Tải bản đầy đủ

(GV ĐẶNG VIỆT ĐỘNG) 132 câu HÌNH học KHÔNG GIAN image marked image marked

Câu 1:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm
O. Gọi M , N , I là 3 điểm lấy trên AD, CD, SO . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

( MNI )

là:

A. Một tam giác
giác

B. Tứ giác

C. Ngũ giác

D.

Lục

Đáp án C.

 J = BD  MN


Trong ( ABCD ) gọi  K = MN  AB
 H = MN  BC

Trong ( SBC ) gọi P = QH  SC
Trong ( SBD ) gọi Q = IJ  SB
Trong ( SBC ) gọi R = KQ  SA
Suy ra, thiết diện là ngũ giác MNPQR .
Câu 2:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' đáy ABC là
tam giác đều, I là trung điểm của AB. Kí hiệu d ( AA ', BC ) là khoảng cách giữa 2 đường
thẳng AA ' và BC thì:
A. d ( AA ', BC ) = AB

B. d ( AA ', BC ) = IC

C. d ( AA ', BC ) = A ' B

D. d ( AA ', BC ) = AC

Đáp án B.
Gọi M là trung điểm của BC  AM ⊥ BC (ABC là tam giác đều)
+ AM ⊥ AA ' (do AA ' ⊥ ( ABC ) , ( ABC )  AM )
AM = d( AA', BC ) = CI (tam giác ABC đều)

(AM: gọi là đường vuông góc chung
nhau AA ' , BC).

của 2 đường thẳng chéo


Câu 3:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn
GA + GB + GC + GD = 0 (G gọi là trọng tâm của tứ diện). Gọi GA = GA  ( BCD ) . Trong các

khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. GA = −3GAG

B. GA = 4GAG

C. GA = 3GAG

D.

GA = 2GAG

Đáp án C.
+ Gọi G0 là trọng tâm tam giác BCD  GB + GC + GD = 3GG0
 GA + GB + GC + GD = 0  GA + 3GG0 = 0

 A, G, G0 thẳng hàng  G0  GA

+ Có A, G, GA thẳng hàng mà GA = 3GGA  GA = 3GAG
Câu 4:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một
vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên ( ABC ) . Xét các mệnh đề sau:
I. H là trực tâm của ABC .
II. H là trọng tâm của ABC .
III.

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA OB OC 2

Số mệnh đề đúng là:
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án C.
OA ⊥ ( OBC )  OA ⊥ BC (1)
OH ⊥ ( ABC )  OH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra
BC ⊥ ( AOH )  BC ⊥ AH

 AH là đường cao trong tam giác BCD
Tương tự suy ra, CH là đường cao trong tam
 H là trực tâm  I đúng  II sai

giác

BCD


+ Gọi A ' = AH  BC  OA ' ⊥ BC


1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
+

=
+
=
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
OH
OB OC
OH
OA ' OA
OA OB OC 2

 III đúng.
Câu 5:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC
là tam giác cân tại B. BC = a , ABC = 60 , CC ' = 4a . Tính thể tích khối A ' CC ' B ' B .
A. V =

2a 3 3
3

B. V =

a3 3
3

C. V = a3 3

D. V = 3a 3

Đáp án A.

ABC cân có ABC = 60  ABC đều cạnh a
1
 VABC . A ' B 'C ' = S ABC .CC ' = .a.a.sin 60.4a = a 3 3
2

1
a3 3
VA ' ABC = VABC . A ' B 'C ' =
3
3

 VA 'CC ' B ' B = VABC . A ' B 'C ' − VA '. ABC = a 3 3 −

a 3 3 2a 3 3
=
3
3

Câu 6:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Kim tự tháp Kê – ốp ở Ai Cập được xây dựng và
khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều
cao là 147 m, cạnh đáy là 230 m. Thể tích của nó là:
A. 2592100 m3
2591200 m3

B. 2952100 m3

C. 2529100 m3

D.

Đáp án A.
1
1
Ta có V = Sđ .h = .2302.147 = 2592100 m3.
3
3

Câu 7:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Hình tứ diện có số mặt đối xứng là:
A. 3

B. 4

C. 6

D. 9

Đáp án C.
Mặt phẳng qua 1 cạnh và trung điểm cạnh đối diện là mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện
đều  Có 6 mặt như vậy.
Câu 8:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một khối trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và
nội tiếp trong mặt cầu bán kính R thì thể tích của khối trụ là:
A. 2 R 3
Đáp án B.

B.

 R3 2
2

C.

 R3 2
6

D.

2
 R3
3


Gọi h là chiều cao của khối trụ, r là bán kính

 h2 + h2 = ( 2R )  h2 = 2R 2  h = R 2
2

1
R 2
h=
2
2

r=

2

 R2 
 R3 2
 Vtru = B.h =  r h =  .   .R 2 =
2
 2 
2

Câu 9:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ
nhật cạnh AB = 2a, AD = a , SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Diện
tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
16 2
a
3

A.

B.

57 2
a
18

C.

48 2
a
9

D.

24 2
a
9

Đáp án A.
Trong mặt phẳng ( ABCD ) , gọi O = AC  BD , H là trung điểm AD.
Gọi I , J lần lượt là trung điểm của BC và G là trọng tâm SAD .
Đường thẳng d qua O và vuông góc với ( ABCD ) gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy

( ABCD ) .
 qua G và vuông góc với ( SAD ) là trục của đường tròn ngoại tiếp ( SAD ) .

Trong mặt phẳng ( SHI ) , gọi I =   d

 J cách đều các đỉnh của hình chóp
 J là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD có bán kính
R = JD = OJ 2 + OD2 = GH 2 + OD2
1
1
3 a 3
=
Có GH = SH = .a
;
3
3 2
6
OD =

1
a 5
DB =
2
2

R=

3a 2 5a 2
4
+
=
a
56
4
3

 S mc = 4 R 2 =

16 2
a .
3

Câu 10:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tứ diện đều ABCD. Biết khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng ( BCD ) bằng 6. Tính thể tích của tứ diện ABCD


A. V = 27 3 .

B. V = 5 3 .

C. V =

27 3
.
2

D. V =

9 3
.
2

Đáp án A
Gọi H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng ( BCD ) . Do ABCD là tứ diện đều nên tâm H
là tâm đường trong ngoại tiếp BCD .
Đặt cạnh của tứ diện là a. Gọi M là trung điểm của CD.
Do BCD đều nên BM =

a 3
2
2 a 3 a 3
 BH = BM = .
=
.
2
3
3 2
3
2

a 3
a 6
Ta có ABH vuông tại H nên AH = AB − BH = a − 
.
 =
3
 3 
2

Từ

giả

thiết

2

ta

2



2

a 6
a 3 27 3
= 6  a = 3 6  S BCD =
=
3
4
2
Vậy thể tích của tứ diện ABCD là
AH =

V=

(đvdt).

1
1 27 3
AH .SBCD = .6.
= 27 3 (đvtt).
3
3
2

Câu 11:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Thể tích khối cầu tâm I, có bán kính 2R bằng
A. V =

4 3
R .
3

1
B. V = R 3 .
3

C. V =

32 3
R .
3

8
D. V = R 3 .
3

Đáp án C
Thể tích khối cầu là V =

4
32 3
3
. ( 2 R ) =
R (đvtt).
3
3

Câu 12:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm
O, bán kính R có BAC = 750 , ACB = 600 . Kẻ BH ⊥ AC . Quay ABC quanh AC thì BHC
tạo thành hình nón tròn xoay ( N ) . Tính diện tích xung quanh của hình nón xoay ( N ) theo
R.
A.

3+ 2 2 2
R .
2

B.

3

3+ 2 3 2
R .
2

C.

(

) R .

2 +1
4

2

Đáp án B
Áp dụng định lý hàm số sin, ta có

BC
sin BAC

=

AC
sin ABC

=

AB
sin ACB

= 2R

3
D.

(

) R .

3 +1
4

2


 AB = 2 R.sin 600 = R 3

BC
AC
AB
6+ 2


=
=
= 2 R   BC = 2 R.sin 750 =
R
0
0
0
sin 75
sin 45
sin 60
2

 AC = 2 R.sin 450 = R 2

Lại có

SABC =

1
1
AB. AC.sin BAC = BH . AC  BH = AB.sin BAC = R 3.sin 750
2
2

3

 BH =

(

6+ 2
4

)R.

Khi quay ABC quanh AC thì BHC tạo thành hình nón tròn xoay ( N ) có đường sinh
l = BC =

3
6+ 2
R , bán kính đáy r = BH =
2

Diện tích xung quanh hình nón

S xq = rl = 

3

(N)

(

6+ 2
4

) R.



6+ 2
4

(

) R.

6+ 2
3+ 2 3 2
R=
R (đvdt).
4
2

Câu 13:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông cân tại A, AB = a, SA = SB = SC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC )
bằng 450 . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ( ABC )
A.

a 3
.
3

B.

a 2
.
2

D. a 3 .

C. a 2 .

Đáp án B
Gọi I là hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng

( ABC ) .

Do SA = SB = SC nên

IA = IB = IC  I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Mà ABC vuông cân tại A nên I là
trung điểm của BC và IA = IB = IC =

1
a 2
BC =
.
2
2

Ta có IA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng

( SA, ( ABC )) = ( SA, IA) = SAI = 45 .
0

( ABC )

nên


Do SIA vuông tại I nên SAI vuông cân tại I, khi đó :
SI = IA =

a 2
a 2
 d ( S ; ( ABC ) ) = SI =
.
2
2

Câu 14:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam
giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng
tâm của tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là

a3 3
. Tính khoảng cách giữa hai
4

đường thẳng AA ' và BC
A.

4a
.
3

B.

2a
.
3

C.

3a
.
4

D.

Đáp án C
Ta dễ dàng chứng minh được AA '/ / ( BCC ' B ')
 d ( AA '; BC ) = d ( AA '; ( BCC ' B ') ) = d ( A; ( BCC ' B ') ) .

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra A ' G ⊥ ( ABC ) .
Ta có S ABC =

a2 3
4

 VABC . A ' B 'C ' = A ' G.S ABC  A ' G =
Lại có AM =

VABC . A ' B 'C ' a 3 3 a 2 3
=
:
=a.
SABC
4
4

a 3
2
a 3
2a 3
 AG = AM =
 AA ' = A ' G 2 + AG 2 =
.
2
3
3
3

Ta luôn có VA '. ABC

1
1 a3 3 a3 3
= VABC . A ' B 'C ' = .
=
.
3
3 4
12

Mà VABC . A' B 'C ' = VA '. ABC + VA '.BCC'B'
 VA '. BCC ' B ' = VABC . A ' B 'C ' − VA '. ABC =

a3 3 a3 3 a3 3

=
.
4
12
6

3a
.
2


Gọi M , M ' lần lượt là trung điểm của BC và B ' C ' . Ta có BC ⊥ AM , BC ⊥ A ' G
 BC ⊥ ( AMM ' A ')  BC ⊥ MM ' . Mà MM '/ / BB ' nên BC ⊥ BB '  BCC ' B ' là hình chữ

nhật  S BCC ' B ' = BB '.BC =

2a 3
2a 2 3
.a =
.
3
3

3V
1
Từ VA '.BCC'B' = d ( A '; ( BCC ' B ') ) .S BCC ' B '  d ( A '; ( BCC ' B ' ) ) = A '.BCC'B'
3
S BCC ' B '
a 3 3 2a 2 3 3a
3a
 d ( A '; ( BCC ' B ') ) =
:
=
. Vậy d ( AA '; BC ) =
.
2
3
4
4

Câu 15:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy
ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, A ' C = a . Gọi x là góc giữa hai mặt phẳng ( A ' CB ) và

( ABC )

để thể tích khối chóp A '.ABC lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp

A '.ABC theo a
A.

a3 3
.
3

B.

a3 3
.
9

C.

a3 3
.
27

Đáp án C
Ta có BC ⊥ AC, BC ⊥ AA '  BC ⊥ ( A ' ACC ')  BC ⊥ A ' C.
Suy ra

(( A ' CB ) , ( ABC )) = ( A ' C, AC ) = A ' CA = x,  0  x  2  .

A ' AC vuông tại B nên AA ' = A ' C.sin A ' CA = a sin x; AC = a cos x.
Suy

ra

( a cos x ) = a3 sin x cos2 x.
1
1
= . AA '.SABC = .a sin x.
3
3
2
6
2

VA '. ABC

D.

a3 3
.
81


 
Xét hàm số f ( x ) = sin x cos 2 x = sin x 1 − sin 2 x trên  0;  .
 2

(

)

 
Đặt t = sin x , do x   0;   t  ( 0;1) . Xét hàm số g ( t ) = t 1 − t 2 trên ( 0;1) .
 2

(

Ta có f ' ( t ) = 1 − 3t 2 ; f ' ( t ) = 0  t = 

)

1
1
. Do t  ( 0;1) nên t =
.
3
3

 1  2 3
Lập bảng biến thiên, suy ra max f ( x ) = max g ( t ) = g 
= 9 .
t( 0;1)
 
3
x 0; 

 2
Vậy Vmax =

a3 2 3 a3 3
.
=
(đvtt).
6 9
27

Câu 16:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' . Gọi I và I ' lần
lượt là tâm của ABB ' A ' và DCC ' D ' . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. II ' = AD

B. II '/ / ( ADD ' A ') .

C. II ' và BB ' cùng nằm trong một mặt phẳng

D. II ' và DC không có điểm chung

Đáp án C.
+ ADC ' B ' là hình bình hành.
+ II '/ / AD  II '/ / ( ADD ' A ') và II ' = AD nên đáp án A, B là đúng.
+ II '/ / ( ABCD ) nên II ' và DC không có điểm chung nên đáp án D đúng.
+ ( ABB ' A ') / / ( BCC ' B ') = BB ' và ( ADC ' B ')  ( BCD ' A ') = II ' tức là II ' và BB ' không
cùng thuộc một mặt phẳng nên đáp án C sai.
Câu 17:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông và SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm AB, BC và SB. Mệnh đề nào
sau đây là sai?
A. ( MNP ) / / ( SAC )

B. BD ⊥ ( MNP )

C. Góc giữa SC và BD là 60°

D. BC ⊥ MP

Câu 18:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' . Tính số
đo góc giữa hai mặt phẳng ( BA ' C ) và ( DA ' C ) . Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng ( BA ' C )
và ( DA ' C ) .
A. 60°

B. 135°

Đáp án A.
Vẽ DH ⊥ A ' C .
Ta có: A ' DC = A ' BC (c.g.c)  BH = HD

C. 150°

D. 90°


 BHC = DHC (c.c.c)  BHC = 90
Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( BA ' C ) và ( DA ' C ) là góc BHD
Trong A ' DC vuông tại D

 DH =

DA '.DC a 2 a 6
=
=
A'C
3
3

Trong HBD có cos BHD =

BH 2 + HD 2 − BD 2
1
=−
2 BH .HD
2

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( BA ' C ) và ( DA ' C ) là góc 60°.
Câu 19*:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều
cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho

HA = 3HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60°. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
A.

a 61
4

4a 17
3

B.

C.

a 35
51

4a 351
3 61
Đáp án D.
Kẻ Ax / / BC , HI ⊥ Ax, HK ⊥ SI . Gọi M là trung điểm của AB
 d ( BC , SA ) = d ( BC , ( SAx ) ) = d ( B, ( SAx ) ) =

4
d ( H , ( SAx ) )
3

Ta có AI ⊥ ( SHI )  AI ⊥ HK  HK ⊥ ( SAI )  d ( H , ( Sax ) ) = HK
Góc giữa SC và ( ABC ) là góc SCH = 60
Ta


2

 a 3   a 2 a 13
HC = CM + MH = 
 +   =
4
 2  4
2

2

 SH = HC.tan 60 =
HI = AH .sin 60 =

a 39
4

3
3 a.3 3
a.
=
4 2
8

HI 2 .SH 2
351a 2
a 351
=
 HK =
Ta có HK =
2
2
HI + SH
61
61
2

D.


4
4a 351
 d ( BC , SA) = d ( H , ( SAx ) ) =
3
3 61
Câu 20:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cắt khối nón bởi mặt phẳng qua trục tạo thành
tam giác ABC đều cạnh a. Biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là
A.

3a 3 3
4

B.

a 3 3
12

C.

a 3 3
24

D.

a3 2 3
9

Đáp án C.
Ta có bán kính đáy khối nón là

a 3
a
, chiều cao của khối nón là h =
2
2

1  a  a 3  a3 3
=
Vậy V =  .   .
3 2
2
24
2

Câu 21:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều
có cạnh là a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc vơi đáy. Tính
thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp.
A.

15 a 3
9

B.

5 15 a 3
54

C.

5 15 a 3
18

D.

4 3 a 3
27

Đáp án B.
Gọi H là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ABC, K là trung điểm SC.
Ta có: SH ⊥ AB  SH ⊥ ( ABC )

SH = SC  HK là trung trực SC. Qua O kẻ trục d / / SH  d ⊥ ( ABC )
 IA = IB = IC
 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC
Gọi I = d  HK  
 IS = IC
2
a 3
Ta có CG = CH =
3
3

Xét HIG vuông tại G: IG = HG =

a 3
a 15
 IC =
6
6

4
5 15a 3
3
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp V =  ( IC ) =
3
54

Câu 22:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một phễu đựng kem hình nón bằng bạc có thể tích
12 (cm3) và chiều cao là 4 cm. Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần
nhưng chiều cao không thay đổi thì diện tích miếng giấy bạc cần thêm là


(

)

A. 12 13 − 15  (cm2) B. 12 13 (cm2)

(12

C.

)

12 13
(cm2)
15

D.

13 + 15  (cm2)

Đáp án A.
Gọi R1 , h1 lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón lúc đầu; R2 , h2 lần
lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón sau khi tăng thể tích.
1
1
V1 =  R12 .h1  12 =  R12 .4  R1 = 3 cm
3
3

V2 R22
1
2
=
= 4  R2 = 2 R1 = 6
V2 =  R2 .h2 với h1 = h2 
3
V1 R12
Diện tích xung quanh của hình nón lúc đầu: S xq1 =  .R1.l1 = 15
Diện tích xung quanh hình nón khi tăng thể tích: S xq 2 =  .R2 .l2 = 12 13

(

)

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm: S = 12 13 − 15  (cm2)

Câu 23:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) , SC = a 5 . Tính thể tích khối
chóp.
A. V =
V=

a3 3
3

B. V =

a3 3
6

C. V = a3 3

a3 3
9

Đáp án A.
Ta có: AC = a 2  SA = SC 2 − AC 2 = a 3 (chiều cao của hình chóp)
Diện tích hình vuông ABCD : S ABCD = a 2

D.


1
a3 3
Thể tích khối chóp SABCD là: VSABCD = .SA.S ABCD =
3
3

Câu 24:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam
giác đều cạnh là 1. Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng
tâm của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC bằng

3
, tính thể
4

tích V của khối lăng trụ.
A. V =

3
36

B. V =

3
3

C. V =

3
6

D. V =

3
12

Đáp án D.
Gọi M là trung điểm BC, dựng MK ⊥ AA ' và GH ⊥ AA '
 d ( BC , AA ') = KM =
AGH ~ AMK 

3
4

KM 3
2
3
=  GH = KN =
GH 2
3
6

AA ' G vuông tại G, GH là đường cao  A ' G =
Vậy VABC . A ' B 'C ' = S ABC . A ' G =

1
3

3
12

Câu 25:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho một chiếc cốc thủy tinh có hình lăng trụ lục
giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 20 cm và 5 cm. Người ta đặt cái cốc vào
trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cái cốc vừa khít trong hộp. Tính thể tích
chiếc hộp đó.
A. 500 3 cm3
cm

B. 1000 3 cm3

C. 750 3 cm3

D. 100 3

3

Đáp án B.
Ta có: AB = 2MN = 10 cm
AD = MR = 5 3 cm
 V = S ABCD .h = 10.5 3.20 = 1000 3 (cm3)

Câu 26:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho mặt cầu ( S ) có tâm O và bán kính R. Diện
tích mặt cầu ( S ) được cho bởi công thức nào trong các công thức dưới đây?
A. 4 R 2 .
Đáp án A.

B. 4R2 .

C.

4
 R2 .
3

D.  R 2 .


Câu 27:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có đáy là
hình vuông. Tính góc giữa hai đường thẳng AC  và BD.
A. 90 .

C. 30 .

B. 45 .

D. 60 .

Câu 28:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A
có AB = a và BC = 2a . Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta thu được khối nón có
thể tích bằng
A.  a 3 .

B. 3 a 3

3 3
a .
3

C.

D.

2 3
a .
3

Đáp án A
Ta có chiều cao của khối nón bán kính hình tròn đáy lần lượt là

h = AB = a ; và r = AC = BC 2 − AB2 = a 3.
Suy ra thể tích của khối nón là

1 2
 r h =  a3 .
3

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án B: Sai do HS thiếu

1
trong công thức tính
3

thể tích.

Phương án C: Sai do HS xác định h = a 3 và bán

kính đáy

r = a nên
V=

3 3
a .
3

Phương án D: Sai do HS nhớ sai công thức tính thể tích khối nón
1
2
V =  r 2l  a 3 .
3
3

Câu 29:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao
cho A trùng với O, điểm B thuộc tia Ox, điểm D thuộc tia Oy và điểm S thuộc tia Oz. Gọi G là
trọng tâm của tam giác SBD. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
a a 
A. G  ; ; a  .
3 3 

B. G ( a; a;3a ) .

 a a 3a 
C. G  ; ;  .
2 2 2 

a
a
D. G  ; a;  .
3
3

Đáp án A.
Câu 30:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lập phương ABCD.ABCD . Gọi  là
góc giữa đường thẳng AC’ với mặt phẳng ( ABCD ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

2

  .
9
4

B.


4

 


3

.

C.


6

 

2
.
9

D.


9

 


6

.


Đáp án C.
Ta có AC là hình chiếu vuông góc của AC ' trên mặt phẳng ( ABCD ) .
Lại do CC ' ⊥ ( ABCD ) nên tam giác C ' AC vuông

) (

(

tại C .

)

Suy ra AC ', ( ABCD ) = AC ', AC = C ' AC =  . .
Ta có tan  =

CC '
2

2
=
  
.
AC
2
6
9

Phân tích phương án nhiễu
2
và cho
2

Phương án A: Sai do HS tính được tan 

=


4

rằng

.

Phương án B: Sai do HS tính sai tan  =


AC

= 2 nên suy ra   
.
4
AC '
3

Phương án D: Sai do HS tính sai tan  =

CC '
3

=
nên suy ra  = .
AC ' 3
6

Câu 31:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết rằng AB = a, AC = a 3
và SBA = 60 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Tính tỷ số thể tích của hai
khối SABH và HABC.
A.

3
.
4

B.

1
.
12

C.

3
.
2

D.

7
.
4

Đáp án A
Ta có SA = AB tan SBA = a 3; AC = AB 2 + BC 2 = 2a .
Tam giác SAC vuông tại A có đường cao

SC = SA2 + AC 2 = a 7 và
Do đó

SH SA2 3
=
= .
SC SC 2 7

Mặt khác
Suy ra

VSABH SA SB SH SH 3
=
. .
=
= .
VSABC SA SB SC SC 7

VHABC 4
V
3
= . Do đó SABH = .
VSABC 7
VHABC 4

Phân tích phương án nhiễu.

AH nên

SH .SC = SA2 .


Phương án B: Sai do HS tính sai SA = AB tan SBA =

a 3
. Do đó tính được
3

VSABH
V
1
1
=  SABH = .
VSABC 13 VHABC 12

Phương án C: Sai do HS tính được SC = SA2 + AC 2 = a 5 nên
VSABH 3 VSABH 3
= 
= .
VSABC 5 VHABC 2

Phương án D: Sai do HS nhầm với tỷ số thể tích của hai khối SABC và HABC.
Câu 32:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC có góc giữa
đường thẳng AB với mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

( ABC )

bằng

A. V =

a 5
. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. ABC .
2

125 3 3
a.
96

B. V =

125 3 3
a.
288

C. V =

125 3 3
a.
384

D. V =

125 3 3
a.
48

Đáp án A.
Gọi M là trung điểm của BC thì BC ⊥ ( A ' AM ) .
Từ A kẻ AH ⊥ A ' M , H  A ' M . Khi đó AH ⊥ ( A ' BC ) .
Suy ra d ( A, ( A ' BC ) ) = AH =

a 5
.
2

Góc giữa đường thẳng A ' B và mặt phẳng (ABC) bằng góc A ' MA .
Theo giả thiết ta có A ' MA = 600
Đặt AB = 2 x thì AM = x 3; A ' A = 2 x 3 .
Suy ra AH =

A ' A. AM
A ' A2 + AM 2

Từ giả thiết ta có
A' A =

=

2 x 15
5

2 x 15 a 5
5a 15
=
x=
. Do
5
2
12

5a
25a 2 3
; S ABC =
.
2
48

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là V =
Phân tích phương án nhiễu.

125 3 3
a .
96

đó


Phương án B: Sai do HS tính đúng như trên nhưng nhớ nhầm công thức tính thể tích khối
lăng trụ sang công thức tính thể tích khối chớp.
Cụ thể V =

1
125 3 3
AA '.S ABC =
a .
3
288

Phương án C: Sai do HS giải như trên và tìm được x =
3 2 25 3 2
x =
a .
4
192

tam giác ABC. Cụ thể S ABC =
Do đó tính được V =

5a 3
nhưng lại tính sai diện tích
12

125 3 3
a.
384

Phương án D: Sai do HS tính đúng như trên nhưng tính sai diện tích tam giác ABC. Cụ thể:
S ABC = 2 3 x 2 =

125 3 3
25 3 2
a . Do đó tính được V =
a.
24
48

Câu 33:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a và cạnh bên bằng a 3 . Gọi V1 ,V2 lần lượt thể tích khối cầu và khối nón ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD. Tính tỷ số

A.

V1 324
=
.
V2
25

B.

V1
.
V2

V1 18 30
=
.
V2
25

C.

V1 36
= .
V2 25

D.

V1 108
=
.
V2
25

Đáp án D.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.vì S.ABCD là hình chop đều nên SO ⊥ ( ABCD )
Từ giả thiết, ta có SO = SA2 − OA2 =

a 10
.
2

Khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có chiều cao h = SO =
bán kính đáy là r = OA =

a 10

2

a 2
.
2

1 2
 a 3 10
.
Suy ra V2 =  r h =
3
12

Ta có SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Đường trung
trực của SB nằm trong mặt phẳng (SBD) cắt SB, SO lần lượt tại M, I. Ta có

IS = IB = IA = IC = ID nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.


Ta có SI .SO = SM .SB  SI =

SB 2 3a 10
=
.
2 SO
10

4
9 a 3 10
V 108
3
Suy ra V1 =  . ( SI ) =
. Do đó 1 =
.
3
25
V2
25

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS nhớ nhầm công thức tính thể tích khối cầu là
V1 = 4 ( SI ) =
3

Do đó tính được

27 a 3 10
.
25

V1 324
.
=
V2
25

Phương án B: Sai do HS nhớ nhầm công thức tính thể tích khối nón là
1
 a3 3
V2 =  r 2l =
3
6

Do đó tính được

V1 18 30
=
.
V2
25

Phương án C: Sai do HS nhớ sai công thức tính thể tích khối nón là
V2 =  r 2h =

Do đó tính được

 a3 10
4

.

V1 36
= .
V2 25

Câu 34:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật với AB = 2, AD = 2 3 . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD, CB.
Tính côsin góc tạo bởi mặt phẳng ( MNP ) và ( SCD ) .
A.

2 435
.
145

B.

11 145
.
145

C.

2 870
.
145

D.

3 145
.
145


Đáp án B.
Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó SH ⊥ ( ABCD) .
Ta có SH ⊥ AB; AB ⊥ HN ;HN ⊥ SH và SH = 3.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia

(

) (

)

Oz. Khi đó: B(1;0;0) , A( −1;0;0) , N 0;2 3;0 , C 1;2 3;0 ,

 1
3
D −1;2 3;0 ,S 0;0; 3 , M  − ;0;
 ,P 1; 3;0 .
 2
2



(

) (

)

(

Mặt phẳng (SCD) nhận n1 = −
(MNP) nhận n2 = −

)

3
CD, SC = ( 0;1;2) làm một vectơ pháp tuyến; mặt phẳng
6 

2 3
MN , MP =
3 

(

)

3;1;5 làm một vectơ pháp tuyến.

Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng (MNP) và
cos =

n1.n2

=

n1 . n2

(SCD) thì

11 145
.
145

Phân tích phương án nhiễu.
Phương

án

A:

n1 = ( 0;1;2) ; n2 =

(

Sai

do

HS

tính

đúng

)

3;1;5 nhưng lại tính sai n1.n2 = 2 3. Do đó tính được cos =

Phương án B: Sai do HS tính đúng n1 = ( 0;1;2) ; n2 =

(

) ( 3)
2

n1.n2 =  n1.n2  = 32 + 2 3 +

Do đó tính được cos =

)

3;1;5 nhưng lại tính sai
2

= 2 6.

2 870
.
145

Phương án C: Sai do HS tính đúng n1 = ( 0;1;2) ; n2 =
Do đó tính được cos =

(

2 435
.
145

3 145
.
145

(

)

3;1;5 nhưng lại tính sai n1.n2 = 3.


Câu 35:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một người thợ có một khối đá hình trụ có bán
kính đáy bằng 30cm. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho MN ⊥ PQ . Người thợ
đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua ba trong bốn điểm M, N, P,Q để được một khối đá có
hình tứ diện (như hình vẽ dưới). Biết rằng khối tứ diện MNPQ có thể tích bằng 30dm3 . Thể
tích của lượng đá bị cắt bỏ gần với kết quả nào dưới đây nhất?
A. 111, 40 dm3 .
B. 111,39 dm3 .
C. 111,30dm3 .
D. 111,35 dm3 .
Đáp án B.
Trước hết ta có kết quả: Khối tứ diện ABCD có thể tích được tính theo công thức
1
VABCD = AB.CD.d ( AB; CD ) .sin AB, CD .
6

(

Áp dụng kết quả này, ta có VMNQP =

)

(

)

1
MN .PQ.d ( MN ; PQ) .sin MN , PQ = 6.h,
6

trong đó MN = PQ = 6dm và h = d ( MN; PQ) là chiều cao của hình trụ.
Từ giả thiết ta có h = 5dm.
Suy ra thể tích khối trụ là V =  r 2h = 45 ( dm3 ) , với r = 3dm.
Do đó thể tích của lượng đá bị cắt bỏ là

V0 = V − VMNPQ = 45 − 30  111,3716694dm3.
Vậy phương án đúng là B.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A và C: Sai do HS giải đúng nhưng làm tròn số bị sai hoặc lấy  = 3,14.
Phương án D: Sai do HS chọn  = 3,141.
.
Câu 36:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều
như hình vẽ:


Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.
B. Mọi khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D. Khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều có cùng số đỉnh.
Đáp án B.

Như vậy, khối lập phương và khối bát diện đều có số cạnh bằng nhau (12 cạnh).
Câu 37:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng
( ) . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Nếu a / / ( ) và b / / ( ) thì b / / a .
B. Nếu a / / ( ) và b ⊥ a thì b ⊥ ( ) .
C. Nếu a / / ( ) và b ⊥ ( ) thì a ⊥ b .
D. Nếu a ⊥ ( ) và b ⊥ a thì b / / ( ) .
Đáp án D.
Câu 38:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Hình chóp đều S.ABCD . Gọi O là giao điểm của
AC và BD. Phát biểu nào dưới đây là đúng?
A. Không tồn tại phép dời hình biến hình chóp S.ABCD thành chính nó.
B. Ảnh của hình chóp S.ABCD qua phép tịnh tiến theo véc-tơ AO là chính nó.
C. Ảnh của hình chóp S.ABCD qua phép đối xứng mặt phẳng ( ABCD ) là chính nó.
D. Ảnh của hình chóp S.ABCD qua phép đối xứng trục SO là chính nó.
Đáp án D.


Câu 39:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi r, h, l lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và
đường sinh của hình nón (N). S xq , Stp ,V lần lượt là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần
của hình nón và thể tích của khối nón. Chọn phát biểu sai
1
A. V =  rh .
3

B. l 2 = h 2 + r 2 .

C. Stp =  r (1 + r ) .

D. S xq =  rl .

Đáp án A.
Đường sinh của hình non (N) là l = h2 + r 2  l 2 = h2 + r 2 .
Diện tích xung quanh của hình nón (N) là S xq =  rl .
Diện tích toàn phần của hình nón (N) là Stp = Sxq + Sday =  rl +  r 2 =  r (l + r ) .
1
1
Thể tích của khối nón (N) là V = Sday .h =  r 2 h .
3
3

Câu 40:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của
thiết diện qua trục bằng 12a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. 4 a 3 .

B. 5 a 3 .

D. 6 a 3 .

C.  a 3 .

Đáp án A.
Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Khi đó r = a .
Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có các kích thước lần lượt là h và 2r. Từ
giả thiết ta có 2 ( h + 2r ) = 12a  h = 6a − 2r = 4a .
Vậy thể tích khối trụ là: V = Sday .h =  r 2h =  .a 2 .4a = 4 a3 (đvtt).
Câu 41:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SD, CD, BC. Thể tích khối chóp S.ABPN là x, thể
tích khối tứ diện CMNP là y. Giá trị của x,y thỏa mãn các bất đẳng thức nào dưới đây?
A. x 2 + 2 xy − y 2  160 .

B. x 2 − 2 xy + 2 y 2  109 .

C. x2 + xy − y 4  145 .

D. x2 − xy + y 4  125 .

Đáp án C
Gọi H là trung điểm của AB. Do SAB đều nên SH ⊥ AB và SH =

AB 3
=2 3.
2

Mà ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ ( ABCD ) .
Từ

d ( S ; ( ABCD ) )

d ( M ; ( ABCD ) )

=

d ( S ; ( ABCD ) ) SH
SD
= 2  d ( M ; ABCD ) =
=
= 3.
MD
2
2


Ta có SPCN =

1
1 BC CD 1 4 4
PC.CN = .
.
= . . = 2 (đvdt).
2
2 2 2
2 2 2

1
2 3
1
2 3
→ VM .PCN = .d ( M ; ( ABCD ) ) .S PCN = . 3.2 =
(đvdt) → y =
.
3
3
3
3

1
1
Lại có S ABPN = S ABCD − SPCN = 42 − .2.2 − .4.2 = 10 (đvdt)
2
2
1
20 3
1
20 3
→ VS . ABPN = SH .S ABPN = .2 3.10 =
(đvdt) → x =
.
3
3
3
3

* Phương án A:

2

2

 20 3 
20 3 2 3  2 3 
476
x + 2 xy − y = 
.
− 
 160.
 + 2.
 =
3
3
3
3
3




2

2

* Phương án B:
2

2

 20 3 
 2 3  328
20 3 2 3
x − 2 xy + 2 y = 
.
+ 2 
 109.
 − 2.
 =
3
3
3
 3 
 3 
2

2

* Phương án C:
2

4

2

4

 20 3  20 3 2 3  2 3  1304
x + xy − y = 
.
− 
 145.
 +
 =
3
3
9
 3 
 3 
2

4

* Phương án D:

 20 3  20 3 2 3  2 3  1096
x − xy + y = 
.
+ 
 125.
 −
 =
3
3
3
3
9




2

4

Câu 42:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R. Hình cầu (S)
ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay (T ) có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu (S) lại


nội tiếp trong một hình nón tròn xoay ( N ) có góc ở đỉnh bằng 60 . Tính tỉ số thể tích của
hình trụ ( N ) và hình nón (T ) .
A.

V(T )
V( N )

=

2
.
6

V(T )

B.

V( N )

=

2
.
3

C.

V(T )
V( N )

=3 2.

D. Đáp án khác.

Đáp án A.
Gọi R là bán kính của hình cầu (S). Bài toán có thể quy về: “Cho đường tròn tâm O, bán kính
R ngoại tiếp hình vuông ABCD và nội tiếp SEF đều” (hình vẽ).
Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên
AC = BD = 2R = AB 2  AB = 2R .

 Bán kính đáy và chiều cao của hình trụ (T) lần lượt là r =

AB
=
2

2R
và h = AB = 2R .
2

2

Thể tích khối trụ là V(T )

 2R 
 2 R3
.
=  r h =  . 
 . 2 R =
2
 2 
2

Ta có SEF đều và ngoại tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm của SEF .
Gọi H là trung điểm của EF thì SH = 3OH = 3R  HF = SH .tan 30 = R 3

 Bán kính đáy và chiều cao của hình

nón (N) lần

lượt là HF = R 3 và SH = 3R . Thể tích

khối nón là

(

)

2
1
1
V( N ) =  .HF 2 .SH =  . R 3 .3R = 3 R 3 .
3
3

Vậy

V(T )
V( N )

 2 R3
=

2
2
.
=
3
3 R
6

Câu 43:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh A. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là điểm I thuộc đoạn AB


sao cho BI = 2 AI . Góc giữa mặt bên ( SCD ) và mặt đáy ( ABCD ) bằng 60 . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
A.

93
a.
31

B.

3 93
a .
31

C.

93
a.
31

D. 3

Đáp án B.
Ta có AD / / BC, AD  ( SBC ) , BC  ( SBC )  AD / / ( SBC )
 d ( AD; SC ) = d ( AD; ( SBC ) ) = d ( D; ( SBC ) ) .

Qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại H.
Suy ra IH ⊥ CD
Từ

CD ⊥ IH , CD ⊥ SI  CD ⊥ ( SIH )  CD ⊥ SH .

Suy ra

(( SCD ) , ( ABCD )) = ( SH , IH ) = SHI  SHI = 60

 SI = HI .tan SHI = a.tan 60 = a 3  VS .BCD =

1
a3 3
S ABCD =
.
2
6

3V
1
Lại có VS .BCD = .SSBC .d ( D; ( SBC ) )  d ( D; ( SBC ) ) = s.BCD (1)
3
S SBC

Từ IB =

2
2
AB = a  SB = SI 2 + IB 2 =
3
3

(

)

2

2
a 31
 2a 
a 3 +  =
.
3
 3 

Từ BC ⊥ AB, BC ⊥ SI  BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ SB  SBC vuông tại B.
Suy ra SSBC =

1
1 a 31
a 2 31
SB.BC = .
.a =
(2)
2
2 3
6

a3 3
3a 3 3 39
=
a.
Từ (1) và (2), suy ra d ( D; ( SBC ) ) = 2 6 =
31
a 31
31
6
3.

93
a.
31


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×