Tải bản đầy đủ

Xây dựng nông thôn mới ở thị xã ba đồn, tỉnh quảng bình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
----------

LÊ THỊ THƢƠNG

CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ
TỔ HỢP TRONG CHƢƠNG TRÌNH TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
----------

LÊ THỊ THƢƠNG


CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ
TỔ HỢP TRONG CHƢƠNG TRÌNH TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Khoa học tự nhiên

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Nguyễn Thị Hƣơng Lan

SƠN LA, NĂM 2018


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình làm khóa luận, em đã tham khảo một số tài liệu liên quan
đến toán tổ hợp, trao đổi, lấy ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên lớp sƣ
phạm ngành Toán, của các giảng viên Toán ở trƣờng Đại học Tây Bắc, một số
giáo viên Toán ở trƣờng phổ thông, các bạn sinh viên chuyên ngành Toán và các
em học sinh trƣờng phổ thông. Đồng thời tổng kết kinh nghiệm từ thực tế qua
quá trình giảng dạy của thầy cô.
Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm khóa luận nhƣng do sự hạn chế
về thời gian và trình độ kiến thức nên bản khóa luận không tránh đƣợc những
thiếu sót, rất mong đƣợc sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Thị Hƣơng Lan đã tận tình
chỉ bảo, hƣớng dẫn và tạo điều kiện cho em trong quá trình thực hiện khóa luận.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong bộ môn Toán
(khoa Toán – Lý – Tin Trƣờng Đại học Tây Bắc), Trƣởng khoa thầy Hoàng
Ngọc Anh cùng bạn bè và ngƣời thân đã động viên, giúp đỡ em hoàn thành tốt
khóa luận.

Một lần nữa tác giả xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2018
Lê Thị Thƣơng


MỤC LỤC
TRANG
PHẦN 1: MỞ ĐẦU........................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 1


3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................... 2
3.1. Đối tƣợng nghiên cứu………………………………………………..1
3.2. Phạm vi nghiên cứu………………………………………………….1
4. Phƣơng pháp nghiên cứu…………………………………………………...2
5. Dự kiến đóng góp của khóa luận ................................................................ 2
6. Cấu trúc của khóa luận ............................................................................... 2
PHẦN 2: NỘI DUNG ....................................................................................... 3
Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp ............................................................... 3
1.1. Nhắc lại về tập hợp .............................................................................. 3
1.1.1. Tập hợp con .................................................................................. 3
1.1.2. Tập hợp sắp thứ tự ........................................................................ 3
1.1.3. Số phần tử của một số tập hợp ...................................................... 3
1.2. Quy tắc cộng và quy tắc nhân .............................................................. 4
1.2.1. Quy tắc cộng ................................................................................. 4
1.2.2. Quy tắc nhân ................................................................................. 4
1.3. Giai thừa và hoán vị ............................................................................. 5
1.3.1. Giai thừa ....................................................................................... 5
1.3.2. Hoán vị ......................................................................................... 5
1.4. Chỉnh hợp ........................................................................................... 6
1.5. Tổ hợp ................................................................................................. 6
1.6. Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp ............................... 6
1.6.1. Chỉnh hợp có lặp .......................................................................... 6
1.6.2. Hoán vị lặp ................................................................................... 7
1.6.3. Tổ hợp lặp ..................................................................................... 7
1.7. Nhị thức Newton ................................................................................ 7


1.7.1.Nhị thức Newton............................................................................ 7
1.7.2. Tam giác Pascal ........................................................................... 8
KẾT LUẬN CHƢƠNG I................................................................................ 8
Chƣơng II: Cách giải một số dạng toán đại số tổ hợp ..................................... 9
2.1. Bài toán tính toán, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức ..................... 9
2.2. Bài toán tính tổng ............................................................................. 12
2.2.1. Sử dụng công thức ..................................................................... 12
2.2.2. Sử dụng khai triển nhị thức Newton ........................................... 17
2.2.3. Sử dụng đạo hàm ........................................................................ 19
2.2.4. Sử dụng tích phân xác định ........................................................ 22
2.3. Bài toán giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình ..... 25
2.3.1. Giải phƣơng trình ........................................................................ 26
2.3.2. Giải bất phƣơng trình .................................................................. 28
2.3.3. Giải hệ bất phƣơng trình ............................................................. 30
2.4. Bài toán đếm ..................................................................................... 32
2.4.1. Bài toán lập số ........................................................................... 33
2.4.2. Bài toán chọn vật, chọn ngƣời, sắp xếp. ..................................... 36
2.4.3. Các bài toán khác ....................................................................... 39
2.5. Một số bài toán về chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp, tổ hợp có lặp ... 42
2.5.1. Bài toán về chỉnh hợp có lặp ...................................................... 42
2.5.2. Bài toán hoán vị có lặp ................................................................ 45
2.5.3. Bài toán tổ hợp có lặp ................................................................. 47
2.6. Các bài toán liên quan đến nhị thức .................................................. 48
2.6.1. Bài toán khai triển đa thức .......................................................... 48
2.6.2. Bài toán về hệ số trong khai triển đa thức .................................. 51
2.6.3. Bài toán tìm số hạng và số hạng có giá trị lớn nhất trong khai triển
nhị thức ................................................................................................ 57
2.6.4. Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp ................ 60
KẾT LUẬN CHƢƠNG II ............................................................................ 64
PHẦN 3: KẾT LUẬN .................................................................................... 65


TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 66

BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT
Các ký hiệu trong khóa luận là các ký hiệu thông dụng đƣợc dùng trong
sách giáo khoa:

Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Ank là số các chỉnh hợp có lặp của n phần tử.
BPT: Bất phƣơng trình

Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử.
Cnk là số các tổ hợp có lặp của n phần tử.
CMR: Chứng minh rằng.
CT: Công thức.

 n : phần nguyên của n.
Pn là số các hoán vị có lặp của n phần tử.
Pn là số các hoán vị của n phần tử.
: Điều phải chứng minh.
Trong khóa luận nếu không có điều kiện của n, m, p, k , x, y thì ta hiểu
chúng thuộc

.


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học đƣợc nghiên cứu từ khá sớm và ngày
càng đƣợc quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộ toán học cũng
nhƣ trong các nghành khoa học khác. Kết quả quan trọng của nó đánh dấu bởi
bài toán đếm số phân hoạch của Leonhard Euler. Trong toán học những kết quả
của nó đóng vai trò kiến thức nền tảng của giải tích, xác suất, thống kê, hình
học,…
Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học toán tổ hợp cũng rất quan
trọng bởi khi học tốt toán tổ hợp ngƣời học sẽ có năng lực sáng tạo và tƣ duy
nhạy bén để học tốt môn học khác cũng nhƣ các lĩnh vực khác trong cuộc sống.
Các bài toán đại số tổ hợp luôn là một nội dung quan trọng trong các đề thi đại
học và cao đẳng ở nƣớc ta, mặc dù mức độ không khó nhƣng các thí sinh thƣờng
gặp khó khăn khi giải các bài toán này. Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia,
thi toán sinh viên giữa các trƣờng đại học và cao đẳng, thi Olympic toán khu vực
và quốc tế các bài toán tổ hợp xuất hiện là một thử thách lớn cho các thí sinh.
Rất nhiều các bài toán hay và khó đƣợc giải một cách khá gọn và đẹp bằng cách
sử dụng các kiến thức về tổ hợp. Em là ngƣời rất yêu thích toán tổ hợp nhƣng
mới chỉ bết sơ qua về nó khi còn ngồi trên ghế nhà trƣờng phổ thông. Vì vậy em
lựa chọn đề tài: “CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP
TRONG CHƢƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’
2. Mục đích nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp từ đó xây dựng một cách có
hệ thống, có sáng tạo các bài toán đại số tổ hợp.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Các bài toán đại số tổ hợp ở chƣơng trình trung học phổ thông, về các định
nghĩa, các quy tắc, các dạng toán thƣờng gặp của học sinh.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Từ các nguồn tài liệu, giáo trình của các thầy, cô có nhiều kinh nghiệm, từ
kiến thức đã học đƣợc ở trƣờng trung học phổ thông và trƣờng đại học, em
nghiên cứu cấc bài toán đại số tổ hợp và các cách giải của chúng.

1


4. Phƣơng pháp nghiên cứu
a. Nghiên cứu tài liệu
b. Phân tích tổng hợp các kiến thức
c. Trao đổi thảo luận với giáo viên hƣớng dẫn
5. Dự kiến đóng góp của khóa luận
Trong khóa luận này em đã tổng kết và nêu ra một số cách giải các dạng
bài tập đại số tổ hợp. Tuy các dạng bài tập này không mới nhƣng khóa luận đã
hệ thống và mở rộng một số bài tập hay và khó là đóng góp nhỏ của khóa luận
6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, phần nội dung khóa luận đƣợc chia làm hai chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp
Chƣơng 2: Cách giải một số dạng toán đại số tổ hợp

2


PHẦN 2: NỘI DUNG
Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp
Chƣơng này sẽ nhắc lại một số lý thuyết về tập hợp và hệ thống lý thuyết
cơ bản của toán tổ hợp nhƣ: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton,.. Các
nội dung này cũng đƣợc giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ cơ bản,
nâng cao và hệ chuyên nghành toán.

1.1. Nhắc lại về tập hợp
1.1.1. Tập hợp con
Định nghĩa: Cho tập hợp A . Tập hợp B gọi là tập con của tập A khi mọi
phần tử của tập B đều thuộc A .

B  A   x, xB  x  A .
Tính chất: - Mọi tập hợp A đều có 2 tập con là  và A .
- Tập A có n phần tử thì số tập con của A là 2n .
1.1.2. Tập hợp sắp thứ tự
Một tập hợp hữu hạn có m phần tử đƣợc gọi là sắp thứ tự nếu với mỗi phần
tử của tập hợp đó ta cho tƣơng ứng một số tự nhiên từ 1 đến m , sao cho với
những phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau.
Khi đó bộ sắp thứ tự m phần tử là một dãy hữu hạn m phần tử và hai bộ
sắp thứ tự  a1, a2 ,..., am  và  b1, b2 ,..., bm  bằng nhau khi mọi phần tử tƣơng ứng
bằng nhau.

 a1, a2 ,..., am  =  b1, b2 ,..., bm   ai

= bi ( i  1,2,.., m. )

1.1.3. Số phần tử của một số tập hợp
Tập hợp A có hữu hạn phần tử thì số phần tử của A đƣợc kí hiệu là: │ A │
hoặc n  a  .

A, B, C là 3 tập hợp hữu hạn, khi đó:
│ A  B │= │ A │+│ B │-│ A  B │.

A  B  C │=│ A │+│ B │+│ C │-│ A  B │-│ B  C │-│ A  C │
+│ A  B  C │.
3


Tổng quát: Cho A1, A2 ,..., An là n tập hợp hữu hạn (n  1) .
Khi đó:
│ A1  … 
n

+



1i  k l  n

n

An │= 

i 1

Ai 

n



1i  k  n

Ai  Ak 

n 1
Ai  Ak  Al +…+ (1) A1  A2  ...  An .

(1)

1.2. Quy tắc cộng và quy tắc nhân
1.2.1. Quy tắc cộng
Giả sử có hai công việc:
Việc thứ nhất có thể làm bằng n cách,
Việc thứ hai có thể làm bằng m cách.
Và nếu hai việc này không thể làm đồng thời, khi đó sẽ có n  m cách
làm một trong hai việc trên.
Quy tắc cộng dạng tổng quát: Giả sử các công việc T1, T2 ,..., Tm có thể
làm tƣơng ứng bằng n1, n2 ,..., nm cách và giả sử không có hai việc nào có thể
làm đồng thời. Khi đó số cách làm một trong việc đó là: n1  n2  ...  nm .
Biểu diễn dƣới dạng tập hợp:
1. Nếu X , Y là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì:

X Y  X  Y
Nếu X1, X 2 ,..., X n là n tập hữu hạn, từng đôi một không giao nhau thì:

X1  X 2  ...  X n  X1  X 2  ...  X n
2. Nếu X , Y là hai tập hữu hạn và X  Y thì:

X Y\X Y  X
1.2.2. Quy tắc nhân
Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiện hai công việc nhỏ là
H1 và H 2 , trong đó:

H1 có thể làm bằng n1 cách,
4


H 2 có thể làm bằng n2 cách, sau khi đã hoàn thành công việc H1 .
Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n1.n2 cách.
Quy tắc nhân dạng tổng quát:
Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiện k công việc nhỏ là
H1 , H 2 ,…, H k trong đó:

H1 có thể làm bằng n1 cách.
H 2 có thể làm bằng n2 cách, sau khi đã hoàn thành công việc H1 .


H k có thể làm bằng nk cách, sau khi đã hoàn thành công việc H k 1 .
Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n1.n2...nk cách.
Biểu diễn dƣới dạng tập hợp:
Nếu A1, A2 ,..., An là n tập hợp hữu hạn  n 1 , khi đó số phần tử của tích
đề các các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần.
Để liên hệ với quy tắc nhân hãy nhớ là việc chọn một phần tử của tích đề
các A1  A2  ...  An đƣợc tiến hành bằng cách chọn lần lƣợt một phần tử của A1 ,
một phần tử của A2 ,…, một phần tử của An . Theo quy tắc nhân ta nhận đƣợc
đẳng thức: A1  A2  ...  An  A1 . A2 ... An .

1.3. Giai thừa và hoán vị
1.3.1. Giai thừa
Định nghĩa: Giai thừa n , kí hiệu là n ! là tích của n số tự nhiên liên tiếp từ
1 đến n .

n!  1.2.3. n  1. n  , n , n >1.
Quy ƣớc: 0! 1

1!1

.

1.3.2. Hoán vị
Định nghĩa: Cho tập hợp A , gồm n phần tử (n  1) . Một cách sắp thứ tự

n phần tử của tập hợp A đƣợc gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử.
5


Pn  n!  1.2 n  1.n

1.4. Chỉnh hợp
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) . Kết quả của việc lấy k
phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự
nào đó đƣợc gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu: Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Công thức: Ank =

n!
= n. n  1 n  k  1 (với 1  k  n ).
(n  k )!

Chú ý: Một chỉnh hợp n chập n đƣợc gọi là một hoán vị của n phần tử.

Ann  Pn  n!.

1.5. Tổ hợp
Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử ( n  1). Mỗi tập con gồm k phần tử
của A đƣợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (1  k  n ).
Kí hiệu: C kn (1  k  n ) là số các tổ hợp chập k của n phần tử.
n!
Công thức: C kn =
k !(n  k )!
Chú ý:

0

C n = 0.
k
nk
(0  k  n).
Cn  Cn
k
k 1
k 1
C n + C n = C n 1 (1  k  n ).

1.6. Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp
1.6.1. Chỉnh hợp có lặp
Định nghĩa: Cho n vật a, b, c,..., l . Một chỉnh hợp chập p có lặp lại gọi tắt
là chỉnh hợp lặp của n vật đó là một dãy thứ tự gồm p phần tử trong đó mỗi
phần tử có thể lặp lại nhiều lần.
Chú ý:
 Số các chỉnh hợp lặp chập p của n phần tử là n p .
 Nhƣ vậy chỉnh hợp có lặp lại là khi giữa các phần tử yếu tố thứ tự là cốt
lõi, còn yếu tố khác biệt không quan trọng.

6


1.6.2. Hoán vị lặp
Cho một tập hợp gồm n vật, trong đó có a vật loại A giống nhau, b vật
loại B giống nhau,…, l vật loại L giống nhau. Với n  a  b  l , khi đó
n!
số cách hoán vị thực sự khác nhau là: P n =

a !b!...l !
1.6.3. Tổ hợp lặp
Cho n vật a, b, , l . Một tổ hợp chập p có lặp lại gọi tắt là tổ hợp lặp
của n vật đó là một nhóm (không thứ tự) gồm p vật, trong đó mỗi vật có thể
lặp lại nhiều lần.
Kí hiệu:

p
C n là số tổ hợp có lặp chập n của p phần tử.

Chú ý:
 Số tổ hợp có lặp lại n chập p là

p
n 1
p
C n = C n  p 1 = C n p 1 .

 Tổ hợp có lặp lại khi một phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự
của các phần tử không cần để ý.

1.7. Nhị thức Newton
1.7.1.Nhị thức Newton
n

n
(a b)   C kn a nk b k đƣợc gọi là công thức nhị thức Newton.
k 0

Hệ quả:

(1 x)n  C 0n  C1nx  C n2 x 2  ...  (1)nC nn x n .
Chú ý:
- Số các số hạng của sự khai triển (a  1)n là n  1.
- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng của sự khai triển bằng số
mũ n .
- Số hạng tổng quát Tk 1 của khai triển là

Tk 1  Cnk a nk bk

(k  0,1,..., n) .

- Các hệ số nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau do

Cnk  Cnn k ( 0  k  n ).
7


1.7.2. Tam giác Pascal
Các hệ số của khai triển Newton của nhị thức (a  b)n có thể đƣợc sắp
xếp thành tam giác sau đây (gọi là tam giác Pascal).

n0

1

n 1

1

n2

1

n3
1

n5

1





Nhƣ vậy

2

1

n4

1

3
4

1
3

6

5

10

1
4

10

1
5

1

k
k 1
k 1
C n + C n = C n 1 (1  k  n) đƣợc gọi là hệ thức Pascal.

KẾT LUẬN CHƢƠNG I
Chƣơng này tập trung trình bày lý thuyết về tổ hợp và một số lý thuyết về
tập hợp làm cơ sở để phân dạng và giải các bài toán đại số tổ hợp.

8


Chƣơng II: Cách giải một số dạng toán đại số tổ hợp
Chƣơng I đã trình bày lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp. Dựa trên cơ sở lý
thuyết đó trong chƣơng này khóa luận sẽ tập trung trình bày các dạng bài toán
đại số tổ hợp. Ở mỗi dạng khóa luận đã đƣa ra những phƣơng pháp, những chú ý
khi làm các bài tập và khóa luận cũng đƣa ra hệ thống các bài tập đặc trƣng cho
từng dạng.

2.1. Bài toán tính toán, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
Trong phần này tùy thuộc vào các bài toán cụ thể mà ta lựa chọn các
phƣơng pháp thích hợp nhƣ:
 Sử dụng các công thức, các quan hệ giữa các đại lƣợng tổ hợp.
 Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức.
 Sử dụng quy nạp toán học.
 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
2n

 n1 
Bài 1: CMR: n  (1.2...n)  
 , với n  , n >2.
 2 
n

2

Giải:
Ta có (1.2...n) 2 = 1.n  2  n  1 k  n  k  1 n.1 .
Mà k  n  k  1  n , với n, k  , n  k  0 .
Áp dụng cho k  1, 2, , n , ta có:

1.n  n,
2.(n  1)  n,

...
n.1  n .

 1.n  2  n  1 k  n  k  1 n.1  nn . (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
2

2

 k  nk 1  n1 
k (n  k  1)  

 .
2

  2 
9


Áp dụng cho k  1, 2,, n ta có:
2

 n 1 
1.n  
 ,
 2 
2

 n1 
2.(n  1)  
 ,
 2 

2

 n 1 
n.1  
 .
 2 
2n

 n1 
 1.n   2  n  1    k  n  k  1  n.1  
 . (2)
 2 
Từ (1), (2)

2n

n1 

 , với n  , n  2 .
 2 

 n n  (1.2...n) 2  

n
Bài 2: CMR: n!  
e

n

(với n  ).

Giải:
* n  1 thì 1!

1
(đúng).
e
k

k
* Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k , tức là : k! >   (với k  ).
e
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k  1.
k

k
k 1
 k  1!   k  1 k !   k  1     
e  e 
 k 1 


 e 
n
Vậy n!   
e

n

k 1

k 1

k

 k 

e
 k 1 
k

 k 
( do 
 e  1)
 k 1 

với n  .

Bài 3: Chứng minh C2nn k C2nnk  (C2nn )2 (với 0  k  n ; n, k 
Giải:
10

).


 i  0, 1,

Đặt ui  C n2n iC n2n i

2, , n  .

Ta chứng minh ( ui ) là dãy giảm.
Thật vậy i  1 thì:

u i  u i 1
 C n2n iC n2n i  C n2n i 1C n2n i 1


 2n  i  n  i  1   2n  i  1 n  i



 2i  1 .n  0 (đúng)

 u k  u k 1  ...  u 0
 C n2n k C 2nnk  C 2nnC 2nn  (C2nn )2 .
Bài 4: Cho 2  n 

*

n

. CMR:

 Cni
i 0

 2n  2 

 n  1 



n 1

(1)

Giải:
1

 22  2 
Với n  2 thì bất đẳng thức có dạng: C20C21  
 2  2 (luôn
 2  1 


đúng).
Với n  2
Do Cn0  Cnn  1.

 (1) 


n 1

 Cni
i 1

 2n  2 

 n  1 



n 1

n 1  Cni
i 1

n 1

,

2n  2

.
n 1

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :
n

n 1

n 1  Cni
i 1



C1n

 Cn2

 ...  Cnn 1

n 1

11

 Cni  2

 i 0
n 1



2n  2
.
n 1


Vậy

n

 Cni
i 0

 2n  2 

 n  1 



n 1

( 2  n  * ).

n  2
Dấu ‘=’ xảy ra  C1n  Cn2  ...  Cnn1  
n  3
Bài tập tự giải :
Bài 1: CMR : Pk An21An23 An25  n.k ! An55 .
Bài 2: CMR: n!  2n 1 (3  n  ) .
n

 1
Bài 3: 2  n  . Chứng minh: 2  1    3 .
 n
Bài 4: (Đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ khối B, 2008)
CMR:

n 1  1
1  1
 k  k 1   k (n, k 
n  2  Cn 1 Cn 1  Cn

Bài 5: CMR: (n  1)(n  2)...2n, n 

*

, k  n) .

chia hết cho tích số 1.3...(2n  1) .

2.2. Bài toán tính tổng
Các bài toán tổng tổ hợp rất đa dạng và nhiều cách giải. Khóa luận chia ra
làm 4 phƣơng pháp tính: Sử dụng công thức, sử dụng đạo hàm, sử dụng tích
phân, sử dụng công thức nhị thức Newton.
2.2.1. Sử dụng công thức
Trong phần này ta sử dụng các công thức và các phép biến đổi linh hoạt
trên nó để tính tổng tổ hợp nhƣ:

CT1: Cnk  Cnn k .
CT 2 : Cnk  Cnk 1  Cnk11.

CT 3: k .Cnk  n.Cnk11,

(CT3.1)

k(k-1)Cnk  n(n  1).Cnk22 , (CT3.2)
….
m

m

i o

i o

1)
Tổng quát:  (k  i)Cnk   (n  i)Cnk((mm1)
(với 0  m  k  1).

12


CT4:

1
1
Cnk 
Cnk11 ,
k 1
n 1
1
1
Cnk 
Cnk22 ,
(k  1)(k  2)
(n  1)(n  2)


Tổng quát:

1
1
Cnk 
Cnkmm
(k  1)(k  2)...(k  m)
(n  1)...(n  m)

(với 1  m  ).
Bài 1: Tính So 

2012

n

i 1110

i m

 Ci1110 . Tổng quát: Tính S   Cim .

Giải:
Theo CT1 ta có:
2012

0
1
2
902
So   Cii 1110  C1110
 C1111
 C1112
 ...  C2012
i 1110

0
1
2
902
 C1111
 C1111
 C1112
...  C2012
1
2
902
 C1112
 C1112
...  C2012

 ....
902
 C2013
 C1111
2013.

Tổng quát:
n

S 

i m

Cim

n

  Cii  m
i m

0
1
nm
 Cm
 Cm
1  ...Cn
0
1
nm
 Cm
1  Cm 1  ...Cn

2
nm
 C1m 2  Cm
 2  ...Cn

 ...
 Cnn1m  Cnm11 .
Vậy S 

n

 Cim  Cnm11 .

i m

13

(Theo CT2)


2012

Bài 2: Tính



i 1110

iCi1110 .

Tổng quát: S 

n

 iCim .

i m

Giải:
Theo CT3.1 ta có:
2012

1110
1110
 1111C1111
 ...  2012C1110
 iCi1110  1110C1110
2012

i 1110

1110
1110
1110
 (1111  1)C1110
 (1112  1)C1111
 ...  (2013  1)C2012
1110
1110
1110
1110
 (1111C1110
 ...  2013C2012
)  (C1110
 ...  C2012
)
0
1
902
0
902
 1111(C1111
 C1111
 ...  C2013
)  (C1111
 ...  C2012
)
902
902
 1111C2014
 C2013

 1111

2014!
2013!

902!1112! 902!1111!

1111.2014
2013!
(
 1)
1112
902!.1111!

Tổng quát: S 

2236442 1111
C2013 .
1112
n

 iCim .

i m

m
m
m
S  mCm
 ( m  1)Cm
1  ...  nCn
m
m
m
 (m  1  1)Cm
 (m  2  1)Cm
1  ...(n  1  1)Cn
m1
m1
0
  m  1 Cm
 (m  1)Cm
...  (m  1)Cnm11   (Cm
 ...  Cnnm )

1

2



 (m  1)(C0m 1  C1m  2  ...  Cnn 1m )  (C0m 1  C1m 1  ...Cnn  m )
 (m  1)(C0m  2  C1m  2  ...  Cnn 1m )  Cnn 1m
 (m  1)Cnn2m  Cnn1m
 (m  1)

(n  2)!
(n  1)!

(n  m)!(m  2)! (n  m)!(m  1)!

14


(n  1)!
 (m  1)(n  2) 

 1
m2

 (n  m)!(m  1)!


m.n  m  n m 1
Cn 1 .
m2

Bài 3: Tính S 

2012

n

i 1110

i m

 i(i  1)Ci1110 . Tổng quát tính S   i(i  1)Cim .

Giải:
Áp dụng CT3.2 ta có:
2012

S   (i  2  2)(i  1)Ci1110
i 1110
2012

2012

i 1110

i 1110

  (i  2)(i  1)Ci1110  2  (i  1)Ci1110
2012

2012

i 1110

i 1110

2014

2013

i 1112

i 1111

1111
  1111.1112.Ci1112
 2  2  1111.Ci 1

  1111.1112.Ci1112  2  1111.Ci1111
2014

 1111.1112 

Cii 1112

i 1112
 1111.1112.C1113
2015

2013

 2.1111  Cii 1111
i 1111

 2.1111.C1112
2014

 1111.2238454  1112

 C2014
1113


2486922394 1112

C2014 .
1113
Tổng quát:
n

n

i m
n

i m

S   i (i  1)Cim   (i  2  2)(i  1)Cim
n

  (i  1)(i  2)Cim  2  (i  1)Cim
i m

i m

n

n

i m

i m

  (m  2)(m  1)Cim2 2  2  (m  1)Cim11
15


n

 (m  2)(m  1) 

i m

Cim2 2

n

 2(m  1)  Cim11
i m

n2

n 1

i m 2

i  m 1

 (m  2)(m  1)  Cim  2  2(m  1)  Cim 1

 (m  2)(m  1)Cnm33  2(m  1)Cnm22



(m  1)(m.n  2n  m) m 2
Cn  2 .
m3

n
Cnk
Bài 4: Tính S0  
 Tổng quát tính S  
k 0
k 0 k  1

Cnk

n

m



 (k  i)

i 1

Giải:
Áp dụng CT4 ta có:

Cnk
1 n k 1

 Cn1
k

1
n

1
k 0
k 0
n

S0  



1 n 1 k
1
Cn01
 Cn 1 
n  1 k 0
n 1



1 n 1
1
2 
n 1
n 1



2n 1  1
.
n 1

Tổng quát:
n

Cnk

k 0

 (k  i )

S 

m

n

1

k 0

 (n  i )

 

i 1

m

Cnkmm

i 1



1
m

n m

 Cnk m 

 (n  i) k 0

i 1



1
m

2m  n 

 (n  i )

1
m

i 1

1
m

i 1

16

 Cnk m

 (n  i) k 0

 (n  i )

i 1

m 1

2m 1


1



(2m  n  2m 1) .

m

 (n  i )

i 1

Bài tập tự giải
n

n

i 1

i 1

Bài 1: Tính tổng S1   i (i  1) và S2   i (i  1)(i  2) .
Bài 2: Tính tổng S 

2011

k
2011 k
C2012
 C2012
 k và tổng quát bài toán.

k 0

Bài 3:Tính

S0  C1n

2

Cn2
C1n

3

Cn3
Cn2

 ....  p

Cnp

Cnp 1

 ...  n

Cnn

Cnn 1

n

 k
k 1

Cnk

Cnk 1



2.2.2. Sử dụng khai triển nhị thức Newton
Sử dụng các khai triển nhị thức thích hợp sẽ cho ta lời giải ngắn gọn cho
các bài toán tính tổng tổ hợp.
Chú ý: Ta thƣờng sử dụng các khai triển:

1  x  
n

n

k
 Cnk  1 x k

k 0

1  x n 

n k k
 Cn x
k 0

 a  x n 

n nk k k
Cn x
 a
k 0

...

m
k
Bài 1: Tính   1 Cn2k
k 0

n
với m, k , n  , m    .
2

Giải:

n
n
Ta có 1  x    Cnk x k .
k 1
Chọn x  i , ta có:

17


p 1
n
 1
n
k
m 2m 
0
2
3
p
k


C

C

...

1
C

i
C

C

...


1
C
1

i

C
i
  2 n 
   n    n n   n   n n
k 1



(với p là số lẻ lớn nhất nhỏ hơn n).
Theo định lý Moivre ta có:

n
n
2  cos
 i sin
4
4

n

p 1
 1

3
5
p

S

i
C

C

C

...


1
C
2




n
n
n  .
 n




n
n
Đồng nhất 2 vế  S  2 cos
4
Và C1n  Cn3  Cn5  ...   1

p 1
p
2 Cn

n
n
.
 2 sin
4

m
Bài 2: Tính S   Cn4k với 4m  n  4  m  1 .
k 0
Giải:

m
n
n
k
Theo bài 1 ta có:   1 Cn2k  2 cos
(1).
4
k 0
Với 2i  n  2  i  1

1  x n 

n k k
 Cn x .
k 0

n
Cho x  1   Cnk  2n (*) ,
k 0
n
k
x  1    1 Cnk  0 (**) .
k 0
j
j
2
i
n

1
  Cn  2
(2) (với 2 j  n  2  j 1 ) và  Cn2i 1  2n1 (3)
i 0
i 0
(với 2 j  1  n  2 j  3 ).
(1) + (2) ta có :

m 4k
n2 

S 1  Cn  2
k 0

18

 
2

n2

cos

n

4


p
Bài 3: Tính S   Cn4k 1 , với 4 p  1  n  4 p  5 .
k 0
Giải:

j
Theo (3) của bài 3 có  Cn2i 1  2n1 (4).
i 0
j
n
n
i
Theo bài 1 ta có :  Cn2i 1  1  2 sin
(5).
4
i 0
p
n2
n
(4)  (5)   Cn4k 1  2n2  2
sin
4
k 0
4P  1  n  4P  5 ).

(với

Bài tập tự giải :

1
1
1
1

 ... 


1!2011! 3!2009!
2009!3! 2011!1!

Bài 1: Tính S 
Bài 2: Tính S 

2012

2i
.
 C4024

i 1
k

 (1)i Cni Cnkii (n, k 

Bài 3: Tính S 



,1  k  n) .

i 0
n

Bài 4: Tính S 

 (1)i (Cni )2 .

i 0

2.2.3. Sử dụng đạo hàm
Từ (a  bx)n 

n

 Cnk (bx)k a n k (a, b ) ,

k 0

Sử dụng đạo hàm cấp 1 , cấp 2 .... cấp n hai vế một cách thích hợp để
tính các tổng tổ hợp.
Bài 1: Tính S1 

n

 k .Cnk .

k 1

Giải:

19


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×