Tải bản đầy đủ

tich phan pho thong trung hoc

Tích phân

Trần Só Tùng

Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh: I =

dx
ò (1 + x 2 )3
Giải:

Đặt: x = tgt; -

p
p
dt
< t < . Suy ra: dx =
&
2
2
cos2 t


Khi đó: I = ò cos tdt = sin t + C =

x
1 + x2

dx
(1 + x 2 )3

=

cos3 tdt
= cos tdt.
cos2 t

+C

Chú ý:
1. Trong ví dụ trên sở dó ta có:

1
1 + x2

= cos t và sin t =

x
1 + x2

ì cos2 t = cos t
p
p
ï
là bởi: - < t < Þ cos t > 0 Þ í
x
2
2
ïsin t = tgt.cos t =
1 + x2

2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát:
I=



ò

dx
2

(a + x 2 )2 k +1

, với k Ỵ Z.

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân I = ò f(x)dx.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
+ Bước 2: Xác đònh vi phân dt = y '(x)dx.
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó I = ò g(t)dt.
Dấu hiệu
Hàm số mẫu có
Hàm số f(x, j(x)
a.sin x + b.cos x
Hàm f(x) =
c.sin x + d.cos x + e
Hàm f(x) =

1
(x + a)(x + b)

Trang 16

Cách chọn
t là mẫu số
t = j(x)
x
x
t = tg (với cos ¹ 0)
2
2
· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt:
t = x+a + x+b
· Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt:
t = x - a + -x - b


Trần Só Tùng

Tích phân

Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: I = ò x 3 (2 - 3x 2 )8 dx.
Giải:
Đặt: t = 2 - 3x .
2

Suy ra: dt = 6xdx

x3 (2 - 3x2 )8 dx = x2 (2 - 3x2 )8 xdx =
Khi đó: I =

2-t 2-t 8 ỉ 1 ư 1 9
.t .ç - dt ÷ = (t - 2t 8 )dt.
=
3
3
è 6 ø 18

1
1ỉ 1
2 ư
1 10 1 9
(t 9 - 2t 8 )dt = ç t10 - t 9 ÷ + C =
t - t +C
ò
18
18 è 10
9 ø
180
81

Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: I =

ò

x 2dx
1- x
Giải:

Đặt: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2
Suy ra: dx = - 2tdt &

x 2 dx (1 - t 2 )2 ( -2tdt)
=
= 2(t 4 - 2t 2 + 1)dt
t
1- x

2
2
ỉ1
ư
Khi đó: I = 2 ò (t 4 - 2t 2 + 1)dt = -2 ç t 5 - t 3 + t ÷ + C = - (3t 4 - 10t 2 + 15)t + C
3
15
è5
ø
=-

2
2
[3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] 1 - x + C = - (3x 2 + 4x + 8) -1x + C
15
15

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: I = ò x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx.
Giải:
1 - t3
3
Đặt: t = 1 - 2x Þ x =
. Suy ra: 2xdx = - t 2 tdt,
2
2
3

2

2

x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx = x 2 3 (1 - 2x 2 )2 xdx =
Khi đó: I =

3 7 4
(t - t )dt =


1 - t3 2 ỉ 3 2 ư 3 7 4
.t ç - t dt ÷ = (t - t )dt.
2
è 4
ø 8

3ỉ1 8 1 5 ư
3
(5t 6 - 8t 3 )t 2 + C
ç t - t ÷+C=
8è8
5 ø
320

=

3
[5(1 - 2x 2 )2 - 8(1 - 2x 2 )] 3 (1 - 2x 2 )2 + C
320

=

3
(20x 4 - 4x 2 - 3) 3 (1 - 2x 2 )2 + C.
320

Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh: I = ò sin 3 x cos xdx.
Giải:
Đặt: t = cos x Þ t 2 = cos x
dt = sinxdx,
Trang 17


Tích phân

Trần Só Tùng

sin 3 x cos xdx = sin 2 x cos x sin xdx = (1 - cos2 x) cos x sin x dx
= (1 - t 4 ).t.(2tdt) = 2(t 6 - t 2 )dt.
1 ư
2
ỉ1
Khi đó: I = 2 ò (t 6 - t 2 )dt = 2 ç t 7 - t 3 ÷ + C = (3t 6 - 7t 2 )t + C
3 ø
21
è7
=

2
(cos3 x - 7 cos x) cos x + C.
21

cos x.sin 3 xdx
Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh: I = ò
1 + sin 2 x
Giải:
Đặt: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2at = 1 + sin 2 x
Suy ra: dt = 2sin x cos xdx,
cos x.sin 3 xdx sin 2 x.cos x.sin xdx (t - 1)dt 1 ỉ 1 ư
=
=
= ç 1 - ÷ dt.
1 + sin 2 x
1 + sin 2 x
2t
2è t ø
Khi đó: I =

1 ỉ 1ư
1
2
2
ç 1 - ÷ dt = f12(t - ln t + C = [1 + sin x - ln(1 + sin x)] + C
ò
2 è tø
2

Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh: I =

cos2 xdx
ò sin8 x .
Giải:

Đặt: t = cotgx
1
dx,
sin 2 x
cos2 xdx cos2 x dx
1
dx
dx
=
= cot g 2 x 4
= cot g 2 x.(1 + cot g2 x)2
8
6
2
2
sin x
sin x sin x
sin x sin x
sin 2 x
= t 2 .(1 + t 2 )2 dt.

Suy ra: dt = -

2
1 ư
ỉ1
Khi đó: I = ò t 2 .(1 + t 2 )dt = ò (t 6 + 2t 4 + t 2 )dt = ç t 7 + t 5 + t 3 ÷ + C
5
3 ø
è7
1
=
(15cot g 7 x + 42 cot g 5x + 35cot g3 x) + C.
105
Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: I =

òe

x

dx
- ex / 2
Giải:

Đặt: t = e- x / 2
1
dx
Suy ra: dt = - ex / 2 dx Û - 2dt = x / 2 ,
2
e
dx
dx
e- x / 2 dx
-2tdt
1
=
=
=
= 2(1 +
)dt
x
x/2
x
-x / 2
x/2
-x / 2
e -e
e (1 - e ) e (1 - e ) 1 - t
t -1
Trang 18


Trần Só Tùng

Tích phân

1 ư

-x / 2
Khi đó: I = 2 ò ç 1 +
+ ln e- x / 2 + 1) + C.
÷ dt = 2(e
è t -1 ø
Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến t = e - x / 2 ,
tuy nhiên với cách đặt t = ex / 2 chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán.
Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh: I =

ò

dx
1 + ex

.

Giải:
Cách 1:
Đặt: t = 1 + ex Û t 2 = 1 + e x
Suy ra: 2tdt = e x dx Û dx =

2tdt
dx
2tdt
2tdt
&
= 2
= 2
.
2
t -1
1 + ex t(t - 1) t - 1

dt
t -1
1 + ex - 1
Khi đó: I = 2 ò 2
= ln
+ C = ln
+C
t -1
t +1
1 + ex + 1
Cách 2:
Đặt: t = e- x / 2
1
dx
Suy ra: dt = e - x / 2dx Û - 2dt = x / 2 ,
2
e
dx
dx
dx
-2dt
=
=
=
1 + ex
ex (e- x + 1) ex / 2 e- x + 1
t2 + 1
Khi đó: I = - 2 ò

dt
t +1
2

= - 2 ln t + t 2 + 1 + C = -2 ln e- x / 2 + e - x + 1 + C

Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh: I =

ò

dx
x +a
2

, với a ¹ 0. .

Giải:
Đặt: t = x + x + a
2

x ư
x2 + a + x
dx
dt

Suy ra: dt = ç 1 +
dx Û
=
÷ dx =
2
2
2
t
x +a ø
x +a
x +a
è
dt
Khi đó: I = ò = ln t + C = ln x + x 2 + a + C.
t
dx
Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh: I = ò
.
(x + 1)(x + 2)
Giải:
Ta xét hai trường hợp:
ìx + 1 > 0
· Với í
Û x > -1
ỵx + 2 > 0
Đặt: t = x + 1 + x + 2
Trang 19


Tích phân

·

Trần Só Tùng

1 ư
( x + 1 + x + 2)dx
dx
2dt
ỉ 1
Suy ra: dt = ç
+
Û
=
÷ dx =
t
2 (x + 1)(x + 2)
(x + 1)(x + 2)
è 2 x +1 2 x + 2 ø
dt
Khi đó: I = 2 ò = 2 ln t + C = 2 ln x + 1 + x + 2 + C
t
ìx + 1 < 0
Û x < -2
Với í
+
<
x
2
0

Đặt: t = -(x + 1) + -(x + 2)
[ -(x + 1) + -(x + 2)]dx
1
1
é
ù
Suy ra: dt = êdx =
ú
2 (x + 1)(x + 2)
ë 2 -(x + 1) 2 -(x + 2) û
dx
2dt
Û
=t
(x + 1)(x + 2)
Khi đó: I = - 2 ò

dt
= -2 ln t + C = -2 ln -(x + 1) + -(x + 2) + C
t

BÀI TẬP
Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
x4
x2 - x
a/ f(x) = x (x - 1) ; b/ f(x) = 10
; c/ f(x) =
;
x -4
(x - 2)3
2

ĐS:

a/

9

1
2
1
(x - 1)12 + (x - 1)11 + (x - 10)10 + C.
12
11
10

x2 - 1
d/ f(x) = 4
;
x +1
b/

1
x5 - 2
ln 5
+ C.
20 x + 2

1

x2 - x 2 + 1
d/
ln
+ C.
2 2 x2 + x 2 + 1

2x - 5
c/ ln x - 2 + C;
(x - 2)2
Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/ f(x) =
ĐS:

a/

2x
x + x -1
2

;

b/ f(x) =

1
2

2 3

(x + a )

2 3 2
x (x 2 - 1)3 + C;
3
3

b/

(a > 0) ;
x

a

2

x +a
2

2

c/ f(x) =

+ C;

ỉ3x 6
ư
c/ 6 ç
+ x + ln 6 x - 1 ÷ + C.
è 2
ø
Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1
cos5 x
;
a/ f(x) = 3
; b/ f(x) =
cos x
sin x

c/ f(x) =

sin x + cos x
;
sin x - cos x

3

cos3 x
1
d/ f(x) =
; e/ f(x) =
.
sin x
sin 4 x
ĐS:

a/

33 2
3
3
sin x + 3 sin14 x - 3 sin 8 x + C;
2
14
4

Trang 20

1
3

x - x
2

.


Trần Só Tùng

Tích phân

b/

ỉx pư
ln tg ç + ÷ + C;
è2 4ø

c/

33
1 - si n2x + C;
2

d/

1
ln sin x - sin 2 x + C;
2

e/

1
- cot g3x - cot gx + C.
3

Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/ f(x) =

1
1 + e2 x

2 x.3x
;
c/ f(x) = x
9 - 4x
ĐS:

a/
c/

;

b/

f(x) =

x +1
;
x(1 + xex )

d/

f(x) =

1
;
x ln x.ln(ln x)

- ln(e- x + e-2 x + 1) + C;
1
3x - 2 x
, ln x
+ C;
2(ln 3 - ln 2)
3 + 2x

Trang 21

xe x
+ C;
1 + xex

b/

ln

d/

ln ln(ln x) + C.


Tích phân

Trần Só Tùng

Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

ò udv = uv - ò vdu.

Công thức tính tích phân từng phần:

Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh I = ò f(x)dx.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ò f(x)dx = ò f1 (x).f2 (x)dx.
ì u = f1 (x)
ìdu
+ Bước 2: Đặt: í
Þí
ỵv
ỵdv = f2 (x)dx
+ Bước 3: Khi đó: I = uv - ò vdu.
Ví dụ 1: Tích tích phân bất đònh: I =

ò

x ln(x + x 2 + 1)
x2 + 1

Viết lại I dưới dạng: I = ò ln(x + x 2 + 1)

Giải:
x
x2 + 1

.

dx.

1+ x
ì
ì u = ln(x + x 2 + 1)
ï
x2 + 1 =
ï
ïdu =
Đặt : í
Þí
x
x + x2 + 1
dv
=
ï
ï
x2 + 1

ïv = x 2 + 1


dx
x2 + 1

Khi đó: I = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - ò dx = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - x + C.
Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh: I = ò cos(ln x)dx.
Giải:
-1
ì
ì u = cos(ln x)
ïdu = sin(ln x)dx
Đặt : í
Þí
x
ỵdv = dx
ïỵv = x
Khi đó: I = x cos(ln x) + ò sin(ln x)dx.

(1)

Xét J = ò sin(ln x)dx.
1
ì
ì u = sin(ln x)
ïdu = cos(ln x)dx
Đặt: í
Þí
x
ỵdv = dx
ïỵv = x.
Khi đó: J = x.sin(ln x) - ò cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I
Trang 22

(2)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×