Tải bản đầy đủ

Một số cơ sở toán học thường dùng trong vật lí lượng tử (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

PHẠM THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG
TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI - 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======


PHẠM THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG
TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI - 2018


LỜI CẢM ƠN

ò



ế ơ sâ sắc t i TS. Nguyễn Huy Thảo
ê

tốt nhất


ứu, cung cấp nhữ
o

ọ sƣ

ƣ

o

q á








H N



chắn
ý
T

o

ơ



ƣờ đã






ú đỡ đị

ận tốt nghiệp.
Vậ ý ý



ƣ ng

ƣ ng dẫn, tạo đ ều kiện

ê

đã



ú đỡ

o

ế



ƣờ
ọ ậ



Cuố ù
L

ệ q ý á



xin cả

ơ s đ

s

ê

á

ỏi s thiế s

ến c a thầ
â

ầ đầ


ê
è để

ê

ú đỡ c

đ

ê

ứu khoa họ

ê

ậy





rất mong nhậ đƣợc nhữ
ậ đƣợ

o



è
ận chắc
đ

ơ

ảm ơ !

Hà Nội, ngày.... tháng.... năm 2018
Sinh Viên

Phạm Thị Hường


LỜI CAM ĐOAN


v is

ê

ƣ ng dẫn c a TS. Nguyễn Huy Thảo,

Vậ ý ý

vậ ý ƣợng tử” đƣợ

trong phầ
T
trung th

ế đề

M t số ơ sở oá

â

c hiện T o

á

ận

ảo m t số






ƣờ

q á



ù
ê

o


ệu c a m t số á

o

ả đã

ệu tham khảo.
đo
ƣ ừ

ững kết quả
đƣợ

ê



o



ố trong bấ



o

o

o



á .

Hà Nội, ngày.... tháng... năm 2018
Sinh Viên

Phạm Thị Hường

o


MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ẦU .......................................................................................... 1
1. Lý o

ọ đề

2. Mụ đ

..................................................................................... 1
ê

ứu ............................................................................... 2

ối ƣợ

3.


ê

4. Nhiệm vụ
5. P ƣơ

ứu ........................................................... 2

ứu............................................................................... 2

á

ê

ú

6. Cấ

ê

ứu ......................................................................... 2

ận ................................................................................... 2

PHẦN 2: NỘI DUNG ...................................................................................... 3
CHƢƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƢỜNG DÙNG TRONG VẬT
LÝ LƢỢNG TỬ ............................................................................................... 3
11 K

H

e .................................................................................. 3

111K

ế

........................................................................ 3

11 K

H

e ............................................................................ 5

1.1.3. S

o ....................................................................................... 6

1.1.4. Hệ tr c chuẩn .................................................................................... 7
1

Toá

ử oá

ửt

ê

ợp tuyế

á

é



ê



ử........ 8

1 1 Toá

ử .............................................................................................. 8

1

Toá



ê



1



é



ê

1

H

1



ê

ế


ị ê
ế



1 1 Lý

ết về

1

ế

ử Hermite) ............................ 10

ử ............................................................... 10








ử ......................................................... 12


................................................. 14

.......................................................................... 14





................................................................ 17

CHƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ....................................... 21
1 B





B





B





H
ê

e ............................................................. 21
ị ê

ểu diễ



ử ...................................... 23

.................................................... 28


PHẦN 3: KẾT LUẬN .................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 39


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vậ ý ọ
đ

o
ê

To



o



á


ê





đạ

ƣ

Vậ ý
ƣ: đị



ê



ƣ

ng thời vậ ý

sắc c

o

ƣời về t

s

á



áđ

để



ệ đạ -

ò đƣợ



ê



ê

ệ đạ

ế
V


o

ọ đề
đề

ế ơ ản c
ê

ậ ý





ọc,







ử He

e



ơ ọ

ố mở



ật ý

ại m
o

á



ƣờ N
o

ê

ử đƣợ





ế

e
á

o

o



á


ế

ê
ƣợng tử
ế

á

ơ

i hạn

ề á

ƣờng giải

ọc ho c triết học.

á

ơ sở oá



ị ê





ê

ê

đ ng thời mở ra

ƣ oá





ƣợng tử

ện m i trong vậ ý

á
ê

ê


á

ứu m i t o



ải
o

ƣợ

ƣờ đã đ sâ
ậ ý ƣợ

ƣ: vậ ý s

ơ

e

ấp dẫ

ác. Vậ ý ọc giao nhau v i nhiề

ƣ
H

ệ đạ đã





Vậ ý



t số hiệ

o



c a vậ ý

nhữ



ế

á đị

á




đế

ú đẩy s tiến b c

ậ ý

đị



ê từ cấ đ

c để

ơ ả





ệ đại nhằm giả





ế

đời c a vậ ý

o

á q

ậ ý ầ

định luậ

vậy, s

Vậ ý



đ ể đã đe

ƣợng trong t

đƣợ



luậ q á



đƣợc nhiều hiệ

á

ê

o đế

s ố q á





ậ ý ƣợ
ế

ƣ:





ê

M t s c sở to n học thường d ng trong vật lý lư ng t






1


2. Mục đích nghiên cứu
N

ê

ứu

ọ ậ

số ơ sở oá

ê



sử ụ

số ơ sở oá





3. Đ i tư ng và phạm vi nghiên cứu
K

H

Toá

ử oá

H

ê



e .
ử Hermite.
ị ê



ế

ử.

ểu diễ


M t số

ê q

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
N

ê



số ơ sở oá



ƣờ

5. Phư ng ph p nghiên cứu
Sử ụ
Sử ụ
Sử ụ

ƣơ


á đọ


ƣơ



o ậ ý
á







6. Cấu trúc khóa luận
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: N i dung
Phần 3: Kết luận

2

ù

o

ậ ý ƣợ



o


PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG
VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
1.1. Không gian Hilbert
K

H

e

q á

t dạng t

a

ị gi i hạn về vấ đề hữu hạn chiều. N
á đại số e ơ

á

e ơ
á

K


ậ ý

ạn chiều. M

ƣ ng, hay đƣợc hiể

e xuất hiện m
ƣờ

o

đ

o

ê

á ý

é

ê

t

ƣờ

ê

o

ạn chiều Cá
ứu trong thập kỷ đầ
F

bởi David Hilbert, Erhard Schmidt
ể thiế

á

á

gian Hilbert s m nhấ đƣợ

họ ƣợng tử

ƣơ

đo đƣợc.
H



á

mở r ng c

hữu hạn ho

e
oả

e

oá từ m t ph ng Euclide hai chiề

gian ba chiều cho đến
H

E

a thế kỷ 20

es R esz C ú

ết về á

ế đ i Fourier

ê

ƣơ

ý

â

ết ergodic





ừng phầ

ơ

ơ sở oá

ọc c a

nhiệ đ ng l c học.


H
o

dụ

e

é

á tr

q á

á

á

số tr c giao
â

ọc

ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ

K




ể đƣợ á
ấp m t khung

é biế đ i Fourier

a giả

trong việ

á

ạn chiều. C ú

t số

để hệ thố
c

o

H

e đ


m t

á

ệm

òq

ọng

é

c a

ọc ơ ọ ƣợng tử.

1.1.1. Không gian tuyến tính
M

ế


é


â


é

á

o

â


đ


ƣờng c

3

á đị


số
é

e ơ

é
ọc


é

â

e ơ

ọc v i m t số. C
ế

m t
é


á


1. T







ậ X đƣợc gọi

m



X

số a ( a  T , T

X

ax

ơ

ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X á đị

é

á phần ử

c

á

ã

á

é

x+y



â

ập số th c ho c phức,

ê đề s :

o oá : v

ử ất kỳ x, y  X ta



x  y  y  x.

3. T

( x  y)  z  x  ( y  z ).

ất kết hợp: v i mọi x, y, z  X

2. T


ọ x

ử 0  X sao cho x  0  0  x  x



e ơ
4. T

ị 1.x  x.1  x v i mọi x  X .

ạ phần tử đơ

5. a(bx)   ab  x
6. a  x  y   ax  ay
7.

 a  b  x  ax  bx

8. T





x X.

a, b T

x, y  X .

a T

x X.

a, b T

ử đố ( x)  X

ử x  X sao cho



x    x   1   1  x  0.x  0.

Ở ê

ố q

số





á



đị



aX
ế

ế

á số a, b T . Nế a
c. Nếu a

số phứ

ức [1,3].

Cho hệ n e ơ x1 , x2 ,..., xn  xn   X , e ơ:
y  a1 x1  a2 x2  ...  an xn  y  X , ai T .

ƣợc gọ

á

hợp tuyế

Nếu a1 x1  a2 x2  ...  an xn  0

a1 , a2 ,..., an

á

ƣợc lại nếu ai  0

e ơ x1 , x2 ,..., xn .
ất m

t n tạ

ệ  xn  đƣợc gọ

ụ thu c tuyế

ệ e ơ ê đƣợc gọ

4

o

đ c lập tuyế

á

ệ số

T ƣờng hợp


N ƣờ

đã



đƣợc rằng:

a. T o

ất m t hệ tố đ p e ơ đ c lập tuyến

X t n tạ



ệ tố đ

b. Nế

ê

ệ (p + 1

e ơ đ c lập tuyế

o

X đề

o ệ p e ơ đ c lập tuyế
e ơ

số e ơ ằng p.
e ơ bấ

am

ụ thu c tuyế

x X

:

a1x1  a2 x2  ...  ap x p  ap1 x  0.

ất hệ số ap 1 c a x

V

c. T o

: x  a1 x1  a2 x2  ...  a p x p .

á


X

số e ơ ằ

ều hệ ơ sở Cá

ằng p N ƣời ta gọi p

ệ ơ sở c a X đều

số chiều c

X

ệu dim X  p.
d. Phần tử X’ c

X thỏ

ã 8 ê đề về

ến

e ơ đƣợc gọ

o

a X. N ƣời ta

chứng minh rằng dim X   dim X [1].
K

ế

ƣờ


phần tử c

á

đƣợc gọi

e ơ

á

e ơ

1.1.2. Không gian Hilbert
M

ế
đ

tro

th c X đƣợ

á định

e ơ x, y  X



ề H

ế (x, y), gọ
á

ấ s

e

ế

ƣ ng

[4,7]:

1. ( y, x)   x, y .
2.

 x  y, z   ( x, z)   y, z .

3. ( x, x)  0

( x, x)  0

4. ( x, ay)  a  x, y 
V
đị

ƣ

a

x  0.

số

đƣợ đị

ề chuẩn x c a m



á

e ơ x ê X. x 

5

ất từ 1– 4 ò

 x, x .

t


t chuẩn ê X, gọ

x

tiề H

ẩn sinh bở

e đƣợ đị

ƣ ng

ƣ ê

Định nghĩa 1: M

định chuẩn [5].
i chuẩn x 

ế

 x, x  đƣợc gọi

ền Hilbert [1].
V

ền Hilbert

t

định chuẩ đề á

niệm về
H

định chuẩ

e

ểđ



o

đ .M

ê

M

ề H



á
tiền

e đ gọ

gian Hilbert.
Định nghĩa 2: M

ề H

đƣợc gọ

H

To

H

ơ sở tr c chuẩ đ

e

t hệ ơ sở tr c chuẩ đ

e [1].
e X

e ơ x bấ

ể khai triển theo hệ

e  :
n

x  a1e1  a2e2  ...  anen .
N â

ƣ ng hai vế v i ek ,

:

ak   ek , x  k  1,2,..., n .

Ta sẽ đ

ứng minh:

n

 ak

2

 1 khi x  1.

k 1

Thật vậy:

 ak

2

  ak  ek , x    ak  x, ek 
*

k

k

k



  x,  ak ek    x, x   1.
 k


1.1.3. Sự trực giao
Định nghĩa
Định nghĩa 3: Cho
ta

á

e ơ x, y

H
o

e X
ế x y

6

á




ử x, y  X

 x, y   0.

ƣờ


C c tính chất

y  x. T

1. Nế x  y

2. Nế x  y1 , y2 ,..., yn
T ậ



 x, a y

1 1

x  a1 y1  a2 y2  ...  an yn .

 ...  an yn   a1  x, y1   ...  an  x, yn   0.

3. Nế x  yn , yn  y  n   
T ậ



x  0.

xx

x  y.

 x, y   lim( x, y )  0.
n

n

4. Nếu x1 ,..., xn đ
x1  x2 ...  xn

o

t tr

2

 x1  x2 ...  xn
2

2

2

đị

ý Pythagore).

1.1.4. Hệ trực chuẩn
C o

H

e X.

1. Hệ e1, e2 ,...  X







e , e   
i

j

ij

ế :

0

1

đ :  ei , e j   0 nếu i  j.

To

 e , e   1 nếu i  j.
i

N ƣ ậ

j

en 





en  1

ế

n  

ei  e j  i  j .

2. Nếu en 
Fo

e



ọ x  X , số i  ( x, ei ) ọ




x đố

 e

ei

i i

i 1



Fo

e

x

en .
3. M
giao


ấ ả á




en 


đƣợ



ệ:

7

đầ đ

e ơ

ệ số
eo ệ


x  en (n  1,2,..)  x  0.
1.2. To n t , to n t tự liên h p tuyến tính, c c phép to n trên to n t
N o



đạ ƣợng vậ ý đ

ƣ

ƣ tọ đ

ƣợ

o



á

ƣợng,... ò

ƣợng vậ ý ắn liền v i bản chất c a hạ
spin,... Trong ơ ọ
đ

ƣ

ởi m

ƣợng tử, m



ể đ ng c a hạt vi
ƣ



ố ƣợ

đạ ƣợng hay thu

đại

đệ

ậ ý đề đƣợc

ử.

1.2.1. To n t
Kh i niệm
X, dim X  p

C o
é

a. M
á

gọ
đƣợc viế



ƣs



ần tử y  Y đƣợc

ến phần tử x  X



ạ K

Y, dimY  q.

é

Aˆ ,



é

biến x  y



[1]:
ˆ  y ( x  X , y Y )
Ax

Á

ạ Aˆ đƣợc gọ

ế

(1.1)

ếu:



ˆ ,  x  X , a T 
Aˆ   ai xi    ai Ax
i
i
i
 i
 i

 

(1.2)

M t s to n t
Toán tử tuyến tính: T ê
Aˆ đƣợc gọ

H

1



1

ử tuyế

X, v i x, y  X

tuyế
ếu thỏ



ã đ ng thời hai đ ều kiện sau:

ˆ  Ay
ˆ v i x, y  X
Aˆ  x  y   Ax

(1.3)

ˆ v i a bấ
Aˆ (ax)  aAx

(1.4)

ƣơ

đƣơ

i nhau

x X

ể viết gọn lạ

ƣs :

ˆ  a Ax
ˆ  ...  a Ax
ˆ .
Aˆ  a1x1  a2 x2  ...  ak xk   a1 Ax
1
2
2
k
k

To



đ x1 , x2 ..., xk  X ; a1, a2 ,..., ak

ững số th c ho c phức bấ

8


Toán tử đơn vị: T n tạ oá
s

ử đơ

đ







á đ ng c

ê

s
ˆ  .
I

Toán tử ngược: Toá
ƣợ

ử Aˆ 1 đƣợ



ử Aˆ ,



Toán tử Unita: Toá

(1.5)




ˆ y
ế Ax

ử Aˆ ọ



ửU

Aˆ ế

ƣợ

á đ

x  Aˆ 1 y, x, y  X .

e ế

ử Aˆ





:

ˆ ˆ   Aˆ  Aˆ  I .
Aˆ   Aˆ 1 hay AA
Toán tử liên hợp







ử ê

(1.6)





Aˆ   Aˆ

(1.7)

Chứng minh
ƣ ng:



 x , Axˆ   A T .
i

ần tử (i, j) c

Ta gọi Aij

j

ij

ử Aˆ .



N ƣ ậy:
ˆ , x    x , Ax
ˆ 
 Ax

*

i

Tƣơ



á

vừa chuyển vị vừa lấ

j

j

ần tử c



ê

hợp c a phần tử Aij . Tƣơ
ê

ợp c



i

ử Aˆ  . Phần tử Aij

đƣợc bằ

ợp phức c a phần tử Aij đƣợc gọ
ứng v

đề đ

ử Aˆ .

Toán tử tự liên hợp (toán tử hermite)
Nếu xả

 A*ji  Aij .

đ ng thức

Aij  Aij

9



ử Aˆ  đƣợc gọ

á

ần tử ê





Tứ

 x , Axˆ    Axˆ , x 
i

j

i

j

Hay Aˆ  Aˆ 
ử Aˆ đƣợc gọ





ửt

ê





ử Hermite [1].

1.2.2. To n t tự liên h p tuyến tính to n t Hermite
ối v i m
Ф,



ƣờ



Aˆ đƣợc đị

ế

đị

m

ử Aˆ 



ˆ 
 Aˆ x, y    x, Ay

ử Aˆ  đƣợc gọ

ử Aˆ

ế

Hermite. T



o (1.8



á oá

ƣs :

ử ê

ử Aˆ   Aˆ đƣợc gọ



ến

ọi x, y  X .



Cá oá

ê

(1.8)

ợp



ử t





ê








đƣợc [4,5]:

ˆ , y    x, Ay
ˆ 
 Ax

ọi x, y  X .

ừ Hermite Aˆ  Aˆ 

Bˆ  Bˆ  . M t số

(1.9)
chất c





Hermite:


1. T ng c

ử He


2. T



Aˆ  Bˆ

e







ử Hermite.

 Aˆ   Bˆ   Aˆ  Bˆ .

ử Hermite v i m t số



ử Hermite nếu số đ

c.

 
ˆ
kA

3. T


a hai oá



 k  Aˆ   k  Aˆ  kAˆ ,  k   k , k  R .

ử He

e



ử He

e

i nhau.
ˆ ˆ
 AB



ˆ ˆ.
ˆ ˆ  AB
 Bˆ  Aˆ   BA

1.2.3. C c phép to n trên to n t

10



ửđ

o




ử Aˆ , Bˆ



1. P é


Vậ


o oá

3. P é

â

ử ậ

Aˆ , Bˆ

P é



ế



é

sau:





ử ằ

é

ừ P é




 

ˆ ˆ f  Aˆ ( Bf
ˆ ).
ử: AB

ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ,
chung AB

N







ế



á

ˆ  Bf
ˆ  Df
ˆ hay Dˆ  Aˆ  Bˆ .
ử: Aˆ  Bˆ f  Af






ˆ  Bf
ˆ hay Cˆ  Aˆ  Bˆ .
ˆ  Cf
ử: Aˆ  Bˆ f  Af



2. P é

số f

Aˆ , Bˆ

ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ,
ƣợ ạ AB

o oá

o oá





úý







ử ƣ



o oá

ê

ửs

d
d
Thí dụ 1: Aˆ  ; Bˆ  x; Pˆ  Aˆ .Bˆ  x.
dx
dx

Cho P á



  x ấ

ê

d  x  
d
d 
Pˆ  x   Aˆ .Bˆ  x   .  x  x     x   x
 1  x   x 
dx
dx
dx 

d
Vậ Pˆ  Aˆ .Bˆ  1  x .
dx

Bˆ . Aˆ

T

d
d
Bˆ . Aˆ  x   x   x   Bˆ . Aˆ  x .
dx
dx

Dễ thấy rằ
tử Aˆ



o

ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ . N ƣ ậy, tứ
AB

ƣờng hợ
o oá .

Thí dụ 2: Cho Aˆ  x 2 , Bˆ  x, ta thấy ngay rằng:

ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ  x3 .
AB

11




â

ƣờng hợ





o oá

ˆ ˆ  BA
ˆ ˆ . Nế  Aˆ , Bˆ   0
ử:  Aˆ , Bˆ   AB



4. Giao oá

ƣợc lại  Aˆ , Bˆ   0

oá v i nhau,

Aˆ , Bˆ

Aˆ , Bˆ gọ

o oá

o

i nhau.

1.3. Hàm riêng và trị riêng của to n t
Định nghĩa


ử Aˆ



  x  bấ

ê

dụ

  x  ,   x  bấ

á

ử Aˆ á

C o oá

á   x :

đƣợc m
Aˆ  x     x 

Trong ƣờng hợp khi m



t hằng số λ

chuyể

(1.10)

ử Aˆ á

â



  x,

ê

:

Aˆ  x     x 

ƣời ta gọi   x 

Trong ƣờng hợ
λ đƣợc gọ

á ị ê

tử Aˆ . P ƣơ
ê

c

ê
M

ị ê

ƣơ

1 11 đƣợc gọ



ử. Giả



ử.





ƣơ


ê

o





ê

ê

đ  n  x
Tập hợp những trị ê

ê



ại ứng v i m t

:

Aˆ n  x   n n  x  n  1,2,3,...

To



á trị ê

đƣợ

ê

ử Aˆ , ò

  x c

ê

ƣơ



c

ứng v

1 11)

ể viết lại (1.11

trị riê

(1.11)

ứng v i trị ê


n (n  1,2,3,...).

ử đƣợc gọ

12

(1.12)

c



ửđ


Nếu trị ê
rời rạ ; ò
ê

λ

ếu trị ê
ục. Ph c



á trị rời rạc, ta gọi ph c

λ





ử Aˆ vừ

á ị ê

ử Aˆ



ục, ta gọi ph c

ể ê

ục, vừ



ử Aˆ

ể rời rạc.

Hàm riêng và trị riêng của to n t Hermite
T

p ƣơ

ê

ị ê



ử:

Aˆ  x     x .

T eo đị



ử Hermite:

 Aˆ ,    , Aˆ   , ( Aˆ


ử Aˆ

Nếu oá

ử Hermite,

 Aˆ ).

á

ê

á ị ê

ất sau:

nhữ
 Cá

á ị ê

P ƣơ
ê





á đoạ


o ị ê

ử He

e



ững số th c.

ử Hermite Aˆ

o

ƣờng hợ



:
Aˆ n  n n

V

V

 n , Aˆ n    Aˆ  n , n 
Aˆ   Aˆ   n , Aˆ n    Aˆ n , n  ,
:
n  n , n   n  n , n 





 n  n  n , n   0

V  n , n   0  n  n  n
Vậ

á ị ê
 Cá


ê

ử He

ứng v

c.
e

ững số th c.

á ị ê

tr c giao v i nhau.

13

á



ử Hermite


T eo đị



ử Hermite:

 , Aˆ    Aˆ , 
1

2

1

2

 a1  1, 2   a2  1, 2 
  a1  a2  1, 2   0.

V a1  a2  a1  a2  0   1 , 2   0.
Do đ  1 ,  2 tr c giao v i nhau.
 Cá

ê



ử Hermite lậ

f  x  bấ

Nế


â

á

t hệ đ .
un  x  c

ê



ử Hermite

:
f  x   c1u1  x   c2u2  x   c3u3  x   ...
f  x    cnun  x .
n

1.4. Lý thuyết về nhóm và bi u di n nhóm
1.4.1. Lý thuyết về nhóm
Định nghĩa
M


ậ G



é

á
â

ử a, b, c,... đƣợ


ã

Tính có đơn vị: T ê





ế

ấ sau:

ọ a, b  G

Tính kín: V




ọ a.b  G.

ợ G





ử đơ

ị đƣợ

e, sao cho:

a.e  e.a  a
Tính có nghịch đảo: V


đảo

a  G.



m

ử o

ậ G

:

a.a 1  a 1.a  e,

ọ a, a 1  G.

Tính chất kết hợp:
a. b.c    a.b .c v

14

ọ a, b, c  G.






To

á







o oá

a.b  b.a.

Nhóm Abel
To





A e

o


đ

ò đƣợ

ế q ả



ệ á



á

o


á

á



o oá
é

ú

é

ế

N

o oá

ọ a, b  G.



A e

â
đƣợ

â theo ê đề ề
a.b  b.a

M





o oá



o oá

Nhóm tuần hoàn



x.x...x  x n

p ầ

ử x n gọ

ừa bậc n c a x.
o

M

đ

á

ần tử đề


m t phần tử gọ


M

o

ững



á

ù

o



ê

o oá

Nhóm hữu hạn, vô hạn, liên tục


Số phần tử c a m


n

ữu hạ



á

To

ấp c
ƣờng hợ

Nếu cấ

t số gi i



ạn. M t

á ạ

ần tử biế

ê

ê

ục gọ





ệ q

ê

ục.

á



Bảng nhân nhóm
Bả
đƣợ

â




o



ƣ

đâ :

15



â

ử o


Ví dụ 1: N

đơ


e

e

a

b

c

e

e

a

b

c

a

a

a.a

a.b

a.c

b

b

b.a

b.b

b.c

c

c

c.a

c.b

c.c






e.e  e. R

â

đề đƣợ






e, a.

e.a  a.e  a. Vậ

a.a  e, o





eo

a.a  a. K ả

ƣ

biểu thị qua bả

o







đ

đảo

ấ ả á




òn a.a ầ đƣợ

e
ê đề

ử đơ

ị T



e.e  e

e

á đị

C



ẫ đế a  e. T

a 1

ịe

ã

Ví dụ 2: Xé


ử đơ

ể ả




ế

â

C2. Luậ

â







ƣờ

ợ :



ế
đƣợc

đâ :
e

a

e

e

a

a

a

e

Nhóm quay SO(2) - nhóm quay trong mặt phẳng


á

é q

ạo

M

SO

á

q

á

é q
Th c hiệ
ú

xOy q

hay

 ,  ,  ,...
á

é q


đƣợ đ

ọ đ
ƣ

R( ), R    , R   ,... T

é q

ở ậ S


ê

ế

 ,  ,  ,...

q
é q

é q

ê

ế

,

16

đƣợc m

é q

é q

  .

a


R   R     R    .

T



o oá :

 R   R    R    R    R    R  
ị: R  0 R    R   R  0   R   , e  R  0 .

ơ
T









đảo: R 1    R   .



é q



o oá

ê SO

o oá [2,7].

Nhóm con
Trong ý thuyế
. Nếu gọi H
To

ƣờ

,

đƣ

t tập con c a G

ƣờng hợp H

é

v

â c a

M



â

o

H đƣợc gọ

o c a G.
é

Gv i

G. H đƣợc gọ

con H c a



H

Định nghĩa 4: Cho m t

é

Gv im t

â

o c a G nế

ập
H

G.

o H

o

G

G khi



ã

á đề

ệ s :
V

ọ a  H ,b  H

Tậ



Nế a

o H


a.b  H .






ử đơ


H

G: e  H .

ịe




đảo

a

a-1 c

ần

tử c a H.
a  H  a 1  H .

G o
o

ọ ấ



o

G

G.

1.4.2. Lý thuyết bi u di n nhóm
Kh i niệm

đ i trong m

Gg m á
tuyế

ần tử a, b, c
n chiều Xn. Gọ

17

U á

é

ến

U á

é

ến


đ

o

X

t biểu diễn c

G ê

cấu c

ứng v i a, b, c  G

U, tứ
o

U(a), U(b), U(c

é đ ng

G nế
é

ế đ i

ã : a.b.c  U  a .U  b .U (c) v i

U thỏ

U  a  ,U  b  U [2,7].

a, b, c  G,

P é đ ng cấu: G  U đƣợc gọ
gian Xn. T o

đ

á ạ

T eo đị

é
é

đƣợ

G o
ều biểu diễn. Nếu U

ểu diễn c

ểu diễn gọ

s

V i mọi a, b  G

ểu diễ

ểu diễn, n

Xn gọ

ế đ i tuyế
tuyế

é

é

G

ểu diễn

ến.

á

ất sau:

U  a  ,U  b  U

:

U  a .U  b   U  a.b 

Ứng v i yếu tố đơ

ịec

(1.13)
é

G

ế đ

đ ng nhất trong

X.
U  a .U  e   U  e .U  a   U  a  hay U  e   1.

Yếu tố nghị

(1.14)

đảo:

U  a 1   U  a  .
1

Nếu n

é

G g m n phần tử a

â

á

(1.15)
ần tử trong

:

a.a...a  n.a  U  n.a   U  a .U  a ...U  a   U  a  .
n

Bi u di n khả quy và bi u di n t i giản
G o

Cho m t biểu diễn U c

e ơ X. Nếu trong X

o X1 bất biế đối v i tất cả á
biểu diễn U, v i mọi yếu tố a c
khả q

To

ƣờng hợ
o

o

o ất biế đối v i tất cả á

18

ế đ i U(a) c a

ằng U

G

ƣợc lại, nế

é

t biểu diễn
X

é

ế đối v i tất cả á

t


é

ế đ i U(a), trừ
o

on tầ



ƣờ

X

ằng U

ểu diễn tối giản [2].

Bi u di n bất khả quy


Cho U(G)




G ê

e ơ ơ sở ê Xn

ođ s o

e ơ Xn V
o





s



U(G)

ạ :
0 
 D g
D g    1

D2 ( g ) 
 0

D1  g 

Trong đ

m  m; D  g 



 n  m   n  m





D g 

(n  m)  n,





m  (n  m)

D2  g 

đƣợ



D1  g 

ế





:
D  g   D1  g   D2  g 

T

U(G)



ảq

ế X



U(G). N ƣợ ạ
To

ƣờ

o



ù




G ê

e ơ Xn U(G)
o






X1

ù

o



ƣờ

o

X1



e ơ ữ

ạo

X1

ế


o

ảq

ế

e ơ o

o



o



á


e ơ



:

X2

X  X1  X 2 .
M
á






o




o

ảq

ế

ƣơ

ạ :

0
... 
 D g 


D  g  ... 
 0





19

đƣơ






Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×