Tải bản đầy đủ

[HOT] Ngân hàng ĐỀ Trắc Nghiệm TOÁN Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân (File Word có Đáp án và Lời giải chi tiết)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11


DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta
thực hiện như sau:
• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1), chứng minh rằng mệnh đề
đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ≥ p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ≥ p và phải chứng minh
mệnh đề đúng với n = k + 1.
2. Dãy số

u : ¥* → ¡
n a u ( n)
Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
• (un) là dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N*.

un +1
>1
un

⇔ un+1 – un > 0 với ∀ n ∈ N* ⇔
với ∀n ∈ N* ( un > 0).
• (un) là dãy số giảm ⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N*.

un +1
<1
un

⇔ un+1 – un< 0 với ∀ n ∈ N* ⇔
với ∀n ∈ N* (un > 0).
4. Dãy số bị chặn
• (un) là dãy số bị chặn trên ⇔ ∃M ∈ R: un ≤ M, ∀n ∈ N*.
• (un) là dãy số bị chặn dưới ⇔ ∃m ∈ R: un ≥ m, ∀n ∈ N*.
• (un) là dãy số bị chặn ⇔ ∃m, M ∈ R: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N*.


B – BÀI TẬP
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
−1,3,19,53
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là:
. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
u10 = 97
u10 = 71
u10 = 1414
u10 = 971
A.
B.
C.
D.
2
an
u
=
n
u
( n)
un +1
n +1
Câu 2: Cho dãy số
với
(a: hằng số).
là số hạng nào sau đây?
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A.

a. ( n + 1)
un +1 =
n+2

2

.

B.

a. ( n + 1)
un +1 =
n +1

2

.
C.
5;10;15; 20; 25;...

un +1 =

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

a.n 2 + 1
n +1

un +1 =
.

D.

an 2
n+2

.

Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
un = 5(n − 1)
un = 5n
A.
.
B.
.

Số hạng tổng quát của dãy số này là:
un = 5 + n
un = 5.n + 1
C.
.
D.
.
8,15, 22, 29,36,...
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
.Số hạng tổng quát của dãy số này là:
un = 7 n + 7
un = 7.n
A.
.
B.
.
un = 7.n + 1
un
C.
.
D. : Không viết được dưới dạng công thức.
1 2 3 4
0; ; ; ; ;...
2 3 4 5
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
.Số hạng tổng quát của dãy số này là:
n2 − n
n +1
n
n −1
un =
un =
un =
un =
n
n +1
n
n +1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
0,1;0, 01;0, 001;0, 0001;...
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
. Số hạng tổng quát của dãy số này
có dạng?
un = 0,
un =
0,
1
1
1400...01
2 43
1400...01
2 43
un = n −1
un = n +1
10
10
n chöõ soá 0
n−1 chöõ soá 0
A.
. B.
. C.
.
D.
.
−1;1; −1;1; −1;...
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
.Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
n +1
un = ( −1)
un = (−1) n
un = 1
un = −1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
−2;0; 2; 4;6;...
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
.Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
un = ( −2 ) + n
un = −2n
A.
.
B.
.
un = ( −2 ) (n + 1)
un = ( −2 ) + 2 ( n − 1)
C.
.
D.
.
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;
3 32 33 34 35
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
1 1
1
1
1
un = n +1
un = n +1
un = n
un = n −1
33
3
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
u1 = 5

( un )
un
un +1 = un + n
Câu 10: Cho dãy số
với
.Số hạng tổng quát
của dãy số là số hạng nào dưới đây?

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
un =
A.

C.

( n − 1)n
2

un = 5 +

.
(n + 1)n
un = 5 +
2

B.

.

D.
u1 = 1

2n
un +1 = un + ( −1)

( un )
Câu 11: Cho dãy số
dưới đây?
un = 1 + n
A.
.

với

( un )
Câu 12: Cho dãy số
dưới đây?
un = 2 − n
A.
.
un = 1 − n
C.
.

với

.
( n + 1)(n + 2)
un = 5 +
2

.

. Số hạng tổng quát
un = 1 + ( −1)

.

của dãy số là số hạng nào
2n

un = n

C.

u1 = 1

2 n +1
un +1 = un + ( −1)

.

D.

.

un
. Số hạng tổng quát

của dãy số là số hạng nào

un
B.

( un )
Câu 13: Cho dãy số
với
đây?
n ( n + 1) ( 2n + 1)
un = 1 +
6
A.
.
n ( n − 1) ( 2n − 1)
un = 1 +
6
C.
.

Câu 14: Cho dãy số
đây?
2
un = 2 + ( n − 1)
A.
.

u1 = 1

2
un +1 = un + n

không xác định.
un = − n
n
D.
với mọi .

un
. Số hạng tổng quát

un = 1 +
B.

un = 1 +
D.

của dãy số là số hạng nào dưới

n ( n − 1) ( 2n + 2 )
6
n ( n + 1) ( 2n − 2 )
6

u1 = 2

un +1 − un = 2n − 1

( un )
với

. Số hạng tổng quát

với

B.
.
u1 = −2

1

un +1 = −2 − u
n


.

.

un
của dãy số là số hạng nào dưới

un = 2 + ( n + 1)

un = 2 + n 2

( un )
Câu 15: Cho dãy số

(n − 1)n
2

un

un = 1 − n
B.

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

C.

un = 2 − ( n − 1)

2

.

D.

.

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

2

Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
un = −
A.

n −1
n

un =
.

( un )
Câu 16: Cho dãy số
1
un = + 2 ( n − 1)
2
A.
.

( un )
Câu 17: Cho dãy số
n
1
un = ( −1) .  ÷
 2
A.
.
.

un = −

n +1
n

un = −

n
n +1

B.
.
C.
.
D.
.
1

u1 =
2

un +1 = un − 2
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
1
1
1
un = − 2 ( n − 1)
un = − 2 n
un = + 2 n
2
2
2
B.
.
C.
.
D.
.
u1 = −1


un
un +1 = 2
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
n +1
n −1
n −1
1
1
1
un = ( −1) .  ÷
un =  ÷
un = ( −1) .  ÷
2
2
 2
B.
.
C.
.
D.

( un )
Câu 18: Cho dãy số
un = n n −1
A.
.

n +1
n

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

với

u1 = 2

un +1 = 2un

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
un = 2
un = 2n +1
un = 2
B.
.
C.
.
D.
.
1

u1 =
2


u
u
=
( n)
 n +1 2un
Câu19 : Cho dãy số
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
−1
−1
u
=
u
=
n −1
n
n
n

1
un = −2
un = 2 n − 2
2
2n
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
n + 3n + 7
un =
(un )
n +1
Câu 20: Cho dãy số
được xác định bởi
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
11 17 25 47
13 17 25 47
11 14 25 47
11 17 25 47
; ; ;7;
; ; ;7;
; ; ;7;
; ; ;8;
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
A.
B.
C.
D.
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2
B. 4
C. 1
D. Không có
u1 = 1

(un )
un = 2un −1 + 3 ∀n ≥ 2
Câu 22: Cho dãy số
xác định bởi:
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
A. 1;5;13;28;61
B. 1;5;13;29;61
C. 1;5;17;29;61
D. 1;5;14;29;61
n

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

u1 = 3, v1 = 2

(un ), (vn )
Câu 23: Cho hai dãy số

được xác định như sau

(un )
Tìm công thức tổng quát của hai dãy

(

) (

)

n


1
un = 2 



v = 1
 n 3 2

(

C.

) (

) +(

2 +1




(

2n

)

2 −1

) −(

2 +1

2n

)

2n





B.

)

2 −1


1
un = 4 



v = 1 
 n 2 

(

2 +1

(

2 +1


1
un = 2 



v = 1
 n 2 2

(




2n





với

n≥2

.

n

2n



2
2

un +1 = un + 2vn


vn +1 = 2un .vn

(vn )


2
2

u
=
2
+
1
+
2

1
 n

2n
1 
vn =
2
+
1
− 2 −1
2 2 


(

A.

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

D.

) +(
2n

) −(
2n

) +(

2 +1




(

2n




n
2 
2 −1 


)

2n

)

2 −1

) −(

2 +1

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

)

2 −1

2n

2n





)

2 −1

2n





Trang 7

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN
un =
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm

3n 2 − 2n + 1
n +1
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai

un = n − n 2 − 1

Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm

Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm

Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm

B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai
n
3 −1
un = n
2
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai

n + ( −1)
un =
n2

n

B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai
2n − 13
un =
(un )
3n − 2
Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn D. Cả A, B, C đều sai
n 2 + 3n + 1
u
=
n
(un )
n +1
Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
1
un =
(un )
1 + n + n2
Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
2n
u
=
n
(un )
n!
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
1 1
1
un = 1 + 2 + 2 + ... + 2
(un )
2 3
n
Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
.
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. Dãy số giảm, bị chặn trên

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

D. Cả A, B, C đều sai
2n + 1
un =
n+2

Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
n
un = ( −1)
Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
un = 3n − 1
Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
un = 4 − 3n − n 2
Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

n2 + n + 1
un = 2
n − n +1

Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
A. Bị chặn
B. Không bị chặn

un =
Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
A. Bị chặn
B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên
n +1

D. Bị chặn dưới

n2 + 1

C. Bị chặn trên
1
1
1
un =
+
+ ... +
1.3 2.4
n.( n + 2)

D. Bị chặn dưới

Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
A. Bị chặn
B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
1
1
1
un =
+
+ ... +
1.3 3.5
( 2n − 1) ( 2n + 1)

Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
u1 = 1


un −1 + 2

u
=
, n≥2
n

un −1 + 1

Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
u1 = 1


3
un +1 = 3 un + 1, n ≥ 1
Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
u1 = 2



un2 + 1
u
=
n ≥1
 n +1

4
Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. Tăng
C. Không tăng, không giảm

(un )

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

B. Giảm
D. A, B, C đều sai
un = 2010 + 2010 + ... + 2010

Câu 21: dãy số
xác định bởi
(n dấu căn)Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
u1 = 1, u2 = 2

(un ) un = 3 un −1 + 3 un −2 , n ≥ 3
Câu 22: Cho dãy số
:
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
an + 2
(un ) : un =
, n ≥1
a=4
2n − 1
Câu 23: Cho dãy số
. Khi
, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy
10
14
18
22
u1 = 2, u2 = , u3 = , u4 = , u5 =
3
5
7
9
A.
10
14
18
22
u1 = 6, u2 = , u3 = , u4 = , u5 =
3
5
7
9
B.
1
1
18
22
u1 = 6, u2 = , u3 = , u4 = , u5 =
3
5
7
9
C.
10
4
8
22
u1 = 6, u2 = , u3 = , u4 = , u5 =
3
5
7
9
D.
a
Câu 24: Tìm để dãy số đã cho là dãy số tăng.
a<2
a < −2
a<4
a < −4
A.
B.
C.
D.
u1 = 2
(u n ) : 
un = 3un −1 − 2, n = 2,3..
Câu 25: Cho dãy số
Viết 6 số hạng đầu của dãy
u1 = 2, u2 = 5, u3 = 10, u4 = 28, u5 = 82, u6 = 244
A.
u1 = 2, u2 = 4, u3 = 10, u4 = 18, u5 = 82, u6 = 244
B.
u1 = 2, u2 = 4, u3 = 10, u4 = 28, u5 = 72, u6 = 244
C.
u1 = 2, u2 = 4, u3 = 10, u4 = 28, u5 = 82, u6 = 244
D.
un = −5.2n −1 + 3n + n + 2 n = 1, 2,...
Câu 26: Cho dãy số
,
Viết 5 số hạng đầu của dãy
u1 = 1, u2 = 3, u3 = 12, u4 = 49, u5 = 170
A.
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

u1 = 1, u2 = 3, u3 = 12, u4 = 47, u5 = 170
B.
C.

u1 = 1, u2 = 3, u3 = 24, u4 = 47, u5 = 170
u1 = 1, u2 = 3, u3 = 12, u4 = 47, u5 = 178

D.
Câu 27:

(un ) un = (1 − a ) n + (1 + a) n
a ∈ (0;1)
1. Cho dãy số
:
,trong đó
và n là số nguyên dương.
a)Viết công thức truy hồi của dãy số
u1 = 2
u1 = 2


n
n
n
n






un +1 = un + a ( 1 + a ) + ( 1 − a ) 
un +1 = un + 2a ( 1 + a ) − ( 1 − a ) 
A.
B.
u1 = 2
u1 = 2


n
n
n
n


u = 2un + a ( 1 + a ) − ( 1 − a ) 
u = u n + a ( 1 + a ) − ( 1 − a ) 




 n +1
 n +1
C.
D.
b)Xét tính đơn điệu của dãy số
(u n )
(un )
A. Dãy
là dãy số tăng.
B. Dãy
là dãy số giảm.
(un )
C. Dãy
là dãy số không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai.
u
=
1
 1

1

un = 3un −1 +
− 2, n ≥ 2

2un −1
(un )

Câu 28: Cho dãy số
được xác định như sau:
.
un > 0, ∀n
Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng
3
47
227
3
17
227
u1 = 1, u2 = , u3 = , u4 =
u1 = 1, u2 = , u3 = , u4 =
2
6
34
2
6
34
A.
B.
3
19
227
3
17
2127
u1 = 1, u2 = , u3 = , u4 =
u1 = 1, u2 = , u3 = , u4 =
2
6
34
2
6
34
C.
D.
u0 = 2011

un2

u
=
 n +1 u + 1 , ∀n = 1, 2,...
(un )
n

Câu 29: Cho dãy số
được xác định bởi :
a) Khẳng định nào sau đây đúng
(u n )
(un )
A. Dãy
là dãy giảm
B. Dãy
là dãy tăng
(un )
C. Dãy
là dãy không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

un
b) Tìm phần nguyên của
[ un ] = 2014 − n
A.

(un )

với
B.

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

0 ≤ n ≤ 1006

.
[ un ] = 2011 − n

[ un ] = 2013 − n
C.

[ un ] = 2012 − n
D.

u1 = 2, u2 = 6

un + 2 = un + 2un+1 , ∀n = 1, 2,...

Câu 30: Cho dãy số
được xác định bởi:
un = a n + b n
a, b
x2 − 2 x − 1 = 0
a) Gọi
là hai nghiệm của phương trình
. Chứng minh rằng:
2
n −1
un +1 − un + 2un = (−1) .8
b) Chứng minh rằng:
.
(un ) : un =

n +1
n+2

Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

(u n ) : u n = n 3 + 2 n + 1
Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
u1 = 2

(un ) : 
un + 1
un+1 = 2 , ∀n ≥ 2
Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên

u1 = 2, u2 = 3


un +1 = un + un −1 , ∀n ≥ 2
Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau:
.
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
 x0 = 1

( xn ) : 
2n n −1
x
=
 n (n − 1)2 ∑ xi , n = 2,3,...
yn = xn +1 − xn
i =1

Câu 35: Cho dãy số
. Xét dãy số
. Khẳng định nào
( yn )
đúng về dãy
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
−n
Un =
( Un )
n +1
Câu 36: Cho dãy số
với
.Khẳng định nào sau đây là đúng?
−1 −2 −3 −5 −5
; ; ; ;
2 3 4 5 6
A. Năm số hạng đầu của dãy là :
.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

B. 5 số số hạng đầu của dãy là :

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

−1 −2 −3 −4 −5
; ; ; ;
2 3 4 5 6
.

C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1.
un =

( un )
Câu 37: Cho dãy số

với

1
n +n
2

.Khẳng định nào sau đây là sai?
1 1 1 1 1
; ; ; ;
2 6 12 20 30
A. Năm số hạng đầu của dãy là:
;
B. Là dãy số tăng.
1
M=
2
C. Bị chặn trên bởi số
.
D. Không bị chặn.
−1
un =
( un )
n
Câu 38: Cho dãy số
với
.Khẳng định nào sau đây là sai?
−1 −1 −1 −1
−1; ; ; ;
2 3 4 5
A. Năm số hạng đầu của dãy là :
.
M = −1
B. Bị chặn trên bởi số
.
M =0
C. Bị chặn trên bởi số
.
M = −1
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m
.
n
( un )
un = a.3 a
Câu 39: Cho dãy số
với
( : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?
n +1
un +1 = a.3
un +1 − un = 3.a
A. Dãy số có
.
B. Hiệu số
.
a>0
a<0
C. Với
thì dãy số tăng
D. Với
thì dãy số giảm.
a −1
un = 2
( un )
n
Câu 40: Cho dãy số
với
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a −1
a −1
u
=
n
+
1
2
un +1 = 2
( n + 1)
n +1
A. Dãy số có
.
B. Dãy số có :
.
C. Là dãy số tăng.
D. Là dãy số tăng.
a −1
un = 2
( un )
a
n
Câu 41: Cho dãy số
với
( : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

un +1 =
A.

a −1
(n + 1) 2

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11
un +1 − un = ( 1 − a ) .

.
un +1 − un = ( a − 1) .

B. Hiệu

2n − 1

( n + 1)

2

n2

C. Hiệu

.

D. Dãy số tăng khi

2n − 1

( n + 1)

2

n2

.
a <1

.

2

an
n +1 a
Câu 42: Cho dãy số
với
( : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?
2
a. ( n 2 + 3n + 1)
a. ( n + 1)
un +1 − un =
un +1 =
(n + 2)( n + 1)
n+2
A.
.
B.
.
a
a>0
C. Là dãy số luôn tăng với mọi .
D. Là dãy số tăng với
.
k
un = n
( un )
3 k
Câu 43: Cho dãy số
với
( : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
k
k
5
5
n
3
3n +1
A. Số hạng thứ của dãy số là .
B. Số hạng thứ của dãy số là
.
k >0
k >0
C. Là dãy số giảm khi
.
D. Là dãy số tăng khi
.
n −1
(−1)
u
=
n
u
( n)
n +1
Câu 44: Cho dãy số
với
. Khẳng định nào sau đây là sai?
1
−1
10
11
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là .
B. Số hạng thứ 10 của dãy số là
M =1
C. Đây là một dãy số giảm.
D. Bị chặn trên bởi số
.
*
( un ) u n = n − 1
n∈ N
Câu 45: Cho dãy số

với
. Khẳng định nào sau đây là sai?
un +1 = n
0;1; 2; 3; 5
A. 5 số hạng đầu của dãy là:
.
B. Số hạng
.
0
C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn dưới bởi số .
( un ) un = − n 2 + n + 1
Câu 45: Cho dãy số

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
−1;1;5; −5; −11; −19
A. 5 số hạng đầu của dãy là:
.
2
un +1 = −n + n + 2
B.
.
un −1 − un = 1
C.
.
D. Là một dãy số giảm.

( un )

un =

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

.

Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
un =

( un )
Câu 46: Cho dãy số
với
−1
un +1 =
2
( n + 1) + 1
A.
.
C. Đây là một dãy số tăng.

2

với

. Khẳng định nào sau đây là sai?

un > un+1

un = sin

( un )
Câu 47: Cho dãy số

−1
n +1

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

π
n +1

B.
.
D. Bị chặn dưới.

. Khẳng định nào sau đây là sai?
π
un +1 = sin
n +1
n+2
A. Số hạng thứ
của dãy:
B. Dãy số bị chặn.
C. Đây là một dãy số tăng.
D. Dãy số không tăng không giảm.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

C – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
−1,3,19,53
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là:
. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
u10 = 97
u10 = 71
u10 = 1414
u10 = 971
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
(un )
un = an3 + bn 2 + cn + d
Xét dãy
có dạng:
a
+
 b + c + d = −1
8a + 4b + 2c + d = 3


27 a + 9b + 3c + d = 19
64a + 16b + 4c + d = 53
Ta có hệ:
a = 1, b = 0, c = −3, d = 1
Giải hệ trên ta tìm được:
⇒ un = n3 − 3n + 1
là một quy luật.
u10 = 971
Số hạng thứ 10:
.
an 2
un =
( un )
un +1
n +1
Câu 2: Cho dãy số
với
(a: hằng số).
là số hạng nào sau đây?

a. ( n + 1)
un +1 =
n+2

2

a. ( n + 1)
un +1 =
n +1

A.
.
B.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2
2
a. ( n + 1)
a ( n + 1)
un +1 =
=
( n + 1) + 1 ( n + 2 ) 2
Ta có
.

2

un +1 =
.

C.

a.n 2 + 1
n +1

un +1 =
.

D.

an 2
n+2

.

5;10;15; 20; 25;...
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
un = 5( n − 1)
un = 5n
A.
.
B.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
5 = 5.1

Số hạng tổng quát của dãy số này là:
un = 5 + n
un = 5.n + 1
C.
.
D.
.

10 = 5.2

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

15 = 5.3

20 = 5.4
25 = 5.5

un = 5n
Suy ra số hạng tổng quát

.
8,15, 22, 29,36,...

Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
un = 7 n + 7
A.
.

.Số hạng tổng quát của dãy số này là:
un = 7.n
B.

un = 7.n + 1

.

un

C.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
8 = 7.1 + 1

D.

: Không viết được dưới dạng công thức.

15 = 7.2 + 1
22 = 7.3 + 1

29 = 7.4 + 1
36 = 7.5 + 1

un = 7 n + 1
Suy ra số hạng tổng quát

.
1 2 3 4
0; ; ; ; ;...
2 3 4 5

Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
n +1
n
un =
un =
n
n +1
A.
.
B.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
0
0=
0 +1

.Số hạng tổng quát của dãy số này là:
n2 − n
n −1
un =
un =
n
n +1
C.
.
D.
.

1
1
=
2 1+1
2
2
=
3 2 +1
3
3
=
4 3 +1

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

4
4
=
5 4 +1
un =
Suy ra

n
n +1

.
0,1;0, 01;0, 001;0, 0001;...

Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
. Số hạng tổng quát của dãy số này
có dạng?
un = 0,
un =
0,
1
1
1400...01
2 43
1400...01
2 43
un = n −1
un = n +1
10
10
n chöõ soá 0
n−1 chöõ soá 0
A.
. B.
. C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
0
1
1
Số hạng thứ có chữ số
0
2
2
Số hạng thứ có chữ số
3
3
0
Số hạng thứ có chữ số
…………………………….
un
n
0
Suy ra
có chữ số .
−1;1; −1;1; −1;...
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
.Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
n +1
un = ( −1)
un = 1
un = −1
un = (−1) n
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
1
2
3
4
5
n
( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ;... ⇒ un = ( −1)
Các số hạng đầu của dãy là
.
−2;0; 2; 4;6;...
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
.Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
un = ( −2 ) + n
u n = −2 n
A.
.
B.
.
un = ( −2 ) (n + 1)
un = ( −2 ) + 2 ( n − 1)
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
un = ( −2 ) + 2. ( n − 1)
( −2 )
2
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là và số hạng đầu tiên là
nên
.
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;
3 32 33 34 35
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
….Số hạng tổng quát của dãy số này là?

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
un =

1 1
3 3n +1

un =

1
3n +1

un =

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11
1
3n

un =

1
3n −1

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1 1 1 1 1
1
; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;...
un = n
31 3 3 3 3
3
5 số hạng đầu là
nên
.
u1 = 5

( un )
un
un +1 = un + n
Câu 10: Cho dãy số
với
.Số hạng tổng quát
của dãy số là số hạng nào dưới đây?
( n − 1)n
(n − 1)n
un =
un = 5 +
2
2
A.
.
B.
.
(n + 1)n
( n + 1)(n + 2)
un = 5 +
un = 5 +
2
2
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
n ( n − 1)
un = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n − 1 = 5 +
2
Ta có
.
u1 = 1

2n
( un )
un
un +1 = un + ( −1)
Câu 11: Cho dãy số
với
. Số hạng tổng quát
của dãy số là số hạng nào
dưới đây?
2n
un = 1 + ( −1)
un = 1 + n
un = 1 − n
un = n
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2n
un +1 = un + ( −1) = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4;...
un = n
Ta có:
Dễ dàng dự đoán được
.
u n = n ( *)
Thật vậy, ta chứng minh được
bằng phương pháp quy nạp như sau:
( *)
n = 1 ⇒ u1 = 1
n =1
+ Với
. Vậy
đúng với
n = k ( k ∈¥*)
( *)
( *)
uk = k
+ Giả sử
đúng với mọi
, ta có:
. Ta đi chứng minh
cũng đúng với
u
=
k
+
1
k +1
n = k +1
, tức là:
2k
uk +1 = uk + ( −1) = k + 1
( un )
( *)
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số
ta có:
. Vậy
đúng với mọi
*
n∈¥
.
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

( un )

u1 = 1

2 n +1
un +1 = un + ( −1)

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

un

Câu 12: Cho dãy số
với
. Số hạng tổng quát
của dãy số là số hạng nào
dưới đây?
un = 2 − n
un
A.
.
B.
không xác định.
un = 1 − n
un = − n
n
C.
.
D.
với mọi .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
u2 = 0; u3 = −1; u4 = −2
un = 2 − n
Ta có:
,.. Dễ dàng dự đoán được
.
u1 = 1

2
( un )
un
un +1 = un + n
Câu 13: Cho dãy số
với
. Số hạng tổng quát
của dãy số là số hạng nào dưới
đây?
n ( n + 1) ( 2n + 1)
n ( n − 1) ( 2n + 2 )
un = 1 +
un = 1 +
6
6
A.
.
B.
.
n ( n − 1) ( 2n − 1)
n ( n + 1) ( 2n − 2 )
un = 1 +
un = 1 +
6
6
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
u1 = 1

2
u2 = u1 + 1

2
u3 = u2 + 2
...

n ( n − 1) ( 2n − 1)
2
un = 1 + 12 + 22 + ... + ( n − 1) = 1 +
u = u + ( n − 1) 2
n −1
 n
6
Ta có:
. Cộng hai vế ta được
u1 = 2

un +1 − un = 2n − 1
( un )
un
Câu 14: Cho dãy số
với
. Số hạng tổng quát
của dãy số là số hạng nào dưới
đây?
2
2
2
un = 2 + ( n − 1)
un = 2 + ( n + 1)
un = 2 − ( n − 1)
un = 2 + n 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Ta có:

u1 = 2
u = u + 1
1
 2
u3 = u2 + 3
...

un = un −1 + 2n − 3

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

un = 2 + 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 3) = 2 + ( n − 1)

2

. Cộng hai vế ta được
u1 = −2

1

un +1 = −2 −

un
( un )

Câu 15: Cho dãy số
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
n −1
n +1
n +1
n
un = −
un =
un = −
un = −
n
n
n
n +1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3
4
5
n +1
u1 = − ; u2 = − ; u3 = − ;...
un = −
2
3
4
n
Ta có:
Dễ dàng dự đoán được
.
1

u1 =
2


( un )
un +1 = un − 2
Câu 16: Cho dãy số
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
1
1
1
1
un = + 2 ( n − 1)
un = − 2 ( n − 1)
un = − 2 n
un = + 2 n
2
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1

u1 = 2

u2 = u1 − 2

u3 = u2 − 2
...

un = un−1 − 2
1
1
un = − 2 − 2... − 2 = − 2 ( n − 1)

2
2
Ta có:
. Cộng hai vế ta được
.
u1 = −1


un
u
=
n
+
1

( un )

2
Câu 17: Cho dãy số
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
n
n +1
n −1
n −1
1
1
1
1
un = ( −1) .  ÷
un = ( −1) .  ÷
un =  ÷
un = ( −1) .  ÷
 2
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Ta

u1 = −1

u2 = u1
2


u2
u3 =
2

...

un = un −1

2

có:

u1.u2 .u3 ...un = ( −1) .

.

Nhân

hai

vế

ta

được

n −1

u1.u2 .u3 ...un −1
1
1
⇔ un = ( −1) . n −1 = ( −1) .  ÷
2.2.2...2
2
2
14 2 43
n −1 lan

( un )

u1 = 2

un +1 = 2un

Câu 18: Cho dãy số
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
n −1
n
un = n
un = 2
un = 2n +1
un = 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
u1 = 2
u = 2u
1
 2
u
=
2
u
 3
2
...

un = 2un−1
u1.u2 .u3 ...un = 2.2n −1.u1.u2 ...un −1 ⇔ un = 2 n
Ta có:
. Nhân hai vế ta được
1

u1 =
2


( un )
un +1 = 2un
Câu19 : Cho dãy số
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
−1
−1
u
=
u
=
n −1
n
n
n

1
un = −2
un = 2 n − 2
2
2n
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Ta có:

1

u1 = 2

u2 = 2u1

u3 = 2u2
...

un = 2un −1


. Nhân hai vế ta được

(un )
Câu 20: Cho dãy số
11 17 25 47
; ; ;7;
2 3 4
6
A.

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

1
u1.u2 .u3 ...un = .2n −1.u1 .u2 ...un −1 ⇔ un = 2n − 2
2

n 2 + 3n + 7
un =
n +1

được xác định bởi
13 17 25 47
; ; ;7;
2 3 4
6
B.

. Viết năm số hạng đầu của dãy;
11 14 25 47
11 17 25 47
; ; ;7;
; ; ;8;
2 3 4
6
2 3 4
6
C.
D.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có năm số hạng đầu của dãy
12 + 3.1 + 7 11
17
25
47
u1 =
=
u2 = , u3 = , u4 = 7, u5 =
1+1
2
3
4
6
,
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2
B. 4
C. 1
D. Không có
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
5
5
un = n + 2 +
u
n
n +1
n +1
n +1
Ta có:
, do đó
nguyên khi và chỉ khi
nguyên hay
là ước của 5. Điều đó
n +1 = 5 ⇔ n = 4
xảy ra khi
u4 = 7
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là
.

(un )

u1 = 1

un = 2un −1 + 3 ∀n ≥ 2

Câu 22: Cho dãy số
xác định bởi:
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
A. 1;5;13;28;61
B. 1;5;13;29;61
C. 1;5;17;29;61
D. 1;5;14;29;61
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
u1 = 1; u2 = 2u1 + 3 = 5 u3 = 2u2 + 3 = 13; u4 = 2u3 + 3 = 29
;
u5 = 2u4 + 3 = 61
.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

u1 = 3, v1 = 2

(un ), (vn )
Câu 23: Cho hai dãy số

được xác định như sau

(un )
Tìm công thức tổng quát của hai dãy

(

) (

)

n


1
un = 2 



v = 1
 n 3 2

(

C.

) +(

2 +1




(

)

)

2 −1

) −(

2 +1

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
un − 2vn =

Chứng minh

(

2n

)





u1 − 2v1 = 3 − 2 2 =

Ta có:
uk − 2vk =
Giả sử

(

)

2 −1

(

2n





∀n ≥ 1

n≥2

) +(

(

2 +1

2n

) −(
2n

) +(

2 +1




(

2n

)




n
2 
2 −1 

2 −1

)

)

2 −1

) −(

2 +1

2n

2n

2n





)

2 −1

2n





2n

(2)

(

)

2 −1

)

2

2

n =1

nên (2) đúng với

2k

, ta có:

(

.
un + 2vn =

Theo kết quả bài trên và đề bài ta có:
2n
2n

2
u
=
2
+
1
+
2

1
 n

2n
 2 2v = 2 + 1 − 2 − 1
n

Do đó ta suy ra

(

2 +1


1
un = 2 



v = 1
 n 2 2

D.

uk +1 − 2vk +1 = uk − 2vk

Vậy (2) đúng với

(

(

un − 2vn = un2−1 + 2vn2−1 − 2 2un −1vn −1 = un −1 − 2vn −1

Ta có:


1
un = 4 



v = 1 
 n 2 





2 −1

2 −1





B.

)

2n

2n

với

.

n

) (

2n



2
2

un +1 = un + 2vn


vn +1 = 2un .vn

(vn )


2
2

u
=
2
+
1
+
2

1
 n

2n
1 
vn =
2
+
1
− 2 −1
2 2 


(

A.

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

) (
)
(
) (
)

(

) =(
2

)

2 +1

)

2 −1

2k +1

2n

2n

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 24

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

1
un = 2 



v = 1
 n 2 2

(

Hay

) (

2 +1




(

2n

)

+

2 −1

) (

2 +1

2n



2n

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11





)

2 −1

2n





.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×
x