Tải bản đầy đủ

Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert ( Luận văn thạc sĩ)

đại học tháI nguyên
TRNG I HC KHOA HC
-----------

Lý minh thùy

Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn
trong không gian hilbert

luận văn thạc sĩ toán học

TháI nguyên, 2014


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1 Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn

6

1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2

Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động . . .

15


Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4

2 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn

19

2.1

Phương pháp lặp Mann-Halpern cải biên . . . . . . . .

19

2.2

Điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn . . . .

26

2.3

Phương pháp lai ghép thu hẹp . . . . . . . . . . . . . .

33

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Đỗ Văn Lưu. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn về sự tận tâm và nhiệt tình của Thầy trong
suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông
tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các Thầy Cô trong
Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức
phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Từ đáy lòng
mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo,
Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã
quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn
vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt
nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả

Lý Minh Thùy

2


DANH MỤC KÝ HIỆU
X

Không gian Banach thực

H

Không gian Hilbert thực



Tập rỗng

∀x

Với mọi x

∃x

Tồn tại x

D(T )

Miền xác định của toán tử T

Fix(T )

Tập các điểm bất động của toán tử T

xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x
xn

x Dãy {xn } hội tụ yếu tới x

3


MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác
nhau của toán học như giải tích số, phương trình vi phân, phương
trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, bài toán
chấp nhận lồi, bài toán cân bằng . . . .
Cho H là một không gian Hilbert thực;C là một tập con lồi,đóng,khác
rỗng của H; T : C → H là một ánh xạ phi tuyến. Điểm x∗ ∈ C thỏa
mãn T x∗ = x∗ gọi là điểm bất động của ánh xạ T . Trong nhiều trường
hợp, việc giải một phương trình được đưa về bài toán tìm điểm bất
động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn nghiệm của phương trình
toán tử Ax = f , ở đây A : H → H là một ánh xạ phi tuyến, f
là phần tử thuộc H, là điểm bất động của ánh xạ S xác định bởi
Sx = Ax + x − f với x ∈ H.
Lý thuyết điểm bất động và vấn đề xấp xỉ điểm bất động là vấn đề
thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu.
Mục đích của đề tài luận văn này nhằm trình bày một số kết quả
mới đây của Giáo sư Nguyễn Bường về xấp xỉ điểm bất động của ánh
xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương
1 trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, bài toán
điểm bất động và một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh
xạ.
Trong chương 2, chúng tôi trình bày phương pháp xấp xỉ điểm bất
động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
4


Đóng góp chính của chúng tôi trong luận văn là đọc, dịch, tổng hợp
kiến thức trong các tài liệu [2] và [3]. Toàn bộ phần chứng minh các
định lý trong chương 2 được chúng tôi làm rõ từ các kết quả nghiên
cứu đã công bố trong [2] và [3].

5


Chương 1

Bài toán điểm bất động của ánh
xạ không giãn
Trong chương này, trước hết chúng tôi giới thiệu về không gian
Hilbert thực, ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert nhằm trang
bị những kiến thức cần thiết cho việc trình bày phương pháp xấp xỉ
điểm bất động của ánh xạ không giãn. Tiếp đó, chúng tôi trình bày về
bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn và một số phương pháp
lặp cổ điển giải bài toán này như phương pháp lặp Mann, phương pháp
lặp Ishikawa và phương pháp lặp Halpern. Các kiến thức của chương
này được tham khảo trong các tài liệu [1]-[7].
1.1

Không gian Hilbert

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số kết quả về
không gian Hilbert thực H.
Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một
tích vô hướng trong H là một ánh xạ, ký hiệu ·, · : H × H → R thỏa
mãn các điều kiện sau:
6


i) x, x > 0,

∀x = 0, x, x = 0 ⇔ x = 0;

ii) x, y = y, x ,

∀x, y ∈ H;

iii) αx, y = α x, y ,

∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R;

iv) x + y, z = x, z + y, z ,

∀x, y, z ∈ H.

Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ·, · được gọi là
không gian tiền Hilbert.
Nhận xét 1.1. i) Không gian tiền Hilbert là một không gian định
chuẩn với chuẩn:
1

||x|| = x, x 2 ,

∀x ∈ H.

ii) Đẳng thức hình bình hành luôn thỏa mãn trong không gian tiền
Hilbert H:
||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ),

∀x, y ∈ H.

Ngược lại, nếu không gian định chuẩn X có chuẩn thỏa mãn đẳng
thức hình bình hành thì trên đó ta có thể xây dựng một tích vô hướng
1
x, y = (||x + y||2 − ||x − y||2 ),
4

∀x, y ∈ X.

Khi đó X trở thành không gian tiền Hilbert.
iii) Trong không gian tiền Hilbert H bất đẳng thức Schwarz luôn
thỏa mãn:
| x, y | ≤ ||x||.||y||,

∀x, y ∈ H.

Định nghĩa 1.2. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không
gian Hilbert.
Ví dụ 1.1. Các không gian Rn , L2 [a, b] là các không gian Hilbert với
7


tích vô hướng được xác định tương ứng là:
n

xi yi , x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn ;

x, y =
i=1
b

x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ L2 [a, b].

x, y =
a

Định nghĩa 1.3. Dãy {xn }∞
n=1 trong không gian Hilbert H được gọi
là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu n→∞
lim xn , y = x, y , với mọi
y ∈ H.
Định nghĩa 1.4. Tập hợp C ⊂ H được gọi là lồi nếu
∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C.
Ví dụ 1.2. Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng,
đường thẳng, tam giác, hình cầu là các tập lồi.
Định nghĩa 1.5. Tập C ⊂ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy hội
tụ {xn } ⊂ C đều có giới hạn thuộc C, tức là



∀{xn } ⊂ C : xn → x ⇒ x ∈ C.
Ví dụ 1.3. Hình cầu đóng B(x, r) tâm x, bán kính r là tập đóng.
Bổ đề 1.1. Giả sử H là không gian Hilbert thực, C là một tập con
lồi, đóng trong H và các điểm x, y, z ∈ H. Với một số thực a bất kỳ,
tập hợp


v ∈C : y−v

2

≤ x−v

là tập lồi đóng trong H.

8

2


+ z, v + a


1.2

Ánh xạ không giãn

Cho H là không gian Hilbert thực, T : H → H là một ánh xạ với
miền xác định là D(T ), miền giá trị là R(T ).
Định nghĩa 1.6. Ánh xạ T : H → H được gọi là liên tục Lipschitz
nếu tồn tại một hằng số L > 0 thỏa mãn
Tx − Ty ≤ L x − y ,

∀x, y ∈ D(T ).

(1.1)

Số L được gọi là hằng số Lipschitz của T .
Nếu L < 1 thì T là ánh xạ co và nếu L = 1 thì T là ánh xạ không
giãn, nghĩa là:
Tx − Ty ≤ x − y ,

∀x, y ∈ D(T ).

(1.2)

Sau đây là khái niệm và một số tính chất của phép chiếu mêtric.
Định nghĩa 1.7. Cho C là một tập con lồi ,đóng của không gian
Hilbert thực H, phép chiếu mêtric PC từ H lên C cho tương ứng mỗi
x ∈ H với phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn
x − PC (x) ≤ x − y

với mọi y ∈ C.

Bổ đề 1.2. Cho C là tập con lồi, đóng trong không gian Hilbert thực
H, với bất kì x ∈ H, tồn tại duy nhất z ∈ C sao cho ||z−x|| ≤ ||y−x||,
với mọi y ∈ C và z = PC (x) nếu và chỉ nếu z − x, y − z ≥ 0, với
mọi y ∈ C
Định lý 1.1. Nếu C là một tập con lồi ,đóng , khác rỗng trong không
gian Hilbert H thì tồn tại một phần tử duy nhất x0 của C sao cho
x0 ≤ x

với mọi x ∈ C.
9


Chứng minh. Áp dụng đẳng thức hình bình hành ta có
x+y

2

+ x−y

2

=2

x

2

+ y

2

với mọi x, y ∈ C.

Do đó
x+y 2
x−y =2 x + y
−4
(1.3)
2
x+y
x+y
Đặt d = inf x . Vì C là một tập lồi nên
∈ C. Do đó

x∈C
2
2
d. Từ đó và từ đẳng thức (1.3) suy ra
2

x−y

2

2

≤2 x

2

2

+2 y

2

− 4d2 .

(1.4)

Nếu x = d và y = d thì từ (1.4) suy ra x = y. Do đó phần tử x0
nói trong định lý, nếu tồn tại, là duy nhất. Do định nghĩa của d, tồn
tại một dãy phần tử xn của C sao cho n→∞
lim xn = d. Theo (1.4), với
mọi n ta có
xn − xm

2

≤ 2 xn

2

+ 2 yn

2

− 4d2 .

Do đó m,n→∞
lim ||xn − xm || = 0. Vậy {xn } là một dãy Cauchy. Vì H là
không gian đầy đủ nên dãy xn hội tụ đến x0 ∈ H. Do C là một tập
đóng trong H nên x0 ∈ C. Ngoài ra, x0 = n→∞
lim xn = d.
Mệnh đề 1.1. Cho C là một tập con lồi ,đóng ,khác rỗng của không
gian Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó những
điều sau thỏa mãn:
(i) PC (PC (x)) = PC (x) với mọi x ∈ H;
(ii) PC là ánh xạ đơn điệu mạnh, nghĩa là:
x − y, PC (x) − PC (y) ≥ PC (x) − PC (y) 2 ,
10

∀x, y ∈ H;


(iii) PC là ánh xạ không giãn, nghĩa là :
PC (x) − PC (y) ≤ x − y ,

∀x, y ∈ H;

(iv) PC là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là
PC (x) − PC (y) , x − y ≥ 0,
(v) xn

∀x, y ∈ H;

x0 và PC (xn ) → y0 ⇒ PC (x0 ) = y0 .

Chứng minh. (i) Giả sử rằng PC (x) ∈ C với mọi x ∈ H và PC (z) = z
với mọi z ∈ C, khi đó PC (PC (x)) = PC (x) với mọi x ∈ H.
(ii) Với mọi x, y ∈ H, ta có
x − PC (x) , PC (x) − PC (y) ≥ 0

y − PC (y) , PC (x) − PC (y) ≥ 0.
Điều đó kéo theo
x − y, PC (x) − PC (y) ≥ PC (x) − PC (y) 2 .
(iii) là hệ quả trực tiếp của (ii).
(iv) được suy ra từ (ii).
(v) Từ Bổ đề 1.2 ta có:
xn − PC (xn ), PC (xn ) − z ≥ 0 với mọi z ∈ C.
Vì xn

x0 và PC (xn ) → y0 , nên
x0 − y0 , y0 − z ≥ 0 với mọi z ∈ C.

11


Luận vận đậy đu ở file:Luận vận Full














Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×