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Về định lí điểm bất động cho ánh xạ giữa các không gian g metric đầy đủ ( Luận văn thạc sĩ)


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Gẹ ỉệ

í é ề ề
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ễ ửẹ ỉ ề ỉệểề


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ỉ ễ é ẹ é ề ề ỉ
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ểX é ẹ ỉỉ ễ
ệ ề ự ữ R+ é ỉ ễ ễ ì ỉ
ề ẹ ỉ ẹ
d : X ì X ì X R+
é ẹ ỉ

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à


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ú

ữề ì



ễ ửẹ ễ ề ữỉ x, y X, ỉ ề ỉ z X ì ể

d(x, y, z) = 0.
d(x, y, z) = 0 ềụ
ỉệểề
ửẹ x, y, z X ỉệ ề ề
d(x, y, z) = d(x, z, y) = d(y, z, x) ẹ x, y, z X.
d(x, y, z) d(x, y, a) + d(x, a, z) + d(a, y, z),
ẹ x, y, z, a X.

d

2ẹ ỉệ

é ẹ ỉ 2ẹ ỉệ
ỉệũề X á
ễ (X, G)

ẵẵ

é ẹ ỉ



ữề ỉự
ể X = R2 , ẹ x, y, z X á ỉ d(x, y, z) é
2
ỉ ẹ

ỷề é x, y, z.
d ì é ẹ ỉ 2ẹ ỉệ
ỉệũề R .
ặ ẹ ẵ ắá
à
ỉ ữ
ề ữẹ Dẹ ỉệ
ĩ ỉ ẹ

D : X ì X ì X R+


é ẹ ỉ Dẹ ỉệ
ềụ ề ỉ
ẹ ề ỉ ũẹ

ú ữề ì

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ẻự

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à


ẵắ



ẹ ề


ú

ữề àá

D(x, y, z) = 0


x = y = z,
D(x, y, z) D(x, z, z) + D(z, y, y), ẹ
ể X = R2 ,
ỷề é x, y, z.
ể (X, d) é ẹ ỉ



à ỉ

x, y, z X.

x, y, z X á ỉ d(x, y, z) é
ỉ ẹ
d ì é ẹ ỉ Dẹ ỉệ
ỉệũề R2 .


ề ẹ ỉệ





1
(Es) Ds (d)(x, y, z) = [d(x, y) + d(y, z) + d(x, z)]
3
(Em) Dm (d)(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)}
é

Dẹ ỉệ

ề ề ỳ ẵẵ

é ẹ ỉ

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à



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ẻự



à

G
Gẹ



ẹ ề



ệ ề


G : X ì X ì X R+

G(x, y, z) = 0 ềụ x = y = z,
0 < G(x, x, y), ẹ x, y X, x = y,
G(x, x, y) G(x, y, z), ẹ x, y, z X, z = y,
G(x, y, z) = G(x, z, y) = G(y, z, x) = . . . ,
èựề
ĩ ề

ụề ì à ,
G(x, y, z) G(x, a, a) + G(a, y, z), ẹ x, y, z, a X
ỉ ề ỉ
ứề
ề ỉà

ỉệ

é ẹ ỉ Gẹ ỉệ
ỉệũề X á
ễ (X, G)
ề ề Gẹ ỉệ
(X, G)
é





à


ề Gẹ ỉệ
á



ểX é ẹ ỉỉ ễ



G(x, y, y) = G(x, x, y),





é ẹ ỉ

ĩề

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x, y X.

ề ẹề


ề 2ẹ ỉệ
é ẹ ỉ

ề Dẹ ỉệ

ề é ẹ ỉ

ề Gẹ ỉệ

ẹ G : R3 R+ ĩ



G(x, y, z) = |x y| + |y z| + |z x|

ẹ x, y, z R. ừ ề
ề ẹ ề
G é ẹ ỉ Gẹ ỉệ
ỉệũề R (R, G) é ẹ ỉ

ề Gẹ ỉệ
ĩ ề

ĩ ề


½º½º¾º Å Ø × ØùÒ
Ø
Ò

ØùÒ
ú º

Ø× Ù

Ý

Ò

Ñ Ø G−Ñ ØÖ
õ

Å÷Ò ó ½º½º Ó (X, G) Ð Ñ Ø
x, y, z

½µ

Ú

a ∈ X¸

Ò G−Ñ ØÖ

Ø ÐÙ Ò

Ò

Ò

×ÙÝ Ö Ø

Ò G−Ñ ØÖ
º Î Ñ

ÆôÙ G(x, y, z) = 0 Ø ø x = y = zº

¾µ G(x, y, z) ≤ G(x, x, y) + G(x, x, z)º
¿µ G(x, y, y) ≤ 2G(y, x, x)º

µ G(x, y, z) ≤ G(x, a, z) + G(a, y, z)º

2
µ G(x, y, z) ≤ (G(x, y, a) + G(x, a, z) + G(a, y, z))º
3
µ G(x, y, z) ≤ (G(x, a, a) + G(y, a, a) + G(z, a, a))º

µ |G(x, y, z) − G(x, y, a)| ≤ max{G(a, z, z), G(z, a, a)}º
µ |G(x, y, z) − G(x, y, a)| ≤ G(x, a, z)º

µ |G(x, y, z) − G(y, z, z)| ≤ max{G(x, z, z), G(z, x, x)}º

½¼µ |G(x, y, y) − G(y, x, x)| ≤ max{G(y, x, x), G(x, y, y)}º

Ò ÑÒ º

½µ ÆôÙ G(x, y, z) = 0 Ø ø x = y = z º
× x = y º Ì ´ ¿µ Ú ´ ¾µ Ø

G(x, y, z) ≥ G(x, x, y) > 0
Î Ý x = yº Ì

´Ñ Ù Ø Ù Òµº

Ò Ø Ø
y = z ¸ ÒòÒ x = y = z º

¾µ G(x, y, z) ≤ G(x, x, y) + G(x, x, z)º
Ì

G(x, y, z) = G(y, x, z)
(G5)

≤ G(y, x, x) + G(x, x, z) (
= G(x, x, y) + G(x, x, z).

Ò a = x)

Ò

Ø


¿µ G(x, y, y) ≤ 2G(y, x, x)

´×ÙÝ Ö Ø ¾µ



Ò z = y µº

µ G(x, y, z) ≤ G(x, a, z) + G(a, y, z)º
Ì ´ µ¸ Ø
(G3)

G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z) ≤ G(x, a, z) + G(a, y, z).
2
µ G(x, y, z) ≤ (G(x, y, a) + G(x, a, z) + G(a, y, z))º
3
(G5)

G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z) ≤ G(x, a, y) + G(a, y, z),
G(y, z, x) ≤ G(y, a, a) + G(a, z, x) ≤ G(y, a, z) + G(a, z, x),
G(z, x, y) ≤ G(z, a, a) + G(a, x, y) ≤ G(z, a, x) + G(a, x, y).

ËÙÝ Ö
Ø

3G(x, y, z) ≤ 2(G(a, y, z) + G(x, y, a) + G(x, a, z)),

ÝØ

ôØ ÐÙ Òº

µ G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(y, a, a) + G(z, a, a)º
Ì ´ µ¸ Ø
G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z)¸ ôØ

ÔÚ

¾µ Ø

G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, a, y) + G(a, a, z).
µ |G(x, y, z) − G(x, y, a)| ≤ max{G(a, z, z), G(z, a, a)}º
(G5)

Ì
G(x, y, z) ≤ G(z, a, a) + G(x, y, a)º ËÙÝ Ö
Ú

ÃôØ

ØÖ

G(x, y, z) − G(x, y, a) ≤ G(z, a, a).

´½º½µ

G(x, y, a) − G(x, y, z) ≤ G(a, z, z).

´½º¾µ

aÚ zØ

Ô ´½º½µ Ú ´½º¾µ Ø

öÙ Ø




Ò ÑÒ º

µ |G(x, y, z) − G(x, y, a)| ≤ G(x, a, z)º
Ì ´½º½µ Ø

G(x, y, z) − G(x, y, a) ≤ G(z, a, a) ≤ G(z, a, x),

´½º¿µ

G(x, y, a) − G(x, y, z) ≤ G(a, z, z) ≤ G(a, z, x).

´½º µ

Ú Ø Ó ´½º¾µ

Ì ´½º¿µ Ú ´½º µ Ø

óÙ


Ò ÑÒ º


µ |G(x, y, z) − G(y, z, z)| ≤ max{G(x, z, z), G(z, x, x)}º
Ì µ ×ÙÝ Ö

|G(x, y, z) − G(y, z, a)| ≤ max{G(a, x, x), G(x, a, a)}.

Òa=z Ø

Ø

Ò Ø


Ò ØøѺ

½¼µ |G(x, y, y) − G(y, x, x)| ≤ max{G(y, x, x), G(x, y, y)}º
Ì
Ø Ò Ø
´½º¿µ¸
Ò z = y, a = x Ø
Ú
ÃôØ

ØÖ
Ô

G(x, y, y) − G(x, y, x) ≤ G(y, x, x).

xÚ yØ
Ø

G(y, x, x) − G(y, x, y) ≤ G(x, y, y).
Ò Ø

ØÖòÒ Ø

óÙ


Ò ÑÒ º

Å÷Ò ó ½º¾º Ó (X, G) Ð Ñ Ø

Ò Ò G−Ñ ØÖ
Ú
Ó k > 0º Ã
G1 Ú G2
Ò Ð

G−Ñ ØÖ
ØÖòÒ X ¸ ØÖÓÒ
½µ G1 (x, y, z) = min{k, G(x, y, z)}¸ Ú
¾µ G2 (x, y, z) =

G(x, y, z)
·
k + G(x, y, z)

À Ò Ò ¸ ÒôÙ X =
¿µ G3 (x, y, z) =

n

Ai
i=1

Ð Ô Ò Ó

G(x, y, z),
k + G(x, y, z),

Ø

ÒôÙ Ú i Ò Ó
Ò
Ð ¸



X

Ø

Øø
x, y, z ∈ Ai ,

Ò Ð Ñ Ø G−Ñ ØÖ
º
Ò ÑÒ º
½µ ÆôÙ
Ò G1 (x, y, z) = min{k, G(x, y, z)}º
óÙ ÷Ò Ø ´ ½µ ôÒ ´ µ Ð
öÒ Ò òÒº Ì ×
÷Ò ´ µº Ì

Ò ÑÒ

G1 (x, y, z) = min{k, G(x, y, z)}
≤ min{k, G(x, a, a) + G(a, y, z)}
≤ min{k, G(x, a, a)} + min{k, G(a, y, z)}
= G1 (x, a, a) + G1 (a, y, z).

óÙ


G(x, y, z)
ã
k + G(x, y, z)
t
1
ỉ ẹ ì f (t) =
f (t) =
ẹ f (t)
> 0á ìí ệ
k+t
(k + t)2

ụề
ú ữề ẵàá ắà à é
ửề ề ũề ìí ệ ỉ ỉựề

G(x, y, z)à
è ì
ề ẹề
ú ữề à ể G(x, x, y) G(x, y, z) f (t)

ụề ềũề

ắà G2 (x, y, z) =

G2 (x, x, y) =
ề ẹề

ú

G(x, x, y)
G(x, y, z)

= G2 (x, y, z).
k + G(x, x, y) k + G(x, y, z)
ữề

à è

G(x, y, z)
k + G(x, y, z)
G(x, a, a) + G(a, y, z)

k + G(x, a, a) + G(a, y, z)
G(a, y, z)
G(x, a, a)
+

k + G(x, a, a) k + G(a, y, z)
= G2 (x, a, a) + G2 (a, y, z).

G2 (x, y, z) =

à è

ề ỉ á G3 (x, y, z)
ề é

ữề ú ẵ ể (X, G) é ẹ ỉ
ử ì é ỉ ề

ẵà (X, G) é
ĩề

ắà G(x, y, y) G(x, y, a)á





ề Gẹ ỉệ



ề Gẹ ỉệ


x, y, a X

à G(x, y, z) G(x, y, a) + G(z, y, b)á



ề ẹề


ễ ỉ

x, y, z, a, b X

1) 2) è ể àá ỉ
G(x, x, y) G(x, y, z), x, y, z X, z = y ẻứ
(X, G)
ĩ ề ềũề G(x, x, y) = G(x, y, y) ỉ ể àà
G(x, y, y) G(x, y, z)
G(x, y, y) G(x, y, a),

x, y, a X.


2) 3) è ể ỉựề


ỉ ắà

ữề

ú ẵẵá ỉ

G(x, y, z) G(x, y, y) + G(z, y, y).

á ỉ ể ỉựề

ỉ ắà

ữề

ú ẵ ỉ

G(x, y, y) G(x, y, a)
G(z, y, y) G(z, y, b),



x, y, z, a, b X.

è ìí ệ G(x, y, z) G(x, y, a) + G(z, y, b)
3) 1) è ỉựề
ỉ à
ữề ú ẵá ỉ é í a = x, b = y ỉ

è

G(x, y, z) G(x, y, a) + G(z, y, b)
G(x, y, y) G(x, y, x) + G(y, y, y)
G(x, y, y) G(x, x, y).

ề ỉ ỉ é



íz=y



G(y, x, x) G(y, y, x) G(x, x, y) G(x, y, y).

ậí ệ G(x, x, y) = G(x, y, y)

ẵắ è ễ ỉệũề
ẵắẵ

G



ề Gẹ ỉệ

ứề



ẻ ẹ ỉ ễ X = , ỉ ỉ í ẹ ẹ ỉệ
ỉệũề X ú
ỉ ử ĩ í ề
ẹ ỉ
ỉệ
Gẹ ỉệ
ỉệũề X Ds í Dm à ặ
é á ẹ Gẹ ỉệ
G ỉệũề X á ẹ

(Ed) dG (x, y) = G(x, y, y) + G(x, x, y)
ì ĩ

ể ỉ ẹ ỉ ẹ ỉệ
ỉệũề X. è
ề ỉ
ẹ ề

G(x, y, z)

ềề

Ds (dG )(x, y, z)

dG é ẹ ỉệ
é ũề ụỉ
2G(x, y, z)

1
G(x, y, z) Dm (dG )(x, y, z) 2G(x, y, z).
2
á ềụ ĩ ỉ ễ ỉ ỉ ẹ ỉ ẹ ỉệ
d ỉệũề X ỉ
ế ề ữ ì
4
dDs (d) (x, y) = d(x, y), dDm (d) (x, y) = 2d(x, y).
3

G,


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