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Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 30-2-0217-0300

217

og
ie

ze
ntr
um
.

at

STUDIEN
ww
.

bio
l

IM
ive

rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

GEBIETE NUMERISCHER GLEICHUNGEN
bio
d

MIT ZUGRUNDELEGUNG DER

yh
ttp
://w

ww
.

ANALYTISCH-GEOMETRISCHEN ANSCHAUUNG IM RÄUME

He
rita
ge

Lib

rar

NEBST EINEM ANHANGE

ÜBER ERWEITERTE FUNDAMENTAL CONSTRUCTIONSMITTEL DER GEOMETRIE,
iod
ive
rsi
ty

-



Th
eB

VON

loa
df

rom

LORENZ ZMURKO,

IN

DER SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM

IS.

FEREUAR

1869.

eZ
oo
log
y(

Ca
mb
rid

VORGELEGT

ge
,M
A)

;O
rig

ina
lD

ow
n

PROFESSOR PFR MATltKMATIK AN DER K. K. TECHNISCHER AK.\DEMIE IN LEMBERG. COKRESPONDIREMnEM MITOUETIE HER GELEHETEN-GESELLSCHAPT IN KRAKAr
UND THÄTIGEM MITGLIEDE DER K. K. GALIZISCHEN LANDWIRTHSCHAFTS-QKSELLSCHAFT.

ewton

stellt

mit Hilfe der von ihm gegründeten Näherungsmethode die in

=

folgender decadisch fallend geordneten Reihe dar:

in

Xq

Vo

X^

— Vo

X^

.Tg

Vo

Vo

7

welcher

a;^

Eine oder einige Anfangsstellen der Wurzel repräsentirt, und die mit

als Initialwerth

Q

ange-

ay

rL

in

ibr
ary

of

the

^^^ ^0

Mu
se

um

einer numerischen Gleichung/(a;)

Rechnung stehende Wurzel

of

JM

Co
mp
ara
tiv

Vorerinnerung.

rns

tM

deuteten Folgeglieder vor Allem den Relationen
ity

,E

Xr—i
*^r



Vo

i

j

the

Ha

rva

rd

Un
iv

ers

*^r ^^^

kommen haben,

itis

ed

by

zu genügen, und in der Weise zur Verwendung zu
Dig

blos je Eine oder nur einige wenige Anfangsstellen benutzt

denselben

man von einem jeden

dass

— nach Massgabe des Umstandes,

einzelnen

Q

wie viele von

decadischen Folgeglieder der Wurzel selbst erkannt werden. Im Verlaufe dieser
Abhandlung werden wir diese mit Q bezeichneten Folgeglieder mit der Benennung Orientirungsquotienten kennzeichnen.
als die richtigen

dem Falle, wo von
Abnahme beurkundet,

aj In
rische

x^ aus, für numerisch
leistet die

zunehmende a;-Werthe, der Ausdruck/,

Newton'sche Methode

bei der

(x) eine

nume-

Berechnung der Wurzeln entschie-

dene Dienste. Die entgegengesetzt genommenen Orientirungsquotienten bilden eine dekadisch abnehmende
Dunkschriften dnr mathem.-natui-w.

Cl.

XXX.

lid.

Abhandl. von Nichtmitgliedern.

CO


Lorenz

218
Reihe von Aggregaten, welche mit

gleichbezeichnet erscheinen, und zu x^ hinzugezählt, die

a^^

stehende Wurzel desto besser darstellen

in je

,

grösserer Anzahl dieselben zur

numerischer Beziehung bilden die Näherungswerthe
sich der

Zmii7'ko.

Wurzel desto mehr, je grösser

a-,,

in

Rechnung

Verwendung gelangen.

In

und nähern

x^, x^,...x^, x^+i eine steigende Reihe,

ihr Zeiger ist.

dem Falle aber, wo von x^ ans, für numerisch wachsende x-Werthe, die derivirte /, (x) eine
numerische Zunahme beurkundet, bieten die Newton'schen Orientirungsquotienten bei der Bestimmung der
numerisch steigenden Näherungswerthe x^, x^, x^,... in dem Masse numerisch zu grosse Aggregate je
rascher die Zunahme von /,(a-) vor sich geht. Bei einer erheblich raschen Zunahme von fiix) geht die
Bestimmung der Wurzelaggregate in ein förmliches Tappen über, und man könnte leicht geneigt sein, der
Newton'schen Methode ihren gehörigen Werth abzusprechen. Gibt man jedoch das Bestreben auf, den
In

ze
ntr
um
.

at

l)

Näherungswerthen x^,

x^,

x.^.

aufzuzwingen

die Eigenschaft

.

.

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

ww
.

bio
l

og
ie

,

dass selbe durch numerische

,

— wenn man vielmehr zufolge der
bio
d

den wahren Wurzelwerth immer näher und näher rücken;

x^>x,

und wird

Folge genüthigt sein, die Rechnung

in weiterer

dass die Näherungswerthe x^, x^, x^,

.

durch fortgesetzte numerische

.

in

man

in

dem

numeri-

der Art fortzusetzen,

Abnahme an den wahren Wurzel-

Lib

.

rar

scher Beziehung

yh
ttp
://w

ww
.

Orientirungsquotus inhaftenden Beschaffenheit das Aggregat Q^ zu gross annimmt, so erhält

Zunahme an

diesfällig

He
rita
ge

werth immer näher und näher treten. Bei der Fortsetzung der diesfälligen Operation wird der Ausdruck/, (a-)
und die weiteren Orientirungsquotienten gelangen demgemäss bei der Bestimeine Abnahme beurkunden
iod
ive
rsi
ty

,

mung der nun entgegengesetzten Aggregate zur entschiedenen Geltung.
Th
eB

rom

der Gleichung

Anfangsstellen nicht einer einzelnen, sondern mehreren, etwa r Wurzeln,

wo mehrere

In den Fällen,

gemeinschaftlich angehören, bildet der Orientirungsquotus Q^ durchaus keinen An-

f{x)=

loa
df

c)

ina
lD

ow
n

haltspunkt, und erscheint zur Bestimmung der decadischen Wurzelaggregate völlig unfähig. Dies sind Er;O
rig

scheinungen, welche die Newton'sche Methode in völligen Misscredit brachten, ja für eine völlige Verwerf-

aber bedenkt, dass in diesen Fällen in Bezug auf die gemeinschaftlichen Anfangsstellen die

=

eZ
oo
log
y(

betreffenden r Wurzeln der Gleichung /(a-)

Ca
mb
rid

Wenn man

ge
,M
A)

lichkeit derselben sprachen.

weiter erwägt, dass eben diese Erscheinung

in

als

einander gleich angesehen werden können

Bezug auf

die derivirten Gleichungen

Co
mp
ara
tiv

Mu
se

um

of

sich derart maniiestirt, dass die gemeinschaftlichen Anfangsstellen in der ersten bei {r

Wurzeln,

in

der

the

of

,

ibr
ary

;

rL
ay

in der

f^ix), /,(«).. ./_2(a;)

Weise bewirkt

dass diese Werthe

,

rns

tM

(ar),

,

/,_,(a;) eine gesetzmässige Depres-

um

desto rascher gegen die Nulle zu

— so wird man bald gewahr,

ity

,E

convergiren, einem je kleineren Derivationszeiger sie angehören,
Un
iv

ers

mittlung der erwähnten mehren Wurzeln gemeinschaftlich angehörigen Aggregate, die

Gleichung /_i(a;) = Ü
rd

in ihre vollen

Rechte

tritt,

dass zur Er-

Newton'sche Methode

weil die erwähnten Anfangsstellen in dieser

rva

erst bei der

1)

.

.

Beziehung auf die Werthe der Polynome/,

den Anfangsstellen



in der vorletzten bei zwei, und in der letzten bei einer ein(?— 3)
wenn man ferner auch des Umstandes gedenkt dass diese Erscheinung in

zweiten bei (?•—-2), in der dritten bei

sion in

wenn mau

.../_,(x) = 0, /_,(x) =

/,H = 0, /.H = 0,

zigen Wurzel sich kundgeber,

;

:

by

the

Ha

Gleichung nur einer einzigen Wurzel angehören.

man

nicht

den Ausdruck

Q^^,

sondern vielmehr den Ausdruck:

Dig

itis

ed

In diesem Falle wird

a_,=/-.(-r)
als

:/.(*)

den Newton'schen Orientirungsquotus ausersehen, und denselben zur Ermittlung der successiven Wurzel-

aggregate so lange verwenden

,

lange die oberwähnte gesetzmässige Dei)ression der Anfangsstellen in

in so

angefangen,
/(«) /(x) /i,(x),. ./,_i(a-) sich bethätigt. Von der Stelle
Wurzeln einzeln oder gruppenwelche die erwähnte gesetzmässige Depression nicht bewirkt, erhalten die

Bezug auf

die Functionswerthe

.

,

,

/•


219

Studien im Gebilde mimerischer Gleichungen.

weise verschiedenartige Folgeglieder, werden somit mittelst passender Orientirungsquotienten Q,_s von ein-

ander getrennt und der weiteren Rechnung unterworfen.

Newton'sche Methode genügende Auskunft, um sich
jeder erwünschten Genauigkeit zu nähern und ist nur in der einzigen

In allen sub a) h) c) angeführten Fällen bietet die

der in Rechnung stehenden Wurzel mit

Beziehung

als

mangelhaft anzusehen, dass man mittelst derselben nicht erfährt, wie viele von den Anfangs-

Verwendung stehenden Orientirungsquotus als ein wirkliches Wurzelaggregat zu gelten haben.
Erst der Mathematiker Fourier hat der Newton'schen Methode eine solche Vervollkommnung verliehen, dass man mit Hilfe seiner Methode bei jedem einzelnen Orientirungsquotus ganz genau erfahrt, bis
zu welcher dekadischen Stelle die Darstellung der Wurzel bereits gediehen ist. Das einschlägige, von Fouww
.

bio
l

og
ie

ze
ntr
um
.

at

stellen des in

Sei etwa

x,.

Näheruugswerth, welcher

ein derartiger

allen

in

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

rier begründete Verfahren besteht im Folgenden:

seinen Stellen mit den .\nfangsstei!en der

Wurzel übereinstimmt, und iv eine Zahl, welche aus Xr durch Vermehrung der decadischen Schlussstelle um
32-577 findet, so wird
32-576, x^
eine Einheit hervorgeht, dergestalt, dass man beispielweise für x^
ww
.

yh
ttp
://w

,

die numerisch grössere mit/,

(a;)

,

und

man:

Th
eB

— Xr= lO"" voraussetzt,

und den Werth von k aus

:

tn

7ii'

jöl+r

+ Jö^ +







bestimmt.

dem Ausdrucke

für

a;,.^_i

x^,...Xr,

der Vorgang

betreiFenden Quotus

die

wie

ersichtlich,



iiv+i. .gelangt,

eZ
oo
log
y(

a-,,

ist

man den

dem decadischen Zeiger ( 2« k) entsprechende Ziffer erhält.
man von x^ aus nach und nach zu den Gliedern der Reihe x,,
und demgemäss jede erwünschte Näherung an den wahren Wurzelwerth be-

man

blos so weit zu entwickeln habe, bis

Hieraus

beigefügte Zeiger 2n-\-k deutet an, dass
ge
,M
A)

in

Ca
mb
rid

Der

;O
rig

ina
lD

:

ow
n

M^r) 2/ (^.) =

loa
df

rom

sobald man: Xr

iod
ive
rsi
ty

He
rita
ge

so erhält

f,{x)

rar

man ganz allgemein von den Grössen /; (.r),

die numerisch kleinere fi{x),

=

und x^ zu liegen kommen.

Lib

Bezeichnet

x,.

bio
d

=

ganz gewiss der wahre Werth der Wurzel zwischen

Co
mp
ara
tiv

wirken kann.

Diese in ihrer Entwicklung sehr elegante und

in der

Anwendung

äusserst einfache Methode hatte

Fou-

of

rier aus der Betrachtung der Descartes'schen Curve abgeleitet und zunächst zur Berechnung der primären

in

Mu
se

um

Wurzeln einer Zahlengleichung mit nur einer Unbekannten bestimmt. Die betreffende Entwicklung

man

dem nach seinem Tode gedruckten Werke

„Analyse des Equations determinees par M. Fou-

ibr
ary

of

rier premiere partie" niedergelegt.

aber schon den Titel dieses Werkes, das darin niedergelegte „Expose synoptique« und nebst-

zahlreiche,

im zweiten Capitel niedergelegte Aussagen aufmerksam
tM

ay

rL

Wenn man

rns

dem

:

the

(reellen)

findet

dem Tode

ers

ity

,E

schliesslichen Überzeugung, dass mit

vielleicht aller in das Gebiet der
Un
iv

gung der meisten, ja

rd

rva

Ha

the

by

um

als eine vollständige
Dig

Werkes ganz gewiss

itis

ed

punkte dieser Wissenschaft zu erklimmen

Seite 231, Artikel 37 liest

in kleinen
,

so erwehrt

man

sich nicht der

Gleichungen einschlägigen theoretischen und prakti-

schen Fragen der Nachwelt auf eine längere Zeit vorenthalten
seitigen Schaffens noch bedürfen wird,

prüft,

dieses grossen Denkers eigentlich die vollständige Erledi-

ist,

dass es des mühevollen Strebens und

viel-

Portionen Stufe für Stufe wenigstens einzelne Haupt-

welche diesem erhabenen Genius schon bei der Anlage seines

Schöpfung zu Tage

lag.

man:

„Cette remarque n'est point bornee aux fonctions qui ne contiennent qu'une seule variable.

On

peut en

g6neral resoudre la question suivante qui se presente dans les applications principales de l'aualyse algebrique.

Une

fonction algebrique

f(x,y,s...) de plusieurs variables etant proposee.

betreffenden Stellen p. 227

und andern mehreren

ist deutlich

.

.etc."

zu ersehen, dass es

während der Abhandlung der Gleichung mit nur Einer Unbekannten

Hieraus und aus den

dem

Verfasser schon

bei jeder sich darbietenden Gelegenheit


Lorenz Zmurko.

220
daran

liegt,

Zeit als

und Auffassungen

die Gesichtspunkte

Überbrückung

zu einer

mehren unbekannten anwendbar

Von

Weise zu

in der

stellen

um

selbe seiner

sein sollte.

Überzeugung durchdrungen, habe ich den Entschluss

dieser

und vorzubereiten,

Methode dienstbar zu machen, welche anf Systeme von Gleichungen mit
meine Studien auf dem Gebiete

gefasst,

der Zahlengleichungen vornehmlich jener Partie zuzuwenden, welche die methodische Berechnung der Glei-

Fourier

zur Berechnung der primären Wurzeln von Gleichungen
at

Die Methode von

betrifft.

zum Muster nehmend, war

mit nur Einer Unbekannten

es mein Bestreben, dieselbe auf die
ze
ntr
um
.

chuugswurzeln

og
ie

plexer Wurzeln einer solchen Gleichung auszudehnen und schliesslich eine Methode

Berechnung com-

aufzustellen, welche zur

bar an die Gleichungstheorie von

Fourier

anzureihen; bald wurde ich jedoch gewahr, dass die derselben zu

Grunde liegenden räumlichen Anschauungsweisen

um

in

einem zu geringen Maassstabe entwickelt

sind, als dies

zur Begründung der aligemeinen Näherungsmethode

hieraus die erforderlichen Subsidien

bio
d

nöthig war,

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

ww
.

bio
l

Berechnung der Wurzeln eines Systems von coexistenten Gleichungen mit mehren Unbekannten sich eignen
soll. Ursprünglich habe ich es für zweckmässig erachtet, diese verallgemeinerte Näheruugsmethode unmittel-

yh
ttp
://w

ww
.

schöpfen zu können. Ich habe mich desshalb entschlossen, nach einem solchen Ausgangspunkte mich umzu-

theils sich gegenseitig unterstützend
Lib

um

,

theils

,

einander ergänzend sich zu

He
rita
ge

nisches Ganze hervorgehen

rar

sehen, von welchem aus die hauptsächlichsten, bereits bekannt gewordenen Gleichmigstheorien als ein orga-

in weiterer

Folge in der zweckmässigen und gründlichen Ausbildung der von
Th
eB

kannten und

iod
ive
rsi
ty

einem harmonischen Systeme zu vereinigen. Diesen Ausgangspunkt fand ich einestheils in der Verallgemeinerung des C au chy'schen Existenzbeweises für wenigstens Eine Wurzel einer Gleichung mit einer Unbe-

Von da aus war

Spitzer
Ca

es mir leicht, die von

rom

cirten räumlichen Darstellungsmethode der Gleichungswurzeln.

S.

u

chy

und mit

loa
df

angeregten Kriterien einer horizontalen Einschliessung der complexen Wurzelpuukte zu begründen

publi-

ina
lD

ow
n

Zuhilfenahme der St urm'schen Restmethode zu einem prägnanten Trcnnungsmittel der Wurzelpunkte aus;O
rig

zubilden.

Bezug auf

Deutung und Auszählung der complexen Wurzeln eine wesentliche Belebung, und es

die

gelang mir, diese ganze Theorie

in einer

Ca
mb
rid

lich in

ge
,M
A)

Die Fourier'sche Gleichungstheorie selbst gewann auf Grund der räumlichen Anschauung, nament-

überraschend kurzen Abhandlung zu verkörpern. Siehe

§. 6.

eZ
oo
log
y(

Im Anhange brachte ich die successive Ausmittelung der Gleichungscocfficienten in zweierlei Weise zur
Co
mp
ara
tiv

Darstellung, nach Massgabe des Umstaudes, ob bei der Ausmittelung der Wurzel blos EinRechncr oder mehre

Auch

gleichzeitig thätig sein können.

findet

man

daselbst die

Anweisung zur constructiven Ausmitteluug der

of

successiven Coefticientreihen, wie auch eine constructive Näherungsmethode zur Ausmittelung der primären
Mu
se

um

Gleichungswurzeln. Eine zweite constructive Methode zur Bestimipung der primären Gleichungswurzeln auf
the

Grundlage der Bildung der sogenannten Integralcurven.

dem

of

ibr
ary

geometrischen Probleme bewerkstelligen kann

aller

4.

Grade angehörigen Gleichung abhängen,
rns

höchstens

Lösung

ay

die

tM

Weise

diesem Paragraphe Constructionsmittel angegeben, mittelst welchen man

in

rL

Ferner sind

zum

welche von der Auflösung

einer,

und eben hiedurch ersichtlich gemacht, dass
4.

Grade

in

geschlossenen Ausdrücken zu lösen

ers

ity

,E

gleichwie die Mathematik nur Gleichungen bis höchstens

,

in directer

Un
iv

vermag, auch die geometrische Construction

bis dahin fähig sei,

rd

geschieht der Erzeugung der Cycloiden eine

Auflösungen zu vermitteln.

Erwähnung und wird

rva

Schliesslich

gezeigt, wie

man

sich

the

Ha

derselben zur Rectification gegebener Kreisbögen, zur Polysection eines gegebenen Winkels und überhaupt

Dig

itis

ed

by

zur Auflösung einiger transcendenten Gleichungen bedienen kann.

Lemberg am

10.

August 1868.


Studien

221

Gebiete numerischer Gleichungen.

ine

1-

§•

Fundamentaleigenschaften der Gleichnngspolynome.

algebraische Gleicliung,

j^^

A^u-{- A^u^

...

-\-

(1)

welcher sowohl /(z<)

in

auch o(«) durch Polynome von der Form;

als

,

at

eine

K—

vvobei ?•=

,

ze
ntr
um
.

FW =/(m) + ^>(m) =

in endlicher Gliedei-zahl dargestellt sind.

Auf Grund der Taylor'schen Reihe

man

:

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

ww
.

bio
l

findet

og
ie

Sei

+ f .' _ f {«) + ijY-f «' + ff f ''"' +&,

F(„

)

yh
ttp
://w

ww
.

bio
d

worin ganz allgemein:

(2)

und

= pCos«jx+ i\c-siu«,a

f

= pcospi + «f

ei^'

siü/ji.

= Aa;

-|-

^Ay

(4)

soll.

man eben

Setzt

so

:

iod
ive
rsi
ty

verstanden werden

He
rita
ge

Lib

,

rar

pe"i"

^

4-^'

(ä'.w^t.w.

<''

F^(x

=
«y) =

mit den Bedingungsgleichungen

-j-

fs(_^) e^'

*?/)

«

!

+

(-^s

:

!

Z,

=

*

!

CT,

*'«s)

=*

tf,{x) sin Z)

hiemit

,

'•

(6)

'^s^ 5t»

sin



D+

D
cos D

y,(a;) sin
cp.(a;)

,

(7)

,

,

.

.

ibr
ary

angedeuteten Differentiationen

führen uns auf endliche Polynome, deren Glieder der

.

Form

in

den Ausdrücken /,(a.) cos X»,

:

und

in

diesen Gleichungen ihre hinlängliche Deutung besitzen.
rva

,

Ist

etwa

in

Bezug auf x die

?w-ten

Grade angehörig, so

by

dem

Wenn man
F,ix-\-iy)

nach

?(

-f s

Dig

bald die Ungleichung

den Polynome wie

itis

ed

Function f(x)

the

Ha

angehören

rd

Un
iv

ers

ity

,E

rns

tM

/.(x) sin Z>

(7) spielenden, syml)oli.sch
rL

und

in (6)

ay

Die

of

the

Mu
se

um

of

s\s,=s\G,s,m OL, =flx)

-\*'

cos a, =/;(«) cos 2)
Co
mp
ara
tiv

s

= f »(*) cos D
ge
,M
A)

iij)

;O
rig

ina
lD

=ß{x) e^"'==f,(x) cos D +ifs(x) sin D

/, {x

Ca
mb
rid

+
f,(x +

ow
n

auf Grund des Taylor'schen Satzes in symbolischer Form:

eZ
oo
log
y(

man

SO erhält

loa
df

rom

Th
eB

©/(«)=/.(..),

y,(ar) cos

erhält der

Ausdruck

/.(a;)

-p

jedesmal den Nullwerth, so-

> m zutrifft. Hiedurch ist die Behauptung gerechtfertigt,
D f,{x)s,\\iD je eine endliche Gliederanzahl besitzen.

dass die

in (7) spielen-

,

in

(2)

an die Stelle von u die complese Grösse x-\-iy setzt, und dann die Ausdrücke

[Q)

und

(7) deutet, so erhält

F{x -f

iy

+

p

e^O

man

= F [{x + A

=

:

o:)

-f

e'

(y

+A

=


//)]

(7yeV-|-p5|e^('.+i^)-}-p2c;2e'('-'=

-(-

.

.

.

= Z^^ ik^^

i^^e^^'

(^)


horenz Zmurko.

222
wobei:

= aCOSäj = sin ä„ = ^0 sin «„ +
^0 =

.Zj

«^

(7) hat

man ganz

dass für

ersichtlich,

+

sin (a,

fi)





ffj

allgemein:

ZiJr^=^
nothwendig auch Zy = Zr^O

(12)

woraus




= 0,

a,

at

Ans

,

+ (72COSa(a2-|-2;jL')p'-f
sin («^ + 2^.) p«+ ....
p +

cos(a, -|-fx)p

sein muss.

ze
ntr
um
.

(1 1)

(7,

og
ie

(10)

man

Folge derselben

in

(j„

so sagt

man

diesem

in

= = und somit auch
F[x + iy) = Z„+ s„e = 7„e'".=
hiemit auch

,

Falle, dass der

.^^

-r^^

,

= x-\-iy

complexe Ausdruck u

eine Wurzel der Gleichung

F{k)

=

+

F(x

5)

((^'

+ A x) + i {y

sich kleiner gestalten

ä^

-f

lässt

A y)]

die

als

e-'<

ebenfalls

als

positiv

gedachte

loa
df

,

= i,

a„.

Vor Allem

ow
n

Grösse

gedachte Grösse

positiv

+ p e^O = F

i;/

Gleichung

in der

es klar, dass von den Grössen

ist

(IG)

(7,

,

ffj

Werthen von x und y

.

.

.

Or,

IJr

+

l

.

.

.

nicht alle gleichzeitig verschwinden dürfen, weil dies bedeuten

Ca
mb
rid

bei den letzterwähnten

Tg

,

ina
lD

als

bewirken kann, dass

;O
rig

die

He
rita
ge

= Ax-\-iAy

pei'-'

ge
,M
A)

(1

Folge der Werthe von x und y nicht Null, so lässt sich nachweisen, dass ein pas-

^^ in

iod
ive
rsi
ty

jedoch

Th
eB

Ist

send gewählter Zusatz

rom

ausmache.

Lib

rar

(14)

yh
ttp
://w

ww
.

erluilt,

=

bio
d

(13)

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

ww
.

bio
l

Sind die angenommenen Werthe von x und y von der Beschaffenheit, dass

abhängig

sei.

Es kann

sich

eZ
oo
log
y(

würde, dass im Widerspruche mit der in (1) gemachten Voraussetzung der Ausdruck F(u) von x-^i'y nicht

jedoch ereignen, dass

Folge der Werthe von x und y einige der Aufangsglie-

in

(17)

*^'

Co
mp
ara
tiv

der in (16) gleichzeitig verschwinden, und etwa die Relationen

= <7z=53=







= <7r-2=

«7;._i

=0

5r>0

,

Mu
se

um

of

'^1

-j,,

aus

of

Gleichung

ibr
ary

(9) folgende

e'»'

the

veranlassen. In diesem Falle erhalten wir durch Heraushebung des nicht verschwindenden Factors

rL

= 5„e'"" )! + ?' —eVv- + «--'-'o]'

_|_

pr+i

1'±1_ g[(>

+ l)(i4-

ar+

1

-

a„J i

+

&

)

dem

hier

eingeklammerten Polynome sind bei gehörig kleinem
Un
iv

In

zwei der Anfangsglieder genügend,

p

auch steht es uns

frei,

rva

;

die Erfüllung der

s

Bedingung

p'-Zle['>

Dig

(19)

itis

ed

by

the

kleines positives

rd

seinen Werth in Bezug auf Grösse und Vorzeichen zu beurtheilen
Ha

um

ers

ity

,E

rns

tM

ay

5j,e'*ü

(18)

+ «r— «0'»

= _jr

zu beanspruchen. Hieraus folgt

pei^'

(-^0)

= Aa-+t A ?/=£(— I)rp5r,

(«0

— «')
l

und

A. = .(-l)f[j']7cos(^^^ A2,= .(-l)7[|>]lsin^^.

für ein gehörig


223

Studien im Gebiete numerischer Gleiclmngen.

Dann

findet

man

aus (18)
e"o'
5,,
"0

= 5^

««

f

1

[

_

und vTCgen

£'•]

£'"<1

1

/2n

S < S
wie dies schon bei (15) angedeutet wurde.
das Polynom F(u) von einem Grösseusysteme [x, y, a^

bezeichneten Grösse

n^

(m)

(m)

[.r,

S]

.y,

(m)

{m-i)

>S>S

im)

>'^o>°o-







(22)

so lange fortsetzen, bis wir zu einem Grössensystem etwa
(")

(«)

(")

yy

-^üj

(")

kommen, wobei mit erwünschter Genauigkeit
man eben so genau

(23)

iod
ive
rsi
ty

[•^'

He
rita
ge

Lib

rar

und können selbstverständlich dieses Verfahren



yh
ttp
://w

'o

:

mit der Bedingung

[x,y,a^]

.

In

erzielt.

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

Weise verfahrend, gelangen wir nach und nach zu den Grössensystemen

\x,fi,ö^,

Bezug auf

(7j>0, immerhin zu einem anderen Grössen-

falls

gelangen kann, wobei man eine Verkleinerung der mit


y,

in

bio
d

dieser

[.{-,

man

ww
.

system

dass

,

ze
ntr
um
.

so belehrt uns die vorstehende Relation

at

y-^ly^i/,

og
ie

= x,

bio
l

x-\- I^x

ww
.

man

Setzt

dem Nullwerth nahe gebracht

sein wird. DiesfäUig erhält

Th
eB

a^

= a„ e «0 =

ow
n

= F{x +

iy)

^

y

,

(»)

(«)

und man darf erklären, dass der Ausdruck u==x-\-iy mit Rücksicht auf

hat

für

die beanspruchte Genauigkeit eine

Ca
mb
rid

ganze

belieliiges

n

(

:

— i) =

Co
mp
ara
tiv

Man

ausmache.

(1)

eZ
oo
log
y(

Wurzel der Gleichung

^24)

;O
rig

i

ge
,M
A)

-\-

ina
lD

(„)

(„)

u=: X

loa
df

rom

:

hiemit auch

ei(2''+*)t
^

ilin+\)—
IN —
'r.
{—l)r=e
I

;t

-

^25)

Mu
se

in (20)

ist

ibr
ary

of

the

Durch Einführung dieses Werthes

um

of

/

= .-[-^)fcos ^-o--+f -+')-

]

(A,A,

= .[J]I sin [«o^(2^i+il^]

(26)
.

ersichtlich, dass
Ha

ist

man vom

the

Hieraus

rva

rd

Un
iv

ers

ity

,E

rns

tM

ay

rL

(Ax)„

erhält,

dem oben angezogenen

welche die Eigenschaft besitzen, der mit

tj^

Falle r

angedeuteten

stehenden Werth zu ertheilen. Diese r Werthe gehen aus
itis

a^

aus in

Dig

Grösse einen unter

/'y

ed

by

von einander verschiedene Nachbarwerthe

M=;r-f

Initialwerthe

[x

+ (Aa;)„] + r[y + (A.v)„]
*

hervor, sobald

man

für w

nach und nach die Werthe 0,

gern entsprechend nach (26) die Grössen A.t und

Der

Initialwerth x-\- iy ist diesfällig ein

\y

1

,

2, 3,

.

.

/•

— 2, r— 1

annimmt, und diesen Zei-

auswerthet.

Ausgangswerth von

ferne r auf einen die Einheit überschreitenden

.

r verschiedenen Wurzelwerthen,

Werth deutet, wollen wir diesem

und inso-

Initialwerth .r-f-^y die im

(27)


Lorenz Zmurko.

224
analogen Fall

indicatorischer Werth

Fourier'schen Gleichungstheorie adoptirte Benennung

der

(28) ertheilen.

=

Jeder andere beliebig angenommene Initialwerth kann den Fall r

l

herbeiführen, braucht somit durch

eine besondere Benennung nicht erst hervorgehoben zu werden.

Dieser Auseinandersetzung zufolge

ist für

die Gleichung (1) eine Anwartschaft in Aussicht gestellt, ver-

ze
ntr
um
.

at

möge welcher mehre von einander verschiedene Werthe von der Form x -\- iy als Wurzeln dieser Gleichung
aufzutreten vermögen; und es entsteht die Frage: Wie gross ist die Anzahl der Wurzeln, welche einer vor-

auf,

bio
l

Form

:

ww
.

= B„ic- + ß„..i

F{u)

(30)

die Gleichung (1) in der
;."-'

was wir immerhin thun dürfen, sobald wir

+

.

.

-f B^u^

.

B

die mit

-^B,u-^B^ =
ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

Zu diesem Behufe schreiben wir

og
ie

(29) gelegten Gleichung angehören ?

bezeichneten Coefficienten in der

dersetzung also verfahren

,

rar
Lib

= 0,

= 0.

.i^„_,(«)

.

iod
ive
rsi
ty

F,(«)

1)

Th
eB

angehören. Jede Wurzel irgend einer der Gleichungen (31)

,

(/*

tritt

.

.

.

als indicatorischer

rom

Denigemäss bestimme man

die

3ten, 2ten, Iten

Grade

Werth der Wurzeln der

Wurzel der dem Iten Grade ange-

loa
df

und

den indicatorischen Werth zweier Wurzeln der Gleichung

erhält

Jede der Wurzeln dieser Gleichung

ow
n

=

hörigen Gleichung F„_\{x)

indicirt
ina
lD

nächst vorhergehenden Gleichung auf

— 0.

der vorigen Auseinan-

He
rita
ge

= 0, i^„_,(«) = 0,
— 2)ten
also {n —
neue Gleichungen, welche beziehungsweise dem (« — l)ten,
•F;(«)

F„-2{u)

\or-

Durch das Nullsetzen der successiven Ableitungen des Gleichungspolynonies

:

F{u) erbalten wir
(31)

man auf Grund

könnte

ww
.

Wurzeln dieser Gleichung habhaft zu werden

Form p -\- g^i

yh
ttp
://w

aller

bio
d

aussetzen.

Um

^

wieder zwei Wurzeln der Gleichung F„-z{u)

=

0,

ge
,M
A)

;O
rig

wobei es sich ereignen kann, dass man von verschiedenen indicatorischen Werthen ausgehend, zu einer und
derselben Wurzel der nächst vorhergehenden Gleichung geleitet wird.

eZ
oo
log
y(

Ca
mb
rid

Auf diese Weise verfahrend, gelangt man zu den Wurzeln der Gleichung F^(^u) = 0, welche wieder
der Gleichung (30) angehörigen Wurzeln indiciren und zum Ausgangspunkte ihrer Berechnung dienen.
Die eben besprochene Staffelraethode könnte in der That zur Ausmittlung der Wurzelwerthe der
ist

jedoch

in

Co
mp
ara
tiv

vorgelegten Gleichung dienen,

der Effectuirnng so

mühsam und

complicirt, dass

mau

of

Ausbau anderer Auflösungsmethoden auszubeuten.

Mu
se

um

Staifel-

eine Wurzel der in (30) vorgelegten Gleichung

Wn=Pn-\-qni

ibr
ary

of

the

Sei nun:

in (30)

in dieser

Beziehung gerne nach jedem Erleichterungsmittel sich umsieht, und sich höchstens begnügt, die der
raethode zu Grunde liegende Idee beim theoretischen

die

F{:u)

= F{u) = 0,

ay

rL

(32)

ti

auf den Grad dieser Gleichung hindeuten mag.

rns

tM

wobei der oben angesetzte Zeiger

— w„) erhalten wir folgende

für jedes u geltende Relation

:

Un
iv

ers

ity

,E

Durch Division mit dem Ausdrucke {u

rd

F{u)J^lu)[u—w„]-^r„,

Für u

= w^

by

the

— l)ten Grade angehörigen Quotns,

und

r„

den eventuellen Rest andeuten mag.

ed

den dem (n

itis

F('«)

Ha



erhält
Dig

n

WO

rva

(33)

n

man

aus (33) wegen der Eigenschaft von w^ als Wurzel der Gleichung F(m)
>•„

,

(34)

F{:u)

wodurch besagt wird, dass
einem Polynom des

um

ein jedes

=

,

=

hiemit

= {u—wSf[u),

Polynom der Form

eine Einheit niedrigeren Grades,

(30) als ein Product dargestellt

und einem Binom (u



w„),

werden kann, aus

dessen entgegengesetzt

,


225

Studien im Gebiete numerischer Gleichungen.

genominener zweiter Theil eine Wurzel der aus der Nullsetzung des Polynoms (30) hervorgehenden Glei



n

chung ausmacht. Dieses Binom

von nun an der

soll

Wurzelfactor

des gedachten Polynoms F{u) heissen.

8

Auf Grund (24) sehliesst man eben, dass ein jedes Polynom F{u) durch einen passenden M-Werth
dass es somit gestattet sei, für ein beliebiges s die Gleichung
auf Null gebracht werden kann,

=

M',



beiderseits

,

so erhält

vorkommenden gemeinschaftlichen Factors folgende Gleichung
n

= B„{u —

F{u)

?<',)

(?<— Wj)

(w— «--j)

.

.

.

yh
ttp
://w

dieselbe in dieses

die Stelle

.

von

.

w^

.

den Zahlen w^, w^,



iod
ive
rsi
ty

nicht fähig, das in (36) ersichtliche Product auf Null zu bringen

ist

.

.

Es

.

.

(u — w„)

w„ nicht vorkommende Zahl

w

ist

somit auch nicht fähig eine Wurzel der

Th
eB

Gleichung (30) darzustellen.

.

ertheilt

einführt.

?<

und ein jedes der Binome {u — w^), {u — u-^,
rar

eine jede dieser Zahlen eine Wurzel,

ein Wurzelfactor der Gleichung (30). Eine unter

Polynom an

ir^

Lib

man

He
rita
ge

demnach

Nullwertb, sobald

(36)

F(u) andeutet. Jede von den Zahlen w^, w^,

n

dem Polynom F{u) den

man nach Weglassung des

ww
.

Coefficienten von m" in

specialisirt,

2, 1

3,

(u—u\^i) (u — ic„) = 0,

n

WO B„ =i^(M) den

ist

ze
ntr
um
.

at

die hiedurch entstehenden Gleichungen mit einander multiplicirt

n — 1, ...

n,

og
ie

Werthe:

für die

bio
l

Bezug auf«

(35)

bio
d

und

diese Gleichung in

'f{u)

ww
.

Wenn man

anzuschreiben.

= {u—W,)

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

F{u)

Sind mehrere dieser Wurzeln einander gleich, und

dreimal wiederholte Wurzel
Aus (36) erhält man

loa
df

=« ist eine

so

ist

(37)

das betreffende

dreifache oder

eine

;O
rig
ge
,M
A)

Ca
mb
rid

= B4u-{w—k)][u—(w^-k)].
eZ
oo
log
y(

= B^Jc- (u- |l) («- J)
Co
mp
ara
tiv

F(uk)

= w^ = w^ = a,

und man sagt: die Wurzel

theilbar,

der Gleichung (30).

:

F(u + k)

iOf

ow
n

— af

etwa

ina
lD

Gleichungspolynom durch (u

ist

rom

Eine Gleichung des wten Grades besitzt somit n Wurzeln und nicht mehr.

.

.

.

.

.

(u- '^) =

(u-kw,,)

=

(38

Mu
se

um

of

F(^) = 1^ (u-ic «•,) {u-ku;)

.

=

.[u—{w„—k)]

.

F{u')=B„{u''-(Vw^y) («*— (Vtc^y). .{u''—{Vu>„y)
the

.

of

ii

=

ibr
ary

„t

k

k

k

rL

= i3„ Vü- V{n^>') Vü— Vi^f)
(

ay

(

.

. .

(

k

Vu- V{^)'')

=

,

d.h.

rns

tM

F{ Vü)

ity

der Gleichung F{u)
ers

in

,E

n

Wenn man

man

Un
iv

eine Operation verbindet, so muss
rd

um

die

mit

dem Wurzelrepräsentanten u

the

by

itis

Um

n

etwa bei dem angenommenen ersten Coefficienten

zu erhalten, bilde

man

durch irgend

=0

aus gegebenen Wurzeln w,, w^,.

.

(39)

.w„_i, w„

:

Dig

in

Ic

Wurzeln der jeweiligen transformirten Gleichung zu erhalten.

(36) lässt sich das Gleichungspolynom F{u)
ed

Vermöge

folgender Weise aufbauen

die Constante

diese Constante k mit einer jeden ihrer Wurzeln durch die entgegen-

Ha

rva

gesetzte Operation verbinden,

=

sich aus

jB„

irgend einen anderen Coefficienten, etwa B„_,

den entgegengesetzt genommenen Wurzeln

— w, — w^, — wj...
,

w,^ alle

möglichen Combinationen zur sten Classe, betrachte jede dieser Combinationsformen als ein Product der

in

derselben enthaltenen Elemente, und verbinde schliesslich die so erhaltenen Producte durch Addition. Stellt
S, diese

Summe

vor, so erhält

man

zur

Bestinmmng von B„^, folgende Relation
«„_,

l)fnkschriften der mathem.-naturw. Cl.

XXX.

Bd.

= £,..

:

-S,.

Abhandl. von Nichtniitgliedern.

(40)

dd


Lorenz Zmurko.

226
Demgemäss

erhält

man auch

:

= — -Bn (w, +

-B«-i

+ +

W'2

«'3





+«'„),



(41)

Wenn man etwa

^

Wurzeln w,

die

w^,

7r^,

,

w^ ins Auge fasst, so können wir dem angeführten

?r^,

in -Dj





mBg





ini\ gelangt



n



,)

4.















von den ins Auge gefassten fünf Wurzeln

man



zwei,



eine

Verwendung.

als Multiplicatoren zur

Form an

die erste Gleichung in (38) in folgender

drei,

:

F{h

= B„u^ + B'„_i M»-'

1-)

-i-

-I-

i?'„_aM"-^

+



+ ^'V'' + ^i"^ + B\ " +





-ß'u

'=

als

to^,

.,

Th
eB

Anfangsstellen mit

welche den Inbegriff der gemeinschaftlichen

w^, w^,

ihre Charakteristik wenigstens

Wr^

thätig war.

überdies die

ist

B\



um

Bezug auf seine Charakteristik

5v Einheiten

tiefer,

Wurzeln w\, w\,

zu Rathe zieht, so gelangt

in (42)

als die

die geringste

von

B^^

ji

-'^i

man

zu

fol-

of

B\

Mu
se

Die Charakteristik von

in

Bemerkung

Co
mp
ara
tiv

:

tiefer ausfallen,

um

genden Ergebnissen

,

welcher

bei dessen Bildung die geringste Anzahl von den
eZ
oo
log
y(

Wenn man

Einheiten

v

angeführten Coefficienten gibt bei jedem derselben

in (43)

Summand den Ton an

— also derjenige,

Senkung beurkundet,

um

der Fall war.

Ca
mb
rid

derjenige combinatorische

r,

v

rom

Bezug auf

in
ic^,

,

Behufs der Angabe der Charakteristik der

10

,

— k = w'„;

Beziehung auf

loa
df

w\, w\, w\

dies bei den Wurzeln w,

w', w\,

sei

in

tv,^

u\

?(''„_i,

ow
n

w

und dass eben h diejenige Zahl

,

^'

ina
lD

Wurzeln

w^, w^, u\,

?
— =

?z'„_i

.

Stellenwerthe und Vorzeichen nach vorstellt, dann wird nothwendiger AVeise jede der

dem

Anfangsstellen

— k = tc\

Wurzeln

an, dass in (36) die

einander übereinstimmen

w.^

;O
rig

nimmt man ferner

— k^w'^,

ti\

iod
ive
rsi
ty

l,'^w\,

w,

He
rita
ge

setzt

ge
,M
A)

und

Lib

rar

(43)

yh
ttp
://w

ww
.

Schreibt



ww
.





B^ gelangen wenigstens vier,

in

og
ie

Zur Bildung der combinatorischen Summanden

3.

bio
l

2.

alle

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

Zur Bildung von B^ gelangen

5.

ze
ntr
um
.

5 Wurzeln als Factoren zur Verwendung;

1.

bio
d

(42)

at

dungsgesetze gemäss folgendes bemerken:

Bil-

n

)'

II

'

ibr
ary

of

the

j)

ay

rL



B'g,

B\

ein regelmässiges Abfallen beziehungsweise

Un
iv

heiten. In Betreff der weiteren Coefficienten

B\, B\

.

.

.

B^, B^, B^ zu den entspre-

um

5v, 4v, 8v, 2v,

1 v

Ein-

wissen wir, dass bei denselben auch solche com-

rva

rd

Summanden vorkommen, welche von den Factoren

?<>',,

w\ gar

w^, w^, w^,

Ha

(44) binatorische

Coefficienten B^, B^,

rns

,E

B\, B\,

ity

2?'^,

sich

ers

chenden

demgemäss beim Übergange von den
tM

Es ergibt

nicht afficirt sind,

ed

Erwähnung gemacht werden.
itis

weiteres keine

Dig

Besitzt die Gleichung (80)

identisch w

(««)

fiir

by

the

somit kann von einer derartigen Beeinflussung auf die Erhöhung oder Erniedrigung ihrer Charakteristik

= 0,

und/(M)

und respective

= F{u).

die Gleichung (Ij blos primäre Glieder, so ist in diesem Falle

In diesem Falle erhält

man ganz

allgemein

:


Stutlien

im Gebiete numerischer

227

Glei'-hiivfirn.

5,=

sieh ergebe. Dies

zweierlei

=y=

(49)

Weise herbeigeführt werden, und zwar

Th
eB

indem man
F{x)

bio
d

= s,=

Z„

kann auf Grund der Relationen (47) auf

oder

(50)

+ F,(a.)|]-...=0
ina
lD

F(a:)-i^,(x)|]

ow
n

'

loa
df

rom

1.

ww
.

dass hiedurch

,

yh
ttp
://w



y

,

(48j

rar

Wahl der Werthe von x

= F{x + iy) =

Lib

F(u)
verlangt eine solche

ww
.

rTleicliuiif;-

He
rita
ge

Erfüllung: der

i^,(.r)|^'

iod
ive
rsi
ty

Die

+

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

(a-)-F3(a.)|-j

(47)

bio
l

og
ie

ze
ntr
um
.

at

(46)

;O
rig

(51)
.

.

.

=

setzt.

Ca
mb
rid

ge
,M
A)

F,{x)-Flx)t^F,{x)t-

Aus (50) resultiren blos primäre Wurzeln. Aus (51) gewinnt man die übrigen Wurzeln, welche die comForm x-\-iy besitzen, und sieht gleichzeitig ein, dass im letzteren Falle auch x iy eine Wurzel der
da ja das Vorzeichen von y auf die Erfüllung oder Nichterfiillung der^

,

Co
mp
ara
tiv

vorgelegten Gleichung sein muss



eZ
oo
log
y(

plexe

Gleichungen (51) gar keinen Einfluss zu üben vermag. Solche Wurzeln, wie x-\-iy, x
of

complexe Wurzeln.

um

girte

-'

— iy heissen conju-

the

Mu
se

Das entsprechende Product von einander conjugirten Wurzelfactoren
of

— {x-\-iy\
ibr
ary

«

=

u-—{x—iy\

\

[lo—xfAry^

I

I

man

:

(.^)J3)

,

ay

rL

\

erhält

rns

tM

welches für beliebige primäre Werthsysteme von {%, x, y) stets einen positiven Werth beibehält.
Wenn nun die mit primären Coefficienten versehene Gleichung F(u)
die primären Wurzeln
.

.M^_„ Mv, und sonst lauter complexe Wurzeln besitzt, so müssen letztere in gerader Anzahl sich
sich in

Paare von je einander conjugirten Wurzeln anordnen lassen. Bezeichnet man das ProHa

und

Un
iv

»ij.

rd

Mj,

rva

K,,

einfinden,

ers

ity

,E

=

the

duct aller conjugirten Wurzelfactoren mit

t|/(M),

so schliessen wir aus (53) unmittelbar, dass der Ausdruck

primären Werth von u einen positiven Werth beibehalten muss.
by

(u) für jeden

nimmt die Gleichung (30) folgende Gestalt an
Dig

Diesfällig

itis

ed

|

F(m)

= 5„ [« — «,] [m—Mj]

.

.

.

:

[;<—«,] ^(e<)

wobei wir einstweilen die Anordnung der primären Wurzeln so
M,

erfüllt wird.

<«/2<«3

treffen,

..<«,_!
= 0,

(54)

dass für dieselben die Relation

(55)


Lorenz Zmurko.

228
Aus

\

man

(54) erhält

'^

U

•'

liieraus

:

U — M.

U.

U



dll.

:

= u^

u

IC

Auf Grand der Relationen

. .

.

(?/j— ;/v) ^ (mj).

= u.
Hand

ersichtlichen Producte mit entgegengesetz-

= u^

bio
d

(55) sind die in (57) rechter

ww
.

— «s)

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

=—B„{u^—u^) {u^

bio
l

og
ie

(57)

ze
ntr
um
.

at

^,o.,)=#^

F^{u) eine stetige Function ist, so muss es wenigstens
yh
ttp
://w

Da nun

ww
.

und bethätigen dadurch, dass der Ausdruck F^{u) bei den Satzungen u^u^, u

ten Vorzeichen behaftet,

entgegengesetzte Werthe annehmen muss.

Lib

rar

Einen zwischen u^ und u^ liegenden primären Werth u\ geben, für welchen F^{u) den Nullwerth annimmt,

Auf gleiche Weise

=

sein muss.

mJ, [m^-i, «v] wenigwelcher eine, und zwar eine primäre Wurzel der Gleichung (58)
den Paaren

[u^,

mJ,

[u^,

Th
eB

lässt sich darthun, dass sieh zu

rom

stens je ein Zwischenwerth finden lässt,

loa
df

ausmacht.

ow
n

Es deuten also v primäre Wurzeln der Gleichung F(m)
märe Wurzeln der Gleichung F^{u)=^0 hin.

=0

auf wenigstens

(y

— 1)

pri-

gilt

immerhin, wenn die Differenzen je zweier in (55) erwähnten

ge
,M
A)

Die eben ausgesprochene Behauptung

;O
rig

ina
lD

(59)

iod
ive
rsi
ty

F,{u)

(58)

He
rita
ge

welcher somit eine primäre Wurzel der Gleichung

Ca
mb
rid

Nachbarwurzeln beliebig klein ausfallen, hiemit auch dann, wenn diese Differenzen verschwinden.
In diesem Falle gehört eine ^-mal wiederholte Wurzel der Gleichung F(u)

Gleichung F^{u) =

derholte Wurzel der

und

dann

selbst

wenn

gilt,

eZ
oo
log
y(

^

an.

zum Gleichungspolynom

Dass der

hier

dF(u)'

y

=F,(?<)

als eine

(^x.

— l)-mal wie-

=

überzeugt

ist,

man

sich leicht,

(1)

wenn man

auf die in (56) ersichtliche Weise ableitet und

of

(36) die Gleichung

=

ausgesprochene Satz sogar für die Gleichung

Wurzel eine complexe

die wiederholte

Co
mp
ara
tiv

^

um

dann aus der Anzahl der gleichen Wurzelfactoren

F{u) auf die Anzahl gleicher Wurzelfactoren

in F^ (u)

Mu
se

in

ibr
ary

of

wir die Aufeinanderfolge der Gleichungen
ay

rL

Wenn

the

schliesst.

i^.(«)=Ü;

=

F^,{u)

^^ =

ity

,E

rns

tM

(61)

dass wir der ersteren die Benennung
Un
iv

ers

dadurch kennzeichnen,

der zweiten den

so wird es nicht schwer fallen, zu den im Vorhergehenden

rva

rd

Namen abgeleitete Gleichung zuerkennen,

Stammgleichn ng und

Ha

ausgesprochenen Relationen noch folgende hinzuzufügen

m

the

in



1)

der abgeleiteten Gleichung;

Dig

itis

verschiedenen primären Wurzeln
2.

:

verschiedene primäre Wurzeln der Stammgleichung verbürgen die Existenz von mindestens (m
by

m

ed

1.

gleiche Wurzeln der Stammgleichiing gehören den abgeleiteten Gleichungen in Iter, 2ter

.

.

vter

(m)

=U

.

Abstufuug, respective in den Anzahlen
ni

(62)



1

,

nt

—2

,



—3

,

.

.

.

m — (y — 1)

,

m— v

an.
3.

Der indicatorische Werth von

m

angehören, deutet an, dass diese dem

conjugirten Wurzelpaaren
(?i

— «)ten

,

welche etwa der Gleichung

Grade angehörige Gleichung höchstens

(m

i^^

— — 2m)
s

pri-


229

Studien im Gehiete numerischer Gleichungen.



märe Wurzeln besitzen kann. In weiterer Folge sind hiedurch in dem (?j s+l)teD Grade angehörigen Gleichung F,_j(»<)=0 höchstens (w s-\-l—2m) primäre, und somit wenigstens m conjugirte Wurzelpaare indicirt, weil sonst im Widerspruche mit dem Oberwähnten der Gleichung F,{u) =0 mehr primäre Wurzein

zukommen müssten

die Zahl

als

,

(w

s

— 2m)

behaupten, dass der indicatorische Werth von

=0

conjugirten Wurzelpaaren in F,{u)

=U

=

F._,{u)

,

=

... F^{u)

=

F,{u)

,

=

F(m)

,

bio
l

J^._,(«)

at

conjugirte Wurzelpaare in jeder der Gleichungen

wenigstens eben so

ze
ntr
um
.

m

m

können wir

,

og
ie

nämlich

viele,

In ähnlicher Weise fortschliessend

beträgt.

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

ww
.

beansprucht.
2.

§•

bio
d

Räumliche Deutung der Gleichungen und ihrer Wurzeln.

— '^(x)sixxD] + i[f{x) sinD + f(x) cos D]=Z^+iz^,

(l)

welchem

nach

die symbolischen Differentiationsdeterminanten

zu deuten sind, lässt in Bezug auf

(7) §. 1
He
rita
ge

in

Lib

rar

F{x+iy) = [f[x)cosD

yh
ttp
://w

ww
.

Der Ausdruck

Weise: In Bezug auf ein orthogonales Axensysten ox, oy, oz denke man sich den

den Träger der Coordinaten x,

Ausdrucksweise folgende Äquivalenz ein
rom

in der analytischen

m xoy

Punkt

befindliche

Ebene xoy liegenden

eines in der

ij

p

^ der Punkt

:

{x-\- iy).

(2)

ina
lD

Der

als

Th
eB

angenommenen Ausdruck {x-\-iij)
Punktes p, und räumt demgemäss

loa
df

in folgender

ow
n

und zwar

iod
ive
rsi
ty

seinen primären Bestandtheil Z^, als auch in Bezug auf seinen secundären s^ eine räumliche Darstellung zu,

;O
rig

Die aus der Annahme des Punktes (x -\- iy) sich ergebenden Wertbe von Zo und

benütze

z^

man

zur

Ca
mb
rid

ge
,M
A)

Bestimmung der Punkte P, p im Kaume in der Weise, dass beide in einer in p ^ni xoy errichteten Senkz^. Mit
rechten sich befinden, und zwar der erstere in der Entfernung =: Z^, der zweite in der Entfernung

P

zugeordneten-conjugirten Punkten

,

=

und

z^ soll

von den im angegebenen Sinne einander

primärer, der

der erstere ein

letztere

secundärer

ein

(3)

Co
mp
ara
tiv

Punkt

und p

genannt werden.

Z^^

eZ
oo
log
y(

Eücksicht auf die in (1) ersichtliche Bedeutung von

Durch zweckmässige Annahmen des Ausdruckes {x-^iy) gelaugt man zu einem beliebigen Punkte
of

Zu einem wie immer angenommenen Punktsysteme

ay

h.

tM

Namen

eine continuirliche Punktfolge, d.
die

primäre Hilfsfläche

rns

.

auffassen

,E

.

p





secundären H

i

1

f s f1

P

,

P,

JJ

I'

.

.

.

xoy

in a;o(/ erhält

.

.

Wird das System

.

p,

und ebenso
)j,

fi

.

man

mittelst

ent-

mittelst entsprechen-

als eine continuirliche

.

gedacht, so wird auch das Punktsystem P, P,

krumme Fläche charakterisiren
wollen. Eben so mag das System p,
eine

,

welche wir unter dem
p,

jp

.

.

.

(4j

den coutinuir-

ä c h e andeuten.

Un
iv

lichen Verlauf der

ity

.

jp,

das heisst als der Repräsentant der Ebene

ers

P,

,

p,

rL

Punktfolge

jj,

p, p, p,

Punktsystem P,

ibr
ary

der Wertbe von z^ das Punktsystem

the

ein räumliches

Z^^

of

sprechender Werthe von

Mu
se

um

xoij.

in

die analytische Darstellung der primären Hilfsfläche

rva

rd

Der gegebenen Auseinandersetzung gemäss wird

D — f(x)s\nB

(5)

= 2g ^/(x) sin Z) + y(a;) cos Z)

(6)

z= Zg^=f(x)

cos

und

Dig

itis

ed

by

the

Ha

durch die Gleichung

die der secundären Hilfsfläche durch die Gleichung
s

charakterisirt.

ganze

Raum

Durch eine jede der

Hilfsfläclien

wird gerade so, wie durch die Coordinatenebene

je in zwei Raumabtheilungen, d. h. in die obere

und untere Raumpartie

xoy

der

abgetheilt. Jede von

den Hiifsflächen wird von einer beliebig gewählten zn oz parallelen Geraden nur in einem einzigen Punkte
getroffen.


Lorenz Zviurko.

230
Von den Gleichungen

>^o

(7)

primäre Trasse dar,

stellt die erstere die

mären
•^^^

=

So

,

diejenige Linie, in welcher die

d. h.

ze
ntr
um
.

chungen (7)
und secundären Trasse gemeinschaftlich angehört.

og
ie

dem «ten Grade angehörige Gleichung -F(?<) = nothwendig «Wurzeln besitzt, so sind
n Wurzelpiinkte in der Ebene xoy sichergestellt, und es wird hiedurch bethätigt, dass die ober-

Da nun

zeln deuten selbstverständlich auf

(9) einen

hin.

xoy

Hilfsfläche

xoy

wellenförmigen Verlauf hat, und die Ebene

man

so erhält

,

,

und verlängert selbe

bio
d

den Punkten der secundären Trasse Senkrechte auf

Begegnung mit der primären

einen continuirlichen Linienzug

,

welcher

ww
.

in

n Punkten begegnen müssen. Gleiche Wur-

in

vielfache Wurzelpunkte

nothwendig

yh
ttp
://w

man etwa

Errichtet

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

ww
.

bio
l

die

wähnten Trassen nothwendig existiren und sich gegenseitig

bis zur

at

gleichzeitig, deutet somit auf einen sogenannten

hiedurch

pri-

secundäre

F{u)=0, nämlich u = x-\-iy genügt den GleiWurzelpunkt p hin, welcher der primären

Eine jede Wurzel der Gleichung

charakterisirt.

Ebene xoy von der

Eben so wird durch die zweite Gleichung in (7) die

geschnitten wird.

Hilfsfläche

Trasse

=

in

n Wurzelpunkten durchstosst. Diesen

primärer conjugirter
secundäre conjugirte Linienzug aufge-

kennzeichnen. In gleicher Weise

mag auch

der

Der

in §. 1

iod
ive
rsi
ty

werden.

man

sub (6) und (7) adoptirten Bezeichnung gemäss findet

= [fsix) cos D —

tf,(x)

sinD]

:

s

z,=

,

!

D

[fs{x) sin

:

-\-
cos D]:s\

+ ^J(^J
ow
n

=cos[Z)

,

ina
lD

^J[^J

Ca
mb
rid

ge
,M
A)

;O
rig

-^__=cos[i) +

loa
df

rom

Z,

Th
eB

fasst

He
rita
ge

Linienzug

Lib

rar

auf der primären Hilfsfläche lagernden Linienzug wollen wir mit der Benennung

^""^-^^

ö - y,+2:»(^)

cos

sin

D]

= (-1)'"

^

^^

''

s,+„„

,

,

Mu
se

um

of

Co
mp
ara
tiv

f-^'

eZ
oo
log
y(

-^ = 4-r

:

rns

tM

ay

rL

ibr
ary

of

the

Auf diese Weise vorgehend gelangt man zu folgendem Täfelchen

™+i(s-{-2wi+])!

d^'-+'z, __

,E

d^-'+'Z,

m(H-2«i-|-l)_!

^

itis

ed

by

the

Ha

rva

rd

Un
iv

ers

ity

^

jf^^^

= (-1)
Dig

df^^Hx^

" ^~

'

«»+E«.+^+i

TT

y\

'+*'"^^
'

j^;;:^^d^r

>

d^Fd^'

-^

^)

- K-^)



'^+*'"+'

s\

Zur Darstellung des primären conjugirten Linienzuges dienen die Gleichungen
(11)

^=Z,,

z,

=

71

a+.™+.+,

,


231

Studien im Gebiete numerischer Gleichungen.

Durch Differentiation derselben

Z^

im Punkte

die Winkel, welche das

man

bildet, so erhält

Sj

Z^

dx

Z^

anhebende Curvenelement dieses Linienzuges mit

(x, y, s)

aus (12):

.,vT^y

—s.

=

p.

;

^



_

/-i a-i

^^^^

v^i+5,*

zur Einheit, also nur für Punkte,

a,

X und y zukommen. Daraus geht hervor, dass der

rar

Distanz von der Axe oz einen zu dieser Axe parallelen Verlauf nimmt. Ein solcher Linienzug wird

ausgehend, entweder in der Richtung (13) oder in der ihr entgegengesetzten Richtung

Ebene xoy nähern, und

stellt die Möglichkeit in Aussicht, dass

gend, bis zur Begegnung desselben mit xoy,

sich

von derselben

und

fort

fort

loa
df

um

weiter zu nähern, sondern vielmehr von dieser Ebene sich

xoy

;O
rig

Prüfung unterzogen werden.

Der Parallelismus eines Curvenelementes zur xoy kann nur

'7^

angedeutete Werth von cos

Um

Platz greift.

v

demjenigen Punkt

in

ge
,M
A)

in (13)

= Z^^=s^ =

einer näheren

den Nullwerth annimmt, also

in

dem

(x, y, z) eintreten, für

Falle,

wo

die Relation q^-,

Ca
mb
rid

welchen der

mag auch im Folgenden

zu entfernen. Dieser Fall

wegwen-

ina
lD

det,

zu einem Wurzelpunkt gelangt. Es kann jedoch auch

d. h. bis

rom

kommt, welches

der Curveuzweig aufhört sich der

verfol-

Th
eB

möglicher Fall angesehen werden, dass

folgend, zu einem Elemente

seinem Ver-

man, diesen Linienzug

man die successiv aufeinander folgenden Curvenelemente verzu xoy parallel liegt, und anzudeuten scheint, dass von da aus
ow
n

als

in

vom Punkte

iod
ive
rsi
ty

lauf sich der

He
rita
ge

Lib

(x, y, ä)

denen sehr

conjugirte primäre Linienzug in gehörig weiter
yh
ttp
://w

grosse

'a,

=

v

^.1/1+^/

wird nur für ein sehr grosses

v

cos

'

bio
d

cos

;

ww
.

Der Werth von cos

Z.'

=

cos A

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

ww
.

den Axen ox, oy, oz

dy

at

dx

(12)

£7,*

ze
ntr
um
.

V

fx,

Z^-\-z^

og
ie

\

dz

bio
l

Sind

folgt:

der zu führenden Untersuchung die möglichst grosse Allgemeinheit zu
eZ
oo
log
y(

gewähren, nehmen wir an, dass an die eben angeführte Relation sich zufälligerweise noch die Relationen

= t73= ^4 =
Co
mp
ara
tiv

(Tg

hinzugesellen.

x -f dx =

.r -f-

p cos

of

in

\x,

y

-\-

dy

= y-\-

sin

'^

p.

(J

(15)

übergehen, so erhält

mau aus

(11) nach

sub (10) (11) gegebenen Anleitung:
Mu
se

g. 1

:c

= ^r-, =



the

der im

x, y,

um

man

Lässt

.

:

of

= Z„-f f,'(7,C0S {rp + a,) 4- f+'cr,+
0= z^-\-r^a,S,m (rjj.-|-a,)-f G'+'cr,+

COS [(r-f 1)

,

p.

-f a,+

,]

+

&

sin [(r-f 1) f/-f a,_^,] -f &.

,

,E

rns

tM

ay

rL

ibr
ary

i„ =.z-\-dz

o

folgende

Form an:

rd

=z

-\-

dz =

Z^-[- fr;,.co^{r p.-\-

a,'.)

sin(>-.j.

;

+ a,) =

the

in (16) folgt für

0.

(16)

jedes ganze m:

itis

ed

by

Aus der zweiten

Ha

rva

Z^^

Un
iv

ers

ity

Diese Gleichungen nehmen wegen (11) und wegen des sehr klein gedachten

Dig

)

und

in

p

-\-

a.r

^=

rn

~

pm

,

=

a,.

11



»'

(17)

Folge dessen gibt die erste in (16):
Z^

Aus

(17) erliüit

= z^dz^

mau zwei Reiben von
W-'-IJ

\Hl

V-U

Z,

+ (.-1)'"^.;/ = Z„+

.

^

(18)

;j.-Werthen:



F2'-l)l

;

l(J-2

+

."-4

+

.'-^J





.'^2'

»2-

(^^)


Lorenz Zmurko.

232
in die erste

m

fx

Der

(18) ersichtliche Zusatz

in

Werthe entgegengesetzte Vorzeichen

und

an,

Die

Werth von Z^ kleiner

als der

sich gestaltet,

vom Punkte

primäre Curvenzweige, welche

(ar,

zweite Keihe gehörigen den

Bezug auf

die zwei Eeihen

Hiedurch wird bewirkt, dass

Werth von

anhebend

y, z)

|ui-Werthen deutet auf r conjugirte

ihrem Verlauf sich der

in

numerischer

in

Z^.

Weise getroffene Wahl der entsprechenden Reihe von

dieser

in

3

in

gestattet unter diesen zwei Reihen diejenige zu wählen,

welche dem Producta iZ^ ein negatives Vorzeichen beibringt.
(20) Rücksicht der

in die

nimmt

at

der

Reihe gehöriffcn den ungeraden, dagegen die

entsprechen.

ze
ntr
um
.

von welchen die

geraden Werthen von

xoy

nähern und

gerade oder ungerade Zeiger. Curvenzweige, welche je einem solchen Winkel

entsprechen, bilden einen zusammengehörenden, im Punkte

welcher von

y, z) continuirlich verlaufenden Linienzug,

ausgehend nach beiden Seiten entweder zur Ebene

y, z)

(x,

(a?,

ww
.

bio
l

dififeriren, gleichzeitig

n-

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

um

og
ie

mindestens nach r Wurzelpunkten hinzielen. Ist r eine gerade Zahl, so besitzen je zwei /ji-Werthe, welche

sich entfernt.

und

also die höchsten

bio
d

Maximal-

Punkte etwa von

tiefsten

rar

Lib

schaffen sein, dass

,

Die Wahl der Werthe von

nach Massgabe des

s)

7/,

complexer Werthe der Variablen

mittelst

man eigentlich ein überbestimmtes Problem vor
Fix -\- iy) = Zg-\- iz^ primär ausfalle und dass

zu bestimmen, hat

(:r,

Minimalpunkt.

oder

2= F(?<)
He
rita
ge

Um

Ausgangspunkt
ww
.

und des Vorzeichens von Z^ einen

(21) Winkelzeigers

bildet der

yh
ttp
://w

Bezug auf jede so zusammengesetzte Curve

convergirt oder von derselben

F^ (x

= x-\-iy so besich ergebe.
-f iz^ =

denn es muss

sich;

-\-

iy)

= Z,

ic

y erscheint somit an folgende drei Bedingungen geknüpft

x,

Th
eB

iod
ive
rsi
ty

In

xoy

rom

(22)

loa
df

und dieser können wir nur beim Vorhandensein einer gewissen speciellen Beschaffenheit der
ina
lD

p auf der

Ebene xoy, dessen Bestimmungsgrösse
;O
rig

Im Punkte

in

F(u) spielen-

ow
n

den Coefficienten Genüge

leisten.

x-\-iy

den Höhen Z^ und

den Relationen

(!^

= G^=

.

.

=a^_,

=

das conjugirte Punktepaar P, p,
genügt, errichte man eine Senkrechte und
von denen der erstere auf der primären, der zweite auf der secundären Hilfsfläche sich befindet. In diesen
s^

Ca
mb
rid

ge
,M
A)

findet in

eZ
oo
log
y(

Punkten haben die Hilfsflächen horizontale Berührungsebenen, von welchen selbe

ausserdem

rührt werden. Die secundäre Hilfsfläche wird

ihre Richtung

den

geschnitten, und zwar in 2

in (19) dargestellten

— 1) be-

Curvenzweigen,

>•

Winkeln entsprechen. Die

Eben

Ordnung

r.

in

Bezug auf

Ordnung

r berühren

so findet

Berührung

die

und

P

in

ein

System von

2/-

Richtungen aus der Relation

ihre

Geraden, welche die primäre

cos(a,.-f-»-|:x)

=

oder aus der

r/j.'„

= »jK -f--^ beziehen,

man

sobald

m

der Reihe nach eine jede von den Zahlen

1, 2,

3. .2r

findet das

Winkelsystem
rns

Man

[|a',

f^'^,

,

fx'j.

.

.pL'2^_,,

mit der Bestimmungsgleichung

,ui.'2^j

ers

ity

,E

sein lässt.

tM

ay

rL

Relation a^-j-

ibr
ary

of

Hilfsfläche in der

man

of

Hilfsfläehe in der

um

p

Bezug auf

in

p

der Ordnung (r

gelegten horizontalen Geraden mit den in (19) dargestellten Richtungen berühren die secundäre

Mu
se

durch

in

Co
mp
ara
tiv

deren Ausgangselemente

the

'^

in

Un
iv

in

TZ

= 7 + 2;-

''''"

'^

oi.r

7

~

the

erhält aus der Vergleichung mit (19)
itis

ed

by

und

Ha

rva

rd

(24)

Dig

(25)

Denkt man

sich in der

teten Richtungen gelegt, so
ein Strahl des

wird,

und

n',™—

fu=

Ebene xoy durch

— \>-s^v-,+x — M.=
,

p-.+i

;

p

ein

,

halbirt,

ff

--

System von 4r Strahlen

werden je zwei Nachbarstrahlen den Winkel

Systems (24) den Winkel

unuj;ckchrt.

r
.7-.

in

den durch

— einschliessen

ja

und

p.'

angedeu-

dergestalt, dass je

welcher von zwei Nachbarstralilen des Systemes (19) gebildet


233

Studien im Gebiete numerisciier Gieichungen.

Kommt
Punkte

P und ^j

herum eben so
anf::ehören.

In

Uj

.

.

zusammen, und

mit p

= ar—\ =

.

noch die Relation

a,

= Z^ = s^ =

hinzu

diesem Falle stellen die erwähnten 4r Stralen

in

,

so fallen

um den Punkt

p

Curvenelemente derTrassen vor, welche abwechselnd der primären und seeundären Fläche (26)

Der Punkt

Gleichung F{u)

und der Ausdruck

p ist diesfällig ein rfacher Wurzelpunkt,

a--\-iy eine rfache

Wur-

= 0.

Beziehung auf den continuirlichen Verlauf eines primären conjugirten Cnrvenzweiges bilden wir uns
So

=

folgendes Schema:

^1

2/4

+ 2 (.^i — hy^)yi—Z3yi^— 3
+ 3 z,«/, + s^ = o
+ 2 (^j — y,) ys — ^2 Vt + 3 (— ^32/1* — 2 + ^3^ Vi +
+ (^,y.*-4 Z,y,^-&z,y^^ + 4 Z,y, + .,) = ()...&
«o?/,*

«S

~3.'/l

(27)

bio
d

«/3

!

= -r-^
verstanden
dx'

rar

Wj

wird.

Lib

s

He
rita
ge

wobei ?anz allgemein

yh
ttp
://w

ww
.

.

^1

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

ww
.

bio
l

og
ie

durch successive Differentiation der der seeundären Trasse angehörigen Gleichung

at

zel der

viele

= =

jj

ze
ntr
um
.

die

zu den Relationen

iod
ive
rsi
ty

Sei nuna--f-*'(/ einem Punkte der seeundären Trasse angehörig, welcher bereits in einer angebbaren

Th
eB

Distanz von einem vielfachen Punkte dieser Trasse sich befindet, für welchen somit der Ausdruck Z^ nicht

Adr-|-i(y+ A?/))

Bestimmung von Ay folgende Relation:

^y=y^^x-]ryi^x^->ry^^.r:^-\-y^^^f

-\-

und

man

so wird

;x,

den Stand

in

.bestimmen. Soll nun

ftir

.



(28)

.

ge
,M
A)

;O
rig

p

33

p sin

,

eZ
oo
log
y(

Werthe von

=A

jui.

^Ay

gesetzt, mittelst der Relation

Co
mp
ara
tiv

die

fx

Ca
mb
rid

Bestimmt man dann aus den Gleichungen
p cos

.

der seeundären Trasse sich befinden, so erhal-

in

ina
lD

ten wir zur

(j"-|-

loa
df

massiges Increment Aj- der Punkt

ow
n

ein

rom

verschwindet, so können wir ohne Anstand aus (27) die Werthe von y^, y^, y^.

4=^o+'.pcos(;.+a,) +

&

(29)

of

ff,p«cos(2pi+a,)-f

dem Wurzelpunkt

Mu
se

somit

zu sehen, wie weit

sich,

den Curvenzweig verfolgend, der Ebene

selbst genähert hat.
the

xoy und

man

um

um

den Werth von Z^ zu berechen,

=

genügenden Ausdrucke {x
rL

«^

-\-

ausgehend, auf einen Punkt des conjugirten Cnrven-

iy)

ay

der Gleichung

ibr
ary

of

Aus der gepflogenenen Auseinandersetzung geht zur Genüge hervor, dass man von einem beliebigen,

rns

tM

zweiges kommt, von welchem aus diese Curve entweder unmittelbar nach einem Wurzelpunkt zustrebt, oder (30)
ers

ity

,E

unter gewissen Bedingungen zu solchen Orten der primären Hilfsfläche
Un
iv

gleichzeitig ausgehen, ihren Verlauf

xoy

hin

leitet,

von denen mehre Curvenzweige

nehmen, und mindestens zu eben so vielen

the

Ha

rva

rd

Wurzelpunkten hinzielen.

gegen die Ebene

3.

itis

ed

by

§

Dig

Über

die horizontale Einschliessung der Wurzelpunkte.

Sei p, ein rfacher Wurzelpunkt durch den Ausdruck x-\- iy betimmt, so

^ = = Jj =
Zq = Z^ = Z^= Z^=
= Sj ^ Sj =
Zg =
5,

(To

3j

Denkschriften der mathem.-uatui-w. Ol.

XXX.

Bd.

!7j

.

.

.

=

Or-^

=

,

.

.

.=

Zr-i

=

,

.

.

^

«,._,

.

Äbhandl. von Nichtmitgliedern.

=U

müssen vor Allem

die Relationen:

(l)

stattfinden.

ee


Liorem Zmurho.

234

xoy

Zur Bestimmung der Umgebungspunkte auf der Ebene
t(y-\-üS\\i\).) in Verwendung nehmen, sobald man p und pi
punkte von

Seien

p^ ansieht.

ren Hilfsfläche, so findet



man den Ausdruck

(x

+ pcos|m)

-|-

Coordinaten der ümgebungs-

als die laufenden

s-Coordinaten der Umgebungspunkte auf der primären und

h^ die

Z^^,

könnte

secHiulä-

man auf Grund der Gleichungen

(2)

= 7,p'-sin(a,-frfi) + c7,+,p'-+'sin(a,^,+ (r+l)(A) +

&

ein sehr kleines p die nächsten

und

der Bestimmung von 4) ^^^

Umgebungspunkte von p„ und man kann
ww
.

(jl

^^^ höheren Potenzen von p vernachlässigen, und, sich mit den Anfangsglie-

K

dern begnügend, schreiben:

+ rfA)

= 7,

2„

,

p'

sin

=

fx)

,

cotg («,

+

/•

fx)

= (iß

:

«o).

durchläuft der Ausdruck («^4-

5teu, (4/-

— 3)ten,

+ r,u)

(4r



Werthe, welche zwischen «, und (a,-f 2r;r) enthalten sind. So

während seiner allmähligen Zunahme durch
Th
eB

der Ausdruck (ar

rjx) allmählig

l)ten Quadranten hindurchgehend, aus
rom

oft

zwischen Null und 2 k enthalteneu Werthe annimmt,

allmählig die aufeinanderfolgenden,

/ji

iod
ive
rsi
ty

Während

He
rita
ge

Lib

Q^,

>•

yh
ttp
://w

Umgebungsverhältniss

sich das

(«,+
bio
d

(7,p'-cos(a,

rar

und hieraus ergibt

=

ww
.

i'„

(ß)

diesfällig bei

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

für beliebiges

bio
l

og
ie

s„

ze
ntr
um
.

at

4 = ,,p'COS(a,+rpi) + 7,+,p'-+'cos(a,+,+ (r+l),^] -f &

Endpunkte des

Werth von Q^ aus dem

3ten,

Iten,
in

den Be-

positiven Zustande

ina
lD

durch Null in den negativen Zustand über.

;O
rig

Den so aufgefassteu Übergaugszustand könnten wir symbolisch durch \+0— 1| kennzeichnen und mit
dem Namen positve Mutation belegen. In gleicher Weise mag das Symbol j— + 1| aufgefasst werden,
und mit dem Namen negative Mutation belegt werden. Bezeichnet man die positiven Mutationen in Bezug
Ca
mb
rid

ge
,M
A)

(4;

die

Bereiche eines ungeraden

ow
n

loa
df

reich eines geraden Quadranten hinübertritt, geht der zugehörige

dem

— und mit negativen Zahlen die Anzahl negativer Mutationen —

so soll

eZ
oo
log
y(

auf ihre Anzahl mit positiven Zahlen

=8, und

die

Anzahl der negativen

of

Anzahl der positiven Mutationen

Co
mp
ara
tiv

von nun au unter der Anzahl der Mutationen im generellen Sinne diejenige positive oder negative Zahl verstanden werden, welche aus der algebraischen Summirung dieser beiden Anzahlen hervorgeht. Ist etwa die

um

Anzahl der Mutationen

Auf Grund des

4.

of

ibr
ary

bloss im fortschreitenden Sinne allmählig die

Q^,

die positive

Werthe von Null

rL

pi

aber der allmählige Übergang von einem ^.-Werthe zum folgenden nächst
ay

Da

tM

durchläuft.

— 12) = —

diesfällig:

bis

grösseren

rns

TT

(

man

Gesagten können wir behaupten, dass das Umgebungsverhältniss

in (4)

Mutation 2rmal darbieten muss, sobald
2

=8+

so erhält

the

Mu
se

(^5)

= — 12,

Un
iv

ers

ity

,E

angesehen werden kann mit dem Übergange von einem Punkte zum nächstfA- Werthe als gleichbedeutend
folgenden Punkte der Ilmgebungscurve des vorliegenden »-fachen Wurzelpunktes |)„ so lässt sich auf Grund
zur Auswerthung des Verhältnisses Q^
Ha

man

= Zg: s, nach und nach alle Punkte,

the

Benützt

rva

rd

des Vorangehenden auch Folgendes aussagen

Dig

itis

ed

by

sten Umgebungscurve eines rfachen Wurzelpunktes angehören, so erhält man:

(6)

Es

ist

eigentlich für

Anzahl der Mutationen

a*

=

a;-f- p

cos fx

,

y= y-|- p sinjx

f{x)

sin Z)

,

-|-

= 2r.
-j-y

= D,

y {x) cos

D

welche der näch-


235

Studien im Gebiete numerische!- Gleichungen.

Es bleibt jedoch an der Sache gar nichts geändert, wenn man in (7) die Striche durchgehends weglässt
und dabei bemerkt, dass zur Bestimmung von Q^^y nur dieienigeu Werthe von x und y zu verwenden sind,
welche den in der Umgebungscurve liegenden Punkten zur Bestimmung dienen. Auch ist im Vorangehenden
Umgebungscurve

stillschweigend vorausgesetzt, dass kein Punkt der

at

zufolge in demjenigen Sinne zu veranstalten, in

Die Umgebungscurve

die Aufeinanderfolge der

zu

d. h.



Werthe von

Q^^

auch

lässt sich trotz des sehr kleinen p

man

zu ermitteln, so müsste

y

Mutationen gelangen.

2;-

in einer

„.

die-

in

solchen Gestaltung denken, dass

Umfanges

die entsprechenden

ww
.

bio
d

fortschreitenden Durchlaufen ihres Bogens in einigen Partieen ihres

fx- Winkels im rückschreitenden Sinne erzeugen muss. In diesem Falle wolle man nur bedenken,

dem durchlaufenen Totalumfange der Umgebungscurve der

erzeugte f^-Werth die Grösse 2 k erreichen
rar

dass

Richtung der positiven Halbaxe oy zu gelan-

in die

bio
l

um

sem Falle zu 2r negativen Mutationen,

Partieen des

die ^-Axe

jedoch diese Umgebungscurve nicht in dem eben beschriebenen, sondern im entgegenge-

setzten Sinne verwenden,

man beim

Äse ox um

ww
.

Würde man

nach Zurlicklegung eines Quadranten

sich ein positives Stück der

yh
ttp
://w

gen.

um

welchem

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

zu drehen hat,

der Erzeugung des im Zunehmen begriffenen Winkels

y, ist

ze
ntr
um
.

in

siven Ausmittlung der jeweiligen Grösse von ö^,
fx

darf.

der Umgebungscurve, welche beobachtet werden muss bei der sueces-

og
ie

Die Richtung der Puuktfolge

Wurzelpunkt sein

gleichzeitig ein

^

muss, ^— dass demgemäss die einmal im retrograden Sinne erzeugten Partieen des
Lib

(x-

— dass dann
He
rita
ge

Erzeugen derselben jx-Partieen im fortschreitenden Sinne bedingen,

Winkels

ein zweimaliges

(lU)
in weiterer

Consequenz auf

2x5^10

dass auch für solche Partieen des

und man wird

schliesslich

Winkels die regelrechte Anzahl der Mutationen

zugeben müssen,
der Zahl n sich

in

rom

jui-



;

Th
eB

Mutationen (positiven Mutationen) nothweudig erfolgen muss

iod
ive
rsi
ty

eine in diesen Partieen sich ergebende Anzahl von etwa 5 negativen Mutationen eine Anzahl von

loa
df

ergeben muss.

ow
n

Man kann demgemäss im generellen Sinne folgenden Satz aussprechen
Bei beliebiger Form der Umgebungscurve eines rfachen Wurzelpunktes liefert
ina
lD

:

;O
rig

(11)

erweisen,

dass

in

dem von derselben eingeschlossenen Raum

öx, , in

Bezug auf

die Punktfoige

eZ
oo
log
y(

Umfange, noch

Ca
mb
rid

ge
,M
A)

das Umgebungsverhältniss Q^^y 2/'Mutationen.
Denken wir uns jetzt eine beliebig ausgedehnte geschlossene Curve

Co
mp
ara
tiv

bieten muss.

in

xoy. welche weder an ihrem

in

einen Wurzelpunkt beherbergt,

dieser Cnrve die Nulle

als

so

Anzahl der Mutationen

Eine derartig angenommene Curve sei ku.

durch primäre mit^^j',

theils

Diese

möge

durch secundäre mit ««' an-

gedeutete Trassenzweige durchfurcht sein.
klar, dass innerhalb dieser

Vor Allem

ist

verschiedenartigen Trassenzweigen erfolgen darf, weil

Hypothese zuwider

es

Curve keine Begegnung zwischen (13)

ein jeder dieser

der

Begegnungspunkte einen

tM

ay

rL

ibr
ary

of

the

Mu
se

um

of

theils

sich (12)

lässt

,E

rns

Wurzelpunkt abgeben müsste.

ers

ity

Zwischen je zwei mit

und

ss'

angedeutete Trassen-

rd

Un
iv

zweige können wir uns einen Linienzug wie m^m^

,

m^m^

ver-

Ha

rva

zeichnen, in deren Verlaufe kein Punkt vorhanden sein kann,

the

welchen irgend eine von den Grössen verschwindet. Dies sind somit Linien,

in

deren Verlauf Q^y

keine

by

für

^;^'

itis

ed

Mutation zu liefern vermag.
Dig

Der Totalumfang der Figur
renter

Züge

in continuirlicher

''n\p'

Der
zwei mit

(13) lässt sich durch Einschaltung solcher in

hpm^

»i'i

;

m'^ m^ ssin^m'j^

erste Linienzug ist ein geschlossener

p

Bezug auf Mutationen

indiffe-

Form aus folgenden Partialzügen zusammensetzen

bezeichneten Punkten das

Z^^

;

m'^^m^ppup' p' m\

und bringt

zum Verschwinden,

;

m'^s

s'

m!

bei constantem Vorzeichen
liefert

(14)

von

z^^

bloss in den

somit keine Mutation.

ee*


Lorenz Zmurkn.

236
Der zweite Zug mit dem

vierten in

Verbindung

ist

ebenfalls ein geschlossener, enthält keine mit

p

be-

zeichneten Punkte au seinem Umfange, bietet somit auch keine Mutation.

Aus demselben Grunde, wie der
Vorgang

= «äz>wm,

L^^unvmu,

und der zweite keinen Wurzelpunkt beherbergt, lassen

sich in einen einzigen

L = uhvnunvmu = uhvmti

erste

p^,

Lienienzug

zusammensetzen.

Umgebungnlinie eines Wurzelpunktes beliebig erweitern

= numvn

ww
.
yh
ttp
://w

die Zahl 2r,

und

rar

Anzahl der Mutationen bieten. Aus L^ und

nsm

msn

und

der Linien-

Anzahl

Th
eB

als

Diese Betrachtung lässt sich auf eine beliebige Anzahl zerstreuter Wnrzelpunkte

ausdehnen und führt zum folgenden Satz:
loa
df

\

Enthält eine wie immer gestaltete Umgebungslinie an ihrem
ina
lD

ow
n

j

Wurzelpunkt, und im Bereiche des von

so wird

^.

-\- r'" -\-

ge
,M
A)

angehängte Zeiger zu deutenden vielfachen Wnrzelpunkte

"^^Z

Bezug auf das Umgebungsverhältniss

sie in
.

.

.)

.

als

Umfange keinen

eingeschlossenen Raumes die durch

ihr

;O
rig

/

öx,

j,

p^

p^'

,

,

Pr"

,

?/"•••>

die Zahl 2{r-\-r'-^r"

Anzahl der Mutationen bieten.

eZ
oo
log
y(

Oder: Eine angenommene Umgebungslinie veranlasst

in Q^,,

eine doppelt so grosse Anzahl von Muta-

Anzahl der innerhalb derselben eingeschlossenen Wurzelpunkte beträgt.

Die Umkehrung des Satzes

Co
mp
ara
tiv

tionen, als die

L^=nnmsn

zusammensetzen, welcher somit die Zahl 2(r-\-r')

Ca
mb
rid

(17)

Zug

rom

/

V

die Zahl 2r' als

dem hinzugekommenen

in

durch Weglassung der sich tilgenden Züge

der Mutationen liefern muss.

^'

V/^

L^—nsmvn

lässt sich

;\

"^

""•--.,

wofern nur

,

Lib

Zug

\ti

bio
l

ww
.

die

He
rita
ge

der

zug L

"y

\

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

sich somit

iod
ive
rsi
ty

^\

1

p,.-

tilgen,

Anzahl der Mutationen.

ein r'facher Wiirzelpunkt, so wird der

und

L^

,1

I

in

bei

als

keine neuen Wurzelpunkte zu liegen kommen.

Ist pr ein j-facher,

2r, der

2r

ohne die Anzahl der Mutationen zu beirren

Raum und Umfang

/;

lässt

liefert

Bezug auf die Anzahl der Mutationen

bio
d

Es
^^

Züge vnu und unv

sich die

offenbar auch

liefert

Der

Der zusammengesetzte Zug L,

zweite hingegen Null als Anzahl der Mutationen.

welchem

lassen wird,

von denen der erste den /-fachen Wurat

©zelpunkt

angenommenen Curve denken

angekündigte Satz dargethan.

in (12)

Die Linienzüge L,

j^

Zug keine Mutation.

dritte

ze
ntr
um
.

ein ähnlicher

im Vorliegenden der

ist

auch der

sich bei einer jeden derartig

og
ie

Da nun
so

erste, bietet

offenbar gestattet und spricht sich im Folgenden aus

ist

Bezug auf eine angenommene Umgebungslinie eine gewisse Anzahl von
(19) Mutationen, so sind im Bereiche des von ihr eingeschlossenen Raumes die Hälfte so viel Wurzelpunkte
Ausdruck

Q^,,

in

Mu
se

um

of

Bietet der

the

angedeutet.

of

iy kein Wurzelpunkt der Gleichung;

ist

ferner

ibr
ary

Ist x-{-

är

= + pcosfji, =
a;

?/

?/

-|-

p sin

fx

und

bei beliebi-

rL

gem iK p = oo, SO stellt die aus dem veränderlichen Ausdrucke x-\-iy hervorgehende Punktfoige einen aus
dem Centrum x-\-iy mit einem unendlich langen Radius
p beschriebenen Kreisumfang vor, innerhalb dessen ganz gewiss die sämmtlichen der gegebenen Gleichung angehörigen Wurzelpunkte zu liegen kommen.
ers

ity

,E

rns

tM

ay

=

Un
iv

Bei der Bildung des Ausdruckes

Q'x',,

ist

es bei p

=

c3o

nur nöthig

in

seinem Zähler und Nenner bloss Glie-

vom wten Grade

vorausgesetzt wird,

Ha

rva

rd

der mit der ^ten Potenz von p beizubehalten, sobald die Gleichung

itis

ed

by

the

und man erhält

Dig

(20)

Für

alle

Q^;-

'"'^Z^^"V\
sin (a„ -fwfx)

=eotg(«„+«,).

(y„p„

(21) Bereiche der

den

in §. 1



als

d. h.

im

möglichen, zwischen Null und 2tz liegenden pi-Werthe wird Q'^ ganz gewiss die Zahl

Anzahl der Mutationen bieten, und hiemit besagen, dass im Bereiche der unendlichen Kreisfläche,

Ebene xoy n Wurzelpunkte der Gleichung angedeutet

ausgesprochenen Satz.)

sind.

(Dies wäre ein zweiter Beleg für


2?^'

Studien Im Gebiete numerischer Gleichungen.

und



f^2

Von den Ausdrücken
oder

+

(«„

Wenn nun

jXj

und

«itJi,)

==

(22)

/^l

(«„ -\-n\).^ bildet

gerades, oder

bilden gleichzeitig ein

sie

von der Beschaffenheit, dass infolge derselben die

fXj,

so erhalten wir

die Stelle einer positiven Mutation

entweder keiner ein Vielfaches eines Quadranten,

ungerades

gleichzeitig ein
flir

andeutet, so

Q^^

Demgemäss

at

|u.,

erscheinen die

muss

ze
ntr
um
.

fx,)

«

etwa

fx,

erfüllt wird,

tt

Vielfache eines Quadra,nten.

dies auch bei ^^ der Fall sein.

2w möglichen

og
ie

=

Stellen der positiven (^"'

bio
l

(a„

-|-

Mutationen auf der unendlich

ww
.

Relation («„ -\-n\i.^



grossen Kreisperipherie so verive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

Denken wir uns zwei Werthe von

dass je zwei den Nachbarpunkten dieser Art angehörigen

theilt,

-

bio
d

Kreisradien den Constanten Winkel

einschliessen.

n

unbegrenzt gedachte

yh
ttp
://w

ww
.

Ein jeder Durchmesser dieses Kreises
durch

,

einen

,

h.

d.

eine jede

Punkt x

beliebigen

-f-

iy

Lib

rar

gelegte Gerade theilt die erwähnte Kreisperipherie in zwei Hälf-

wurde

Mutation w-mal veranlasst.

im Ausdrucke Q^y

darf die Durchmessergerade keinen Wurzelpunkt

,

Th
eB

bergen.

ow
n

Anzahl der Mutationen veranlasst.
in

der einen Kreishälfte

der andern m' Wurzelpunkte angedeutet,

in

in,

:

-^ (ji-i-v)

wobei selbstverständlich die Gerade wie'

die (25)

so findet man, da auf

]

hieraus

n-

eZ
oo
log
y(

=

-V -\-

-

m'^-^(9i — v)

Co
mp
ara
tiv

m

Ca
mb
rid

jede Peripheriehälfte n Mutationspunkte fallen:
n -\-v

dem Ausdrucke x-\-iy

gefasste Diameter, welcher durch seine Punktfolge in Q^,,
ina
lD

als

Auge

;O
rig

V

Sind

ins

ge
,M
A)

Zahl

und ww' der

,

in sich

loa
df

rom

Sei nun in (25) im verjüngten Massstabe ein solcher Kreis dargestellt, p sei der

entsprechende Punkt

die (24)

Wie aber schon erwähnt

iod
ive
rsi
ty

positive

He
rita
ge

ten ab, deren jede durch ihre Punktfolge

v^m — m

(26)

ganzen Ausdehnung zur Bestimmung von

v

zu verwenden

um

of

in ihrer

,

Mu
se

sein wird.

die Zahlen

v,

,

m^ als

of

the

Seien die Geraden LJjL^ so beschaffen, dass die betreffenden Punktfolgen in Öxy

ay

rL

ibr
ary

Anzahl der Mutationen veranlassen, so erhält man
1

(27)

y'i
o ("s-"^!)

ers

ity

,E

rns

tM

{L,...L,):

sobald das Symbol (i,

Un
iv

-L^) zur Bezeichnung der Anzahl von Wurzeln dient, welche auf

theile

man

die

the

§.

gewonnenen Sätze

(12) (19) (26) (27) so

um den Axenursprung herumliegenden

Partien der

bequem

als

möglich zu

Ebene xoy nach Belieben

Dig

grössere oder kleinere Rechtecke ab, deren Seiten beziehungsweise zu den

Jedes dieser Rechtecke kann

man

L^

Wurzelpunkte haben.

Ha

rva

ihre

der in diesem
by

Anwendung

itis

machen,

die

ed

Um

rd

und Lj enthaltenen Streifen

dem zwischen

als eine

Axen ox, oy parallel
Umgebungslinie von Wurzelpunkten ansehen und behufs der

in

liegen.

Ermitt-

lung der Anzahl der innerhalb dieses Rechteckes angedeuteten Wurzeln untersuchen, wie gross die Hälfte der

Anzahl der Mutationen
auf

Q.,y

bietet.

Hiebei

sei,

welche die Punktfolge

tritt

am Umfang

der besonders günstige Umstand

folge der einzelnen Seiten des

aufgenommenen Rechteckes

bei jeder der vier Umfangslinien von

den Coordinaten

x, y

des in Betracht gezogenen Rechteckes
ein,

(28)
in

Bezug

dass die Untersuchung bezüglich derPiinkt-

sich bloss auf eine der Variablen bezieht, weil

immer

eine constant sich ergibt.


Lorenz Zmurko.

238

=

h'>h etwa x =

=

a ,y
b, y=h' d\& Gleichungen der vier Geraden, in denen
a, x
enthalten
sind, so kommt es darauf an: den Ausdruck Qa'y^^^
Rechteckes
die Seiten des zu untersuchenden
y=6'bisy==6; den Ausdruck Q^i, von x a' bis x=a\ den Ausdruck Q^y von y b bis y h'; und
a bis x=a' zu untersuchen, in jedem dieser Fälle die Anzahl der Mutatioendlich den Ausdruck (^^j- von a;
Seien für

a'

> a,

=

=

=

=

um

nen anzugeben,

Gesammtbetrages der Anzahlen der Mutationen die Anzahl

Formen

bezeichneten Ausdrücke lassen

darstellen

ze
ntr
um
.

sich diesfällig in folgenden

Q

at

der im betreffenden Rechtecke angedeuteten Wurzeln zu erfahren. Die mit

og
ie

*

schliesslich aus der Hälfte des

bio
l

Qay-^^^-'^y + ^^y--^^-

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

ww
.

A„-\-A^y-^A,y^ +

(29)

Qxb-

In

bio
d

=b

zen die möglichst

die mit

B

be-

an, in der Zählerfunction innerhalb der angedeuteten Gren-

zu bestimmen,

dem Zähler den Nullwerth

in

welchen die einzelnen primären Werthe der

ertheilen, dergestalt,

innerhalb eines solchen

dass

iod
ive
rsi
ty

Variablen liegen, welche

und

berechnet werden.

jedem dieser Fälle (29) kommt es darauf
kurzen Partialintervalle

= a,

yh
ttp
://w

zeichneten aus der constanten Coordinate y

ww
.

bezeichneten Coefficienten aus der constanten Coordinate x

A

rar

die mit

Lib

welchem

He
rita
ge

in

B^-\-B^x-\-B^x^-\-

nachdem das constante Vorzeichen des Nenners

mit

rom

sein, je

Verschwindens übereinstimmt oder

dem Vorzeichen des

Zählers im Vororte seines

loa
df

^

Th
eB

Partialintervalles die Nennerfunction nicht verschwindet und somit ein constantes Vorzeichen beurkundet.
Die aus jedem solchen Intervall unmittelbar hervorgehende Mutation wird eine positive oder eine negative

ow
n

nicht.

=

=

ina
lD

a^ dargestellt, so hat
f?,
x
Sind die in (27) erwähnteu Geraden L^, L^ durch die Gleichungen aoo zu thun, um die beoo bis y
man es mit den Ausdrücken Öa,,v ""d Qa^v zwischen den Grenzen y

und

consultiren

v,

uud

es vortheilhafter,

ist

Vj

statt

Q^y den Ausdruck

dies besonders in denjenigen Fällen,
eZ
oo
log
y(

Bisweilen

ge
,M
A)

;O
rig

=—

— (ö^^)-'

in

Bezug auf
Q^.j in

Nenner. Es

nämlich

— ^~ = tang

+

/•

die in Betracht

fx)

Ausdruck, welcher bei Übergängen des Bogens {a^
the

ein

Mu
se

um

of

(«,

ist

die Mutationsanzahl zu

Bezug auf

wo der Zähler von

als der

Co
mp
ara
tiv

gezogene Variable einen höheren Grad beurkundet

(31)

=

zu bestimmen.
Ca
mb
rid

treffenden Mutatiousanzahlen

,

of

den Bereich eines ungeraden, gerade

so,

>•

il)

aus

dem

Bereiche eines geraden Quadranten

wie der Ausdruck Q^y 2r Mutationen darbieten wird.

ibr
ary

in

-\-

Q^ werden wir
angegebene Verfahren zur Ausmittlung der Mutatiousanzahlen von Q^ „
durch Construction durchzuführen lehren.
in einem der späteren Paragraphe sowohl durch Rechnung, als auch
Hier möge noch eine dem Mathematiker Sturm nachgebildete Methode zum Vortrag kommen, welche einer,

,,

rL

(30)

ity

,E

rns

tM

ay

Das sub

ers

durch die Einfachheit der ihr zu Grunde liegeuden Theorie, andererseits in diesem Falle sich besonders dadurch empfiehlt, dass man mit ihrer Anwendung die Mutationsanzahl anzugeben vermag, ohne
nach den wirklichen Stellen zu fragen, an welchen Q^y, Q^i durch Null hindurchgeht.
Un
iv

seits sich

the

Ha

rva

rd

l'32\

für solche

Werthe der ihnen zu Grunde liegenden Variablen einen Zeichen-

ed

by

Zwei Functionen bilden
itis

(Variation), für welche die entsprechenden Functionswerthe

entgegengesetzt bezeichnet

Dig

wechsel

erscheinen.
(33)

Zwei Functionen bilden

für solche

Werthe

ihrer Variablen eine

Zeichenfolge (Zeichenpermanenz),

welche die entsprechenden Functionswerthe gleichbezeichuet sich ergeben.
1) Functioneu könnte man bei jedem der
Bei einer Reihe von mehreren, etwa (m

+

von Nachbarfunctionen augeben

,

ob

sie bei

gegebenem Werthe

wechsels oder den einer Zeichenfolge aufweisen. Findet

man

ihrer Variablen

m

für

möglichen Paare

den Zustand eines Zeichen-

hiebei a Zeichenwechsel

und ß Zeichenfolgen,


2o0

Studien im Gebiete numerischer Gleichunrfen.
so

muss offenbar

die Gleichheit a-|-j3

= TO

Ergeben diese

zutreffen.

von einem Werthe der Variablen zu einem anderen einen Gewinn an Zeichenwechseln

Abgang an Zeichenfolgen

diger Weise ein eben so grosser

Die Durchgangsstelle von

wo

des Functionspaares

Denke man

Bezug auf das Funetions(,S4j

Ausdrücke Q^^, Q^b eine positive Mutation aufweisen, geht der Zeichen Wechsel

die

Zeichenfolge über.

in eine

z^^


ist in

die Zeichenfolge dieses Functionspaares in einen Zeichenwechsel übergeht.
at

Stellen,

muss nothwen-

ze
ntr
um
.

An den

durch eine positive Mutationsstelle

Q^,,

Q^t,,

wo

diejenige Stelle,

s^

so

,

kundgeben, und umgekehrt.

sich eine Reihe von Functionen

*^o'

3i

>

32'

33'







S»— 1

'

h

("^5)

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

'^0'

ww
.

bio
l

og
ie

paar Z^,

sich

beim Übergange

(to-|-1) Functionen

von der Beschaffenheit, dass die denselben im Beginne eines Intervalls zukommenden Anzahlen von Zeichenwechseln und Zeichenfolgen nur an denjenigen Stellen eine Änderung erfahren, an welchen Z^ durch Null

wo

die

dem Functionspaare

s„)

[Z^^,

ent-

ww
.

eine Einheit sich ändern,

bio
d

um

hindurchgeht, also nur an Stellen je

yh
ttp
://w

sprechende Zeichengruppe einen Übergang von Zeichenwechsel zur Zeichenfolge, oder von Zeichenfolge

zum Zeichenwechsel beurkundet. Einer solchen Functionsreihe könnten

um

in

dem

rar

wir uns dazu bedienen,

Lib

angehörigen Zeicheneomplex die im Verlaufe des Intervalls beim Paare (Z^, z^ nach und nach
He
rita
ge

ihr jeweilig

iod
ive
rsi
ty

auftauchenden Zeiehenwechsel oder Zeichenfolgen aufzuspeichern, und dann

Gesammtgewinn oder Gesammtverlust an Zeichenwechseln zu erfahren
Stellen

o

auszudrücken. Die Zahl ö

an welchen

[Z^^

ist

Schlüsse des Intervalls den

der Unterschied, welchen

man

erhält,

z^ einen Übergang von Zeichenfolge zum Zeichen-

,

rom

,

am

und denselben beziehungsweise

Th
eB

durch eine positive oder negative Zahl

wenn man von der Anzahl

,

gang vom Zeichenwechsel zur Zeichenfolge

wenn man

in

Bezug auf das angenommene

in

ina
lD

0,

Der

darbietet.

Intervall
;O
rig

auch

ow
n

loa
df

wechsel beurkundet, die Anzahl derjenigen Stellen subtrahirt, an welchen dieses Functionspaar einen Über(34) angeführten Aussage gemäss erhält

von der dem

Q^,,

zukommenden Anzahl

man

(36j

positi-

Weise aufgefasste Zahl

in dieser

,

o

stellt

somit ganz genau die Anzahl der im anberaumten

wie solche bereits sub (4) und (5) zur Sprache gebracht
eZ
oo
log
y(

Intervall stattfindenden Mutationsanzahl vor

Ca
mb
rid

Eine

subtrahirt.

ge
,M
A)

ver Mutationen die Anzahl der diesem Ausdrucke in demselben Intervall angehörigen negativen Mutationen

wurde.

.^j,

33,

.

in



ihres grössten gemeinschaftlichen

Reihe von aufeinander folgenden Resten, welche zum Vorschein

als eine

h

jr-p

.

Bezug auf (Z^

sj erforderliche

z^ dasjenige Verfahren beobachtet, welches behufs der Auffindung

,

of

,

jj,

wenn man

um

kommen

Maasses vorgeschrieben
Mu
se

übrige Reihe

,

Co
mp
ara
tiv

Im Sinne Sturm's vorgehend, erhält man die zum vorgelegten Functionspaare (Z^

ist,

mit der einzigen

Nebenbemerkung, dass man

of

the

den jeweilig gefundenen Rest vorerst entgegengesetzt zu nehmen hat, bevor man denselben bei der fortge-

:

«o
9i

=
— 'h

'/i3i



.5

(37)

12

Dig

itis

ed

by

the

Ha

rva

rd

Un
iv

ers

ity

,E

tionen genügen

tM

ay

rL

eben Gesagten gemäss muss die auf diese Weise hervorgehende Functionsreihe folgenden Relarns

Dem

ibr
ary

setzten Operation als den nächstfolgenden Divisor verwendet.

3'— 2

1'—\ 3'—

man auf einen von

der

kommt. Dies gelingt uns jedesmal, sobald

die

wobei die Operation des successiven Dividirens so weit fortgesetzt gedacht wird
Variablen unabhängigen und von Null verschiedenen Rest
in

j^

,

bis

Betracht gezogene Umgebungslinie keinen Wurzelpunkt in ihrem Umfange beherbergt.

Ein gleichzeitiges Verschwinden eines Paares von Nachbarfunctionen aus der Reihe (35)
Paares

(5^

,

53)

ist

unstatthaft, weil zufolge

der dritten und vierten Relation in (37) wegen

(38)

etwa des

,

3j

= =
j^


Lorenz Zmurko.

240
(39) auch
sich

und

j,

verschwinden miisste. Der Zustand des gleichzeitigen Verschwindens eines Paares müsste

5^

demgemäss auf das vorhergehende Paar
und

erben

(;|,

und auch auf das nächstfolgende Paar

jj)

,

das gleichzeitige Verschwinden von

schliesslich

und

Z^^

und

s^

(^3,

ver-

;;^)

im Gegensatze zu (38)

j^

bewirken.
Bringt ein Werth der Variablen eine der mittleren Functionen aus (35), etwa

^ drückt

er

3^,

zum Verschwinden,

so

vermöge (37) den Nachbarfuuctionen j,_^ und ;^,+, gleiche und entgegengesetzte Werthe auf.
Verschwinden entgegengesetzte Vorzeichen,
3, erhält zwar unmittelbar vor und nach dem
ze
ntr
um
.

at

^

Die Function

Nachbarfunctionen

3^-,

jedesmal nur Einen Zeichenwechsel und Eine Zeichenfolge.

3s+,

,

die entgegengesetzten Vorzeichen der

Bezug auf

in

,

og
ie

genommen

mit beliebigem Vorzeichen

,

bio
l

jedoch

ww
.

/.i>, liefert

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

Die Anzahl der einer Functionsreihe (35) angehörigeu Zeichenwechsel und Zeichenfolgen wird nicht genicht,
(42) ändert, so lange keine dieser Functionen durch Null hindurchgeht, aber zufolge (41) auch dann

mehre der intermediären Functionen

Wechsel

aber

um

Z^,

vermehrt sich jedesmal die Anzahl der bestehenden Zeichenbio
d

oft

,

nimmt um eine Einheit ab

eine Einheit, oder

durch Null hindurchgehen.

in (35)

ww
.

So
,,„

durch Null hindurchgeht

je

nachdem der Ausdruck

die

nach

,

yh
ttp
://w

bloss Eine oder auch

man also
Man construire nach

rom

:

Lib

Intervall {x

= a^

zur Auffindung der Mutations-

bis

x

= a^) zu bestimmen,

(37) die Functionsreihe Z^,

ergebenden Zeichenreihe etwa

z^,

j,

.

3^

.

berechnet ihre Werthe für x

3,.;

.

Zeichenwechsel; dann führe

fx^

man

ina
lD

erhält aus der sich

im

Q^i,

loa
df

,.,-.

eonstruirte Functionsreihe alle

ow
n

fährt

Bezug auf

also die Anzahl der Mutationen in

in

= —00,

«^

|x,

Zeichenwechsel,

= 00

ist

Qif,

= —
[i.^

pi,

die Ausmittlung der Anzahl der Mutationen höchst einfach, weil hiebet
eZ
oo
log
y(

Falle «,

den Functionen die

jeden Function bloss ein einziges, und zwar das mit der höchsten Potenz von x begabte Glied zu be-

rücksichtigen

Co
mp
ara
tiv

Im

Ca
mb
rid

Anzahl der Mutationen für

/iRN

(AR\ in einer

= a^ und

im anberaumten Intervall

für Q^^

ge
,M
A)

man

ver-

;O
rig

Substitution x=^a^ durch, und erhält aus der hieraus resultirenden Zeichenreihe etwa
schliesslich findet

an dieser

Q^t"^'^^ Qa<,

Th
eB

Um

in (36)

Qay sich vollkommen eignet.

,

Sturm

angedeuteten Eigenschaften aufweist und demgemäss
iod
ive
rsi
ty

anzahl für Qxt

genügend zu ersehen, dass

He
rita
ge

erwünschten und

ist

rar

Stelle eine positive oder negative Mutation beurkundet.

Aus dieser Darstellung

wenn

ist.

of

Einer besonderen Erwähnung verdient der Fall,
ist.

Neuner eine

in Q^t, der

In diesem Falle hat

man

derivirte Function des mit

:

na„x"-^

ay

rL

ibr
ary

Ö.

(47)

of

the

Mu
se

um

lauter primären Coefficienten begabten Zählers

wo

tM

a eine Wurzel der Gleichung/(a)

(w— l)a„_, x"-''+...

=

und

/j {x)

-j-a,

sehr klein, so erhäh

p

man

:

/(«+P)

__

/(«)

+ p/i(«) _ ?fM) _

biemit

^

rva

rd

Un
iv

ers

ity

,E

rns

Ist

-\-

/(a + p)

by

the

Ha

<^^'

= a-\-p

/i(«

_r

+ p)

Dig

itis

ed

.

Hieraus ersieht man, dass

Q^i,

vor jedesmaligem Verschwinden sich negativ, und unmittelbar nach

Verschwinden positiv gestalten muss, weil der erste Zustand aus einem negativen, der
positiven p hervorgeht.
negative, etwa

p.

Der Ausdruck Q^^

Mutationen, und

In diesem Falle bilde
(49)

man



sich

(jl

ist

bietet diesfällig in

dann

jedem

beliebig

f{x)

,

angenommenen

die verlangte Anzahl der Mutationen.

nach (37) die Functionsreihe
f^{x)

,

3,

,

3j

.

.

.

3.

,

letztere

dem

aus einem

Intervall lauter


Studien im Gebiete numerischer Gleichungen.

x^a^, und
p.,

=

Anzahl der Mutationen
jedoch die Bedingung festzuhalten

Auch

darf.

ist

dass f{x) und

,

es

{^.^



im angenommenen

/,(a;)

=

dass die

,

man, dass an jeder

(49) erhaltene Zahl

og
ie

(,u.,

\l^)

bio
l

Stelle des Intervalls,

wo

des Verschwindens Zähler und Nenner verschieden bezeichnet

,

der Zähler /(.») verschwindet, im Vororte

und unmittelbar nach dem Verschwinden

dass also beim Übergange durch eine solche Stelle im Bereiche der
bio
d

gieichbezeichnet erscheinen müssen

in

welche im angenommeneu Intervall enthalten sind und der

,

angehören.

sieht

Intervall nicht

im gegebenen Intervall keine wieder-

zu ersehen

leicht

(50j

(j.^)

ww
.

=

.

welchen der Zähler/(a;) durch Null hindurchgeht, dass also

in

auf die Anzahl der primären Wurzeln hinweist

Aus (48)

=—

dass somit die Gleichung f{x)

,

besitzen

geradezu die Anzahl Stellen andeutet,

Gleichung/(a;)

~^.^

ive
rsi
tyl
ibr
ary
.or
g/;
w

verschwinden dürfen

holten primären Wurzeln

\i.^

,

Functionsreihe jedesmal eine Zeichenfolge gewonnen wird. Hieraus

ist

ww
.

gleichzeitig

ist

oben etwa ^j Zeichenwechsel; dann tindet

klar, dass gleichwie der Zähler beim
yh
ttp
://w

Hiebei

erhält wie

Zeichenwechsel, und hat schliesslich:

at

der Substitution x^er, etwa

ze
ntr
um
.

durchgeheuds

substituire in dieser Reihe

man entsprechend

241

dass auch der Nenner /, [x] innerhalb derselben Vororte somit auch innerhalb der
dass innerhalb zweier einander
Lib

,

He
rita
ge

V'orzeichen wechselt

rar

Übergange von irgend einem Vororte seines Verschwindens zum nächstfolgenden Vororte dieser Art sein(5ji
Verschwindungsstellen selbst sein Vorzeichen ändern muss. Hieraus folgt

,

,

=

angehören.

dieser Gleichung

Ca
mb
rid

man

(52j

dem wten Grade angehörige Gleichung. Den

eine mit primären Coefficienten begabte und

aus

eZ
oo
log
y(

entsprechenden Ausdruck Q„, findet

=

ge
,M
A)

i\u)

ina
lD

ow
n

diesen Fall ins helle Licht zu setzen, sei
;O
rig

Um

=

rom

angehörigen Wurzeln a und 5, je eine ungerade Anzahl primärer Zahlen ent-

halten sein müsse, welche der Gleichung/,(x)

loa
df

mären der 61eichung/(a3)

Th
eB

iod
ive
rsi
ty

nächsten Verschwindungsstellen von f{x) sich je eine ungerade Anzahl Verschwindungsstellen von
/, (x-)
ergeben muss. Es lässt sich schliesslich behaupten, dass zwischen unmittelbar aufeinander folgenden, pri-

Mu
se

um

of

Co
mp
ara
tiv

/H-fi/.(-)-f|!.f*(^)--.-

the

Eine zur Axe x'x parallele, neben derselben

of

y

ibr
ary

sehr nahe liegende Gerade L'

tM

^^

eine solche angesehen wer-

,E

rns

den, welche in ihrem Verlauf keinen der Gleichung (52)

ity

angehörigen Wurzelpunkt beherbergt. Von den even-

ers
Un
iv

L'

tuell

rd

L

Ha

rva

3C

möglichen,

in x'a;

liegenden wiederholten Wur-

zelpunkten gehen bekanntlich zwei Systeme von Hilfs-

by

the

trassen aus, von denen das erste der primären, das

(jy
ed

zweite der secundären Fläche angehört und

itis
Dig

= 00' = p) und kann als

hat zur Gleichung

ay

rL

(y

L

lagert. In der Nähe des

y

in

xoy

erwähnten wiederholten Wurzel-

punktes schliessen je zwei demselben Systeme angehörige Trassenzweige einen constanten Winkel ein,

und sind

in

xoy

so gelagert, dass je ein Trassenzweig des einen Systems den

Winkel

halbirt,

welchen die

ü'

Naclibarzweige' des anderen Systems einschliessen. Hieraus geht hervor, dass mit Bezug auf
auch an
solchen Stellen Zähler und Nenner in (53) nicht gleichzeitig verschwinden dürfen weil ja die Begegnungspunkte der L'L mit den erwähnten Trassenzweigen in abwechselnder Aufeinanderfolge bald der primären,
,

Denkschriften der mathem.-naturw. Ol.

XXX

Bd.

Abhandl. von Nichtmitglitdero.

ff

^


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