Tải bản đầy đủ

ĐỊNH LÝ RADOMNIKODYM VÀ ỨNG DỤNG

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS. Vũ Việt Hùng,
người thầy đáng kính đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình em,
giúp đỡ em về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên em có nghị lực hoàn
thành khóa luận này!
Trong quá trình làm khóa luận, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của
các thầy cô giáo trong Khoa Toán-Lý-Tin, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ
môn Giải tích, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên Lớp K55
ĐHSP Toán. Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn
bè đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận này. Nhân dịp này
em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báu nói trên.
Sơn La, tháng 5 năm 2018
Sinh viên thực hiện: Vì Văn Hoàng


Mục lục

Lời cảm ơn

1


Mở đầu

4

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

6

1.1

Đại số và σ-đại số tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Đại số tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

σ-đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Độ đo trên đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Độ đo trên đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . .


7

1.2.3

Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.4

Độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.5

Độ đo đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.1

Tích phân của hàm đơn giản . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.2

Tích phân của hàm không âm . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.3

Tích phân của hàm có dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . .

12

1.4.4

Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2

2 ĐỊNH LÝ RADON-NYKODYM

16

2.1

Độ đo liên tục tuyệt đối và tính chất . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Phân tích Lebesgue-Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . .

22

2


2.3

Định Lí Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ RADON-NYKODYM 36
3.1

Đổi biến số trong tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.2

Không gian các độ đo có dấu

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.3

Định lí cơ bản của phép tính tích phân . . . . . . . . . . . . .

47

3.3.1

Hàm có biến phân bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3.2

Hàm liên tục tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp (X, µ) . . .

53

3.4

Kết luận

58

Tài liệu tham khảo

59

3


Mở đầu
1. Lý do chọn khóa luận
Định lí Radon-Nikodym là một trong các định lí trung tâm của lí thuyết
độ đo và tích phân. Nó tìm được những ứng dụng có ý nghĩa trong Giải tích
thực, Giải tích hàm, trong Y học,...Việc tìm hiểu các ứng dụng của Định lí
Radon-Nikodym và trình bày chúng thành một tài liệu hoàn chỉnh là việc làm
có ý nghĩa thực tiễn, giúp các sinh viên hiểu sâu và đầy đủ hơn về vấn đề này.
Để tìm hiểu sâu hơn một số vấn đề về ứng dụng của Định lí RadonNikodym, em đã chọn đề tài: Định lý Radom-Nikodym và ứng dụng để làm đề
tài nghiên cứu cho khóa luận của mình nhằm tìm hiểu hiệu quả hơn về vấn
đề đã đặt ra.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu Định lí Radon-Nikodym và các hệ quả của nó.
- Trình bày tương đối đầy đủ các ứng dụng của Định lí Radon-Nikodym.
- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu Định lí Radon-Nikodym và ứng dụng của định lí này.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu và trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản cần
thiết cho việc trình bày Định lý Radon-Nikodym.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức.
- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như seminar
với tổ bộ môn, giáo viên hướng dẫn và nhóm làm khóa luận. Từ đó tổng hợp
kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch
và hoàn thành khóa luận.
6. Tính mới và hướng phát triển của khóa luận
6.1. Tính mới mẻ của khóa luận
4


Đây là một vấn đề khá mới đối với bản thân về giải tích hiện đại. Đồng
thời đây cũng là một vấn đề còn chưa được tiếp cận nhiều đối với sinh viên
ĐHSP Toán hiện nay tại Nhà trường.
6.2. Hướng phát triển của khóa luận
Tiếp tục nghiên cứu sâu hơn về Định lý Radon-Nikodym trong một số
không gian tổng quát cũng như những ứng dụng khác của nó.
7. Những đóng góp của khóa luận
Khóa luận đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản về Định lý Radon-Nikodym
và ứng dụng.
8. Cấu trúc khóa luận
Với mục đích như vậy khóa luận này được chia thành 3 chương với những
nội dung chính sau đây:
Chương 1: Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức ban
đầu về đại số và σ- đại số tập hợp, độ đo trên đại số tập hợp và hàm đo được.
Tiếp theo đó là kết quả về Tích phân Lebesgue cần thiết cho các trình bày
sau đó.
Chương 2: Trình bày vấn đề chính về Định Lí Radon-Nikodym.
Chương 3: Trình bày về một số ứng dụng của Định lý Radon-Nikodym
như: Đổi biến số trong tích phân, không gian các độ đo có dấu, định lí cơ bản
của phép tính tích phân và về phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian
Lp (X, µ).

5


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về đại số, độ
đo . . . làm cơ sở cho những nghiên cứu của các chương sau.

1.1

Đại số và σ-đại số tập hợp.

1.1.1

Đại số tập hợp.

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Ta gọi C các tập con của
X là một đại số trên X nếu thỏa mãn các tính chất sau:
a) X ∈ C.
b) Nếu A ∈ C thì CA ∈ C.
c) Nếu A, B ∈ C thì A ∪ B ∈ C.
Ngoài ra ta còn có thể kiểm tra C là đại số các tập con của X dựa vào bổ đề
sau.
Bổ đề 1.1.2. C là một đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu C thỏa mãn
các điều kiện sau:
a) X ∈ C.
b) Nếu A ∈ C thì CA ∈ C.
c) Nếu A, B ∈ C thì A ∩ B ∈ C.
1.1.2

σ-đại số tập hợp

Định nghĩa 1.1.3. Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Một họ F các tập con
của X được gọi là một σ-đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:
6


a) X ∈ F.
b) Nếu A ∈ F thì CA ∈ F.


c) Nếu {An }n∈N∗ ⊂ F thì

An ∈ F. Ta cũng có thể kiểm tra F là σn=1

một đại số các tập con của X dựa vào bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.4. F là σ- một đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu F thỏa
mãn các điều kiện sau:
a) X ∈ F.
b) Nếu A ∈ F thì CA ∈ F.


c) Nếu {An }n∈N∗ ⊂ F thì

An ∈ F.
n=1

1.2
1.2.1

Độ đo trên đại số tập hợp
Hàm tập hợp

Định nghĩa 1.2.1. Cho X = ∅, C- họ các tập con nào đó của X. Hàm
µ : C → R = R ∪ {−∞; +∞}A → µ(A)
Khi đó ta nói hàm µ là một hàm tập hợp. Hơn nữa ta gọi
i) µ có tính chất cộng tính nếu
∀A, B ∈ C, A ∩ B = ∅ ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
ii) µ được gọi là có tính chất σ- cộng tính nếu ∀{An }n∈N∗ ⊂ C sao cho


Ai ∩ Aj = ∅(i = j),

An ∈ C thì
n=1


µ



An
n=1

1.2.2

µ(An ).

=
n=1

Độ đo trên đại số tập hợp

Định nghĩa 1.2.2. Một hàm tập µ trên đại số C- các tập con của X. Khi đó
µ được gọi là một độ đo nếu:
ii) µ(A)

0, ∀A ∈ C.

ii) µ(∅) = 0.
iii) µ có tính chất σ- cộng tính. Khi đó ta gọi µ(A) là độ đo của A, ∀A ∈ C.
7


1.2.3

Độ đo ngoài

Định nghĩa 1.2.3. Hàm tập hợp µ∗ xác định trên σ-đại số P(X) tất cả các
tập con của X được gọi là một độ đo ngoài nếu µ∗ thỏa mãn các điều kiện:
a) µ∗ (A)

0 với mọi A ⊂ X;

b) µ∗ (∅) = 0;
c) µ∗ là σ-cộng tính dưới, nghĩa là nếu A ⊂



An thì
n=1



µ∗ (An ).



µ (A)
n=1

Bây giờ ta sẽ tìm cách mở rộng mọi độ đo trên một đại số tới một độ đo
trên σ- đại số bao hàm σ- đại số sinh bởi đại số đã cho.
Định lý 1.2.4. Nếu m là một độ đo trên đại số C các tập con của tập X, thì
hàm tập hợp µ∗ xác định xác định trên P(X) bởi công thức:





An ⊃ A}

m(An ) | {An }n∈N ⊂ C,

µ (A) = inf{

(1.1)

n=1

n=1

là một độ đo ngoài trên X và µ∗ (A) = m(A) với mọi A ∈ C. Hơn nữa, mọi
tập thuộc σ- đại số F(C) sinh bởi C đều là µ∗ - đo được.
1.2.4

Độ đo Lebesgue

Định nghĩa 1.2.5. [1]Cho hàm µ∗ : R → [0, +∞]
+∞

µ∗ (A) = inf{

+∞

| ∆i |:
i=1

∆i ⊃ A, ∆i là gian , i = 1, 2, 3, . . .}, được gọi là
i=1

độ đo nqoài Lebesgue trên R.
Hàm tập µ∗ là một độ đo ngoài trên R, như vậy ta có thể áp dụng định lý
Caratheodory để xây dựng một độ đo trên R, đó chính là độ đo Lebesgue.
Định nghĩa 1.2.6. Hàm µ∗ : L → [0, ∞] trong đó L là lớp tất cả các tập
con A của R sao cho µ∗ (E) = µ∗ (E

A) + µ∗ (E\A)(∀E ⊂ R),

là độ đo Lehesgue trên R, ký hiệu là µ và A được gọi là tập đo được Lebesgue.
Theo định lý Caratheodory thì lớp các tập đo được Lebesgue L là một σ-đại
số.
8


Định nghĩa 1.2.7. Tập A ⊂ R được qọi là tập đo được Lebesgue tronq R
nếu A thuộc σ-đại số Lebesgue.
Vậy tập không đo được Lebesgue sẽ như thế nào? Ta lấy ví dụ sau đây từ tài
liệu [4]
Ví dụ 1.2.8. Với mỗi tập Ax = {y ∈ [0, 1] : x − y = r, r ∈ Q} chọn một điểm.
Tập tất cả các điểm này gọi là P thì P là một tập không đo được.
Định nghĩa 1.2.9. [1] Tập N bất kỳ được qọi là tập có độ đo 0 nếu µ∗ (N ) = 0,
tức là sao cho




| ∆k |:

inf{
k=1

∆k ⊃ N, ∆k rời nhau} = 0.

(1.2)

k=1

Định lý 1.2.10. [1] Một tập N có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi e > 0 có thể
tìm được một hệ (hữu hạn hay đếm được) qian ∆k phủ N và có độ dài tổng
cộng nhỏ hơn e
+∞

+∞

∆k ⊃ N,
k

| ∆k |< e.
k=1

Chứng minh.
Thật vậy, nếu µ(N ) = 0 thì theo công thức (1.2) với e > 0 cho trước có một


hệ khoảng mở ∆k phủ N sao cho

∆k < e.
k=1



| ∆k |:

Ngược lại, nếu với mọi e > 0 đều có một phủ như vậy thì inf{
k=1



∆k ⊃ N, ∆k là gian } =0. Vậy N là tập có độ đo 0.
k=1

Ví dụ 1.2.11. 1. Tập N = 1, 2, . . . , n là tập có độ đo 0.
2. Tập các số hữu tỉ có độ đo 0.
3. Tập Cantor P trên [0, 1] xây dựng theo cách dưới đây có độ đo 0.
Xét tập hợp [0, 1].
Bước 1. Chia [0, 1] thành ba khoảng bằng nhau, bỏ đi khoảng giữa G1 =
1 2
( , ).
3 3
1
2
Bước 2. Chia ba mỗi đoạn còn lại là [0, ] và [ , 1] bỏ đi khoảng giữa của
3
3
chúng.
9


1 2
Đặt G2 = ( , )
9∞ 9
thứ n, G =
Gk

7 8
( , ), . . . Gọi Gn là hợp của 2n−1 các khoảng bỏ đi ở bước
9 9
là hợp của tất cả các khoảng bỏ đi,P = [0, 1]\G.

k=1

Ta có
1
1 2
µ(Gn ) = 2n−1 .( )n = .( )n = 1.
3
2 3

Khi đó


1
µ(G) =
µ(Gn ) =
2
n=1



2
( )n = 1.
3
n=1


[0, 1] = ([0, 1]\G)

G=P

G

nên
µ([0, 1]) = µ(P ) + µ(G).
Vậy
µ(P ) = µ([0, 1]) − µ(G) = 1 − 1 = 0.
Ta thấy tập có độ đo 0 có thể có lực lượng là hữu hạn, đếm được hay không
đếm được. Tập Cantor là một tập đặc biệt. Lực lượng của tập Cantor trên R
là không đếm được nhưng độ đo của nó vẫn bằng 0.
1.2.5

Độ đo đủ

Định nghĩa 1.2.12. Ta nói độ đo µ trên σ-đại số F là độ đo đủ nếu với mọi
tập con của một tập bất kì thuộc F có độ đo bằng không đều đo được.
Định lý 1.2.13. Tập con A ⊂ R là đo được Lebesgue khi và chỉ khi A thỏa
mãn một trong hai điều kiện sau:
a) Với mỗi

> 0 đều tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ∗ (G \ A) < .

b) Với mỗi > 0 đều tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ∗ (A \ F ) < . Trong
đó µ∗ là độ đo ngoài xác định bởi độ đo m cảm sinh độ đo µ.

10


1.3

Hàm đo được

Định nghĩa 1.3.1. Cho (X, F, µ) là không gian đo, lấy A ∈ F. Ta nói rằng
f : A → R là hàm đo được trên A nếu
∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) < a} ∈ F.
Khi X = Rk và µ là độ đo Lebesgue trên σ-đại số L thì ta nói hàm f đo
được Lebesgue hay gọn hơn là đo được (L).
Định lý 1.3.2. ( Định lí Levi về sự hội tụ đơn điệu) Giả sử {fn } là dãy tăng
các hàm đo được không âm hội tụ tới f .
Khi đó
f dµ = lim

fn dµ

n→∞

X

1.4

X

Tích phân Lebesgue

1.4.1

Tích phân của hàm đơn giản

Định nghĩa 1.4.1. Cho A là tập đo được, f : A → [−∞, +∞] là hàm đơn
giản, đo được trên A. Gọi f1 , f2 , . . . fn là các giá trị khác nhau đôi một của
f (x).
Đặt Ak = {x ∈ A : f (x) = f (k)}, k = 1, . . . n.
n

n

A=

fk XAk , ∀x ∈ A.

Ak và f (x) =
k=1

k=1

Khi đó tích phân của hàm đơn giản f (x) trên A với độ đo µ là số
n

f (x)dµ =
A

fk µ(Ak ).
k=1

Ví dụ 1.4.2. Cho hàm số f : [0, 1] → R



1 khi x ∈ [0, 1] Q,
fn (x) =


0 khi x ∈ [0, 1]\Q.
Khi đó
f (x)dµ = 1.µ([0, 1]

R) + 0.µ([0, 1]\Q) = 1.0 + 0.1 = 0.

[0,1]

11


1.4.2

Tích phân của hàm không âm

Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm f : A → [0, +∞] là hàm đo được.
Khi đó tồn tại dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được fn (x)

0 hội tụ

h.k.n về f (x) trên A.

Định nghĩa 1.4.3. Tích phân của hàm f (x) trên A đối với đo đo µ là

f (x)dµ = lim (

fn (x)dµ).

n→+∞

A

1.4.3

A

Tích phân của hàm có dấu bất kỳ

Định nghĩa 1.4.4. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm f : A → R là hàm
đo được trên A. Khi đó ta có

f (x) = f + (x) − f − (x)
với
f + (x), f − (x)

0.

A

A

A

f (x) trên A với độ đo µ, là

A

f − (x)dµ.

f + (x)dµ −

f (x)dµ =

1.4.4

A

A

Các tính chất sơ cấp

a. Cộng tính
Nếu A

B = ∅ thì

f (x)dµ =
A

B

A

f − (x)dµ có nghĩa thì tích phân của hàm đo được

f + (x)dµ −

Nếu hiệu

f − (x)dµ.

f + (x)dµ,

Các hàm số f + (x), f − (x) có tích phân tương ứng trên A là

f (x)dµ +
A

f (x)dµ.
B

Nếu f (x) là hàm đơn giản trên A ∪ B.
12


Tồn tại f1 , f2 , . . . , fn là các giá trị khác nhau đôi một của f (x).
n

Đặt Ek = {x ∈ A

B : f (x) = fk }, k = 1, . . . , n thế thì

Ek = A

B.

k=1

n

fk XEk (x), Ek = (A ∪ B) ∩ Ek = (A ∩ Ek ) ∪ (B ∩ Ek ).

Ta có f (x) =
k=1

Vì A ∩ B = ∅ nên A ∩ Ek , B ∩ Ek rời nhau. Do đó

n

fk (x)µ(Ek )

f (x)dµ =
k=1

A∪B

n

n

fk (x)µ(A ∩ Ek ) +

=
k=1

=

fk (x)µ(B ∩ Ek )
k=1

f (x)dµ +
A

f (x)dµ.
B

Nếu f (x) > 0 trên tập A ∪ B, fn (x) là dãy hàm đơn giản không âm và hội
tụ tới f (x) tại mọi điểm x ∈ A ∪ B.
Theo chứng minh trên
fn (x)dµ =
A∪B

Suy ra lim

n→∞
A∪B

A∪B

A

fn (x)dµ = lim

fn (x)dµ.
B

fn (x)dµ + lim

n→∞

f (x)dµ +
A

fn (x)dµ.

n→∞

A

f (x)dµ =

Hay

fn (x)dµ +

B

f (x)dµ.
B

Nếu f (x) có dấu bất kỳ.
Ta đặt f (x) = f + (x) − f − (x)

A∪B

f − (x)dµ.

f + (x)dµ −

f (x)dµ =
A∪B

A∪B

Theo chứng minh trên thì
f + (x)dµ =
A∪B

f + (x)dµ +
A

f − (x)dµ =
A∪B

f + (x)dµ.

(1.3)

f − (x)dµ

(1.4)

B

f − (x)dµ +
A

B

13


Lấy (1.3) - (1.4) ta có

A∪B

f − (x)dµ +

f + (x)dµ −

f (x) =
A

A

=

B

f (x)dµ +

f − (x)dµ

f + (x)dµ −
B

f (x)dµ.

A

B

b. Bảo toàn thứ tự
Nếu f (x), g(x) bằng nhau h.k.n trên A thì

f (x)dµ =

g(x)dµ.

A

A

c. Tuyến tính
c.f (x)dµ = c

i)
A

f (x)dµ (c là hằng số).
A

ii) f (x) + g(x) xác định h.k.n trên A thì
(f (x) + g(x))dµ =
A

f (x)dµ +
A

g(x)dµ.
A

d. Khả tích
f (x)dµ có nghĩa thì |

i) Nếu
A

f (x)dµ |

| f (x) | dµ.

A

A

ii) f (x) khả tích khi và chỉ khi | f (x) | khả tích .
iii) Nếu | f (x) |

g h.k.n trên A và g(x) khả tích thì f (x) cũng khả tích.

iv) Nếu f (x), g(x) khả tích thì f (x) ± g(x) cũng khả tích. Nếu f (x) khả tích
g(x) bị chặn thì f (x), g(x) cũng khả tích.
Chứng minh.
i) Ta có

|
A

f − (x)dµ |

f + (x)dµ −

f (x)dµ | = |
A

A

f − (x)dµ

f + (x)dµ +
A

A

(f + (x) + f − (x))dµ =

=
A

ii) Nếu | f (x) | khả tích thì

| f (x) | dµ.
A

| f (x) | dµ < +∞ suy ra |
A

f (x)dµ |< +∞
A

hay f (x) khả tích.
14


A

+∞.

A

A

f − dµ <

f + dµ < +∞,
A

A

(f + (x) + f − (x))dµ < +∞ hay | f (x) | khả tích.

| f (x) | dµ =

Vậy

f − dµ < +∞ nên

f + dµ −

Nếu f (x) khả tích,

A

iii) Vì | f (x) |

g(x) h.k.n trên A, g(x) khả tích nên
| f (x) | dµ

g(x)dµ < +∞.

A

A

Do đó | f (x) | khả tích nên theo chứng minh trên f (x) khả tích .
iv) Nếu f (x), g(x) khả tích thì

f (x)dµ,
A

(f (x) + g(x))dµ =
A

A

f (x)dµ +
A

g(x)dµ hữu hạn.

g(x)dµ hữu hạn hay f (x) + g(x) khả tích.
A

Tương tự ta có f (x) − g(x) khả tích.
Nếu f (x) khả tích, g(x) bị chặn . Giả sử | g(x) |
Ta có | f (x).g(x) |

m. | f (x) |

| f (x).g(x) | dµ

Nên
A

m.

(m. | f (x) |)dµ = m.
A

f (x)dµ.
A

Mặt khác f (x) khả tích nên | f (x) | cũng khả tích ( chứng minh trên ).
| f (x) | dµ < ∞ suy ra

Do đó
A

| f (x).g(x) | dµ < ∞ hay | f (x).g(x) |
A

khả tích. Vậy f (x), g(x) cũng khả tích.

15


Chương 2

ĐỊNH LÝ RADON-NYKODYM
Trong chương này chúng tôi trình bày vấn đề nghiên cứu chính của khóa
luận về Định lý Radon-Nykodym. Trước hết chúng tôi trình bày các vấn đề
liên quan tới độ đo liên tục tuyệt đối, kế đến là phân tích Lebesgue-RadonNykodym. Đây là những kiến thức cần thiết cho việc trình bày nội dung
nghiên cứu chính cũng như áp dụng ở chương sau.

2.1

Độ đo liên tục tuyệt đối và tính chất

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử (X, M) là một không gian đo được, µ là một độ
đo dương và ϕ, λ là những độ đo dương hoặc có dấu, xác định trên M.
a) ϕ được gọi là liên tục tuyệt đối đối với µ, ký hiệu là ϕ

µ nếu:

∀A ∈ M, µ(A) = 0 ⇒ ϕ(A) = 0.
b) ϕ được gọi là tập trung trên tập B ∈ M nếu:
ϕ(A) = ϕ(A ∩ B)

(∀A ∈ M)

nói cách khác,nếu A ⊂ B c ta luôn có ϕ(A) = 0.
c)Hai độ đo ϕ, λ được gọi là kỳ dị đối với nhau, ký hiệu ϕ ⊥ λ, nếu có tập
B ∈ M sao cho ϕ tập trung trên B, λ tập trung trên B c .
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử µ là độ đo dương và ϕ, ϕ1 , ϕ2 là các độ đo(có dấu
hoặc dương).
a) Nếu ϕ1

µ và ϕ2

µ thì ϕ1 + ϕ2
16

µ và ϕ1 − ϕ2

µ


Hệ quả: ϕ1 − ϕ2

µ.

b)Nếu ϕ1 ⊥ µ và ϕ2 ⊥ µ thì ϕ1 + ϕ2 ⊥ µ
Hệ quả: ϕ1 − ϕ2 ⊥ µ.
c)Nếu ϕ

µ và ϕ ⊥ µ thì ϕ = 0.

d)Nếu ϕ

µ thì ϕ+

µ và ϕ−

µ.

Chứng minh.
a)Ta chứng minh ϕ1 + ϕ2

µ như sau.

∀A ∈ M, giả sử ϕ(A) = 0, cần chứng minh (ϕ1 + ϕ2 )(A) = 0.
Ta có:
(ϕ1 + ϕ2 )(A) = ϕ1 (A) + ϕ2 (A), ∀A ∈ M.
Nhận xét 1: Do ϕ1
Do ϕ2

(2.1)

µ, µ(A) = 0, ⇒ ϕ1 (A) = 0.

µ, µ(A) = 0, ⇒ ϕ2 (A) = 0 thay các kết quả này vào (2.1), vậy ta có

(ϕ1 + ϕ2 )(A) = 0 + 0 = 0 ∀A ∈ M.
Do vậy theo định nghĩa sự liên tục tuyệt đối ta suy ra: ϕ1 + ϕ2

µ. ∀A ∈

M, µ(A) = 0. Ta cần chứng minh (ϕ1 − ϕ2 )(A) = 0.
Thật vậy, ta có:
(ϕ1 − ϕ2 )(A) = ϕ1 (A) − ϕ2 (A), ∀A ∈ M.
Nhận xét 2: Do ϕ1
Do ϕ2

(2.2)

µ, µ(A) = 0, A ∈ M ⇒ ϕ1 (A) = 0.

µ, µ(A) = 0, A ∈ M ⇒ ϕ2 (A) = 0 thay các kết quả này vào (2.2),

vậy ta có (ϕ1 − ϕ2 )(A) = 0 + 0 = 0, ∀A ∈ M.
Do vậy theo định nghĩa sự liên tục tuyệt đối ta suy ra: ϕ1 − ϕ2

µ.

b)Do ϕ1 ⊥ µ, ϕ2 ⊥ µ nên ta tìm được
A1 ∈ M sao cho ϕ1 tập trung trên A1 , µ tập trung trên Ac1
A2 ∈ M sao cho ϕ2 tập trung trên A2 , µ tập trung trên Ac2 .
Khi đó ϕ1 + ϕ2 tập trung trên A1 ∪ A2 và µ tập trung trên (A1 ∪ A2 )c .
Thật vậy lấy B ⊂ (A1 ∪ A2 )c = Ac1 ∩ Ac2 thì B ⊂ Ac1 và B ⊂ Ac2 .
Mà ϕi tập trung trên Ai , i = 1, 2 nên ϕi (B) = 0, i = 1, 2.
17


Do đó (ϕ1 + ϕ2 )(B) = ϕ1 (B) + ϕ2 (B) = 0.
Do đó (ϕ1 + ϕ2 ) tập trung trên A1 ∪ A2 .
Lấy B ⊂ A1 ∪ A2 .
Ta có: B = (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) = B1 ∪ B2

0

µ(B) = µ(B1 ∪ B2 )

µ(B1 ) + µ(B2 ) = 0.

Nên µ(B) = 0.
Vậy µ tập trung trên (A1 ∪ A2 )c .
c)Để chứng minh ϕ = 0, ta lấy ∀A ∈ M, rồi chứng minh ϕ(A) = 0.
Ta có:
ϕ

µ ⇔ (µ(U ) = 0 ⇒ ϕ(U ) = 0, ∀U ∈ M)

ϕ ⊥ µ ⇔ ∃B ∈ M sao cho:
ϕ tập trung trên B
µ tập trung trên B c
Ta có: ∀A ∈ M thì A = A ∩ X = A ∩ (B ∪ B c ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )

⇒ ϕ(A) = ϕ(A ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) = ϕ(A ∩ B) + ϕ(A ∩ B c ).

(2.3)

Nhận xét 3: (do A ∩ B, A ∩ B c ∈ M, (A ∩ B) ∩ (A ∩ B c ) = ∅ và ϕ là độ đo
có dấu xác định trên M).
Nhận xét 4: A ∩ B ⊂ B = (B c )c mà µ tập trung trên B c (giả thiết)
⇒ µ(A ∩ B) = 0 ⇒ ϕ(A ∩ B) = 0

. (do ϕ

µ)

Nhận xét 5: A ∩ B c ⊂ B c mà ϕ tập trung trên B (giả thiết)
⇒ ϕ(A ∩ B c ) = 0.
Thay các kết quả này vào (2.3), ta được ∀A ∈ M, ϕ(A) = 0.
Điều này dẫn đến ϕ = 0.
d)Trường hợp 1: Chứng minh ϕ+

µ

∀A ∈ M, µ(A) = 0, chứng minh ϕ+ (A) = 0.
Ta có: ϕ+ (A) = sup{ϕ(B)/B ⊂ A, B ∈ M}
18


Ta có khẳng định dưới đây
ϕ(B) = 0,∀B ∈ M, B ⊂ A.
Thật vậy: Với B ⊂ A ⇒ µ(B)
Giả thiết cho ϕ

µ(A) mà µ(A) = 0 ⇒ µ(B) = 0.

µ, nên với µ(B) = 0 ⇒ ϕ(B) = 0.

Tóm lại:
ϕ(B) = 0, ∀B ∈ M, B ⊂ A
⇒ sup{ϕ(B)/B ⊂ A, B ∈ M} = 0
⇒ ϕ+ (A) = 0.
Trường hợp 2: Chứng minh ϕ−

µ.

∀A ∈ M : µ(A) = 0, chứng minh ϕ− (A) = 0. Ta có:
∀A ∈ M thìϕ− (A) = ϕ+ (A) − ϕ(A).
Nhận xét: giả thiết cho ϕ

(2.4)

µ

Vậy thì ∀A ∈ M : µ(A) = 0 ⇒ ϕ(A) = 0.
Chứng minh tiếp cho ta ϕ+

µ.

Vậy thì với µ(A) = 0 ⇒ ϕ+ (A) = 0 thay các kết quả này vào (2.4).
Ta được ϕ− (A) = 0.
Mệnh đề 2.1.3. Cho không gian độ đo (X, M, µ) và ϕ là độ đo có dấu xác
định trên M. Các mệnh đề sau tương đương.
1) ϕ

µ.

2) ∀ε > 0, ∃δ > 0 : A ∈ M, µ(A) < δ ⇒ |ϕ(A)| < ε.
Từ đó suy ra rằng nếu hàm f khả tích trên X theo độ đo µ thì
∀ε > 0, ∃δ > 0 : A ∈ M, µ(A) < δ ⇒

|f |dµ < ε.
A

Chứng minh.
Ta chứng minh 2) ⇒ 1)
Xét A ∈ M mà µ(A) = 0.∀ε > 0, ∃δ > 0 thỏa 2), ta chứng minh ϕ(A) = 0.
Do, µ(A) = 0 ⇒ µ(A) < ε.

19


Chọn δ = ε ta có µ(A) < δ từ (2) suy ra
⇒ |ϕ(A)| = 0 ⇒ ϕ(A) = 0
Vậy ϕ

µ.

Ta chứng minh 1) ⇒ 2)
µ mà ∃ε > 0 : ∀δ > 0, ∃A ∈ M, µ(A) < δ và |ϕ(A)|

Giả sử ϕ

ε.

Với δ = 2−n ta xây dựng được dãy (An )n ⊂ M sao cho µ(An ) < 2−n và
|ϕ(An )|

ε.

Đặt:
B1 = A1 ∪ A2 ∪ . . . . . . ∪ An ∪ . . . . . .
A2 ∪ . . . . . . ∪ An ∪ . . . . . .

B2 =
.

...........................

.

...........................

.

...........................
An ∪ An+1 . . .

Bn =


Ta có: Bn =

Ak , (Bn ) là dãy giảm. Do tích phân Jordan ta coi ϕ là độ đo
k=n

dương, hữu hạn
+∞

Đặt B =

+∞

Bn , vì Bn giảm nên ta có: ϕ(B) = ϕ(
n=1


Vì Bn =


(vì



Ak nên ta có: µ(Bn )
k=n



2−k hội tụ nên

k=1

Bn ) = lim ϕ(Bn ).

n=1

−k

µ(Ak )

2

k=n

k=n

2−k → 0)

k=n

Suy ra
lim µ(Bn ) = 0.

n→∞
+∞

⇒ µ(B) = 0

(vì B =

Bn nên µ(B)

µ(Bn ))

n=1

Suy ra ϕ(B) = 0 (vì ϕ

µ).

Suy ra:
lim µ(Bn ) = 0.

n→∞

20

n→∞

−→ 0 (n → ∞)


Mà ta có ϕ(Bn )

ϕ(An )

ε.Ta gặp mâu thuẫn

Vậy ta có 1)⇒ 2).

Mệnh đề 2.1.4. Cho không gian với độ đo hữu hạn (X, M, µ), ϕ là độ đo có
dấu xác định trên M.
Trong M ta qui ước A = B nếu µ(A
d(A, B) = µ(A

B) = 0 và xét metric
|1A − 1B |dµ,

B) =

A, B ∈ M.

X

Xét ϕ như ánh xạ từ (M, d) vào R thì các mệnh đề sau tương đương
1) ϕ liên tục trên M.
2) ϕ liên tục tại tập hợp điểm ∅.
3) ϕ

µ.

Chứng minh.
Ta chứng minh 1)⇒ 2)
Do ϕ liên tục trên M.
Nên ϕ liên tục tại mọi điểm thuộc M.
Suy ra ϕ liên tục tại tập hợp điểm ∅.
Ta chứng minh 2)⇒ 3)
Vì ϕ liên tục tại tập hợp điểm ∅ nên ta có:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : A ∈ M cho trước mà
d(A, ∅) < δ thì |ϕ(A) − ϕ(∅)| < ε tức |ϕ(A)| < ε.
Với A ∈ M mà µ(A) = 0 ta có
|1A |dµ =

d(A, ∅) =
X

1A dµ
X

= µ(A ∩ X) = µ(A) = 0 < δ.
Do đó |ϕ(A)| < ε. Do ε > 0 bất kỳ nên ϕ(A) = 0. Vậy ϕ
Ta chứng minh 3) ⇒ 1)
Ta có ϕ

µ nên
21

µ.


∀ε > 0, ∃δ > 0 : A ∈ M cho trước mà
µ(A) < δ ⇒ |ϕ(A)| < ε < ε/2.
Xét tùy ý B ∈ M, ∀A ∈ M mà d(A, B) < δ ta có:

|1A − 1B |dµ

d(A, B) =
X

= µ(A\B) − µ(B\A) < δ.



µ(A\B) < δ


µ(B\A) < δ






ϕ(A\B) < ε/2


ϕ(B\A) < ε/2

Khi đó do
ϕ(A) + ϕ(B\A) = ϕ(A ∪ B) = ϕ(B) + ϕ(A\B).
Ta có:
|ϕ(A) − ϕ(B)| = |ϕ(A\B) − ϕ(B\A)|
|ϕ(A\B)| + |ϕ(B\A)|
< ε/2 + ε/2 = ε.
Vậy ta đã chứng minh.
∀ε > 0, ∃δ > 0 : A ∈ M, d(A, B) < δ ⇒ |ϕ(A) − ϕ(B)| < ε.
Do đó liên tục tại B ⊂ M bất kỳ.

2.2

Phân tích Lebesgue-Radon-Nikodym

Mệnh đề 2.2.1. Cho không gian có độ đo (X, M, µ) và ϕ là một độ đo có
dấu xác định trên M.
Khi đó tồn tại duy nhất một cặp độ đo ϕa , ϕs xác định trên M,sao cho:

ϕ = ϕa + ϕs , ϕa
22

µ, ϕs ⊥ µ.

(2.5)


Chứng minh.
Bước 1: Chứng minh sự duy nhất, giả sử rằng có cặp độ đo ϕa , ϕs thỏa mãn:
ϕ = ϕa + ϕs ,
trong đó ϕa

µ, ϕs ⊥ µ.

Ta có: ϕa + ϕs = ϕa + ϕs .

⇔ ϕa − ϕa = ϕs − ϕs .

(2.6)

Ta có:
ϕa − ϕa

µ.

(do ϕa , ϕa

µ)

(2.7)

ϕs − ϕs ⊥ µ.

(do ϕs , ϕs

µ)

(2.8)

Nhận xét: từ (2.6) và (2.7)
⇒ ϕs − ϕs

µ.

(2.9)

⇒ ϕa − ϕa ⊥ µ.

(2.10)

từ (2.7) và (2.8) ⇒ ϕ − ϕs = 0 (mệnh đề)
Suy ra: ϕs = ϕs .
Nhận xét: từ ( ) và (2.8)

từ (2.7) và (2.10)⇒ ϕa − ϕa = 0 (mệnh đề)
⇒ ϕa = ϕa .
Từ đây suy ra sự biểu diễn là duy nhất.
Bước 2: Chứng minh: sự tồn tại.
Do ta có sự phân tích Jordan ϕ = ϕ+ − ϕ− nên nếu điều phải chứng đã đúng
cho độ đo dương thì:
+


ϕ = (ϕ+
a + ϕs ) − (ϕa + ϕs )

+

= (ϕ+
a − ϕa ) + (ϕs − ϕs )

23


Và do các mệnh đề 2.1.2a), b) nên ta có tích phân của ϕ.
Vậy ta có thể coi ϕ là độ đo dương, hữu hạn và định nghĩa số:
c = sup{ϕ(A) : A ∈ M, µ(A) = 0}
Ta xét các trường hợp xảy ra của c
i) Trường hợp 1: c = 0
Khi đó ∀A ∈ M, µ(A) ⇒ ϕ(A) = 0
Vậy
ϕ

µ.

(2.11)

ϕ = ϕ + 0 := ϕa + ϕs với ϕa = ϕ.

(2.12)

ϕs = 0.

(2.13)

Ta có:

Nhận xét 1: ϕa

µ (do (2.10) và (2.12))

Nhận xét 2: ϕs ⊥ µ thật vậy
Chọn A ∈ M cho trước thỏa µ(A) = 0.
Khi đó ∀B ∈ M, B ⊂ Ac ⇒ ϕs (B) = 0 (do (2.13))
∀B ∈ M, D ⊂ (Ac )c = A ⇒ 0

µ(D)

µ(A) = 0

hay µ(D) = 0 điều này chứng tỏ



ϕs tập trung trên A


µ tập trung trênAc
Suy ra: ϕs ⊥ µ.
Tóm lại: ϕ = ϕa + ϕs với ϕa

µ, ϕs ⊥ µ trong đó ϕa = ϕ, ϕs = 0.

Đây là phân tích tầm thường.
ii) Trường hợp 2: c > 0
Do c = sup{ϕ(A) : A ∈ M, µ(A) = 0}.
Suy ra ∃An ∈ M, µ(An ) = 0∀n = 1, 2, . . . sao cho: lim ϕ(An ) = c
n→∞

24




Đặt B =

An
n=1

ϕa (C) = ϕ(C ∩ B c ),

∀C ∈ M (∗)

ϕs (C) = ϕ(C ∩ B).
Dưới đây chứng minh 2 việc:
i)ϕa

µ.

ii)ϕs ⊥ µ.
Giải quyết vấn đề (i):
Lâý ∀A ∈ M sao cho µ(A) = 0, chứng minh ϕa (A) = 0.
Ta có:
ϕa (A) = ϕ(A ∩ B c )
= ϕ[A ∩ (X\B)]


= ϕ[A ∩ (X\

An ]
n=1



Acn )]

= ϕ[A ∩ (
n=1


= ϕ[

(A ∩ Acn )]

n=1

ϕ(A ∩ Acn ) = ϕ[A ∩ (X\An )]
= ϕ[(A ∪ An )\An ] = ϕ(A ∪ An ) − ϕ(An ).

(2.14)

Nhận xét: ϕ(A ∪ An ) ∈ {ϕ(U ) : U ∈ M, µ(U ) = 0}
Thật vậy. A ∪ An ∈ M và µ(A ∪ An )

µ(A) + µ(An ) = 0 + 0 = 0.

Do vậy ϕ(A ∪ An ) ∈ {ϕ(U ) : U ∈ M, µ(U ) = 0}.
Do đó ta có sup{ϕ(U ) : U ∈ M, µ(U ) = 0}
Suy ra c
0

ϕa (A)

ϕ(A ∪ An )

ϕ(A ∪ An ) thay kết quả vào (2.13), được
C − ϕ(An ), ∀n = 1, 2, . . . cho n → ∞ ta có ngay ϕa (A) = 0.

Giải quyết vấn đề (ii):
Ta có ϕs tập trung trên B, thật vậy,

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×