Tải bản đầy đủ

Proper Pareto Nghiệm hữu hiệu Pareto

NGHIỆM HỮU HIỆU PROPER
Nguyễn Mạnh Trường Giang - 1411063
Nguyễn Thị Diệu Hậu - 1411082
Ngày 3 tháng 5 năm 2018
Tóm tắt nội dung
Theo định nghĩa, một điểm hữu hiệu Pareto không cho phép ta giảm
giá trị của một mục tiêu này trong khi giữ lại giá trị tương tự của các mục
tiêu khác. Do đó, giá trị của một hoặc vài mục tiêu muốn giảm xuống
thì buộc ít nhất một mục tiêu khác tăng lên. Điều này được gọi là sự
thoả hiệp (trade-offs). Những thoả hiệp giữa các mục tiêu có thể đo được
bằng việc tính toán tỉ lệ của sự tăng lên của mục tiêu fi với phần đơn
vị giảm xuống của mục tiêu fj . Trong một vài trường hợp, sự thoả hiệp
này không bị giới hạn. Đây là một tính chất không mong muốn của một
nghiệm hữu hiệu Pareto. Nhằm hạn chế điều này, Geoffrion1 - dựa trên
khái niệm nghiệm hữu hiệu proper do Kuhn và Tucker2 đưa ra năm 1951
- đã mở rộng khái niệm nghiệm hữu hiệu proper trên Rn với nón Rn
≥.
Bài viết này sẽ cố gắng làm rõ 5 vấn đề, thể hiện qua 5 câu hỏi sau: Thế
nào là nghiệm proper Pareto? Có bao nhiêu loại nghiệm Pareto proper?
Mối quan hệ giữa Pareto/ Pareto yếu/ Pareto proper. Mối quan hệ giữa
các khái niệm Pareto proper và vì sao có nhiều khái niệm nghiệm Pareto

proper được đưa ra?

1

Thế nào là nghiệm hữu hiệu proper Pareto?

Định nghĩa 1 (Nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Geoffrion (1968)).
Điểm x ∈ Xđược gọi là nghiệm hữu hiệu proper Pareto nếu nó là nghiệm hữu
hiệu Pareto và tồn tại một số thực M > 0 sao cho với mọi cặp i và x ∈ X thỏa
fi (x) < fi (x) thì tồn tại một chỉ số j thoả fj (x) < fj (x) và
fi (x) − fi (x)
≤M
fj (x) − fj (x)
Nếu x ∈ X là nghiệm hữu hiệu proper Pareto thì y = f (x) là điểm hữu hiệu
proper Pareto. Tập các điểm hữu hiệu proper Pareto kí hiệu là: Yp−ef f .
1 Geoffrion A. M. (1968) Proper efficiency and the theory of vector maximization. Journal
of Mathematical Analysis and Application, 22(3): 618-630.
2 Kuhn, H. W.; Tucker, A. W. Nonlinear Programming. Proceedings of the Second Berkeley
Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 481–492, University of California
Press, Berkeley, Calif., 1951

1


Ví dụ 1. Xét bài toán:

min (f1 (x), f2 (x))


 x∈X
f1 (x) = x1
(P )


 f2 (x) = x2
X = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : (x1 − 1)2 + (x2 − 1)2 ≤ 1, 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1}

Hình 1: Tập giá trị của bài toán (P ).
Tập giá trị hữu hiệu Pareto của (P ) là:
Yef f = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : (x1 − 1)2 + (x2 − 1)2 = 1, 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1}


Từ Định nghĩa 1 ta sẽ chỉ ra:
Yp−ef f = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : (x1 − 1)2 + (x2 − 1)2 = 1, 0 < x1 , x2 < 1}
Thật vậy, để chứng minh một nghiệm hữu hiệu x = (x1 , x2 ) là một nghiệm
hữu hiệu proper Pareto của bài toán (P ) ta sẽ tìm một số thực M > 0 sao cho
với mọi i ∈ {1, 2} và mọi x ∈ X thoả fi (x) < fi (x) thì tồn tại chỉ số j thoả
fj (x) < fj (x) và:
fi (x) − fi (x)
≤M
fj (x) − fj (x)
Đặt T = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : (x1 − 1)2 + (x2 − 1)2 = 1, 0 < x1 , x2 < 1}
2

Lấy x = (x1 , x2 ) bất kì trong T , ta có: 0 < x1 < 1 và x2 = 1 − 1 − (x1 − 1) .
Xét i = 1, ta có: với mọi x ∈ X thoả x1 < x1 thì f1 (x) < f1 (x) và f2 (x) < f2 (x),
khi đó:
x1 − x1
f1 (x) − f1 (x)
=
=
f2 (x) − f2 (x)
x2 − x2

2

=

1 − (x1 − 1) +

x1 − x1
1−

1 − (x1 − 1)
2

1 − (x1 − 1)

(1 − x1 ) + (1 − x1 )
2

2
<

2

− 1−

1 − (x1 − 1)
2(1 − x1 )

2

1 − (x1 − 1)

2

(vì x1 < x1 )


Đặt M =

1 − (x1 − 1)

2

(1 − x1 )

> 0 ta suy ra:
f1 (x) − f1 (x)
f2 (x) − f2 (x)

Với i = 2 ta cũng tìm M bằng cách tương tự. Tóm lại ta có: T = Yp−ef f .
Mặt khác, cũng từ định nghĩa ta sẽ chỉ ra x1 = (1, 0) và x2 = (0, 1) không phải
là nghiệm hữu hiệu proper Pareto (ví dụ này cũng cho ta thấy rằng một nghiệm
hữu hiệu Pareto chưa chắc là một nghiệm hữu hiệu proper Pareto).
Để chứng minh x1 = (1, 0) không phải là nghiệm hữu hiệu proper Pareto ta sẽ
chỉ ra rằng với mọi số thực M > 0 thì có một chỉ số i ∈ {1, 2} và tồn tại x ∈ X
thoả fi (x) < fi (x) sao cho:
fi (x) − fi (x)
>M
fj (x) − fj (x)
với mọi j ∈ {1, 2} thoả fj (x) <
√ fj (x).
Xét i = 1 và xε = 1 − ε, 1 − 1 − ε2 với 0 < ε < 1.
Ta có: xε ∈ X, f1 (xε ) < f1 (x), fj (x) < fj (xε ) và:
f1 (x1 ) − f1 (xε )
x11 − xε1
ε
1 − (1 − ε)


=
=
→ ∞ khi ε → 0
=
ε
1
ε
1
2
f2 (x ) − f2 (x )
x2 − x2
1− 1−ε
1 − 1 − ε2
Vậy x1 = (1, 0) không phải là nghiệm hữu hiệu proper Pareto.
Chứng minh tương tự cho x2 = (0, 1).
Ví dụ 2 (Hirschberger (2002)). Cho Y = {(y1 , y2 ) ∈ R2 : y1 < 0, y2 =

1
}.
y1

Chứng minh: Yp−ef f = ∅

Hình 2: Đồ thị Y .
1
Chứng minh. Nhận xét rằng Yef f = Y . Lấy y = (a, ) ∈ Y với a < 0. Với mọi
a
1
ε > 0 xét y ε = − , −ε ∈ Y . Khi đó tồn tại một ε > 0 sao cho ∀ε ≤ ε ta
ε
1
1
luôn có: − < a và −ε > , tức là: y1ε < y1 và y2ε > y2 , ∀ε ≤ ε .
ε
a
3


Từ đó ta có:
a+ 1
y1 − y1ε
a2 ε + a
= 1 ε =
→ ∞, khi ε → 0
ε
y2 − y2
ε(1 + εa)
a +ε
Suy ra ∀y ∈ Y thì y ∈
/ Yp−ef f , hay nói cách khác Yp−ef f = ∅

2

Các dạng nghiệm hữu hiệu proper Pareto

Ngoài định nghĩa nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Geoffrion, ta còn
có các định nghĩa khác về nghiệm hữu hiệu proper Pareto như sau:

2.1

Nghiệm hữu hiệu proper Pareto - Borwein (1977)

Định nghĩa 2 (Nón tiếp xúc). Cho Y ⊂ Rn và y ∈ Y , nón tiếp xúc của Y tại
y ∈ Y là:
TY (y) := {d ∈ Rn : ∃{tk } ⊂ R, {yk } ⊂ Y sao cho yk → y, tk (yk − y) → d}
1
yk − y
→ 0 và dk = tk (yk − y) =
, ta có: dk → d và
tk
λk
y + λk dk = y + yk − y = yk ∈ Y, ∀k ∈ N. Do đó ta có thể định nghĩa nón tiếp
xúc một cách tương đương như sau:
Bằng cách đặt λk =

TY (y) = {d ∈ Rn : ∃tk → 0, ∃dk → d sao cho y + tk dk ∈ Y, ∀k ∈ N}
Định nghĩa 3 (Nghiệm hữu hiệu proper Pareto (theo nghĩa Borwein - 1977)).
Một nghiệm hữu hiệu x ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu proper (theo nghĩa
Borwein) nếu:
TY +Rn≥ (f (x)) ∩ −Rn≥ = {0}
Ví dụ 3 (Ví dụ nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Borwein). Xét bài toán:

min (f1 (x), f2 (x))


x∈X


 f1 (x) = x1
(P )
f2 (x) = x2


2
2


 X = (x1 , x2 ) ∈2 R : x1 + x2 ≥ 0 ∪ (x1 , x2 ) ∈ R : x1 ≥ 1
∪ (x1 , x2 ) ∈ R : x2 ≥ 1
Khi đó x = (0, 0) là một nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Borwein.
Trước hết ta xác định TY +R2≥ (f (x))
Nhận xét rằng: Y + R2≥ = Y . Lấy u = (u1 , u2 ) ∈ TY +R2≥ (f (x)) nghĩa là tồn tại
tn → 0, un = (u1n , u2n ) → u sao cho ∀n ∈ N ta có:
f (x) + tn un ∈ Y + R2≥
⇔
(tn u1n , tn u2n ) ∈ Y + R2≥
tn u1n + tn u2n ≥ 0
⇔  tn u1n ≥ 1
 tn u2n ≥ 1
u1n + u2n ≥ 0
⇔  u1n ≥ 1/tn
u2n ≥ 1/tn
4


Hình 3: Tập giá trị của (P ).
Cho n → ∞ ta được: u1 + u2 ≥ 0.
Do đó ta có: TY +R2≥ (f (x)) ⊂ (u1 , u2 ) ∈ R2 : u1 + u2 ≥ 0 .
Ta chứng minh (u1 , u2 ) ∈ R2 : u1 + u2 ≥ 0 ⊂ TY +R2≥ (f (x)).
Lấy u = (u1 , u2 ) ∈ R2 thoả u1 + u2 ≥ 0 và chọn:

 tn = n1 → 0
u1n = u1 , ∀n ∈ N

u2n = u2 , ∀n ∈ N
⇒ u1n + u2n ≥ 0, ∀n ∈ N
⇒ tn u1n + tn u2n ≥ 0, ∀n ∈ N
⇒ (0, 0) + tn (u1n , u2n ) ∈ Y + R2≥ , ∀n ∈ N
Suy ra u ∈ TY +R2≥ (f (x)). Do đó TY +R2≥ (f (x)) = (u1 , u2 ) ∈ R2 : u1 + u2 ≥ 0 .
Như vậy TY +R2≥ (f (x)) ∩ −R2≥ = {0} cho nên x = (0, 0) là một nghiệm hữu
hiệu proper Pareto theo nghĩa Borwein.

2.2

Nghiệm hữu hiệu proper Pareto - Benson (1979)

Định nghĩa 4 (Bao nón). Cho Y ⊂ Rn và y ∈ Y , bao nón của Y tại y ∈ Y là:
cone(y) := {αy : α ≥ 0, y ∈ Y } = ∪ αY
α≥0

Định nghĩa 5 (Nghiệm hữu hiệu proper Pareto (theo nghĩa Benson - 1979)).
Một nghiệm hữu hiệu x ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu proper (theo nghĩa
Benson) nếu:
cl cone Y + Rn≥ − f (x) ∩ −Rn≥ = {0}
Xét lại Ví dụ 1 ta thấy rằng x1 = (1, 0) và x2 = (0, 1) không phải là nghiệm
hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Benson. Thật vậy, xét x1 = (1, 0) ta có:
cl cone Y + R2≥ − f (1, 0)

= (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 ≥ 0
5


do đó:
cl cone Y + R2≥ − f (1, 0)

∩ −R2≥ = {0}

Nhận xét tương tự cho x2 = (0, 1).

2.3

Nghiệm hữu hiệu proper Pareto - Kuhn và Tucker
(1951)

Trong tối ưu đa mục tiêu, ta thường gặp những bài toán mà tập phương án khả
thi được cho dưới dạng những ràng buộc, nghĩa là:
X = {x ∈ Rn : (g1 (x), ..., gm (x)) ≤ 0}
Xét bài toán:
min f (x) = (f1 (x), f2 (x), ..., fp (x))
với ràng buộc:
g(x) = (g1 (x), g2 (x), ..., gm (x)) ≤ 0
Trong đó các hàm số fi , gj với i = 1, n, j = 1, m là những hàm số khả vi liên
tục. Ta định nghĩa nghiệm hữu hiệu proper của bài toán trên như sau:
Định nghĩa 6 (Nghiệm hữu hiệu proper Pareto (theo Kuhn-Tucker (1951)).
Một nghiệm hữu hiệu x ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu proper (theo nghĩa
Kuhn và Tucker) nếu nó là nghiệm hữu hiệu Pareto và không tồn tại d ∈ Rn
thoả:
∇fk (x), d ≤ 0, ∀k = 1, ..., p

(1)

∇fi (x), d < 0, với một vài i ∈ {1, ..., p}

(2)

∇gj (x), d ≤ 0, ∀j ∈ J(x) = {j = 1, ..., m : gj (x) = 0}

(3)

Ví dụ 4. Xét bài toán:

min (f1 (x), f2 (x))


 x∈X
f1 (x) = −x2
(P )
3


 f2 (x) = x
X = {x ∈ R : x ≥ 0}
x = 0 là nghiệm hữu hiệu của bài toán trên và nó cũng là nghiệm hữu hiệu
proper theo Kuhn-Tucker. Thật vậy, ta có:

 ∇f1 (0) = f 1 (0) = 0
∇f2 (0) = f 2 (0) = 0

∇g(0) = g 1 (0) = −1
suy ra không có d ∈ R để: ∇fi (x)d < 0, i ∈ {1, 2}

6


Hình 4: Tập giá trị của (P ).

3

Mối quan hệ giữa các loại nghiệm hữu hiệu
proper Pareto

Định lý 1.
1. Nếu x là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Benson thì nó cũng là nghiệm
hữu hiệu proper theo nghĩa Borwein.
2. Nếu X là tập lồi và fk : Rn → R là những hàm lồi thì hai khái niệm
nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Benson và Borwein trùng nhau.
Xét Ví dụ 3, x = (0, 0) là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa
Borwein nhưng nó không phải là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Benson vì:
cl cone(Y + R2≥ − f (x) ∩ −R2≥ = A ∩ B = {0}
Với A = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 = 0, x2 ≤ 0 và B = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 = 0, x1 ≤ 0 .
Ví dụ này minh hoạ rõ cho Định lý 1 (để ý rằng X không phải là tập lồi).
Định lý 2. Cho X ∈ Rn là tập các phương án khả thi của bài toán tối ưu đa
mục tiêu với nón Rn≥ . Khi đó:
x ∈ X là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Geoffrion khi và chỉ khi nó
là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo nghĩa Benson.
Nhận xét rằng, định nghĩa của Benson và Borwein về nghiệm hữu hiệu proper
không bị giới hạn bởi nón Rn≥ . Nghĩa là nón Rn≥ trong khái niệm của Benson
và Borwein có thể được thay thế bởi một nón lồi, đóng bất kì. Khái niệm của
Geoffrion được xây dựng trên nón Rn≥ , do vậy tập nghiệm hữu hiệu proper
theo nghĩa Benson trùng với tập nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Geoffrion
khi bài toán tối ưu đa mục tiêu xét trên nón Rn≥ . Ví dụ 1 cho ta thấy rõ điều này.
Mối quan hệ giữa nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Geoffrion và KuhnTucker thể hiện qua định lý sau:
Định lý 3. Giả sử fi , gj ) : Rn → R (i = 1, n, j = 1, m) là những hàm lồi và
khả vi liên tục. Nếu x là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Kuhn-Tucker thì
nó cũng là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Geoffrion.
7


Xét lại Ví dụ 4 và để ý rằng f1 (x) = −x2 không phải là hàm lồi. Ta có
x = 0 là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Kuhn-Tucker, nhưng x không phải
là nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Geoffrion. Thật vậy, với i = 1 và > 0
ta có f1 (x) < f1 (x) và:
f1 (x) − f1 (ε)
0 − (−ε2 )
1
=
= →∞
f2 (ε) − f2 (x)
ε3 − 0
ε
Định nghĩa 7 (Tiêu chuẩn ràng buộc Kuhn-Tucker). Một bài toán tối ưu đa
mục tiêu với các hàm mục tiêu và hàm ràng buộc khả vi thoả tiêu chuẩn ràng
buộc Kuhn-Tucker tại x ∈ X nếu với mọi d ∈ Rn thoả ∇gj (x), d , j ∈ J(x) thì
có một số thực t > 0, một hàm số θ : 0, t → Rn và một số thực α > 0 sao cho:

 θ(0) = x
g (θ(t)) ≤ 0, ∀t ∈ 0, t

θ (0) = αd
Định lý 4. Nếu một bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm mục tiêu và hàm
ràng buộc khả vi thoả tiêu chuẩn ràng buộc Kuhn-Tucker tại x ∈ X và x là
nghiệm hữu hiệu proper theo nghĩa Geoffrion thì nó cũng là nghiệm hữu hiệu
proper theo nghĩa Kuhn-Tucker.
Ví dụ 5 (Tamura và Arai (1982)). Xét bài toán:

min (f1 (x), f2 (x))


x∈X

 f (x) = −3x − 2x + 3
1
1
2
(P )
f
(x)
=
−x

3x
+1

2
1
2


 X = (x , x ) ∈ R2 : −x ≤ 0, −x ≤ 0, (x − 1)3 + x ≤ 0
1
2
1
2
1
2

Hình 5: Tập các phương án khả thi và tập giá trị của bài toán (P ).
Ta sẽ chứng minh x = (1, 0) là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo Geoffrion
nhưng nó không phải là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo Kuhn-Tucker.

8


Thật vậy, với i = 2 và ∀x ∈ X thoả f2 (x) < f2 (x) ta có f1 (x) < f1 (x) và:
f2 (x) − f2 (x)
0 + x1 + 3x2 − 1
=
f1 (x) − f1 (x)
−3x1 − 2x2 + 3
3



x1 + 3(1 − x1 ) − 1
3

−3x1 − 2(1 − x1 ) + 3

(do x2 ≤ (1 − x1 )3 )

3

=

3(1 − x1 ) − (1 − x1 )
3

−2(1 − x1 ) + 3(1 − x1 )
2

=

3(1 − x1 ) − 1
2

−2(1 − x1 ) + 3

≤ 2 (∀x1 ∈ [0, 1])

Mặt khác, ta có:
∇f1 (x) = (−3, −2)
∇f2 (x) = (−1, −3)
∇g3 (x) = (0, 1), với g3 (x) = (x1 − 1)3 + x2
do đó với d = (4, −1) ∈ R2 ta có:
∇f1 (x), d = (−3, −2); (4, −1) = −10 < 0
∇f2 (x), d = (−1, −3); (4, −1) = −1 < 0
∇g3 (x), d = (0, 1); (4, −1) = −1 < 0
Vậy x = (1, 0) là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo Geoffrion nhưng nó không
phải là nghiệm hữu hiệu proper Pareto theo Kuhn-Tucker.
Tóm tắt mối quan hệ giữa các loại nghiệm proper Pareto bằng sơ đồ như sau:

Hình 6: Mối quan hệ giữa các khái niệm nghiệm hữu hiệu proper Pareto.

9


4

Mối quan hệ giữa nghiệm Pareto - Pareto yếu
và Pareto proper

Định lý 5. Nếu x ∈ Rn là nghiệm hữu hiệu pareto theo nghĩa Borwein thì x
cũng là nghiệm hữu hiệu.
Nhận xét: nếu x là một nghiệm hữu hiệu proper Pareto (theo Geoffrion) thì
nó cũng là nghiệm proper Pareto theo Benson (Định lý 2) và cũng là nghiệm
proper Pareto theo Borwein (Định lý 1). Mặt khác ta có Xef f ⊂ Xw−ef f . Từ
đó ta có quan hệ bao hàm sau:
Xp−ef f ⊂ Xef f ⊂ Xw−ef f
Ví dụ 6. Xét tập phương án khả thi của một bài toán tối ưu đa mục tiêu, với
Y = f (X):
X = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1, y ≤ 0 ∪ (x1 , x2 ) ∈ R2 : x ≥ 0, −1 ≤ y ≤ 0
Khi đó:
Xp−ef f = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 = 1, x1 < 0, x2 < 0
Xef f = Xp−ef f ∪ {(0, −1); (−1, 0)}
Xw−ef f = Xef f ∪ (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 = −1

5

Tại sao có nhiều khái niệm hữu hiệu proper
Pareto?

Dựa vào định nghĩa của các loại nghiệm hữu hiệu proper Pareto. Ta có thể thấy
rằng, việc đưa ra nhiều khái niệm hữu hiệu proper Pareto nhằm mục đích giải
quyết được nhiều lớp bài toán hơn. Chẳng hạn, với khái niệm nghiệm proper
Pareto theo Geoffrion hoặc Kuhn-Tucker, bài toán tối ưu trong trường hợp này
chỉ xét trên nón Rn≥ . Với khái niệm của Benson hay Borwein, ta có thể xác định
nghiệm hữu hiệu proper Pareto với một nón bất kì.

Tài liệu
[1] Matthias Ehrgott, 2000. Multicriteria optimization.Springer verlag, Berlin.
[2] Matthias Ehrgott, 2005. Multicriteria optimization.Springer verlag, Berlin.
[3] Qamrul Hasan Ansari, Elisabeth K¨obis, Jen-Chih Yao, 2018. Vector Variational Inequalities and Vector Optimization.Springer verlag, Berlin.
[4] D.T.Luc, 1989. Theory of Vector Optimization.Springer verlag, Berlin.
[5] Regina S. Burachik,M. M. Rizvi, 2014. Proper Efficiency and Proper
Karush–Kuhn–Tucker Conditions for Smooth Multiobjective Optimization
Problems.

10


[6] Johannes Jahn, 2006. Introduction to the Theoryof Nonlinear Optimazation.Springer verlag, Berlin.
[7] Harold P.Benson, 1979. An Improved Definition of Proper Efficiency for Vector Maximization with Respect to Cones. Journal of Mathematical analysis
and applications, Vol. 71, pp232-241.
[8] K.Tamura and S. Arai, 1982. On Proper and Improper Efficient Solutions of
Optimal Problems with Multicriteria. Journal of Mathematical analysis and
applications, Vol. 38, No.2, pp191-205.
[9] Y. Sawaragi, H. Nakayama, T. Tanino, 1985. Theory of Multiobjective Optimization. Mathematics in Science and Engineering, Vol. 176.

11



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×