Tải bản đầy đủ

cơ sở lý thuyết mạch điện 2 , bài giảng , bài tập , đề thi .

K

e(t)

R

Chơng 15 KHáI NIệM Về MạCH & phần tử PHI TUYếN

A. Phần lý thuyết

100

e(t)

15.1 KHáI NIệM Về MạCH ĐIệN PHI TUYếN V PHầN Tử PHI TUYếN

L

Ta đã biết các phần tử của mạch điện bao gồm điện trở, điện cảm,
điện dung, nguồn áp và nguồn dòng. Khi xét tính tuyến tính hay phi tuyến
của một phần tử ta chỉ xét tới các phần tử thụ động (điện trở, điện cảm, điện

dung). Đối với các nguồn thực tế, tính phi tuyến của chúng do tính phi
tuyến của các tổng trở trong nguồn quyết định.

t
0

10

Hình 14.14a

Hình 14.14b

Câu 5: Tính dòng quá độ đi qua R của mạch hình 14.15a theo phơng pháp
toán tử Laplace. Biết trớc khi xảy ra đóng mở tụ C cha đợc nạp và có

các thông số: R = 10; C = 100 F; nguồn e(t) cho bởi hình 14.15b.
K

Một phần tử đợc gọi là phi tuyến nếu giá trị của chúng thay đổi theo
giá trị của dòng điện hoặc điện áp đặt lên chúng. Đối với các phần tử phi

e(t)

R

Một phần tử đợc gọi là tuyến tính nếu giá trị của chúng không thay
đổi theo giá trị của dòng điện hoặc điện áp đặt lên chúng. Đối với các phần
tử tuyến tính, các giá trị: R = const, L = const, C = const.

tuyến, các giá trị: R i, L i, C u và ta ký hiệu chúng là R(i), L(i), C(u).
e(t)

C

100

Mạch điện tuyến tính là mạch điện mà tất cả các phần tử trong mạch
là tuyến tính. Mạch điện phi tuyến có ít nhất một phần tử là phi tuyến.
t


Hình 14.15a

0

16.2 Điện trở - điện cảm & điện dung PHI TUYếN

10

16.2.1 Điện trở phi tuyến

Là điện trở có giá trị thay đổi theo giá trị của dòng điện và điện áp
trên nó. Trong sơ đồ mạch điện trở phi tuyến đợc ký hiệu nh hình 15.1.
Điện trở phi tuyến có 2 loại: Điện trở không điều khiển và điện trở có điều
khiển.
R
i

Hình 14.15b

R

uR
a. Điện trở phi tuyến không điều khiển

Hình 15.1

Điện trở phi tuyến không điều khiển là điện trở mà giá trị của nó chỉ
phụ thuộc vào dòng điện hoặc điện áp đặt vào nó mà không phụ thuộc các
đại lợng khác. Ví dụ: Chống sét, điôt bán dẫn.
Trên điện trở phi tuyến, điện áp và dòng điện quan hệ với nhau theo
biểu thức của định luật Ôm:
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

101

102

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


u = R(i).i

(15.1)

Vì giá trị điện trở thay đổi theo dòng điện nên quan hệ này là đờng
cong, gọi là đặc tính Vol - Ampe. Đặc tính này nói lên quan hệ dóng đôi
của môt cặp kích thích - đáp ứng. Hình 15.2a, b vẽ đặc tuyến V-A của một
số phần tử phi tuyến thông dụng, trong đó hình 15.2a là đặc tuyến V-A của
đèn sợi đốt Volfram, hình 15.2b là đặc tuyến V-A điôt bán dẫn.
u

u
M

U





i

I

0

Hình 15.2a

i
Hình 15.2b

Trong tính toán ngời ta thờng dùng 2 khái niệm: điện trở tĩnh và
điện trở động (hình 15.2a)
+ Điện trở tĩnh: Là tỷ số giữa điện áp và dòng điện trên điện trở tại

điểm xét.

R t (M) =

U(M)
= tg(M)
I(M)

(15.2)

+ Điện trở động: Là đạo hàm của điện áp theo dòng điện trên điện
trở tại điểm xét.

R đ (M) =

u(M)
= tg(M)
i(M)

(15.3)

Chú ý:

- Điện trở tĩnh luôn có giá trị dơng, điện trở động có thể dơng hoặc
âm. Nói chung điện trở tĩnh và điện trở động tại một điểm có giá trị khác
nhau Rt(M) Rđ(M).
b. Điện trở phi tuyến có điều khiển

Điện trở phi tuyến có điều khiển là điện trở không chỉ phụ thuộc vào
áp hoặc dòng đặt vào nó mà còn phụ thuộc vào các lợng khác (gọi là lợng
điều khiển). Điện trở phi tuyến có điều khiển thờng gặp là tranzixtor,
thiristor....
Chú ý: Đa số các điện trở phi tuyến gặp trong thực tế là những phần tử có
quán tính nhiệt, nghĩa là giá trị của điện trở phụ thuộc trực tiếp vào nhiệt
độ, nh điện trở của đèn sợi đốt Volfram, bàn là, bếp điện Vì vậy, giá trị
của chúng chỉ phụ thuộc vào trị hiệu dụng của dòng điện mà không phụ
thuộc vào giá trị tức thời của dòng điện qua chúng. Ta gọi chúng là những
phần tử điện trở có quán tính. Vậy trên phần tử điện trở có quán tính, quan
hệ tức thời u(i) là tuyến tính còn quan hệ hiệu dụng U(I) là phi tuyến.

15.2.2 Điện cảm phi tuyến
a. Điện cảm phi tuyến không điều khiển

Điện cảm phi tuyến không điều khiển là một cuộn dây có lõi thép
(hình 15.2a), sơ đồ thay thế đầy đủ của cuộn dây có lõi thép (hình 15.2b,
trong đó Rd là điện trở cuộn dây, RS là điện trở từ hoá phi tuyến đặc trng
cho tổn hao sắt từ, L là điện cảm phi tuyến đặc trng cho mức độ từ hoá của
cuộn dây). Nếu bỏ qua các tổn hao thì cuộn dây có lõi thép đợc thay thế
bằng một điện cảm phi tuyến L (hình 15.2c). Tính chất phi tuyến của điện
cảm đợc thể hiện qua quan hệ phi tuyến (iL) hoặc B(H) của vật liệu làm
lõi cuộn dây. Nếu bỏ qua tổn hao và ở tần số thấp thì có thể coi quan hệ
(iL) hoặc B(H) là một quan hệ hàm phi tuyến (hình 15.2d).

- Khái niệm điện trở tĩnh thờng đợc dùng để tính toán mạch phi
tuyến một chiều. Điện trở động thờng dùng tính toán trong mạch phi tuyến
xoay chiều, đặc biệt đối với mạch có dòng và áp gồm một thành phần
không đổi cộng thêm một thành phần biến thiên nhỏ.
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

103

104

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


i

i
u

w



iL, H

uL

u

, B

iL

Rs

L

L



a)

b)

Hình 15.2

c)

d)

Tơng tự nh điện trở phi tuyến ta cũng có khái niệm điện cảm động
L(iL)=/iL và điện cảm tĩnh Lt(iL) = /iL (khái niệm điện cảm tĩnh
thờng ít dùng).

năng lợng điện trờng trong tụ), nếu bỏ qua các tổn hao thì tụ điện đợc
thay thế bằng một điện dung phi tuyến C (hình 15.4c), tính chất phi tuyến
của điện dung đợc thể hiện bằng quan hệ phi tuyến q(uC) hoặc D(E). Nếu
bỏ qua tổn hao và ở tần số không cao lắm trong một giải tần đủ hẹp thì có
thể coi quan hệ q(uC) hoặc D(E) là một quan hệ hàm phi tuyến (hình 15.4d).
Tơng tự nh điện trở phi tuyến ta có khái niệm điện dung tĩnh Ct(uC)
= q/uC và điện dung động Cđ(uC) = q/uC.
D q
i
iC
iC
uC
uC
R
uC
E
uC
C
C

b. Điện cảm phi tuyến có điều khiển

a)

Là một cuộn dây lõi thép có điều khiển (hình 15.3a), ngoài cuộn dây
làm việc W còn có thêm một hoặc vài cuộn dây điều khiển W0 đợc cấp
nguồn một chiều. Khi thay đổi dòng điện một chiều trong cuộn dây W0, thì
sẽ thay đổi điểm làm việc dẫn đến thay đổi điện cảm L của cuộn dây làm
việc. Ví dụ: Trên hình 15.3b cho ta thấy rõ khi thay đổi dòng điện một
chiều từ I1 lên I2 thì điểm làm việc chuyển từ điểm A đến điểm B và điện
cảm L đã đợc thay đổi.


B
i
I
A
u W
W0 U
i
0
I2
I1
a)
i
Hình 15.3
b)
15.2.3 Điện dung phi tuyến
Điện dung phi tuyến là điện dung của một tụ điện có điện môi phi
tuyến (hình 15.4a), sơ đồ thay thế đầy đủ của tụ điện (hình 15.4b, trong đó
R là điện trở của tụ đặc trng cho tổn hao do trễ và dòng điện dẫn rò chạy
qua điện môi, C là điện dung phi tuyến đặc trng cho khả năng tích luỹ
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

105

b)

d)

c)
Hình 15.4

15.3 TíNH CHấT CủA MạCH PHI TUYếN

15.3.1 Tính chất của mạch phi tuyến

Khi trong mạch có các phần tử phi tuyến R, L, C, thì mạch có các
hiện tợng phức tạp xẩy ra và khác với mạch điện tuyến tính, ta có thể nêu
ra một số tính chất cơ bản của mạch phi tuyến nh sau:
- Không có tính xếp chồng: Vì ứng với mỗi kích thích thì các thông
số của mạch điện lại khác nhau.
- Có tính tạo tần: Vì đáp ứng thờng có dạng không sin và theo Furiê
đáp ứng đợc phân tích thành nhiều hàm sin có tần số khác nhau, nghĩa là
trong đáp ứng đã xuất hiện các tần số mới.
- Có thể xuất hiện các hiện tợng đặc biệt: Các dao động không tắt,
dao động có biên độ tăng dần, hiện tợng trigơ, hiện tợng ổn áp, ổn
dòng.v.v...
15.3.2 Phân loại mạch phi tuyến
a. Theo tính chất của phần tử phi tuyến chia làm hai loại

- Mạch có phần tử quán tính hay không quán tính.
- Mạch có phần tử điều khiển hay không điều khiển
106

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


sao cho phơng trình của mô hình giống hệ phơng trình của mạch cần
nghiên cứu, đáp ứng của mô hình là đáp ứng của mạch. Nó đợc áp dụng
rộng rãi không những trong lĩnh vực điện mà còn ở các lĩnh vực khác nh
cơ khí, thuỷ lực, nhiệt v.v...

b. Theo dòng điện chia làm hai loại

- Mạch phi tuyến một chiều: Nguồn kích thích là một chiều.
- Mạch phi tuyến xoay chiều: Nguồn kích thích là xoay chiều.
c. Theo chế độ làm việc

- Chế độ xác lập phi tuyến.

B. Phần thảo luận, bài tập

- Chế độ quá độ phi tuyến.

Câu 1: Nêu nội dung và đặc điểm các loại phơng pháp nghiên cứu mạch
phi tuyến.

15.4 Các phơng pháp giảI mạch điện phi tuyến

Vì mạch điện phi tuyến có các tính chất phức tạp nên việc giải bài
toán mạch phi tuyến gặp nhiều khó khăn, hiện nay mới chỉ có các phơng
pháp giải gần đúng, tuỳ từng bài toán cụ thể mà ta áp dụng phơng pháp
cho phù hợp. Có thể tạm phân thành bốn phơng pháp sau:

Câu 2: Kể những hiện tợng chính của mạch phi tuyến mà không có trong
mạch tuyến tính. Phân biệt hiện tợng làm méo đáp ứng trong mạch phi
tuyến và mạch tuyến tính.

15.4.1 Phơng pháp giải tích

Là các phơng pháp tìm nghiệm của hệ phơng trình mô tả mạch, nội
dung phơng pháp này tơng đối khó và khối lợng tính toán nhiều do đó
chỉ tiện dùng cho mạch đơn giản có tính phi tuyến ít. Thờng dùng các
phơng pháp sau: Phơng pháp cân bằng điều hoà; Phơng pháp biên độ
biến thiên chậm; Phơng pháp thông số nhỏ.
15.4.2 Phơng pháp đồ thị

Nội dung của phơng pháp đồ thị là kết hợp đờng đặc tính V-A của
các phần tử phi tuyến với phơng trình mạch để tìm đáp ứng dới dạng đồ
thị. Gồm có: Phơng pháp đồ thị; Phơng pháp biểu diễn quá trình trên mặt
phẳng pha; Phơng pháp đẳng tà.
15.4.3 Phơng pháp số

Là những phơng pháp tìm nghiệm dới dạng bảng số theo thời gian,
thờng dùng các phơng pháp sau: Phơng pháp dò; Phơng pháp lặp;
Phơng pháp sai phân.
15.4.4 Phơng pháp mô hình

Phơng pháp mô hình còn đợc gọi là phơng pháp mô phỏng nội
dung cơ bản của phơng pháp này là: Xây dựng mô hình điện - điện tử gồm
các khối chức năng để thực hiện các thuật toán đợc liên kết lại với nhau
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

107

108

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


Chơng 16 QUá TRìNH XáC LậP TRONG MạCH ĐIệN PHI

R

1 I

TUYếN Có DòNG KHÔNG ĐổI

E

UR

a)

A. Phần lý thuyết
16.1 PHƯƠNG PHáP Đồ THị GIảI MạCH PHI TUYếN Có DòNG

R

3 I

KHÔNG ĐổI

Nội dung của phơng pháp đồ thị là kết hợp các đờng đặc tính V-A
của các phần tử phi tuyến với các phơng trình của mạch để tìm đáp ứng
dới dạng đồ thị.
16.1.1 Tìm đặc tính nhánh tơng đơng
a. Đặc tính U(I) tơng đơng của nhánh nối tiếp

Đặc tính tơng đơng của nhánh nối tiếp bằng cộng các đờng đặc
tính các phần tử theo trục điện áp.

I

U R1

a)

I1

2

I
b)
I

R12
c)

b)

U

0

U R1 U R 2

U

U

c)

U(I)

I
R2

U(I2)
U

U R (I)

UR 2

U

R1

I

U(I)

U
I

1

4

Đặc tính tơng đơng của nhánh nối song song bằng cộng các đờng
đặc tính các phần tử theo trục dòng điện (hình 16.3).

I2

R2

E

E
-E
0
Hình 16.2
b. Đặc tính U(I) tơng đơng của nhánh nối song song

a)
R1

E

U34

2

U R (I)

U12
E

b)

U(I) = U R (I) + U R (I)
I

U12(I) UR(I) U34(I)

UR

Ví dụ 1: Hình 16.1 trình bày cách xây dựng đặc tính:
1

I

2

R12

I
I1
I2

0
U
Hình 16.3

U(I1)
U
U

c)

16.1.2 Giải mạch điện phi tuyến bằng phơng pháp đồ thị
a. Giải mạch điện có một phần tử phi tuyến

Hình 16.1

Tách mạch điện thành 2 phần (hình 16.4a): Phần điện trở phi tuyến có
đặc tính U R (I R ) , phần còn lại đợc thay bằng một máy phát điện tơng

Ví dụ 2: Hình 16.2 trình bày cách xây dựng các đặc tính:

đơng gồm sđđ E0 nối tiếp với điện trở R0 có đờng đặc tính
U = E 0 R 0 I R (hình 16.4b). Giao điểm của hai đờng đặc tính trên là giá

U12 (I) = U R (I) E ; U34 (I) = U R (I) + E

trị của dòng điện và điện áp trên điện trở phi tuyến (hình 16.4c), từ đó tìm
tiếp dòng các nhánh còn lại bằng phơng pháp giải mạch tuyến tính.

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

109

110

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


IR
Mạng 2
cực tuyến U
tính

IR

R0
R

E0

R

U

Suy ra: I R = U R / R 3 = 6 /12 = 0,5 A
3
2

U R (I R )

E
R0

I R = I R + IR = 1,2 + 0,5 = 1,7 A

A

IR

1

U = E0 R 0IR

UR

E0
0
U
c)
Hình 16.4
Ví dụ: Cho mạch điện hình 16.5a, biết R1 = R3 = 12 ; E = 24 V, đặc tính
a)

b)

U R (I) cho trên hình 16.5c. Tìm dòng điện các nhánh?
2

R1
E

R3

R0

I

UR2

R2 E0

U R (I)

I

I

2

2

UR2

R2 1,2

A
U=12-6I

2

b. Giải mạch điện có nhiều phần tử điện trở phi tuyến

Ta tìm đặc tính U(I) của toàn mạch, từ đó biết kích thích U tìm ra
dòng điện I rồi tìm các dòng điện ở nhánh khác (có thể tìm bằng đồ thị
hoặc giải tích).
Ví du 2: Cho mạch điện hình 16.6a, biết: U = 12 V, R3 = 4 , đặc

tính V-A của các điện trở R1, R2 cho trên hình 16.6b. Tìm dòng điện các
nhánh?
U 23 (I1 )
U
(I
)
I
R
R1 1
1
I1
U(I1 )
I3
I2
U R 3 (I3 )
4
U

a)

b)

Giải:

Hình 16.5

c)

6

12

R3

U

Tách riêng điện trở phi tuyến R2, phần còn lại đợc thay thế bằng một
máy phát điện tơng đơng có:

3

a)
Giải:

R2

U R 2 (I2 )

2

Hình 16.6

b)

1

U

E0 =

E.R 3
24.6
=
= 12 V
R1 + R 3 6 + 6

Đờng đặc tính U 23 (I1 ) = U R (I3 ) + U R (I 2 ) {cộng theo trục điện áp).
3
2

R0 =

R1R 3
12.12
=
=6
R1 + R 3 12 + 12

Từ giá trị U = 12 V ta tìm đợc I1 = 3,7 A; I2 = 2 A; I3 = 1,7 A

Đờng đặc tính U(I1 ) = U 23 (I1 ) + U R (I1 ) {cộng theo trục dòng điện).
1
16.2 PHƯƠNG PHáP Số GIảI MạCH ĐIệN PHI TUYếN Có DòNG

Phơng trình điện áp của mạng 2 cực: U R = E 0 R 0 I R (1)
2
2

KHÔNG ĐổI

Vẽ đờng đặc tính (1): Đó là một đờng thẳng.

16.2.1 Phơng pháp dò

Khi I = 0



U(I) = E = 12 V

Khi U(I) =0



I = E/R1 = 12/6 = 2 A

a. Nội dung

Chọn một nguồn kích thích để so sánh (ví dụ nguồn E k coi nh cha
biết), tuỳ ý giả thiết dòng điện ở một nhánh nào đó (ví dụ dòng điện nhánh l

Hai đồ thị U(I) và U R (I) cắt nhau tại điểm A ta có:
2

là I l ), đi tìm dòng điện ở các nhánh còn lại và sđđ Ek, nếu Ek tính đợc
khác quá nhiều Ek của bài toán thì giả thiết lại dòng điện I1 và tính lại lần

I R 2 = 1, 2 A ; U R 2 = 6 V

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

111

112

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


hai, lần ba..., cho đến lần thứ n đợc giá trị Ek tính Ek cho (trong phạm vi cho
phép).

Giải:

Chọn E1 để so sánh (coi E1 là cha biết)

Ví dụ: Cho phép sai số E k 2% nghĩa là Ektính = (0,98 ữ1,02)Ek cho.

Giả thiết I2 = 1,5 A theo sơ đồ mạch điện ta tính đợc.

Ta có thể dừng tính toán, kết quả tính lần thứ n là nghiệm của bài toán.

U R 2 = R 2 I 2 = 1,5.6 = 9 V

b. Các bớc thực hiện

U R 3 = E3 U R 2 = 12 9 = 3 V

- Chọn một nguồn kích thích để so sánh (coi nguồn đó là cha biết ví
dụ E k ).

Từ đờng đặc tính U R (I3 ) theo UR = 3 v tìm đợc I3 = 0,7 A
3
3

- Tuỳ ý chọn giá trị dòng điện ở một nhánh nào đó (khác nhánh k, ví
dụ I1 ).

Từ đờng đặc tính U R (I1 ) theo I1 = 0,8 A tìm đợc U R = 1,1 V
1
1

- Dựa vào hệ phơng trình và các đờng đặc tính V-A của phần tử tìm
ra dòng điện các nhánh và nguồn chọn để so sánh (Ek ).
- So sánh kết quả tính toán với giá trị bài toán của nguồn chọn so
sánh, nếu cha đảm bảo sai số cho phép thì giả thiết và tính toán lại lần
khác cho tới khi đảm bảo sai số cho phép thì dừng lại.

Suy ra: I1 = I2 - I3 = 1,5 - 0,7 = 0,8 A
Vậy: E1 = U R + U R = 9 + 1,1 = 10,1 V
2
1
Vì E1tính khác nhiều với E1cho nên ta chọn lại I3, các kết quả tính toán
đợc ghi vào bảng sau:
S. Lần

I2(A)

U R 2 (V)

U R 3 (V)

I3(A)

I1(A)

U R1 (v)

E1(V)

1

1,5

9

3

0,7

0,8

1,1

10,1

2

1,3

7,8

4,2

1

0,3

0,5

8,3

3

1,4

8,4

3,6

0,9

0,5

0,7

9,1

Chú ý: Thực tế ta chỉ tính vài lần nếu cha thoả mãn thì dựa vào kết quả đã

tính vẽ đờng cong E k (I l ) , rồi từ đờng cong đó với giá trị Ek xác định
đợc Il và suy ra các giá trị khác theo yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 1: Giải mạch điện ở hình 16.7a bằng phơng pháp dò.

So sánh E1tính với E1cho ta thấy:

Biết R2 = 6 , E1= 9 V, E2 = 12 V, Đặc tính U R (I1) và U R (I3 ) nh hình
1
3

E1 = (E1tính- E1cho)/ E1cho%= (9,1- 9)/ 9% = 1,1% < Ecp = 1,5%

16.7b. Tính dòng điện trong các nhánh với sai số cho phép E 1,5%.
I1

I

I3
I2

R1

R2

E1

Ví dụ 2:
U R (I1 )

R3

Biết R1 = 1 , R3 = 3 ; U=10 V,

1

Hình 16.7

I1

Cho mạch điện hình 16.8.

1

đặc tính U R 2 (I2 ) = 3I32 (với I2 > 0).
2

a)

I1 = 0,5 A; I2 = 1,4 A; I3 = 0,9 A

U R 3 (I3 )

2
E3

Kết quả bài toán là:

6

4

U

U

R1
I3

I2

R3

R2

Tìm dòng điện trong các
nhánh bằng phơng pháp dò?

b)

Hình 16.8
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

113

114

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


Giải:

b. Các bớc tính toán

Chọn điện áp U để so sánh (coi cha biết U)

- Thành lập hệ phơng trình với ẩn số là dòng điện và điện áp của các
phần tử phi tuyến. Cách thành lập hệ phơng trình nh sau:

Chọn I2 = 1 A U R = 3.1 = 3 V
2

Có thể thay mỗi phần tử phi tuyến bằng một nguồn điện nh hình
16.9. Theo nguyên tắc xếp chồng dòng điện trong nhánh 1 của tử phi tuyến
đợc tính:

I3 = U R 2 / R 3 = 3/ 3 = 1 A
I1 = I 2 + I 3 = 1 + 1 = 2 A

I1 = Y11U1 + Y12 U 2 + ... + Y1n U n + I10

U R = R 1.I1 = 2.1 = 2 v
1

U = UR + UR = 2 + 3 = 5 V
1

2

Vì Utính Ucho nên chọn lại I3 và tính lại, các kết quả đợc ghi ở bảng

Trong đó: Y11 là tổng dẫn vào của nhánh 1, Y12,,Y1n là tổng dẫn
tơng hỗ giữa nhánh l với các nhánh 2, 3, n, I10 là thành phần dòng điện
do các nguồn khác trong mạch gây ra.

sau:

áp dụng công thức trên cho mạch có n phần tử phi tuyến ta có:

S. Lần

I2(A)

UR2(V)

I3(A)

I1(A)

UR1(V)

U(V)

1

1

3

1

2

2

5

2

1,5

4,5

1,5

3

3

7,5

3

2

6

2

4

4

10

I1 = Y11U1 + Y12 U 2 + ... + Y1n U n + I10
I 2 = Y21U1 + Y22 U 2 + ... + Y2 n U 2 + I 20

...................................................

In = Yn1U1 + Yn 2 U 2 + ... + Ynn U n + In 0

Kết hợp với các phơng trình đặc tính của các phần tử phi tuyến:

Kết quả bài toán: I1 = 4 A; I2 = I3 = 2 A

U1 = U1 (I1 )
U 2 = U 2 (I 2 )

................
U n = U n (I n )

16.2. 2 Phơng pháp tính lặp
a. Nội dung

Lập và giải hệ phơng trình tính toán với ẩn số là dòng điện và điện
áp của các phần tử phi tuyến
R2
(số ẩn gấp đôi số phần tử phi
tuyến), sau đó dùng các
I2
E2=U2
phơng pháp tuyến tính đã
In
học tìm tiếp dòng điện các
Mạch
nhánh còn lại và các yêu cầu R
điện
1
E1 = U1
En = Un
Rn
khác của bài toán. Phơng
tuyến
tính
pháp này phức tạp về tính
toán nhng rất tiện dùng cho
Hình 16.9
máy tính số và ngày càng
đợc áp dụng rộng rãi.
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

(16.1)

115

(16.2)

Ta có hệ 2 n phơng trình với ẩn là dòng và áp của các phần tử phi
tuyến.
- Chọn tuỳ ý giá trị n ẩn độc lập (ví dụ chọn n ẩn dòng điện I1,...,In)
rồi dựa vào hệ phơng trình (16.2) tìm ra các ẩn phụ thuộc U1,...,Un lần thứ
nhất.
- Thay các giá trị điện áp U1,...,Un lần thứ nhất vào hệ phơng trình
(16.1) tìm ra các dòng điện I1,...,In lần hai.
- Tiếp tục tính vòng lại lần hai bằng cách thay giá trị dòng điện tính
đợc lần hai vào 16.2 tìm ra các điện áp lần 2 rồi lại thay vào 16.1, để tìm
các giá trị dòng điện lần 3. Quá trình tính đợc lặp lại nhiều lần cho đến lần

116

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


thứ k có kết quả tính đợc gần bằng lần thứ k-1 (sai khác nhau trong phạm
vi cho phép), thì ta có thể lấy kết quả của lần thứ k.
Chú ý: Việc chọn n ẩn có thể dẫn đến quá trình tính hội tụ hoặc phân kỳ,
do đó phải chọn ẩn độc lập hợp lý để việc tính lặp hội tụ.

I1 = I3 + I2 = 2,07 + 0,46 = 2,53 A
B. Phần thảo luận, bài tập
Câu 1: Nêu cách tìm đặc tính U(I) của các mạng 2 cực phi tuyến:

a) Gồm các phần tử ghép nối tiếp.

Ví dụ: Tính dòng điện các nhánh ở hình 16.10a bằng phơng pháp tính lặp.

Biết: R1 = R2 = 2 , U = 6 V, đặc tính U R (I3 ) cho ở hình 16.10b.
3
I1

I

R1

U

I3

I2

4

R3

R2

2

Hình 16.10

Câu 2: Tính dòng điện trong các nhánh của mạch điện hình 16.11 bằng
phơng pháp dò; các thông số của mạch cho nh sau: E1= 36 v; R1 = R3 =

R5 =3; đặc tính V- A của các điện trở phi tuyến cho dới dạng biểu thức
giải tích: U 2 = 4,5 I 22 v; U 4 =1,5 I 22 v . Đảm bảo sai số tính theo phần trăm

U R 3 (I3 )

(sai số tơng đối) E% 0,1 % .
R3

U
a)

b) Gồm các phần tử ghép song song.

0,

0,

1,

E1

E1

b)

R2

Giải:

R4

R1

Lập phơng trình tính I 3 = f ( U 3 )

I3 = I1 I 2 =

R3

U U3 (I3 ) U 3 (I3 ) 6 U 3 (I3 ) U 3 (I3 )

=

= 3 U3 (I3 )
R1
R2
2
2

Chọn I3 làm ẩn số độc lập để tính lặp, kết quả tính đợc ghi ở bảng
sau:

R5

R2

R4

R5

R1
Hình 16.11

Hình 16.12
Câu 3: Tính dòng điện trong các nhánh của mạch điện hình 16.12 bằng
phơng pháp dò; các thông số của mạch cho nh sau: E1= 12,4 V; R1 = 5;
R2 = 4,8 ; R5 = 3; đặc tính V- A của các điện trở phi tuyến cho dới
dạng biểu thức giải tích: U 3 = 0,4I 23 ; U 4 = 1,5I 42 . Đảm bảo sai số tính theo

S.Lần
I3 lần thứ k
U3 lần thứ k
I3 lần thứ k+1
1
1
0,3
2,7
2
2,7
1,4
1,6
3
1,6
0,7
2,3
4
2,3
1
2
5
2
0,9
2,1
6
2,1
0,93
2,06
7
2,06
0,93
2,07
Từ bảng tính ta chọn I3 = 2,07 A ; U3 = 0,93 v

phần trăm (sai số tơng đối) E% 0,1 % .
Câu 4: Cho mạch điện nh hình 16.13, biết:

E1 = 40 (v); R1 = 9,2 (); R3 = 1(); đặc
tính V- A của R2; R4 cho dới dạng biểu thức

R1

R2

giải tích: U 2 = 0,3I 22 ; U 4 = 0,4I 43 . Tính dòng

E1

R3

điện trong các nhánh của mạch điện bằng
phơng pháp dò, đảm bảo sai số tính theo
phần trăm (sai số tơng đối) E% 0,1 % .

Tính dòng điện I1 và I2

R4

Hình 16.13

I2 = U2/ R2 = U3 / R2 = 0,93 / 2 =0,46 A
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

117

118

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2




Chơng 17 QUá TRìNH XáC LậP TRONG MạCH PHI TUYếN

, u, i

i

XOAY CHIềU



A. Phần lý thuyết

u
t

17.1 PHƯƠNG PHáP Đồ THị ĐốI VớI TRị Số TứC THờI

0

0

i

t1 t2

17.1.1 Nội dung của phơng pháp đồ thị đối với giá trị tức thời.

Khi biết quan hệ giữa điện áp với dòng điện và quy luật điện áp u(t)
hoặc dòng điện i(t) của phần tử phi tuyến, thì ta có thể tìm đợc i(t) hoặc
u(t), bằng cách kết hợp các đờng cong đã biết để tìm đại lợng còn lại
bằng đồ thị. Phơng pháp này đợc áp dụng khi trong mạch chỉ có một
phần tử phi tuyến. Cụ thể nh sau:

a)


, u, i

i


u

t

- Đối với điện trở phi tuyến R:
0

Khi biết u(t) hoặc i(t) và đặc tính V-A tìm lợng còn lại bằng cách:
Tại các thời điểm t trên đờng u(t) ta tìm đợc u, hoặc i(t) ta tìm đợc i, sau
đó từ u hoặc i đã biết tra đặc tính V-A tìm đợc giá trị i hoặc u tơng ứng
với thời điểm t.

i

0

t1 t2
b)

Hình 17.1

- Đối với các phần tử phi tuyến L, C:
- Hình 17.1a tơng ứng với trờng hợp bỏ qua từ trễ.

Do quan hệ u(i) phải thông qua một đại lợng trung gian dới dạng.

uL =

(i L )
q(u C )
,u C =
t
t

(17.1)

Nên từ đại lợng u(t) hoặc i(t) đã biết, ta tìm ra trạng thái trung
gian ( t ), q ( t ) , sau đó kết hợp với đờng cong (iL), q(uC) sẽ tìm đợc đại

- Hình 17.2b tơng ứng với trờng hợp kể đến từ trễ.
b. Tìm điện áp u(t) khi biết dòng điện i(t)

Từ đờng cong i(t), (i) vẽ đợc đờng cong (t) sau đó đạo hàm
đờng cong (t) ta đợc đờng u(t) nh hình 17.2.

lợng i(t) hoặc u(t).

i

, u, i

17.1.2 Hình dáng đờng cong dòng và áp trong cuộn dây lõi thép (khi

i

kích thích hình sin).
a. Tìm dòng điện i(t) khi biết u(t)

U
Giả thiết u = U m cost ta có: = udt = m sin t = m sin t


u



t
0

0



Kết hợp đờng cong (t) với đờng cong (i) ta tìm đợc đờng cong
Hình 17.2

i(t).
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

119

120

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


C1 ( A1C , A1S ,..., A kC , A kS ) = 0
S ( A , A ,..., A , A ) = 0
kC
kS
1 1C 1S
Suy ra: ............................................

C (A , A ,..., A , A ) = 0
kC
kS
k 1C 1S
Sk ( A1C , A1S ,..., A kC , A kS ) = 0

17.2 PHƯƠNG PHáP CÂN BằNG ĐIềU HO

17.2.1 Nội dung của phơng pháp cân bằng điều hoà

Đối với mạch phi tuyến, khi kích thích hình sin thì đáp ứng là chu kỳ
không sin và có thể biểu diễn dới dạng Furiê. Để tìm biên độ của điều hoà
cơ bản và một số điều hoà bậc cao ta dùng phơng pháp cân bằng điều hoà.
Nội dung cơ bản của phơng pháp này là dựa trên nguyên tắc.
Nếu

n

n

k =1

k =1

A kccoskt + A ks sin kt = 0 thì

Giải hệ 17.5 ta tìm đợc các biên độ A1C, A1S,..., AkC, AkS.

A kc = 0 và A ks = 0

17.2.2 Cách thành lập hệ phơng trình cân bằng điều hoà

Từ hệ phơng trình vi phân mô tả mạch rút gọn có dạng.

 
f (x, x,
x,..., t) = 0

(17.2)

Vế trái của phơng trình chứa ẩn x(t), các đạo hàm của nó và có thể
chứa các nguồn ngoài e(t), j(t).
Khi kích thích hình sin thì ẩn x(t) là hàm chu kỳ không sin, có thể
biểu diễn nó dới dạng chuỗi Furiê.

x(t) =

n

n

k =1

k =1

(17.5)

A kccoskt + A ks sin kt

(17.3)

Hoặc:

x(t) = A1C cos t + A1S sin t + ... + A kC cos kt + A1S sin kt (17.4)
Để tìm Akc và Aks ta làm nh sau:
Thay x, x,
 
x... của (17.3) vào (17.2) rồi rút gọn theo các hàm sin và
cos:

Ví dụ: Cho mạch điện nh hình 17.3, biết:
L = 0,3 H; điện cảm phi tuyến có đặc
tuyến Wb-A đợc biểu diễn gần đúng:
(i) = ai bi3 = 2i 0,5i3 trong đoạn
I = [-1, 1] A; u(t) = 100sin100t (V). Tìm
điều hoà cơ bản của dòng điện?
Phơng trình viết cho mạch là:

i(t)

L

L(i)
u(t)
Hình 17.3

di d
di di
di
di
+
=L +
. = L + (a - 3bi 2 ). = u(t)
dt dt
dt i dt
dt
dt
Thay số liệu vào và biến đổi ta đợc:
(1)
0,5i + (2-1,5i2)i = 2,5i 1,5i2i = 100sin100t
Đặt dòng điện dới dạng:
i(t) = I1Ccos100t + I1Ssin100t
Vì mạch thuần tuý là điện cảm nên thành phần điều hoà bậc 1 của
dòng điện và điện áp vuông pha nhau, do đó I1S = 0, dòng điện trong mạch
có dạng:
i(t) = I1Ccos100t = IMcos100t
(2)
Thay (2) vào (1) ta đợc:
L

C1 (A1C , A1S ,..., A kC , A kS ) cos t + S1 (A1C , A1S ,..., A kC , A kS ) sin t + ...

-2,5.100IMsin100t + 1,5.100 I3M cos2100t sin100t = 100sin100t

+ C k (A1C , A1S ,..., A kC , A kS ) cos kt + Sk (A1C , A1S ,..., A kC , A kS ) sin kt = 0

-250IMsin100t + 150 I3M (1- sin2100t).sin100t = 100sin100t
-250IMsin100t + 150 I3M sin100t - 150 I3M sin3100t = 100sin100t
-250IMsin100t + 150 I3M sin100t - 150 I3M (

3
1
sin100t - sin300t) = 100sin100t
4
4

-250IMsin100t + 37,5 I3M sin100t + 37,5 I3M sin300t) = 100sin100t
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

121

122

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


Cân bằng hệ số của hàm sin100t ta đợc phơng trình sau:
37,5 I

3
M

Ví dụ: Tính dòng điện chạy trong cuộn dây lõi thép hình 17.4. Biết

R = 50, điện cảm phi tuyến quan hệ giữa các trị hiệu dụng là:

- 250IM 100 = 0

hd(I) = 2I -0,5I3; điện áp đặt vào mạch: u(t) = 150 2 cos(100t + 300).

Giải phơng trình ta đợc các nghiệm:

I(1)
M = -0,92;

I(2)
M = -2;

I(3)
M = -2,92

Giải:
Phơng trình viết cho mạch là:

Theo bài ra: I = [-1, 1] A, do đó ta lấy IM = -0,92 A
Vậy dòng điện trong mạch là:
i(t) -0,92cos100t A.

i(t)

d
=u
dt
Chuyển sang dạng phức ta có:
 +U
 =U

RI + j = U

R

Ri +

17.3 PHƯƠNG PHáP TUYếN TíNH HOá QUY ƯớC

Phơng pháp tuyến tính hoá quy ớc còn có tên gọi khác nh: phơng
pháp quán tính hoá; phơng pháp tuyến tính đối với giá trị tức thời; phơng
pháp điều hoà tơng đơng.
Ta đã biết rằng, trên phần tử quán tính - quan hệ giữa 2 trị hiệu dụng
của kích thích và đáp ứng là phi tuyến còn quan hệ giữa 2 trị tức thời của
chúng là tuyến tính. Do đó, nếu có kích thích là hình sin thì đáp ứng cũng là
hình sin cùng tần số với kích thích. Với những mạch điện có kích thích và
đáp ứng đều là những hàm hình sin có cùng tần số thì có thể dùng phơng
pháp số phức để giải.
Đối với phần tử quán tính thì quan hệ U(I) là phi tuyến còn quan hệ
u(i) là tuyến tính nên ta có thể dùng số phức để giải.
Nội dung của phơng pháp đồ thị đối với giá trị tức thời là coi các
phần tử trong mạch đều có quán tính và dùng phơng pháp số phức để
giải mạch. Làm nh vậy, ta đã chuyển việc giải hệ phơng trình vi phân phi
tuyến sang hệ phơng trình đại số phi tuyến đối với ảnh phức.
* Các bớc phân tích mạch:
- Lập phơng trình vi phân mô tả mạch theo các luật Kirhof.
- Chuyển phơng trình sang dạng số phức ta đợc hệ phơng trình đại
số phi tuyến.
- Giải hệ phơng trình đại số phi tuyến bằng các phơng pháp đã trình
bày ở chơng 16. Thông thờng ta sử dụng phơng pháp dò.

R

u(t)

L(i)

L

Hình 17.4

Tiến hành tính dò:
Giả sử trị hiệu dụng dòng lần 1: I(1) = 1 A
Trị hiệu dụng của điện áp trên điện trở:
UR(1) = RI(1) = 50.1 = 50 V
Trị hiệu dụng của điện áp trên điện cảm:
UL(1) = (1) = 100(2.13 0,5.13) = 150 V
Trị hiệu dụng của điện áp toàn mạch là:

2
(1) 2
U (1) = (U (1)
502 +1502 = 158,1159
R ) + (U L ) =

Góc lệch pha giữa điện áp và dòng điện: = arctg

UL
(góc lệch pha
UR

này chỉ cần tính ở bớc tính cuối cùng, khi ta đã có trị hiệu dụng của điện
áp tổng xấp xỉ bằng trị hiệu dụng của điện áp đã cho).
Kết quả tính toán đợc liệt kê trong bảng:
Lần
I(A)
UR (V)
UL (V)
U (V)

1
2
3

1
0,9
0,896

50
45
44,8

150
143,55
143,2338

158,1139
150,438
150,0766

72,645

Từ kết quả ở bảng ta có: I = 0,896 A; i = u - = 30 - 72,65 = -42,650
Vậy dòng điện trong mạch là:
0

0

i(t) = 0,896 2 cos(100t - 42,650) A.
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

123

124

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


17.4 PHƯƠNG PHáP TUYếN TíNH HOá ĐOạN ĐặC TíNH LM VIệC

U

L

L

CủA PHầN Tử PHI TUYếN

17.4.1 Nội dung của phơng pháp tuyến tính hoá đặc tính làm việc

Phơng pháp tuyến tính hoá đặc tính làm việc của phần tử phi tuyến
là coi gần đúng đoạn đặc tính làm việc là đoạn thẳng. Phơng pháp này
đợc ứng dụng để giải mạch phi tuyến làm việc với kích thích gồm một
thành phần không đổi đủ lớn cộng với một thành phần biến thiên nhỏ.
Ví dụ: Khi đặt lên điện trở phi tuyến một điện áp u(t) = U 0 + U1msint,

trong đó U0 đủ lớn và U1m nhỏ, thì phạm vi làm việc là đoạn AB ở lân cận
đủ nhỏ quanh điểm M (hình 17.5). Để tính dòng của thành phần biến thiên
ta có thể thay đoạn AB bằng một đoạn thẳng tiếp tuyến với đặc tính tại
điểm M, nghĩa là đối với thành phần biến thiên nhỏ ta thay phần tử phi
tuyến bằng một phần tử tuyến tính có:

u
R = R đ (M) = (M) = tg
i

(17.5)

u

a)

0

2

4

Rđ(M)

c)

6
b)

d)

Hình 17.6

Vì thành phần xoay chiều nhỏ ta có thể dùng phơng pháp tuyến tính
hoá đoạn đặc tính làm việc.
1. Tìm thành phần dòng một chiều (cho U0 = 100 V tác động hình
17.6c).
Tra đặc tính U(I), với U0 = 100V I0= 4 A.
2. Tính thành phần dòng xoay chiều (cho u1 (t) = 10sin100t V tác
động).
Tại điểm làm việc M trên đờng đặc tính ta có:

R đ (M) =
M

B



u
U
60
= 15
(M) =
(M) =
t
I
4

áp dụng số phức giải mạch điện hình 17.6d.


0
U
10
1m
I = U1m =
=
= 0,46 j0,31 = 0,55e j33,7 A
1m
Z
R đ (M) + jL 15 + j100.0,1

A

I
0

u1

I

Giải:

u1

Hình 17.5

R

U0

R
40

U

U0

M

100

I0

Vậy:

i = 4 + 0,55sin(100t 33,70 ) A

17.4.2 Cách giải mạch phi tuyến bằng phơng pháp tuyến tính hoá

B. Phần thảo luận, bài tập

đoạn đặc tính

Câu 1: Nêu nội dung, u, nhợc điểm, phạm vi ứng dụng của các:

- Tính mạch ở chế độ một chiều để xác định điểm làm việc M.

- Phơng pháp đồ thị đối với trị tức thời.

- Tính thành phần xoay chiều bằng cách thay phần tử phi tuyến bằng
một phần tử tuyến tính [R(i) = Rđ(M), L(iL) = Lđ(M), C(uC) = Cđ(M)].

- Phơng pháp cân bằng điều hoà.
- Phơng pháp tuyến tính hoá quan hệ tức thời.

Ví dụ: Tính dòng điện hình 17.6a. Biết: u(t) = 100 +10sin100t (V) ;

- Phơng pháp tuyến tính hoá đoạn đặc tính làm việc.

L = 0,1H; đặc tính điện trở phi tuyến cho nh hình 17.6b
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

125

126

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


Câu 2:
Cho mạch điện hình 17.7. Biết:
L = 0,1H; đặc tuyến V-A của điện trở phi tuyến là UR(I) = 2I3;
u(t) = U0 + u1 = 16 + 4cos(100t+300) V.
Tính dòng điện trong mạch bằng phơng pháp tuyến tính hoá đoạn
đặc tính làm việc?

R(i)

u(t)

u(t)

q(u)

R
u(t)

Hình 17.9

R(i)
L

R(i)

L

L

L
C

Hình 17.10

Câu 7: Cho mạch điện nh hình 17.10, biết:

u(t) = U0 + u1 = 16 + 8cos(100t+400)

u(t)

L = 0,5(H); C = 10-3(F)

Hình 17.7
Hình 17.8
Câu 5: Cho mạch điện hình 17.8, biết:
L = 0,32H; đặc tuyến V-A của điện trở phi tuyến là UR(I) = 2I3;
u(t) = 50cos(100t + 300) V.
Tính dòng điện trong mạch và điện áp qua điện cảm bằng phơng
pháp tuyến tính hoá qui ớc?

Đặc tuyến V-A của điện trở phi tuyến là: UR(I) = 5I3.
Tính thành phần xoay chiều của dòng điện trong các nhánh.

Câu 6: Cho mạch điện có điện trở R = 314 nối tiếp với điện cảm phi

tuyến có đặc tính Wb-A miêu tả bằng phơng trình gần đúng

(i) = ai bi 3 =1,6i 0,8i 3 .
Dùng phơng pháp cân bằng điều hoà tính các điều hoà bậc 1 và bậc
3 của điện áp u(t) đặt vào mạch, biết dòng điện trong mạch có dạng
i = sin314tA.
Câu 7: Cho mạch điện nh hình 17.9, biết:

u(t) = U0 + u1 = 100 + 25cos(100t+500)
R = 50 ; L = 0,2 H; điện dung phi tuyến có quan hệ dạng
q(u) = 1/3.10-7u3. Tính thành phần xoay chiều của dòng điện trong các
nhánh.

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

127

128

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


Chơng 18 QUá TRìNH QUá Độ TRONG MạCH PHI TUYếN

Mục đích:
Cung cấp cho sinh viên các phơng pháp để phân tích quá trình quá
độ mạch điện phi tuyến.
Yêu cầu:

Sinh viên phải nắm đợc:
- Với các bài toán quá độ phi tuyến không có những phơng pháp
chung để trực tiếp tích phân tìm nghiệm.
- Một số phơng pháp thông dụng để giải các bài toán phi tuyến nói
chung và đặc biệt những bài toán phi tuyến ít.
A. Phần lý thuyết
18.1 KHáI NIệM Về QUá TRìNH QUá Độ TRONG MạCH PHI TUYếN

Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến đợc mô tả bằng hệ phơng
trình vi phân phi tuyến viết theo các luật kirhoff. Việc nghiên cứu quá trình
quá độ quy về việc giải hệ phơng trình vi phân phi tuyến.
Ví dụ: Phơng trình cân bằng điện áp của mạch hình 18.1

e = Ri +

di
di
(18.1)
. = Ri + L(i)
i dt
dt

Ta thấy tính phi tuyến của phơng
trình đợc quyết định bởi tính phi tuyến của

i

trực tiếp đề tìm nghiệm phơng trình phi tuyến, mà phải dùng các phơng
pháp giải gần đúng sau:
- Phơng pháp tuyến tính hóa đối với lợng nhỏ phi tuyến
- Phơng pháp sai phân
- Phơng pháp nhiễu loạn
- Phơng pháp biên độ và pha biến thiên chậm.
- Phơng pháp mô hình.
Ngoài ra còn có một số phơng pháp tính gần đúng mạch có tính
phi tuyến ít nh: Phơng pháp tuyến tính hoá, phơng pháp nhiễu loạn,
phơng pháp biên độ biến thiên chậm. Tuỳ từng bài toán cụ thể mà ta áp
dụng phơng pháp giải cho phù hợp.
18.2. PHƯƠNG PHáP TUYếN TíNH HOá ĐốI VớI LƯợNG íT PHI
TUYếN

18.2.1 Đặt bài toán
Bài toán đặt ra là xét quá trình quá độ khi đóng mạch cuộn dây lõi sắt
vào nguồn điện áp u.
Ta có sơ đồ mạch nh hình 18.2:

i = i()
thể hiện trên hình 18.3
= (i)

R

Cho biết đặc tuyến

e

Từ sơ đồ mạch hình 18.2 ta có phơng trình (18.2):

L(i)
quan hệ (i).
Đối với mạch phi tuyến thờng không
có quan hệ trực tiếp giữa dòng điện và điện
Hình 18.1
áp hay nói cách khác là 2 đại lợng đáp ứng
và kích thích.
Các phần tử phi tuyến thờng có nhiều trong các thiết bị nh: Đèn
điện tử, bán dẫn; lõi sắt trong máy điện, trong rơ le ..., do đó việc nghiên
cứu quá tình quá độ của mạch điện phi tuyến có ý nghĩa thực tiễn.
Việc tính qua trình quá độ trong mạch phi tuyến khó khăn hơn nhiều
so với mạch tuyến tính. Hơn nữa hầu nh không thể tính tích phân một cách
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

129

u = Ri +
i

(18.2)



R

L(i)

u

Hình 18.2

130

d
dt

0

i

Hình 18.3

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


Lúc này phơng trình (18.6) là phơng trình tuyến tính đối với i, suy

* Ta có các nhận xét:
+ Nếu cuộn dây ít tiêu tán (tổn hao ít) nghĩa là: Ri <<
Từ đó ta có thể suy ra đợc: u =

Ri
N

+

lợng nhỏ

ra giải phơng trình (18.6) ta dễ dàng tìm đợc i(t) và sau đó dựa vào i() -

d
dt

đặc tuyến Wb-A ta tìm đợc (t) bằng đồ thị.

d
dt

Ta thấy do Ri là lợng nhỏ nên ta có thể coi quan hệ i() là tuyến
tính hay phi tuyến cũng ít ảnh hởng đến kết quả của bài toán. Vì vậy để
đơn giản ta coi quan hệ của i() là tuyến tính, nghĩa là ta có quan hệ:

L=


i


L

hay i =

(18.3)

điện cảm nh thế nào. Ta thấy rằng khi i biến thiên 0 ữ imax thì biến thiên

Thay (18.3) vào (18.2) ta đợc:

d
R
u = . + '
u=R +
L dt
L

18.2.2 Các bớc giải bài toán
Bớc 1: Lập phơng trình
Bớc 2: Tìm số hạng nhỏ và tuyến tính hóa quan hệ của nó, suy ra
đợc phơng trình vi phân tuyến tính gần đúng đối với ẩn số.
Bớc 3: Giải phơng trình vi phân tuyến tính để tìm ẩn số đó. Sau đó
dựa vào quan hệ phi tuyến để tìm ẩn số còn lại.
Chú ý: Trong các phơng trình tuyến tính hóa vấn đề đặt ra là chọn giá trị

0 ữ max suy ra ta có thể chọn theo công thức:
(18.4)

L=

Phơng trình (18.4) là phơng trình vi phân tuyến tính đối với , do
vậy khi giải (18.4) ta sẽ dễ dàng tìm đợc (t) và khi đã tìm đợc (t), dựa
vào quan hệ (i) - đặc tuyến Wb-A ta tìm đợc i(t) bằng đồ thị.
+ Nếu cuộn dây tiêu tán lớn (tổn hao nhiều), nghĩa là: Ri >>
Từ đó ta suy ra đợc: u = Ri +

d
dt

max
i max

- Theo phơng pháp trên ta cần phải xác định số hạng nhỏ của
phơng trình, nên nó đợc cho trớc hoặc nếu không cho trớc, ta có thể
coi 1 phần tử nào đó là lợng nhỏ và giải mạch theo 1 trong 2 trờng hợp
trên, theo quan điểm:
+ Nếu cần tìm i(t) với đầy đủ tính phi tuyến thì ta coi i() là tuyến

d
dt
N

tính, khi đó rút ra đợc phơng trình tuyến tính đối với biến (t) dựa
vào (i) i(t).

lợng nhỏ

Lý luận tơng tự nh trờng hợp tổn hao ít ở trên, việc coi quan hệ

+ Nếu cần tìm (t) với đầy đủ tính phi tuyến thì ta coi (i) là tuyến

(i) là tuyến tính hay phi tuyến cũng ít ảnh hởng đến kết quả của bài

tính, khi đó rút ra đợc phơng trình tuyến tính đối với biến i i(t) dựa

toán. Vì vậy để đơn giản ta coi quan hệ của (i) là tuyến tính, nghĩa là ta có
(18.5)
quan hệ: = L.i

vào i() (t).

Tơng tự thay (18.5) vào (18.2) ta đợc:

u = R.i +

d
u = R.i + L.i'
dt

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

(18.6)

131

Ví dụ 18.1: Hãy tính dòng điện quá độ khi đóng một cuộn dây lõi sắt vào

điện áp một chiều U = 24v, biết R = 50 và đặc tính (i) = 2i - 0,5i3
Giải:
Phơng trình vi phân tuyến tính mô tả mạch:

132

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


U = Ri +

d
dt

Coi i() là tuyến tính: L =

U=



hay i =
i
L

d R
+
dt L

R

i

(1)

18.3 PHƯƠNG PHáP NHIễU LOạN

18.3.1 Đặt vấn đề
Nh ta đã biết phơng trình viết cho mạch phi tuyến còn có thể biểu
diễn dới dạng:

L(i)

U

(2)

f (x, x', . . ., t) = .(x, x', . . ., t)
Ta nhận thấy:
+ Vế trái là các số hạng tuyến tính (kể cả nguồn)
+ Vế phải là các số hạng phi tuyến

Hình 18.4

Xác định hệ số L = max/ Imax với Imax= U/ R = 24/ 50 = 0,48 (A), suy
ra:

+ là hằng số tùy thuộc vào bài toán

max = 2.0,48 - 0,5.(0,48)3 = 0,904 (Wb)
Vậy L = 0,904/ 0,48 = 1,9 (H)
Thay số vào (2):

Vấn đề đặt ra là phải tìm nghiệm x của phơng trình trên với giá trị
nào đó.
Ví dụ: Xét sơ đồ mạch nh hình 18.4

d 50
+
= 24 '+ 26,3 = 24
dt 1,9
Chuyển sang toán tử Laplace: p(p) + 26,3 =

Biết đặc tuyến V-A của L(i) có dạng (i) = a.i - b.i3

24
p

Ta có phơng trình K2: Ri +

ai' + Ri u = 3bi 2 .i'
ai' + Ri u = i 2 .i' ( = 3b)

24
A
B
(p) =
= +
p(p + 26,3) p p + 26,3

Tra bảng ảnh - gốc ta đợc: (t) = 0,904(1 e 26,3t )
Để tìm i(t) ta thực hiện vẽ trên đồ thị:

, i

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

(t)

+ Xét nếu 0 thì ta có các hàm hiệu chỉnh i1(t), i2(t), i3(t) . . . tơng

0,904

i

0

Hình 18.4

Giải phơng trình (18.8) ta tìm đợc i0(t).

ứng là các , 2, 3, ... và ta có i(t) = i0 (t) + i1 (t) +

0,48

0

L(i)

U

ai' + Ri u = 0 (18.8)

(Wb)

R

i

+ Xét nếu = 0 suy ra ta có phơng trình
vi phân suy biến:

0,904 0,904
(p) =

p
p + 26,3



d
= u Ri + (a 3bi 2 ).i' = u
dt

i(t)
t1

2
i 2 (t) + ... (18.9)
2!

Khi xác định các i0(t) ữ ik(t) ta đợc kết quả của bài toán.
18.3.2 Các bớc giải bài toán
- Lập phơng trình vi phân mô tả mạch phi tuyến và chuyển về dạng 18.7.
- Giải phơng trình tuyến tính suy biến dạng 18.8 để tìm ra nghiệm i0(t).

t

133

134

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


2
1
1

+
(s + )I1 (s) = I30

s- s-2 s+3

- Đặt nghiệm i(t) dới dạng (18.9) thay vào (18.7) và cân bằng hệ số
của các số hạng có luỹ thừa cùng bậc đối với .
- Giải hệ phơng trình cân bằng hệ số của các phơng trình cùng bặc

1

2
1
I1 (s) = I30

+

2
(s-2)(s + ) (s+3)(s + )
(s-)

với để tìm các hàm hiệu chỉnh.
Chú ý: Số hàm hiệu chỉnh càng nhiều thì kết quả càng chính xác nhng
khối lợng tính toán tăng, do đó thực tế chỉ cần chọn một vài hàm hiệu
chỉnh là đủ.
Ví dụ 18.2: Tính dòng điện quá độ khi đóng
R
i
mạch cuộn dây lõi sắt có: R = 50 ;

= ai bi3 = 2i 3i3 , U = 25 v với một hàm
hiệu chỉnh.
Giải: Phơng trình vi phân của mạch có dạng

ai'+ Ri U = 3bi 2i' = i 2i'

L(i)

u

(1)

Hình 18.5

Phơng trình tuyến tính suy biến có dạng:

Suy ra: i1 (t) =

I30
3 t

2t
+ e3t
t e + 2e

2
2


i(t) = 0.5(1 e25t ) + 0,0625 ( 25t 1,5 ) e25t + 2e50t + e75t A
18.4 PHƯƠNG PHáP CáC BƯớC SAI PHÂN LIÊN TIếP

18.4.1 Đặt vấn đề
Là phơng pháp gần đúng tính bằng số, có tính chất tổng quát phổ
biến, để giải các phơng trình hoặc hệ phơng trình vi phân tuyến tính hoặc
phi tuyến.

ai'0 + Ri0 U = 0 (2)

18.4.2 Cách sai phân hoá hệ phơng trình vi phân
Sai phân hóa 1 phơng trình vi phân là thay gần đúng các vi phân d

Với điều kiện đầu i0(0) = 0 nghiệm (2) có dạng

bằng số gia . Muốn vậy ta chia trục thời gian thành các khoảng sai phân

i0 (t) =

R
t
U
(1 e a ) =

bằng nhau t = h, và gọi h là bớc sai phân:

I0 (1 et ) = 0,5(1 e25t )

R
Đặt i(t) = i 0 (t) + i1 (t) thay vào (1):

Ta có:

(ai'0 + Ri0 U) + (ai1' + Ri1) = i02i'0 + 2 (i02i1' + 2i0i'0i1 + i'0i12 ) + 3 (2i0i1' i1 + i12i1' )

d 2 x x
1
1
= ( ) = 2 (x k +1 x k ) = 2 (x k + 2 2x k +1 + x k ) (18.10b)
2
t t
dt
h
h

Cân bằng hệ số của các luỹ thừa cùng bặc với ta có:
Phơng trình ai '0 + Ri 0 U = 0 cho ta xác định i0(t).

d3x 1
= (x k + 3 3x k + 2 + 3x k +1 x k )
dt 3 h 3

Phơng trình ai1' + Ri1 = i02i'0 (2) cho ta xác định i1(t).
Giải hệ (2) theo toán tử Laplace (chú ý R/a = ).

i1' + i1 = I 02 (1 e t ) 2 I0 e t = I02 (e t 2e 2t + e 3t )
Chuyển sang dạng toán tử Laplace:
135

(18.10a)

Trong đó: xk là giá trị của ẩn x ở thời điểm tk
xk+1 là giá trị của ẩn x tại thời điểm tk+1.

a(i '0 + i1' ) + R(i 0 + i1 ) U = (i 0 + i1 ) 2 (i '0 + i1' )

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

dx x x t (k + 1) x t (k) x k +1 x k
=
=
=
dt t
h
h

(18.10c)

.....................................................................
Thay các biểu thức (18.10abc), vào phơng trình vi phân mô tả mạch,
ta sẽ đợc hệ phơng trình sai phân gần đúng liên hệ ẩn x ở các bớc. Từ
phơng trình sai phân biết xk ta tính đợc xk+1 và các bớc tiếp theo.
136

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


18.4.3 Các bớc giải
- Lập phơng trình vi phân theo các luật Kirhof.
- Sai phân hoá phơng trình bằng bớc sai phân h nào đó.
- Từ sơ kiện tính dần từng bớc nghiệm gần đúng theo phơng trình
sai phân.
R
i
Ví dụ 18.3: Hãy tính dòng điện quá độ khi
đóng điện cho cuộn dây lõi thép hình 18.6,
L(i)
u
đặc tuyến của L(i): (i) = ai bi3

Nếu = 0 ta có phơng trình dao động tuyến tính (dao động không tắt).
Nếu 0 ta có phơng trình dao động phi tuyến.
Vậy để cho nghiệm của phơng trình (18.11) có tính dao động thì số
hạng phi tuyến nhỏ f (x, x)
 phải biến thiên phù hợp, khi biên độ dao động
giảm thì hàm f (x, x)
 phải âm và nhỏ để biên độ tăng lớn thêm và ngợc
lại. Nghĩa là nghiệm x(t) dao động không tắt thì hàm f (x, x)
 cũng dao
động nhng ngợc pha với x(t).
Ví dụ: Xét phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng

Giải:


x + kx + 02 x = 0

Hình 18.6
d
Phơng trình vi phân mô tả mạch: U = Ri +
dt
i i
Sai phân hoá thành: U = Ri k + (a 3bi3 ) k +1 k
h
h(U Ri k ) ; chọn h = 0,01 s
Suy ra: i k +1 = i k +
a 3bi 2k
Xét: t0 = 0 i0 = 0 i1 =

Ta thấy hệ số k của x quyết định rất nhiều tính chất nghiệm của
phơng trình: Khi hệ số k nhỏ và dơng thì nghiệm x(t) xẽ dao động tắt
dần, khi hệ số k nhỏ và âm thì nghiệm x(t) xẽ dao động tăng dần và khi hệ
số k = 0 thì nghiệm x(t) xẽ dao động không tắt.
Vậy khi k const thì nó phải biên thiên phù hợp để biên độ x(t)
không đổi.
Thực tế phơng trình Van đer Pol thờng có dạng:

0,01U
a


x + 02 x (1 x 2 )x = 0

0,01U
h(U R.
)
0,01U
a
Tơng tự: t1 = 0,01 i 2 =
+
2
a
0,01U
a 3b

a

tăng lên, khi x(t) tăng thì hệ số (1 x 2 ) phải dơng để biên độ x(t) giảm
xuống.

Từ các i0 ữ in ta vẽ đợc đờng cong i(t).
18.5 PHƯƠNG PHáP BIÊN Độ - PHA BIếN THIÊN CHậM

18.5.1 Phơng trình VanderPol của mạch tự dao động phi tuyến
Mạch tự dao động phi tuyến là mạch dao động không có nguồn kích
thích bên ngoài, phơng trình viết cho mạch dao động là phơng trình
VanderPol có dạng:

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

(18.13)

Khi biên độ x(t) giảm thì hệ số (1 x 2 ) phải âm để biên độ x(t)

Cứ tiếp tục nh vậy, ta tìm đợc các i3, i4, . . ., in


 =0
x + 02 x f (x, x)

(18.12)

18.5.2 Cách giải phơng trình VanderPol.
Có thể giải phơng trình Van đer Pol bằng các phơng pháp đã học
song do tính dao động với biên độ và pha biến thiên nhỏ nên tốt nhất là giải
theo phơng pháp biên đô, pha biến thiên chậm. Nội dung của phơng pháp
này là tìm nghiệm của bài toán từ việc tìm nghiệm của phơng trình dao
động tuyến tính sau đó hiệu chỉnh.
Tìm nghiệm của phơng trình tuyến tính


x + 02 x = 0 x 0 (t) = A 0cos(0 t + 0 )

(18.11)
137

138

(18.14)

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


Nó phải thoả mãn các sơ kiện của bài toán.
Gọi nghiệm của phơng trình (18.11) là:

x(t) = A(t)cos[0 t + (t)] x 0 (t)

(18.15)

- Giải phơng trình tuyến tính suy biến tìm nghiệm x0(t) thoả mãn các
sơ kiện
- Đặt x(t) = Acos thay vào số hạng phi tuyến để tìm FC và FS.


- Xác định A(t),
 (t) theo biểu thức (18.20).

trong đó A(t) và (t) biên thiên theo thời gian với tốc độ chậm, nghĩa

 và d / dt =  (t) rất nhỏ nên có thể bỏ qua
là tốc độ tăng của dA / dt = A(t)
gia tốc và các luỹ thừa của nó.
Ta giả thiết rằng coi nghiệm x(t) chuyển biến dần từ nghiệm x0(t) trở
đi thì x(t) đợc viết dới dạng.
t

t


x(t) = [A 0 + A(t)dt]
cos[0 t + (0 +  (t)dt]
0

(18.16)

- Xác định nghiệm dới dạng (18.16).
Ví dụ 18.4: Giải phơng trình 
u + 25u u 3 = 0 có điều kiện đầu
 = 0 . Tìm nghiệm của phơng trình bằng phơng pháp biên
u(0) = 0, u(0)

độ và pha biến thiên chậm.
Giải: Tìm nghiệm phơng trình: 
u + 25u = 0
Phơng trình đặc trng: p 2 + 25 = 0 p = j5

0


Nh vậy nếu biết đợc A(t),
 (t) thì x(t) hoàn toàn xác định, để tìm

A(t),
 (t)

ta

đặt

x(t) = Acos

trong

đó

A

=

A(t)

Nghiệm có dạng: u 0 (t) = A 0cos(5t+0 ) , u 0 (t) = 5A 0sin(5t+0 )

0 = 5A 0 sin 0 0 = 0
30 = A 0cos0 A 0 = 30



Thay sơ kiện:

= (t) = 0 t + (t)

Vậy u 0 (t) = 30cos5t

Lần lợt đạo hàm x(t) và bỏ qua các số hạng nhỏ:


x = Acos
-A(0 +)sin 0Asin

Đặt u(t) = Acos thay vào số hạng phi tuyến

(18.17)

 -A(
 + )sin  A sin A(
 + )sin ( + )2cos

x = Acos
0
0
0
 (2 + 2  )Acos
20 Asin
0
0

u 3 = A3cos3 =

(18.18)

 = F = 0,  =
Suy ra: A
S

Thay x, x,
 
x vào biểu thức (18.11) ta đợc:

20

 sin 2 A cos = (1 A 2cos 2 )( A sin )
20 A
0
0
Phân tích vế phải thành chuỗi Furiê gồm sóng điều hoà bặc nhất cộng
với các sóng điều hoà bậc cao.


20 Asin
20 A cos = (Fccos +Fs sin + ĐHBC ) (18.19)
Dùng phơng pháp cân bằng điều hoà tìm đợc:

 = F ;  = F
A
S
C
20
20A

(18.20)

18.5.3 Các bớc thực hiện
- Lập phơng trình vi phân mô tả mạch và đa về dạng (18.13).
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

139

3 3
1
3
A cos + A 3cos3 FS = 0, FC = A3
4
4
4


3A 2
FC =
20 A
40

Vậy ta có nghiệm của phơng trình: x(t) = 30 cos[5t + ...]
18.6 PHƯƠNG PHáP MÔ PHỏNG

Phơng pháp mô phỏng là phơng pháp mô hình điện, điện từ gồm các
khối chức năng thực hiện các thuật toán, sau đó lắp ghép các khối đó theo kết
cấu của phơng trình mạch, lúc đó hình dáng của mô hình tơng tự nh hình
dáng của mạch điện và đầu ra của mô hình là nghiệm của bài toán.
Hiện nay các mô hình đợc mô phỏng trên máy tính qua các phần
mềm ứng dụng nh Matlab, Labview...
140

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


Các khối cơ bản của Matlab Simukink
x1
+
y = x1-x2-x3
x2
x3

X

y



y = x1x2

x

R = 50; (i) = 0,5i3 vào điện áp 1 chiều
U = 40v bằng phơng pháp tuyến tính hoá
đối với lợng nhỏ phi tuyến và bằng
phơng pháp mô phỏng?

y =Ax

A

Khuếch đại

Phép nhân

Ví dụ 18.5: Hãy dùng phơng pháp mô phỏng để giải phơng trình Van der Pol


x + 02 x (1 x 2 )x = 0 
x = 02 x + x x 2 x
- Sum
+

x



x

x



i

Câu 2: Tính dòng điện qúa độ khi đóng
mạch cuộn dây lõi sắt hình 18.8, có

Phép tích phân

Phép tổng
x1
x2

y

Scop

L(i)

U

Hình 18.8
i

Câu 3: Tính dòng điện qúa độ khi đóng
mạch cuộn dây lõi sắt hình 18.9, có

R = 50; (i) = 3i - 0,5i3 vào điện áp 1
chiều U = 50v bằng phơng pháp sai phân
liên tiếp?

R

R

L(i)

U

Hình 18.9




02

B. Phần thảo luận, bài tập
Câu 1: Tính dòng điện quá độ khi đóng
mạch cuộn dây lõi sắt hình 18.7, có

R = 100; (i) = 4i-2i3 vào điện áp 1
chiều U = 30v bằng phơng pháp nhiễu
loạn với 1 hàm hiệu chỉnh.

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

i

R

L(i)

U

Hình 18.7

141

142

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


Nếu ký hiệu:

Chơng 19 MạCH Có THÔNG Số RảI

- R (/m hoặc /km) là điện trở dọc đờng dây quy về một đơn vị

A. Phần lý thuyết
19.1 KHáI NIệM Về PHƯƠNG TRìNH TRạNG THáI

MạCH Có

dài
- L (H/m hoặc H/km) là điện cảm dọc đờng dây quy về một đơn vị

THÔNG Số RảI

dài

19.1.1 Khái niệm về mạch có thông số rải

Khi tần số dòng điện đủ thấp, độ dài sóng đủ lớn đối với chiều dài
dây dẫn (cỡ 100 lần trở lên), thì dòng điện chảy nh nhau suốt từ đầu đến
cuối vật dẫn, nghĩa là dòng điện không phụ thuộc vào không gian i(t) và
mạch điện đợc mô tả gồm một số phần tử hữu hạn R, L, C, gọi là mạch có
thông số tập trung.

- C (F/m hoặc F/km) là điện dung ngang đờng dây quy về một đơn
vị dài
- G (S/m hoặc S/km) là điện dẫn ngang đờng dây quy về một đơn vị
dài.
Thì mỗi mắt xích của sơ đồ hình 19.1 sẽ có các thông số sau:
dR = Rdx, dL = Ldx, dC = Cdx, dG = Gdx

Khi tần số dòng điện đủ lớn, độ dài của sóng đủ nhỏ so với chiều dài
vật dẫn (bớc sóng 10 lần chiều dài dây dẫn) thì dòng điện ở mọi toạ độ
x trên đờng dây khác nhau đáng kể, nghĩa là dòng điện phụ thuộc vào
không gian và thời gian i(x, t), việc mô tả mạch bằng các thông số tập trung
không còn phù hợp nữa mà đợc mô tả bằng các chuỗi vi phân dx của
đờng dây, mạch điện nh vậy đợc gọi là mạch có thông số rải hay gọi là
đờng dây dài.
19.1.2 Sơ đồ mạch có thông số rải

Sơ đồ mạch có thông số rải là sơ đồ mô tả một đoạn dây (đờng dây)
có nguồn kích thích tần số cao, gồm vô số mắt xích xâu chuỗi nhau, tại mỗi
vi phân dx của đờng dây có các vi phân điện trở dR, vi phân điện cảm dL
dọc theo đờng dây và các vi phân điện dung dC, điện dẫn dG bắc ngang
giữa hai dây (hình 19.1).
dR dL
A i+dxi
i
ig
V1

Nếu R, L, C, G không đổi trên toàn chiều dài đờng dây thì đợc gọi
là đờng dây dài đều.
19.1.3 Phơng trình trạng thái của đờng dây dài đều

Gọi u(x,t), i(x,t) là điện áp và dòng điện của đờng dây tại toạ độ x,
thì ở toạ độ độ x + dx sẽ có điện áp là u + dx u = u +

i + d xi = i +

i
dx
x
u = Ridx + L

i
u
dx + u + dx
t
x

-

u
i
= Ri + L
x
t

Viết Kirhof 1 tại nút A.

ii

ic
dC

i
(u + d x u)
dx = ig + ic = Gdx(u + d x u) + Cdx
x
t

Bỏ qua các vi phân vô cùng bé Gdxd x và Cdx



dx
Hình 19.1

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

u
dx , dòng điện là
x

Viết Kirhof 2 cho mạch vòng V1 ta có:

u+dxu

u
x

dG

(19.1)

(d x u )
ta đợc:
t

i
u
= Gu + C
x
t

Vậy hệ phơng trình mô tả đờng dây dài đều có dạng.
143

144

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


i
u
x = Ri + L t

i = Gu + C u
t
x

i
u
x = Ri + L t

i = Gu + C u
x
t

(19.2)

Phơng trình 19.2 cho thấy một mặt giống phơng trình vi phân
thờng với biến thời gian, mặt khác phơng trình còn có đạo hàm riêng theo
không gian nên nghiệm của phơng trình phụ thuộc vào điều kiện đầu và
phụ thuộc vào trạng thái ở hai đầu đờng dây, vì vậy bài toán đờng dây dài
là bài toán bờ có sơ kiện. Riêng khi xét ở trạng thái xác lập thì bài toán chỉ
phụ thuộc vào điều kiện bờ.

Thay các biểu thức 19.4 và 19.5 ta đợc:


dU(x)




dx = RI(x) + jLI(x) = (R + jL)I(x) = ZI(x)

- dI(x) = GU(x)




+ jCU(x)
= (G + jC)U(x)
= YU(x)
dx

Đạo hàm hai vế (19.6) và thay giá trị của các đạo hàm bậc nhất.

19.2 PHƯƠNG TRìNH ĐƯờNG DÂY DI ĐềU ở CHế Độ XáC LậP

d 2 U(x)



= ZYU(x)
= 2 U(x)

2
dx
2
d I(x)

= ZYI(x)
= 2 I(x)

2
dx

ĐIềU HO

19.2.1 Biểu diễn dòng và áp điều hòa của đờng dây dài dới dạng
phức

Đờng dây dài đều làm việc với nguồn điều hoà ở chế độ xác lập thì
dòng và áp trên đờng dây có dạng.

u(x, t) = 2 U(x)sin[t + u (x)]

i(x, t) = 2 I(x)sin[(t + i (x)]

(19.3)

Cặp thông số {trị hiệu dụng, góc pha đầu} đặc trng cho sự phân bố
áp và dòng dọc theo đờng dây, chuyển sang dạng phức ta có.

 ( x ) = U ( x )e j u ( x )
u ( x, t ) U

j ( x )

i( x , t ) I( x ) = I( x )e i

(19.4)

Trong đó:
Z = R +jL, Y = G +jC là tổng trở dọc và tổng dẫn ngang theo một
đơn vị dài của đờng dây và không phải là 2 đại lợng nghịch đảo nhau
(Z 1/ Y).

2 = ZY = ( x ) + j( x ) , gọi là hệ số truyền sóng của đờng dây có
19.3 NGHIệM CủA PHƯƠNG TRìNH ĐƯờNG DÂY DI ĐềU DƯớI
DạNG SóNG

19.3.1 Sự lan truyền sóng

Xét hàm điều hoà có 2 đối số không gian và thời gian ngợc dấu

(19.5)
nhau.

Chú ý: Các phép đạo hàm theo x không biểu diễn đợc theo dạng (19.5)

Ví dụ: a = sin(x - t)

19.2.2 Phơng trình đờng đây dài đều ở chế độ xác lập điều hoà

Tại t = 0: Phân bố không gian có dạng a = sinx Đờng 1 hình

Từ hệ phơng trình vi phân của đờng dây dài đều.
Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

(19.7)

đơn vị bằng 1/m hoặc 1/km.

Các phép đạo hàm theo t có dạng phức.

u ( x , t )
 ( x ); i( x , t ) jI( x )
j U
t
t

(19.6)

19.2a
145

146

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


Tại t = t: Phân bố không gian có dạng a = sin(x - t) Đờng 2
hình 19.2a

 ,A
 và B
 ,B

Trong đó A
1
2
1 2 có mối liên hệ với nhau, để tìm mối liên
hệ đó ta kết hợp 19.10 với 19.6.

Ta thấy đờng cong 2 lặp lại đờng cong 1 nhng dịch theo chiều x




 e x A
 e x = A1 e x A 2 e x
I( x ) = 1 dU x = A
1
2
Z dx
Z
Z
Z/
Z/

một góc = t , tơng ứng với một đoạn x:

x = = t x = t /

=

Vậy suy ra hàm a = sin(x - t) mô tả một sóng hình sin dịch chuyển
theo chiều x với vận tốc.

x
=
v=
t
a

1

ZC

v



 = A e j1 , A
 = A e j2 ta có:
Giả thiết A
1
1
2
2
Nghiệm áp và dòng dạng phức:

v
x

x

 ( x ) = A1e x + j(1 x ) + A 2ex + j( 2 + x )
U

x
a. Hàm a = sin(x-t)


I(x) = A1 e x + j(1 x) A 2 ex + j( 2 +x)

b. Hàm a = sin(x+t)
19.3.2 Nghiệm của phơng trình đờng dây dài đều
Hình 19.2

zc

Phơng trình áp và dòng điện phức của đờng dây dài đều có dạng
giống nhau.

 (x )
d2U
dx

2

 ( x ) = 0;
U
2

d 2 I( x )
dx

ZC

trở sóng

a

2

(19.11)



 = A1 ; B
 = A 2 , với ZC = Z / = z ce j đợc gọi là tổng
Suy ra: B
1
2

(19.8)

Tơng tự hàm a = sin(x + t) là sóng hình sin dịch chuyển ngợc chiều x

 x A



A
A
A
1
e 2 e x = 1 ex j 2 e x j
ZC
ZC
zc
zc

2

2 I( x ) = 0

(19.9)

zc

Nghiệm áp và dòng ở dạng tức thời:

u(x, t) = 2 A1e -x sin(t + 1 - x) + 2 A 2 e x sin(t + 2 + x)
i(x, t) = 2

A1

zc

ex sin(t + 1 x) 2

A2

zc

ex sin(t + 2 + x)

Nên nghiệm của chúng cũng có dạng giống nhau và đợc tính nh

Nhận xét:

* Tìm nghiệm của phơng trình đặc trng.

Từ biểu thức u(x,t) và i(x,t) ta thấy: Số hạng thứ nhất mô tả một sóng
lan truyền thuận theo chiều x và có biên độ tắt dần, số hạng thứ hai mô tả
một sóng truyền ngợc chiều x và có biên độ tăng dần trong khi chạy.

sau:

p 2 2 = 0 p = = ( + j)
* Nghiệm tổng quát của phơng trình 19.9 có dạng:

 e x + A
 e x ; I(x) = B

 ex + B
 e x
U(x)
=A
1
2
1
2

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

(19.10)

147

ở chế độ xác lập điều hoà điện áp dọc đờng dây bằng tổng của sóng
điện áp thuận và sóng điện áp ngợc, dòng điện chảy trên đờng dây bằng
hiệu của sóng dòng chảy thuận với sóng dòng chảy ngợc.

148

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


Ký hiệu các sóng thuận là u+(x,t), i+(x,t), các sóng ngợc là u-(x,t), i(x,t) ta có.

u ( x , t ) = u + ( x , t ) + u ( x , t )

i( x , t ) = i + ( x , t ) i ( x , t )

d. Vận tốc tuyền sóng v

(19.12)

 + (x), I+ (x) , ngợc là
Ký hiệu các phức áp và dòng thuận là U

 (x), I (x) ta có:
U

 + (x) + U
 (x)

U(x)
=U

I(x) = I + (x) I (x) = U
 + (x) / Z U
 (x) / Z
C
C

Hệ số = + j bao gồm hệ số tắt và hệ số pha đợc gọi là hệ số
truyền sóng của đờng dây.
Vận tốc truyền sóng v = / = f(, R, L, G, C), nó cho biết những tín
hiệu có tần số khác nhau thì lan truyền với vận tốc khác nhau. Riêng đối với
đờng dây dài không tiêu tán (R = G = 0) thì vận tốc truyền của các sóng là
nh nhau.
Vì:

=

(19.13)
Suy ra: v =

jL. jC = j LC = j


=


1
c
(không phụ thuộc vào )
=
LC
RR

(19.14)

(Theo lý thuyết trờng thì nghịch đảo của LC đúng bằng c/RR,

ĐƯờNG DÂY DI

trong đó: c là vận tốc ánh sáng, Rvà R là hệ số điện môi và hệ số từ thẩm
tơng đối của môi trờng quanh đờng dây).

19.4.1 Các thông số đặc trng của đờng dây dài

e. Tổng trở sóng ZC

19.4 CáC THÔNG Số ĐặC TRƯNG CHO Sự TRUYềN SóNG TRÊN

Tổng trở sóng đợc định nghĩa:

Xét một trong hai biểu thức sóng thuận hoặc sóng ngợc.
Ví dụ: Sóng điện áp thuận u + ( x , t ) = 2 A1e x sin(t + 1 x )

ZC =

a. Hệ số tắt

Hệ số đặc trng cho sự suy giảm biên độ của quá trình truyền sóng
đợc gọi là hệ số tắt. Nó nói lên qua một đơn vị dài (1m hoặc 1km) biên độ
sóng giảm eá lần.

U + (0)
U + (0)

e
ln
( nepe/m hoặc nepe/km )
=


=
U + (1)
U + (1)
b. Hệ số pha

Hệ số đặc trng cho tốc độ biến thiên góc pha của quá trình truyền
sóng gọi là hệ số pha. Nó cho biết qua một đơn vị dài góc pha của sóng
thay đổi một lợng /m hoặc / km.

 + (x) U
 (x) Z
U
Z
Z
=
= =
=
= zCe j = f (, R, L, G, C) (19.15)
I+ (x) I (x)
Y
ZY
Nó nói lên quan hệ giữa sóng áp và sóng dòng thuận hoặc ngợc

Nhận xét: Các thông số đặc trng của một sóng điều hoà cho biết, nếu một
tín hiệu gồm tổng các sóng điều hoà có tần số khác nhau truyền dọc đờng
dây có tiêu tán, thì nói chung các sóng sẽ lan truyền với vận tốc và hệ số tắt
khác nhau, gặp các tổng trở sóng khác nhau. Nên đến cuối đờng dây dạng
của sóng tổng sẽ khác với đầu đờng dây (bị méo, xem hình 19.3).
u+
u+1
v1
v1
u+
u+1
u+3
v3
x
x
v3
u+3

c. Hệ số truyền sóng

a. Dạng u+ đầu đờng dây.

b. Dạng u+ cuối đờng dây.
Hình 19.3

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2

149

150

Giáo trình Lý Thuyết Mạch 2


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×