Tải bản đầy đủ

Tài liệu HOT Bài tập TOÁN Chuyên đề Giới hạn (File Word có ĐÁP ÁN và LỜI GIẢI chi tiết)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS> 11

MỤC LỤ

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS> 11

PHẦN I – ĐỀ BÀI....................................................................................................................................4
GIỚI HẠN DÃY SỐ.................................................................................................................................4
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP..................................................................................................4
B – BÀI TẬP.............................................................................................................................................4
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA...........................................................................4
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ

BẢN......................................................................................................................................................7
GIỚI HẠN HÀM SỐ..............................................................................................................................15
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT..................................................................................................................15
B – BÀI TẬP...........................................................................................................................................15
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM.....................15
0
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 ............................................................................18

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH �...........................................................................23
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC.............................................27
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC...............................................................................................29
HÀM SỐ LIÊN TỤC..............................................................................................................................32
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP................................................................................................32
B – BÀI TẬP...........................................................................................................................................32
DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM.........................................................32
DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH..............................................37
DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH.....................41
ÔN TẬP CHƯƠNG IV...........................................................................................................................42
PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI.............................................................................................................50
GIỚI HẠN DÃY SỐ...............................................................................................................................50
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP................................................................................................50
B – BÀI TẬP...........................................................................................................................................50
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA.........................................................................50
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ
BẢN....................................................................................................................................................55
GIỚI HẠN HÀM SỐ..............................................................................................................................78
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT..................................................................................................................78
B – BÀI TẬP...........................................................................................................................................78
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM.....................78
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS> 11

0
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 ............................................................................85



DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH �...........................................................................95
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC...........................................106
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC.............................................................................................110
HÀM SỐ LIÊN TỤC.............................................................................................................................117
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP..............................................................................................117
B – BÀI TẬP.........................................................................................................................................117
DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM........................................................117
DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH............................................125
DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH...................134
ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV..........................................................................................................135

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS> 11

PHẦN I – ĐỀ BÀI
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIỚI HẠN HỮU HẠN
1.Giới hạn đặc biệt:
1
1
lim
 0 (k �� )
lim  0
k
n��n
n��n
;
lim qn  0 ( q  1)

n��

;

lim C  C

n��

2.Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
 lim (un + vn) = a + b
 lim (un – vn) = a – b
 lim (un.vn) = a.b
u a
lim n 
vn b

(nếu b  0)
b) Nếu un 0, n và lim un= a

un  a
thì a  0 và lim
u �vn
c) Nếu n
,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
lim un  a
d) Nếu lim un = a thì
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u1
 q  1
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 q

GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Giới hạn đặc biệt:
lim n  �

limnk  �(k �� )

limqn  �(q  1)
2. Định lí:

a) Nếu

lim un  �

lim

thì

1
0
un

un
v
b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim n = 0
c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0
un �
� ne�
u a.vn  0

� ne�
u a.vn  0
v
thì lim n = �
d) Nếu lim un = +, lim vn = a

�
ne�
u a 0



ne�
u a 0
thì lim(un.vn) = �
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
0 �
định: 0 , �,  – , 0. thì phải tìm cách khử
dạng vô định.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp:

�Để chứng minh lim un  0 ta chứng minh với mọi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao
u  a n  na
cho n
.
�Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l )  0 .
�Để chứng minh lim un  � ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên
nM
u  M n  nM
sao cho n
.
lim
u

�
lim(un )  �
n
�Để chứng minh
ta chứng minh
.
SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS> 11

�Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
lim un  �
lim un  �
A. Nếu
, thì
.
lim un  0
lim un  0
C. Nếu
, thì
.
1
lim
n  1 bằng:
Câu 2. Giá trị của
A. 0
B. 1
1
lim k
n ( k ��*) bằng:
Câu 3. Giá trị của
A. 0

B. 2

lim un  �
lim un  �
, thì
.
lim un  a
lim un  a
D. Nếu
, thì
.
B. Nếu

C. 2

D. 3

C. 4

D. 5

C. 5

D. 8

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 2

D. 1

C. 0

D. 1

2

sin n
n  2 bằng:
Câu 4. Giá trị của
A. 0
B. 3
lim(2
n

1)
Câu 5. Giá trị của
bằng:
A. �
B. �
lim

1 n
n bằng:
Câu 6. Giá trị của
A. �
B. �
2
lim
n  1 bằng:
Câu 7. Giá trị của
A. �
B. �
cos n  sin n
lim
n 2  1 bằng:
Câu 8. Giá trị của
A. �
B. �
n 1
lim
n  2 bằng:
Câu 9. Giá trị của
A. �
B. �
3n3  n
lim
n 2 bằng:
Câu 10. Giá trị của
A. �
B. �
2n
lim
n  1 bằng:
Câu 11. Giá trị của
A. �
B. �
2n  1
A  lim
n  2 bằng:
Câu 12. Giá trị của
A. �
B. �
2n  3
B  lim 2
n  1 bằng:
Câu 13. Giá trị của
A. �
B. �
2

lim

Câu 14. Giá trị của

C  lim

n2  1
n  1 bằng:

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
B. �
n2 n
A  lim
2n bằng:
Câu 15. Giá trị của

Giới hạn – ĐS> 11

A. �

C. 0

D. 1

A. �

1
C. 2

D. 1

C. 3

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 4

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

Câu 16. Giá trị của
A. �
Câu 17. Giá trị của
A. �
Câu 18. Giá trị của
A. �
Câu 19. Giá trị của
A. �

B. �
n sin n  3n 2
B  lim
n2
bằng:
B. �
1
C  lim 2
n  2 n  7 bằng:
B. �
4n  1
D  lim
2
n  3n  2 bằng:
B. �
n
a
lim  0
n!
bằng:
B. �
n

Câu 20. Giá trị của lim a với a  0 bằng:
A. �
B. �

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS> 11

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC
GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:
�Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
f ( n)
lim
g (n) ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và
�Khi tìm
mẫu.
k
m

lim �
� f ( n)  g (n) �trong đó lim f (n)  lim g ( n)  � ta thường tách và sử dụng
�Khi tìm
phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:



a  b  a  b  a  b;

 3 a  3 b  3 a2  3 ab  3 b2   a  b

�Dùng định lí kẹp: Nếu un �vn ,n và lim vn = 0 thìlim un = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa
cao nhất của tử và của mẫu.
 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của
tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.

Câu 1. Cho dãy số
1
A. 4 .

 un 

với

un 

un1 1
n

2 . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau:
4n và un

1
B. 2 .
� n cos 2n �
lim �
5 2

� n  1 �là:
Câu 2. Kết quả đúng của
A. 4.

B. 5.
2n  1
A  lim
1  3n bằng:
Câu 3. Giá trị của.
B. �
4n 2  3n  1
B  lim
(3n  1) 2 bằng:
Câu 4. Giá trị của.

C. 0 .

D. 1 .

C. –4.

1
D. 4 .



A. �

C.

A. �

4
C. 9

lim
Câu 5. Kết quả đúng của
3

A. 3 .

B. �
 n 2  2n  1
3n 4  2
B.



2
3.

2
3

D. 1

D. 1


C.



1
2.

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

1
D. 2 .

Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 6. Giới hạn dãy số

 un 

A. �.

với

un 

3n  n 4
4n  5 là:

B. �.

Câu 7. Chọn kết quả đúng của

B. �

B  lim
Câu 9. Giá trị của

C. �.

D. �.

2
C. 3

D. 1

C. 0

1
D. 1  3

C. 16

D. 1

1 3 3
4
C. 2  1

D. 1

C. 0

D. 1

C. 8

D. 1

1
C. 4

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

n  3n 2  1 bằng:
B. �

C  lim

D  lim
Câu 11. Giá trị của

 2n

2

 1

4

 n  2

9

n 1
B. �
17

bằng:

n  1  3n  2
3

2

4

3

2n 4  n  2  n bằng:

B. �

A. �

C  lim

4

3n3  1  n

2n 4  3n  1  n bằng:
B. �
(n  2)7 (2n  1)3
F  lim
(n 2  2)5
Câu 13. Giá trị của.
bằng:
A. �
B. �
n3  1
C  lim
n(2n  1) 2 bằng:
Câu 14. Giá trị của.
Câu 12. Giá trị của
A. �

B. �
n3  3n 2  2
D  lim 4
n  4n3  1 bằng:
Câu 15. Giá trị của.
A. �
B. �
n 3  2n  1
E  lim
n2
Câu 16. Giá trị của.
bằng:
�
�
A.
B.
A. �

D. 0 .

n 2  2n

A. �
Câu 10. Giá trị của
A. �

3
C. 4 .
n3  2n  5
3  5n
:

lim

2
A. 5 .
B. 5 .
2n 2  3n  1
A  lim 2
3n  n  2 bằng:
Câu 8. Giá trị của
A. �

Giới hạn – ĐS> 11

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

F  lim
Câu 17. Giá trị của.

4

n 4  2n  1  2 n
3

3n3  n  n

bằng:

B. �

A. �

un

un   n  1

Câu 18. Cho dãy số với
A. �.
B. 0 .
10
lim
4
n  n 2  1 bằng :
Câu 19.
A. �.
B. 10 .
n 1  4
lim
n 1  n
Câu 20. Tính giới hạn:

C.

Câu 23. Giá trị của
bằng:
A. �

lim 3 

C. 0 .

D. �.

C. 1

1
D. 2 .

2
C. 3 .

D. 1 .

C. 2 .

1
D. 2 .

n2  1 1

3  n 2 2n .

B. 3 .
ak n k  ...  a1n  a0
D  lim
bp n p  ...  b1n  b0

B. �
2  5n  2
lim n
3  2.5n là:
Câu 24. Kết quả đúng của
5
1


A. 2 .
B. 50 .

a b �0
(Trong đó k , p là các số nguyên dương; k p
).

C. Đáp án khác

D. 1

5
C. 2 .

D.

C. 0 .

D. 1 .



25
2 .

n 1

3  4.2  3
3.2 n  4n
Câu 25.
bằng:
A. �.
B. �.
3.2n  3n
C  lim n 1 n1
2  3 bằng:
Câu 26. Giá trị của
n

D. 1

2n  2
n  n 2  1 . Chọn kết quả đúng của lim un là:
C.1 .
D. �.

B. 0 .
1  3  5  ....   2n  1
lim
3n 2  4
Câu 21. Tính giới hạn:
1
A. 0 .
B. 3 .
Câu 22. Chọn kết quả đúng của

3
3 1

3

4

A. 1 .

A. 4 .

Giới hạn – ĐS> 11

lim

A. �
Câu 27. Giá trị đúng của
A. �.

B. �
lim  3n  5n 
B. �.

C.



1
3

là:
C. 2 .

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

D. 1
D. 2 .
Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 28. Giá trị của.
1

A. 3

Giới hạn – ĐS> 11

3.2n  3n
2n 1  3n 1 bằng:

K  lim

B. �

C. 2

D. 1

B. 1 .

C. 0

D. �.

1
C. 4 .

D. �.

5 1
3n  1 bằng :
n

lim

Câu 29.
A. �.
Câu 30.

lim 4

4n  2n 1
3n  4n  2 bằng :
1
B. 2 .

A. 0 .

3.3n  4n
C  lim n 1 n 1
3 4
Câu 31. Giá trị của.
bằng:
1
A. �
B. 2

D. 1
1  a  a  ...  a n
I

lim
a  1; b  1
1  b  b 2  ...  b n .
Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa
. Tìm giới hạn
1 b
A. �
B. �
C. 1  a
D. 1
k
k 1
a .n  a n  ...  a1n  a0
A  lim k p k 1 p 1
a b �0
bp .n  bp 1n  ...  b1n  b0
Câu 33. Tính giới hạn của dãy số
với k p
.:
A. �
B. �
C. Đáp án khác
D. 1
n
�2

lim �
n sin
 2 n3 �
5

�bằng:
Câu 34.
A. �.
B. 0 .
C. 2 .
D. �.
C. 0

2

Câu 35. Giá trị của.
A. �
Câu 36. Giá trị của.

M  lim

H  lim

A. �
Câu 37. Giá trị của
A. �
Bài 40. Giá trị của

B  lim







n 2  6n  n

B. �

n2  n  1  n

B. �
2n 2  1  n

B. �

K  lim n



n2  1  n

 bằng:

 bằng:
 bằng:

B. �

A. �
Câu 38. Giá trị đúng của

 bằng:

lim



n 2  1  3n 2  2

 là:

C. 3

D. 1

1
C. 2

D. 1

C. 0

D. 1

1
C. 2

D. 1

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. �.
Câu 39. Giá trị của
A. �
Câu 40. Giá trị của
A. �
Câu 41. Giá trị của



A  lim

B  lim

B. �.
n2  6n  n

B. �



D  lim

Câu 43. Giá trị của.
A. �
Câu 44. Giá trị của.

M  lim

N  lim

K  lim

A. �
Câu 45. Giá trị của.
A. �

B. �

 bằng:

n 2  2n  n 3  2n 2
3

B. �

A. �
Câu 42. Giá trị của.
1

A. 12

n3  9 n 2  n

3



 bằng:

N  lim








3

1  n 2  8n3  2n

B. �
4n 2  1  3 8n 3  n

B. �

C. 0 .

D. 1 .

C. 3

D. 1

C. 0

D.3

1
C. 3

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

 bằng:

 bằng:

 bằng:

n 3  n 2  1  3 4 n 2  n  1  5n

3

B. �
n3  3n 2  1  n

3

 bằng:

C.



 bằng:

5
12

B. �
C. 0
lim � n n  1  n  1 �

�là:
Câu 46. Giá trị đúng của
A. 1 .
B. 0 .
C. 1 .
Câu 47. Giá trị của.



H  lim n

A. �
Câu 48. Giá trị của
A. �

A  lim





3

B. �
n 2  2n  2  n

B. �

 bằng:

5
5
2
Câu 49. lim 200  3n  2n bằng :
A. 0 .
B. 1 .
2n3  sin 2n  1
A  lim
n3  1
Câu 50. Giá trị của.
bằng:
�
�
A.
B.
n
n!
B  lim
3
n  2n bằng:
Câu 51. Giá trị của.
A. �
B. �

D. �.

 bằng:
C.



D. 1

D. 1



8n3  n  4n 2  3

Giới hạn – ĐS> 11

2
3

D. 1

C. 2

D. 1

C. �.

D. �.

C. 2

D. 1

C. 0

D. 1

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
D  lim
Câu 52. Giá trị của.

Giới hạn – ĐS> 11

n 1
n ( 3n  2  3n 2  1) bằng:
2

2

B. �

A. �

2
Câu 53. Giá trị của. E  lim( n  n  1  2n) bằng:
A. �
B. �
F  lim n  1  n
Câu 54. Giá trị của.
bằng:
A. �
B. �





p

2
C. 3

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

Câu 55. Giá trị của. H  lim( n  1  n  1) bằng:
A. �
B. �
C. Đáp án khác
D. 1
1
1
1
un 

 ... 
2 1 2 3 2 2 3
(n  1) n  n n  1 :
Câu 56. Tính giới hạn của dãy số
A. �
B. �
C. 0
D. 1
k

2

2

(n  1) 13  23  ...  n3
3n3  n  2
Câu 57. Tính giới hạn của dãy số
:
1
A. �
B. �
C. 9
D. 1
1
1
1
n(n  1)
un  (1  )(1  )...(1  )
Tn 
T
T
T
2 .:
1
2
n trong đó
Câu 58. Tính giới hạn của dãy số
1
A. �
B. �
C. 3
D. 1
3
3
3
2  1 3 1 n 1
un  3 . 3 .... 3
2 1 3 1 n 1 . :
Câu 59. Tính giới hạn của dãy số
2
A. �
B. �
C. 3
D. 1
n
2k  1
un  � k
2 .:
k 1
Câu 60. Tính giới hạn của dãy số
A. �
B. �
C. 3
D. 1
2
n
q 1
Câu 61. Tính giới hạn của dãy số un  q  2q  ...  nq với
.:
q
q
un 

A. �

B. �

C.

 1 q 

2

D.

 1 q 

2

n
n
un  � 2
k 1 n  k
Câu 62. Tính giới hạn của dãy số

.:
A. �
B. �
C. 3
3 6
n  n  1  4 n 4  2n  1
B  lim
(2n  3)2
Câu 63. Tính giới hạn của dãy số
A. �

B. �

C. 3

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

D. 1
.:

3
D. 4
Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 64. Tính giới hạn của dãy số

C  lim

B. �

A. �

Câu 65. Tính giới hạn của dãy số

D  lim



4n2  n  1  2n



.:

C. 3
n 2  n  1  2 3 n3  n 2  1  n



1

C. 6

B. �

A. �



Giới hạn – ĐS> 11

1
x1  , xn 1  xn2  xn ,n �1
2
Câu 66. Cho dãy số
xác định bởi
1
1
1
Sn 

L 
x1  1 x2  1
xn  1 .Tính lim Sn .
Đặt
A. �
B. �
C. 2
1 2
k
xk    ... 
(x )
2! 3!
( k  1)!
Câu 67. Cho dãy k được xác định như sau:

1
D. 4
.:
D. 1

( xn )

Tìm

lim un

với

n
un  n x1n  x2n  ...  x2011

B. �

A. �

.
1

1
2012!

C.
u0  2011


1

un3
u

u

n

1
n
lim

un2
(u )
n .
Câu 68. Cho dãy số n được xác định bởi: �
. Tìm
A. �
B. �
C. 3
x  1 1
f ( x) 
 0; � .
x
Câu 69. Cho dãy x  0 xác định như sau:
.Tìm
A. �
B. �
C. 2010
n. 1  3  5  ...  (2n  1)
u

n
lim un
2n 2  1
Câu 70. Tìm
biết
1
A. �
B. �
C. 2

Câu 71. Tìm

lim un

biết

D. 1

D.

1

1
2012!

D. 1

D. 1

D. 1

�3 x  2  2 x  1
khi x �1

f ( x)  �
x 1

3m  2
khi x  1

3

B. �
C. 2
� x  1 1
khi x  0

f ( x)  � x
�2 x 2  3m  1 khi x �0
lim un

Câu 72. Tìm
biết
A. �
B. �
C. 2
A. �

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

6
D. 2

D.1

Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS> 11

� 2x  4  3
khi x �2

f ( x)  �
x 1
khi x  2

2
lim un
x

2
mx

3
m

2

Câu 73. Tìm
biết
trong đó x �1 .
1
A. �
B. �
C. 3
n
1
un  �
2
lim un
k 1
n k
Câu 74. Tìm
biết
�
�
A.
B.
C. 3
Câu 75. Tìm
A. �

lim un

biết

D.1

D.1

un  2 2... 2
1 42 43
n dau can

B. �

C. 2

lim f ( x)  lim
x �2
Câu 76. Gọi g ( x) �0, x �2 là dãy số xác định bởi �. Tìm x�2
4
A. �
B. �
C. 3
2



D.1
2x  4  3  3



.

D.1

2

� 1
� �1
� 1
A  �x12  x1 x2 � � x1 x2  x22 � x12 x22  3  0
� 2
� �4
� 2
Câu 77. Cho dãy số
được xác định như sau
� x1  x2
.
3
x�
3
2 . Tìm � x  2 x  3 3  2 x  4  0 .
Đặt
1
A. �
B. �
C. 2
D.1
Câu 78. Cho

a, b ���, ( a, b)  1; n � ab  1, ab  2,...

. Kí hiệu

rn



là số cặp số (u , v)  � � sao cho

rn
1

n  au  bv . Tìm n�� n ab .
lim

A. �

B. �

Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :
A. 0 .

1
C. ab
� 1
u1 

� 2

1

un 1 
, n �1
2  un



C. 1 .
1
� 1 1 1

S  2�
1     ...  n  ....... �
2
� 2 4 8
�.
Câu 80. Tìm giá trị đúng của
1
A. 2  1 .
B. 2 . C. 2 2 .
D. 2 .
B. 1 .

D. ab  1

. Tìm kết quả đúng của
1
D. 2

lim un

.

�1
1
1 �
lim � 
 .... 

1.2 2.3
n  n  1 �

Câu 81. Tính giới hạn:

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A. 0
hạn.

3
C. 2 .

B. 1 .

Giới hạn – ĐS> 11

D. Không có giới

�1

1
1
lim � 
 .... 

1.3 3.5
n  2n  1 �

Câu 82. Tính giới hạn:

A. 1 .
Câu 83. Tính giới hạn:
3
A. 4 .

B. 0 .
�1

1
1
lim � 
 .... 

1.3 2.4
n  n  2 �

B. 1 .

2
C. 3 .

D. 2 .

C. 0 .

2
D. 3 .

�1
1
1 �
lim � 
 ... 
1.4 2.5
n(n  3) �

�.
Câu 84. Tính giới hạn:
11
A. 18 .
B. 2 .
C. 1 .


� 1 �
� 1 �� 1 �
lim �
1 2 �
1 2 �
... �
1 2 �



� 2 �
� 3 �� n �

�.
Câu 85. Tính giới hạn:
A. 1 .

1
B. 2 .

1
C. 4 .

3
D. 2 .

3
D. 2 .

GIỚI HẠN HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt:
lim x  x0
lim c  c

� ne�
u k cha�
n
k
lim xk  �
lim
x

�
x� x0
x� x0
;
(c:
� ne�
u k le�

x��
; x��
hằng số)
c
2. Định lí:
lim
0
lim c  c
x��� xk
x
��

;
lim f (x)  L
lim g( x)  M
x� x0
x�x0
a) Nếu

1
1
lim  �
lim  �
lim  f (x)  g(x)  L  M
x�0 x
x�0 x
;
thì: x�x0
1
1
lim  lim  �
lim  f (x)  g(x)  L  M
x�x0
x�0 x
x�0 x
2. Định lí:
lim  f (x).g(x)  L .M
x�x0
lim f (x)  L
lim g(x)  ��
Nếu x�x0
 0 và x�x0
thì:
f (x) L
lim

x�x0 g(x)
M (nếu M  0)

�ne�
u L va�
lim g(x) cu�
ngda�
u

x�x0
lim
f
(
x
)
g
(
x
)


lim f (x)  L
�ne�
u L va�
lim g(x) tra�
i da�
u
x�x0

x� x0
x�x0
b) Nếu f(x)  0 và


SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

lim

x� x0

f (x)  L

thì L  0 và
lim f (x)  L
lim f (x)  L
x� x0
x�x0
c) Nếu
thì
3. Giới hạn một bên:
lim f (x)  L
x� x0

lim f (x)  lim f (x)  L
x�x0

x�x0

lim f (x)  lim f (x)  L



x�x0

Giới hạn – ĐS> 11


0 ne�
u lim g(x)  ��
x�x0

f (x) �
lim
 �ne�
u lim g(x)  0 va�
L .g(x)  0
x�x0 g(x) �
x�x0

�ne�
u lim g(x)  0 va�
L .g(x)  0

x�x0

0
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0 ,

�,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.

x�x0

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT
ĐIỂM
Phương pháp:
+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
f (x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f (x0 )
+ Nếu

f (x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn
+ Nếu
trái bằng giới hạn phải).
x3  2 x 2  1
lim
5
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của x �1 2 x  1 là:
1
1

A. 2 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 2 .
4 x3  1
lim 2
Câu 2. x �2 3 x  x  2 bằng:
11
11
 .
.
A �. .
B. 4 .
C. 4 .
D. �.
x 1
lim
x �1 x  2
Câu 3. Tìm giới hạn hàm số
bằng định nghĩa.
A. �
B. �
C. 2
D. 1
lim  x3  1

Câu 4. Tìm giới hạn hàm số x �2
bằng định nghĩa.
�
�
A.
B.
C. 9
x3 2
lim
Câu 5. Tìm giới hạn hàm số x �1 x  1
bằng định nghĩa.
B. �
C. 2
x3
lim
x � � x  2
Câu 6. Tìm giới hạn hàm số
bằng định nghĩa.
A. �

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

D. 1

1
D. 4

Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS> 11

B. �
C. 2
2
2x  x 1
lim
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số x �� x  2
bằng định nghĩa.
�
�
A.
B.
C. 2
3x  2
lim
Câu 8. Tìm giới hạn hàm số x �1 2 x  1 bằng định nghĩa.
A. �
B. �
C. 5
2
4 x  3x
f ( x) 
lim f ( x )
 2 x  1  x3  2 
Câu 9. Cho hàm số
. Chọn kết quả đúng của x �2
:
5
5
5
A. 9 .
B. 3 .
C. 9 .
A. �

Câu 10. Tìm giới hạn hàm số
A. �

lim
x �0

D. 1

D. 1

D. 1

2
D. 9 .

x4 2
2x
bằng định nghĩa.

1
B. 8

C. 2

4x  3
Câu 11. Tìm giới hạn hàm số x �1 x  1 bằng định nghĩa.
A. �
B. �
C. 2
3x  1
lim
Câu 12. Tìm giới hạn hàm số x �2 x  2 bằng định nghĩa.
A. �
B. �
C. 2
2x2  x  3
lim
x 1
Câu 13. Tìm giới hạn hàm số x �1
bằng định nghĩa.
5
�
A.
B.
C. 2
x 1
lim
4
x �2
2  x

Câu 14. Tìm giới hạn hàm số
bằng định nghĩa.
�
�
A.
B.
C. 2
2
3x
lim
x �� 2 x 2  1
Câu 15. Tìm giới hạn hàm số
bằng định nghĩa.
3
A. �
B. �
C. 2

D. 1

lim

lim  x 2  x  1

Câu 16. Tìm giới hạn hàm số
A. �
B. �
x � �

bằng định nghĩa.
C. 2

D. 1

D. 1

D. 1

D. 1

D. 1
D. 1

x 4
2

lim

 1  2  x 
Câu 17. Tìm giới hạn hàm số
bằng định nghĩa.
A. �
B. �
C. 0
2
x  3x  2
lim
x � 1
x 1
Câu 18. Tìm giới hạn hàm số
bằng định nghĩa.
A. �
B. �
C. 2
x �2

x

4

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

D. 1

D. 1
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS> 11

x2  x  1
x �1
x  1 bằng định nghĩa.
Câu 19. Tìm giới hạn hàm số
1
A. �
B. �
C. 2
2 tan x  1
B  lim
 sin x  1
x�
6
Câu 20. Tìm giới hạn hàm số
bằng định nghĩa.
4 36
9
A. �
B. �
C.
A  lim

Câu 21. Tìm giới hạn hàm số
A. �

C  lim

3

x �0

D. 1

x  2  x 1
3x  1
bằng định nghĩa.

B. �

C.

3

2 1

7x 1 1
x2
Câu 22. Tìm giới hạn hàm số
bằng định nghĩa.
�
�
A.
B.
C. 2
x 1
A  lim 2
x �2 x  x  4
Câu 23. Tìm giới hạn hàm số
bằng định nghĩa.
1

A. �
B. �
C. 6
D  lim

D. 1

D. 1

3

x �1

B  lim
Câu 24. Tìm giới hạn hàm số
A. �

sin 2x  3cos x
tan x

C  lim
x �1

B. �

Câu 26. Tìm giới hạn hàm số

D  lim

x �1 3

D. 1

2

B. �

Câu 25. Tìm giới hạn hàm số
A. �


x�
6

D. 3

bằng định nghĩa.
3 3 9

2
C. 4

2x  x 1  2x  3
3x 2  2
bằng định nghĩa.
3 3 9

2
C. 4
2

D. 1

3

D.

235

3x  1  2
3 x  1  2 bằng định nghĩa.
1

C. 6

B. �
D. 0
2
�x  3 khi x �2
f  x  �
lim f x
�x  1 khi x  2 . Chọn kết quả đúng của x �2   :
Câu 27. Cho hàm số
A. 1 .
B. 0 .
C. 1 .
D. Không tồn tại.
2

�x  ax  1 khi x  2
f ( x)  � 2
2 x  x  1 khi x �2

Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x � 2
.
1
A. �
B. �
C. 2
D. 1
A. �

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS> 11


5ax 2  3 x  2a  1

f ( x)  �
1  x  x2  x  2

Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x  0
2
A. �
B. �
C. 2

5ax  3 x  2a  1

f ( x)  �
1  x  x2  x  2

Câu 30. Tìm a để hàm số.
2

A. �

B. �
�x 2  ax  1

f ( x)  � 2
2 x  x  3a


khi x �0
khi x  0

.

D. 1

khi x �0
khi x  0

có giới hạn tại x � 0

2
C. 2
khi x  1

D. 1

khi x �1

có giới hạn khi x � 1 .
1

A. �
B. �
C. 6
D. 1
0
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0
Câu 31. Tìm a để hàm số.

P ( x)
x � x0 Q ( x )
1. L =
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
Chú ý:
2
x ,x
+ Nếu tam thức bậc hai ax  bx+c có hai nghiệm 1 2 thì ta luôn có sự phân tích
ax 2  bx  c  a ( x  x1 )( x  x2 )
.
lim

n
n
n 1
n 2
n 2
n 1
+ a  b  (a  b)(a  a b  ...  ab  b )
P( x)
lim
x � x0 Q ( x )
2. L =
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Các lượng liên hợp:
( a  b )( a  b )  a  b
+
+

( 3 a �3 b )( 3 a 2 m3 ab  3 b 2 )  a  b

n n 1
n
n n 1
n2
n
n
+ ( a  b )( a  a b  ...  b )  a  b
P ( x)
lim
x � x0 Q ( x )
3. L =
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc

Giả sử: P(x) =

m

u ( x)  n v( x ) vôùi

m

u ( x0 )  n v( x0 )  a

.

 u ( x)  a    a  v( x )  .
Ta phân tích P(x) =
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau:
n u ( x )  m v ( x )  ( n u ( x )  m ( x ))  ( m v ( x )  m ( x ))
, trong đó m( x ) � c .
m

n

x2  2x 1
3
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của x �1 2 x  2 là:
lim

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A. �.

B. 0 .
x3  3x 2  2
A  lim 2
x �1 x  4 x  3
Câu 2. Tìm giới hạn
:
B. �
x4  5x2  4
B  lim
x �2
x3  8
Câu 3. Tìm giới hạn
:
A. �

B. �
(1  3 x)3  (1  4 x)4
C  lim
x �0
x
Câu 4. Tìm giới hạn
:
A. �

A. �
Câu 5. Cho hàm số
A. �. .

f  x 

1
C. 2 .

D. �.

3
C. 2

D. 1

C.

B. �
x 3

C.

x 2  9 . Giá trị đúng của



1
6

D. 1



1
6

D. 25

lim f  x 

x �3

B. 0. .
C.
(1  x)(1  2 x)(1  3 x)  1
D  lim
x �0
x
Câu 6. Tìm giới hạn
:
B. �
xn  1
A  lim m
( m, n ��*)
x �0 x  1
Câu 7. Tìm giới hạn
:
A. �

B. �
n
1  ax  1
B  lim
(n  �*, a
x �0
x
Câu 8. Tìm giới hạn

C.

B. �
n
1  ax  1
A  lim m
x �0 1  bx  1
Câu 8. Tìm giới hạn
với ab �0 :



là:

6. .

D. �.

1
6

D. 6

n
C. m

A. �

A. �

Giới hạn – ĐS> 11

0)

:
a
C. n

am
C. bn

B. �
1  x 3 1  x 4 1   x 1
B  lim
x �0
x
Câu 9. Tìm giới hạn
với  �0 . :
  
B  
4 3 2
A. �
B. �
C.
A. �

Câu 10. Tìm giới hạn

A  lim
x �2

D. m  n

D.

D.

D.

1

n
a

1

am
bn

B

  
 
4 3 2

2 x  5x  2
x3  3 x  2 :
2

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

B. �
x 4  3x  2
B  lim 3
x �1 x  2 x  3
Câu 11. Tìm giới hạn
:
A. �

B. �
2x  3  x
C  lim 2
x �3 x  4 x  3
Câu 12. Tìm giới hạn
:
A. �

B. �
3
x  1 1
D  lim 4
x �0
2x  1 1 :
Câu 13. Tìm giới hạn
A. �

B. �
3
4x 1  x  2
E  lim 4
x �7
2x  2  2 :
Câu 14. Tìm giới hạn
A. �

1
C. 3

D. 1

1
C. 5

D. 1

C.



1
3

2
C. 3

8
A. �
B. �
C. 27
(2 x  1)(3 x  1)(4 x  1)  1
F  lim
x �0
x
Câu 15. Tìm giới hạn
:
9
A. �
B. �
C. 2
1  4x  3 1  6x
M  lim
x �0
x2
Câu 16.Tìm giới hạn
:
1
A. �
B. �
C. 3
Câu 17. Tìm giới hạn

N  lim
x �0

m

Giới hạn – ĐS> 11

D. 1

D. 1

D. 1

D. 1

D. 0

1  ax  1  bx
x
:
n

a b

C. m n

a b

D. m n

A. �

a b

C. m n

a b

D. m n

A. �

mn  n  m 
2
C.

mn  n  m 
2
D.

B. �
m
1  ax n 1  bx  1
G  lim
x �0
x
Câu 18. Tìm giới hạn
:
A. �

B. �
n
m
1  mx    1  nx 

V  lim
x �0
x2
Câu 19. Tìm giới hạn
:
B. �

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS> 11

 1  x   1  x  ... 1  x 
K  lim
3

Câu 20. Tìm giới hạn
A. �

Câu 21. Tìm giới hạn
A. �

 1 x

x �1

B. �


L  lim

n

1  x2  x

n 1

 
n

:
1
C. n !

1  x2  x

x

x �0

B. �
2 x2  5x  2
A  lim
x �2
x3  8
Câu 22. Tìm giới hạn
:
B. �
x 4  3x 2  2
B  lim 3
x �1 x  2 x  3
Câu 23. Tìm giới hạn
:
A. �

B. �
2x  3  3
C  lim 2
x �3 x  4 x  3
Câu 24. Tìm giới hạn
:
A. �



:
C. 2n

D. 0

1
C. 4

D. 0

C.



2
5

1
C. 6

B. �
3
x  1 1
D  lim
x �0
2x  1 1 :
Câu 25. Tìm giới hạn
A. �

1
A. �
B. �
C. 3
n (2 x  1)(3 x  1)(4 x  1)  1
F  lim
x �0
x
Câu 26. Tìm giới hạn
:
9
A. �
B. �
C. n

Câu 27. Tìm giới hạn

M  lim
x �0

D. 0

n

D. 0

D. 0

D. 0

D. 0

1  4x  3 1  6x
1  cos 3 x
:

A. �

4
C. 9

D. 0

A. �

2  an  bm 
mn
C.

D. 0

B. �
m
1  ax  n 1  bx
N  lim
x �0
1 x 1
Câu 28.Tìm giới hạn
:
B. �

V  lim
Câu 29.Tìm giới hạn

x �0

 1  mx 

n

  1  nx 

m

1  2 x  3 1  3x :

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A. �

Câu 30. Tìm giới hạn

2  an  bm 
mn
C.

B. �
1  x 1  3 x ... 1  n x
K  lim
n 1
x �1
 1  x2 





 



Giới hạn – ĐS> 11

D.

mn  n  m 

:

1
C. n !

D. 0

A. �

4
C. 3

D. 0

A. �

4
C. 3

2
D. 5

4
C. 3

D. 3

4
C. 3

D. 1

A. �

1
C. 2

D. 0

A. �

4
C. 3

D. 1

B. �
4x 1  3 2x 1
A  lim
x �0
x
Câu 31.Tìm giới hạn
:
A. �

B. �
4x  5  3
B  lim 3
x �1
5x  3  2 :
Câu 32.Tìm giới hạn

Câu 33.Tìm giới hạn

B. �
C  lim

x �1

4

2 x  3  3 2  3x
x  2 1
:

B. �
x x2
D  lim
x �2 x  3 3 x  2
Câu 34.Tìm giới hạn
:
A. �

B. �
1  2 x  3 1  3x
A  lim
x �0
x2
Câu 35.Tìm giới hạn
:
A. �

B. �
5  4x  3 7  6x
B  lim
x �1
x3  x 2  x  1 :
Câu 36.Tìm giới hạn
B. �

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

DẠNG 3:

Giới hạn – ĐS> 11


TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH �

Phương pháp:
P ( x)

x ��� Q ( x)
P
(
x
),
Q
(
x
)


L=
trong đó
, dạng này ta còn gọi là dạng vô định �.
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân
lượng liên hợp.
Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn:
lim x 2 k  �
lim x 2 k 1  � (�)
lim

+

x ��
( x ��)

lim

+
+

x ��
( x ��)

;

x � �
( x ��)

k
 0 (n  0; k �0)
xn

.

lim f ( x)  �( �) � lim

x � x0

Câu 1.

lim

x ��

.

x � x0

k
 0 ( k �0)
f ( x)
.

5
3 x  2 bằng:

A. 0 .

B. 1 .
x4  7
lim 4
Câu 2.Giá trị đúng của x �� x  1 là:
A. 1.
B. 1. .

C  lim

C. 7. .

D. �.

2 3
6
C.

D. 0

1
C. 3 .

D. 2 .

5x  x2  1 :

B. �

A. �

D. �.

2 x  3x 2  2

x ��

Câu 3.Tìm giới hạn

5
C. 3 .

2x 1
2
Câu 4. x �� 3  x bằng:
2

lim

A. 2 .

B.
f ( x) 



1
3.

x2  1
lim f ( x )
2 x 4  x 2  3 . Chọn kết quả đúng của x ��
:
2
B. 2 .
C. 0 .

Câu 5. Cho hàm số
1
A. 2 .
1  3x
lim
x ��
2 x 2  3 bằng:
Câu 6.
3 2
2

2 .
A.
B. 2 .

3 2
C. 2 .

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

D. �.

D.



2
2 .

Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

D  lim

1  x4  x6

3

1  x3  x 4 :

x ��

Câu 7.Tìm giới hạn

4
C. 3

B. �

A. �
Câu 8.Cho hàm số

x  x3
2 x 1

D. 1

x 1
lim f x
x  x 2  1 . Chọn kết quả đúng của x ��   :

f  x    x  2

A. 0 .

Giới hạn – ĐS> 11

4

1
B. 2 .

C. 1 .

1
B. 2 .

C. 1 .

D. Không tồn tại.

2

Câu 9.

lim

x �1

A. 3 .

bằng:
D. �.

x  8x
x  2 x 2  x  2 là:
24

C. 5 .
4

Câu 10.Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
21
21

A. 5 .
B. 5 .
Câu 12. Tìm giới hạn
A. �

E  lim ( x 2  x  1  x)
x � �

lim

x ��

3

:

B. �



C.

F  lim x( 4 x  1  x)

24
D. 5 .

1
2

D. 0

2

Câu 13.Tìm giới hạn
A. �

x ��

:
4
C. 3
lim 4 x5  3 x3  x  1

B. �





Câu 14.Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của x ��
A. �.
B. 0 .
C. 4 .

D. 0
là:
D. �.

lim x  x  x  x
Câu 15.Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của x ��
là:
A. �.
B. 0 .
C. 1 .
4

Câu 16.Tìm giới hạn
A. �
Câu 17.Tìm giới hạn
A. �
Câu 18.Tìm giới hạn
A. �



B  lim x  x 2  x  1
x ��

4
C. 3

M  lim ( x 2  3 x  1  x 2  x  1)
x ���

B. �
N  lim



x ��

8x  2x  2x
3

B. �

2

:

B. �

3

3

:

D. �.

D. 0

:

4
C. 3

D. Đáp án khác

4
C. 3

D. 0

SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com

Trang 25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×
x