Tải bản đầy đủ

Tính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm f đa điều hòa dưới tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

HOÀNG VIỆT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 9.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2018


Công trình được hoàn thành tại:
Khoa Toán - Tin
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Văn Trào
GS. TSKH. Đỗ Đức Thái


Phản biện 1: GS. TSKH. Phạm Hoàng Hiệp - Viện Toán học
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Thạc Dũng - ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội
Phản biện 3: GS. TS. Nguyễn Quang Diệu - Đại học Sư phạm Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, vào lúc ….. giờ…… ngày …… tháng …
năm 2018

Có thể tìm hiểu Luận án tại thư viện:
- Thư viện Quốc gia, Hà Nội
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội




ồ t

ở ừ t ở ự ởt ợ t

ỏ ữợ õ ỏ ữợ r t s t

F ỏ ữợ sỷ ừ ữ r ự t t tứ
t q ừ rt ỳ ừ t trữợ õ
ử t ổ tử ừ ỏ ữợ tr C rt
ữ r tổổ tr C ữ tổổ t tr C ồ
ỏ ữợ tử tt ữủ ởt số t q
ú ỵ ố ợ ợ õ tr õ ỳ ừ t trữợ
ữ r ỏ tt
ố ỳ ú ữ ố ỳ ỏ
tr tr t ự ờ qt tr

Cn r ở sỹ ỹ tổổ r t s
F tổổ tr Cn F ỏ ữợ ồ
t tr t tt t r t t F t
ởt tỹ ữủ t r tr tt F t
ự ỳ tữỡ tỹ ừ tt t tổ tữớ ợ
F ỏ ữợ
ữ t t tr số ỏ ữợ tr t

tr Cn tỗ t ởt ợ ỳ trỏ rt q trồ õ ự


ử tr tt t t tr t rt tờ
qt õ ợ ỏ ữợ ỹ t ự t
ỹ ừ ỏ ữợ tr t tr Cn
ởt tr ỳ ỡ ừ tt t t ỹ
ữỡ ừ ỏ ữợ t ỡ tr trữớ
ủ ởt ỵ tữ tỹ t t ỹ t ử
ừ ỏ ữợ t t ỹ ữỡ ừ õ
qt trt ỳ t tữỡ ữỡ ừ




t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tò② þ ✉ tr➯♥ t➟♣
♠ð Ω ✈➔ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ ✉ tr➯♥ Ω ✈➝♥ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ð✳
▼ët ✈➜♥ ✤➲ ❦❤→❝ ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣➛♥
✤➙② ❧➔ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜ð✐ ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛
❞÷î✐ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ rë♥❣ ❤ì♥✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❈❡❣r❡❧❧✱ ❍❡❞✱ ❆❧❡✈✐♥✱
P❡rss♦♥✱ ✳✳✳ ✤➣ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ s➙✉ s➢❝ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ tr➯♥ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣
✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✳
❚❤❡♦ ❤÷î♥❣ t✐➳♣ ❝➟♥ tr➯♥✱ ▲✉➟♥ →♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥

▲✉➟♥ →♥ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉

❤á❛ ❞÷î✐✳ ❈ö t❤➸✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔
t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤✐➳t ❧➟♣ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣
①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜ð✐ ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✳

✸✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
◦ ❍➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✈➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛
❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐✳

◦ ❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ❝❤♦ ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳
◦ ▼ët sè ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω✿ E0 (Ω) , Fp (Ω)✳
◦ ❱➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳

✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

◦ ❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➼ t❤✉②➳t tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t♦→♥
❤å❝ ❝ì ❜↔♥ ✈î✐ ❝æ♥❣ ❝ö ✈➔ ❦➽ t❤✉➟t tr✉②➲♥ t❤è♥❣ ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳
✈à✱ F ✲✤❛ t❤➳ ✈à✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳

◦ ❚❤❛♠ ❣✐❛ s❡♠✐♥❛r ♥❤â♠✱ s❡♠✐♥❛r tê ❜ë ♠æ♥ ✤➸ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ tr❛♦ ✤ê✐✱
t❤↔♦ ❧✉➟♥✱ ❝æ♥❣ ❜è ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ♥❤➡♠ t❤✉ ♥❤➟♥ ❝→❝ t❤æ♥❣




t t ồ ừ t q ự tr ở
ỗ ồ

ỳ õ õ ừ
r sỹ tữỡ ữỡ ỳ t t F ỹ t ử
ợ t t F ỹ F ữỡ ừ F ỏ ữợ
tử tr t F ừ Cn
rở t q tr tt ự ợ
r sỹ tữỡ ữỡ ỳ t t F ỹ t ử ợ t t
F ỹ F ữỡ ừ F ỏ ữợ tr
t F ừ Cn
t q õ ỵ ồ õ ú F
ỏ ữợ tr t F

ữ r F s ỗ ữ r ợ Fp () ợ
ỳ t ủ ữ ự t t
ữủ ừ F ỏ ữợ t
ỏ ữợ tr s ỗ rở ỡ

ị ồ tỹ t ừ
t q ữủ r tr ợ õ t tớ sỹ õ ỵ
ồ õ õ ự t t ừ
F ỏ ữợ

t ữỡ õ ú t
ổ ử tt ự t ự tt t

trú ừ

trú ừ ữủ tr t ú q ử t ố ợ

t s ừ rữớ ồ ữ ở trú
ỗ ờ q tr ờ




q ữỡ t ử ổ tr tr
t
ở ừ ỗ ữỡ ữ s



ữỡ F ỏ ữợ F ỏ ữợ
ỹ t tỷ r ự
ữỡ tr ởt số tự tt F tổổ

ởt số t t ừ F ỏ ữợ t tỷ r
ự F ỏ ữợ ỹ ụ ữ ởt số t q s
sỷ ử tr ữỡ s



ữỡ t ữỡ ừ F ỏ
ữợ ỹ
ữỡ ữ r tử
ừ ởt F ỏ ữợ F ỹ F
ữỡ F ỹ t t tr t F tr Cn t q
t ữủ



ữỡ F ữợ
ữỡ r t F ỏ ữợ u tr

F õ t ữủ ởt t ừ
ỏ ữợ ữủ tr ừ t q
ừ ữỡ
P ố tr t ú tổ t q ự
tr tr r ú tổ ữ
r ởt ỵ tữ ự t t t tr t ừ
ú tổ ồ s ữủ sỹ q t s ừ
ồ ỗ ú t t q





ờ q tr
ữ tr tr ỏ ữợ ởt tr ố tữủ
tr t ừ tt t ự
ữợ trồ t ừ õ ự t tỷ r ự
t út sỹ q t ừ t ồ ợ tứ t ừ t
t ữủ ỳ t q s s ỳ ổ tr ừ t
rt P r r r
ổ ữ s s sỹ t tr ừ t
ự õ r ỏ tú sỹ t tr ừ ỹ
tr ồ
tổổ tổ tữớ ữợ õ
ổ tử tr t tử ỳ trỏ t ốt tr
ự tt t ữ r ỳ tổổ ợ ổ t
tốt ỡ t tử ừ ữợ ữủ q t tứ
t ừ t trữợ
r ừ F ỏ
ữợ tr ởt t F ừ Cn ự t t ừ
õ ữủ ợ t ữ F ỷ
tử tr tr ữớ t ự F ỏ ữợ õ
ởt F ỏ ữợ ữủ tr ởt F ỷ tử
tr tọ t tự tr tr
rở tỹ ỏ ữợ F ỏ ữợ
r r ự t t tử
ừ F ỏ ữợ tr t F ồ ự r
F ỏ ữợ F tử
r r ự t
t q trồ ừ F ỏ ữợ
tr ởt s ỗ tữỡ ự tr ởt
t Cn r tữỡ ự ỹ t tỷ




r ự ố ợ ởt ợ ỏ ữợ ổ ỡ
ỳ tr ũ ố ợ ợ ỏ ữợ
ữỡ ồ ự r ỹ ữỡ ố ợ
ợ ỏ ữợ ồ ợ t ự
r r t tỷ r
tr F ỏ ữợ ỳ tr t F
r r õ ữủ ở ữỡ r t ợ t
ự ừ F ỏ ữợ F ỹ
F ỏ ữợ F ỹ F ữỡ õ rở
ừ ữợ ỹ tr ởt tợ ởt

F ừ Cn t ởt tỹ ồ ự r ộ
ỏ ữợ F ỹ F ữỡ tr ởt t
F ỹ ồ ữ r ử r r t q
ổ t ổ ỳ
ữợ ự t ừ rở t q ừ t
tr ố ợ F ỏ ữợ ử t ú tổ ự
ừ ữủ t F ỹ ừ F ỏ ữợ
tr t F tứ t t ữỡ tữỡ ự
ú tổ t t F ỏ ữợ
t ỏ ữợ sỷ ừ ữ s
t q t tở rổss r ữ r
r ợ C 1 u tử
tr t u õ t ữủ tr ởt ừ
ỏ ữợ trỡ ữủ tr ừ
Prss rở t q tợ ợ
ữỡ ữủ ỗ t ừ tử r t t q
ừ r r ỗ ỏ
ữợ u õ t ữủ ỡ tứ t
ỏ ữợ õ t t F u tở ởt tr
ỳ ợ r tr




◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥â✐ tr➯♥ ❞➝♥ ✤➳♥ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ●✐↔ sû u ❧➔ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ tr♦♥❣ F ✲♠✐➲♥ Ω✳ ❑❤✐ ♥➔♦ t❤➻ u ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐
♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥
❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Ω❄
❉♦ ✤â tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❤❛✐ ✈➜♥ ✤➲
s❛✉ ✤➙②✳

❱➜♥ ✤➲ t❤ù ♥❤➜t✿ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠
F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐

❑❧✐♠❡❦ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ♠ët ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛

♣❤÷ì♥❣ u ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉

(ddcu)n = 0✱ ✈➔ ✈➻ t❤➳✱ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜à ❝❤➦♥✱ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët
t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♥â ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ◆❤÷
t❤➳ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳
▼➦❝ ❞ò ✤è✐ ✈î✐ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜à ❝❤➦♥ u ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤
tr➯♥ ♠ët t➟♣ F ✲♠ð Ω t❤➻ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✕❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ (ddc u)n ❝â t❤➸ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ♠ët ❝→❝❤ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr♦♥❣ Ω ♥❤÷♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦➽ t❤✉➟t q✉❡♥ t❤✉ë❝
❝õ❛ ❑❧✐♠❡❦ ✈➔ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ →♣ ❞ö♥❣ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ t➻♥❤ ❤✉è♥❣ u ❧➔
❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω✳ ❈❤➼♥❤ ✈➻ t❤➳✱ ❝➛♥ ♣❤↔✐ t➻♠ ♥❤ú♥❣ ❦➽ t❤✉➟t
❦❤→❝ ✤➸ tê♥❣ q✉→t ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❑❧✐♠❡❦ ❝❤♦ ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳
◆❤÷ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ð tr➯♥✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤➸ tø t➼♥❤
❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ ♠ët t➟♣

F ✲♠ð Ω tr♦♥❣ Cn ❝ô♥❣ ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω✳ ❈ö t❤➸✿ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ❝❤➾ r❛
r➡♥❣✱ ✤è✐ ✈î✐ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ Ω t❤➻ ❤➔♠ ✤â F ✲❝ü❝
✤↕✐ tr➯♥ Ω ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❤❛② t❤➳ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tö❝
tr♦♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✧②➳✉✧ ❤ì♥ ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ ♠ët t➟♣ F ✲♠ð Ω tr♦♥❣ Cn ✳ ❑➳t q✉↔ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❧➔ ✣à♥❤ ❧➼
✷✳✷✳✷✱ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝




✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

❱➜♥ ✤➲ t❤ù ❤❛✐✿ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈✐➺❝ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛
❞÷î✐ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
❈❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤➸ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ u

tr♦♥❣ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ Ω ✤÷ñ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠
✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳ Ð ✤➙②✱ ✈✐➺❝ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ u ✤÷ñ❝ ❤✐➸✉ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛✱ u ❝â t❤➸
✤÷ñ❝ ①➜♣ ①➾ ✤➲✉ tr➯♥ Ω ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ trì♥
①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ❧➙♥ ❝➟♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Ω✳
❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧î♣ ❤➔♠

F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ E0(Ω) ✈➔ Fp(Ω)✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✱
tr♦♥❣ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ♠é✐ ❤➔♠ u ∈ Fp (Ω) ✭p > 0✮ ✤➲✉ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët
❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ Ω✳

❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐ ❤ë✐ ♥❣❤à✱ ❤ë✐
t❤↔♦ s❛✉✿

❬✶❪ ❍ë✐ ♥❣❤à ✭✵✶✴✷✵✶✼✮✱ ✧❳➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✧✱ ❇→♦ ❝→♦ ❍ë✐
♥❣❤à ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳
❬✷❪ ❍ë✐ ♥❣❤à ✭✶✷✴✷✵✶✼✮✱ ✧❈ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
❜à ❝❤➦♥✧✱ ❇→♦ ❝→♦ ❍ë✐ ♥❣❤à ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷
♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳
❬✸❪ ❍ë✐ ♥❣❤à ❑❤♦❛ ❤å❝ ✭✽✴✷✵✶✽✮✱ ✧❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐✧✱ ❇→♦ ❝→♦ ❚✐➸✉ ❜❛♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✲ ✣↕✐ ❤ë✐ ❚♦→♥ ❤å❝ ❱✐➺t
◆❛♠ ❧➛♥ t❤ù ■❳ ✲ ◆❤❛ ❚r❛♥❣✳


❈❤÷ì♥❣ ✶

❍➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱
F ✲✤❛

✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐

✈➔ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ F ✲tæ♣æ
tr♦♥❣ Cn ✱ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ❝❤♦ ❝→❝
❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✱ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ✤÷❛ r❛ ♠ët
sè ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➣ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥✳

✶✳✶ F ✲tæ♣æ ✈➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐
❙❛✉ ✤➙②✱ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ F ✲tæ♣æ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥➯✉ ❜ð✐
❊✳ ❇❡❞❢♦r❞✱ ❇✳ ❆✳ ❚❛②❧♦r✱ ❊❧✳ ▼❛r③❣✉✐♦✉✐ ✈➔ ❏✳ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ F ✲tæ♣æ

tr➯♥ t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ Ω ⊂ Cn ❧➔ tæ♣æ ②➳✉

♥❤➜t tr➯♥ Ω ❧➔♠ ❝❤♦ ♠å✐ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝✳
❚ø ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❧✉æ♥ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥✱ ♠ët ❝ì sð ❝♦♥ ✤à❛
♣❤÷ì♥❣ t↕✐ ❜➜t ❦➻ a ∈ Ω ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝→❝ t➟♣

U (a, B, ϕ) = {z ∈ B : ϕ(z) > 0}
ð ✤â B ⊂ Ω ❧➔ ♠ët ❤➻♥❤ ❝➛✉ t➙♠ a ✈➔ ϕ ∈ PSH(B) ✈î✐ ϕ(a) > 0✳
▼➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤➙② ♠æ t↔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤✐➸♠ ❛✳




sỷ F tổổ F tr ởt t Cn

õ t U (a, B, ) t t ởt ỡ s ữỡ ố ợ F
tổổ F
s ữủ r t t ừ F tổổ F

sỷ F tổổ F tr ởt t Cn

F tỹ
ộ ủ tũ ỵ ừ t F ủ
ừ ởt ủ t ữủ ởt t ỹ
F q ợ ộ t F õ A
a \A tỗ t ởt F tử f s f |A = 0 f (a) = 0

t ổổ ỡ F tổổ

t ú tổ ởt số ữủ
r r t

f tr t F U Rn ữủ ồ
F ỏ ữợ

(i) f F ỷ tử tr
U \V
(ii) f (z)
f
d
ợ tr ởt ỡ s ữỡ ừ F tổổ
z
F V
t z
(iii) f tr ộ F t ừ U

ởt t F ừ Cn

f : [, +) ủ ồ F ỏ ữợ f

F ỷ tử tr ợ ộ ữớ t ự l tr Cn ừ f
tợ t F t ừ t F l ừ l F ỏ ữợ


sỷ t F tr Cn s
G U sỷ r u F PSH(U ) v F PSH(G)


✶✶

✈➔ F ✲ lim sup v (z)

u (ζ) ✈î✐ ♠å✐ ζ ∈ ∂F G ∩ U ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤➔♠

G z→ζ

✇ (z) =

max (u (z) , v (z))

♥➳✉ z ∈ G,

u (z)

♥➳✉ z ∈ U \G,

t❤✉ë❝ F ✲PSH(U )✳
❙❛✉ ✤➙②✱ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
✤÷ñ❝ ♥➯✉ ❜ð✐ ▼✳ ❊❧ ❑❛❞✐r✐✱ ❇✳ ❋✉❣❧❡❞❡ ✈➔ ❏✳ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✽✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Cn✳

❱î✐ ❤➔♠ f : Ω → [−∞; +∞)✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
✭✐✮ ❢ ❧➔ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✭t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✮✳
✭✐✐✮ ❢ ❧➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❈✲♠↕♥❤ ✭tù❝ ❧➔✱ ✈î✐ ♠å✐ z ∈ Ω✱ tç♥
t↕✐ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝♦♠♣❛❝t ❑ ❝õ❛ ③ tr♦♥❣ Ω ✈➔ ♠ët ❞➣② {fj } ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ ❑ s❛♦ ❝❤♦ {fj } ❤ë✐ tö
✤➲✉ ✤➳♥ ❢ tr➯♥ ❑✮ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣ ♥❤➜t ❜➡♥❣ −∞ tr➯♥ ❜➜t ❦➻ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥
❝õ❛ Ω✳
✭✐✐✐✮ ❢ ❧➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣ ♥❤➜t ❜➡♥❣ −∞ tr➯♥
♠å✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ Ω✳
❈❤ó♥❣ tæ✐ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤❛✐ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤➙② ♠➔ ❝❤ó♥❣ ✤➣
✤÷ñ❝ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✳ ❈❤♦ Ω ❧➔ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn ✈➔ u ∈ F ✲PSH−(Ω)✳

●✐↔ sû χ : R− → R− ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ t➠♥❣✳ ❑❤✐ ✤â χ ◦ u ∈ F ✲PSH−(Ω)✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✵✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn ✈➔ ϕ ❧➔ ❤➔♠ ✤❛

✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝❤➦t tr➯♥ Cn✱ tù❝ ❧➔ ✈î✐ ♠å✐ z ∈ Cn✱ tç♥ t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð
❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❯ ❝õ❛ ③ ✈➔ c > 0 s❛♦ ❝❤♦ ❤➔♠ ϕ − c|z|2 ❧➔ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
tr➯♥ ❯✳ ●✐↔ sû u, v ∈ F ✲PSH−(Ω) s❛♦ ❝❤♦

(ddcϕ)n = 0.
Ω∩{−∞
❑❤✐ ✤â u ≥ v tr➯♥ Ω✳




tỷ r ự
rữợ t ú tổ s ữủ
r r

QB(Cn) t õ số tr Cn ữủ s
t r t ỹ ừ Cn

sỷ F ỏ ữợ tr õ
tỗ t t ỹ F õ tr s F ỏ ữợ
tr U \E

sỷ u1, u2, v1, v2 ỏ ữợ tr

Cn u1 u2 = v1 v2 tr t F O t
(ddc(u1 u2))n|O = (ddc(v1 v2))n|O
ứ t q tr t õ t ữủ t tỷ r

F ỏ ữợ ỳ õ

sỷ t F tr Cn QB()

ừ QB(Cn ) tr sỷ u1 , . . . , un F PSH() ỳ
ỷ ử t t tỹ ừ F tổổ tỗ t ởt
t ỹ E ởt ừ t F {Ok }

ỏ ữợ fj,k , gj,k tr ừ Ok s

k=1 Ok

=E

uj = fj,k gj,k tr Ok O0 :=

ddcu1 . . . ddcun :=
A


ddc(f1,j g1,j ) . . . ddc(fn,j gn,j ),
j=1

A(Oj \



j1
k=0 Ok )

A QB()
ổ tự ởt ở tr E
ú ỵ r ở ổ ử tở {Ok } {fj,k } {gj,k } õ
õ ở r ự ừ F ỏ ữợ


✶✸

❙❛✉ ✤➙②✱ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠➺♥❤ ✤➲ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥➯✉ ❜ð✐ ❊✳ ❇❡❞❢♦r❞ ✈➔ ❇✳ ❆✳ ❚❛②❧♦r✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✺✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn ✈➔ ❣✐↔ sû u1, . . . , un ∈

F ✲PSH(Ω) ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ddcu1 ∧ . . . ∧ ddcun ❧➔ ♠ët ✤ë ✤♦ ❦❤æ♥❣
➙♠ tr♦♥❣ QB(Ω)✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ t❤æ♥❣ q✉❛ ❤❛✐ ♠➺♥❤ ✤➲✱ ♠➔
❝❤ó♥❣ ✤➣ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✻✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn ✈➔ µ ❧➔ ✤ë ✤♦ ❦❤æ♥❣ ➙♠

tr➯♥ QB(Ω)✳ ●✐↔ sû u, v ∈ F ✲PSH(Ω) ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s❛♦ ❝❤♦ (ddcu)n ≥ µ
✈➔ (ddcv)n ≥ µ tr♦♥❣ Ω✳ ❑❤✐ ✤â✱

(ddc max(u, v))n ≥ µ tr♦♥❣ Ω✳
❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t❛ t➼♥❤ tü❛✲❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡
✈➔ ❝→❝ ❞➣② ✤ì♥ ✤✐➺✉ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✼✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn ✈➔ u ∈ F ✲PSH−(Ω)
❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ●✐↔ sû {uj } ❧➔ ♠ët ❞➣② ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠✱ ❤ú✉ ❤↕♥✱ s❛♦ ❝❤♦ uj → u ❤✳❦✳♥✳ tr➯♥ Ω✳ ❑❤✐ ✤â

f (ddcuj )n,

f (ddcu)n ≤ lim inf
j→+∞





✈î✐ ♠é✐ ❤➔♠ f ❦❤æ♥❣ ➙♠✱ ❜à ❝❤➦♥✱ F ✲❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ Ω✳
✶✳✸

❍➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐

❇➙② ❣✐í t❛ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝â ♥❤✐➲✉ t✐➺♥ ➼❝❤ tr♦♥❣
▲➼ t❤✉②➳t F ✲✤❛ t❤➳ ✈à✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✱ ✤÷ñ❝ ♥➯✉ ❜ð✐ ▼✳ ❊❧ ❑❛❞✐r✐ ✈➔ ▼✳ ❙♠✐t✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳ ●✐↔ sû Ω ⊂ Cn ❧➔ t➟♣ F ✲♠ð ✈➔ ❣✐↔ sû u ∈ F ✲PSH✭Ω✮✳
❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ u ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ t➟♣ F ✲♠ð ❜à ❝❤➦♥ G ❝õ❛ Cn

✈î✐ G ⊂ Ω✱ ✈➔ ✈î✐ ♠é✐ ❤➔♠ v ∈ F ✲PSH✭G✮ s❛♦ ❝❤♦ ✈ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ tr➯♥ G
F

✈➔ ♠ð rë♥❣ F ✲♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ tî✐ G ✱ t❤ä❛ ♠➣♥


✶✹

v

u tr➯♥ ∂F G ⇒ v

u tr➯♥ G✳

◆➠♠ ✷✵✶✹✱ ❊❧ ❑❛❞✐r✐ ✈➔ ❙♠✐t ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛
❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐✳ ❇ð✐ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✱ ❤å ✤➣ ❝❤➾ r❛ ♠ët ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ❝➛♥ ✤➸ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐ ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✷✳ ●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ F ✲❝ü❝ ✤↕✐✱ ❤ú✉
❤↕♥ tr➯♥ F ✲♠✐➲♥ ❯ tr♦♥❣ Cn✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â (ddcf )n = 0✳

❈→❝ ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ ✈➲ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤÷ñ❝ ❝❤ó♥❣
tæ✐ ♣❤→t ❜✐➸✉ t❤æ♥❣ q✉❛ ❤❛✐ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤➙②✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✸✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ u ❧➔ ❤➔♠

F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ Ω✳
❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
✭❛✮ u ∈ F ✲MPSH(Ω)✳
✭❜✮ u + g ∈ F ✲MPSH(Ω)✱ ✈î✐ ♠é✐ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ g tr➯♥ Cn✳
✭❝✮ ❱î✐ ♠é✐ v ∈ F ✲PSH(Ω) ✈➔ ✈î✐ ♠é✐ t➟♣ F ✲♠ð G ⊂ Ω ✈î✐ G ⊂ Ω✱
t❛ ❝â
sup(v − u) ≤ sup(v − u).
G

Ω\G

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✹✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn ✈➔ u ❧➔ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉

❤á❛ ❞÷î✐ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ Ω✳ ●✐↔ sû ✈î✐ ♠é✐ z ∈ Cn✱ tç♥ t↕✐ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥
♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ Vz ⊂ Cn ❝õ❛ z s❛♦ ❝❤♦ u|Vz ∩Ω ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Vz ∩ Ω✳
❑❤✐ ✤â✱ u ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω✳


✶✺

❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✶

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ t❤✐➳t ✈➲

F ✲tæ♣æ✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✈➔
❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐✳ ✣ç♥❣ t❤í✐ ❝ô♥❣ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❦➳t q✉↔
♠➔ ✤➣ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ❈ö t❤➸✱ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
✈➲ ❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ♠➔ ✤➣ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✱ ✤➣
✤÷❛ r❛ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✸✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✹ ✭✤➣ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✮ ✈➔
❝→❝ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✵✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✺✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✻ ▼➺♥❤ ✤➲
✶✳✷✳✼ ✭✤➣ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✸✮✳


❈❤÷ì♥❣ ✷

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷î✐ ❝ü❝ ✤↕✐
❈❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤➸ tø t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝
✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ ♠ët t➟♣ F ✲♠ð Ω
tr♦♥❣ Cn ❝ô♥❣ ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω✳ ❈ö t❤➸✿ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ✤è✐
✈î✐ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ Ω t❤➻ ❤➔♠ ✤â F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥

Ω ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❤❛② t❤➳ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tö❝
tr♦♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✧②➳✉✧ ❤ì♥ ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ ♠ët t➟♣ F ✲♠ð Ω tr♦♥❣ Cn ✳ ❑➳t q✉↔ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❧➔ ✣à♥❤ ❧➼
✷✳✷✳✷✱ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝
✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

✷✳✶ ❚➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ❧✐➯♥ tö❝
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ s➩ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✤➸ ✤↔♠ ❜↔♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ✱ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛
❞÷î✐ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
❚r÷î❝ ❤➳t✱ t❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✿

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳ ●✐↔ sû Ω ⊂ Cn ❧➔ t➟♣ F ✲♠ð ✈➔ ❣✐↔ sû u ∈ F ✲PSH✭Ω✮✳
❍➔♠ u ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ z ∈ Cn ✱




tỗ t ởt F Vz Cn ừ z s u|Vz F ỹ tr

Vz
t q q trồ t ừ ử s

sỷ t F tr Cn sỷ u F

ỏ ữợ tử tr õ u F ỹ tr
õ F ỹ F ữỡ tr
ỹ ữỡ ừ F ỏ ữợ
r ử ú tổ s r ỡ ừ
ởt F ỏ ữợ ừ ởt

F ỏ ữợ F ỹ F ỹ F ữỡ õ rở
t q ử tr ợ ởt tt ự ợ ởt tr số
t q õ ỵ ồ õ ú F ỏ
ữợ tr t F r ú tổ ụ r ởt ự ử ố
ợ ởt ợ F ỏ ữợ F ỹ
rữợ t t t ự ờ q trồ s

ờ sỷ D s ỗ tr Cn sỷ {j } ởt

ỏ ữợ tr t
Uj ừ D s


Uj

D.

j=1

õ tỗ t ởt t ừ ỏ ữợ
{k } tr D s
k 0 tr D\E õ E D t ỹ
j tử tr Uj {k > 1} ợ ồ j, k 1
t q q trồ t ừ ử s

sỷ t F tr Cn sỷ u F PSH()
õ s tữỡ ữỡ


✶✽

✭✐✮ u ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω✳
✭✐✐✮ u ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω✳
✭✐✐✐✮ (ddcu)n = 0 tr➯♥ QB(Ω)✳
❚ø ✤à♥❤ ❧➼ tr➯♥✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❝→❝ ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔
❞÷î✐ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ t❤æ♥❣ q✉❛ ❤➺ q✉↔ s❛✉✳

❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn ✈➔ ❣✐↔ sû u ∈ F ✲PSH(Ω)
❧➔ ❜à ❝❤➦♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ m ∈ N∗✱ t❛ ❝â
u ◦ π ∈ F ✲MPSH(Ω × Cm)✱
ð ✤â π : Cn+m → Cn ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳

❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✷

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✳
❈ö t❤➸✱ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ♠ët ❦➽ t❤✉➟t ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠î✐✱ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ sü
t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❣✐ú❛ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ t♦➔♥ ❝ö❝ ✤è✐ ✈î✐ ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛
✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ t➟♣ F ✲♠ð ❝õ❛ Cn ✱ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❤➔♠ ✤â ❧✐➯♥ tö❝ ❤♦➦❝ ❜à

❝❤➦♥✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✶ ✈➔ ✤➣ sû ❞ö♥❣ ❜ê ✤➲ ♥➔② ✤➸ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝ô♥❣ ✤÷❛ r❛ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉
❤♦➔ ❞÷î✐ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ t❤æ♥❣ q✉❛ ❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳✸✳


❈❤÷ì♥❣ ✸

❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤➸ ♠ët ❤➔♠

F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ u tr➯♥ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ Ω ✤÷ñ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐
♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐✳ Ð ✤➙②✱ ✈✐➺❝ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ u ✤÷ñ❝
❤✐➸✉ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛✱ u ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷î✐ trì♥ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ❧➙♥ ❝➟♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Ω✳
❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧î♣ ❤➔♠
F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ E0(Ω) ✈➔ Fp(Ω)✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧➼
✸✳✸✳✶✱ tr♦♥❣ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ♠é✐ ❤➔♠ u ∈ Fp (Ω) ✭p > 0✮ ✤➲✉ ①➜♣ ①➾
❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ ❧➙♥ ❝➟♥ Ω✳
✸✳✶ ▲î♣ E0 ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐
❚r÷î❝ ❤➳t✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧î♣

E0(Ω) ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ tr➯♥ Ω✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳✶✳ ▼ët F ✲♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ Ω tr♦♥❣ Cn ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ F ✲s✐➯✉

❧ç✐✱ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❤➔♠ γΩ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ s✐➯✉ ❧ç✐ ❜à ❝❤➦♥ Ω ✱ s❛♦ ❝❤♦
Ω = Ω ∩ {γΩ > −1} ✈➔ −γΩ ❧➔ F ✲PSH tr➯♥ Ω✱ γΩ ∈ PSH−(Ω )✳
❚❛ ♥â✐ r➡♥❣✱ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ ❜à ❝❤➦♥ u ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥
♠ët ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐ ❜à ❝❤➦♥ Ω t❤✉ë❝ ❧î♣ E0 (Ω)✱ ♥➳✉ (ddc u)n < +∞ ✈➔


✈î✐ ♠é✐ ε > 0 tç♥ t↕✐ δ > 0 s❛♦ ❝❤♦ Ω ∩ {u < −ε} ⊂ Ω ∩ {γΩ > −1 + δ}✳




sỷ F s ỗ tr Cn õ
E0() =

ú ỵ r ộ s ỗ F s ỗ
ớ t ữ r ởt ử r r tỗ t ởt F s ỗ
ổ õ tr t tổổ tổ tữớ ỡ
ỳ tọ tt ừ



t õ

sỷ F s ỗ tr Cn sỷ

r u E0() v F PSH() s u v < 0 tr õ
v E0()

()(ddcu)n,

()(ddcv)n





ợ ộ F PSH () L()
ỡ ỳ u = v tr {u > 0} ợ ởt số 0 > 0 õ

(ddcv)n =


(ddcu)n.


ợ Fp ừ F ỏ ữợ
rữợ t ú tổ ữ r ợ Fp () ừ F
ỏ ữợ tr

sỷ F s ỗ tr Cn p > 0

Fp () ồ ừ F ỏ ữợ u tr

s tỗ t ởt {uj } E0() ở tử tợ u tr
tọ

(1 + (uj )p)(ddcuj )n < +.

sup
j1



✷✶

❈❤ó þ r➡♥❣✱ ♥➳✉ u ∈ Fp (Ω) t❤➻ u ∈ Fq (Ω) ✈î✐ ♠å✐ q ∈ (0, p)✳
❱î✐ ♥❤ú♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t❤➼❝❤ ❤ñ♣ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè
❦➳t q✉↔✱ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✷✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ Cn ✈➔ p > 0✳
●✐↔ sû u ∈ Fp(Ω)✱ {uj } ⊂ E0(Ω) s❛♦ ❝❤♦ uj

u tr➯♥ Ω ✈➔

(1 + (−uj )p)(ddcuj )n < +∞.

sup
j≥1


❑❤✐ ✤â

(ddcu)n = sup

(ddcuj )n.

j≥1


{u>−∞}

❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ u ❜à ❝❤➦♥ t❤➻

(−v)(ddcuj )n,

(−v)(ddcu)n = sup
j≥1




✈î✐ ♠é✐ v ∈ F ✲PSH−(Ω) ∩ L∞(Ω)✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ Cn ✈➔ p > 0✳

●✐↔ sû u ∈ Fp(Ω) ✈➔ v ∈ F ✲PSH(Ω) ✈î✐ u ≤ v < 0✳
❑❤✐ ✤â

v ∈ Fmin(p,1)(Ω)
✈➔

(ddcv)n ≤
{v>−∞}

(ddcu)n.
{u>−∞}

▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✹✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ Cn ✈➔ p > 0✳
●✐↔ sû u ∈ Fmin(p,1)(Ω) ✈➔ v ∈ F ✲PSH−(Ω)✱ s❛♦ ❝❤♦

(1 + (−u)p)(ddcu)n ≤ (1 + (−v)p)(ddcv)n
tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}✳
❑❤✐ ✤â u ≥ v tr➯♥ Ω✳


✷✷

✸✳✸ ❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷î✐
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧➼ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛
❝❤÷ì♥❣✱ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ♠é✐ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ t❤✉ë❝ ❧î♣ Fp (Ω) ❝â t❤➸
①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ tr➯♥ ❞➣② ❣✐↔♠ ❝→❝ ♠✐➲♥
s✐➯✉ ❧ç✐ ❝❤ù❛ Ω ✳

✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ {Ωj } ❧➔ ❞➣② ❣✐↔♠
❝õ❛ ❝→❝ ♠✐➲♥ s✐➯✉ ❧ç✐ ❜à ❝❤➦♥ s❛♦ ❝❤♦ Ω ⊂ Ωj+1 ⊂ Ωj ✱ ✈î✐ ♠å✐ j ≥ 1✳
●✐↔ sû tç♥ t↕✐ ρ ∈ E0(Ω)✱ ρj ∈ PSH−(Ωj ) ✈î✐ ρj
ρ ❤✳❦✳♥✳ tr➯♥ Ω✳ ❑❤✐
✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ p > 0 ✈➔ ✈î✐ ♠é✐ u ∈ Fp(Ω)✱ tç♥ t↕✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝õ❛ ❝→❝
❤➔♠ uj ∈ PSH−(Ωj ) s❛♦ ❝❤♦ uj → u ❤✳❦✳♥✳ tr➯♥ Ω✳

❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ❧ç✐✱ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ❧î♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ E0 (Ω) ✈➔ Fp (Ω)✱ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲✱ ❝ô♥❣ ♥❤÷
✤➣ sû ❞ö♥❣ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✈➔ ❝→❝ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✱ ▼➺♥❤ ✤➲
✶✳✶✳✶✵✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✺✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✻ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✼✱ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤
❧➼ ✸✳✸✳✶✱ tr♦♥❣ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣✱ ♠é✐ ❤➔♠ u ∈ Fp (Ω) ✭p > 0✮ ✤➲✉ ①➜♣ ①➾
❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ➙♠ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ❞➣② ❣✐↔♠ ❝→❝
♠✐➲♥ s✐➯✉ ❧ç✐ rë♥❣ ❤ì♥✳


t
t
r õ sỹ tữỡ ữỡ ừ t t F ỹ
F ữỡ F ỹ ừ F ỏ ữợ r
tt ừ F ỏ ữợ
ỏ ữợ ử t

r r ố ợ ởt F ỏ ữợ tử

tr t õ F ỹ tr õ F ỹ

F ữỡ tr

r r ố ợ ởt F ỏ ữợ
tr t õ F ỹ tr õ F ỹ F
ữỡ tr

r tt
F ỏ ữợ t ỏ ữợ tr
s ỗ rở ỡ



ứ ỳ t q t ữủ ừ tr q tr ự

ú tổ t ởt số ữợ ự t t ữ s

t õ t t ữủ t tỷ r ự
F ỏ ữợ ổ ữ r

t õ t ữủ ữỡ tr r ự
F ỏ ữợ tr F t õ t ự t


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×