Tải bản đầy đủ

tich phan pho thong trung hoc

Tích phân

Trần Só Tùng

I=ò

(Ax + B)dx
(lx + m)n ax 2 + bx + c

Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh: I = ò

dx
(x + 1) x 2 + 2x + 2
Giải:

Đặt: t =

1
1
Þ x = -1
x +1

t

dt
ì
1
khi t > 0
ï
t(- 2 )dt
2
dx
dt
1
1
+
t
ï
t
suy ra: dx = - 2 dt,
=
==í
2
dt
t
1
1
(x + 1) x + 2x + 2
khi t < 0
t. 2 + 1 ï
2 +1
ïỵ 1 + t 2
t
t
Khi đó:
Ÿ

Với t > 0, ta được:
I = -ò

dt
1+ t



2

= - ln t + 1 + t 2 + C = - ln

1
1
+ 1+
+C
x +1
(x + 1)2

1 + x 2 + 2x + 2
x +1
1 - x 2 + 2x + 2
= - ln
+ C = ln
+ C = ln
+ C.
x +1
x +1
1 + x 2 + 2x + 2
Ÿ

Với t < 0, ta được:
I=ò

1
1
1 - x 2 + 2x + 2
= ln t + 1 + t + C = ln
+ 1+
+ C = ln
+ C.
x +1
x +1
(x + 1)2
1 + t2
dt

2

1 - x 2 + 2x + 2
Tóm lại với t ¹ 0 Û x ¹ -1 ta luôn có: I = ln
+ C.
x +1
3. SỬ DỤNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Bài toán 3: Tính tích phân các hàm vô tỉ bằng phương pháp tích phân từng phần
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Với các hàm vô tỉ, trong phạm vi phổ thông phương pháp tích phân từng phần ít được sử
dụng, tuy nhiên chúng ta cũng cần xem xét.
Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: I =

ò

x 2 + adx
Giải:

xdx
ì
ìï u = x 2 + a
ïdu =
Đặt: í
Þ í
x2 + a
ïỵdv = dx
ïv = x


Trang 76


Trần Só Tùng

Tích phân

Khi đó: I = x x 2 + a - ò
Với J = ò

x 2 dx
x2 + a



x 2 dx

(1)

2

x +a

[(x 2 + a) - a]dx
x2 + a

dx

= ò x 2 + adx - a ò

= I - a ln x + x 2 + a + C.

x2 + a

(2)

Thay (2) vào (1) ta được:
I = x x 2 + a - (I - a ln x + x 2 + a + C) Û I =

x 2
a
x + a + ln x + x 2 + a + C.
2
2

4. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI

Dạng 1: Tính tích phân bất đònh I = ò

x-a
dx, với a > 0
x+a

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

éx ³ a
Vì điều kiện ê
ë x < -a'
Ta xét hai trường hợp:
·

Với x ³ a thì:

x -a
x-a
2xdx
dx
dx = ò
dx = ò
-
x+a
x 2 - a2
2 x 2 - a2
x 2 - a2

ò

= x 2 - a2 - ln x + x 2 - a2 + C.
·

Với x < –a thì:

ò

x -a
a-x
dx
2xdx
dx = ò
dx = a ò

x+a
x 2 - a2
x 2 - a2
2 x 2 - a2

= ln x + x 2 - a2 - x 2 - a2 + C.
Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh: I = ò

x -1
dx
x +1
Giải:

éx ³ 1
Vì điều kiện ê
. Ta xét hai trường hợp:
ë x < -1
x -1

·

Với x < –1. Ta có:
1- x
dx
2xdx
I=ò
dx = ò

= ln x + x 2 - 1 - x 2 - 1 + C
2
2
2
x -1
x -1
2 x -1

x -1

Dạng 2: Tính tích phân bất đònh I = ò

2

2 x -1



dx

Với x ³ 1 . Ta có: I = ò

2

dx = ò

2xdx

·

2

x -1

= x 2 - 1 - ln x + x 2 - 1 + C

dx
, với a ¹ 0 vàb - c ¹ 0.
ax + b + ax + c

Trang 77


Tích phân

Trần Só Tùng

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:
I=
=

1
1
( ax + b + ax + c)dx =
[ò (ax + b)1/ 2 d(ax + b) + ò (ax + c)1/ 2 d(ax + c)]
ò
b-c
a(b - c)
2
[ (ax + b)3 + (ax + c)3 ] + C
2a(b - c)

Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh: I = ò

dx
+ x -1
x +1
Giải:

Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:
1
1
I = ò ( x + 1 + x - 1)dx = [ò (x + 1)1/ 2d(x + 1) + ò (x - 1)1/ 2 d(x - 1)]
2
2
1
= [ (x + 1)3 + (x - 1)3 ] + C
3
Chú ý: Một phép biến đổi rất phổ biến đối với các hàm số vô tỉ là phương pháp phân
tích, chúng ta sẽ đi xem xét các dạng cơ bản sau:
Dạng 3: Tính tích phân bất đònh I = ò

v(x)dx
u2 (x) ± a

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:
·

Bước 1: Phân tích:

v(x)
u2 (x) + a

=

a[u2 (x) + a]
u2 (x) + a

+

bu(x)

+

u2 (x) + a

c
u2 (x) + a

Sử dụng phương pháp hằng số bất đònh ta xác đònh được a, b, c.
·

Bước 2: Áp dụng các công thức:
1. ò

xdx
2

x ±a

2. ò

= x 2 ± a + C.

3. ò x 2 ± adx =

dx
2

x ±a

= ln x + x 2 ± a + C

x 2
a
x ± a ± ln x + x 2 ± a + C.
2
2

Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh: I = ò

(2x 2 + 1)dx
x 2 + 2x
Giải:

Ta có:

2x 2 + 1
x 2 + 2x

=

2x 2 + 1
(x + 1)2 - 1

=

a[(x + 1)2 - 1]
(x + 1)2 - 1

Trang 78

+

b(x + 1)
(x + 1)2 - 1

+

c
(x + 1)2 - 1


Trần Só Tùng

=

Tích phân

ax 2 + (2a + b)x + b + c
x 2 + 2x

ìa = 2
ìa = 2
ï
ï
Đồng nhất đẳng thức, ta được: í2a + b = 0 Û í b = -4
ïb + c = 1
ïc = 5


Khi đó:

2x 2 + 1
x 2 + 2x

4(x + 1)

= 2 (x + 1)2 - 1 -

Do đó: I = ò [2 (x + 1)2 - 1 -

(x + 1)2 - 1

4(x + 1)
(x + 1)2 - 1

+

5
(x + 1)2 - 1

5

+

(x + 1)2 - 1

]dx

= (x + 1) x2 + 2x - ln x + 1 + x2 + 2x - 4 x2 + 2x + 5ln x + 1 + x2 + 2x + C
= (x + 1) x 2 + 2x + 4 ln x + 1 + x 2 + 2x - 4 x 2 + 2x + C.

BÀI TẬP
Bài 30. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
x3
x
x3
1
; e/ 3
; c/
; d/
;
3 4
2x + 1 + 1
x+2
x
+
x
1+ x +1
1
x
1
f/
; g/ 10
h/ tgx +
3
x +1
2x + 1 + 2x - 1
(2x + 1)2 - 2x + 1

a/

ĐS:

x +1
; b/
3
3x + 1

a/

1ỉ1 3
ư
(3x + 1)5 + 3 (3x + 1)2 ÷ + C;
ç
3è 5
ø

c/

1
(x 2 + 2)3 - 2 x 2 + 2 + C;
3

d/

b/

1
1
(2x + 1)3 - (2x + 1) + C;
6
4

33 4
3
3
(x + 1)2 - 3 x 4 + 1 + ln( 3 x 4 + 1 + 1) + C;
8
4
4

e/ 2 x - 3 3 x - 6 6 x + ln( 6 x + 1) + C;
36
(2x + 1)2 + 3 6 2x + 1 + 3ln 6 2x - 1 - 1 + C;
2
10 10
10
1
g/
(x + 1)19 - 10 (x + 1)9 + C; h/ - ln cos x + éê (2x + 1)3 - (2x - 1)3 ùú + C.
û
19
9

Bài 31. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
x
1
1
1
a/
;
b/
; c/
; d/
9x 2 - 6x
x 2 + 6x + 8
x 2 + 2x + 3
x2 - x - 1
4x + 5
2x
x2 + 1
x
e/
; f/
; g/
; h/
.
2
2 3
x x4 + 1
x 2 + 6x + 1
x + x2 - 1
1 + x + (1 + x )
f/

1
9x 2 - 6x + ln 3x - 1 + 9x 2 - 6x + C; b/ ln x + 1 + x 2 + 2x + 3 + C;
9
1
c/ ln x + 3 + x 2 + 6x + 8 + C;
d/ ln x - + x 2 - x - 1 + C;
2
ĐS: a/

Trang 79


Tích phân

Trần Só Tùng

e/ 4 x 2 + 6x + 1 - 7 ln x + 3 + x 2 + 6x + 1 + C;

f/

2

1


g/ ln x - + ç x - ÷ + 2 + C;
x

è
Bài 32a/ Biết rằng

dx

ò

x2 + 3

Tính

ò

h/ 2 1 + 1 + x 2 + C.

= ln(x + x 2 + 3) + C.

Tìm nguyên hàm của F(x) =
b/

2 2 2
x (x 2 - 1)3 + C;
3
3

ò

x 2 + 3dx

x 2 - 4x + 8dx.

1
3
x x 2 + 3 + ln(x + x 2 + 3) + C.
2
2
1
b/
(x - 2) x 2 - 4x + 8 + 2 ln x - 2 + x 2 - 4x + 8 + C.
2
Bài 33. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1
1
;
b/
.
a/
(x 2 + 16)3
(1 - x 2 )3
ĐS: a/

x

ĐS: a/

x

+ C.
16 x + 16
1 - x2
Bài 34. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1
x -1
1
a/
;
b/
; c/
;
(x - 1) 1 - x 2
(x + 1) x 2 + 1
(x - 1) - x 2 + 2x + 3
d/

+ C;

2

1
x + x2 + x + 1

;

1+ x
ĐS: a/ + C;
1- x

b/

e/

x2
x2 + x + 1

;

f/

1
.
1+ x + 1+ x

1 - x + 2(x 2 + 1)
b/ ln x + x + 1 + 2 ln
+ C;
2(x + 1)
2

1 2 + -x 2 + 2x + 3
c/ - ln
+ C;
2
2(x - 1)
3
1
t4
d/
+ ln
+ C, với t = x + x 2 + x + 1.
3
2(1 + 2t) 2 1 + 2t
e/
f/

1
1
1
(2x - 3) x 2 + x + 1 - ln x + + x 2 + x + 1 + C;
4
8
2
1
1
1 t -1
1+ x
x + x - x.t + ln
+ C, với t =
.
2
2
4 t +1
x

Trang 80


Trần Só Tùng

Tích phân

Vấn đề 10: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SIÊU VIỆT
Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số siêu việt ta cần linh hoạt lựa chọn một
trong các phương pháp cơ bản sau:
1.

Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản

2.

Phương pháp phân tích

3.

Phương pháp đổi biến

4.

Phương pháp tích phân từng phần.

1. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm siêu việt dựa trên các dạng nguyên hàm
cơ bản
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Bằng các phép biến đổi đại số, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về các
dạng nguyên hàm cơ bản đã biết.
Ví dụ 1: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/ I = ò

dx
x
e - e- x

b/

J=

2 x.ex
dx
16 x - 9 x

Giải:
d(ex ) 1 ex - 1
a/ Ta có: I = ò 2x
= ln
+C
e - 1 2 ex + 1
b/ Chia tử và mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân cho 4x, ta được:
x
éỉ 4 ư x ù
ỉ4ư
d êç ÷ ú
ç ÷
1
3
è
ø
ëè 3 ø û dx = 1 . 1 ln
J=ò
dx =
2x
ò
4 ỉ 4 ư2x
4 2
ỉ4ư
ln
ln
1
1
ç ÷
3 çè 3 ÷ø
3
è3ø

x

ỉ4ư
ç ÷ -1
è3ø
+C
x
ỉ4ư
ç ÷ +1
è3ø

1
4 x - 3x
=
.ln x
+ C.
2(ln 4 - ln 3)
4 + 3x
2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Bài toán 2: Xác đònh nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp phân tích
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Cần hiểu rằng thực chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất đònh, nhưng ở
đây ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc.
dx
.
Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh : I = ò
1 - ex
Trang 81


Tích phân

Trần Só Tùng

x

Sử dụng đồng nhất thức: 1 = 1 - e ) + e

x

Giải:

1
(1 - ex ) + ex
ex
=
=
1
+
.
1 - ex
1 - ex
1 - ex

ex ư
d(1 - ex )
Suy ra: I = ò ç 1 +
dx = ò dx - ò
= x - ln 1 - ex + C.
x ÷
x
1- e
è 1- e ø

Ta được:

3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Bài toán 3: Xác đònh nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp đổi biến
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Phương pháp đổi biến được sử dụng cho các hàm số siêu việt với mục đích chủ
đạo để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, tuy nhiên
trong nhiều trường hợp cần tiếp thu những kinh nghiệm nhỏ đã được minh hoạ bằng các
chú ý trong vấn đề 4.
dx
Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh : I = ò
.
2x
1+ e
Giải:
·

Cách 1: Đặt t = 1 + e2 x Û t 2 = 1 + e2 x
tdt
dx
tdt
dt
&
= 2
= 2
Suy ra: 2tdt = 2e2 x dx Û dx = 2
t -1
1 + e2 x t(t - 1) t - 1

dt
1 t -1
1
1 + e2x
Khi đó: I = ò 2
= ln
+ C = ln
+C
2
t -1 2 t +1
1 + e2x + 1
· Cách 2: Đặt: t = ex
dx
dx
dx
dx
-dt
Suy ra: dt = -e-xdx Û - dt = x ,
=
=
=
.
e
1 + e2x
e2x (e-2x + 1) ex e-2x + 1
t2 +1
dx
dt
Khi đó: ò
= -ò
= - ln t + t 2 + 1 + C = - ln e - x + e- x + 1 + C.
2x
2
1+ e
t +1
dx
Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh : I = ò x
e - ex / 2
Giải:
1
dx
Đặt t = e- x / 2 . Suy ra: dt = e- x / 2dx Û - 2dt = x / 2 ,
2
e
dx
dx
e - x / 2 dx
-2tdt
1 ư

= x
= x/ 2
=
= 2 ç1 +
÷ dt
x
x/ 2
-x / 2
-x / 2
e -e
e (1 - e
) e (1 - e
) 1- t
è t -1 ø
1 ư

-x / 2
Khi đó: I = 2 ò ç 1 +
+ ln e- x / 2 + 1 + C.
÷dt = 2(e
è t -1 ø
4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Bài toán 4: Tìm nguyên hàm các hàm siêu việt bằng phương pháp tích phân từng
phần
Trang 82



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×