Tải bản đầy đủ

tich phan pho thong trung hoc

Trần Só Tùng

Tích phân

ỉp
ư ỉp
ư
Ví dụ 12: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = tgxtg ç - x ÷ tg ç + x ÷
è3
ø è3
ø
Giải:
ỉp
ư
ỉp
ư
sin x.sin ç - x ÷ .sin ç + x ÷
è3
ø
è3
ø

Ta có: f(x) =
ỉp
ư
ỉp
ư
cos x.cos ç - x ÷ .cos ç + x ÷
è3
ø
è3
ø

(1)

Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được:
2p ư
ỉp
ư
ỉp
ư 1

sin x.sin ç - x ÷ .sin ç + x ÷ = sin x ç cos 2x - cos ÷
3 ø
è3
ø
è3
ø 2
è
2p
ỉp
ư
ỉp
ư 1

ư
cos x.cos ç - x ÷ .cos ç + x ÷ = cos ç cos
+ cos 2x ÷
3
è3
ø
è3


ø 2
è
ø
1
1
1
1
1
= - cos x + cos 2x.cos x = - cos x + (cos3x + cos x) = cos3x.
4
2
4
4
4
Suy ra: f(x) = tg3x
1
1 sin 3x
1 d(cos3x)
1
Khi đó: F(x) = ò tg3xdx = ò
dx = - ò
= - ln cos3x + C.
4
4 cos3x
12 cos3x
12
2.2. Sử dụng phép hạ bậc:
Ở đây chúng ta nhớ lại các công thức sau:
1 - cos2x
3sin x - sin 3x
a/ sin 2 x =
c/
sin 3 x =
2
4
1 + cos x
3 cos x + cos3x
b/ cos2 x =
d/
cos3 x =
2
4
được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính cục bộ, còn hằng đẳng thức:
sin 2 x + cos2 x = 1.
được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính toàn cục cho các biểu thức, ví dụ như:
1
1
sin 4 x + cos4 x = (sin 2 x + cos2 x)2 - 2sin 2 x.cos2 x = 1 - sin 2 2x = 1 - (1 - cos 4x)
2
4
1
3
= cos 4x +
4
4
3
sin 6 x + cos6 x = (sin 2 x + cos2 x)3 - 3sin 2 x + cos2 x) = 1 - sin 2 2x
4
3
3
5
= 1 - (1 - cos 4x) = cos 4x + .
8
8
8
Ví dụ 13: (HVQHQT_98): Tìm họ nguyên hàm của hàm số :
a/ f(x) = sin3 x.si n3x
b/ f(x) = sin 3 x.cos3x + cos3 x.sin 3x.
Giải:
Trang 61


Tích phân

Trần Só Tùng

a/ Biến đổi f(x) về dạng:
f(x) =

3sin x - sin x
3
1
.sin 3x = sin 3x.sin x - sin 2 3x.
4
4
4

3
1
1
= ( cos 2x - cos 4x ) x - (1 - cos 6x) = (3 cos2x - 3cos 4x + cos6x - 1) .
8
8
8
Khi đó: F(x) =

1
(3cos2x - 3cos 4x + cos 6x - 1)dx

1ỉ 3
3
1
ư
= ç sin 2x - sin 4x + sin 6x - x ÷ + C.
8è2
4
6
ø

b/ Biến đổi f(x) về dạng:
f(x) =

3sin x - sin 3x
cos3x + 3 cos x
.cos3x +
.sin 3x
4
4

3
3
= (cos3x.sin x + sin 3x.cos x) = sin 4x.
4
4
Khi đó: F(x) =

3
3
sin 4xdx = - cos 4x + C.
ò
4
16

2.3. Sử dụng các phép biến đổi lượng giác khác nhau
Ở đây ngoài việc vận dụng một cách linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác các
em học sinh còn cần thiết biết các đònh hướng trong phép biến đổi.
Ví dụ 14: (ĐHNT TP.HCM_99): Tìm họ nguyên hàm của hàm số :
a/ f(x) =

sin x - cos x
;
sin x + cos x

b/

f(x) =

cos2x
.
sin x + cos x

Giải:
a/ Ta có: F(x) = ò

sin x - cos x
d(sin x + cos x)
= -ò
= - ln(sin x + cos x) + C
sin x + cos x
sin x + cos x

b/ Ta có: F(x) = ò

cos 2x
cos2 x - sin 2 x
dx = ò
dx
sin x + cos x
sin x + cos x

= ò (cos x - sin x)dx = sin x + cos x + C.
Ví dụ 15: (ĐHNT HN_97): Tính tích phân bất đònh: I = ò

sin 3x.sin 4x
.
tgx + cot g2x

Giải:
Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng:
sin 3x.sin 4x sin 3x.sin 4x
1
=
= sin 4x.sin 3x.sin 2x = (cos x - cos 7x)sin 2x
cos x
tgx + cot g2x
2
cos x.sin 2x
Trang 62


Trần Só Tùng

Tích phân

1
1
= (sin 2x.cos x - cos 7x.sin 2x) = (sin 3x + sin x - sin 9x + sin 5x).
2
4
Khi đó: I =

1
(sin x + sin 3x + sin 5x - sin 9x)dx


1
1
1
1
= - (cos x + cos3x cos 5x - cos 9x) + C.
4
3
5
9
Tổng quát: Cách tính phân dạng:

ò sin

m

x.cos n xdx với m, n là những số nguyên được

tính nhờ các phép biến đổi hoặc dùng công tức hạ bậc.
3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Bài toán 3: Tính tích phân các hàm lượng giác bằng phương pháp đổi biến
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Tính tích phân bất đònh sau: I = ò R(sin x, cos x)dx trong đó R là hàm hữu tỉ.
Ta lựa chọn một trong các hướng sau:


Hướng 1: Nếu R(- sin x, cos x) = - R(sin x, cos x)
thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là t = cosx



Hướng 2: Nếu R(sin x, - cos x) = - R(sin x, cos x)
thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là t = sinx



Hướng 3: Nếu R(- sin x, - cos x) = - R(sin x, cos x)
thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là t = tgx
(đôi khi có thể là t = cotgx).
Do đó với các tích phân dạng:
1. I = ò tg n xdx, với n Ỵ Z được xác đònh nhờ phép đổi biến t = tgx.
2. I = ò cot g n xdx, với n Ỵ Z được xác đònh nhờ phép đổi biến t = cotgx.



Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi
x
biến t = tg .
2

Ví dụ 16: (ĐHNT Tp.HCM_97): Tính tích phân bất đònh: I = ò
Giải:
Biến đổi I về dạng: I =

ò

(1 + sin x)cos x
2 + sin x

Đặt t = sinx
Suy ra: dt = cos xdx &

(1 + sin x) cos x
1+ t
dx =
dt
2 + sin x
2+t
Trang 63

cos x + sin x.cos x
dx.
2 + sin x


Tích phân

Trần Só Tùng

Khi đó: I = ò

1+ t
1 ư

dt = ò ç 1 ÷dt = t - ln | 2 + t | + C = sin x - ln | 2 + sin x | + C
2+t
è 2+tø

Nhận xét: Trong bài toán trên sở dó ta đònh hướng được phép biến đổi như vậy là bởi
nhận xét rằng: R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx) do đó sử dụng phép đổi biến
tương ứng là t = sinx.
Ví dụ 17: (ĐHTCKT HN_96): Tính tích phân bất đònh: I = ò

Biến đổi I về dạng: I =

dx
4

3

5

sin x.cos x

.

Giải:
dx

dx

ò 4 tg3 x.cos8 x = cos2 x 4 tg3 x

Đặt: t = tgx
Suy ra: dt =
Khi đó:

dt

dx
dx
dt
&
=
2
cos x
cos2 x 4 tg3 x 4 t 3

ò 4 t3

= 4 4 t + C = 4 4 tgx + C.

1
1
=
điều này rất quan trọng, khởi
2
t
|t|
khi đó ta phải xét hai trường hợp t > 0 và t < 0.

Chú ý: Như chúng ta đã thấy trong vấn đề 8 là

Ví dụ 18: Tính tích phân bất đònh: I = ò

sin xdx
cos x sin 2 x + 1
Giải:
dt

Đặt t = cosx Þ dt = –sinxdx do đó: I = - ò

t 2 - t2
Ta cần xét hai trường hợp t > 0 và t < 0. Cụ thể:
· Với t > 0, ta được:
ỉ1ư
dç ÷
dt
1
2
2
1
I=ò
=ò ètø =
ln 2 + 2 - 1 + C =
ln
t
t
2
2
2
2
t2 2 - 1
-1
t
t2
· Với x < 0, ta được:
ỉ1ư
dç ÷
dt
1
2
2
I=ò
ln
= -ò è t ø = + 2 -1 + C
t
t
2
2
2
t2 2 - 1
1
t
t2
=-

1
ln
2

2 + 2 - t2
1
+C =
ln
t
2

Tóm lại ta được:
Trang 64

2 + 2 - t2
+ C.
t

2 + 1 + sin 2 x
+ C.
cos x


Trần Só Tùng

I=

Tích phân

1
ln
2

2 + 2 - t2
1
+C=
ln
t
2

2 + 1 + sin 2 x
+ C.
cos x

4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Bài toán 3: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác bằng phương pháp tích phân
từng phần.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Chúng ta đã được biết trong vấn đề: Xác đònh nguyên hàm bằng phương pháp tích phân
từng phần, đối với các dạng nguyên hàm:
Dạng 1: Tính: ò P(x)sin axdx hoặc ò P(x) cos axdx với P là một đa thức thuộc R[x] và
a Ỵ R* .

ì u = P(x)
ì u = P(x)
Khi đó ta đặt: í
hoặc í
ỵdv = sin axdx
ỵdv = cos axdx
Dạng 2: Tính: ò eax cos(bx) (hoặc ò eax sin(bx) với a, b ¹ 0
ì u = cos(bx)
ì u = sin(dx)
Khi đó ta đặt: í
hoặ
c
í
ax
ax
ỵdv = e dx
ỵdv = e dx
x
Ví dụ 19: Tính tích phân bất đònh: I = ò
dx
cos2 x
Giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, bằng cách đặt:
ìu = x
ìdu = dx
ï
í
dx Þ í
ỵv = tgx
ïỵdv = cos2 x
sin x
d(cos x)
dx = x.tgx + ò
= x.tgx + ln | cos x | +C.
Khi đó: I = x.tgx - ò tgxdx = x.tgx - ò
cos x
cos x
cos2 xdx
Ví dụ 20: Tính tích phân bất đònh: I = ò
.
sin 3 x
Giải:
cos x.d(sin x)
.
sin3 x
ì u = cos x
ìdu = - sin xdx
ï
ï
Đặt: í
d(sin x) Þ í
1
ïỵdv = sin 3 x
ïỵ v = - sin 2 x
Biến đổi I về dạng: I =

Khi đó: I = -

ò

cos x
dx
cos x

x
=
d
ln
tg
ç
sin 2 x ò sin x
sin 2 x ò è
2

Trang 65

ư
cos x
x
÷ = - 2 - ln tg + C.
sin x
2
ø


Tích phân

Trần Só Tùng

BÀI TẬP
Bài 28. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
a/ f(x) =

c/ f(x) =
f/
ĐS:

1


cos x cos ç x + ÷
è

cos2 x
sin x + 3 cos x

b/ f(x) =

d/ f(x) =

f(x) = (sin 4x + cos 4x)(sin 6x + cos6x)
a/ - 2 ln 1 - tgx + C;

b/ -

1
2 + sin x - cos x
sin x
e/ f(x) = sin x.si n2x.cos5x
1 + sin 2x


g/ f(x) = sin ç x - ÷ . ( 2 + sin 2x )
è


1
ỉ x pư
cot g ç + ÷ + C;
è2 8ø
2

1 ỉ
pư 1
1
1
ỉ x pư
ỉ x pư
c/ sin ç x + ÷ + ln tg ç + ÷ + C; d/
ln tg ç + ÷ +
+ C;
2 è
6ø 8
è2 6ø
è 2 8 ø 2(sin x + cos x)
2 2
1ỉ1
1
1
1
3
ư
e/ ç sin 2x + sin 4x - sin 8x ÷ + C; f/ (33x + 7sin 4x + si n8x) + C;
4è2
4
8
64
8
ø

pư 1 ỉ
p ứ



g/ ê -4 cos ç x - ÷ + sin ç x + ÷ - sin ç 3x - ÷ ú + C.

è

è
4ø 3 è
4 øû
Bài 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau:
sin 3 x
a/ f(x) =
(ĐHSP II Hà Nội _1999)
3sin 4x - sin 6x - 3sin 2x
b/ I = ò cos5x.tgxdx
K = ò cos3x.tgxdx
(ĐHNT Tp.HCM– A_2000)
1
x
cot gx
d/ f(x) =
e/ f(x) =
2
sin 2x - 2sin x
sin x
1 + sin x




f/ f(x) = tg ç x + ÷ .cot g ç x + ÷
g/ f(x) = (x 2 + 2)sin 2x


è
è
1
si n3x - 1
ĐS: a/ - ln
+ C;
48 sin 3x + 1
1
b/ I = 2sinx - 2 sin 3x + sin 5x + C;
K = - cos3x + 2 cos x + C;
3
1ỉ
2
cos x - 1 ư
c/ ç
+ ln
+ C;
d/ -x cot gx + ln sin x + C;
8 è 1 - cos x
cos x - 1 ÷ø
c/ f(x)=

e/

g/



cos ç x - ÷
sin x
1

è
f/ x +
ln
+ C;
ln
+ C;
1 + sin x
3 cos ỉ x + p ư
ç
÷

è
1
1
3
- x 2 cos2x + x sin 2x - cos2x + C.
2
2
4

Trang 66


Trần Só Tùng

Tích phân

Vấn đề 9: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ
Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong
các phương pháp cơ bản sau:
1.

Phương pháp đổi biến.

2.

Phương pháp tích phân từng phần.

3.

Sử dụng các phép biến đổi.

Hai công thức thường sử dụng:
1.

ò

2.

ò

xdx
2

x ±a
dx
x2 ± a

= x2 ± a + C
= ln x + x 2 ± a + C.

1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm số vô tỉ bằng phương pháp đổi biến
Dạng 1: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và

I = ò R ç x,
è

n

n

ax + b
có dạng:
cx + d

axx + b ư
÷dx với ad - bc ¹ 0.
cx + d ø
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:
·

Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:
Đặt: t =

·

n

ax + b
ax + b
b - dt n
Þ tn =
Û x= n
cx + d
cx + d
ct - a

Bước 2: Bài toán được chuyển về: I = ò S(t)dt.



a+ x ư
Chú ý: Với hai dạng đặc biệt: I = ò R ç x,
÷dx hoặc I = ò R ç x,
a-x ø
è
è
đã biết với phép đổi biến: x = acos2t.
Trường hợp đặc biệt, với I = ò


a-x ư
÷ dx chúng ta
a+ x ø

a+ x
dx , ta có thể xác đònh bằng cách:
a-x

a+ x
có nghóa khi -a £ x < a nên x + a > 0, do đó (a + x)2 = a + x.
a-x

Khi đó: I = ò

x+x
a+ x
dx
xdx
+ò 2
dx = ò
dx = a ò
a-x
a - x2
a2 - x 2
a2 - x 2
Trang 67



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×