Tải bản đầy đủ

Nghiên cứu một số tính chất của lớp hàm điều hòa dưới trên c

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, TS.Vũ
Việt Hùng, người thầy đáng kính đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn
tận tình chúng tôi, giúp đỡ chúng tôi về tài liệu nghiên cứu cũng như động
viên chúng tôi có nghị lực hoàn thành đề tài này!
Trong quá trình làm đề tài, chúng tôi cũng đã nhận được sự giúp đỡ của
các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ
môn Giải tích, Phòng KHCN & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc,
các bạn sinh viên Lớp K56 ĐHSP Toán. Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ và
động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để chúng tôi
hoàn thành đề tài này. Nhân dịp này chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn
về những sự giúp đỡ quý báu nói trên.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 6 năm 2018
Sinh viên thực hiện đề tài
Tênh Ly Vang Sua Xênh
Vừ A Giông
Bùi Thị Châu
Nguyễn Hải Yến
Nguyễn Thị Thùy



Mục lục

Lời cảm ơn

1

Mở đầu

4

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1

Hàm khả vi phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Điều kiện Cauchy - Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Hàm chỉnh hình một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1

Định nghĩa hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2



Khai triển chuỗi lũy thừa các hàm chỉnh hình . . . . .

12

Tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.1

Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.2

Định lý tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5

Hàm nửa liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6

Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.6.1

Hàm điều hòa và hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . .

18

1.6.2

Tích phân Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.6.3

Điều hòa dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.4

2 Hàm điều hòa dưới và một số tính chất
2.1

32

Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.1

33

Hàm nửa liên tục trên . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2


2.1.2

Hàm điều hòa dưới và các tính chất cơ bản . . . . . . .

36

2.1.3

Tính khả tích của hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . .

40

2.1.4

Một số định lý hữu ích về hàm điều hòa dưới

. . . . .

43

Thế vị và toán tử Laplace tổng quát . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2.1

Thế vị logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2.2

Tập cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.2.3

Độ đo cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3

Phương trình Laplace và Pisson tổng quát . . . . . . . . . . .

49

2.4

Phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3 Một số bài toán ban đầu đối với hàm điều hòa dưới trên C

60

2.2

3.1

3.2

Bài toán Dirichlet và độ đo điều hoà . . . . . . . . . . . . . .

60

3.1.1

Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.1.2

Hàm Perron

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.1.3

Độ đo điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Dung lượng và đường kính siêu hạn . . . . . . . . . . . . . . .

68

Kết luận

75

Tài liệu tham khảo

76

3


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích phức là một trong những ngành cổ điển của Toán học bắt nguồn
từ khoảng thế kỉ XIX và thậm chí có thể là trước đó. Giải tích phức đặc biệt
là lý thuyết về ánh xạ bảo giác có nhiều ứng dụng trong cơ khí. Nó cũng được
sử dụng trong lý thuyết số giải tích. Ngày nay giải tích phức được nghiên cứu
nhiều với những ứng dụng trong động lực phức và Fractal . . . Một nhánh quan
trọng khác của giải tích phức là lý thuyết thế vị và đa thế vị. Đây là một
nhánh được phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây. Nhiều kết
quả quan trọng của lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trước
những năm 80 của thế kỉ trước, chẳng hạn như Định lý Josefson về sự tương
đương giữa tính đa cực địa phương và đa cực toàn thể của một tập trong Cn .
Trong những năm sau đó, một số tác giả tiếp tục trình bày các hướng nghiên
cứu khác của lý thuyết này như giải bài toán Dirichlet, thiết lập sự hội tụ
yếu của dãy độ đo Monge-Ampère tương ứng với sự hội tụ theo dung lượng,
nghiên cứu bài toán xấp xỉ đối với các hàm đa điều hoà dưới. . . Có thể nói,
đóng vai đối tượng chủ yếu trong các vấn đề nghiên cứu nói trên chính là
lớp hàm điều hoà, điều hoà dưới nói riêng và đa điều hòa dưới nói chung. Vì
vậy nghiên cứu hàm điều hoà, đa điều hoà dưới để có được cái nhìn cơ bản
ban dầu về các lớp hàm này, từ đó tổng hợp lại một số kiến thức của Hàm
biến phức, đồng thời mong muốn tìm hiểu bộ môn Hàm biến phức cũng như
những ứng dụng đẹp của bộ môn trong sự phát triển của toán học nói chung
và trong lý thuyết hàm biến phức nói riêng.
Tại Trường ĐH Tây Bắc, nghiên cứu về lớp các hàm điều hòa dưới vẫn
chưa được nghiên cứu một cách nhiều và có tính hệ thống, điều này đã gây
khó khăn cho sinh viên khi tìm tài liệu tham khảo, đặc biệt đối với sinh
viên Khoa Toán - Lý - Tin. Ta có thể tìm thấy trong Thư viện Trường Đại
4


học Tây bắc, lý thuyết hàm điều hòa chủ yếu chỉ được giới thiệu trong một
mục nhỏ thông qua các cuốn Cơ sở lí thuyết Đa thế vị[1], Phương trình đạo
hàm riêng[2], Hàm biến phức [3], Giải tích phức phần II hàm nhiều biến[4] và
The complex Monge-Ampere operatro in pluripotential theory, Lecture notes,
unpublish [5]. Hơn nữa, hiện nay tài liệu tiếng Việt viết và nghiên cứu về hàm
điều hòa nói chung là rất ít. Để tìm hiểu về nó không phải lúc nào cũng dễ
dàng và đôi khi gây rất nhiều chở ngại cho các bạn sinh viên, nhất là các bạn
sinh viên học Toán và Lý.
Như vậy có thể nói việc trình bày chi tiết vấn đề liên quan đến hàm điều
hoà, đa điều hoà dưới trên Cn nói chung và trên C nói riêng sẽ giúp cho sinh
viên có sự hiểu biết sâu sắc thêm cũng như định hướng, làm quen dần với
những nội dung kiến thức chuyên sâu cần thiết cho những nghiên cứu tiếp
theo về vấn đề này.
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài: “Nghiên cứu một
số tính chất của lớp hàm điều hòa dưới trên C” để làm đề tài nghiên cứu cho
khóa luận của mình nhằm tìm hiểu hiệu quả hơn về hàm điều hòa dưới trên
C.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu và làm sáng tỏ một số tính chất của hàm điều hoà và điều
hoà dưới.
- Nghiên cứu một số ứng dụng ban đầu của hàm điều hoà dưới.
- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết các tính chất cơ bản của hàm điều hòa dưới trên C.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu và trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về hàm
điều hòa dưới trên C.
5


5. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức.
- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như seminar
với tổ bộ môn, giáo viên hướng dẫn và nhóm làm đề tài. Từ đó tổng hợp kiến
thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch và
hoàn thành đề tài.
6. Tính mới và hướng phát triển của đề tài
6.1. Tính mới mẻ của đề tài
Đây là một vấn đề khá mới đối với bản thân trong giải tích phức. Đồng
thời đây cũng là một vấn đề còn chưa được tiếp cận nhiều đối với các bạn
sinh viên ĐHSP Toán hiện nay tại Nhà trường.
6.2. Hướng phát triển của đề tài
Tiếp tục nghiên cứu sâu hơn về hàm điều hòa dưới trên C nói riêng và
trên Cn nói chung.
7. Những đóng góp của đề tài
Đề tài đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản đầy đủ về các tính chất cơ bản
của hàm điều hòa dưới trên C.
8. Cấu trúc đề tài
Với mục đích như vậy đề tài này được chia thành 3 chương với những nội
dung chính sau đây:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức hàm biến phức trong C nhằm
trang bị kiến thức để thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu các nội dung tiếp theo
của đề tài.
Chương 2: Nghiên cứu và trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản
nhất của hàm điều hòa và điều hòa dưới trên C.
Chương 3: Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm đa điều hòa và điều
hòa dưới trong lý thuyết thế vị trong C.
6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng tôi trình bày các vấn đề về hàm chỉnh hình một biến,
tích phân Cauchy, hàm nửa liên tục và hàm điều hòa trên C.

1.1

Hàm khả vi phức

Định nghĩa 1.1.1. Cho D là một tập mở khác rỗng trong C. Hàm f : D → C
được gọi là khả vi phức (C - khả vi) tại điểm z0 ∈ D nếu tồn tại giới hạn
f (z) − f (z0 )
khi z → z0 .
z − z0
Đặt h = z − z0 , như vậy
f (z0 + h) − f (z0 )
h→0
h

f (z0 ) = lim

Giới hạn này gọi là đạo hàm phức của hàm f tại điểm z0 ký hiệu

df
(z0 ) hoặc
dz

f (z0 ).
Ví dụ 1.1.2. a) Xét hàm f (z) = z 2 có đạo hàm f (z) = 2z tại mọi điểm
∀z ∈ C. Thật vậy lấy bất kì z ∈ C ta có:
f (z + h) − f (z)
(z + h)2 − z 2
= lim
= 2z.
h→0
h→0
h
h

f (z) = lim

b) Xét hàm f (z) = z.z, ta thấy
f (z0 + h) − f (z0 )
(z0 + h)(z0 + h) − (z0 .z 0 )
=
h
h
z0 .h + z 0 .h + h.h
=
h
h
= z0 + z 0 + h.
h
7


Tại z0 = 0 ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
= 0.
h→0
h
lim

Giả sử z0 = 0, vì lim (z 0 + h) = z 0 còn z0
h→0

h
không có giới hạn khi h → 0 nên
h

hàm f chỉ khả vi tại duy nhất z0 = 0.
c) Xét hàm f (z) = z = x − iy. Cho z số gia tương ứng h = h1 + ih2 , khi đó
f (z + h) − f (z)
(z + h) − z
h
=
= .
h
h
h
Trường hợp 1 : Cho h ∈ R ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
= 1.
h→0
h
lim

Trường hợp 2 : Cho h = ih2 với h2 ∈ R ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
= −1.
h→0
h
lim

Do đó hàm f không có đạo hàm tại mọi điểm z ∈ C.

1.2

Điều kiện Cauchy - Riemann

Cho hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) và z = x + iy ∈ D với D là tập mở
khác rỗng trong C. Hàm f được gọi là R2 - khả vi tại z nếu các hàm u(x, y) và
v(x, y) khả vi tại (x, y) theo nghĩa giải tích thực (tồn tại các đạo hàm riêng
liên tục).
Định lý 1.2.1. Hàm f được gọi là C - khả vi tại z = x + iy ∈ D nếu f
là hàm R2 - khả vi tại điểm z và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann tại
(x, y):

∂v
∂u


 (x, y) =
(x, y)
∂x
∂y


 ∂u (x, y) = − ∂v (x, y)
∂y
∂x

8


f (z + h) − f (z)
=
h→0
h

Chứng minh. Giả sử f là khả vi phức tại z. Khi đó ta có: lim
f (z).

Giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến đến 0 của h = h1 + ih2
nên nếu chọn h = h1 ta có:
u(x + h1 , y) + iv(x + h1 , y) − u(x, y) − iv(x, y)
h→0
h
v(x + h1 , y) − v(x, y)
u(x + h1 , y) − u(x, y)
+ i lim
= lim
h→0
h→0
h
h

f (z) = lim

Khi đó u, v có đạo hàm riêng theo x và
f (z) =

∂u
∂v
(x, y) + i (x, y).
∂x
∂x

(1.1)

∂u
∂v
(x, y) + i (x, y).
∂y
∂y
So sánh hai biểu thức trên ta được điều phải chứng minh.

Tương tự chọn h = ih2 ta có: f (z) = −

Ví dụ 1.2.2. a) Cho hàm f (z) = x4 y 3 + ix3 y 4 với z = x + iy là các hàm khả
vi thực trong C.
∂v
∂u
Ta thấy
(x, y) = x4 y 3 và
(x, y) = x3 y 4 .
∂x
∂y
Theo điều kiện Cauchy - Riemann ta có:



4x3 y 3 = 4x3 y 3


3x4 y 2 = −3x2 y 4
Điều này tương đương với: 3x2 y 2 (x2 + y 2 ) = 0 hay xy = 0.
Do đó các điểm mà f khả vi phức là các điểm nằm trên trục tọa độ.
b) Hàm f (z) := ex cos y + iex sin y với z = x + iy. Làm tương tự như ví dụ
trên ta thấy f (z) thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann đúng với mọi điểm
trong C nên f khả vi phức trong C.
Nhận xét 1.2.3. 1) Không phải tất cả các hàm khả vi thực u(x, y) đều là
phần thực của một hàm khả vi phức. Điều kiện Cauchy-Riemann đưa ra một
điều kiện cần cho hàm u để điều này xảy ra.
9


2) Giả sử f = u + iv là hàm R-khả vi tại z ∈ D ⊂ C
∂f
∂f
dx +
dy
Xét vi phân: df =
∂x
∂y
Vì dz = dx + idy và dz = dx − idy nên:
1
dx = (dz + dz)
2
1
dy = (dz − dz)
2i
Thay vào đẳng thức vi phân ta được:
1
∂f
∂f
df = dz
−i
2
∂x
∂y

∂f
1
∂f
+ dz
+i
2
∂x
∂y

Ta định nghĩa vi phân phức:
1 ∂f
∂f
∂f
=
−i
∂z
2 ∂x
∂y
∂f
1 ∂f
∂f
=
+i
∂z
2 ∂x
∂y

(1.2)

thì
df =

∂f
∂f
dz +
dz
∂z
∂z

Bởi vì
∂f
1 ∂f
∂f
=
+i
∂z
2 ∂x
∂y

=

1
2

∂u
∂v
−i
∂x
∂y

+i

∂v
∂v
−i
∂x
∂y

nên f = u + iv thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann tại z nếu
∂f
(z) = 0.
∂z
Hay nói cách khác hàm R2 -khả vi tại z là hàm C-khả vi tại đó khi và chỉ khi
∂f
(z) = 0.
∂z
3) Từ điều kiện Cauchy-Riemann và biểu thức (1.2), nếu f là C-khả vi tại z

10


ta có:
1 ∂u
∂v
∂u
∂v
∂f
(z) =
(z) + i (z) −
(z) + (z)
∂z
2 ∂x
∂x
∂y
∂y
∂v
1 ∂u
= 2 (z) + 2i (z)
2 ∂x
∂x
∂u
∂v
=
(z) + i (z)
∂y
∂y
= f (z).

1.3
1.3.1

Hàm chỉnh hình một biến
Định nghĩa hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.3.1. Cho D là tập mở khác rỗng trong C. Hàm f : D → C
được gọi là chỉnh hình trên D nếu nó khả vi phức tại mọi điểm thuộc D.
Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 ∈ D nếu tồn tại một lân cận U mở
của z0 nằm trong D sao cho f |U chỉnh hình trên U . Tập hợp các điểm mà
tại đó hàm chỉnh hình luôn là tập mở trong C. Ta kí hiệu tập các hàm chỉnh
hình trong D là Hol(D).
Nhận xét 1.3.2. Một hàm chỉnh hình tại z0 thì hàm đó khả vi phức tại z0
nhưng hàm khả vi phức tại z0 thì không nhất thiết chỉnh hình tại điểm z0 .
Lấy hàm f (z) = z.z như ví dụ 1.1.2 b, hàm này khả vi phức tại z = 0 nhưng
không chỉnh hình tại điểm này.
Định lý 1.3.3. (Định lý giá trị trung bình) Cho D là tập mở khác rỗng trong
C. Nếu hàm f chỉnh hình trong D và B(z0 , r) ⊂ D, với z0 ∈ D thì


1
f (z0 ) =
2πi

f (z0 + reiϕ )dϕ.
0

Chứng minh. Theo công thức tích phân Cauchy ta có
f (z0 ) =

1
2πi

f (z)
dz.
z − z0
∂B(z0 ,r)

11


Thực hiện phép đổi biến z = z0 + reiϕ , ϕ ∈ [0, 2π], ta có


1
f (z0 ) =
2πi

1
f (z0 + reiϕ ) iϕ
ire dϕ =

re
2πi

0



f (z0 + reiϕ )dϕ.
0

Nhận xét 1.3.4. Định lý này cho ta thấy giá trị của hàm f tại z0 bằng trung
bình cộng giá trị của hàm f trên mọi đường tròn tâm z0 bán kính đủ nhỏ.
Định lý 1.3.5. (Nguyên lý modun cực đại) Giả sử f là hàm chỉnh hình trên
miền bị chặn D và liên tục trên D. Khi đó hoặc f = const hoặc |f (z)| chỉ đạt
cực đại ở trên ∂D, nghĩa là |f (z)| ≤ |f |∂D , ∀z ∈ D.
Nhận xét 1.3.6. Nếu miền D không bị chặn thì định lí không còn chính xác
nữa. Ví dụ ta xét hàm f (z) = ez trên D = {z ∈ C : Re z > 0}. Hàm |f | không
đạt cực đại trên biên vì |f (z)| = 1 với mọi điểm z nằm trên biên.

1.3.2

Khai triển chuỗi lũy thừa các hàm chỉnh hình

Định lý 1.3.7. Cho f là hàm chỉnh hình trên miền D. Khi đó f có đạo hàm
mọi cấp trên D, các đạo hàm này cũng là các hàm chỉnh hình trên D và được
cho bởi công thức
f (k) (z) =

k!
2πi

f (η)
dη,
(η − z)k+1
γ

với mọi k ∈ N, trong đó γ là chu tuyến quanh z sao cho Dγ ⊂ D.
Với mọi điểm c ∈ D ta ký hiệu d := dc (D) là khoảng cách từ c đến biên
của D. Khi đó B(c, d) là đĩa lớn nhất có tâm c và nằm hoàn toàn trong D.
Định lý 1.3.8. (Khai triển Taylor) Cho D là một tập mở khác rỗng trong C.
Mọi hàm chỉnh hình f trong D được khai triển tại mỗi c ∈ D thành chuỗi lũy


cn (z − c)n mà chuỗi này hội tụ về f trong B(c, d). Hệ số khai triển

thừa
n=0

12


Taylor được cho bởi
f (n) (c)
1
cn =
=
n!
2πi

f (η)
dη,
(η − c)n+1

(1.3)

∂B

với B := B(c, r) và 0 < r < d := dc (B).
Trường hợp khi hàm f là hàm khả vi phức vô hạn lần trong D và với mọi đĩa
B như trên ta có công thức tích phân loại Cauchy với mọi z ∈ B, ∀k ∈ N
f (k) (z) =

f (η)
dη.
(η − z)k+1

k!
2πi
γ

.


Chuỗi
n=0

f (n) c
(z − c)n
n!

trong định lý khai triển Taylor được gọi là chuỗi Taylor của hàm f (z) tại c.
Ví dụ 1.3.9. a) Tìm khai triển Taylor của hàm f (z) =

1
trong lân cận
z−3

của điểm z0 = 1.
Ta có:

1
−1
=
z−3
2 − (z − 1)
1
−1
=
z−1
2
1−
2

−1
z−1
=
2
2

k

k=0



=
k=0

−1
(z − 1)k .
k+1
2

b) Tìm khai triển Taylor của hàm f (z) = log z trong lân cận của điểm
z0 = 1.
Do
(log z) = z −1 , (log z)” = −z −2 , (log z)(3) = 2z −3 , . . . (log z)(j) = (−1)j+1 (j−1)!z −j .


nên log z =
j=1

(−1)j+1 (z − 1)j
.
j
13


Một hàm chỉnh hình luôn có thể biểu diễn địa phương thành các chuỗi
Taylor. Nên có thể đưa ra một dạng của định lý đồng nhất như sau.
Định lý 1.3.10. (Định lý đồng nhất) Nếu f, g ∈ Hol(D) với điểm c ∈ D và
U là một lân cận cả c trong D sao cho f |U = g|U thì f |B(c,d) = g|B(c,d) trong
đó d := dc (D) là khoảng cách từ c đến biên của D.
Một dạng định lý đồng nhất khác là hệ quả của công thức tích phân
Cauchy là: Nếu f, g là các hàm chỉnh hình trong một lân cận của đĩa đóng B
và nếu f |∂B = g|∂B thì f |B = g|B .

1.4
1.4.1

Tích phân Cauchy
Tích phân phức

Định nghĩa 1.4.1. Cho γ là đường cong trong mặt phẳng không kín với hai
đầu mút A, B và hàm f (z) xác định trên γ. Chia đường cong γ thành các
cung nhỏ bởi các điểm chia lần lượt A = η0 , η1 , . . . , ηn = B và lập tổng tích
phân:
n−1

f (ηv∗ )(ηv+1 − ηv ),

S=
v=0

trong đó ηv∗ là các điểm của đường cong γ nằm giữa ηv và ηv+1 với v =
0, . . . , n − 1. Khi max |ηv+1 − ηv | → 0, tồn tại giới hạn của họ tổng trên không
phụ thuộc vào phép chia và cách chọn các điểm ηv∗ thì giới hạn đó được gọi
là tích phân của hàm f (z) theo đường cong γ từ A tới B và ký hiệu là:
f (z)dz.
γAB

Bổ đề 1.4.2. (Bổ đề Goursat) Nếu hàm w = f (z) liên tục trong miền đơn
liên D và γ là một đường cong kín, trơn từng khúc nằm trong D thì với mọi
> 0 tồn tại một hình giác P ⊂ D có các đỉnh trên γ sao cho
f dz −
γ

f (z)dz < .
γP

14


1.4.2

Định lý tích phân Cauchy

Trước hết, chúng tôi nhắc lại (không chứng minh) các định lý tích phân
Cauchy cho miền đơn liên và đa liên trong [1].
Định lý 1.4.3. (Định lý tích phân Cauchy cho miền đơn liên) Nếu hàm
f (z) = ω là chỉnh hình trong miền đơn liên D thì với mọi chu tuyến trơn từng
khúc γ ⊂ D ta có
f dz = 0.
γ

Tiếp theo, giả sử D là miền n−liên nếu biên của D gồm có chu tuyến ngoài
γ và các chu tuyến γ1 , . . . , γn−1 đôi một không giao nhau nằm trong Dγ , tức

n−1

D = Dγ /

Dγk
k=1

và ∂D = γ ∪ γ1 ∪ . . . ∪ γn−1 .
Định lý 1.4.4. (Định lý tích phân Cauchy cho miền đa liên) Nếu D là một
miền n−liên và f là hàm liên tục trên D, chỉnh hình trên D thì
f dz = 0.
∂D

Định lý 1.4.5. (Công thức tích phân Cauchy) Giả sử f là chỉnh hình trên
miền D và z0 ∈ D. Với mọi chu tuyến γ ⊂ Dγ ⊂ D ta có công thức tích phân
Cauchy
f (z0 ) =

1
2πi

f (η)
dη.
η − z0
γ

Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý quanh z0 sao Dγ ⊂ D. Chọn p > 0
đủ bé để hình tròn B(z0 , p) ⊂ Dγ . Ký hiệu Γp là biên của B(z0 , p) và đặt
Dγ,p = Dγ /B(z0 , p).

15


Do Dγ,p là miền 2-liên, nên ta có
γ∪Γ−
p

f (η)
dη = 0, từ đó có đẳng thức
η − z0
f (η)
dη,
η − z0

f (η)
dη =
η − z0
γ

(1.4)

Γp

Qua phép đổi biến η = z0 + peiϕ , dη = ipeiϕ thì vế phải trở thành


f (η)
dη =
η − z0

f (z0 + peiϕ ) iϕ
ipe dϕ
peiϕ

0

Γp



f (z0 + peiϕ )dϕ

=i
0


[f (z0 + peiϕ ) − f (z0 )]dϕ + 2πif (z0 ).

=i
0

Khi p → 0, do tính liên tục của f ta có


[f (z0 + peiϕ ) − f (z0 )]dϕ = 0,

lim i

p→0

0

vì thế
f (η)
dη = 2πif (z0 ).
η − z0

lim

p→0
Γp

Kết hợp với đẳng thức (1.4) ta có điều phải chứng minh.

1.5

Hàm nửa liên tục

Định nghĩa 1.5.1. Giả sử X là không gian metric. Khi đó
i) Hàm f : X → [−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục trên nếu
{x ∈ X : f (x) < α} là tập mở với mọi α ∈ R.
ii) Hàm f : X → (−∞, +∞] được gọi là nửa liên tục dưới nếu
{x ∈ X : f (x) > α} là tập mở với mọi α ∈ R.
Hiển nhiên nếu f là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu −f nửa liên tục dưới.
16


Mệnh đề 1.5.2. f : X → [−∞, +∞) là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu
lim sup f (x) = f (x0 ) ∀x0 ∈ X
x→x0

ở đây
lim sup f (x) = lim

sup

δ→0

x→x0

f (x)

ρ(x,x0 )=δ

với ρ là một khoảng cách trên X.
Chứng minh. Giả sử {x ∈ X : f (x) < α} là tập mở với mọi α ∈ R. Ta sẽ
chứng minh lim sup = f (x0 ) ∀x0 ∈ X. Thật vậy, đặt α = f (x0 ) + với > 0.
x→x0

Ta có x0 ∈ {x ∈ X : f (x) < α}.
Do {x ∈ X : f (x) < α} là tập mở với mọi α ∈ R nên tồn tại quả cầu
B(x0 , r) ⊂ {x ∈ X : f (x) < α}. Do đó f (x) < f (x0 ) + ∀x ∈ B(x0 , r). Cho
→ 0, ta có lim sup f (x)

f (x0 ). Mặt khác lim sup f (x)

x→x0

f (x0 ).

x→x0

Vậy
lim sup f (x) = f (x0 ), ∀x0 ∈ X.
x→x0

Giả sử lim sup = f (x0 ), ∀x0 ∈ X, ta sẽ chứng minh {x ∈ X : f (x) < α} là
x→x0

tập mở với mọi α ∈ R.
Thật vậy, với mọi α ∈ R, xét điểm bất kì x0 ∈ {x ∈ X : f (x) < α}.
Vì lim sup f (x) = f (x0 ), ∀x0 ∈ X nên lim sup f (x) < α.
x→x0

x→x0

Do đó tồn tại hình cầu B(x0 , r) sao cho f (x) < α ∀x ∈ B(x0 , r).
Hay
B(x0 , r) ⊂ {x ∈ X : f (x) < α}.
Vậy {x ∈ X : f (x


sn e−s ds,

n! =
0

và ta được đồng nhất thức sau đây (dễ dàng nhận thấy bằng cách khai triển
nhị thức)
n

j=0

1
xj
=
j!
n!

Từ đó



(x + s)n e−s ds =

ex
n!

0
+∞

tn e−t dt.
x

+∞

sn e−ns ds = nenz

fn (z) = nenz



z

en(ln s−s) ds.
z

Công thức này là thuận tiện cho việc phân tích điểm yên (điểm dốc nhất) của
tích phân
+∞

exp(n(ln s − s))ds.
z

Phương trình điểm yên là phương trình (ln s − s) = 0 và chỉ có một nghiệm
s0 = 1. Nếu Re(ln z − z) < −1 và Re z < 1 thì đường lấy tích phân có thể
57


bị biến dạng khi đi qua điểm yên, khi đó tích phân có thể bị chi phối bởi lân
cận của s0 . Như vậy
+∞

en(ln s−s) ds ∼

2π n(ln s0 −s0 )
e
=
n

2π −n
e .
n

z

Mặt khác, nếu Re(ln s − s) > −1 hoặc Re z > 1 thì đường lấy tích phân sẽ bị
biến dạng khi đi quan s0 = 1 tích phân sẽ bị cho hối bởi điểm cuối s = z của
đường lấy tích phân. Điều này cho ta
+∞

en(ln s−s) ds ∼

1 n(ln z−z)
e
.
n

z

Kết hợp các khẳng định trên ta được




 2πnen(z−1) nếu ln |z| − Re z < −1 và Re z < 1
fn (z) =


 1 en ln z
nếu ln |z| − Re z > −1 hay Re z > 1
n
Phương trình ln |z| − Re z = −1, hoặc tương đương |ze1−z | = 1, xác định một
đường cong đối xứng quanh trục thực và tự cắt nhau tại z = 1. Một phần
của đường cong này trong nửa mặt phẳng Re z ≤ 1 được gọi là đường cong
Szego. Nó là một đường cong đóng và phần trong của nó là tập hợp các điểm
trong nửa mặt phẳng Re z ≤ 1 trong đó |ze1−z | < 1.
Từ công thức tiệm cận ở trên cho fn thì rõ ràng là giới hạn của pn (z) =
1
n

ln |fn (z)| tồn tại khắp nơi ngoài đường cong Szego



Re z − 1 bên trong đường cong Szego
1
p(z) = lim ln |fn (z)| =
n→∞ n


ln |z|
bên ngoài đường cong Szego

Đường cong Szego có độ đo không nên chúng ta khẳng định sự hội tụ hầu
khắp nơi của các thế vị. Áp dụng Bổ đề Widom, ta được độ đo không điểm
chuẩn hóa của chuỗi lũy thừa cắt cụt hội tụ yếu tới µ =

1
2π ∆p.

Do p là điều

hòa khắp nơi ngoại trừ trên đường cong Szego nên ta khẳng định rằng giới
58


hạn của độ đo đếm các không điểm của chuỗi lũy thừa cắt cụt có giá là đường
cong Szego.

59


Chương 3
Một số bài toán ban đầu đối với
hàm điều hòa dưới trên C
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài toán ban đầu đối với
hàm điều hòa dưới trong C bao gồm Bài toán Dirichlet, Hàm Perron, độ đo
điều hòa và về dung tích và đướng kính siêu hạn.

3.1
3.1.1

Bài toán Dirichlet và độ đo điều hoà
Bài toán Dirichlet

Trước hết chúng ta phát biểu định nghĩa Bài toán Diritchlet như sau.
Giả sử D là một miền bị chặn trong C và φ : ∂D → R là một hàm liên
tục. Bài toán Dirichlet là bài toán tìm hàm hàm h sao cho
∆h = 0 trên D

(3.1)

lim h(z) = φ(ζ), ∀ζ ∈ ∂D.

(3.2)

z→ζ

Ta lưu ý rằng Bài toán Dirichlet cũng được xét trên miền con không bị
chặn của C, tuy nhiên trong chương này chúng ta chỉ xét cho miền bị chặn.
Bài toán Dirichlet (cho miền bị chặn) có thể có không có nhiều hơn một
nghiệm. Điều này được suy từ Nguyên lý cực đại cho hàm điều hoà. Thật vậy,
nếu h1 và h2 là nghiệm thì h = h1 − h2 là hàm điều hoà và h = 0 trên D do
đó h1

h2 trên D. Thay đổi thứ tự h1 và h2 ta được h1

60

h2 do đó h1 = h2 .


Đối với miền không bị chặn, Bài toán có thể có nhiều hơn một nghiệm,
chẳng hạn h = Re z là điều hoà ở bên phải phần nửa mặt phẳng phức Re z

3.1.2

0.

Hàm Perron

Định nghĩa 3.1.1. (Hàm perron) Cho D là tập bị chặn trên C và φ : ∂D → R
là hàm bị chặn. Hàm Perron kí hiệu bởi HD φ : D → R xác định bởi
HD φ = sup u
u∈U

trong đó cận trên đúng lấy trên tập hợp U các hàm điều hòa dưới u trên D
sao cho
φ(ζ), ∀ζ ∈ D.

lim sup u(z)
z→ζ

Hàm Perron là điều hoà dưới trên D. Để chứng minh điều này chúng ta
có hai bổ đề sau.
Bổ đề 3.1.2. (Định lý dán) Cho U và V là hai tập mở trong C, V ⊂ U . Giả
sử u và v lần lượt là hai hàm điều hòa dưới trên U và V sao cho
lim sup v(z)

φ(ζ)

z→ζ

với mọi ζ ∈ U

∂V. Khi đó hàm



max(u, v) trên V ;
u=


max(u)
trên U \ V

là điều hòa dưới trên U .
Chứng minh. Với điều kiện lim sup v(z)

φ(ζ) thì hàm u là nửa liên tục trên.

z→ζ

Có thể dễ dàng kiểm tra tính chất dưới trung bình địa phương trên V và ta
có u là hàm điều hoà dưới trên V . Nếu ω ∈ V \U thì u(ω) = u(ω) và do đó
u(ω)

1




lim u(ω + reit )dt
0

bởi tính chất dưới trung bình địa hương của hàm u. Vậy u
tính chất dưới trung bình địa phương của hàm u.
61

u và ta được


Tiếp theo ta định nghĩa tích phân Poisson
1
p∆ φ(z) =



0

p2 − |z − ω|2
φ(ω + peiθ )dθ(z ∈ ∆),

2
|z − ω − pe |

với ∆ = ∆(ω, p) và hàm liên tục φ. Hiển nhiên rằng nếu φ chỉ khả tích thì
tích phân ở trên vẫn có nghĩa và là hàm điều hoà trên ∆ (bởi là phần thực
của hàm chỉnh hình). Đặc biệt, nếu u là điều hoà dưới trên lân cận của ∆ và
không đồng nhất bằng −∞ thì u(ω + peit ) là khả tích và vì thế p∆ u là điều
hoà trên ∆.
Bổ đề 3.1.3. (Poisson) Cho D là miền bị chặn trong C và ∆ là đĩa mở tâm
tại một điểm trong D sao cho ∆ ⊂ D. Giả sử u là điều hoà dưới trên D với
u = inf ty. Xác định hàm

u=




p∆ u trên ∆;


u

trên D \ ∆.

Khi đó u là điều hoà dưới trên D, điều hoà trên ∆ và u

u trên D.

Chứng minh. Vì p∆ u là điều hoà trên ∆ và bởi bất đẳng thức tích phân
Poisson trong từ Định lý 2.1.15 ta có u

p∆ u và do vậy u

u trên D.

Bởi vì u là nửa liên tục trên, theo Định lý 2.1.7, ta có thể tìm được các hàm
liên tục ψn sao cho ψn → u trên ∆ khi n → ∞. Khi đó với mỗi ς ∈ ∂∆ ta có
lim sup p∆ u(z)
z→ζ

lim sup p∆ ψn (z) = ψn (ς).
z→ζ

Cho n → ∞, ta được
lim sup p∆ u(z)

ψn (ς).

z→ζ

Sử dụng Định lý dán trên đây với v = p∆ u, ta được u là điều hoà dưới.
Bây giờ chúng ta chứng minh tính chất quan trọng sau đây của hàm Perron.

62


Định lý 3.1.4. Cho D là miền bị chặn trên C và φ : ∂D → R là hàm bị
chặn. Khi đó hàm Perron HD φ là điều hoà trên D và
sup |HD φ|

sup φ.

D

D

Chứng minh. Bất đẳng thức cần chứng minh là dễ thấy. Ta chứng minh khẳng
định còn lại.
Giả sử M = sup |φ| và U là tập các hàm siêu điều hoà dưới trên D sao cho
D

lim sup u(z)

φ(ς), ς ∈ ∂D.

z→ς

Nếu u ∈ U thì
lim sup u(z)

M,

z→ς

và theo Nguyên lý cực đại u

M trên D, do đó HD φ

là hàm số hằng thuộc U nên −M

M . Mặt khác, do M

HD φ. Do đó sup |HD φ|

M.

D

Ta chứng tỏ HD φ là điều hoà. Từ tính chất địa phương, ta chỉ cần chứng tỏ
rằng HD φ là điều hoà trên bất kỳ địa mở ∆ với ∆ ⊂ D. Cố định ∆ như vậy.
Lấy ω0 ∈ ∆. Theo định nghĩa của HD φ, tồn tại dãy hàm (un ) trong U sao
cho un (ω0 ) → HD φ(ω0 ). Thay thế un bằng max(u1 , ..., un ), ta có thể giả sử un
là không giảm bởi hiển nhiên fn = max(u1 , ..., un ) ∈ U , do đó fn (ω)
với mọi ω ∈ D. Mặt khác, fn (ω0 )

HD φ

un (ω0 ) → HD φ(ω0 ). Do đó fn (ω0 ) →

HD φ(ω0 ). Bây giờ áp dụng Bổ đề Poisson 3.1.3 vào mỗi một hàm un ta được
dãy không giảm un , (hạch Poisson là dương, do đó p∆ un là không giảm). Lấy
u = lim un . Khi đó
n→∞

i) Ta có u

HD φ trên D. Thật vậy, mỗi một un là điều hoà dưới trên D. Bởi

vì un = un nếu đủ gần với biên của D cho nên un ∈ U, vì thế un

HD φ và

do đó giới hạn của nó cũng vậy.
ii) Ta có u(ω0 ) = HD φ(ω0 ). Thực vậy, theo Bổ đề Poisson 3.1.3 thì un (ω0 )
un (ω0 ). Bởi vì un (ω0 ) → HD φ(ω0 ), chúng ta có u(ω0 )
i) ta có u(ω0 )

HD φ(ω0 ).
63

HD φ(ω0 ). Từ đó theo


iii) Ta có u là điều hoà trên ∆ bởi vì u không giảm và mỗi một un điều hoà
trên ∆ (theo Định lý Harnack).
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng

= HD φ trên ∆. Vì mục đích này, cố

định ω là điểm tuỳ ý và chọn vn ∈ U sao cho vn (ω) → HD φ(ω). Thay thế vn
bằng max(u1 , ..., un , v1 , ..., vn ), ta có thể giả sử vn là không giảm và vn

un .

Lấy v là hàm xác định như trong Bổ đề Poisson 3.1.3 tương ứng với vn . Khi
đó như trước đó ta có
i) v

HD φ trên D.

ii) v(ω) = HD φ(ω).
iii) v là điều hoà trên ∆.
Theo (i) thì v(ω0 )

HD φ(ω0 ) = u(ω0 ). Mặt khác, vì v n

un với mọi n nên

u. Do đó hàm u − v là điều hòa trên ∆, đạt được giá trị cực đại 0 tại ω0 ,

v

điều này có nghĩa theo Nguyên lý cực đại v = u trên ∆.
Tiếp tục theo ii), v(ω) = HD φ(ω), vì vậy u(ω) = HD φ(ω). Do ω là tuỳ ý,
u = HD φ trên ∆ và vì u là điều hoà trên ∆ nên HD φ cũng vậy.
Hàm Perron đóng vai trò quan trọng trong Bài toán Dirichlet tho nghĩa
như sau. Nếu bài toán Dirichlet có nghiệm thì nó chính là hàm Perron. Thật
vậy, nếu h là điều hoà và lim h(z) = φ(ζ) trên ∂D với h ∈ U. Do đó h
z→ζ

Mặt khác nếu u ∈ U thì lim sup(u − h)(z)

HD φ.

0 với mọi ζ ∈ ∂D và theo

z→ζ

Nguyên lý cực đại u

h trên D và ta suy ra HD φ

h, do đó HD φ = h.

Tuy nhiên, việc tồn tại của nghiệm không phải là điều tất nhiên có thể
thấy trong ví dụ chứng tỏ sau. Xét Bài toán Dirichlet trên D =

(0, 1)\0 và

hàm φ cho bởi φ(ζ) = 0 với |ζ| = 1 và ζ(0) = −1. Nếu h ∈ U thì bởi Nguyên
lý cực đại h
Cho

0 trên D, vì vậy HD (φ)

0. Lưu ý là ln |z| ∈ U với ∀ > 0.

→ 0 chúng ta có HD φ = 0, đây hiển nhiên không là nghiệm của Bài

toán Dirichlet.
Định nghĩa 3.1.5. Cho D là miền bị chặn trong C. Điểm ζ ∈ ∂D được gọi
64


là chính quy nếu
lim sup HD φ(z) = φ(ζ)
z→ζ

với mỗi hàm liên tục φ : ∂D → R. Miền có biên chứa những điểm chính quy
được gọi là miền chính quy (vì vậy nghiệm của Bài toán Dirichlet tồn tại với
điều kiện hàm liên tục trên biên).
Lớp của miền chính quy thực tế rất rộng. Sau đây chúng tôi trình bày (có
thể xem chứng minh trong [6]) các kết quả quan trọng sau đây. Trước hết,
chúng ta gọi một miền đơn liên bị chặn bởi hữa hạn các đường biên là các
đường cong đơn đóng kín được gọi là miền Jordan.
Định lý 3.1.6. Mọi miền Jordan là đều.
Tổng quát hơn ta có.
Định lý 3.1.7. Nếu D là miền đơn liên sao cho C∞ \D chứa ít nhất hai điểm
thì D là miền chính quy. Ở đây C∞ là mặt Riemann.
Định lý 3.1.8. Cho D là miền con của C∞ , ζ0 ∈ ∂D và C là phần bù của
∂D chứa ζ0 . Nếu C = {ζ0 } thì ζ0 là chính quy.
Tập hợp các điểm kì dị là tập cực. Kết quả này được biết đến như là Định
lý Kellogg (xem [6]).

3.1.3

Độ đo điều hòa

Lý thuyết về hàm Perron là một lý thuyết tốt nhưng nó không đưa ra một
công thức rõ ràng cho lời giải Bài toán Drichlet. Bây giờ, chúng ta sẽ tiếp cận
vấn đề theo một phương pháp khác dựa vào tích phân Poisson và ánh xạ bảo
giác.
Định nghĩa 3.1.9. (Đo lường điều hòa) Cho D là một miền con thực sự
của C với biên chính quy (và do đó Bài toán Dirichlet có nghiệm) và lấy
65


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×