Tải bản đầy đủ

SKKN phương pháp sử dụng hình tọa độ trong mặt phẳng giải các bài tập về số phức

I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình đại số là phương trình dạng:
a0.xn + a1.xn-1 + … + an-1.x + an = 0.
Trong đó n là một số nguyên dương; a0, a1, …, an là các số đã cho và
được gọi là các hệ số của phương trình, x là ẩn số. Nếu a 0 ≠ 0 thì n là bậc của
phương trình.
Việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình đại số và tìm công
thức tính nghiệm của nó đã thu hút công sức của nhiều nhà toán học, trong
nhiều thế kỷ. Chính từ những nghiên cứu đó đã ra đời ngành Đại số và thúc
đẩy sự phát triển của nhiều lĩnh vực toán học khác.
Ta đã biết rằng các phương trình x 2 + 1 = 0 và x2 + 9 = 0 không có
nghiệm thực. Một cách tổng quát các phương trình bậc hai với hệ số thực
Ax2 + Bx + C = 0 mà biệt thức ∆ < 0 , chẳng hạn x2 – 2x + 2 = 0 (biệt thức
∆ = −4 ) đều không có nghiệm thực.
Sự phát triển của toán học, khoa học đòi hỏi phải mở rộng tập hợp các
số thực thành một tập hợp số mới gọi là tập hợp các số phức, trong đó có các
phép toán cộng và nhân với các tính chất tương tự phép toán cộng và nhân số
thực, sao cho các phương trình nói trên đều có nghiệm. Muốn thế, người ta
đưa ra số i sao cho bình phương của nó bằng -1. Khi đó i là một nghiệm của
phương trình x2 + 1 = 0 và 3i là một nghiệm của phương trình x 2 + 9 = 0; còn

1 + i là một nghiệm của phương trình x 2 – 2x + 2 = 0 … Các số a + bi
(a; b ∈ R) gọi là các số phức.
Trong chương trình toán THPT, “số phức” được giới thiệu trong sách
giáo khoa chương IV giải tích lớp 12. Tuy nhiên, các tác giả mới chỉ bước đầu
giới thiệu vè các khái niệm cơ bản như: định nghĩa số phức, các phép toán
trên tập hợp số phức, số phức liên hợp,… Các bài tập đưa ra minh họa cho
học sinh đa phần là áp dụng các biến đổi đại số về cơ bản. Trong khi đó, các
bài toán về số phức trong đề thi môn toán THPT quốc gia năm 2017 và đề
minh họa năm 2018 có xuất hiện nhiều bài toán khó, có liên quan đến hình
học tọa độ trong mặt phẳng.
Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức
cơ bản về số phức, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt kiến thức đó để
giải toán và áp dụng trong thực tiễn. Đặc biệt, biết sử dụng các kiến thức về
hình học tọa độ trong mặt phẳng để giải quyết các bài toán số phức khó, tôi đã
chọn đề tài “Phương pháp sử dụng hình tọa độ trong mặt phẳng giải các
bài tập về số phức”.
2. Mục đính nghiên cứu
Các bài toán về số phức là một dạng bài tập mới đối với học sinh
THPT, làm thay đổi các tư duy và nhìn nhận vấn đề về nghiệm của phương
trình đại số, mang tính trừu tượng và bước đầu có thể làm cho học sinh có sự
ngỡ ngàng, thiếu tính logic.

1


Một kiến thức mới, cần phải có thời gian để học sinh thực hành và làm
quen. Tuy nhiên cái khó của người giáo viên trong giảng dạy số phức là số
phức được đưa vào chương trình cuối cùng của SGK giải tích 12 khi kết thúc
chương trình giáo dục phổ thông nên thời gian giành để nghiên cứu nó bị hạn
chế. Các bài toán khó của số phức lại cần vận dụng các kiến thức hình học
phẳng của lớp 10 để giải quyết, hai vấn đề khó lại nằm cách xa nhau trong
chương trình toán THPT. Vì vậy, việc hướng dẫn học sinh biết hệ thống kiến
thức và xây dựng một lớp bài toán sử dụng phương pháp hình tọa độ trong
mặt phẳng đề giải toán số phức là rất cần thiết. Có như vậy, học sinh mới có
thể giải quyết nhanh các bài tập khó về số phức trong đề thi trắc nghiệm toán.
Vậy vấn đề đặt ra là:
• Cần giúp học sinh tiếp cận hệ thống và ghi nhớ đầy đủ các tính chất
và khái niệm cơ bản về số phức.
• Cần giúp học sinh biết vận dụng hình học phẳng để phân loại các
bài tập về số phức và vạch ra sơ đồ tư duy cho các bài toán về số


phức.
• Giúp học sinh biết vận dụng kiến thức về số phức các bài toán thực
tế trong cuộc sống.
3. Đối tượng nghiên cứu
Để giải quyết các vấn đề nêu trên, trong đề tài này tôi đề xuất các ý
tưởng nghiên cứu sau:
• Cần cho học sinh tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm của hình tọa độ
trong mặt phẳng dưới dạng sơ đồ tư duy để từ đó khắc sâu được
kiến thức.
• Từ các bài toán cụ thể, dẫn dắt học sinh tự đúc kết ra các kinh
nghiệm giải toán. Qua đó tự tìm ra thuật giải cho bài toán số phức áp
dụng hình học tọa độ trong mặt phẳng.
• Cho học sinh thấy được mối liên hệ của kiến thức đang học với thực
tiễn cuộc sống.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và tự đốc rút ra
các khái niệm cơ bản và các tính chất cơ bản.
• Thống kê số liệu để phân loại được các bài toán về số phức áp dụng
hình học và rút ra được hệ thống sơ đồ tư duy trong giải các bài tập
về số phức.
• Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin để biết thực trạng dạy và
học ở trường sở tại để đưa ra được thuật giải logic, ngắn gọn, dễ
hiểu và dễ nhớ nhất
• Từ các bài toán đưa ra mối liên hệ của số phức trong các nghiên cứu
toán học, vật lí, khoa học, kĩ thuật.

2


II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
• Căn cứ vào nội dung chương trình của SGK môn hình học lớp 10
(chương III)
• Căn cứ vào nội dung chương trình của SGK môn giải tích lớp 12
(chương IV).
• Căn cứ vào hệ thống bài tập ôn tập chương IV giải tích lớp 12.
• Căn cứ vào phân loại các dạng bài tập trong tài liệu tham khảo: Prox
luyện thi THPT quốc gia môn toán 2018 (Biên soạn Đặng Hoài
Nam).
Tuy nhiên, trong các tài liệu tham khảo trên đa phần đều nặng về lí
thuyết, chưa phân dạng các bài toán số phức cụ thể và chi tiết, chưa đưa ra
được kết cấu một bài làm dưới dạng sơ đồ tư duy. Dựa vào các tài liệu trên,
tôi đã hướng dẫn học sinh phân loại được các dạng toán cụ thể và xây dựng
được một hệ thống tư duy cho lớp các bài tập về số phức.
Vì vậy, chỉ cần đọc đề bài là học sinh đã có thể phân loại và nhận dạng
bài tập cần làm (theo sơ đồ tư duy định sẵn có ở trong đầu đã được học và
không sa vào chứng minh rườm rà) . Khi đó học sinh chỉ cần áp dụng kết quả
cuối cùng và sử lí theo số liệu cụ thể của đề bài. Đây chính là bí quyết để học
sinh rút ngắn thời gian làm bài.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi học xong khái niệm, tôi đã cho học sinh thực hành làm bài trắc
nghiệm 50 câu với phân loại 50 câu đủ ba phần: Câu hỏi nhận dạng, câu hỏi
vận dụng và câu hỏi vận dụng cao. Thực hiện kiểm chứng trên lớp với 45 học
sinh 12 A5 năm học 2017 – 2018 thu được kết quả sau:
Nhận biết(nắm vững lý
thuyết)

Thông hiểu(có thể vận
Vận dụng linh hoạt
dụng lý thuyết để giải (giải được đa số các bài
toán)
tập đưa ra)
Số
Phần trăm
Số
Phần trăm
Số
Phần trăm
học sinh
học sinh
học sinh
45
100%
20
44,4%
7
15,6%
Tuy nhiên về thời gian thu được kết quả sau:
Từ 5 phút/ 1 bài
Từ 2 phút/ 1 bài
Trên 10 phút / 1
1,8 phút / 1 bài
đến 10 phút/ 1
đến 5 phút/ 1 bài
bài
bài
Số
Số
Số
Số
Phần
Phần
Phần
Phần
học
học
học
học
trăm
trăm
trăm
trăm
sinh
sinh
sinh
sinh
2
4,4%
5
11,1%
13
28,9%
20
55,6%
Đặc điểm của lớp thực nghiệm là:
Số học sinh của lớp: 45

3


Kết quả học tập về môn toán năm học 2016 – 2017 là: 7 học sinh có
học lực giỏi, 13 học sinh có học lực khá, 21 học sinh có học lực trung bình 4
học sinh có học lực yếu.
Như vậy qua khảo sát trên ta thấy đa số học sinh chưa đảm bảo với yêu
cầu kiểm tra đánh giá mới.
3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
3.1. Phương pháp giúp học sinh sử dụng kiến thức về đường thẳng,
đoạn thẳng để giải bài tập số phức.
a. Hệ thống kiến thức về đường thẳng, đoạn thẳng, cần sử dụng:
Bước đầu tiên học sinh phải biết hệ thống lại các kiến thức cần thiết để
sử dụng khi giải toán bao gồm:
a.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mặt phẳng
M
ax + by + c = 0 (a 2 + b2 ≠ 0)
a.2. Khoảng cách từ điểm M(x0,y0) đến đường thẳng ∆ :
d ( M , ∆) =

a.x0 + b. y0 + c
a 2 + b2



d

H

a.3. Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng
cách đều hai điểm A ≠ B cho trước là đường trung trực
của đoạn thẳng AB
Tính chất sử dụng: Đường thẳng d là trung trực
của đoạn thẳng AB.
A

B

M ∈ d ⇔ MA = MB

Đặc biệt: học sinh cần chứng minh được hai bài toán cực trị đặc biệt sử dụng
đến đường thẳng:
Bài toán cực trị 1: Cho điểm M không nằm trên đường thẳng d. Tìm
điểm N trên d sao cho độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d.
M
Ta có MN ≥ MH
Vậy MN min = MH ⇔ N ≡ H

N

d

H
Bài toán cực trị 2: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B
không nằm trên d. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB có độ dài nhỏ nhất.
Trường hợp 1: A, B nằm khác phía với d.
Gọi I = AB ∩ d

4


A

Ta có MA + MB ≥ AB

MA + MB ≥ IA + IB
Vậy ( MA + MB)min = AB ⇔ M ≡ I

I

d

Trường hợp 2: A, B nằm cùng phía với d.
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d.
Gọi I = A ' B ∩ d
A
Ta có: MA + MB = MA '+ MB
Mà MA '+ MB ≥ A ' B
M

M

B

B

d

MA '+ MB ≥ IA '+ IB
Vậy ( MA + MB)min = A ' B ⇔ M ≡ I

A
b. Mối liên hệ của số phức với hình’ tọa độ trong mặt phẳng:
b.1. Biểu diễn hình học số phức:
Mỗi số phức t = a + bi, trong đó a, b ∈ R hoàn toàn được xác định bởi
cặp số thực (a;b). Điểm M(a;b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng
được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.
y
b.2. Mô đun của sốuuphức
uu
r
Độ dài của véc tơ OM được gọi là mô đun
M
b
của số phức z và kí hiệu là z
uuuu
r

uuuu
r

Vậy z = OM hay a + bi = OM = OM
O

x

a

Như vậy: Từ các khái niệm cơ bản trên học sinh phải biết chuyển ngôn
ngữ của số phức từ đại số sang ngôn ngữ của hình học tọa độ trong mặt
phẳng. Điều quan trọng nhất là phải biết đưa bài toán tìm mô đun nhỏ nhất,
mô đun lớn nhất của số phức z về tìm khoảng cách (hay độ dài) OM nhỏ nhất,
OM lớn nhất. Viết tắt là:
z min = OM min ,   z max = OM max
Bài toán 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng
hoặc miền giới hạn bởi các đường thẳng.
Trong bài toán này, học sinh sẽ làm quen với hình minh họa trong đề thi
và ngược lại từ đề bài biết thể hiện lại hình ảnh minh họa cho số phức z.
Bài tập 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng như
hình vẽ. Khi đó giá trị z nhỏ nhất bằng?
A. 5

C.

1
5

B. 2

D.

2
5

Giải:
Học sinh tìm được phương trình đường thẳng trong hình vẽ ∆ : x − 2 y + 2 = 0

5


z min = OM min = d (0; ∆)
2

=

( 1)

2

+ ( −2 )

2

=

2
5.

Vậy đáp án đúng là D.

Bài tập 2 : Tập hợp các điểm biểu
diễn số phức z là đường thẳng như hình
vẽ. Khi đó giá trị z nhỏ nhất với số phức
z bằng:
A. z = 1 + i
1
2

B. z = + i

1 1
2 2
1
D. z = + i
2

C. z = + i

Giải:
Bài toán này có yêu cầu khó hơn. Ngoài nhận dạng z min học sinh cần
tìm được tọa độ của điểm M biểu diễn số phức z.
Phương trình đường thẳng trong hình vẽ: ∆ : x + y − 1 = 0
z min = OM min ⇔ M là hình chiếu vuông góc của O trên ∆ .
r
uuuu
r
∆ có véc tơ pháp tuyến n(1,1) .
M ∈ ∆ ⇒ M ( x;1 − x) ⇒ OM = ( x;1 − x)
1

n=

uuuu
r
r
uuuu
r
r
 x = k .1

2
⇔
OM song song với n ⇒ OM = k .n . ⇔ 
(1 − x) = k .1 k = 1

2
1 1
1 1
Vậy M  ; ÷ z min ⇔ z = + i
Đáp án: C.
2 2
2 2

Bài tập 3: Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa
độ là hình vuông (phần tô đậm) như hình vẽ.
Mô đun lớn nhất của số phức z là bao nhiêu?
A. 1
C. 3
B. 2
D. 2
Giải:
Học sinh sẽ dễ dàng nhận dạng được
O
z max khi OM max khi M nằm ở bốn vị trí A,
B, C, D như hình vẽ và khi đó
z max = 12 + 12 = 2

Đáp án: B.

6


Bài tập 4: Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa
độ là hình chữ nhật tô đậm như hình
vẽ. Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức
z.
A. 1
C. 0
B. 2
D. – 1
Giải:
z min = OM min = 0

Khi và chỉ khi M ≡ O
Đáp án: C
Bài tập 5: Trên mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số
phức z thỏa mãn điều kiện phần thực của z bằng -3.
A. Đường thẳng x + y = 3
B. Đường thẳng x = -3
C. Đường thẳng y = -3
D. Đường thẳng x + y = c
Giải :
Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm
M(a ;b)
Theo đề bài a = -3. Vậy M (-3 ;b)
Hay tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x = -3
Đáp án: B.
Bài tập 6 : Các điểm biểu diễn số phức z được xác định như hình vẽ.
(Phần tô đậm kể cả các điểm nằm trên 2 đường
thẳng). Khi đó số phức z có dạng :
A. z = x + yi ( x; y ∈ R)
B. z = x + yi ( x; y ∈ R; −1 ≤ x ≤ 2)
C. z = x + yi ( x; y ∈ R; −1 < x < 2)
D. z = x + yi ( x; y ∈ R; −1 < x ≤ 2)
Giải:
Học sinh sẽ nhận thấy được phần thực của sô
phức z được giới hạn từ
-1 đến 2. Vậy đáp án đúng là B.
Bài tập 7: Các điểm biểu diễn số phức z được xác định như hình vẽ.
(Phần tô đậm không kể các điểm nằm trên hai đường thẳng). Khi đó số phức z
có dạng.
A. z = a + bi (a; b ∈ R;1 < b ≤ 3)
B. z = a + bi (a; b ∈ R;1 ≤ b ≤ 3)
C. z = a + bi (a; b ∈ R;1 < b < 3)
D. z = a + bi (a; b ∈ R;1 ≤ b < 3)
Giải:
7


Đáp án: C.
Bài toán 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng
trung trực của đoạn thẳng.
Phương pháp: Cho số phức z thỏa mãn:
z − (a1 + b1i ) = z − ( a2 + b2i ) (a1 ; b1 ; a2 ; b2 ∈ R )

Khi đó điểm A(a1;b1) biểu diễn số phức
z1 = a1 + b1.i .
điểm B(a 2;b2) biểu diễn số phức
z2 = a2 + b2 .i

Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z = x + y.i.
Ta có
z − (a1 + b1i ) = z − (a2 + b2i ) ⇔ MA = MB

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường trung trực của
đoạn thẳng AB.
Bài tập 1: Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = z − 2i
Tìm số phức x có mô đun nhỏ nhất:
A. z = 2 + 2i
C. z = -2 + i
B. z = -2 – 2i
D. z – 2 – 2i
Giải:
Ta có z − 2 − 4i = z − 2i
Điểm A(2;4) biểu diễn số phức
z1= 2 + 4i.
Điểm B(0;2) biểu diễn số phức z2= 2i.
Gọi M(x;y) biểu diễn z.
⇒ MA = MB

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng
∆ trung trực của đoạn thẳng AB.
z min = OM min ⇔ M là hình chiếu vuông góc của O trên ∆ hay z = 2 +2i.
Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = z + 5i
Cho w = iz + 20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của w
A. w = 10

C. w = 7 10

B. w = 7

D. w =

7
10

Giải:
Ta có z − 1 + 2i = z + 5i
⇔ i . z − 1 + 2i = i z + 5i
⇔ iz − 2 − i = iz − 5
⇔ iz + 20 − 22 − i = iz + 20 − 25
⇔ w − 22 − i = w − 25

Điểm A(22;1) biểu diễn z1 = 22 + i.

8


Điểm B(25;0) biểu diễn z2 = 25.
Vậy tập hợp các điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường thẳng ∆ ,
w min = OM min = d (O; ∆) = 7 10
trung trực của đoạn thẳng AB.
(Khi đó M là hình chiếu của O trên ∆ ). Vậy đáp án đúng là C.
5
2

3
2

Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = z + + 2i
Biết biểu thức Q = z − 2 − 4i + z − 4 − 6i đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi (a; b ∈ R) .
Tính P =a - 4b.
B. P =

A. P = -2

1333
272

C. P = -1

D. P =

691
272

Giải:
−5

−5



Điểm A  ; 2 ÷ biểu diễn số phức z1 = + 2i
2
 2 
−3

−3



Điểm B  ; −2 ÷ biểu diễn số phức z2 = − 2i
2
 2

Vậy tập hợp các điểm I(x;y) biểu diễn
số phức z là đường trung trực d của đoạn
thẳng AB có phương trình x – 4y + 2 = 0.
Xét hai điểm M(2;4), N(4;6) ta có: Q =
IM + IN với I ∈ d .
Do đó Q nhỏ nhất khi và chỉ khi I là
58 −28



giao điểm của M’N với M '  ;
÷ là điểm
 17 17 
đối xứng của M qua d.

Vậy I 

62 24 
62 24
; ÷ứng với z =
+ i.
17 17
 17 17 
62
24
Vậy P = − 4. = −2 . Đáp án đúng: A
17
17

Bài tập 4: Trong các số phức z thỏa mãn z + 4i − 3 = z . Biết rằng số
phức z = a + bi (a; b ∈ R ) có mô đun nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của P = a2 – b là:
A.

3
4

B.

1
4

C.

2
4

D.

4
3

Giải:
Học sinh phải áp dụng kiến thức z = z
để giải bài tập này.
Gọi z = a + bi
⇒ z + 4i − 3 = a − bi + 4i − 3 = ( a − 3) + (4 − b)i
= (a − 3) − (4 − b)i = a + bi − 3 − 4i = z − 3 − 4i

Gọi A(3;4) biểu diễn z1 = 3 + 4i.

9


Gọi M(x;y) biểu diễn z = a + bi. Gọi O(0;0) biểu diễn z2 = 0
Ta có: MA = ON ⇒ M ∈ d với d là trung trực của đoạn thẳng OA.
⇒ z min = OM min ⇔ M là trung điểm của OA.
2
3 4
3 4
3 4 1

⇒ M  ; ÷ ⇒ z = + i . Vậy P =  ÷ − = . Đáp án đúng là B.
2 2
2 2
2 2 4

Bài toán 3 : Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đoạn thẳng.
Phương pháp: Trong các số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 = k (k > 0) .
Gọi M(x ;y) biểu diễn số phức z = x + y.i ( x; y ∈ R )
Gọi A(x1 ;y1) biểu diễn z1.
Gọi B(x2 ;y2) biểu diễn z2.
Học sinh kiểm tra nếu có tính chất đặc biệt: AB=k thì khi đó tập hợp các
điểm M biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB.

Bài tập 1 : Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − i + z − 3 − 2i = 5 . Gọi M, m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M + m.
A. 13 + 3
B. 13 + 5
C. 13 + 7
D. 13 + 2
Giải :
Gọi N(x ;y) biểu diễn số phức z = x + yi ( x; y ∈ R)
A(1;1) biểu diễn z1 = 1 + i
B(3;2) biểu diễn z2 = 3 + 2i
Ta cóuuurNA + NB = 5 .
Mà AB = (2;1) ⇒ AB = 5
Ta có NA + NB = AB.
Vậy tập hợp các điểm N biểu diễn số
phức z là đoạn thẳng AB.
Học sinh quan sát hình vẽ sẽ tìm
được :
z max = OB = 13 = M
z min = OA = 2 = m
M + m = 13 + 2

Đáp án đúng là D.
10


Bài tập 2 : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 − i + z − 3 − 2i = 5 .
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của số
phức z + 2i, tính M + m.
A.

5 + 5 10
5

Giải:

B. 10 + 5

C. 2 + 13

D. 2 10 + 5

Gọi z = x + yi;( x; y ∈ R ) có điểm M(x;y) biểu diễn z trên mặt phẳng tọa

độ.
Ta có : z − 1 − i + z − 3 − 2i = 5


( x − 1)

2

+ ( y − 1) 2 +

( x − 3)



( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) − 3 +
2

2

+ ( y − 2) 2 = 5

( x − 3)

2

+ ( y + 2 ) − 4  = 5 (1)
2

Số phức z + 2i = x + ( y + 2)i có điểm
M’(x;y+2) biểu diễn z + 2i trên mặt phẳng
tọa độ.
Đặt A(1;3), B(3 ;4) thì từ (1) ta có:
AM '+ BM ' = 5 (2) .
uuur
Mặt khác AB = (2;1) ⇒ AB = 5 (3)
nên từ (2) và (3) suy ra M’ thuộc đoạn
¼ là góc tù
thẳng AB. Nhận xét rằng OAB
(hoặc quan sát hình vẽ) ta có
M ' = z max = OB = 5 và m = z min = OA = 10 .
Vậy M + m = 10 + 5 (Chứng minh max,
min dựa vào các tam giác OAM’, OM’B
lần lượt tù tại A, M’). Đáp án đúng là B.
Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 − i + z − 2 − 3i = 2 5 .
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z. Tính
M + m.
A.

4 5 + 5 13
5

B. 5 + 13

C. 2 + 13

D. 2 + 2 13

Giải :

Gọi z = x + yi; (x; y ∈ ¡ ) có điểm
M(x ;y) biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ.
Ta có : z + 2 − i + z − 2 − 3i = 2 5 .
Đặt A(-2 ;1), B(2 ;3) thì từ (1) ta
có: AM + BM = 2 5 (2)
Mặt khác AB = (4; 2) ⇒ AB = 2 5 (3)
nên từ (2) và (3) suy ra M thuộc đoạn

11


¼
thẳng AB. Ta có OA = 5, OB = 13 và AB : x − 2 y + 4 = 0 . Nhận xét rằng OAB

¼
là góc nhọn (hoặc quan sát hình vẽ) ta có M = z max = max{OB; OA} = 13
OBM
4 5
.
5
4 5 4 5 + 5 13
=
Vậy M + m = 13 +
.
5
5

và m = z min = d (O; AB) =

Đáp án đúng là A.

3.2. Phương pháp giúp học sinh sử dụng kiến thức về đường tròn
để giải bài tập số phức.
a. Hệ thống kiến thức về đường tròn cần sử dụng :
Phương trình đường tròn:
Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C) có tâm I(x o ;yo) và bán kính
R. Điểm M(x ;y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi IM = R, hay là :

( x − xo )

2

+ (y − y o ) 2 = R 2 (1)

Ta gọi phương trình (1) là phương trình của đường tròn (C).
Chú ý:
Trong phần bài tập về số phức
ta thường gặp phương trình đường tròn dưới dạng
sau: ( x − xo ) + ( y − yo ) = R
2

2

b. Bài toán cực trị liên quan đến đường tròn.
Trong hầu hết các bài tập giải toán số phức sử dụng đến đường tròn đều
sử dụng kết quả của bài toán cực trị sau :
Cho đường tròn (C) tâm I bán kính R và điểm M. Tìm điểm N trên
đường tròn (C) sao cho độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất hoặc MN nhỏ nhất.
Phương pháp :
Bước 1 : Lập phương trình
đường thẳng MI.
Bước 2 : Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng MI và đường tròn (C).
Giả sử MI ∩ ( C ) = { N1 ; N 2 }
Bước 3 : Tính độ dài đoạn thẳng
MN1 và MN2 và so sánh :
Nếu MN2 > MN1 ta có : MN min = MN1 ⇔ N ≡ N1 MN max = MN 2 ⇔ N ≡ N 2
Bài toán 1 : Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn
hoặc miền giới hạn bởi các đường tròn :
Trong phần này học sinh sẽ được làm quen với phần biểu diễn hình học
số phức z liên quan đến đường tròn hoặc hình tròn.
12


Bài tập 1 : Biết các số phức z có tập hợp điển biểu diễn trên mặt phẳng
tọa độ là hình tròn tô đậm như hình vẽ.
Môđun lớn nhất của số phức z là :
A. z max = 1
B. z max = 3
C. z max = 5
D. z max = 2
Giải :
Giả sử z = x + yi và được biểu diễn bởi
điểm M(x;y) ( x; y ∈ R)
z = x 2 + y 2 = OM Nhìn hình vẽ dễ dàng học sinh nhận thấy
z max = OM max = OB ⇔ M ≡ B Vậy z max = 5 Đáp án đúng : C.

Bài tập 2 : Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng
tọa độ là phần tô đậm (kể cả đường viền).
Môđun nhỏ nhất của số phức z là :
A. z min = 3
B. z min = 1
C. z min = 2
D. z min = 0
Giải :
Giả sử z = x + yi ( z; y ∈ R ) và được biểu
diễn bởi điểm M(x ;y).
Quan sát hình vẽ học sinh sẽ thấy:
z = OM nên z min = OM min = 0 ⇔ M ≡ O . Vậy đáp án đúng là D.
Bài tập 3 : Trong các số phức z thỏa
mãn z − 5i ≤ 3 , số phức có z nhỏ nhất thì có
phần ảo bằng bao nhiêu ?
A. 4
B. 0
C.
3
D. 2
Giải :
Tập hợp các điểm M(x ;y) biểu diễn số
phức z = x + yi ( x; y ∈ R) thỏa mãn điều kiện
z − 5i ≤ 3 là hình tròn (kể cả đường viền) có
tâm I(0 ;5) và bán kính bằng R=3.
Vì z = OM nên z min = 2 ứng với điểm M(0;2) và z = 2i.
Đáp án đúng : D.

13


Bài toán 2 : Cho số phức z thỏa mãn z − (a + bi) = c (c > 0) . Tìm
giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z.
Phương pháp :
z − (a + bi) = c (c > 0) . Tập hợp
các điểm M biểu diễn số phức z là
đường tròn có tâm I(a ;b) và bán kính
R
= c.
Khi đó z = OM nên
z max = OM 2 = OI + R = a 2 + b 2 + c
z min = OM 1 = OI − R = a 2 + b 2 − c

Bài tập 1 : Cho các số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = 5 . Tìm z có giá trị
lớn nhất.
A. z max = 3 5
B. z max = 5
C. z max = 5
D. z max = 13
Giải :
Tập hợp các điểm M(x ;y) biểu diễn số phức z = x + yi ( x; y ∈ R) là đường
tròn có tâm I(2 ;4) và bán kính R = 5 .
Vậy z max = OM = OI + R = 22 + 42 + 5 = 3 5 Vậy đáp án đúng là A.
Bài tập 2 : Trong các số phức z thỏa nãm (1 + i ) z + 1 − 7i = 2 thì z có
giá trị lớn nhất bằng :
A. 4
B. 3
C. 7
D. 6
Giải :

Ta có : (1 + i ) z + 1 − 7i = 2 ⇔ ( 1 + i )  z +
⇔ 2 z − ( 3 + 4i ) = 2



1 − 7i 
÷ = 2 ⇔ 1 + i z − ( 3 + 4i ) = 2
1+ i 

⇔ z − ( 3 + 4i ) = 1

Tập hợp các điểm M(x ;y) biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(3 ;4) và
bán kính R = 1.
Vậy z max = OI + R = 32 + 42 + 1 = 6 . Vậy đáp án đúng là D.
Bài tập 3 : Nếu các số phức z thỏa mãn
nhỏ nhất bằng
A. 1
Giải :
Ta có

B. 2

C. 2

−2 − 3i
z + 1 = 1 thì z có giá trị
3 − 2i

D. 3

−2 − 3i
1
z + 1 = 1 ⇔ −iz + 1 = 1 ⇔ −i z +
= 1 ⇔ −iz + 1 = 1 ⇔ z − ( −i ) = 1
3 − 2i
−i

Tập hợp các điểm M(x ;y) biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm
I(0;-1) và bán kính R = 1.Vậy z max = OI + R = 2 . Đáp án đúng là B.
Bài toán 3 : Cho số phức z thỏa mãn z − z1 = c (c > 0) . Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của z − z2

14


Phương pháp :
Biến đổi z − z1 = ( z − z2 ) + ( z2 − z1 ) = c
Đưa về dạng u − ( z1 − z2 ) = c với u = z − z2
Khi đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức u = z − z2 là đường tròn
(C) có tâm I(a1 – a2 ; b1 – b2) và bán kính R = c.Với z1 = a1 +bii, z2 = a2 +b2i.
Bài tập 1 : Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + 2i = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của z + 1 − i
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
Giải :
Ta có
z − 3 + 2i = 2 ⇔ ( z + 1 − i ) − (4 − 3i ) = 2
⇒ u − (4 − 3i) = 2 với u = z + 1 − i

Tập hợp các điển M biểu diễn u là
đường tròn (C) tâm I(4 ;-3) bán kính R = 2.
Vậy u min = OM 1 = OI − R = 5 − 2 = 3
Đáp án đúng là C.

Bài toán 4: Các bài toán kết hợp giữa đường thẳng và đường tròn.
Đây là dạng bài tập khó nhất của số phức mà học sinh thường gặp trong
các đề thi.
Bài tập 1 : Xét các số phức z = a + bi (a; b ∈ R) thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 .
Tính P = a + b khi z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 10
B. P = 4
C. P = 6
D. P = 8
Giải :
z − 4 − 3i = 5 Tập hợp các điểm M(x ;y) biểu diễn số phức z là đường
tròn (C) tâm I(4 ;3) và bán kính R = 5
z + 1 − 3i = MA với A(-1 ;3)
z − 1 + i = MB với B(1 ;-1)
Bài toán đưa về tìm M trên (C) sao cho MA + MB đạt giá trị lớn nhất.
Gọi
E là trunguuu
điểm
AB ⇒ E(0 ;1)
uur
r
IE (−4; −2)
AB(2; −4)
uur uuu
r
Ta có IE. AB = 0 ⇒ IE ⊥ AB ⇒ ∆ IAB cân.
Đặt P = z + 1 − 3i + z − 1 + i = MA + MB

⇒ P 2 = ( MA + MB ) 2 = MA2 + MB 2 + 2MA.MB
⇒ P 2 ≤ 2( MA2 + MB 2 )
⇔ P 2 ≤ 4 ME 2 + AB 2
⇒ Pmax ⇔ MEmax ⇔ M = EI ∩ (C )

15


uuuu
r

uur

Ta có EM = k EI = (4k ; 2k ) (k ∈ R) ⇒ M(4 k; 2 k + 1)
2
2
Điểm M ∈ (C ) ⇒ ( 4k − 4 ) + ( 2k + 1 − 3) = 5
Học sinh giải và tìm được tọa độ điểm M và tính được P = 10.
Vậy đáp án đúng là A.
Bài tập 2 : Cho z1 ; z2 là hai số phức z thỏa mãn điều kiện z − 5 − 3i = 5 ,
đồng thời z1 − z2 = 8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w = z1 + z2 trong
mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây :
2

2

5 
3 9

A.  x − ÷ +  y − ÷ =
2 
2
4


B. ( x − 10 ) + ( y − 6 ) = 16

C. ( x − 10 ) + ( y − 6 ) = 36

5 
3

D.  x − ÷ +  y − ÷ = 9
2 
2


2

2

2

2

2

2

Giải :
z1, z2 thỏa mãn z − 5 − 3i = 5 .
Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn z1, z2
⇒ M, N nằm trên đường tròn (C) có tâm I(5 ;3) và bán kính R = 5.
Ta có : z1 − z2 = 8 ⇔ MN = 8
Gọi E là trung điểm của MN
⇒ M ( x1 ; y1 ), N(x 2 ; y2 )

x1 + x2 y1 + y2 
;
÷
2 
 2


thì E 

2

 MN 
IE = R 2 − 
÷
 2 

= 52 − 4 2 = 3
2

2

2

2

 x + x − 10   y1 + y2 − 6 
x +x
  y + y2

⇒ 3 =  1 2 − 5÷ +  1
− 3÷ ⇔ 9 =  1 2
÷ +
÷
2
2

 

 2
  2

⇔ ( x1 + x2 − 10 ) + ( y1 + y2 − 6 ) = 36
2

2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z 1 + z2 trong mặt phẳng
2
2
tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình ( x − 10 ) + ( y − 6 ) = 36
Đáp án đúng là C.
Bài tập 3 : Cho số phức z1 = -3i ; z2 = 4 + i và z thỏa mãn z − i = 2 . Biết
biểu thức T = z − z1 + 2 z − z2 đạt giá trị nhỏ nhất khi z = a + bi (a; b ∈ R) .
Hiệu a – b bằng :
A.

3 − 6 13
17

B.

6 13 − 3
17

C.

3 + 6 13
17

D. −

3 + 6 13
17

Giải:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Gọi A(0;-3) là điểm biểu diễn số phức z 1.
B(4;1) là điểm biểu diễn số phức z. I(0;1) là điểm biểu diễn số phức i và
M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z.

16


Theo đề bài:
z − i = 2 ⇒ MI = 2
⇒ M thuộc đường tròn tâm I,

bán kính R = 2.
T = z − z1 + 2 z − z2
= MA + 2.MB

Ta có IM = 2, IO = 1, IA = 4
⇒ IM 2 = IA.IO ⇒

IM IO
=
IA IM

Do đó :
∆IMO ∽ ∆IAM ⇒

IM OM 1
=
=
IA AM 2

⇒ MA = 2.MO .
Ta có : T = MA + 2.MB = 2( MO + MB) ≥ 2.OB

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M = OB ∩ ( I ) ⇔ M ≡ E
 4 + 8 13 1 + 2 13 
;
÷.
17 ÷
 17


Tìm tọa độ điểm E 

4 + 8 13 1 + 2 13
+
i
17
17
3 + 6 13
Vậy P = a − b =
. Đáp án đúng là C.
17

Ta có z =

3.3. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường elíp.
Bài toán : Trong các số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 = k (k > 0) . Tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z .
Phương pháp :
Gọi M là điểm biểu diễn z = x + yi.
A là điểm biểu diễn z1. B là điểm biểu diễn z2.
k
2

Ta có: z − z1 + z − z2 = k ⇔ MA + MB = k (Nếu thỏa mãn điều kiện AB < )
Thì tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là elíp (E) nhận A, B làm
tiêu điểm và có độ dài trục lớn k = 2a.
Bài tập 1 : Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z + 4 + z − 4 = 10 .
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z .
Tính P = M – m2.
A. 8
B. -4
C. 9
D. -8
Giải:
Gọi A(x;y) biểu diễn số phức z = x + yi ( x; y ∈ R) .
Gọi F1(4;0) biểu diễn số 4. F2(-4;0) biểu diễn số -4.
Ta có z + 4 + z − 4 = 10 ⇔ AF1 +AF2 = 10

17


⇒ Tập hợp các điểm A nằm trên elíp (E):

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

Trong đó:
 2a = 10
x2 y 2

⇔ (E) : +
=1
c = 4
25 9
b 2 = a 2 − c 2

z max = OAmax = 5
z min = OAmin = 3

Vậy P = 5 – 32 = -4.
Đáp án đúng là B.
Bài tập 2 : Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn z − 2 + z + 2 = 4 2 .
Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N là điểm biểu diễn z và z . Tính giá trị lớn
nhất của diện tích tam giác OMN.
A. 1
B. 2
C. 4 2
D. 2 2
Giải:
Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + yi ( x; y ∈ R) và N biểu diễn số
phức z thì M, M’ đối xứng với nhau quan Ox.
Diện tích tam giác OMN là SOMN = xy .
x2 y 2
Do z − 2 + z + 2 = 4 2 nên tập hợp M biểu diễn z là elíp (E): + = 1 .
8

2

2

2

4

2

x
y
x y
+
≥2
.
8
4
8 4
xy
⇔1≥
⇒ SOMN = xy ≤ 2 2
2 2
Vậy Smax = 2 2

Do đó

Đáp án đúng là D.

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
18


Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh dự thi học sinh giỏi, phụ
đạo học sinh yếu kém, tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm sử dụng hình
tọa độ trong mặt phẳng để giải các bài toán về số phức , đặc biệt tôi đã áp
dụng cụ thể trong việc giảng dạy bộ môn giải tích lớp 12. Đây thực sự là một
tài liệu hữu ích đã được tôi kiểm chứng thực tế và cho kết quả tốt.
Thường thì các em học sinh có học lực khá và giỏi sẽ giải quyết tương
đối tốt bài toán đặt ra, tuy nhiên lời giải còn chưa ngắn gọn, xúc tích. Dựa vào
học sinh giỏi, giáo viên có thể tổng kết thành các bước làm cụ thể. Thông qua
hoạt động nhóm các em có học lực tốt sẽ giúp đỡ các bạn có học lực yếu kém
và trung bình. Các bài toán tổng quát với sơ đồ tư duy là “ ngọn đèn dẫn lối”
cho các em tìm thấy hướng đi của mình và kết quả tương đối khả quan:
Kiểm chứng trên lớp với 45 học sinh 12 A5 năm học 2017 – 2018 thu
được kết quả sau:
Nhận biết(nắm vững lý
thuyết)

Thông hiểu(có thể vận
dụng lý thuyết để giải
toán)
Số
Phần trăm
Số
Phần trăm
học sinh
học sinh
45
100%
40
88,9%
Về thời gian thu được kết quả sau:

1,8 phút / 1 bài
Số
học
sinh
15

Phần
trăm
33,3%

Từ 2 phút/ 1 bài
đến 5 phút/ 1 bài
Số
học
sinh
20

Phần
trăm
44,4%

Vận dụng linh hoạt
(giải được đa số các bài
tập đưa ra)
Số
Phần trăm
học sinh
35
77,8%

Từ 5 phút/ 1 bài
đến 10 phút/ 1
bài
Số
Phần
học
trăm
sinh
5
11,15%

Trên 10 phút / 1
bài
Số
học
sinh
5

Phần
trăm
11,15%

III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
19


1. Kết luận
Trên đây tôi đã giới thiệu phương pháp sử dụng hình tọa độ trong mặt
phẳng giải các bài tập về số phức trong dạy và học bộ môn giải tích lớp 12.
Tôi đã áp dụng trực tiếp đối với học sinh mà mình dạy, thấy học sinh thực
hiện lời giải nhanh hơn và kết quả tính toán chính xác hơn.
2. Kiến nghị
Tuy nhiên vì thời gian thực hiện sáng kiến kinh nghiệm eo hẹp và quy
định hạn hẹp của số trang trong một sáng kiến kinh nghiệm nên không tránh
được những sai sót khi thực hiện để tài. Mong được sự góp ý của các bạn
đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn chỉnh hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Hà Thị Thu Hồng

20



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×