Tải bản đầy đủ

Module hữu hạn sinh (Khóa luận tốt nghiệp)

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy giáo Nguyễn Kế
Tam, người đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện
khóa luận này, đồng thời đã bổ sung nhiều kiến thức chuyên môn và kinh
nghiệm quý báu cho tôi trong hoạt động nghiên cứu khoa học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô Trường Đại học
Quảng Bình, đặc biệt là quý Thầy Cô trong khoa Khoa học tự nhiên đã giảng
dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và tạo mọi điều kiện để
giúp tôi hoàn thành bài khóa luận này.
Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp
Đại học Sư phạm Toán Khóa 56 đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình
học tập và hoàn thành tốt khóa luận này.
Trân trọng cảm ơn!
Quảng Bình, tháng 5 năm 2018.
Tác giả

Trần Diệu Linh

i



LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan số liệu và kết quả nghiên cứu trong bài khóa luận này
là hoàn toàn trung thực. Đây là công trình nghiên cứu của chính tôi thực hiện
dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo ThS. Nguyễn Kế Tam.
Chúng tôi chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công
trình này.
Quảng Bình, tháng 5 năm 2018.
Tác giả

Trần Diệu Linh

ii


MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn ......................................................................................................... i
Lời cam đoan .................................................................................................... ii
Mục lục ............................................................................................................ iii
Mở đầu .............................................................................................................. 1
Chương I: Kiến thức chuẩn bị ........................................................................ 3
1. Module – module con ........................................................................... 3
2. Đồng cấu module .................................................................................. 6
3. Tổng trực tiếp – tích trực tiếp ............................................................... 9
4. Module tự do ...................................................................................... 11
5. Dãy khớp – dãy nửa khớp .................................................................. 14
Chương II: Module hữu hạn sinh ................................................................. 17
1. Module hữu hạn sinh .......................................................................... 17
2. Module Noether .................................................................................. 37
3. Module hữu hạn sinh trên vành chính ................................................ 46
Kết luận ........................................................................................................... 59
Tài liệu tham khảo ......................................................................................... 60

iii


PHẦN MỞ ĐẦU


1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ngành toán học hiện đại đang ngày càng phát triển và trong sự phát triển
đó không thể không nhắc đến cấu trúc đại số. Trong các cấu trúc đại số mà
chúng ta đã được tìm hiểu thì cấu trúc Module xuất hiện trong hầu hết các lí
thuyết toán học hiện đại, nó là cơ sở để phát triển một số cấu trúc đại số khác.
Cũng như cấu trúc vành - trường, cấu trúc module cũng rất phong phú và đa
dạng. Có thể nói rằng khái niệm module là mở rộng của khái niệm nhóm Abel
và khái niệm không gian vectơ. Và được chia ra làm nhiều loại: module hữu
hạn sinh, module tự do, module Noether, module Artin,… Trong đó module
hữu hạn sinh có rất nhiều tính chất làm nền tảng xây dựng các loại module
khác, đặc biệt là module Noether.
Do đó được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “Module hữu
hạn sinh” để làm luận văn tốt nghiệp cuối khóa.
2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đề tài “ Module hữu hạn sinh” đi sâu nghiên cứu các vấn đề về module
hữu hạn sinh và một số kiến thức liên quan. Từ đó đưa ra mối liên hệ mật thiết
giữa module này với các loại module khác.
3. MỤC ĐÍCH VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Nhằm nâng cao kiến thức bản thân và giúp tôi có cái nhìn sâu sắc hơn về
kiến thức đã được tiếp thu.
Đề tài nêu lại một số vấn đề cơ bản của lý thuyết module làm cơ sở nghiên
cứu module hữu hạn sinh. Từ đó tập hợp phân tích làm rõ các khái niệm, tính
chất,… của module hữu hạn sinh.Nghiên cứu cấu trúc của module tự do hữu
hạn sinh trên vành chính. Nội dung nghiên cứu gồm hai chương:
Chương I: Kiến thức chuẩn bị.
Chương II: Module hữu hạn sinh.
1


4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là sưu tầm tài liệu. trên cơ sở đó phân
tích tổng hợp các kiến thức liên quan đến module hữu hạn sinh. Sau đó chứng
minh các vấn đề nghiên cứu và giải quyết một số bài tập liên quan.
5. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN
- Nhận đề tài – tìm tài liệu.
- Nghiên cứu sơ lược tài liệu.
- Lập đề cương.
- Tìm và nghiên cứu thêm các tài liệu.
- Thực hiện đề tài.
- Trình bày luận văn.
- Bảo vệ luận văn.

2


CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
(Trong phạm vi đề tài này chúng ta kí hiệu R là vành giao hoán
có đơn vị 1 khác 0)

1. Module – module con
1.1. Định nghĩa
Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Nhóm Abel  M,   được gọi là Rmodule hay module trên R nếu tồn tại ánh xạ (phép nhân ngoài):

RM  M
(r,x)
rx
thỏa các tính chất sau:

r(x1  x 2 )  rx1  rx 2
(r  s)x  rx  sx
(rs)x  r(sx)
1x  x
(r,s  R, x,x1, x 2  M)
1.2. Các ví dụ
(1) Mọi không gian vectơ V trên trường K là K-module.
(2) Nếu R là vành, n là số tự nhiên. Đặt M  R n . Khi đó dễ dàng kiểm
tra M là R-module với phép nhân ngoài:
(r,(r1,r2 ,...,rn ))

RM



M

(rr1,rr2 ,...,rrn )

Đặc biệt khi n  1 ta có R là module trên chính nó.
(3) Mỗi nhóm cộng Abel A là

 module .

(4) Cho R là vành có đơn vị, I là ideal của R. Khi đó I là module trên R.
Đặc biệt 0 và R là các R-module và được gọi là module tầm thường.
(5) Gọi S là tập tất cả các hàm f : X  R (R là vành có đơn vị). Khi
đó S là R-module với phép nhân ngoài:
3


R S  S
(r,f)
rf: X  R
x

rf(x)

1.3. Một vài tính chất
Cho M là R-module. Khi đó, r,s  R, x,y,x1, x 2  M , ta có
1) 0R x  0M và r0M  0M .
2) (1R )x  x .
3) (r)x  (rx)  r(x) và y(rx)  r(yx) .
4) r(x1  x 2 )  rx1  rx 2 .
5) (r  s)x  rx  sx .
1.4. Module con
1.4.1.Định nghĩa
Cho M là R-module, N là tập con khác rỗng của M. Khi đó N được gọi là
module con của M nếu N là module trên R với phép cộng và phép nhân vô
hướng của M hạn chế trên N.
Nói cách khác: N là module con của M nếu
(1) n1,n 2  N : n1  n 2  N .
(2) n  N, r  R : rn  N .
Kí hiệu: N  M .
1.4.2. Ví dụ
a) 0 và M là các module con của module M và được gọi là module con
tầm thường của M.
b) Không gian vectơ con của không gian vectơ V trên trường K là
module con của module V.
c) Nhóm con của nhóm Abel A là module con của
4

 module A.


d) Mọi ideal của vành giao hoán có đơn vị đều là module con trên chính
vành đó.
e) Cho M là một R-module trái và x  M .Khi đó:

Rx  rx, r  R
là một Module con của M
1.4.3. Bổ đề
Nếu Xi i  I là họ các module con của module M thì

iI

Xi cũng là

module con của M.
1.5. Module thương
Cho M là R-module, N là module con của M. Ta có  N,   là nhóm con
chuẩn tắc của  M,   . Do đó M/N là nhóm thương của nhóm cộng Abel M.
Từ đó ta có M/N là nhóm cộng Abel.
Xét phép nhân ngoài: R  M / N  M/N
(r, x)

rx  rx (r  R, x  M)

Dễ dàng kiểm tra được M/N cùng với phép nhân ngoài trên lập thành cấu
trúc R-module.Module M/N được gọi là module thương của M.
1.6. Module con sinh bởi một tập
Cho M là R-module, X  M, X   . Khi đó, mỗi phần tử x  M có dạng
x   ri x i

(ri  R, x i  X) được gọi là tổ hợp tuyến tính của X. Tập các tổ hợp

tuyến tính được kí hiệu L(X) hay X . Nếu A  X thì ta nói A là module
con sinh bởi X hay X là hệ sinh của A.
Nếu X  x1 , x 2 ,..., x n  thì ta viết x1 , x 2 ,..., x n thay X và đương nhiên
n

x1 , x 2 ,..., x n   ri x i , ri  R  .Đặc
 i1


biệt

nếu

n 1

thì

ta



x  rx, r  R và kí hiệu là Rx.Nếu A  x thì ta gọi A là module xyclic.
5


1.7. Tổng trực tiếp trong
Cho họ khác rỗng các module con Ni i  I của R-module M. Khi đó:

HH

Tổng N  N1  N 2  ...  Ni  ...    x i x i  Ni , i  I  được gọi là


tổng đại số của họ Ni iI .
Tổng đại số này được gọi là tổng trực tiếp trong nếu với mọi j  I ta có

Nj

Ni .
 Ni  0 . Kí hiệu 
iI
i j

I  1,2,...,k

Nếu

thì

tổng

trên

được



hiệu



k

 Ni hay N1  N 2  ...  N k .
i 1

Nếu M   Ni thì ta nói rằng M là tổng trực tiếp của một họ các module
iI

con của nó.
1.7.2. Định lý
Cho họ khác rỗng họ các module con Ni i  I của R-module M. Khi đó
M   Ni khi và chỉ khi với mọi x  M đều biểu diễn duy nhất dưới dạng
iI

HH

x   x i với mọi x i  Ni .
2. Đồng cấu module
2.1. Định nghĩa
Cho M, N là các R-module. Ánh xạ f : M  N được gọi là đồng cấu
module trên R (hay R-đồng cấu) nếu x, x1 , x 2  M, r  R ta có:

f (x1  x 2 )  f (x1 )  f (x 2 )
f (rx)  rf (x)
Tập hợp tất cả các đồng cấu từ M tới N được kí hiệu là Hom(M,N).
Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh
(toàn ánh, song ánh).
6


Nếu M  N thì đồng cấu f được gọi là tự đồng cấu. Tập các tự đồng cấu
của M được kí hiệu là End(M) .
Tự đồng cấu được gọi là tự đẳng cấu nếu nó là song ánh. Tập các tự đẳng
cấu của M được kí hiệu là Aut(M) .
ker f  x  M f (x)  0  f 1 (0) được gọi là hạt nhân của f
Imf  y  N y  f (x), x  M  f (M) được gọi là ảnh của f.

Khi đó: f là đơn cấu khi và chỉ khi ker f  0 .
f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf  N .
2.2. Ví dụ
(1) Mỗi đồng cấu nhóm Abel đều là đồng cấu module trên

.

(2) Cho M, N là các R-module. Khi đó ánh xạ 0 : M  N là R-đồng
cấu và được gọi là đồng cấu không hay đồng cấu tầm thường.
(3) Cho M là R-module, N là module con của M. Ánh xạ i : N  M
n

n

là đơn cấu và được gọi là phép nhúng tự nhiên.
Đặc biệt nếu N  M thì i  idM là tự đẳng cấu.
(4) Cho M là R-module, N là module con của M. Khi đó ta có module
thương M/N. Ánh xạ

 : M  M/N
x

x

là toàn cấu module và được gọi là toàn cấu chính tắc. Ta có ker   N .
2.3. Một vài tính chất
a) Tích hai đồng cấu (nếu có) là đồng cấu. Do đó tích hai đơn cấu (toàn
cấu, đẳng cấu) là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).
b) Ánh xạ ngược của đẳng cấu là đẳng cấu.
c) Ảnh và tạo ảnh của các module con là các module con.
7


Khóa luận đủ ở file: Khóa luận full
















Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×