Tải bản đầy đủ

Tai lieu toan 3 , ham nhiều biến , tích phân bội 2 , 3 , bài giảng bài tập và đề thi

Hàm số nhiều biến số
Ch-¬ng 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

 Yêu cầu cơ bản đối với người học
­ Hiểu được các khái niệm liên quan đến hàm nhiều biến: lân cận của một điểm,
miền xác định, giới hạn, sự liên tục, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo
hàm theo hướng, cực trị, max và min.
­ Đối với hàm hai hoặc ba biến:

 Biết cách tìm giới hạn.
 Xác định được sự liên tục.
 Biết tính các đạo hàm riêng và vi phân cấp cao.
 Tính được đạo hàm theo hướng bất kỳ.
 Các bước tìm cực trị (không hoặc có điều kiện).
 Các bước tìm max, min trên một miền.
1.1. Khái niệm mở đầu
1.1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số

Trong không gian Euclide n chiều Rn, cho một hệ toạ độ Đề các. Khi đó mỗi điểm
x  Rn được mô tả bởi một bộ gồm n số thực (x1, x2, ..., xn). Giả sử D là tập con nào
đó của Rn.

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi hàm số của n biến số xác định trên D, ký hiệu f: D  R, là
quy luật cho ứng mỗi x = (x1, x2, ..., xn)  D với u = f(x1, x2, ..., xn)  R.
Khi đó ta viết u = f(x), và các toạ độ x1, x2, ..., xn được gọi là các biến độc lập.
1.1.2. Tập hợp trong Rn
 Giả sử M(x1, x2, ..., xn) và N(y1, y2, ..., yn) là hai điểm trong Rn. Ta gọi khoảng
cách giữa hai điểm ấy, ký hiệu d(M, N), là giá trị biểu thức

n

 (x k  y k ) 2 .

k 1

Dễ kiểm tra rằng với bất kỳ ba điểm A, B và C trong Rn thì d(A, C)  d(A, B) +
d(B, C).


Ta gọi –lân cận của điểm M  Rn là tập U(M) = {N Rn : d(M, N) < }.
Ta gọi lân cận của điểm M, ký hiệu U(M), là mọi tập hợp chứa một U(M) nào

đó của M.


Điểm M được gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại U(M) nằm trọn trong E.
Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.


Hàm số nhiều biến số


Điểm M được gọi là điểm biên của tập E nếu mọi U(M) đều chứa điểm thuộc E



và điểm không thuộc E. Tập các điểm biên của một tập được gọi là biên của tập
đó.
Tập E được gọi là tập đóng nếu nó chứa toàn bộ biên của nó.

Ví dụ 1.1.1. Cho M0 là điểm cố định và r > 0.


Ta gọi quả cầu mở tâm M0 bán kính r là tập E = {N Rn : d(M0, N) < r}, dễ thấy
E là tập mở.
Thật vậy, M  E, lấy  = r – d(M0, M).
Khi đó, N  U(M), d(M0, N)  d(M0, M) + d(M, N) < d(M0, M) +  = r, nên
N  E.
Ta gọi là mặt cầu tâm M0 bán kính r là tập E = {N Rn : d(M0, N) = r}, E chính
là biên của E.
Ta gọi quả cầu đóng tâm M0 bán kính r là tập E = {N Rn : d(M0, N)  r}, E là
tập đóng.
 Tập hợp E được gọi là bị chặn nếu tồn tại quả cầu nào đó chứa nó.
 Tập hợp E được gọi là liên thông nếu giữa hai điểm bất kỳ của E đều tồn tại
đường nối liên tục nằm hoàn toàn trong E.
 Tập hợp E được gọi là đơn liên nếu biên của nó là liên thông, được gọi là đa liên
nếu biên của nó không liên thông.
1.1.3. Miền xác định của hàm số nhiều biến số
Miền xác định của hàm số u = f(M), ký hiệu Df, là tập các điểm M để f(M) có
nghĩa.
Ví dụ 1.1.2. Trong R2, với f(x, y) = 1  x 2  y 2 thì Df = {(x, y): x2 + y2  1}.
Trong R3, với f(x, y, z) =

x
2

2

1 x  y  z

2

thì Df = {(x, y, z): x2 + y2 + z2 < 1}.

1.1.4. Giới hạn của hàm số nhiều biến số

Sau đây, một số khái niệm và kết quả sẽ được trình bày cho n = 2 hoặc n = 3.
Nhưng chúng dễ dàng được mở rộng cho n > 1 bất kỳ.
Định nghĩa 1.1.2. Ta nói dãy điểm {Mn(xn, yn)} dần tới điểm M0(x0, y0) khi n  +, và
viết Mn  M0, nếu lim d( M n ,M 0 ) = 0.
n 

Dễ thấy lim d(M n , M 0 )  lim x n  x 0 và lim y n  y0 .
n 

n 

n 


Hàm số nhiều biến số
Giả sử f(M) = f(x, y) xác định trong một lân cận nào đó của M0, có thể trừ tại
M0.
Định nghĩa 1.1.3. Ta nói f(M) có giới hạn là L khi M  M0, và viết lim f ( M )  L
M M 0

, nếu với mọi dãy bất kỳ Mn  M0 ta đều có f(Mn)  f(M0).
Định lý 1.1.1. Hàm f(M) có giới hạn là L khi M  M0 khi và chỉ khi

 > 0,  = (, M0) > 0 sao cho |f(M) – L| <  khi d(M0, M) < .
Định nghĩa 1.1.4.
Ta nói f(M) có giới hạn là + khi M  M0, nếu với mọi dãy Mn  M0 ta đều có
f(Mn)  +. Khi đó ta viết lim f ( M )   .
M M 0

Ta nói f(M) có giới hạn là – khi M  M0, nếu với mọi dãy Mn  M0 ta đều có
f(Mn)  –. Khi đó tà viết lim f ( M )   .
M M 0

Các tính chất đại số về giới hạn của hàm một biến cũng còn đúng với hàm nhiều
biến.
Ví dụ 1.1.3. Xét f(x, y) =
|f(x, y) – 0| =

| x || y |
x 2  y2

xy
x 2  y2

khi (x, y)  (0, 0). Do

|x|
x 2  y2

 1 nên

 |y|  0 khi (x, y)  (0, 0). Vậy f(x, y)  0 khi (x, y)

 (0, 0).
Ví dụ 1.1.4. Xét f(x, y) =

xy
. Nếu cho (x, y)  (0, 0) dọc theo đường thẳng có
x  y2
2

phương trình y = kx thì f(x, y) = f(x, kx) =

k
k
, nên lim f (x, kx) 
. Nếu lấy hai
2
x 0
1 k
1 k2

giá trị k khác nhau, ta được hai giới hạn khác nhau, vì vậy không tồn tại giới hạn
của f(x, y) khi (x, y)  (0, 0).
 Một số phương pháp xác định sự tồn tại giới hạn của hàm hai biến số.
 Phép đặt t =

x
.
y

Thông qua phép đặt này, f(x, y) = f(ty, y) = g(t, y). Khi (x, y) → (0, 0), có ba
khả năng của t:
hoặc t → 0, hoặc t → , hoặc t → k (hữu hạn, khác 0).


Hàm số nhiều biến số
Nếu trong mọi trường hợp mà g(t, y) có giới hạn thì f(x, y) có giới hạn, trái lại
thì không.
Ví dụ 1.1.5. Tìm giới hạn của f (x, y) 
Đặt t =

x 2  y2
khi (x, y) → (0, 0).
x 2  y 2  xy

t2 1
x
, khi đó f(x, y) = 2
.
y
t 1 t

Với y = x thì t → 1 và f(x, y) → 2. Với y = x thì t → 0 và f(x, y) → 1.
Vậy hàm không có giới hạn khi (x, y) → (0, 0).
 Đặt f(x, y) = k. Ta xét lại Ví dụ 1.1.3,
f(x, y) =

xy
x 2  y2

k

x 2 y2
k2
2
2
2
2
2 2
2

k

x
(y

k
)

k
y

x

y2
x 2  y2
y2  k 2

Ta thấy rằng nếu k  0 thì khi y đủ nhỏ vế phải sẽ âm, mâu thuẫn.
Vậy chỉ có thể k = 0, có nghĩa là mọi trường hợp (x, y) → (0, 0) ta đều có f(x, y)
→ 0.
1.1.5. Tính liên tục của hàm số nhiều biến số
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử f(x) xác định trong lân cận của điểm M0 D. Ta nói f(x)
liên tục tại M0 nếu tồn tại giới hạn lim f ( M ) = f(M0).
M M 0

Nếu M0 thuộc biên của miền đóng D thì quá trình M  M0 được hiểu là M luôn
thuộc D.
Với M0(x0, y0), khi đó:
 số gia của đối: x = x – x0, y = y – y0,
 số gia riêng theo biến x: xf = f(x0 + x, y0) – f(x0, y0 ),
 số gia riêng theo biến y: yf = f(x0, y0 + y) – f(x0, y0 ),
 số gia toàn phần: f = f(x0 + x, y0 + y) – f(x0, y0 ).
Hàm f(x, y) liên tục tại M0 nếu nó xác định tại đó và f  0 khi x  0 và y
 0.
Ta nói f(M) liên tục trong D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.
Hàm f(M) được gọi là liên tục đều trên D nếu
 > 0, () > 0 : |f(M) – f(N)| <  M D, N D thoả mãn d(M, N) < .
Các tính chất đại số về tính liên tục của hàm một biến cũng còn đúng với hàm
nhiều biến.


Hàm số nhiều biến số
 | xy |
Ví dụ 1.1.6. Xét f(x, y) =  x 2  y 2
 0


(x, y)  (0, 0)

( > 0).

(x, y)  (0, 0)

Vì tử số và mẫu số là các hàm liên tục tại (x, y)  (0, 0), nên f(x, y) liên tục tại
đó.
1
2

Ta xét riêng tại điểm (0, 0). Do |xy|  (x 2  y 2 ) | f (x, y) |

1 2
(x  y 2 )1 .

2

Nếu  > 1 thì f(x, y)  0 = f(0, 0) khi (x, y)  0, vậy liên tục tại (0, 0).
Với   1, |f(x, x)| = |

x 2
1
|| 2(1 ) |  + khi x  0, vậy không liên tục tại (0,
2
2x
2x

0).
1.2. Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số
1.2.1. Đạo hàm riêng

Cho u = f(x, y) xác định trong miền D và M0(x0, y0) D. Nếu cố định y = y0 mà
hàm một biến của x là f(x, y0) khả vi tại x = x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm
riêng của f đối với x tại M0 và được ký hiệu bởi một trong các ký hiệu sau:
f x '(x 0 , y0 ) ,

 f
f
u
f
(x 0 , y0 ) ,
(x 0 , y0 ) , tức là
(x 0 , y0 ) = lim x .
x 0 x
x
x
x

Tương tự, đạo hàm riêng của f đối với x tại M0 và được ký hiệu là
f y '(x 0 , y0 ) hay

f
u
(x 0 , y0 ) hoặc
(x , y ) .
y
y 0 0

Các đạo hàm riêng của hàm n biến (n  3) cũng được định nghĩa tương tự.
Chú ý:

f
là ký hiệu, còn riêng f và x không có nghĩa.
x

Ví dụ 1.2.1. f(x, y) = xy ( x > 0),

f
f
 x y ln x .
 yx y 1 ,
y
x

y
z

Ví dụ 1.2.2. f(x, y, z) = x 3arctg (z  0).
f
y f
 3x 2arctg ,
 x3
x
z y
1.2.2. Vi phân toàn phần

1 1
x 3z
f
1
y
x3y
3


x
(

)


,
.
y 2 z y 2  z 2 z
y2 z2
y2  z2
1 2
1 2
z
z


Hàm số nhiều biến số
Ta nói f(x, y) khả vi tại (x0, y0) nếu có thể biểu diễn f = Ax + By + x +
y, trong đó A và B là những hằng số chỉ phụ thuộc x0 và y0, còn  và  dần tới 0
khi cả x và y dần tới 0.
Khi đó ký hiệu df = Ax + By, và gọi là vi phân toàn phần của f tại (x0, y0).
Hàm f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc
D.
Rõ ràng, nếu f khả vi tại (x0, y0) thì nó liên tục tại (x0, y0).
Lưu ý rằng, sự tồn tại của các đạo hàm riêng của f chưa đủ kết luận f khả vi.
 xy
Xét ví dụ, f (x, y)   x 2  y 2
 0


(x, y)  (0, 0)

.

(x, y)  (0, 0)

f (h, 0)  f (0, 0)
f (h, 0)
 lim
 0. Tương tự ta có fy'(0, 0) = 0.
h 0
h 0
h
h

Khi đó fx'(0, 0)  lim

Nhưng theo Ví dụ 1.1.4, hàm này không liên tục tại (0, 0).
Định lý 1.2.1. Nếu các đạo hàm riêng của f(x, y) liên tục tại (x0, y0) thì f(x, y) khả vi
tại (x0, y0) và
df = fx'(x0, y0)x + fy'(x0, y0)y.
Như vậy, vi phân toàn phần chỉ khác số gia toàn phần một lượng x + y, là
vô cùng bé bậc cao hơn x 2  y 2 , nên khi x và y đủ nhỏ thì f  df, tức là
f(x0 + x, y0 +y)  f(x0, y0) + fx'(x0, y0)x + fy'(x0, y0)y.
Ví dụ 1.2.3. Tính gần đúng arctg

1.02
.
0.95

y
x

Xét f (x, y)  arctg . Ta cần tính f(x0 + x, y0 + y) với x0 = 1, y0 = 1, x = – 0.05,
y = 0.02.
Ta có fx' = –

y
x
1
1
, fy' = 2 2 , nên fx'(x0, y0) =  , fy'(x0, y0) = .
2
x y
x y
2
2
2

1
2

Vậy f(1 – 0.05, 1 + 0.02) = arctg(1) + (  )(–0.05) +

1

(0.02) = + 0.035  0.785 +
2
4

0.035 = 0.82.
1.2.3. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho : R2  D  (x, y)  (u(x, y), v(x, y)) R2,
R.

f: R  (u, v)  f(u, v) 


Hàm số nhiều biến số
Khi đó fo: D  (x, y)  f((x, y)) = f(u(x, y),v(x, y)) được gọi là hàm hợp của f
với .
Định lý 1.2.2. Nếu f có các đạo hàm riêng
có các đạo hàm riêng

f f
,
liên tục trong D và các hàm u, v
u v

u u v v
f f
, , ,
,
trong D, thì tồn tại các đạo hàm riêng
x y x y
x y

trong D và
 f
 x 
 f
 
 y

 u
 x

 v
 x


f
u
f
u

u f

x v
u f

y v

v
 f
x
, hay viết dưới dạng ma trận 
v
 x
y

f 
 f
 = 
y 
 u

f 

v 

u 
y 
,
v 
y 

Ma trận cuối bên phải được gọi là ma trận Jacobi hay Jacobian của u, v đối với
x, y.
Định thức của ma trận đó, ký hiệu

D(u, v)
, được gọi là định thức Jacobi của u, v
D(x, y)

đối với x, y.
Ví dụ 1.2.4. Cho f = eulnv, với u = xy, v = x2 + y2. Khi đó
f
f
1 u
v
u
v
 e u ln v,
 eu ,
 y,
 2x,
 x,
 2y . Do đó
u
v
v x
x
y
y

f
2xe xy
2x 
 1
xy 
2
2
 e u ln v y   e u  2x  ye xy ln(x 2  y 2 )  2

e
y
ln(x

y
)

,

2
2 
x
x  y2
x

y
 v








f
2ye xy
2y 
 1
 e u ln v x   e u  2y  xe xy ln(x 2  y 2 )  2
 e xy  x ln(x 2  y 2 )  2
.
2
y
x y
x  y2 
 v






Chú thích 1.
Nếu z = f(x, y) với y = y(x) thì z là hàm của một biến số x, tức z = f(x, y(x)).
Khi đó
f '(x) 

dz f dx f dy f f



 y '(x) .
dx x dx y dx x y

Nếu z = f(x, y) với x = x(t), y = y(t) thì z là hàm của t. Khi đó


Hàm số nhiều biến số
f '(t) 

dz f dx f dy f
f



x '(t)  y '(t) .
dt x dt y dt x
y

Chú thích 2. Nếu

u u v v
f f
, , ,
liên tục thì theo Định lý 1.2.2 ta suy ra , cũng
x y x y
x y

liên tục, nên ta xem z như hàm số khả vi theo x, y và công thức tính vi phân là
dz 

f
f
dx  dy . Do đó,
x
y

 f u f v 
 f u f v 
dz  


 dy =
 dx  
 u x v x 
 u y v y 

=

f  u
u  f  v
v 
f
f
du  dv .
 dx  dy    dx  dy  =
u  x
y  v  x
y 
u
v

Vậy vi phân toàn phần của hàm nhiều biến cũng có dạng bất biến.
1.2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn
a) Khái niệm hàm ẩn (implicit function)
Cho phương trình F(x, y) = 0, trong đó F: R2  U  R. Nếu với mỗi giá trị x =
x0 I, có một (hay nhiều) y0 sao cho F(x0, y0) = 0 thì ta nói phương trình F(x, y) = 0
xác định một (hay nhiều) hàm ẩn y theo x I. Nói khác đi, xI, (x, f(x)) U và
F(x, f(x)) = 0.
Ví dụ 1.2.5. Từ phương trình

x 2 y2
b 2
 2  1 , ta có y = 
a  x 2 , như vậy ta tìm được
2
a
b
a

dạng tường minh của hai hàm ẩn xác định trong [–a, a]. Tuy nhiên, không phải lúc
nào điều đó cũng xảy ra. Ví dụ, từ xy + yx = a (x > 0, y > 0, a > 0) ta không thể tìm
được dạng tường minh của hàm ẩn, mặc dù nó có thể tồn tại.
Định lý 1.2.3. Cho phương trình F(x, y) = 0,

(1.2.1)

trong đó F có các đạo hàm riêng liên tục trong một tập mở U  R2. Nếu tại (x0, y0) 
U, F(x0, y0) = 0 và Fy'(x0, y0)  0, thì trong một lân cận nào đó của x0, phương trình
(1.2.1) xác định duy nhất một hàm ẩn y = f(x), liên tục cùng với đạo hàm cấp một
(1.2.2)
trong lân cận nói trên, và f(x0) = y0.
Định lý 1.2.4. Cho phương trình F(x, y, z) = 0,
trong đó F có các đạo hàm riêng liên tục trong một tập mở U  R3.
Nếu tại (x0, y0, z0)  U, F(x0, y0, z0) = 0 và Fz'(x0, y0, z0)  0, thì trong một lân cận nào
đó của (x0, y0) phương trình (1.2.2) xác định duy nhất một hàm ẩn z = f(x, y), liên
tục cùng với các đạo hàm riêng trong lân cận nói trên, và z0 = f(x0, y0).


Hàm số nhiều biến số
 F( x, y,z,u,v )  0
G( x, y,z,u,v )  0

(1.2.3)

Định lý 1.2.5. Cho hệ hai phương trình 

trong đó F và G là hai hàm số có các đạo hàm riêng liên tục trong một tập mở U 
R5.
Nếu tại (x0, y0, z0, u0, v0)  U, F(x0, y0, z0, u0, v0), G(x0, y0, z0, u0, v0) và định thức
Jacobi
D( F ,G ) Fu ' Fv '

D( u,v ) Gu ' Gv '

0

thì trong một lân cận nào đó của (x0, y0, z0) phương trình (1.2.3) xác định duy
nhất một cặp hàm ẩn u = f(x, y, z), v = g(x, y, z) liên tục cùng với các đạo hàm
riêng trong lân cận nói trên, và u0 = f(x0, y0, z0), v0 = g(x0, y0, z0).
b) Đạo hàm hàm ẩn
 Giả sử các điều kiện trong Định lý 1.2.3 được thoả mãn. Khi đó phương trình
(1.2.1) xác định duy nhất một hàm ẩn y = f(x), liên tục cùng với các đạo hàm
trong một khoảng nào đó, và trong khoảng đó ta có F(x, f(x) = 0. Lấy đạo hàm
hai vế theo x, ta được
Fx ' Fy '

F '
dy
dy
 0 . Vì F'y  0, ta có
 x .
dx
dx
Fy '

Ví dụ 1.2.6. F(x, y) =

x 2 y2

1
a 2 b2

= 0, Fx ' 

2x
2y
, Fy '  2 . Với y  0 thì Fy'  0, khi đó
2
a
b

phương trình trên xác định một hàm ẩn y = f(x), và y '  
Dễ thấy rằng các hàm ẩn y1 =

b2 x
.
a2 y

b 2
b 2
a  x 2 và y2 = 
a  x 2 tương ứng với y > 0
a
a

và y < 0.
Tại (x, y) = (a, 0) hoặc (x, y) = (–a,0), ta có F'y = 0, không xác định duy nhất hàm
ẩn.
 Giả sử các điều kiện trong Định lý 1.2.4 được thoả mãn. Khi đó phương trình
(1.2.2) xác định duy nhất một hàm ẩn z = f(x, y), liên tục cùng với các đạo hàm
riêng trong một miền nào đó, và trong miền đó ta có F(x, y, f(x, y)) = 0. Lấy đạo
hàm lần lượt theo x và y, ta được


Hàm số nhiều biến số
Fx' + Fz'zx' = 0, Fy' + Fz'zy' = 0. Vì Fz'  0 nên z x '  

Fx '
Fz '

, zy '  

Fy '
Fz '

.

Ví dụ 1.2.7. F(x, y, z) = ez + xy + x2 + z3 – 1 = 0. Ta có Fx' = y + 2x, Fy' = x, Fz' = ez
+3z2.
Vì Fz'  0 z, nên phương trình trên xác định một hàm ẩn z = f(x, y) liên tục
cùng với các đạo hàm riêng z x '  

2x  y
x
.
, zy '   z
z
2
e  3x
e  3z 2

1.2.5. Đạo hàm và vi phân cấp cao

a) Đạo hàm riêng cấp cao
Cho hàm z = f(x, y) và các đạo hàm riêng (partial derivative) cấp một fx', fy'. Ta
gọi đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một (nếu tồn tại) là đạo hàm riêng
cấp hai, và ký hiệu như sau:
  f   2f
 f xx ",
 
x  x  x 2
  f   2f
 f xy ",
 
y  x  yx

  f   2f
 f yy "
 
y  y  y 2
  f   2f
f "
 
x  y  xy yx

(các đạo hàm vuông)
(các đạo hàm chữ nhật)

Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai được gọi là các đạo hàm riêng
cấp ba, vv...
Ví dụ 1.2.8. z = x2y3 + x4. Khi đó
zx'
=
2xy3
+
4x3,
zy'
=
3x2y2,
z 2 "  2y3  12x 2 , z yx "  6xy 2 , z xy "  6xy 2 , z 2 "  6x 2 y
x

y

Định lý 1.2.6 (Schwarz). Nếu trong lân cận nào đó của điểm M0(x0, y0), hàm z =
f(x, y) có các đạo hàm riêng fxy", fyx" và các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì
fxy"(x0, y0) = fyx"(x0, y0).
b) Vi phân cấp cao
Xét hàm z = f(x, y). Vi phân toàn phần của nó là dz = fx'dx + fy'dy nếu tồn tại thì
cũng là những hàm của x, y. Ta gọi vi phân toàn phần của dz (nếu tồn tại), được gọi
là vi phân toàn phần cấp hai của z, ký hiệu là d2z, tức là d2z = d(dz) = d(fx'dx +
fy'dy).
Vi phân của vi phân cấp hai là vi phân cấp ba, vv...
Giả sử x và y là những biến độc lập, khi ấy dx = x, dy = y, đó là những hằng
số không phụ thuộc x, y. Giả sử d2z tồn tại, ta có


Hàm số nhiều biến số
d2z = d(dz) =



(fx'dx + fy'dy)dx + (f 'xdx + fy'dy)dy =
y
x

= f xx"dx 2  (f xy " f yx ")dxdy + f yy"dy 2 .
Giả thiết rằng fxy" và fyx" liên tục, khi đó chúng bằng nhau, do đó
d 2 z = f xx"dx 2  2f xy "dxdy + f yy"dy 2 .
Vì vậy người ta thường dùng ký hiệu tượng trưng
2

n

 

 



d z   dx  dy  f , d n z   dx  dy  f .
y 
y 
 x
 x
2

Nếu x, y không phải là biến độc lập, mà phụ thuộc s và t. Khi đó dx, dy không
phải là hằng số nữa, mà phụ thuộc vào s và t. Do đó
d2z = d(dz) = d(fx'dx + fy'dy) = d(fx')dx + fx'd(dx) + d(fy')dy + fy'd(dy) =
= (fxx"dx + fyx")dx + fx'd(dx) + (fxy"dx + fyy"dy)dy + fy'd(dy) =
= fxx"dx2 + 2fyx"dxdy + fyy"dy2 + fx'd2x + fy'd2y.
Vậy vi phân cấp cao của hàm nhiều biến cũng không có tính bất biến.
1.2.6. Hàm thuần nhất
Giả sử D  Rn có tính chất:  (x1, x2, ..., xn)  D  (tx1, tx2, ..., txn)  D t >
0.
Hàm f(x1, x2, ..., xn) được gọi là thuần nhất bậc k nếu
f(tx1, tx2, ..., txn) = tkf(x1, x2, ..., xn) t > 0.
Ví dụ 1.2.9. x 2  y 2 (bậc 1), ln

x2
x
x 3 y  x 2 z 2  xz 3
arctg
(bậc
0),
(bậc 2).
y2
y
x 2  y2  z2

Nếu f là thuần nhất bậc k thì các đạo hàm riêng cấp một là hàm thuần nhất bậc k
– 1.
n

Công thức Euler. Hàm f(x1, x2, ..., xn) là thuần nhất bậc k   x i
i 1

f
= kf.
x i

1.2.7. Đạo hàm theo hướng và gradien.

Cho u = u(x, y, z) xác định trong D  R3.
Qua điểm M0(x0, y0, z0) D, vẽ một đường thẳng định hướng có véc tơ đơn vị


là l .



Khi đó, M(x, y, z) D, đặt  = | MM 0 | = (x  x 0 )2  (y  y0 )2 +(z  z 0 )2 .


Hàm số nhiều biến số


Nếu   0 (tức M  M0 theo hướng l ) mà

u u(M)  u(M 0 )

 A (hữu hạn),





u
thì A được gọi là đạo hàm theo hướng l của u tại M0, và ký hiệu là  (M 0 ) . Giá trị
l



A biểu thị tốc độ biến thiên của u theo hướng l . Nếu l trùng với véc tơ đơn vị i

của trục Ox thì,
u(x 0  , y0 , z 0 )  u(x 0 , y0 , z 0 ) u(x 0 )
u
 (M 0 ) = lim

.
0

x
l

Như vậy, các đạo hàm riêng

u u u
, , , tương ứng, chính là các đạo hàm theo
x y z

hướng Ox, Oy, Oz của u.
Định lý 1.2.7. Nếu hàm số u = u(x, y, z) khả vi tại M0(x0, y0, z0) thì tại điểm đó nó


có đạo hàm theo mọi hướng l , và ta có
u( M 0 )
u( M 0 )
u( M 0 )
u
 ( M0 ) 
cos  
cos  
cos  ,
x
y
z
l

trong đó cos, cos, cos là các thành phần của l .

Chứng minh. Vì u(x, y, z) khả vi tại M0 nên
u = u(M) – u(M0) =

u(M 0 )
x

x +

u(M 0 )
y

y +

u(M 0 )
z

z + (),

trong đó () là vô cùng bé bậc cao hơn so với .
Vì x = cos, y = cos, z = cos nên
u(M 0 )
u(M 0 )
u u(M 0 )
()

cos  
cos  
cos  
.

x
y
z


Chuyển qua giới hạn, ta nhận được điều cần chứng minh.



Građiên (gradient): Ta gọi građiên của u(x, y, z) tại M0, ký hiệu grad u(M 0 ) , là véc


u(M 0 )  u(M 0 )  u(M 0 ) 
grad u(M 0 ) 
i
j
k
x
y
z
 
với i, j, k tương ứng là các véc tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz.


u
Định lý 1.2.8. Nếu u(x, y, z) khả vi tại M0 thì  ( M 0 )  chl grad u ( M 0 ) .

l




Chứng minh. Vì l = cos i + cos j + cos k , nên viết lại công thức trong Định lý

1.2.7.


Hàm số nhiều biến số

 


u
 (M 0 )  grad u(M 0 )l  l ch grad u(M 0 )  ch grad u(M 0 ) .
l
l
l
u
Nhận xét. Từ công thức trong Định lý 1.2.8, suy ra rằng, |  (M 0 ) | đạt giá trị lớn

l



nhất bằng | grad u(M 0 ) |, khi l đồng phương với grad u .

Vì thế grad u(M 0 ) cho biết phương mà theo đó tốc độ biến thiên của u tại M0 có trị tuyệt

đối cực đại.


u
Ví dụ 1.2.10. Cho u = x3 + y3 + z3. Tính grad u và  tại M0(1, 2, – 1), M1(2, 0, 1),
l


với l là véc tơ đơn vị của M 0 M1 . Ta có ux = 3x2 + 3yz, uy = 3y2 + 3xz, uz = 3z2 +

3xy.









grad u = 3(x2 + yz) i + 3(y2 + xz) j + 3(z2 + xy) k  grad u (M0) = 3( – i + 3 j

+ 3 k ).


Vì M 0 M1 = (1, –2, 2) nên cos =

1
2
2
, cos = – , cos = nên
3
3
3

1
2
2
u
 (M0) = ( – 3) + 9(– ) + 9 = – 1.
3
3
3
l

1.3. Cực trị của hàm số nhiều biến số
1.3.1. Cực trị không điều kiện của hàm số nhiều biến số

Cho z = f(x, y) xác định trong D  R2 và U(M0) là một lân cận nào đó của
M0(x0, y0) D.
Ta nói,


hàm f đạt cực đại tại M0 nếu f(M) < f(M0) với mọi M U(M0).



hàm f đạt cực tiểu tại M0 nếu f(M) > f(M0) với mọi M U(M0).

Định lý 1.3.1 (điều kiện cần của cực trị). Tại điểm cực trị M0, nếu các đạo hàm
riêng cấp một của hàm z = f(x, y) tồn tại thì chúng bằng 0, tức fx’ = fy’ = 0 tại M0.
Ta gọi điểm tới hạn của hàm f là những điểm mà tại đó, hoặc không tồn tại các
đạo hàm riêng, hoặc chúng tồn tại và bằng 0.
Định lý 1.3.2. (dấu hiệu của cực trị)
Giả sử z = f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong một lân cận
nào đó của điểm M0(x0, y0) và tại đó fx' = fy' = 0. Đặt = (fxy”)2 – fxx”fyy”, khi đó,


Nếu  < 0 thì tại M0, hàm f đạt cực tiểu nếu fxx” > 0, đạt cực đại nếu fxx” < 0.


Hàm số nhiều biến số


Nếu  > 0 thì f không đạt cực trị tại M0.



Nếu  = 0 thì tại M0, hàm f có thể đạt cực trị hoặc không.

Như vậy, trong trường hợp  = 0, ta phải xét chi tiết hơn. Cụ thể, ta cho x và y
những số gia x và y đủ nhỏ rồi xét dấu của f. Nếu f < 0 thì M0 là điểm cực
đại, nếu f > 0 thì M0 là điểm cực tiểu, nếu f không xác định dấu thì M0 không là
điểm cực trị.
Ví dụ 1.3.1. Tìm cực trị của hàm u = e(x
ux' = e(x

2

 y2 )

2

 y2 )

(x 2  y 2 ) .

2x(1  x 2  y 2 ) , uy' = e  (x

2

 y2 )

2y(1  x 2  y 2 )

Các điểm tới hạn là M0(0, 0), M1(0, –1), M2(0, 1), M3(–1, 0), M4(1, 0) và tập
các điểm thuộc đường tròn C có phương trình x2 + y2 = 1.
Nhận thấy rằng các điểm M1, M2, M3 và M4 cũng thuộc đường tròn trên.
Ta tính các đạo hàm riêng cấp hai:
uxy" = 2e(x

2

 y2 )

 2xy(2  x 2  y 2 )  ,



uxx" = 2e(x

2

 y2 )

 2x 2 (1  x 2  y 2 )  1  3x 2  y 2  ,



uyy" = 2e(x

2

 y2 )

 2y 2 (1  x 2  y 2 )  1  x 2  3y 2  ,



Tại M0:  = –4 < 0 và uxx” = 2 > 0, nên M0 là điểm cực tiểu, u(M0) = 0.
Tại M1, M2, M3 và M4:  = 0, nên phải xét chi tiết hơn.
Tại M1: cho (0, –1) số gia (h, k), khi đó u = e

  h 2  (k 1)2 



 h 2  (k  1) 2   e 1 .



Xét hàm f(t) = te t trong lân cận của t0 = 1.
Ta có f ' = e t (1  t) nên f(t) đạt cực đại tại t0 =
1, do đó u  0, tức M1 là điểm cực đại.
Làm tương tự, ta cũng nhận được M2, M3 và
M4 là các điểm cực đại. Giá trị cực đại của u tại
các điểm này đều bằng e1 .
Tại các điểm thuộc đường tròn C ta có u =
e 1 , tức hàm u đạt cực đại tại các điểm thuộc C.

1.3.2. Cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số

Ta gọi cực trị của hàm z = f(x, y) với x và y bị ràng buộc bởi g(x, y) = 0 là cực trị
có điều kiện.


Hàm số nhiều biến số
Định lý 1.3.3. (điều kiện cần của cực trị cho hàm hai biến)
Giả sử z = f(x, y) đạt cực trị tại M0(x0, y0) với điều kiện g(x, y) = 0. Thêm vào
đó,
 Các hàm số f(x, y) và g(x, y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong lân
cận M0,
 Tại M0, các đạo hàm riêng gx', gy' không đồng thời bằng 0.
Khi đó tại M0,

fx '
gx '



fy '
gy '

.

(1.3.1)

Ví dụ 1.3.2. Tìm cực trị của z = x2 + y2 với điều kiện ax + by + c = 0.
Vì fx ' = 2x, fy' = 2y, gx' = a, gy' = b, từ (1.3.1) suy ra bx = ay, vậy ta có hệ
x y
 
.
a b
ax  by  c  0

Giải ra ta tìm được duy nhất một điểm tới hạn M 0 (
Về mặt hình học, ta phải tìm cực trị của bình
phương khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường
thẳng ax + by + c = 0.
Bài toán này chỉ có một cực tiểu, không có cực
đại, nên M0 chính là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu


ac
bc
,

).
a 2  b2 a 2  b2


O

c
a

M0



c
b

c2
.
a 2  b2

Định lý 1.3.4. (điều kiện cần của cực trị cho hàm ba biến)
Giả sử z = f(x, y) đạt cực trị tại M0(x0, y0, z0) với điều kiện g(x, y, z) = 0. Thêm
vào đó,
 Các hàm số f(x, y, z) và g(x, y, z) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong
lân cận M0,
 Tại M0, các đạo hàm riêng gx', gy', gz’ không đồng thời bằng 0.
Khi đó tại M0,
fx '
gx '



fy '
gy '



fz '
gz '

.

Ví dụ 1.3.3. Tìm cực trị của u = x – 2y + 2z = 0 với điều kiện g(x, y, z) = x2 + y2 +
z2 – 1 = 0.


Hàm số nhiều biến số
u'x = 1, u'y = – 2, u’z = 2, g'x = 2x, g'y = 2y, g’z = 2z 

1 2 2


 2x = – y =
2x 2y 2z

z.
 2x   y  z
Giải hệ phương trình  2 2 2

 x  y  z  1  0

M2 (

1 2 2
, ),
3 3 3

, các điểm tới hạn là M1 ( ,

1 2 2
, , ).
3 3 3

Để xét xem M1 có là điểm cực trị không, ta cho x, y, z những số gia tương ứng là
x, y, z đủ nhỏ và xét dấu của số gia u,
2
2
1
  2
 2
 1
u    x   2   y   2   z     2  2   x  2y  2z .
3
3
3
  3
 3
 3
2

2

2

1
2
2
Mặt khác ta phải có   x     y     z   1 ,
3
  3
 3

1 2
4 4
4 4
 x  x 2   y  y 2   z  z 2  1 ,
9 3
9 3
9 3

Hay


2
(x – 2y + 2z) = –(x2 + y2 + z2).
3
3
2

Do đó u = – (x2 + y2 + z2) < 0 nếu các số gia không đồng thời bằng 0.
Vậy M1 là điểm cực đại và u(M1) = 3. Tương tự, M2 là điểm cực tiểu và u(M2) =
– 3.
Phương pháp nhân tử Lagrange
Điều kiện

fx '
gx '



fy '
gy '

trong Định lý 1.3.3 chính là điều kiện cần và đủ để hệ

phương trình
f x '(x 0 , y0 )  g x '(x 0 , y0 )  0
f '(x , y )  g '(x , y )  0
y
0 0
 y 0 0

có nghiệm không tầm thường (1, ).
Hệ này kết hợp với phương trình g(x, y) = 0 đẫn đến bài toán, ta gọi là phương
pháp nhân tử Lagrange: Tìm cực trị của hàm F(x, y, ) = f(x, y) + g(x, y).
Phương pháp nhân tử Lagrange cho hàm hai biến
Tìm , x0, y0 thoả mãn hệ ba phương trình


Hàm số nhiều biến số
f x '(x 0 , y0 )  g x '(x 0 , y0 )  0

f y '(x 0 , y0 )  g y '(x 0 , y0 )  0 .
g(x , y )  0
 0 0

Ví dụ 1.3.4. Tìm cực trị của u(x, y) =

1

1

 1

1
1
1
1 1
 với điều kiện g(x, y) = 2  2  2  0 .
x y
x
y
a

1

1 

Ta có F(x, y, ) =       2  2  2  ,
y
a 
x y
x

2
 1
 2  3  0

Fx '  0  x
x
 x  y  2 .
F '  0   1
2
 y
    0
2
y3
 y

Thế vào g(x, y) = 0 ta được x = y = a 2 . Đặt M1( a 2 , a 2 ), M2(– a 2 ,– a 2 ).
Để kiểm tra hàm F có đạt cực trị tại M1 không, ta xét dấu của số gia F tại đó:
F = F( a 2 + h, a 2 + k, ) – F( a 2 , a 2 , ).
Sử dụng khai triển Taylor cho hàm hai biến,
f(x + h, y + k) = f(x, y) +

hfx’(x,

y)

+

kfy’(x,

y)

+

1 2
h f xx "(x, y)  hkf xy "(x, y)  k 2f yy "(x, y)   ...


2

Với hàm F thì do Fx’ = Fy’ = 0 nên dấu của F phụ thuộc dấu của
A(h, k) = h 2 Fxx "(M1, )  hkFxy "(M1, )  k 2 Fyy "(M1, ) .
Ta có Fxx " 

2
6
2
6
h2  k2


,
F
"



,
F
"

0
nên
tại
M
,
A(h,
k)
=
< 0.

1
x3
x 4 yy
y3
y 4 xy
a3 2 2

Tương tự, tại M2 ta có A(h, k) =

h2  k2
> 0.
a3 2 2

Vậy M1 và M2 tương ứng là các điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời
u(M1) =

2
2
, u(M2) =  .
a
a

Phương pháp nhân tử Lagrange cho hàm ba biến
Trường hợp có một ràng buộc: Tìm , x0, y0, z0 thoả mãn hệ bốn phương trình
f x '(x 0 , y0 , z 0 )  g x '(x 0 , y0 , z 0 )  0
f '(x , y , z )  g '(x , y , z )  0
y
0 0 0
 y 0 0 0
f z '(x 0 , y0 , z 0 )  g z '(x 0 , y0 , z 0 )  0
g(x 0 , y0 , z 0 )  0

Trường hợp có hai ràng buộc: Tìm , , x0, y0, z0 thoả mãn hệ năm phương trình


Hàm số nhiều biến số
f x '(x 0 , y0 , z 0 )  g x '(x 0 , y0 , z 0 )  h x '(x 0 , y0 , z 0 )  0
f '(x , y , z )  g '(x , y , z )  h '(x , y , z )  0
y
0 0 0
y
0 0 0
 y 0 0 0
f z '(x 0 , y0 , z 0 )  g z '(x 0 , y0 , z 0 )  h z '(x 0 , y0 , z 0 )  0
g(x , y , z )  0
h(x0 , y0 , z0 )  0
0 0 0


Ví dụ 1.3.5. Tìm cực trị của u = x2 + y2 + z2 với điều kiện g(x,y,z) =
x 2 y2 z2

  1  0, a  b  c .
a 2 b2 c2

 x2

Đặt F(x, y, z, ) = x2 + y2 + z2 +  

a

2



y2 z2 
  1 .
b 2 c 2 



2x(1  a 2 )  0
F '  0

 x


Fy '  0  2y(1  2 )  0
b


F
'

0

 z

2z(1  2 )  0
c


Kết hợp với g(x, y, z) = 0 và chú ý tới điều kiện a > b > c ta suy ra sáu nghiệm
M1(–a, 0, 0), M2(a, 0, 0), (đều có  = –a2), u(M1) = u(M2) = a2.
M3(0, –b, 0), M4(0, b, 0), (đều có  = –b2), u(M3) = u(M4) = b2.
M5(0, 0, –c), M6(0, 0, c), (đều có  = –c2), u(M5) = u(M6) = c2.
Tương tự như Ví dụ 1.3.4, với các số gia đủ nhỏ h, k và l thì dấu của F phụ
thuộc vào dấu của biểu thức A(h, k, l) = h2Fxx” + k2Fyy” + l2Fzz” + hkFxy” + klFyz” +
hlFxz”.
Ta có Fxx” = 2(1 




) , Fyy” = 2(1  2 ) , Fzz” = 2(1  2 ) , Fxy” = Fyz” = Fxz” = 0.
2
a
b
c

Tại M1 và M2: A(h, k, l) = 2k 2 (1 

a2
a2
2
)

2l
(1

)  0  đạt cực đại tại M1 và M2.
b2
c2

Tại M3 và M4: A(h, k, l) = 2h 2 (1 

b2
b2
2
)

2l
(1

)  0  không đạt cực trị tại M3
a2
c2

và M4.
c2
c2
2
Tại M5 và M6: A(h, k, l) = 2h (1  2 )  2k (1  2 )  0  đạt cực tiểu tại M5 và
a
b
2

M6.
1.3.3. Các giá trị max và min của hàm số nhiều biến số trong miền đóng bị chặn


Hàm số nhiều biến số
Mọi hàm nhiều biến liên tục trong miền đóng bị chặn đều đạt max và min trong
miền đó. Nếu đạt tại điểm trong của miền thì đó phải là điểm tới hạn. Tuy nhiên
hàm có thể đạt max hoặc min trên biên của miền. Do đó, chúng ta phải so sánh giá
trị của hàm tại các điểm tới hạn và tại biên.
Ví dụ 1.3.6. Tìm max và min của z = 8x2 + 3y2 + 1 – (2x2 + y2 + 1)2 trong miền D =
{x2 + y2  1}.
Giải: fx' = 16x – 2(2x2 + y2 + 1)4x = 8x(1 – 2x2 – y2)
fy' = 6y – 2(2x2 + y2 + 1)2y = 2y(1 – 4x2 – 2y2)
Cho fx' = fy' = 0, ta được
o x = 0 và y = 0
1
2

o

x = 0 và 1 – 4x2 – 2y2 = 0:  x = 0, y = 

o

1 – 2x2 – y2 = 0 và y = 0:  y = 0, x = 

o

1 – 2x2 – y2 = 0 và 1 – 4x2 – 2y2 = 0: vô nghiệm.

Vậy có 5 điểm tới hạn là T1(0, 0), T2(0, –

1
2

1
1
1
1
), T3(0,
), T4( – , 0), T5( , 0).
2
2
2
2

Các điểm này đều là điểm trong của D, các giá trị tương ứng của hàm là
z(T1) = 0, z(T2) = z(T3) =

1
, z(T4) = z(T5) = 1.
4

Phương trình biên của D là x2 + y2 = 1  y2 = 1 – x2, do đó z = – x4 + x2 = x2(1
– x2).
Trên [–1, 1], đạt giá trị lớn nhất khi x2 = 1 – x2, tức x = 

1
, và nhỏ nhất tại x = 0
2

hoặc x = 1.
Ta có z( 

1
1
) = và z(0) = 0.
4
2

So sánh tất cả các giá trị đã nhận được, ta có zmax = 1 tại T4 và T5, zmin = 0 tại T1.
1.4. Bài tập chương 1

Bài 1.1. Tìm miền xác định của các hàm số sau
1. f (x, y) 

1
1

xy
xy

2. f (x, y)  b2  x 2  y2  x 2  y2  a 2 , 0  a  b


Hàm số nhiều biến số
1
,
(x  a)(b  y)

3. f(x,y) =

4. f (x, y) 

1
y2  x 2

Bài 1.2. Tìm giới hạn khi (x, y) → (0, 0) của các hàm số sau (nếu có)
1. f (x, y) 

x 2  y2
x 2  y2

2. f (x, y) 

xy 2
x 2  y3

3. f (x, y) 

xy 2
x 2  y4

4. f (x, y) 

x3  y2
x 2  y2

5. f (x, y) 

sin x  sin y
xy

6. f (x, y) 

x  y
x 2  xy  y 2

Bài 1.3. Tính các đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau
1. f (x, y) 

x 2  y2

x

2

y

2



n

2. f (x, y)  ln(x  x 2  y 2 )

3.

5. f (x, y, z)  e xyz cos x sin z

6. f (x, y, z)  sin

x 2  y2
x 2  y2

f (x, y)  arctg

4. f(x,y,z) = x y

z

x
yz

Bài 1.4. Khảo sát sự liên tục của các hàm số sau cùng với sự liên tục của các đạo
hàm riêng cấp một của chúng.
1
 2
2
(x  y ) sin 2
1. f (x, y)  
x  y2
0

 x 3  y3
2. f (x, y)   x 2  y 2
0


khi (x, y)  (0, 0)
khi (x, y)  (0, 0)

khi (x, y)  (0, 0)
khi (x, y)  (0, 0)

2

y
xarctg  
3. f (x, y)  
x
0


khi x  0
khi x  0

 x sin y  y sin x
4. f (x, y)   x 2  y 2
0


khi (x, y)  (0, 0)
khi (x, y)  (0, 0)

Bài 1.5. Tính đạo hàm hàm hợp
1. z = eu

2

x
y

 2v2

, u  cosx, v  x 2  y 2

3. z  xe , x  cos t, y  e2t

2. z  ln(u 2  v 2 ), u  xy, v 

x
y

4. z  x 1  y 2 , x  te2t , y  e t


Hàm số nhiều biến số
Bài 1.6. Tính đạo hàm hàm ẩn
1. x3y – xy3 = a4

2. xey + yex = exy,

4. ln x 2  y 2  arctg

x
y

3. arctg

x+y y

a
a

5. y5 + 3x2y2 + 5x4 = 12 6. 2y 2  3 xy  3x 2  17

Bài 1.7. Tính gần đúng các số sau
2. ln  3 1.03  4 0.98  1

1. 3 (1.02)2  (0.05)2

Bài 1.8. Tính đạo hàm theo hướng của các hàm số sau


1. u = xy2z3 tại M0(1, 2, –1) theo hướng M 0 M1 với M1(0, 4, –3).






2. u = x2 – xy + y2 tại M(1, 1) theo hướng v  6i  8j .


3. u = ln(x2 + y2) tại M(3, 4) theo hướng gradu .
Bài 1.9. Tìm cực trị của các hàm số sau
1. u = 4(x – y) – x2 – y2,
2. u = x2 + xy + y2 + x – y + 1,
3. u = x + y – xey,
4. u = 2x4 + y4 – x2 – 2y2,
Bài 1.10. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau
1. u = xy với điều kiện x + y = 1,
2. u = x + y + z với điều kiện

1 1 1
   1.
x y z

Bài 1.11. Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm sau
1. u = x2 – y2 trong miền x2 + y2  4,
2. u = e(x

2

 y2 )

 ax

2



 by 2 trong miền x2 + y2  1.

1.5. Lời giải bài tập chương 1

y

y

Bài 1.1
x  y  0
x   y

  x  y  x (miền đậm) O
xy0
x  y

1. 

x

O
(1.
5.1
)

x  y  b
2.  2 2 2  a 2  x 2  y 2  b 2 (miền vành khăn)
2

2

x

2

 x  y  a

y

x  a

by
3. (x – a)(b – x) > 0   
x  a

 b  y

(miền đậm)
b
y
O

O
x

a

x


Hàm số nhiều biến số
 yx

4. y2 – x2 > 0  
(miền đậm)
 y  x
Bài 1.2

x 2  y2
x 2 (1  k 2 ) 1  k 2
1. f (x, y)  2 2 . Với y = kx thì f (x, y)  2
.

x y
x (1  k 2 ) 1  k 2

Khi (x, y) dần đến (0, 0) dọc theo hai đường thẳng cùng đi qua gốc toạ độ nhưng
với hệ số góc khác nhau thì ta nhận được các giới hạn khác nhau, vậy không có giới
hạn.
2. f (x, y) 

xy 2
xy 2
.
Giả
sử
k

hằng
số
nào
đó
sao
cho
= k, khi đó
x 2  y3
x 2  y3

xy2 = k(x2 + y3)  kx2 – y2x + ky3,  = y4 – 4k2y3.
y 2  y3 (y  4k 2 )
Xét y < 0 và x =
, khi y → –0 thì x → 0.
2k

Như vậy, nếu chọn hai hằng số k khác nhau thì khi (x, y) → (0, 0) theo đường
cong trên, ta có f(x, y) dần đến hai giới hạn khác nhau. Vì vậy f(x, y) không có giới
hạn khi (x, y) → (0, 0).
3. f (x, y) 

xy 2
xy 2
Giả
sử
k

hằng
số
nào
đó
sao
cho
= k, khi đó
x 2  y4
x 2  y4

xy2 = k(x2 + y4)  kx2 – y2x + ky4,  = y4 – 4k2y4 = y4(1 – 4k2).
Với 0 < k <

1
1  1  4k 2 2
và x =
y , khi y → –0 thì x → 0.
2
2k

Nếu chọn hai hằng số k khác nhau thì khi (x, y) → (0, 0) theo đường cong trên,
ta có f(x, y) dần đến hai giới hạn khác nhau.
Vì vậy f(x, y) không có giới hạn khi (x, y) → (0, 0).
4. f (x, y) 

x3  y2
.
x 2  y2

Đặt t =

xt  1
x2
 f(x, y) =
.
2
t 1
y
1
2

Nếu (x, y) → (0, 0) sao cho t → 1 thì f(x, y) →  , vậy chọn y = x.
Nếu (x, y) → (0, 0) sao cho t → 0 thì f(x, y) → –1, vậy chọn x = y2.
Nghĩa là f(x, y) không có giới hạn khi (x, y) → (0, 0).


Hàm số nhiều biến số
5. f (x, y) 

6. f (x, y) 

sin x  sin y

xy

cos

xy
xy
sin
(x,y)(0,0)
2
2 
1 .
xy
2

x  2
y
x
u  y2
y
u = : f(x, y) = 2
, (1)
 2
y
x
x
u  u 1
 1
y2 y

x  y
. Đặt
x 2  xy  y 2

y 2
x

v x 2
y
x

v = : f(x, y) =
. (2)
x
y y2 v2  v  1
1  2
x x

Xét ba khả năng khi (x, y) → (0, 0):
a) u → k với k hữu hạn và khác 0: do mẫu số của (1) có giới hạn k2 – k + 1  0
nên giới hạn của vế phải của (1) bằng 0 khi  +  – 2 > 0, bằng vô cùng khi  +  –
2 < 0, và phụ thuộc k khi  +  – 2 = 0. Vậy điều kiện cần là  +  – 2 > 0.
b) u → 0: do
cong y  x


2( 2)

u  y2
x  y2
=
nên nếu  < 0, cho (x, y) → 0 dọc theo đường
u2  u 1 u2  u 1




1
x2
x  y2
x
. Khi đó u =
= x 2(2) → 0 và 2
= 2
dần tới vô
y
u  u  1 (u  u  1)

cùng.
Vậy ta phải có   0.
c) u → : khi đó v → 0. Lập luận tương tự với (2) ta có   0.
Tóm lại, giới hạn chỉ tồn tại khi   0,   0 và  +  > 2.
Bài 1.3.
1.

f 2x(x 2  y 2 )  n(x 2  y 2 )2x

,
n 1
x
x 2  y2





x

1

2.

f 2y(x 2  y 2 )  n(x 2  y 2 )2y

n 1
y
x 2  y2

x 2  y2
f (x  x 2  y 2 ) '


,
x
x  x 2  y2
x  x 2  y2

f
y2

,
3.
x x x 4  y 4

f

y

y
4

x  y4





y
x 2  y2
f (x  x 2  y 2 ) '


y
x  x 2  y2
x  x 2  y2


Hàm số nhiều biến số
4.

z
z
z
f
f
f
= y z x y 1 ,
 x y y z-1z ln x,
 x y y z ln x ln y
x
y
z

5.

f
f
f
 e xyz xz cos x sin z ,
 e xyz yz(yz cos x  1) sin z ,
 e xyz  xy cos x sin z  cosxcosz 
y
x
z

6.

f
x
x
f
x
x
f
1
x

co s

co s

co s
,
,
2
2
y  z z (y  z)
yz
x y  z
y  z y (y  z)

Bài 1.4.
1. Với

(x,

(x 2  y 2 ) sin

y)



(0,

0)

thì

|f(x,

y)



f(0,

0)|

=

1
(x,y)(0,0)
 x 2  y 2 
0 .
2
x y
2

Vậy f(x, y) cũng liên tục tại (0, 0), do đó liên tục trên toàn R2.
Với (x, y)  (0, 0), các đạo hàm riêng đều tồn tại và liên tục. Ta xét tại (x, y) =
(0, 0).
f (x, 0)  f (0, 0)
Với x  0:

x

1
x 0
x 2  x sin 1 
 0  f x '(0, 0)  0 .
2
x
x

x 2 sin

Tương tự ta có f y '(0, 0)  0 . Vậy các đạo hàm riêng tồn tại trên toàn R2.
Xét sự liên tục tại (0, 0) của các đạo hàm riêng:
Với (x, y)  (0, 0): f x '(x, y)  2x(sin

1
1
1
 2
co s 2
).
2
2
x y
x y
x  y2
2

Khi (x, y) → (0, 0) dọc theo trục hoành, thì
f x '(x, 0)  2x(sin

1
1
1
 2 co s 2 )
2
x
x
x

không có giới hạn. Tức là đạo hàm riêng theo x không liên tục tại (0, 0). Do tính
đối xứng, ta suy ra sự không liên tục tại (0, 0) của đạo hàm riêng theo y.
| x |3  | y |3
(x,y)(0,0)
2. Với (x, y)  (0, 0): f (x, y)  2 2 | x |  | y | 
 0  f (0, 0)
x y

Vậy f(x, y) cũng liên tục tại (0, 0), tức liên tục trên toàn R2.
Với (x, y)  (0, 0), các đạo hàm riêng đều tồn tại và liên tục,
f x '(x, y) 

3x 2 (x 2  y 2 )  (x 3  y3 )(2x) x(x 3  3xy 2  2y3 )

(x 2  y 2 ) 2
(x 2  y 2 ) 2

f y '(x, y) 

3y 2 (x 2  y 2 )  (x 3  y3 )(2y)  y(y3  3x 2 y  2x 3 )

(x 2  y 2 ) 2
(x 2  y 2 ) 2


Hàm số nhiều biến số
Với x  0:

f (x, 0)  f (0, 0) x
x 0
  1 
1  f x '(0, 0)  1 .
x
x

Với y  0:

f (0, y)  f (0, 0)  y
y 0

 1 
 1  f y '(0, 0)  1 .
y
y

Vậy tồn tại các đạo hàm riêng tại (0, 0), tức các đạo hàm riêng tồn tại trên toàn
R2.
Ta xét xem chúng có liên tục tại (0, 0) hay không.
Dọc theo đường y = kx với k là hằng số tuỳ ý, ta có
f x '(x, kx) 

1  3k 2  2k 3
 k(k 3  3k  2)
,
f
'(x,
kx)

y
(1  k 2 ) 2
(1  k 2 ) 2

Do đó, dọc theo các đường thẳng khác nhau cùng đi qua (0, 0), các đạo hàm riêng
dần tới các giới hạn khác nhau, tức chúng không liên tục tại (0, 0).
3. Vì 0  |arctg| 


x 0
nên với x  0 ta có |f(x, y)|  |x| 
 0 = f(0, y).
2

Vậy f(x, y) liên tục trên toàn R2.
Với x  0, các đạo hàm riêng đều tồn tại và liên tục,
2

2x 3 y
2x 2 y 2
y
,
f
'(x,
y)

f x '(x, y)  arctg    4
y
x 4  y4
 x  x  y4

Tại lân cận của (0, y):
2

y
harctg  

2
f (h, y)  f (0, y)
h
y
h 0


 arctg   
2

h
h
h
0

y0
y0

f (0, y  h)  f (0, y) 0 h 0
 
 0  f y '(0, y)
h
h

Vậy các đạo hàm riêng tồn tại trên toàn R2.
2

2x 2 y 2



x 0
Với y  0: f x '(x, y)  f x '(0, y)  arctg    4 4  
0 .
2
x x y

y

2

0
2x 2 02
x 0
Với y = 0: f x '(x, 0)  f x '(0, 0)  arctg    4 4  0 
0 .
 x  x 0

Vậy đạo hàm riêng theo x liên tục trên toàn R2.
2x 3 y
Xét f y '(x, y)  f y '(0, y)  4 4  2g(x, y).
x y

 f x '(0, y)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×