/a/)

(d:e^)

ib;g:)

,

{c;g:)

{d;g:)

Dig

(37)

ed

by

the

Ha

rva

(ß/cj')

(«/<)

K^/)

,

,

,

{e;g:)

keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen, ohne
dass die Coefficienten G!',6'.....e',(/'.Ä;'aufhören, ganze Zahlen zu sein.
Die neuen Gleichungen werden abgeleitet durch Multiplication der ursprünglichen Gleichungen mit schicklich gewählten Multiplicatoren und Addition Avie dies im vorhergehenden
Lehrsatze umständlicher besprochen wurde. Dies ist nämlich die einzig mögliche Weise,-'aus
,


über die Atißömng eines Systemes von mehreren Hübest immten Glciclniugen

einem Systeme vou
es ist

/.wci Gleieliungeii ein

demnach unmittelbar

catoren

/^

,

L

.

/t,

.

/i,

19

etc.

anderes vollkommen glcichgeltendes abzuleiten und

Wald der

einleuclitend, dass nur durch eine geeignete

der gewünselite Z^veck erreicht werden könne,

falls

derselbe überhaupt

X,

,

/i^

,

/i

,

,

wo dann auch

.

noch den anderen

jj

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

},i

Zahl bedeutet, die Grössen ausser dem Factor

,

dass die

seien und

hervorgehen. Hieraus folgt nun wieder,

(>^i/i.)

dass für ganze Zahlwerthe der Multiplicatoren

bio
log
iez
en
tru
m.
at

im Bereiche der Möglichkeit liegt. Im vorhergehenden Lehrsatze wurde erwiesen
Determinanten des neuen Systemes jenen des ursprünglich gegebenen proportional
namentlich durch Multiplication derselben mit

Multipli-

{Xji.^

fi.^

eine ganze

also

im Ganzen

(,^j

,

,

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

ylib

den Factor ^ (X^ /x,) gemeinschaftlieh besitzen werden. Der gewünschte Zweck wird daher
durch ganze Zahlwerthe der Multiplicatoren X^ X., /x^ /x, niemals erreicht, sondern nur
,

,

durch gebrochene und namentlich mit dem Nenner ^ versehene

solche, die so zu

ganze Zahlen zu

6,'

c/

,

.

,

.

f?/

.

sein, so ist der

6,)=^_

e/

(//

,

,

k^'

aj

,

gewünschte Zweck
(a^c,)

,

,

He
rita
g

/x,

dermassen zu wählen, ohne dass die
6.,'

,

c.,'

erreicht,

,

.

.

.

clj

,

ej

,

gj

LJ aufhören,

= —^

,

{b^c,)=^^

,..

ive

Zo
olo
gy
(

Ca
mb
rid

ge
,M

A)

;O

Es erübrigt nur noch, die Möglichkeit einer solchen Wahl darzuthun.
Wir wollen hier die vollkommen analytische Behandlung dieses Problemes geben, weil
für die späteren Probleme wichtige Aufschlüsse ertheilt.
Die Bedingungen sind:

the

= b;

b,x,

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

rsi
ty,

Er

ns

tM

ay

rL

ibr
ary

of

+

ed

6, A,

itis

(ii)

Mu
se
um

of

Co
m

pa
rat

(iO)

Dig

sie

,

denn man hat dann:

rig
ina
lD

(«,

,

,

,

div
ers
ity

,

/ij

X.,

,

Bio

a^

.^i

Th
e

:

a/i,)=7

also

l

Gelingt es, die Multiplicatoren

Coeflficienten

(39)

=

sind,

rom

ausfällt.

f(^/A.)

ow
nlo
ad
f

(38)

wählen

eL
ibr
ary

dass

(12)

6,/ii

+

b,ii,

= b:


Ignaz Heger.

20
anderen aber nicht

Weise herausschaffen und

die Letzteren durcti Elimination auf bekannte

,

von den dabei erhaltenen Gleichungen, welche nur noch jetzt diejenigen Unbekannten in sich

Werthe ganze Zahlen sein sollen, zuerst allein Gebrauch maclien. Man verwandelt dadurch das Problem in ein anderes, welches nur die Unbekannten der einen Gattung
enthält und nur durch ganze Werthe der darin erscheinenden Unbekannten erfüllt werden
Die zu eliminirenden Grössen sind hier die folgenden vier

man

Form

:

k^

,

X^

eine Vorsicht zu beobachten haben,
rar
y.o
rg/
;w
ww
.

darf.

bei dieser Elimination wird

bio
log
iez
en
tru
m.
at

schliessen, deren

der Gleichungen so weit als möglich zu erhalten wünscht.

Da

,

/Xj
,

/x,.

Allein selbst

wenn man

die lineare

dies in unserer Absicht

wollen wir in folgender Weise verfahren: Das System (41) enthält nur zwei Grössen,
die eliminirt werden sollen, nämlich A, und X.^ und besteht aus lauter linearen Gleichungen.

Eliminirt

man

aus ihnen

übrigen Grössen a/

6/

,

und

X^

c/

,

,

.

X.^

.

man

so erhält

,

.

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

ylib

liegt,

eine Anzahl Gleichungen, die nur noch die

in sich schliessen. In

.

ganz gleicher Weise

lässt sich das

(41)

.

.

.

(42)

div
ers
ity

dem Systeme

.

Bio

aus

.

,

gewonnenen Gleichungen von den früheren
abgeleiteten nur dadurch unterscheiden können, dass hier die Unbe-

Zweifel, dass sich diese aus

kannten aj

dem Systeme

He
rita
g

,

eL
ibr
ary

System (42) durch Elimination von ji^ und /x> auf ein ähnliches System von Gleichungen bringen, in welchem weder /Xj noch /z^, sondern nur a/ b.2
erscheinen. Es ist auch kein
c.^'

treten,
beziehungsweise an die Stelle der dortigen «/ £/ c/
weil sich das System (42) von dem anderen (41) nur in den Unbekannten, aber keineswegs
in den Coefficienten unterscheidet. Hat man also die Eliminationsgleichungen für das System
Co'

,

Th
e

b.2

,

,

.

.

.

.

rig
ina
lD

ow
nlo
ad
f

rom

,

auch gleichzeitig jene für das System (42) mit Leichtigkeit daraus
Unbekannten:

wenn man

A)

die

Ca
mb
rid

ge
,M

ableiten,

;O

(41) gebildet, so lassen sich

Zo
olo
gy
(

5

z.

dieselben

^-2

5

of

alsogleich

(^1

1

Man denke

bilden.

sich

aus den Gleichungen

B. die drei folgenden herausgehoben:
of

the

(41),

Wir wollen

('2

Mu
se
um

ersetzt.

Co
m

pa
rat

ive

durch die anderen

-!-

«o ^2
X2

= a/
h^

--=^

6i ^1 -r

b-,

Cj /j

C, ^2 -—-

rsi
ty,

Er

ns

tM

ay

rL

ibr
ary

«1 Ai

Grössen
ive

und aus ihnen
chung

X^

und

A,

^'1

auf bekannte Weise eliminirt, so gelangt

man

zur Glei-

rva

rd

Un

die

-}-

the

Ha

:

<

[b, C2)

— bl

=

(a, c.) -f c/ (a, 6.)

0.

itis

ed

by

(43)
Dig

Die Ableitung derselben unterliegt keiner Schwierigkeit;

man

hat nänilicli nur die drei Glei-

chungen beziehungsweise mit den Multiplicatoren:
(ijCä)

,



(«1C2)

zu -multipliciren und hierauf zu addiren, so erhält
tionsgleichung,

wenn man auf

,

{(^ib.,)

man

unmittelbar die aufgestellte EHmiiia-

die zwei identisch erfüllten Relationen:
a,
a.,

61

c.,)

[bi

Cj.')

(




[cij c.,)

-\-

c, [11, b.,]

-- U

60 («, Co)

-j-

Co (a,

=

bi

b.,)


über die Auflösimg eines Systcmes

i-on

mehreren rmhestimmten Gleichungen

Rücksicht nimmt, deren Giltigkeit sich leicht erweisen

In vollkommen ähnliclier Weise

lässt.

lassen sich alle übrigen Eliminatiousglcichungen ableiten.

21

etc.

Man

liat

nämlich die beiden ersten

C.leichungen in (41) mit allen späteren der Reihe nach zu combinircn. Die dabei hervorder Buchstabe c durch die übrigen: d

L

(44)

«/

(6j Co)

<

(bi d^)

«i' (6, e»)

um

,

e

g

,

,

aus den (41) liervorgehenden Gleichungen folgende:

— &/

— 6/
i,'

c/ («i ^a)

-1-

((?!

Ca)

(ffli

(?,) -f

(?; («1 6o)

(«le.,) -r

e/ («, to)

jene in (41). Es

=
=
=

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

und

/>,

ylib

durch Elimination von

von der (43) nur darin unterscheiden, dass
der Reihe nach ersetzt ist. Sonach sind

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

die

sich

bio
log
iez
en
tru
m.
at

gehenden Elimiuationsgleichungen werden

wohl überflüssig zu bemerken, dass
man auch andere Gleichungen hätte erhalten können, wenn man bei der Combination der
Gleichungen zu dreien in einer anderen Ordnung vorgegangen wäre. Diese Verschiedenheit
ist

zwei kleiner

als

ist

He
rita
g

eL
ibr
ary

Ihre Anzahl

Th
e

Bio

div
ers
ity

wäre aber nur eine Formverschiedenheit gewesen, keine wesentliche.
Dieses so eben erhaltene System (44) geht, wie eben früher bemerkt wurde, durch Ver-

^i'

,

,

c/

,

rig
ina
lD

«/

ow
nlo
ad
f

rom

wandlung der Grössen:

und

/ij

,

c,/

/x,

aus den (42) hervorgehenden (lleichuugen. Sie

Zo
olo
gy
(

über in die durch Elimination von

bj

,

Ca
mb
rid



ge
,M

A)

;O

111

b.!

(6i Co)

«;

(6i

d)

— b:

aj

(ij

e-i)



(«1

c,,)

(a^do)

Mu
se
um

of

Co
m

cio

bo {a^

e.^)

^- c/ («1 Äg)

=

-'-

d.{ {a, b,)

^

-;-

e.,'

b.^)

=

(«i

ü

Form

der Gleichungen bewahrt wor-

tM

die lineaie

aber auch die (40) mit in die Elimination einbezogen, so hätte
ns

man

ist

Er

den. Hätte

ay

das hier eingeschlagene Verfahren

man

die nicht

rsi
ty,

Diir./h

rL

ibr
ary

of

the

(45)

---

pa
rat

ive

sind folgende:

(«1 *2)

«6;)=- 9

ed

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

linearen Gleichungen:

(cf

c,)—

.

(ft,

Co)

=

Dig

itis

46)

ia;d:)=^^^
gefunden. Hier also
ist,

eine der (16).

[ii)

hinzuzufügen.

z.

ist

.

ib;d:)=^^^^

zu den Gleichungen (44) und (45) noch die

B. die

[^a,b,)r^-^^

(

10).

oder, was dasselbe


Ignaz Heger.

22

Der nächste

mm

besteht

Scliritt

Bestimmung der Auflösungen in ganzen Zahlen
Wir beginnen wieder mit der allgemeinen Auflösung

in der

für die Gleichungen (44), (45), (47).

des Systemes (44), denn mit ihr

ist

zugleich jene des anderen Systemes (45) bekannt, da nur die

Unbelvaniiten andere Bezeichnungen tragen,

die Coefficienten jedoch

dieselben sind.

Die

bio
log
iez
en
tru
m.
at

allgemeine Auflösung des Systemes (44) enthält offenbar nur zwei willkürliche Grössen in
sich, wir wollen sie mit li und :yi bezeichnen. In gleicher Weise erscheinen in der allge-

meinen Auflösung des Systemes (45) wieder zwei willkürliche Grössen f, und
Substituirt man nun die Werthe von «/
in
die
so
geht
a.^
b.!
eine
Gleichung
hervor,
6/
(47)
welche nur noch die vier Grössen ^^ (f^ 3y, jy, enthält und in ganzen Zahlwerthen aufge,

,

Die dabei hervorgehenden Werthe von

soll.

^j

^^

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

werden

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

,

löst

,

,

ylib

,

,

tj^^.

,

,

tj^

,

3y.,

sind dann die wirklich

brauchbaren. Man
sie in die allgemeinen Werthe von «/
i/
c/
r?,'
a.^
6./,
c'„
dann
die
Werthe
substituiren
und
besitzt
dieser
Grössen
und
hiemit
also
die
(1.2

wird

.

,

.

.

.

.

,

,

,

,

.

.

.

.

und Constanten der beiden gesuchten transformirten Gleichungen.
Die allgemeine Auflösung des Systemes (44) mit zwei unabhängigen Grössen

Form vorhanden:

folgender

nach

rom

Th
e

Bio

div
ers
ity

§. 2 in

ist

He
rita
g

eL
ibr
ary

Coefficienten

,

rig
ina
lD

^,

-4-

7ji

ist

A„

,

B^^

C^

,

,

D^,

,

E^,

eine speciel]e Auflösung in ganzen Zahlen. Eine solche

,

Zo
olo
gy
(

Hier

Ca
mb
rid

ge
,M

A)

e/

C,7i,

= A + Ali + A'yi
= E„ + E^
E,
;O

c/;

ow
nlo
ad
f

c'^a +C,^,+

(48)

und

es

können demnach diese Grössen durch Null

pa
rat

werden. Hiedurch gewinnt die allgemeine Auflösung des Systemes die

Form

the

Mu
se
um

of

Co
m

ersetzt

ive

begreift hier in sich lauter Nullwerthe,

c/^ci, + a^,
dl = i)i?i + A'?!

tM

ay

rL

ibr
ary

of

(49)

= All +

E.//}i

,

G.2

rd

B.,

D.,

,

rva

.

bestimmte Zahlen bedeuten. Die anderen

Ha

wo Ai

Un

ive

rsi
ty,

Er

ns

cV

Werth

ertheilt

Die Auflösung des Systemes (45)

ist

(1-2

in ähnlicher

-^^ -^1

Form vorhanden:

?'2

b;=^B,^,^B^,
(50)

c/=ac, +

a=7.

e:=E,^,^E^,

,

C,

,

Z),

.

.

wenn man B^

oder dergl.

itis

ed

B. den kleinsten numerischen
Dig

z.

by

the

liegen nocli einer Willkürliehkeit, die aber alsogleich behoben wird,

/?,

.

.

unter-

feststellt,


über die Auflösung eines S//stemes ton mehreren unbestimmtcv (llcichungcn

hei-vor.

man

h-i

,

Alan

dem

hat

Grössen

^villkiirliellen

ohne

erliält sie aueli

1, iiiul

Substituiren wir

r^.,.

die Wertlie

uiiii

Eeehnung

aller

vermittelst der Ergebnisse von

zufolge:
(a/

von

a,',

Gleichung

in die (47), so gehl die

6,;)

= [A, 5,) (f

Tj.^

,

=

.1, 1?, (I, :y,)

i?.

l)

,

denn

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

,

rt./

bio
log
iez
en
tru
m.
at

nur mit anderen
/;,'

23

otc.

.

dass sie durch ganze

.

Werthe dieser Grössen

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

•,

ylib

woraus mit Hilfe der (49) die (51) alsogleich hervorgeht. Diese Gleichung stellt die Bedingungsgleiclmng für Ci Co J^i ^i vor. Sie ist nicht linear, aber es ist leicht einzusehen,

werden können nur daim. wenn

erfüllt

"'

'

nun A^ i?, zu suchen und in die Gleichung zu setzen.
Wir beginnen mit der Bestimmung von I?o. Hiezu dienen die nachfolgenden Gleichungen:

eine ganze Zahl

Es

ist

,

B., («1

e.,)

+
+

A

(«1 ^2)

E„

{a.-.

5.)

=
=



div
ers
ity

d^

ow
nlo
ad
f

rom

Th
e

{a,

Bio

— B,


(52)

He
rita
g

eL
ibr
ary

ist.

Der blosse Anblick

C,

,

D,

(ßiC.)

,

(«id)

B,

,

E, ,....

,

A)

;O

(53)

rig
ina
lD

dieser Gleichungen lehrt, dass die Grössen:

(54)

(«i&a)

(«16.)

,

Zo
olo
gy
(

Da

proportional sind.

,

Ca
mb
rid

ge
,M

den andern

ferner laut §. 2 die Grössen Bo

,

,

C,

D.^

,

pa
rat

ive

verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen dürfen, so hat
of

Co
m

ihren grössten gemeinschaftlichen Theiler zu dividiren,

erhält

man:

ist

Eo

.

,

man nur

.

keinen von Eins

.

Grössen (54) durch
alsogleich die Grössen (53) zu
die

unserer Bezeichnungsvsreise zufolge: ^^^

the

und demnach

Mu
se
um

finden. Dieser grösste gemeinschaftliehe Theiler

um

,

of

= + —— U = ± ——
ibr
ary

Bo

;

,

L>„

-

,

= ± ——

iio

;

,

= ± ——
;

,

.

.

.

.

ns

noch übrig, die anderen Grössen: A^
Er

ist

,

B^

,

C^

,

D^

,

E^

,

.... zu suchen und

rsi
ty,

Es

tM

ay

rL

(o5)

Un

ive

zwar aus dem Systeme von Gleichungen:
(b, c,)

Ha

rva

rd

A,

A,{b, d,)

A,

{b, e,)

(a, c.) 4- C, (a, 5,)
{a, d)
(«, ^2)

+
+

A (%

^2)

^1 («1

b,)

=
=
=

Dig

itis

ed

by

the

(56)

— B,
— B,
-A

Dieses System

ist

aufzulösen durch ganze Zahlenwerthe und dabei

soll

A^ den möglich

von Null verschiedenen Werth erlangen. Zuerst handelt es sich also darum diesen
Werth von A^ zu finden. Multipliciren wir diese Gleichungen beziehungsweise mit ganzen

kleinsten

Grössen
(57)

,

/'

.

(j

.

e

so erhält

man

A,\ib,c.;)y -r {b,d._)d-X- (5,e,)£

+

+

.

ichb.;)[c,r

.

.]

—A

[(«iC,)r

+

{a,d,^rl^

+ D,ö + E,s + ...]=.

{a,e.;)s-\-

.

.

.]

+


Ignaz Heger.

24

Wenn ;-,dem Systeme

.... völlig

vollkommen

(56)

Grössen bedeuten, so

willkiirliclie

äquivalent. Dies

denn eine solche Gleichung enthält

in sich schliesst,

diese Gleiclning

auch dann noch der Fall, wenn man für

ist

die aber

diese Multiplicatoren eine Bedingungsgleicliung aufstellt,

ß

ist

in ihrer

noch eine fernere Grösse

Auflösung, gleichgiltig ob

Diese Bedingungsgleichung

sind.

-L [a,

(«, b.^

(58)

d^

-l (a, d.^

c.,) ;-

sei:

{a,e.^s^

ö

c

,

sich in die

.

.

in

.

.

Gleichung (57) gesetzt, so geht

+

A,[{b,c.;)r

sie

über

in:

+

{h,d.)d-V{b,e.;)e^...]-B,[eL
ibr
ary

(59)

(p
ylib

.

=

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

/•,

.

Die aus ihr hervorgehenden ganzen Werthe für
ihrer allgemeinen Form mit m willkürlichen Constanten, denke man

Sie verstattet stets ganze Auflösungen.
^?

.

.

sie

im Systeme

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

Gleichungen vorhanden

bio
log
iez
en
tru
m.
at

in ganzen Zahlen geschieht oder nicht, gerade so viele willkürliche Grössen, als

He
rita
g

noch immer dem Systeme (56) äquivalent. Um den kleinsten Werth von A^ zu finden,
der einer ganzen Auflösung dieser Gleichung entspricht, schreibt die bekannte Eegel voi-, den
ist

div
ers
ity

und

Th
e

Bio

grössten gemeinschaftlichen Divisor der Coefficienten:
(«,i.,)Y

{a,b.;)d

,

I

{a,b.^s ....

,

ow
nlo
ad
f

,

rom

(p4'„~(a,b.;)ß

(60)

dei-

rig
ina
lD

zu dividiren durch den grössten gemeinschaftlichen Divisor aller dieser Grössen und

zeigt eine leichte Überlegung, dass
Ca
mb
rid

Nun

ge
,M

A)

;O

(^ic,)r4 {b,d.^d^-{b,e.;)s+

wenn

den grössten gemeinschaftlichen Factor

e
bezeichnet, die Coefficienten (60) höchstens (p(p,j als grössten
der Grössen ^
gemeinschaftlichen Factor aufweisen können. In der That ist der grösste gemeinschaftliehe
,

.

.

,

.

.

ive

Zo
olo
gy
(

,

Co
m

pa
rat

Factor von:

man nun den

Sucht

(«1 62) 0.

)

(«i^-..)«?

,

(«1^2)^

,







grössten gemeinschaftlichen Factor von

of

the

gleich

Mu
se
um

of

{<^A)r


tM


in beiden

Grössen

(fl,i.)^

als Factor, weil {a^b^ diesen

Factor enthält. Die



ns

so erscheint jedenfalls

ay

rL

ibr
ary

(61)

Un

ive

rsi
ty,

Er

ausser (aj 63) /9 unmöglich vor,
weil nur ein Theil diesen Factor enthält, der andere aber gewiss nicht. Folglich könnte nun

im Ganzen
rd

höchstens noch

Ha
:

(b^ c.,)

y

+

also
(ij

tZ.,)

d

-\-

ib^e.^s A^

by

the

noch die Grösse

rva

ö,

Grössen (61) erscheinen. Fasst

Auge so zeigt
aber kann man weder
ins

,

Dig

Ai keinesfalls kleiner sein könne,
so ginge die

oder:

als ^^.

Gleichung (51) über in:

alsogleich,

das Erscheinen

itis

ed

dass in ihr jedenfalls (pü als Factor erscheint; von (f>„
noch das Fehlen unmittelbar nachweisen. Es geht hieraus hervor, dass der

sich

man nun

kleiiiste

In der That bestünde ein kleinerer Werth

z.

Werth von

B.yli= —


über die Auflösung eines Sjistemes ron mehreren
Diese Gleichuno-

offenbar in

ist

Werilieu autlüslidi,

i;;uiz('ii

Gleichungen rfc

tiiilxstlmmtc))

z.

für

J>.

^


1

2."»

rj,

,

=: p

,

:^0. Ilienuis folgt, dass jedenfalls zwei (Gleichungen bestehen, deren Coeffieicnten ganz
:y,
sind, und deren Determinanten die oben verlangten Werthe:
^,

Folglich

verknüpften Determinanten

=

-1,

die

m

(c.r;.)

Dies

yl,

l.

unterliegt es keiner Schwierigkeit, auch

ist,

=

=

in:

aber

ist

iiui-

l'üi-

.

C\

I)^

,

.

...

Gleichung (59), so finden wir:

in die

f/i^

J!^

div
ers
ity

Substituiren wir

gemeinschaft-

^'„

Bio

Nachdem nun ^j bekannt

^^,[^7;,a,)/-+(^fyo^+(^:^.)s

+ .-.]-^.[^5^'.-K^.)A^J +

Diese Gleichung lässt sich durch

rig
ina
lD

ow
nlo
ad
f

(65)

ei'sclieint.

(^'„

Bedingungsgleiehung (62) verwandelt sich

zu finden.

den Faetor

a.,'

ist:

(63)

und

und

htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t

der Fall.

c/

He
rita
g

1

«,'

Th
e

=

sollen

rom

/>

Nun

0.

ylib

den mit

lich besitzen, Aveil er in

=

a_;

,

rar
y.o
rg/
;w
ww
.

hat hier (7/1=-^"

eL
ibr
ary

Man

besitzen.

bio
log
iez
en
tru
m.
at

(ajC.,)

fff, />.,)

abkürzen, und gewinnt dadurch die Form:

^

^^^l^s+

.

.

'

.]-BAl^^ß]+

ive

Zo
olo
gy
(

(66)

h:!ilj

Ca
mb
rid

llh^y ^

ge
,M

A)

;O

^{/'„

Da

ist.

es sich aber

nun

um

ist

dies eine unbe-

irgend eine beliebige Auf-

Mu
se
um

of

stimmte Gleichung, wie für sich klar

Co
m

pa
rat

Die hier angezeigten Divisionen lassen sieh wirklich ausführen. Es
lösung derselben handelt, so können wir noch Verfügungen
dürfen. Hier

eine einzige Grösse willkürlich, folglich dai'f auch

ist

the

machen

nur ganze Auflösungen

of

nicht unmöglich

treffen, die

rL

ibr
ary

nur eine einzige Grösse zur willkürlichen Verfügung erwählt, oder, was dasselbe
ist

heisst, eine

die folgende:

ns

tM

ay

einziffe Bedino-unofsg'leichuno- aufo-estellt

werden. Für unsere Zwecke

Er

B,ß+C,r + D,d-^E,s+....^0
ive

rsi
ty,

(67)

Un

nämlich

stets

durch ganze Werthe auflöslich und verwandelt die

rva

rd

die zweckdienlichste. Sie ist

bestimmte Gleichung:
ed

by

the

Ha

(66) in die sehr einfache

B,

= ^[(b,c.^r +

{b^d.^0^

+

{b,e.^e

+

.

.

.J.

Dig

itis

(68)

Die entsprechenden Werthe von
Gleichungen des Systemes

Ci

(56), Avenn

^

man

D,

E^ findet

,

man

unmittelbar aus den einzelnen

A^ und B^ durch ihre Werthe (63) und (68)

ersetzt.

Sie sind zufolge der (58):

^

^

"'

~

?

(«1 *2)

l— {a,b.;)(b,c.;\ ß— (a, c,) (6, c,)

und mit Rücksicht auf die identisch
Iienkscbriften ik-r mathem.-naturw. Cl.

XIV.

;-



(a,

d) {b, c.) d— (a, e,)

erfüllten Relationen

Bd. Alihandl.

v. Kichlmil;;!.

(b, c,) c

+

.

.

.

.

J


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