Tải bản đầy đủ

Toán cho vật lý Cao đẳng, Đại học

Phần 1: Tenxơ và giải tích tenxơ
------&-----Chơng 9

Tenxơ và đại số tenxơ
Đ Mở đầu về tenxơ
1. Tenxơ.
Các đại lợng vật lí đợc biểu diễn dới dạng toán học. Chúng ta đã gặp
các đại lợng quen thuộc:
+ Độ dài, khối lợng, nhiệt độ . . . đợc đặc trng bởi các vô hớng.
+ Lực, vận tốc, gia tốc . . . đợc đặc trng bởi các véctơ.
+ Có những đại lợng không thể đặc trng bằng các đại lợng toán học nói trên
nh: Sức căng mặt ngoài, biến dạng ứng suất của môi trờng liên tục . . ., các đại
lợng này đợc dặc trng bằng một đại lợng toán học khác gọi là tenxơ.
Với tenxơ ta có thể bao quát mọi đặc trng của tất cả các đại lợng trên:
+ Vô hớng là tenxơ hạng 0
+ Véctơ là tenxơ hạng 1
+ Còn có các tenxơ hạng cao hơn đặc trng cho các đại lợng vật lí khác.
Để thuận tiện cho phép tính về tenxơ, trớc hết chúng ta nói đến cách viết theo
chỉ số, sau đó là các phép biến đổi toạ độ và từ đó ta đa ra định nghĩa tenxơ,
phép tính tenxơ . . . .
2. Cách viết theo chỉ số:

quy ớc: Các biến số x, y, z, t đợc biểu diễn bằng một chữ cái duy nhất với

một chỉ số kèm theo.
Ví dụ:

x1 x;

x2 y;

x3 z;

Và có thể viết chung là: xi ( i = 1, 2, 3, 4)

1

x4 t.


Hoặc x ( = 1, 2, 3, 4)
Các chỉ số có thể viết trên:

xi ( i = 1, 2, 3, 4)

Hoặc

x ( = 1, 2, 3, 4)

Với cùng một tọa độ x, khi có chỉ số dới sẽ có giá trị khác với khi có chỉ số
trên.
Các ví dụ về lấy tổng:
4

a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + a4.x4 =

akxk
k =1

U
U
U


U
1
2
3
+
+
+
.dx
.dx4 =
.dx
.dx
1
3
2
4
x
x
x
x

4

U

x i .dxi
i =1

y 1 y 1
y 2 y 2
y 3 y 3
y 4 y 4
.
+
.
+ . +
.
=
x x
x x
x x
x x

y i y i
x . x
i =1
4

các biểu thức phức tạp hơn:
3

11

21

31

12

22

23

a11.b + a12.b + a13.b + a21.b + a22.b + a32.b =

a 1k b

k1

+

k =1
3

=

3

a 2i b i2
i =1

2

a ji b ij
i =1 j=1

3

(a i b i )
i =1

= ( a1 b1). ( a2 b2). ( a3 b3).

3. Quy ớc Einstein: (Quy ớc lấy tổng).

Để tránh viết dấu , ngời ta quy ớc nh sau:
Trong một biểu thức đã cho, bất cứ khi nào có một chỉ số (trên hoặc dới)
đợc lặp lại hai lần ở một số hạng thì chúng ta phải lấy tổng theo chỉ số đó.
4

Ví dụ:

akxk

ak.xk

k =1

Nh vậy, trong một đơn thức có những chỉ số xuất hiện hai lần, có những chỉ số
xuất hiện một lần. Các chỉ số xuất hiện một lần gọi là các chỉ số tự do, các chỉ số

2


xuất hiện hai lần gọi là các chỉ chạy hay chỉ số câm và ta có thể thay bằng một
chỉ số bất kỳ khác (miễn là lặp lại hai lần) bởi vì nó chỉ có nghĩa là lấy tổng.
4

akxk

Ví dụ:

ak.xk ai.xi . . .

k =1

4. Không gian N chiều:

Không gian thông thờng có 3 chiều. Trong không gian ba chiều, toạ độ
của một điểm đợc xác định bởi ba thông số. Nếu hệ trục toạ độ đợc chọn là hệ
toạ độ Descartes thì các thông số đó là x, y, z; Trong hệ toạ độ cầu, các thông số
là r, , ; Trong hệ toạ độ trụ, các thông số là , , z . . . Ta có thể hình dung
một hệ toạ độ bốn chiều, trong đó chiều thứ t gắn với thời gian t. Để tổng quát,
các toạ độ trong không gian bốn chiều đợc ký hiệu là xi (i = 1, 2, 3, 4). Đối với
một hệ toạ độ đặc trng bởi N toạ độ suy rộng, ta có không gian N chiều là sự
mở rộng của không gian ba chiều. Khi đó cách ký hiệu chỉ số và lấy tổng ở trên
chỉ việc cho chỉ số chạy từ 1 đến N.
Thí dụ: Ta có một dạng tổng sau:
N

N

A
=1 =1




x x
x
x
. i . j A . i . j
y y
y y
N

=

[A

1

=1

( , = 1, 2, 3 N )


x N
x x1
N x
. i . j +...+A . i . j ]
y y
y y

2
N
x 1 x1
x1
x1
21 x
N1 x
=A . i . j +A . i . j +...+A . i . j +
y y
y y
y y
11

N
x 2
x 1 x 2
N2 x
+A . i . j +...+A . i . j +...+
y y
y y
12

N
x N
x 1 x N
NN x
+A . i . j +...+A . i . j .
y y
y y
1N

Chú ý: + Sự khác nhau giữa chỉ số trên và chỉ số dới sẽ đề cập tới ở mục sau.

3


5. Công thức biến đổi giữa các véctơ cơ sở hiệp biến và các véctơ cơ sở trong
hệ toạ độ Descartes.
r
Xét một vi phân d r . Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc, ta có:
r
r
r
r
r
r
r
d r = dx. i + dy. j + dz. k = dx1. i + dx2. j + dx3. k
r
dr =

hay

r r
r
r r
r
i r
i r
dx
.
e
=
dx
.
e
(
e

i
;
e

;
e

k
)
j

i
i
1
2
3
3

(1)

i =1

Trong hệ toạ độ q1, q2, q3 ta có:
r
r
r
r
d r ( q1, q2, q3) = dq1. e1, + dq2. e ,2 + dq3. e 3,
3

=

r

r

dq j . e,j = dqj. e,j

(2)

j=1

r
r
Ta xét công thức liên hệ giữa e i và e ,j
r
r
r,
ej =
q j
r
r
r
ei = i
x



r
d r (q1, q2, q3) =

r
r
r
r
j
q j .dq = q j .dqj
j=1



r
d r (x1, x2, x3) =

r
r
r
r
i
x i .dx = x i .dxi
i =1

r
r
r,
=
từ đó suy ra e j =
q j

r
r x i
x i . q j =
i =1
3

3

3

x i r
x i r
e
=
q j i q j . e i
i =1
3

(3)

x i
Tập hợp các đại lợng
xác định phép biến đổi từ các dqj sang dxi cho
j
q
r
phép ta xác định các véctơ cơ sở hiệp biến e ,j (trong hệ toạ độ cong) từ các véctơ
r
cơ sở hiệp biến e i (trong hệ toạ độ Descartes).

x i
dx = j .dqj và
j=1 q
3

Tức là:

i

r
e,j =

x i r
q j . e i
i =1
3

(4)

q j
Ngợc lại, tập hợp các đại lợng
xác định phép biến đổi từ các dxi sang dqj
i
x
r
cho phép ta xác định các véctơ đơn vị hiệp biến e i (trong hệ toạ độ Descartes) từ
r
các véctơ đơn vị hiệp biến e ,j (trong hệ toạ độ cong).
4


q j
x i .dxi và
i =1
3

Tức là:

dqj =

r
ei =

q j r ,
x i . e j
j=1
3

(5)

Khi các biểu thức trên đợc mở rộng cho trờng hợp hai hệ toạ độ i và j
bất kỳ. Ta có công thức biến đổi toạ độ (hay biến đổi tơng quan giữa chúng):
i = i (1, 2, 3 )
i
Vi phân của là: d = j .dj
j=1
3

i

i

Phép biến đổi ngợc lại
j
d = i .di
i =1
3

j

Xét biến đổi vi phân toạ độ điểm M bất kỳ trong không gian. Trong hệ toạ
r
độ i với các véctơ cơ sở hiệp biến e i , ta có:
r
dr =

3

r
d . e i
i

i =1

r
r
r
ei = i


(6)

r
Trong hệ j với các véctơ cơ sở hiệp biến e,j , tơng tự ta có:
r
dr =

3

r
d . e,j
j

j=1

r
r
r,
ej =
j

(7)

r
r
Công thức liên hệ giữa e i và e,j là:
r
r
r,
ej =
=
j

Tập hợp các đại lợng

r
r i
i . j =
i =1
3

i r
i r
j e i = j . e i
i =1
3

(8)

i
xác định phép biến đổi từ các dj sang di cho
j


r
phép ta xác định các véctơ cơ sở hiệp biến e ,j (trong hệ toạ độ j) từ các véctơ cơ
r
sở hiệp biến e i (trong hệ toạ độ i)
i
j .dj và
j=1
3

di =

r
e,j =

5

i r
j . e i
i =1
3

(9)


Đ1 Các thành phần phản biến của một véctơ - Định nghĩa véctơ.
1.1. Định nghĩa đại lợng vô hớng.

Trong không gian N chiều, vô hớng là một đại lợng có một thành phần
duy nhất và thành phần này bất biến đối với phép biến đổi toạ độ.
Nh vậy, vô hớng là một đại lợng bất biến đối với mọi hệ toạ độ, tức là
bất biến đối với phép biến đổi toạ độ. Từ cách định nghĩa trên ta có thể mở rộng
cho các đại lợng phức tạp hơn nh véctơ và tenxơ.
1.2. Định nghĩa đại lợng vectơ.

Giả sử trong không gian N chiều ta có hệ toạ độ x1, x2, x3, . . ., xN với các
r
r r r
r
véctơ cơ sở hiệp biến là e1 , e2 , e 3 , . . ., e N . Một đại lợng véctơ V đợc biểu
diễn qua N thành phần Vi (i = 1, 2, 3, . . ., N) nh sau:
r
r
V = V i. e i

(9.1)

r
Nếu trong hệ toạ độ mới x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x N với các véctơ cơ sở hiệp biến e1, ,
r r
r
e ,2 , e 3, , . . ., e ,N ta có một tập hợp N đại lợng V1 , V2, V3, . . ., VN mà thoả
mãn công thức biến đổi sau:
x k i
V =
.V
x i
k

(9.2)

r
Thì chúng là các thành phần của véctơ V và gọi là các thành phần phản biến
r
r r r
r
của véctơ V trong hệ toạ độ e1, , e ,2 , e 3, , . . ., e ,N (còn Vi là các thành phần phản
r
r
r
r r r
r
biến của véctơ V trong hệ toạ độ e1 , e2 , e 3 , . . ., e N ). Và V chính là V trong
r
hệ tọa độ mới này hay V bất biến đối với phép biến đổi tọa độ.

Thực vậy, ta có công thức biến đổi của các véctơ đơn vị hiệp biến (3):
x i r
r
(9.3)
. ei
e ,k =
x k
r
r
r
Ta lập biểu thức V = Vk. e ,k và chứng tỏ nó chính bằng V . Thực vậy,
thay (9.1) và (9.2) vào (9.3), ta có:

6


r
r
x k j x i r
x i x k j r
V = Vk. e ,k =
.
e
=
.V
.
.
.V . e i
i
x j
x k
x k x j

(9.4)

Vì xi là hàm của x k cho nên:
x i
x i x k
=
. j = ij
j
k
x
x x
Công thức (9.4) trở thành:
r
r
x i x k j r
i j r
k r,
i r
V = V . e k =
.
e
=

V
.
e
=
V
.
e
=
V
.
.
.V
j
i
i
i
x k x j

Từ đó đa đến định nghĩa véctơ và các thành phần phản biến của nó nh sau:
Nếu có một đối tợng V sao cho các thành phần Vi của nó trong hệ cơ sở
r
r
e i khi đổi sang hệ tọa độ mới e ,j đợc biến đổi theo công thức:
Vk =

x k j
.V
x j

(9.5)

r
r
thì V là bất biến đối với phép biến đổi toạ độ từ hệ e i sang hệ e,j , tức là:
r
V

r
= Vj. e ,j

(9.6)

Và V đợc gọi là một tenxơ hạng một (hay một véctơ). Còn Vi gọi là các
thành phần phản biến của nó trên nền các véctơ cơ sở hiệp biến.

Đ2 Diat hay véctơ cặp đôi Tích tenxơ
Để mở rộng hơn khái niệm tenxơ, ngời ta đa vào định nghĩa tích tenxơ.
Ta biết rằng, trong không gian ba chiều, cứ mỗi điểm ta cho tơng ứng với
một véctơ thì ta đợc một trờng véctơ hay một không gian véctơ.
Bây giờ, tơng ứng với không gian véctơ V ta có một không gian mới 32
chiều, ký hiệu VV. Không gian mới này gọi là tích tenxơ của không gian V với
chính nó. Nh vậy, chúng ta có thể xét hai véctơ A và B thuộc không gian V, khi
đó tích tenxơ của hai véctơ này sẽ là một phần tử của tích tenxơ của VV và ta
ký hiệu là AB.

7


Tích tenxơ của hai véctơ còn gọi là diat hay véctơ cặp đôi. Mỗi diat có 9
thành phần, nếu các thành phần của A và B đều là các thành phần phản biến thì
các thành phần của diat cũng là các thành phần phản biến. Ta hãy xem xét
cách biểu diễn của các thành phần này qua cơ sở hiệp biến của không gian VV
nh thế nào.
Các thành phần của diat đợc thành lập nh sau:
r
r
A B = A.BT

(9.7)

Trong đó A là ma trận cột có các phần tử là các thành phần tơng ứng của
r
véctơ A còn BT là ma trận chuyển vị của ma trận cột có các phần tử là các thành
r
phần tơng ứng của véctơ B BT là ma trận hàng. Các thành phần của véctơ
r
r
A và B là phản biến, do đó ta có:
r r
A B = A.BT

A1

= A 2 . B1
3
A

(

B2

B3

)

A1B 1

= A 2 B1
3 1
A B

A1B 2
A2B2
A3B 2

A1B 3

A2B3 .

A 3 B 3

(9.8)

Ta có thể biểu diễn ma trận này theo các ma trận véctơ cơ sở hiệp biến

h1

r
( e1 ) = 0 ;
0


0

r
( e2 ) = h2 ;
0


và chuyển vị của chúng:
r
( e1 )T = (h1 0 0)
r
( e 2 )T = (0 h2 0)
r
( e 3 )T = (0 0 h3)

A1B 1
r r 2 1
ta có: A B = A B
3 1
A B

A1B 2
A2B2
A3B 2

0

r
( e3 ) = 0
h
3

(9.9)

(9.10)

A1B 3

A2B3

A 3 B 3

8


h 12
A B
. 0
=
h1 h1
0

1

1

0 0
0 h1 h 2
A 1 B 2
0 0 +
. 0
0
h1 h 2

0 0
0
0

0
0 0 0
3
3


A B
0 + . . . +
. 0 0 0
h3 h3
2
0
0 0 h3

h1
h1



= A1B1. 0 .(h1 0 0) + A1B2. 0 .(0 h2 0) + . . . + A3B3.
0
0


r r
r r
r r
= A1B1. e1 e1 + A1B2. e1 e 2 + . . . + A3B3. e 3 e 3
Trong đó

0

0 .(0 0 h3)
h
3

Ai, Bj là các thành phần phản biến của các véctơ đơn vị hiệp biến
Ai = Ai/hi và Bj = Bj/hj là các thành phần phản biến của các véctơ

cơ sở hiệp biến.
Trong chơng này, chúng ta sẽ chỉ sử dụng các véctơ cơ sở nên để đơn giản ký
hiệu chúng ta dùng Ai, Bj là các thành phần phản biến của các véctơ cơ sở hiệp
biến.
Viết gọn lại ta có:
r r
r r
A B = Ai.Bj. e i e j

(9.11)

r r
Nh vậy, cơ sở của không gian VV là e i e j , đó là cơ sở hiệp biến.
Thành phần Ai.Bj là thành phần phản biến trong cơ sở hiệp biến. Thành phần này
là tích của hai thành phần phản biến của các véctơ tạo thành.
Phép tính tích tenxơ đợc thực hiện trên hai hay nhiều véctơ của không
r
gian véctơ V . Khi đó, không gian của tích sẽ có 3N chiều với N là số véctơ tham
gia tích tenxơ. Cơ sở của không gia này (cơ sở hiệp biến) là tích tenxơ của N
r
véctơ cơ sở e i .
r
r
r r r
Ví dụ: Tenxơ ABCDE có cơ sở 35 chiều e i e j e k e m e n
Tính chất: Tích tenxơ của hai véctơ có tính chất phân bố:
r r r
r r
r r
a ( b + c ) = a b + a c ,
r r
r r r r r
( a + b ) c = a c + b c ,
r r
r r
r r r r r r r r
( a + b )( c + d ) = a c + b c + a d + b d ,

9


r r
r r
r r
( + à). a b = .( a b ) + à .( a b ),
r
r r
r
r r
( a ) b = a ( b ) = .( a b ),

với , à là những vô hớng.
Chú ý: Tích tenxơ không có tính chất giao hoán:
r r
r r
a b b a .

Đ3 Tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao
Ta mở rộng định nghĩa tenxơ qua phép biến đổi của các thành phần của nó
tơng tự nh đã làm với véctơ. Trớc hết ta xét trờng hợp tenxơ hạng hai.
Nếu có một đối tợng T sao cho các thành phần Tij (i,j = 1, 2, 3, . . .,N)
r r
của nó trong hệ tọa độ xi với cơ sở e i e j của không gian V V khi đổi sang hệ

r r
tọa độ mới x i với hệ cơ sở ei ej đợc biến đổi theo công thức:
Tij =

x i x j kl
.
..T
x k x l

(9.12)

thì T là bất biến đối với phép biến đổi toạ độ trên, tức là:
r r
r r
T = Tij.( e i e j ) = Tij.( ei ej )

(9.13)

Và T đợc gọi là một tenxơ hạng hai. Còn Tij gọi là các thành phần phản biến
r r
của T trên nền các cơ sở e i e j hiệp biến.

Ta có thể kiểm tra tính bất biến của T

x i x j kl x p x q r r
r r
.
.T .
.
.( e p e q )
T .( ei ej ) =
x k x l
x i x j
ij

x i x p x j x q kl r r
r r
. i . l . j .T .( e p e q ) = pk . ql .Tkl.( e p e q ).
=
k
x x x x
r r
r r
Tij.( ei ej ) = Tpq.( e p e q ) = T (điều phải chứng minh).
Ta có thể mở rộng định nghĩa trên cho tenxơ có hạng bất kỳ. Ví dụ, tenxơ hạng
r r r
r
bốn Tijkm.( e i e j e k e m ). Các thành phần của tenxơ này là Tijkm là các thành

10


phần phản biến. Ngời ta coi Tijkm là một tenxơ hạng bốn có bốn lần phản biến.
Các thành phần này biến đổi trong phép biến đổi từ hệ xi sang hệ x i nh sau:
T

ijkm

x i x j x k x m p qr s
=
.
.
T
x p x q x r x s

(9.14)

Ta thấy tenxơ hạng N có N chỉ số, khi biến đổi toạ độ, ứng với mỗi chỉ số
ta có một ma trận biến đổi x i / x p

(i, p = 1, 2, 3, . . ., N).

Đ4 Véctơ cơ sở phản biến Thành phần hiệp biến của tenxơ
4.1. Véctơ cơ sở phản biến:

Ta đã có định nghĩa của thành phần phản biến của một tenxơ hạng hai
(hay còn gọi là tenxơ phản biến hạng hai). Nhờ có tenxơ phản biến hạng hai, ta
r
có thể xây dựng các véctơ cơ sở phản biến e i .
Giả sử ta có một tenxơ hạng hai a. Trong hệ toạ độ xi ( i = 1, 2, 3, . . ., N)
nó đợc biểu diễn theo các thành phần phản biến aij nh sau:
r r
a = aij.( e i e j )
Nhờ tenxơ a, ta có thể xây dựng hệ véctơ cơ sở phản biến
r
r
e i = aij. e j

(9.15)

(9.16)

r
Ta hãy xét xem véctơ e i biến đổi nh thế nào khi chuyển từ hệ toạ độ xi

sang hệ x i (i = 1, 2, 3, . . ., N)
r
Trong hệ x i , bằng cách tơng tự ta xây dựng đợc véctơ e i nh sau:
r
r
e i = aij. ej
(9.17)

Trong đó, aij là biến đổi của aij trong phép biến đổi toạ độ. Tức là:
aij =

x i x j kl
.
.a
x k x l

(9.18)

r
Chú ý công thức biến đổi của véctơ cơ sở hiệp biến e i :
x q r
r

. eq
ei =
x i

(9.19)

11


Từ (9.17), (9.18) và (9.19) ta có:
r
x i x j kl x q r
r
.
.a
. eq
e i = aij. ej =
x k x l
x j

x i x j x q kl r
x i q kl r
=
.
.
.a . e q =
. l .a . e q
x k x l x j
x k
r i x i kq r
x i r k

e =
.a . e q =
.e
x k
x k

Ta nhận thấy dạng biến đổi là dạng phản biến (với ma trận biến đổi

x i
).
x k

r
r
Vì thế, các véctơ e i là các véctơ phản biến. Các véctơ e i tạo thành hệ cơ sở phản

biến trong không gian xi (i = 1, 2, 3, . . ., N).
Ta chú ý công thức biến đổi của các véctơ cơ sở hiệp biến và phản biến.

x q r
r
ei =
. eq
x i

(9.19)

r i x i r k
e =
.e
x k

(9.20)

Hai công thức này là dạng mẫu hiệp biến (9.19) và phản biến (9.20).
4.2. Thành phần hiệp biến của tenxơ a.

Công thức (9.16) cho ta biến đổi từ véctơ cơ sở hiệp biến sang véctơ sơ sở
r
r
phản biến: e i = aij. e j
Công thức biến đổi ngợc lại sẽ nh sau:
r
r
e i = aij. e j

(9.21)

Trong đó, aij là ma trận nghịch đảo của ma trận aij (*). Các thành phần aij
là hiệp biến vì nó thỏa mãn công thức biến đổi dạng hiệp biến (9.19) ở trên.
* Chú ý:
Điều kiện để ma trận aij bất kỳ có nghịch đảo là định thức của nó phải khác không ( 0).
k ij
Các thành phần của ma trận nghịch đảo đợc tính theo công thức: a ij =
(trong đó kij

là phần phụ đại số của phần tử (i, j ) của ma trận aij).

12


a ij =

x i x j
.
.ap q
x p x q

(9.22)

Điều này có thể thấy đợc dễ dàng nhờ các công thức (9.16), (9.19),
(9.20) và (9.21).
Nhờ công thức (9.16) và (9.21) ta sẽ tìm đợc thành phần hiệp biến của
tenxơ nếu biết các thành phần phản biến của nó.
Ví dụ: Trong trờng hợp véctơ, ta có:
r
r
r
r
A = Ai. e i = Ai. aij. e j = Aj . e j
=>

Ai. a ij = Aj .

4.3. Các thành phần hiệp biến và hỗn hợp của tenxơ
ở trên ta đã có định nghĩa thành phần phản biến của một tenxơ hạng bất

kỳ. Nhờ công thức biến đổi hệ cơ sở từ phản biến sang hiệp biến ta có thể tìm
đợc các thành phần hiệp biến của tenxơ đó.
Ví dụ: Một tenxơ T hạng bốn có thể viết dới các dạng sau:
r r r
r
r
r
r r
T = Tijkm.( e i e j e k e m ) = Tijkm.aipajqakrams.( e p e q e r e s ) (9.23)
r
r
r r
= T pqrs .( e p e q e r e s )

(9.24)

r r r
r
= T ij pq .( e i e j e p e q )

(9.25)

Công thức (9.23) biểu diễn qua các thành phần phản biến. Công thức
(9.24) biểu diễn qua các thành phần hiệp biến. Công thức (9.25) biểu diễn qua
các thành phần hỗn tạp. ở đây thành phần hỗn tạp có hai lần phản biến và hai lần
hiệp biến. Thành phần hỗn tạp có cả chỉ số phản biến lẫn chỉ số hiệp biến, số
lợng không nhất thiết phải bằng nhau.
Công thức biến đổi của thành phần hỗn tạp bất kỳ là
T

m...s
n...r

x m
x s x t
x z u...v
=
... V .
. . . . r . T t...z
x u
x
x n
x

13

(9.26)


Đ5 Các phép tính đại số cơ bản của tenxơ
5.1. Phép cộng.

Phép cộng (trừ) chỉ đợc thực hiện trên các tenxơ cùng loại (cùng hạng,
tính chất phản biến hiệp biến hỗn tạp và phép biến đổi thực hiện trong không
gian có cùng số chiều nh nhau).
Ví dụ: Có hai tenxơ A và B hạng ba, hai lần hiệp biến, một lần phản biến và
trong cùng không gian. Các thành phần của từng tenxơ biến đổi nh sau:
Amnr =
B

m
nr

x m x t x z u
.
.
.A tz
x u x n x r

x m x t x z u
=
.
.
. B tz
x u x n x r

Tổng của hai tenxơ A và B là một tenxơ C cùng loại mà các thành phần là:
Cmnr = Amnr + Bmnr.

(9.27)

Các thành phần này biến đổi nh sau:
C

m
nr

= A

m
nr

+ B

m
nr

x m x t x z
=
. n . r .(Autz + Butz)
u
x x x

x m x t x z u
=
.
.
.C tz.
x u x n x r
5.2. Phép nhân.

5.2.1. Nhân với một vô hớng.
Nhân một vô hớng với một tenxơ A ta đợc một tenxơ có thành phần
bằng tích của với thành phần tơng ứng của A.

.A = B



Bik = .Aik

Các thành phần của tích này biến đổi nh sau:
Bik = .Aik =

x i x k
x i x k
.(

.A
)
=
.Bmn
mn
x m x n
x m x n

5.2.2. Nhân ngoài của hai tenxơ.

14

(9.28)


Tích ngoài của hai tenxơ (còn gọi là tích tenxơ của hai tenxơ) là một tenxơ
có hạng bằng tổng hạng của hai tenxơ thành phần, có số lần phản biến bằng tổng
số lần phản biến của hai tenxơ thành phần, có số lần hiệp biến bằng tổng số lần
hiệp biến của hai tenxơ thành phần
Nh vậy, tích ngoài đợc thực hiện bằng phép nhân thông thờng của các
thành phần các tenxơ trong tích.
Aijl.Bknmt = Cijlknmt

Ví dụ:
Nh vậy:

* Mọi tenxơ bất kỳ đều có thể viết thành tích của hai tenxơ có hạng không
cao hơn nó.
* Phép nhân ngoài có thể thực hiện đồng thời trên nhiều tenxơ khác nhau.
5.2.3. Phép cuộn (phép co)
Giả sử có một tenxơ hỗn hợp bất kỳ. Phép cuộn (hay phép co) là cho một
chỉ số phản biến trùng một chỉ số hiệp biến (hoặc ngợc lại) và theo quy ớc lấy
tổng, hai chỉ số giống nhau (lặp lại) đợc lấy tổng. Kết quả ta đợc một tenxơ có
hạng giảm đi 2 so với hạng tenxơ ban đầu. Các chỉ số phản biến và hiệp biến đều
giảm đi 1.
Ví dụ: Xét tenxơ hạng 7 Cijlknmt , ta làm phép cuộn với chỉ số k và n (cho k = n).
Ta đợc một tenxơ hạng 5:

Cijlkkmt = Dijlmt

Nếu làm phép cuộn lần nữa ta đợc tenxơ hạng 3: Dijlmm = Eijl.

Đ6 Phép tính đối xứng hoá và phản đối xứng hoá.
Giả sử có một tenxơ hạng hai Tij. Ta có thể viết nh sau:
Tij =

Với: T0 =

1 ij
1
.(T + Tji) + .(Tij - Tji) = T0 + T1.
2
2

(9.29)

1 ij
1
.(T + Tji), T1 = .(Tij - Tji) . T0 là một tenxơ đối xứng với hai chỉ
2
2

số i và j, nghĩa là không đổi khi đổi chỗ hai chỉ số i, j. T1 là một tenxơ phản xứng
với hai chỉ số i và j, nghĩa là đổi dấu khi đổi chỗ hai chỉ số i, j.

15


Nh vậy, với một tenxơ hạng hai, ta luôn tách đợc thành hai tenxơ cùng
hạng, một đối xứng và một phản đối xứng.
Phép tách nh trên là phép đối xứng hoá và phản đối xứng hoá một tenxơ.
Chú ý: Ta xét số thành phần độc lập của một tenxơ đối xứng hoặc phản đối xứng.
Trong không gian N chiều, một tenxơ hạng hai có n2 thành phần. Các
thành phần này đợc biểu diễn trong một ma trận vuông nìn nh sau:
Loại tenxơ

Dạng ma trận

a 11

a 21
....

a
n1

Bất kỳ

a 11

a 12
....

a
1n

Tenxơ đối xứng
aik = aki

Tenxơ phản đối
xứng
aik = - aki

0

a 12
....

a
1n

a 12
a 22
....
a n2
a 12
a 22
....
a 2n

a 12
0
....
a 2n

Số thành phần độc lập

..... a 1n

..... a 2 n
..... ....

..... a nn
..... a 1n

..... a 2 n
..... ....

..... a nn

..... a 1n

..... a 2 n
..... ....

..... 0

n2

n.( n + 1)
2

n.( n 1)
2

Chú ý rằng, tính chất đối xứng (phản đối xứng) của một tenxơ không phụ
thuộc hệ toạ độ, nghĩa là bất biến đối với phép biến đổi toạ độ (xem bài phần bài
tập). Tính chất này không có đối với các thành phần hỗn hợp. Tính chất đối xứng
thể hiện ở một cặp bất kỳ hai chỉ số (cùng phản biến hoặc cùng hiệp biến).
Thí dụ: Tenxơ Aijkl là đối xứng với cặp chỉ số (k, l) có nghĩa là: Aijkl = Aijlk. Nh
vậy, ta sẽ có các thành phần sau đây là bằng nhau:
Aij12 = Aij21;

Aij13 = Aij31;

16

Aij23 = Aij32.


Đ7 Phần tử đờng Tenxơ metric.
7.1. Phần tử đờng Tenxơ metric
r
Một điểm M trong không gian đợc xác định bằng bán kính véctơ r . Giả

sử M dịch chuyển và vẽ thành một quỹ đạo nào đó. Ta hãy xét một dịch chuyển
vô cùng bé của M trên quỹ đạo. Độ dài của dịch chuyển vô cùng bé đó là một vi
r
phân cung. Trong dịch chuyển vô cùng bé đó, bán kính véctơ r đã biến đổi một
r
lợng d r .
Ta đã biết, trong hệ toạ độ Descartes vuông góc, mối liên hệ giữa vi phân
r
cung và vi phân d r nh sau:
r r
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = d r .d r
(9.30)
r
Giả sử có hệ toạ độ nào đấy x1, x2, x3. Khi đó r là hàm của x1, x2, x3 và ta có:
r
r
r
r
d r = i dxi = e i .dxi
x
r
r
r
là một véctơ cơ sở của hệ toạ độ nói trên.
Trong đó e i =
x i
Nh vậy, mối quan hệ (9.30) đợc viết nh sau:
r r r r
ds2 = d r .d r = e i e j .dxidxj
hay
với

(9.31)

ds2 = g ij .dxidxj
r r
g ij = e i e j
Dạng này là dạng toàn phơng, còn gọi là dạng metric. Phần tử ds gọi là

phần tử đờng (vi phân cung). Đại lợng gij gọi là tenxơ metric. Tenxơ metric là
một tenxơ hiệp biến hạng hai.
Do tính chất giao hoán của tích vô hớng nên tenxơ metric là đối xứng.
r r
r r
gij = e i . e j = e j e i = gji.
(9.32)
Cho tới nay ta cha đề cập gì tới đặc điểm của không gian đợc xem xét,
bây giờ ta có định nghĩa sau đây về không gian. Nếu tồn tại một phép biến đổi
toạ độ từ hệ xi (i = 1, 2, . . ., N) sang hệ x i (i = 1, 2, . . ., N) sao cho dạng toàn

17


phơng trên trở thành ds2 = gij.dxidxj = ij.dxidxj = dxidxi = (dxi)2 thì không gian
đợc gọi là Euclide.
Trờng hợp ds2 = gij.dxidxj dxidxi = (dxi)2 là không gian phi Euclide.
Nếu có thể đa về dạng:
gij.dxidxj = - (dxi)2
thì không gian gọi là giả Euclide.
7.2. Tích vô hớng hớng của hai tenxơ

Để đơn giản, ta xét tích vô hớng của hai ten xơ hạng hai T và U
r
r
r
r
r
r
r
r
T.U = T mk e m e k .U pr e p e r = T mk .U pr .g kp e m e r = V mr e m e r (9.33)
Tính chất: Tích vô hớng có tính chất phân bố
T.(U + V) = T. U + T.V,
(T + U).V = T.V + U.V,
(T + U).(P + Q) = T.P + T.Q + U.P + U.Q,
( + à).T.U = .(T.U) + à .(T.U),
(T).U = T. (U) = .(T.U).
Chú ý rằng: với các tenxơ có hạng lớn hơn một, tích vô hớng không còn tính
chất giao hoán: T.U U.T

Đ8 Các thí dụ
8.1. Không gian hai chiều.

r
r
Chọn hệ toạ độ Descartes vuông góc Ox1x2. Các véctơ đơn vị là e1 và e 2
vuông góc với nhau
r r
e i . e j = ij (i, j = 1, 2)
Ta luôn có: ds2 = (dx1)2 + (dx2)2 = ij .dxi dxj .


Không gian này là không gian Euclide. Tenxơ metric trong hệ toạ độ này

chính bằng ij
18


gij = ij.

(9.34)

a) Tenxơ metric gij trong hệ toạ độ cực:
x1 = x 1 . cos x 2
2
x = x 1 . sin x 2

(9.35)

r r
Trong hệ toạ độ cực ta có: gij = ei . ej

x2

x k r
r

. ek
ei =
x i



gij =

x1

M
x2

x k x l
x k x k
.kl =
x i x j
x i x j

x1

O

Ta tính từng phần tử của gij.

Hình 9.1

x1 x1
x 2 x 2
2 2
2 2
g11 = 1
+
=
cos
+
sin
x
x = 1.
x x 1
x 1 x 1
x1 x1
x 2 x 2
g22 = 2
+
= [- x 1 cos x 2 ]2 + [ x 1 sin x 2 ] = ( x 1 )2 = 2.
2
2
2
x x
x x

g12

x1 x1
x 2 x 2
+
=0
= g21 = 1
x x 2
x 1 x 2

Ma trận biểu diễn của gij trong hệ toạ độ cực là;
1 0

gij =
2
0




(9.36)

Địng thức gij = 2
b) Trờng hợp hệ ( x 1 , x 2 ) là một hệ trục xiên. Công thức biến đổi toạ độ là:
x1 = x 1 + x 2 . cos
2
x = x 2 . sin

x1 x1
x 2 x 2
+
=1
x 1 x 1
x 1 x 1

g22 =

x1 x1
x 2 x 2
+
=1
x 2 x 2
x 2 x 2

x2

x2

Dễ dàng tính đợc:

g11 =

x2

x2

O



M
x1

x1

Hình 9.2

19

x 1 x1


g12 = g21 =

x1 x1
x 2 x 2
+
= cos
x 1 x 2
x 1 x 2

Ma trận biểu diễn của gij trong hệ trục xiên là:
cos
1
gij =

cos

1



(9.37)

Địng thức gij = 1 cos2 = sin2
Nhận xét:
* Công thức vi phân cung trong hệ trục xiên là:
ds2 = (dx1)2 + (dx2)2 = (d x 1 )2 + 2cos.d x 1 d x 2 + (d x 2 )2
* Các véctơ cơ sở đơn vị làm với nhau một góc , độ dài của véctơ cơ sở
trong hệ toạ độ xiên là:
r
e1 = g11 = 1.

r
e2 =

g22 = 1

r
r
Biểu diễn của OM qua các ei là: OM = x i . ei (i = 1, 2)

Các thành phần hiệp biến của OM đợc tính nhờ tenxơ gij : x i = gij . x j (i = 1, 2)
Cụ thể là:

x1 = g 11 . x 1 + g 12 . x 2 = x 1 + x 2 cos
x 2 = g 21 . x 1 + g 22 . x 2 = x 1 cos + x 2

x2

Hình vẽ cho ta thấy mối tơng quan đó.

Q

Nh vậy, các thành phần hiệp biến là do phép

Q

M

chiếu vuông góc với các trục toạ độ, còn các


thành phần phản biến là do phép chiếu song
với các trục toạ độ. Khi các trục không vuông
góc thì hai phép chiếu không trùng nhau.

O

P

P

Hình 9.3

8.2. Không gian Euclide ba chiều.

r r
r
Xét hệ toạ độ x1, x2, x3 có các véctơ đơn vị là e1 , e 2 và e 3 . Khi các trục

20


r r
toạ độ vuông góc với nhau ta có: e i . e j = gij ij (i, j = 1, 2, 3)

Ta sẽ xét biến đổi của gij khi chuyển sang hệ toạ độ cầu.
x 1 r; x 2 ; x 3
x3

Công thức biến đổi toạ độ là:

x1 = x 1 . cos x 3 . sin x 2
2
1
3
2
x = x . sin x . sin x
3
1
2
x = x . cos x



Biến đổi của gij theo công thức sau:

cụ thể là:

x1

gij =

x k x l
x k x k
.
=
kl
x i x j
x i x j

g11 =

x1 x1
x 2 x 2
x 3 x 3
+
+
= 1,
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1



M

M1

x2

Hình 9.4

x1 x1
x 2 x 2
x 3 x 3
g22 =
+
+
= ( x 1 ) 2 = r2
2
2
2
2
2
2
x x
x x
x x
x1
g33 = 3
x
r r
các véctơ cơ sở e1 , e 2 ,
véctơ cơ sở bằng:
r
e1 =

x1
x 2 x 2
x 3 x 3
+
+
= ( x 1 .sin x 2 )2 = r2.sin2
3
3
3
3
3
x
x x
x x
r
e 3 trực giao với nhau do đó gij = 0 với i j. Ngoài ra các

g11 = 1

r
e2 =

g22 = x 1 = r

r
e3 =

g33 = x 1 .sin x 2 = r.sin

Ma trận gij có dạng:
1 0

gij = 0 r 2
0 0


0

0
r 2 sin 2

(9.38)

Địng thức gij = r4sin2

21


Đ9 Tenxơ liên hợp của g - Nâng và hạ chỉ số của một tenxơ
9.1. Định nghĩa tenxơ liên hợp của tenxơ metric gij.

Định nghĩa: Gọi g là định thức của gij
g = g ij =
Giả sử g 0. Tenxơ liên hợp của gij là:

k ij
g =

ij

với

kij là phần phụ đại số ứng với phần tử (i, j) của gij: kij = (- 1)i+j. M ji

M ji là định thức con của gij sau khi bỏ đi hàng thứ j và cột thứ i.
gij là một tenxơ hạng hai phản biến và đối xứng, nó liên hợp với gij hay còn gọi là
nghịch đảo của gij.
gij.gjk = ik .

(9.39)

9.2. Thực hiện đợc phép nâng hay hạ chỉ số của một tenxơ.

Nhờ các tenxơ metric gij và tenxơ liên hợp gij ta có thể thực hiện đợc phép
nâng hay hạ chỉ số của một tenxơ.
Thí dụ: Có tenxơ Apq, muốn nâng chỉ số p lên ta làm nh sau: nhân với grp và
lấy tổng theo p, ta có:
r

grp.Apq = A q

(9.40)

Ngợc lại, muốn hạ chỉ số của tenxơ Apq ta nhân với tenxơ metric gpr
gpr.Apq = Arq
Các ví dụ khác:
Ars = grp.gsq. Apq,
Aprs = grq.Apqs,
Aq m tnk = gpk.gsn.gr m.Aqrtsp.
Những tenxơ thu đợc qua phép nhân với tenxơ metric hay với liên hợp
của nó gọi là tenxơ kết hợp của tenxơ đã cho.
22


Am và Am là hai tenxơ kết hợp vì

Ví dụ:

Am = gmrAr
Am = gmrAr

hoặc

Đó là quan hệ giữa thành phần hiệp biến và thành phần phản biến của

r
véctơ A . Hai thành phần này nói chung là khác nhau. Chúng chỉ bằng nhau khi
hệ trục toạ độ trực giao, tức là:
gmk = mk
gmk = mk.

hay

Chú ý: xét tích vô hớng của hai ten xơ hạng hai T và U, ta sẽ đơn giản hóa công
thức (9.33):
r
r
r
r
r
r
T U = T mk e m e k .U pr e p e r = T mk .U pr .g kp e m e r
r
r
r
r
= T mk .U rk e m e r = V mr e m e r

Viết gọn lại dới dạng chỉ số ta có:
TU = V
trong đó:

V mr = T mk .U rk

23

(9.41)


Chơng 10

Tenxơ hạng hai
Trong chơng này ta xét cụ thể trờng hợp tenxơ hạng hai trong không
gian Euclide. Để dễ dàng trong cách biểu diễn ma trận của tenxơ hạng hai, ta ôn
lại một số vấn đề cần thiết về ma trận.

Đ1 Ma trận - Các phép tính đại số ma trận.
1.1. Ma trận.
Ma trận là một bảng các phần tử đặt trong dấu móc vuông và tuân theo
quy tắc tính xác định. Ma trận mìn gồm m hàng và n cột các phần tử.
Ví dụ: ma trận A đợc cho bởi bảng sau:

a 11
a
A = [Aij] = 21
...

a m1

a 12
a 22
...
a m2

... a 1n
... a 2 n
( i = 1, 2 . . ., m; j = 1, 2, . . ., n)
... ...

... a mn

Nếu m = n ma trận là vuông.
Nếu m = 1 ma trận 1ì n chỉ có một hàng và gọi là ma trận hàng.
Nếu n =1, ma trận m ì 1 là ma trận chỉ có một cột và gọi là ma trận cột.
1.2. Ma trận chuyển vị.

Giả sử có ma trận A = [Aij] vuông. Ma trận chuyển vị của ma trận A là ma
trận nhận đợc bằng cách đổi hàng thành cột của ma trận A. Ta có:
a 11
a
T
T
A = [Aij] = 12
...

a 1 n

a 21
a 22
...
a 2n

... a n1
... a n 2

... ...

... a nn

24


Nếu ma trận A là ma trận m ì n thì chuyển vị của nó AT là một ma trận n
ì m có đợc bằng cách chuyển hàng thành cột của ma trận A. Nh vậy, chuyển

vị của ma trận cột là ma trận hàng (và ngợc lại).
r
Thí dụ: Ma trận biểu diễn véctơ e1 là một ma trận cột, nghịch đảo của nó là một

ma trận hàng
1

r
[ e1 ] = 0 ;
0


r
[ e 1 ]T = [ 1 0 0 ]

1.3. Định thức của ma trận.

Định thức của ma trận A ký hiệu là:
A 11

A 12

A 13

det A = detA = A 21

A 22
A 32

A 23
A 33

A 31

Hoặc detA = det A = A ij = ijk .A i1 A j2 A k3 .
ijk là một tenxơ hạng 3 hoàn toàn phản đối xứng đối với phép hoán vị hai chỉ số

bất kỳ ( ijk = 0 nếu có hai chỉ số trùng nhau; bằng 1 nếu nó lập thành một hoán vị
chẵn từ 1, 2, 3 ; bằng - 1 nếu nó lập thành một hoán vị lẻ từ 1, 2, 3 và đợc gọi
là tenxơ Levi Chivit).
Định thức của ma trận có tính chất sau:
det I = 1

( I là ma trận đơn vị)

det = an.detA

(n là cấp của ma trận vuông, a = const)

detAT = detA
det = detA1detA2 . . . detAm
1.4. Ma trận nghịch đảo.

Ma trận A bất kỳ có nghịch đảo A-1 chỉ khi nó là một ma trận vuông có
không suy biến, tức là một ma trận vuông có định thức khác không: 0
Các thành phần của ma trận nghịch đảo đợc tính theo công thức:

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×