Tải bản đầy đủ

thuyết trình phục hồi ảnh

Phục hồi ảnh
NHÓM 4
CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHÓM
1)VI HỒNG MINH
2) NGUYỄN THỊ TUYẾT HƯƠNG
3) NGUYỄN THÀNH CHUNG
4) TRẦN LONG ĐIỀN


Phục hồi ảnh
Ví dụ 6.13
Chứng minh làm thế nào để áp dụng bộ lọc Wiener trong thực tế bằng cách khôi phục một chuyển động
ảnh nhòe.
Cho chúng ta xem xét lại các ảnh nhòe của hình 6.7a. Từ phương trình (6.33) chúng ta có:

6.33

Chúng ta có:∧

1
(

m
,
n
)
=
H
iT

2

sin

πm

sin

N

iT

πm

e

−j

N

i πm
H (m, n) =
sin
N
2
2 πm
iT sin
N


1


2 T

πm
N

( iT −1)


Phục hồi ảnh
Các bộ lọc wiener cho bời phương trình 6.46




M

H ∗ (u,v)

(u , v ) =



H (u,v)

2

+

Svv (u , v )
S ff (u , v )

Mẫu số thay thế bằng hằng số r

πm πm
sin
iT
π m ( iT −1)

i
M (m, n) = 2 π m N 2 N 2 π m e N
sin
iT + ΓiT sin
N
N
iT sin

6.46


Phục hồi ảnh
Trường hợp m=0 :



1
M (0, n) = 1 + Γ
cho

0 ≤ n ≤ N −1

Nhân hàm này với biến đổi Fourie của ảnh nhòe ta được:



S gf (u, v) = H * (u, v) S ff (u, v)

6.43

Chúng ta có:



F (m, n) =

iT sin

π m iT π m 2
sin
G1 (m, n) + G22 (m, n)e
N
N
i πm
πm
sin 2 T
+ ΓiT2 sin 2
N
N

j ( Φ ( m,n )+

( iT −1)π m
)
N


Phục hồi ảnh
Trường hợp m=0 chúng ta có:

G12 (0, n) + G22 (0, n)e j ( Φ (0, n )
F (0, n) =
1+ Γ


cho

0 ≤ n ≤ N −1

Phần thực và ảo được cho bởi:

π m iT π m 2
iT sin sin
G1 (m, n) + G22 (m, n)
(iT −1 )π m
N
N
F1 (m, n) =
cos(Φ(m, n) +
)
i
π
m
π
m
N
sin 2 T + ΓiT2 sin 2
N
N
π m iT π m 2
iT sin
sin
G1 (m, n) + G22 (m, n)
(i )π m
N
N
F2 (m, n) =
sin(Φ(m, n) + T −1
)
i πm
πm
N
sin 2 T + ΓiT2 sin 2
N
N


Phục hồi ảnh
Nếu sử sụng công thức cos(a+b) và sin(a+b) ta có:

π m iT π m
sin
(iT − 1)π m
(iT − 1)π m 

N
N
F1 (m, n) =
G
(
m
,
n
)cos

G
(
m
,
n
)sin
2
 1

N
N
2 iT π m
2
2 πm 
sin
+ ΓiT sin
N
N
iT sin

π m iT π m
iT sin sin
(iT − 1)π m
(iT − 1)π m 

N
N
F2 (m, n) =
G1 (m, n)sin
+ G2 (m, n)cos


i
π
m
π
m
N
N
2 T
2
2

sin
+ ΓiT sin
N
N
Trường hợp m=0:

G1 (0, n)
F1 (0, n) =
1+ Γ

0 ≤ n ≤ N −1

cho

G (0, n)
F2 (0, n) = 2
1+ Γ

cho

0 ≤ n ≤ N −1


Phục hồi ảnh
Nếu quá trình suy giảm là giả định tuyến tính, lý do tại sao chúng ta không giải quyết được một hệ phương trình tuyến
tính để đảo ngược tác dụng của nó thay vì gọi các định lý tích chập.?

Hệ phương trình tuyến tính được cho dưới dạng ma trận của phương trình

g = Hf

6.10

Nếu chúng ta bổ sung thêm một số hạng đại diện nhiễu v

g = Hf + v
f = H-1g – H-1v

H: là một ma trận N2xN2
f,g,v là một ma trận N2x1 vector

6.75
6.76

0 ≤ n ≤ N −1


Phục hồi ảnh
Ví dụ: 6.14
Thể hiện sự nhạy cảm với nhiễu của việc khôi phục lại ma trận nghịch đảo.
Chúng ta xem lại các tín hiệu được cho bởi:

f ( x ) = 25sin
Ta có ma trận H:sinh ra một tín hiệu mờ g(x)

2π x
30

cho x = 0,1,2…29


Phục hồi ảnh
Chúng ta sẽ làm tròn các phần tử của g(x) đến số nguyên gần nhất. Để khôi phục tín hiệu ban đầu. Ta nhân g(x) với ma
trận H-1 gốc và tín hiệu phục hồi được thể hiện trong hình 6.10

Hình 6.10: Một bản gốc và các tín hiệu phục hồi bằng ma trận nghịch đảo trực tiếp.


Phục hồi ảnh
Có cách nào ma các ma trận H có thể được đảo ngược ?
Ma trận H dễ dàng được đảo ngược vì nó là một ma trận luân hoàn.
Khi nào là một khối ma trận luân hoàn?
Khối ma trận luân hoàn khi nó có cấu trúc sau

Khi nào là một ma trận luân hoàn?
Ma trận luân hoàn khi nó có cấu trúc sau:


Phục hồi ảnh
Tại sao có thể nghịch đảo một khối ma trận luân hoàn một cách dễ dàng?
Bởi vì ta có thể dễ dàng tìm được giá trị riêng và vector riêng của nó
Đó là những giá trị riêng và các vector riêng của một ma trận luân hoàn nào?
Chúng ta định nghĩa cách thiết lập các vô hương sau:

 2π j 
 2π j 
λ (k ) ≡ d (0) + d ( M − 1) exp 
k  + d ( M − 2) exp 
2k 
 M 
 M


+... +

 2π j

d (1) exp 
( M − 1)k 
 M


6.79


Phục hồi ảnh
Và cách thiết lập các vector

1


÷
2
π
j


 exp
÷
k


÷
 M 

÷
2
π
j


÷
w(k ) =  exp 
2k 

÷
 M


÷
M

÷

 2π j
÷
( M − 1)k  ÷
 exp 
 M


K=0,1,2…M-1. Nó có thể được biểu diễn bằng cách thay thế trực tiếp

Dw(k) =

λ (k ) w(k )

6.80


Phục hồi ảnh
Làm thế nào để biết các kiến thức về các giá trị riêng và các vector riêng của một ma trận trợ giúp trong ma trận nghịch
đảo?

D =WAW-1

6.82

1

exp[− j
Ki ]
M
M

ở đây W-1 có các phần tử:
W-1(k,i) =

6.83

A là một ma trận chéo
Ma trận nghịch đảo D có dạng:

D-1=(WAW-1)-1=(W-1)-1A-1W-1=WA-1W-1

6.84


Phục hồi ảnh
Ví dụ 6.15
Hãy xem xét ma trận W cột, trong đó w(0),w(1),…,w(M-1) cho bởi phương trình (6.80). chứng minh rằng ma trận Z với
các phần tử:

Z(k,i) =
Là ma trận nghịch đảo của ma trận W

1
2π j
exp( −
ki)
M
M


Phục hồi ảnh
Ngoài đường chéo chính của ma trận này có dạng

≡e

Hệ số : q

2π jt
M

Áp dụng công thức:

n
q
−1
k
q =

q-1
k =0
n −1

Ta có được:
n −1

∑e
k =0

2π jtk
M

M , t = 0
=

0,
t

0



Z.W = I,ma trận đơn vị, với Z=W-1

M −1

∑ exp(
k =0

2π jt
k)
M


Phục hồi ảnh
Ví dụ 6.16:
Cho M = 3 cho thấy (k) định nghĩa bởi phương trình (6.79) và w(k) định nghĩa bởi (6.80) là các giá trị riêng và vector
riêng tương ứng, của ma trận (6.78). cho k =0,1,2
Ma trận D với M=3

Chúng ta có:

 d0

D =  d1
d
 2

d2
d0
d1

d1 
÷
d2 ÷
d0 ÷


1

 2π j ÷
2k
w(k ) =  e 3 ÷

÷
2π j
 k 3 ÷
÷
e


λ (k ) =

cho k = 0,1,2

d0 + d2

+ d1
2π j

e

3

k

e

2π j
2k
3

cho k = 0.1.2


Phục hồi ảnh
Đầu tiên chúng ta tính toán phía bên tay trái của biểu thức này:

 d0

Dw(k ) =  d1
d
 2

d2
d0
d1

1
  d + d e 2π3 j k + d e 2π3 j 2 k 
÷
2
1
d1   2π j ÷  0
÷  e2 k 3 ÷=  d + d e 2π3 j k + d e 2π3 j 2 k ÷÷
d2 ÷ 
0
2
÷ 1
÷
2π j
2π j
2
π
j
k
2k ÷
÷
k

÷

d 0   e 3 ÷  d 2 d1e 3 + d 0e 3 ÷




6.86

Chúng ta tính toán bên tay phải

λ (k ) w(k )

Thực tế :

2π j
2π j
k
2k 

3
3
d
+
d
e
+
d
e

÷
0
2
1

÷
2π j
4π j
2π j
k
k
3k
=  d 0 e 3 + d 2e 3 + d1e 3 ÷

÷
2π j
2π j
2π j
2k
3k
4k ÷

3
3
3
d
e
d
e
+
d
e
2
1
 0
÷



e 2π jk = 1

với K là số nguyên

Nếu chúng ta so sánh từng phần tử của 6.86 và 6.87 ta thấy công thức 6.85 là đúng

6.87


Phục hồi ảnh
Ví dụ 6.17
Tìm nghịch đảo của ma trận dưới đây:

Trong ứng dụng này : M = 4, d(0) =-1,d(1) = 3, d(2) = 2, d(3) = 0 sau đó:

λ (0) = −1 + 2 + 3 = 4 ⇒
λ (1) = −1 + 2e

i

2π j
4
4

λ (2) = −1 + 2e

i

+ 3e

2π j
4
4

λ (0) −1 =
i

2π j
3
4

+ 3e

i

2π j
6
4

1
4

=-1-2-3j=-3-3j

=-1+2-3 = -2

⇒ λ −1 (1) =

−3 + 3 j −1 + j
=
18
6

⇒ λ −1 (2) = −

1
2


Phục hồi ảnh
λ (3) = −1 + 2e

i

2π j
6
4

+ 3e

i

2π j
9
= -1-2+3j = -3-3j
4

wT (0) = (1111)

Xây dựng ma trận W,W-1 áp dụng công thức 6.84

⇒ λ −1 (3) =

−3 − 3 j −1 − j
=
18
6


Phục hồi ảnh
Ví dụ 6.18B

1
2π jkn
exp(
)
N
N
1
−2π jkn
WN−1 (k , n) =
exp(
)
N
N
WN (k , n) =

Những phần tử của W được cho bởi
N
−1
Những phần tử
được cho bởi
N

W

Chúng ta định nghĩa ma trận W là là kết quả Kronecker của W

N
với chính nó.

hình thành bởi kết quả Kronecker cùa ma trận
Từ w là

với chính nó. Cho thấy nghịch đảo của ma trận W được

WN−1

chúng ta có:

WN ⊗ WN

1
W (m, n) = e
N
Với

m ≡ m1 N + m2
l ≡ l1 N + l2

(

2π J
2π J
m1l1 ) (
m2l2 )
N
N

e

6.88


Phục hồi ảnh
Các giá trị có thể lấy là:

Z ≡ WN−1 ⊗ WN−1

Chúng ta có thể viết một phần tử của ma trận

1 ( − 2πNJ t1l1) ( − 2πNJ t 2 l 2)
Z (t , n) =
e
e
N
Một phần tử ma trận sinh ra

A(k , n) =

N 2 −1

∑ w(k , t )Z (t , n)
t =0

cho bởi:

6.89

A ≡ WZ

1 N −1 2πNJ k 1t1 2πNJ k 2t 2 − 2πNJ t1n1 2πNJ t 2 n 2
= 2 ∑e
e
e
e
N t =0
N 2 −1 2π J ( k 1− n1) t1 2π J ( k 2 − n 2) t 2
1
= 2 ∑e N
eN
N t =0
2


Phục hồi ảnh
chúng
có tthể tách tổng t thành 2 tổng:
t≡
t1 Nta +
2

Nếu chúng ta viết

 2πNJ ( k1− n1) t1 N −1 2πNJ ( k 2− n 2) t 2 
1
A(k , n) = 2 ∑ e
e


N t =0 

t =0
N 2 −1

M −1

∑e

Từ ví dụ 6.10, chúng ta biết rằng:

=

2π jm
s
M

t =0

Áp dụng công thức 6.90 ta được:

1
A(k , n) = 2
N

2

N 2 −1

∑e

 M , s = 0
=

0, s ≠ 0 

2π J
( k 1− n1) t 1
N

δ (k 2 − n 2) N

t =0

1
δ (k 2 − n2) N δ ( k1 − n1)
N

= δ (k 2 − n 2)δ (k1 − n1) = δ (k − n)
Điều này chứng tỏ rằng ma trận Z cho bởi 6.98 là nghịch đảo của ma trận Wcho bởi 6.88.

6.90


Phục hồi ảnh
Làm thế nào để chúng ta biết rằng ma trận H biểu diễn quá trình suy giảm tuyến tính là khối luân hoàn?
Phương trình g=Hf thực sự tương đương:

n −1 n −1

g (i, j ) = ∑∑ h(k , l , i, j ) f (k , l )

Cho hàm trải điểm chuyển vị bất biến ta có:

k =0 l =0

n −1 n −1

g (i, j ) = ∑∑
f ( k , l ) h (i − k , j − l )
và có hình thức luân hoàn:

Ma trận con của H đặc trưng bởi giá trị

6.91

k =0 l = 0

j −1 ≡ u

6.92


Phục hồi ảnh
Ma trận H đầy đủ có thể viết dưới dạng:

Làm thế nào chúng ta có thể chéo hóa một khối ma trận luân hoàn?
Định nghĩa một ma trận với tất cả các phần tử:

WN =
Và ma trận

1
2π j 

exp  − kn
N 
N


W = WN ⊗ WN

6.95
6.96

Ma trận nghịch đảo W (k,n) với các phần tử:
N

WN−1 (k , n) =

1
−2π jkn
exp(
)
N
N

6.97


Phục hồi ảnh
Nghịch đảo của ma trận W được cho bởi:
N

WN−1 (k , n) = WN−1 ⊗ WN−1

6.98

Chúng ta xác định được ma trận chéo như sau:

 ∧

k
N
(
k
mod
N
,
),
i
=
k

 π

 N 
A( k , i) =  H
 −θ ÷

0, i ≠ k
 2



6.99



ở đây

làH
một biến đổi Fourie rời rạc của hàm trải điểm h



1
(
u
,
v
)
=
H
N

N −1 N −1

∑∑ h( x, y)e
k =0 k =0

−2π j (

ux vy
+ )
N N
6.100

Nó có thể được hiện thị sau đó bằng cách nhân trực tiếp

H = WAW −1
Do đó H có thể được nghịch đảo dễ dàng

6.101


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×