Tải bản đầy đủ

PHƯƠNG PHÁP CỦA PHÉP LẤY TÍCH PHÂN THEO SÁCH DeMYSTiFieD – CALCULUS

Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
TÊN ĐỀ TÀI
DỊCH CHƢƠNG 7: PHƢƠNG PHÁP CỦA PHÉP LẤY TÍCH PHÂN
THEO SÁCH DeMYSTiFieD – CALCULUS
SINH VIÊN THỰC HIỆN: LÊ THỊ NHI

BÀI TẬP LỚN
HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƢ PHẠM THƢỜNG XUYÊN 3
HUẾ, 10/2014


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
---------TÊN ĐỀ TÀI
DỊCH CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP CỦA PHÉP LẤY TÍCH PHÂN
THEO SÁCH DeMYSTiFieD – CALCULUS
SINH VIÊN THỰC HIỆN: LÊ THỊ NHI


BÀI TẬP LỚN
HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƢ PHẠM THƢỜNG XUYÊN 3
NGƢỜI HƢỚNG DẪN: TS. NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC
HUẾ, 10/2014


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3

LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay, phép tính vi tích phân chiếm một vị trí vô cùng quan trọng trong nền
toán học cũng nhƣ việc ứng dụng nó vào thực tiễn cuộc sống. Trong chƣơng này
chúng ta sẽ đƣợc làm quen với các khái niệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của
chúng trong việc tính diện tích giữa hai đƣờng cong.
Trong chƣơng trình phổ thông, chúng ta đã đƣợc học các khái niệm nguyên hàm,
tích phân và những ứng dụng của chúng, cụ thể đó là những bài toán tính độ dài, diện
tích của các hình phẳng hay thể tích của các vật thể tròn xoay. Nhƣng hầu hết các học
sinh chỉ nắm chúng một cách hình thức nhằm phục vụ trong việc giải các bài toán mà
các em không có cơ hội và điều kiện để tìm hiểu một cách sâu sắc về bản chất của
chúng. Mặt khác, các sách giáo khoa hiện hành trong nƣớc chỉ đƣa ra công thức tính
mà không làm rõ nguồn gốc. Vì thế chúng tôi giới thiệu đến bạn đọc cuốn sách
Calculus DeMYSTiFieD của GS. StevenG.Krantz để giúp các bạn có một cái nhìn bao
quát và đầy đủ hơn về ứng dụng của phép tính vi tích phân. Cách tiếp cận vấn đề gần
gũi, hƣớng dẫn chi tiết là những gì mà cuốn sách này mang đến cho ngƣời đọc. Từ đó
giúp cho ngƣời đọc có thể giải đáp đƣợc những thắc mắc của mình cũng nhƣ hiểu biết
thêm về nguồn gốc và ứng dụng của phép tính vi tích phân.
Khái quát “chƣơng 4: tích phân”. Trong vi tích phân, ngoài khái niệm đạo hàm
còn có khái niệm tích phân. Trong giải tích, định lý cơ bản của vi tích phân chỉ rõ mối
quan hệ giữa đạo hàm và tích phân. Việc tính một tích phân xác định thƣờng dẫn đến
bài toán: tìm một hàm có đạo hàm đã biết (khái niệm nguyên hàm và tích phân bất
định).
Trong chƣơng này, chúng ta sẽ đƣợc học
- Phép tính tích phân từng phần
- Đặt ẩn phụ
- Tích phân của hàm hữu tỉ
- Tích của các hàm số lƣợng giác

Tác giả
Lê Thị Nhi



Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3

CHƯƠNG 7: PHƯƠNG PHÁP CỦA PHÉP LẤY TÍCH PHÂN
Trong đó ( khi chúng ta học) phép lấy vi phân là quá trình rõ ràng, phép
lấy tích phân không. Định lý cơ bản của Calculus nói thẳng với chúng ta rằng
phép lấy tích phân là “ngƣợc phép lấy vi phân” và quá trình ngƣợc có thể hoàn
thành.
Do đó, có nhiều kĩ thuật của phép lấy tích phân là chính . đó là đề tài
chƣơng này. Tập hợp của kĩ thuật này thu hút mạnh của công cụ để thực hiện
phép tải của tích phân.
MỤC TIÊU CHƢƠNG:
Trong chƣơng này, bạn sẽ học:
 Phép tích phân từng phần
 Phân thức đơn giản
 Đặt ẩn phụ
 Tích phân của các hàm số lƣợng giác
7.1 PHÉP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Chúng ta học trong phần 4.5 về tích phân của tổng hai hàm tích phân
tƣơng ứng. Nhƣng những gì là của tích số từng phân? Biện luận sau không
đúng:

Vì bên phía tay trái là







trong khi bên phía tay phải là (

.

Kĩ thuật cho tích phân của tích số tinh tế hơn một chút và gọi là phép tích
phân từng phần. Nó dựa trên quy tắc tính đạo hàm của tích.
Lấy tích phân của cả hai bên phƣơng trình này, ta có:






Định lý cơ bản của phép tính nói thẳng với chúng ta rằng bên phía tay trái
là u.v. Do đó:

Hoặc:




Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3




Nó là thói quen để viết gọn
trong phép tính tích phân từng phần công thức trở nên


Do đó



Bây giờ chúng ta hãy học cách dùng công thức mới này.
Ví dụ 7.1: Tính

Giải:
Chúng ta thấy rằng hàm lấy tích phân là tích số. Chúng ta hãy dùng công
thức của phép tích phân từng phần u(x)= x và dv= cos x dx. Khi đó:
u(x)= x
du= u’(x) dx = 1 dx = dx
v(x)=sin x
dv= v’(x) dx = cosx dx
Tất nhiên ta tính v bằng phép lấy vi phân
Theo công thức của phép lấy tích phân từng phần






Chú ý: Quan sát chú ý chúng ta có thể kiểm tra trong ví dụ sau bằng
cách lấy vi phân là đúng:
[

]

Chọn u và v trong phép tính tích phân từng phần có vẻ là hiệu quả.
Chúng a đặt u bằng x và khi đó du sẽ là một dx, do đó rút gọn tích phân. Nếu ta
thay bằng cách đặt u= cos x và dv= x dx khi đó ta đã xây dựng
và tích phân mới




sẽ phức tạp hơn
Ví dụ 7.2: Tính tích phân


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3

Giải:
Ghi nhớ chúng ta muốn lựa chọn u và v để rút gọn, ta lấy
Khi đó :



.

Khi đó tích phân từng phần xác định theo công thức:








Ta thấy rằng ta có thể biến đổi một tích phân đơn giản ( nâng lên lũy thừa
thay cho
nhƣng khác tích phân từng phần sẽ đôi hơn. Bây giờ ta lấy
u=2x và
. Khi đó:

Phƣơng trình (*) đƣợc:




[
=

[

]


=
Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng cách lấy vi phân kết quả cuối cùng
Bạn thử làm: Tính tích phân

Ví dụ 7.3 Tính


]


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
Giải:
Ví dụ này khác với ví dụ trƣớc vì vậy chúng ta đang đánh giá tích
phân xác định. Chúng ta vẫn dùng công thức của phép lấy tích phân từng phần,
theo giới hạn số của tích phân.
Đầu tiên chúng ta chú ý , hàm lấy tích phân không phải là tích số. Mặt
khác, chúng ta chắc chắn không hiểu hết nguyên hàm của log x. Ta khắc phục
tình huống bằng cách viết log x= 1. log x. Bây giờ lựa chọn hợp lý duy nhất là
u=log x và dv=1 dx. Đo đó:
u(x)=log x

du=u’(x)dx =(1/x) dx

v(x)= x

dv= v’(x)dx=1 dx





|


|



|

Bạn thử: Đánh giá

Ta kết luận tập này bằng tích phân xác định khác, nhƣng chúng ta dùng gần hơi
khác trong ví dụ 7.3
Ví dụ 7.4 Tính tích phân


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3

Giải :
Chúng ta dùng phép tính tích phân từng phần nhƣng ta đƣa kĩ thuật vào tích
phân không xác định đƣợc tƣơng ứng. Chúng ta đặt u=sinx và dv= cosx dx. Khi
đó:
u(x)=sin x

du= u’(x) dx =cosx dx

v(x) =sinx

dv=v’(x) dx = cosx dx

Vì vậy






Bây giờ ta dùng các công cụ để đánh giá tích phân xác định:


|

*

+

Ta thấy có hai con đƣờng để định nghĩa tích phân dùng tích phân từng phần.
Một là nâng số nang sang hàng tiếp theo cận lấy tích phân dọc với bộ phận tính
toán. Khác là để làm bộ phận tính toán thứ nhất (với tích phân không xác định)
và trong cận tích phân ở cuối. Hoặc phƣơng pháp sẽ dẫn đến kết quả cuối cùng.
7.2 PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN
7.2.1 Nhận xét đầu
Phƣơng pháp của phân thức đơn giản đƣợc dùng để lấy tích phân hàm
hữu tỷ, hay là thƣơng của đa thức. Chúng ta sẽ xét ở đây một vài dạng cơ bản
của kĩ thuật.
Quan sát cơ bản thứ nhất là có một số sơ cấp hàm hữu tỷ có tích phân
chúng ta đã biết.


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
Tích phân nghịch đảo của hàm tuyến tính.
Tích phân

I.


Với a

0 luôn là hàm logarit. Thực vậy ta có thể tính

II.

|



|

Tích phân nghịch đảo của biểu thức bậc hai
Tích phân


Khi a và c dƣơng, là hàm lƣợng giác ngƣợc. Thực vậy chúng ta có thể dùng
những gì đã học trong tập hợp 6.6.3 để viết





( √




III.





)

( √

)

( √
)

Nhiều hơn tích phân nghịch đảo của biểu thức bậc hai
Tích phân


Với a 0, và biệt số
âm, cũng sẽ đƣợc hàm lƣợng giác. Để thấy
chúng ta nhận thấy rằng, chúng ta có thể viết:
(

)

(
(

)
)

(

(

)

)

Từ
<0, biểu thức kết thƣc trong dấu ngoặc đơn là dƣơng. Cho tính
đơn giản, giả sử λ=b/2a và giả sử
. Thì tích phân của chúng
ta là:


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3

Tất nhiên ta có thể dùng mục II ở trên. Chúng ta nhận thấy là



(


IV.




)

Chẵn nhiều hơn trên tích phân nghịch đảo của biểu thức bậc hai

Đánh giá của tích phân

Khi biệt số
sẽ là hệ quả của công chúng ta làm dƣới với phân
thức đơn giản nhất chúng ta sẽ không nói gì nữa về nó ở đây.
7.2.2 Tích số của nhân tử tuyến tính
Chúng ta minh họa kĩ thuật của phân thức đơn giản bằng con đƣờng của ví dụ
Ví dụ 7.5
Ở đây chúng ta xét trƣờng hợp nhân tử tuyến tính khác biệt
Chúng ta hãy tính:


Giải :
Chúng ta nhận thấy rằng nhân tử hàm lấy tích phân nhƣ

[Nhận thấy rằng bậc 2 đa thức trong mẫu số sẽ nhân tử một cách chính xác khi
iệt số
là trƣờng hợp IV từ phần phụ 7.2.1]
Mục tiêu của chúng ta là viết phân số ở phía bên tay phải của
phân số đơn giản. Ghi nhớ ý nghĩ này, chúng ta biết:

nhƣ tổng của


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3

Trong đó A và B là không đổi để đƣợc xác định. Chúng ta hãy tập hợp 2 phân
số ở bên phải bằng quy đồng mẫu số chúng là
. Do đó:

Quan sát này dẫn đến phƣơng trình:

Hoặc

Bây giờ phƣơng trình này sẽ là một cách đồng nhất đúng trong x, nói cách khác,
nó phải giữ cho mỗi giá trị của x. Vậy hệ số phải đƣợc 0.
Cuối cùng thì chúng ta có hệ của 2 phƣơng trình có 2 ẩn số.

Tất nhiên hệ này sẽ dễ giải và nghiệm là A = -1, B = 1.
Chúng ta kết luận:

Những gì chúng ta đã học đƣợc, sau đó, là






Mỗi một tích phân cá thể ở bên phải có thể là đánh giá dùng thông tin trong I
của phần phụ 7.2.1. Do vậy:

Hãy thử tính toán tích phân:

|

|

|

|


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3

Bây giờ chúng ta xét nhân tử tuyến tính
Ví dụ 7.6 Chúng ta hãy đánh giá tích phân

Giải pháp: Để ứng dụng phƣơng pháp của phân thức đơn giản, đầu tiên ta
phải đặt mẫu số của phân thức. Ta biết rằng đa thức với hệ số thực sẽ thành
nhân tử tuyến tính và nhân tử bậc . Làm sao chúng ta tìm ra phƣơng pháp nhân
tử hóa? Tất nhiên chúng ta phải tìm nghiệm phân thức có dạng.

Mọi nghiệm số nguyên sẽ là nhân tử của . Điều này đƣa chúng ta đến thử
. Chúng ta nhận thấy -2 và 3 là hai nghiệm của
phƣơng trình
. Trên thực tế/

Cố gắng viết

Sẽ không công. Chúng ta khuyến khích thiết bị đọc thử này cho mình sau đó
hiểu tại sao khái niệm bổ sung phải cần phải
Thật vậy, nhƣng chúng ta sẽ dùng mô hình

Quy đồng vế phải với mẫu thức của chúng

Tất nhiên tỉ số phải đƣợc bằng vậy


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3

Chúng ta sắp xếp lại phƣơng trình nhƣ:

Từ đó biểu thức này phải đƣợc đồng nhất thức trong x, ta đến với hệ phƣơng
trình

Hệ phƣơng trình này dễ dàng giải cho ra nghiệm A=1/25, B= 1/25, C = 1/5.
Do tính toán này, tích phân của chúng ta có thể biến đổi nhƣ sau:






|
Tích phân thứ nhất bằng
|
| và tích phân thứ ba bằng



| tích phân thứ hai bằng

Trong tổng kết, chúng ta đã phát hiện ra là
|



|

|

|

Chúng ta thấy tích phân của chúng ta là nghịch đảo của đa thức bậc ba dẫn đến
tổng ba nhân tử, hai trong ba là log, nhƣng không có một nhân tử.
Bạn thử tính tích phân:

7.2.3 Nhân tử bậc hai
Ví dụ 7.7: Tính tích phân



Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
Giải:
Từ đó mẫu số là đa thức bậc ba, nó phải là nhân tử. Nhân tử của số hạng không
đổi là

. Sau một vài kinh nghiệm, chúng ta nhận thấy là x=-2 là
nghiệm và thực vậy nhân tử đa thức nhƣ

Do đó chúng ta muốn viết hàm , lấy tích phân nhƣ tổng nhân tử với mẫu số (x+2)
và nhân tử khác với mẫu số
. Con đƣờng để làm đƣợc điều này là:

Chúng ta đặt đúng chỗ đƣa cạnh mẫu chung để đạt đƣợc

Đồng nhất hóa tử số dẫn đến

Phƣơng trình này phải đƣợc một cách đồng nhất đúng
A+B=0
2B+C=1
A+2C=0
Giải hệ này, chúng ta nhận thấy A=-2/5, B=2/5, C=1/5. Vì vậy


Bạn thử tính tích phân


|

|

|

|





( )


|

|


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3

Bạn thử tính tích phân

7.3 ĐẶT ẨN PHỤ
Đôi khi thật tiện khi biến tích phân đã cho thành một tích phân khác bằng các
phƣơng tiện của thay biến số. Phƣơng pháp này thƣờng gọi là phƣơng pháp thay
dổi biến số hoặc đặt ẩn phụ.
Để làm rõ phƣơng pháp này, giả sử

Nếu kĩ thuật của chúng ta biết không đủ để đánh giá tích phân, khi đó chúng ta
cố gắng biến đổi tích phân bằng thay đổi biến số
. Điều này làm cho
.

Do đó phƣơng trình gốc đƣợc chuyển thành


(

)

Hóa ra, với kí hiệu này chúng ta có thể làm quá trình này vừa thuận lợi vừa dễ
hiểu.
Bây giờ, chúng ta minh họa mô hình mới này bằng một vài ví dụ, chúng ta bắt
đầu với tích phân xác định đƣợc.
Ví dụ 7.8 Đánh giá

Giải:


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
Nhìn trên tích phân chúng ta thấy rằng biểu thức cosx là đạo hàm của
sinx. Quan sát này yêu cầu thay thế sinx = u. Do đó,cosxdx=du. Chúng ta thế
biểu thức này vào tích phân, thay thế tất cả x-biểu thức với u-biểu thức. Khi
chúng ta bỏ quá trình này, không có biểu thức x nào còn lại. Kết quả là:

Đó là tích phân dễ dàng cho chúng ta. Nên chúng ta có:
∫[

]



Bây giờ bƣớc kết thúc cuối cùng là để x-biểu thức trong chỗ của u-biểu
thức. Khi đó biểu thức là
∫[

]

LƢU Ý TOÁN: Để chắc chắn bạn kiểm tra lại bài làm của bạn. Bạn có
thể lấy vi phân câu trả lời để phục hồi lại hàm tích phân đã thực hiện chính xác.
Ví dụ 7.9 Đánh giá tích phân:




Giải:
Chúng ta nhận ra rằng biểu thức 2x là đạo hàm của
thế
. Do đó du=2xdx. Khi đó
Tích phân đó chuyển thành:

. Đề nghị thay
.

∫ √
Tích phân mới này dễ hiểu hơn nếu chúng ta viết căn bậc hai nhƣ độ phân
số:

Bạn thử tính tích phân

|


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3


| |

Ví dụ 7.10 Đánh giá

Giải:
Từ cosx là đạo hàm của sinx. Khi đó đặt u=sinx thì du=cosxdx.(Giải thích
tại sao ý kiến thực tệ nếu u=cosx. Đầu tiên chúng ta xét với tích phân phi chính,
chúng ta nhận thấy là


| |



Cuối cùng chúng ta có thể đánh giá gốc tích phân xác định
|


|

|

||
|

|



Bạn thử tính tích phân:

7.4 TÍCH PHÂN CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Biểu thức lƣợng giác xuất hiện thƣờng xuyên trong các bài tập của chúng
ta, nhất là trong thay thế. Chúng ta làm một vài ví dụ của tích phân của hàm
lƣợng giác.
Các đồng nhất thức của lƣợng giác sẽ đặc biệt có ích cho chúng ta
I.

Chúng ta có


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3

Lí do là:
[
II.

]

Chúng ta có:

Lí do là
[
Bây giờ chúng ta quay về một vài ví dụ

]

Ví dụ 7.11 Tính tích phân

Giải:
Tất nhiên chúng ta dùng công thức II. Chúng ta viết:







Ví dụ 7.12 Tính tích phân

Giải:
Khi sin và cos xuất hiện với nhau, chúng ta tập trung vào bậc. Chúng ta viết

[

]

Khi đó:


∫[

]


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3

Chúng ta giả sử u=cosx, du=-sinxdx thì tích phân trở thành:
]

∫[

Cho u biến số, chúng ta đạt đƣợc kết quả cuối cùng

Bạn làm thử: tính tích phân

Ví dụ 7.13 Đánh giá

Giải:
Thế:
Ta đƣợc tích phân:
∫ (

) (



)

Mặt khác dùng công thức II, chúng ta nhận thấy là tích phân trở thành:
∫ (

[

]

[

∫ (

]

[

[

] )

])

Ứng dụng công thức 2 một lần cuối cho
∫ (

[

]

[

])


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
[
([

)] |

(
(

)]

[

])

Ta thấy rằng nó là thƣờng có ích để ứng dụng I và II vài lần
Bạn có thể tính tích phân sau:

Bạn thể tính tích phân sau:

Tích phân nâng lên lũy thừa hàm lƣợng giác cũng có thể gắn với đồng nhất thức
lƣợng giác thích hợp. Chúng ta inh họa khái niệm với vài lí dụ gắn với các đồng
nhất thức.

Ví dụ 7.14 Tính

Giải:
Dùng triết lí cùng cùng số mũ lẻ khi chúng ta làm với sin và cos, chúng ta thế
bằng
. Kết quả là

Chúng ta có thể nhóm lạ số hạng trong hàm lấy tích phân để đƣợc


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
]

∫[
và do đó

Chúng ta giả sử u =
thành:

. Do đó tích phân trở


Thay các giá trị của u ta đƣợc:

Ví dụ 7.15 Tính

Giải:
Chúng ta viết





Đặt u = tanx và du

, ta đƣợc


|

Bạn thử làm: Tính tích phân:

Kĩ thuật xa hơn trong đánh giá tích phân của hàm lƣợng giác sẽ tiếp cận trong
bài tập
BÀI TẬP


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
1. Phép lấy tích phân từng phần để đánh giá mỗi tích phân không xác định
đƣợc sau:
(a) ∫
(b) ∫
(c) ∫
(d) ∫
(e) ∫
(f) ∫
2. Dùng tích phân đơn giản để đánh giá mỗi một tích phân không xác định
đƣợc sau:
(a) ∫
(b) ∫
(c) ∫
(d) ∫
(e) ∫
(f) ∫
3. Dùng phƣơng pháp của u thay thế để đánh giá mỗi một tích phân không
xác định
(a) ∫
(b) ∫




(c) ∫
(d) ∫
(e) ∫
(f) ∫
4. Đánh giá hàm tích phân không xác định đƣợc
(a) ∫
(b) ∫
(c) ∫
(d) ∫
(e) ∫
(f) ∫


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
5. Tính các tích phân xác định sau:
(a) ∫
(b) ∫
(c) ∫
(d) ∫
(e) ∫
(f) ∫


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3


Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×