Tải bản đầy đủ

Một số phương pháp giải bài tập toán cực trị của hàm số và ứng dụng (Khóa luận tốt nghiệp)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC
TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Chung
Sinh viên: Nguyễn Thị Hoài Thương
Lớp: Đại học sư phạm Toán K56

Quảng Bình - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này là do chính bản thân tôi thực hiện,
dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thành Chung. Các kết quả
trong khóa luận này hoàn toàn trung thực.

Sinh viên

Nguyễn Thị Hoài Thương

i


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp, ngoài sự nỗ lực
của bản thân, tôi còn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy
giáo, cô giáo trong Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn
Thành Chung. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn
tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, đồng thời giúp tôi
lĩnh hội được những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong
nghiên cứu khoa học.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo
trong Khoa Khoa học Tự nhiên, tới gia đình, bạn bè và những người luôn
sát cánh bên tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong quá
trình học tập cũng như thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận này.
Mặc dù đề tài đã được chuẩn bị và nghiên cứu một cách kĩ lưỡng về
thời gian cũng như nội dung nhưng không khỏi có những thiếu sót. Vì vậy,
tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo để khóa luận
được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Quảng Bình, tháng 5 năm 2018
Sinh viên
Nguyễn Thị Hoài Thương

ii


Bảng ký hiệu, chữ viết tắt
CĐ: Cực đại.
CT: Cực tiểu.
GTLN: Giá trị lớn nhất.
GTNN: Giá trị nhỏ nhất.
TXĐ: Tập xác định.

1



Mục lục
Bảng ký hiệu, chữ viết tắt

1

MỞ ĐẦU

4

1 CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG
1.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị . . . . . . . . .
1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị . . . . . . . . . .
1.2 Bài toán cực trị của hàm một biến số và ứng dụng . . . . .
1.2.1 Bài toán tìm cực trị của hàm một biến số . . . . . .
1.2.2 Bài toán cực trị hàm một biến số phụ thuộc tham số
1.2.3 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Bài toán cực trị hàm một biến số trong hình học . .
1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG
2.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Quy tắc tìm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bài toán cực trị của hàm nhiều biến số và ứng dụng . . . .
2.2.1 Bài toán cực trị không có điều kiện . . . . . . . . . .
2.2.2 Bài toán cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến
số trong một miền đóng bị chặn . . . . . . . . . . .
2.2.4 Bài toán cực trị hàm nhiều biến số phụ thuộc tham số
2.2.5 Bài toán cực trị hàm nhiều biến số trong hình học .
2

6
6
6
7
8
9
9
13
17
20
24
27
27
27
28
30
31
31
34
37
41
44


2.3

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

KẾT LUẬN

50

TÀI LIỆU THAM KHẢO

51

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cực trị của hàm số là một khái niệm rất quen thuộc trong toán học.
Nhắc đến cực trị là nói đến những phương pháp giải các bài toán liên quan
và ứng dụng của nó. Cực trị của hàm số là một dạng toán khó lại hay
thường gặp trong các kì thi của Giáo viên và học sinh. Mặc dù vậy, chúng
ta vẫn chưa có một tài liệu nào có thể cung cấp cho ta đầy đủ những
phương pháp, những dạng toán cơ bản thường gặp và cũng chưa có một
phương pháp giải các bài toán cực trị nào tối ưu cho mọi dạng toán.
Với những lí do như vậy, tôi đã tìm hiểu, nghiên cứu đề tài :" Một số
phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số và ứng dụng". Rất mong sự
đóng góp chân thành để đề tài được pháp huy hiệu quả.

2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến cực trị của hàm số
để rút ra phương pháp giải cho một số dạng toán về cực trị của hàm số và
ứng dụng.

3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan
tới phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng để phân loại và hệ thống
hóa các kiến thức.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo
trình rút ra được kinh nghiệm để giải các bài toán cực trị.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng
4


dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình
thức của khóa luận.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận này có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên
ngành Toán có mong muốn tìm hiểu về phương pháp giải bài toán cực trị
của hàm số và ứng dụng. Với bản thân tôi, nghiên cứu về phương pháp
giải các bài toán cực trị của hàm số và ứng dụng giúp tôi hiểu rõ hơn các
khái niệm cực trị, các phương pháp giải toán cực trị và ứng dụng.

5. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của
khóa luận gồm 2 chương.
Chương 1: Cực trị của hàm số một biến và ứng dụng.
Trong chương này, nhắc lại các kiến thức cơ bản về cực trị , các quy
tắc tìm cực trị của hàm số một biến nhằm củng cố kiến thức, tạo nền tảng
để tìm cực trị của hàm số một biến. Đồng thời chương này cũng đưa ra hệ
thống, phân loại các dạng bài tập gồm: Bài toán tìm cực trị của hàm một
biến số, bài toán cực trị có tham số, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất; bài toán cực trị trong hình học. Việc phân loại các dạng bài tập
giúp cho việc giải quyết các bài tập một cách thuận lợi hơn và là cơ sở để
giúp cho việc nghiên cứu hàm nhiều biến ở chương sau.
Chương 2: Cực trị của hàm nhiều biến số và ứng dụng.
Ở chương này, hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về cực trị của hàm
nhiều biến số mà cụ thể là hàm hai biến số. Đồng thời giải quyết các dạng
bài toán sau:
- Bài toán cực trị không điều kiện.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm nhiều biến số trong một miền
đóng bị chặn.
- Bài toán cực trị có điều kiện.
- Bài toán cực trị hàm nhiều biến số phụ thuộc tham số.
- Bài toán cực trị hàm nhiều biến số trong hình học.
Các dạng bài tập này bám sát kiến thức, các quy tắc được trình bày,
giúp người đọc dễ hiểu sâu sắc hơn các kiến thức đã học.
5


Chương 1
CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN
SỐ VÀ ỨNG DỤNG
1.1
1.1.1

Một số kiến thức cơ bản
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Giả sử hàm số f (x) xác định trên tập hợp D(D ⊂ R)
và x0 ∈ D. Khi đó:
i) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f (x) nếu tồn tại một
khoảng (a, b) chứa điểm x0 sao cho (a, b) ⊂ D và f (x) < f (x0 ) với
mọi x ∈ (a, b)\{x0 }. Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm
số f (x).
ii) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) nếu tồn tại một
khoảng (a, b) chứa điểm x0 sao cho (a, b) ⊂ D và f (x) > f (x0 ) với
mọi x ∈ (a, b)\{x0 }. Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của
hàm số f (x).
iii) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị
cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f (x) thì người ta nói rằng hàm
số f (x) đạt cực trị tại điểm x0 .
Nhận xét 1.1. Giá trị cực đại (cực tiểu) f (x0 ) của hàm số f nói chung
không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D;
f (x0 ) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng
(a; b) nào đó chứa điểm x0 .
6


1.1.2

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1.1. Giả sử hàm số f (x) đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu
f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì f (x0 ) = 0.
Chứng minh.
Giả sử hàm số f có cực đại tại x0 ∈ (a; b). Khi đó, tồn tại δ > 0
đủ nhỏ sao cho (x0 − δ; x0 + δ) ⊂ (a; b) và f (x) ≤ f (x0 ) với mọi
x ∈ (x0 − δ; x0 + δ).
Với x0 − δ < x < x0 , ta có

f (x) − f (x0 )
≥ 0.
x − x0
Do đó

f (x0 ) = lim−
x→x0

f (x) − f (x0 )
≥ 0.
x − x0

Với x0 < x < x0 + δ , ta có

f (x) − f (x0 )
≤ 0.
x − x0
Do đó

f (x0 ) = lim+
x→x0

f (x) − f (x0 )
≤ 0.
x − x0

Vậy f (x0 ) = 0.
Trường hợp f có cực tiểu tại x0 được chứng minh tương tự.

Nhận xét 1.2.
1) Đạo hàm f có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực
trị tại điểm x0 .
Chẳng hạn, xét hàm số f (x) = x3 , ta có f (x) = 3x2 và f (0) = 0.
Tuy nhiên, hàm số f không đạt cực trị tại điểm x = 0. Thật vậy, vì
f (x) > 0 với mọi x = 0 nên hàm số đồng biến trên R.

7


Khóa luận đủ ở file: Khóa luận full
















Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×