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Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (tt)

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(M/xM ) ≤ e(x; M ) + C

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i = 1, ..., t✳

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p(M ) = −1

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M

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p(M ) ≤ 0✳

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p(M ) = maxj◆❣♦➔✐ r❛✱

p(M ) ≥ max{dim nCM(M ), dim D1 }

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M✳

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nCM(M )

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B = C + D,

B = C

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B = D✳

C, D

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j
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q1 = maxj D(M
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ự ữủ số q ừ t số t ý ừ ổ
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r(M ) = dimk ExttR (k, M )



M



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♥❤✐➯♥✱ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝❤➾ sè ❦❤↔ tê♥❣ ❝❤♦ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✱
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✈➔ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉②✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ❤❛✐ ❜➔✐ ❜→♦ ✭✶ ❙❈■ ❝❤➜t ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ✤➛✉ ✈➲
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✐t② ✐♥❞❡① ♦❢ ❣♦♦❞ ♣❛r❛♠❡t❡r ✐❞❡❛❧s ❢♦r ❝❡rt❛✐♥ ❝❧❛ss ♦❢ ♠♦❞✉❧❡s✧✱

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dim M = d✳
❝õ❛

R

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I✳

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R

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I✱

✈➔

M

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M

(R, m) ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣

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Var(I)

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p(M )

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M✱

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M ✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥

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M

✈➔

M/xM

✈î✐

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R

❧➔ t❤÷ì♥❣ ✈➔♥❤ ●♦r❡♥st❡✐♥

✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♠✐➯✉ t↔ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛
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M✳

M✳

M

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✷✳✶ ❑✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣②✿ ✣à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛ ✈➔
✤➛② ✤õ
❈❤♦

Hm0 (M ) = Dt ⊂ . . . ⊂ D1 ⊂ D0 = M

di := dim Di

✈î✐ ♠å✐

❧➔ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛

M✱

t❛ ✤➦t

i ≤ t✳ ❇➙② ❣✐í ❝❤ó♥❣ tæ✐ s➩ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ❝❤➼♥❤

❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✈î✐ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ✤♦ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥
❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳

❑✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❝õ❛ M ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ sp(M ) ①→❝ ✤à♥❤

❜ð✐

sp(M ) = max{p(Di−1 /Di ) | i = 1, . . . , t}.
❈❤ó þ r➡♥❣
❞➣②✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱

sp(M ) = −1
sp(M ) ≤ 0

s✉② rë♥❣ ❞➣②✳ ❚ê♥❣ q✉→t✱
♠æ✤✉♥

M✳

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

sp(M )

M

❧➔ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②

M

❧➔ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②

✤♦ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛

❈ö t❤➸✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❦➼ ❤✐➺✉

nSCM(M )

❧➔

▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ M ✱ tù❝ ❧➔
nSCM(M ) := {p ∈ Spec(R) | Mp ❦❤æ♥❣
◆❤➻♥ ❝❤✉♥❣

q✉ÿ t➼❝❤ ❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲

❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣②}.

nSCM(M ) ❦❤æ♥❣ ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ SpecR ✈î✐ tæ♣æ ❩❛r✐s❦✐✱

♥❤÷♥❣ ♥â ❧✉æ♥ ê♥ ✤à♥❤ ✈î✐ ♣❤➨♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❤â❛✱ tù❝ ❧➔ ♥➳✉
♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛

R

s❛♦ ❝❤♦

q ∈ nSCM(M )

t❤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤÷ñ❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛
♠å✐ t❤î ❤➻♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛

R

t❤➻

q ⊂ p ❧➔ ❤❛✐ ✐✤➯❛♥

p ∈ nSCM(M )✳

❱➻ t❤➳ t❛ ❝â

nSCM(M )✳ ◆➳✉ R ❧➔ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ê ❞ö♥❣ ✈➔

❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② t❤➻

❚➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ✤÷❛ r❛ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛
❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛

nSCM(M )

sp(M )

❧➔ ✤â♥❣✳

✈➔ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ q✉ÿ t➼❝❤

M✳

◆➳✉ R ❧➔ ❝❛t❡♥❛r② t❤➻ sp(M ) ≥ dim(nSCM(M ))✳ ❉➜✉
❜➡♥❣ ①↔② r❛ ♥➳✉ R ❧➔ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ê ❞ö♥❣ ✈➔ ♠å✐ t❤î ❤➻♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛ R ❧➔
❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷✳✶✳



r 1



số t s ổ ử q trồ

ự t q tr ữỡ

t t(r) D(r) ữủ tr ữỡ

õ sp(M ) r tỗ t ồ D(r) = Nk ... N1 N0 =
M ổ ừ M s dim Ni < dim Ni1 p(Ni1 /Ni ) r
ợ ồ i = 1, ..., k r trữớ ủ k = t(r) dim(Di/Ni) r
ợ ồ i t(r) r maxit(r) p(Ni1/Ni) = r
max {sp(M ), max dim(Di /Ni )} = r.
it(r)

ớ ú tổ ự tự ữợ t ở
ữỡ õ

p SuppR M sỷ R tr
dim(R/p) > sp(M ) t Mp Rpổ
dim(R/p) sp(M ) t sp(Mp) sp(M ) dim(R/p)


P ỏ ừ ử ú tổ ự tự
tổ q ừ

m

ú ỵ r

p(M ) = p(M )

t t ổ õ q ữ ợ


(R, m)

1

õ



sp(M )

tr ữỡ

rr s


sp(M )

t ờ

õ

sp(R) = 1

R

2





õ tố t ú

r

R

P



sp(R) = 1

ớ ú tổ s ữ r trữ

sp(M ) sp(M )



ỵ sp(M ) sp(M )

r R/p ổ trở
ợ ồ tố t p ừ M.
ọ t ổ trở ừ tố t

sp(M )

sp(M )



õ t õ t ỹ ữủ tr



tr ờ ử s tự ừ õ ợ tũ ỵ tr
tự ừ ừ rt ọ ồ t ờ
s

r 1 số t T = R[[x1, ..., xr ]]
ộ ụ tứ tự r tr R R ổ t
p(T ) = p(R) + r


ợ t ý số r 0 tỗ t tr
(R , m ) tr ờ ử s sp(R ) = 1 sp(R ) = r + 2



t ố trữ ỗ

r ú tổ s ự t q ữủ ồ t t
ố ự ố q ỳ
õ

x

sp(M/xM )



sp(M )

tr

tỷ t số trữợ õ t ự

tr trữớ ủ


dim Di

sp(M ) 0



x

tỷ ồ q

Hm0 (M ) = Dt ... D0 = M
ợ ồ

ồ ừ

M

t

di :=

i t

x tỷ ồ q ừ M
sp(M ) = 1 t sp(M/xM ) = 1
sp(M ) 0 t sp(M/xM ) 0



ú ỵ
M

ữủ ừ ờ ổ ú

q

(R, m)

õ



tr ữỡ

ỹ t s
ú

x

R

õ tố t

x m tỷ 0 õ x R q

sp(R/xR) = 1

tr õ

sp(R/xR) = 1


✶✶
❑❤✐

sp(M ) > 0

t❛ ❝â ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ s❛✉ ❣✐ú❛

sp(M/xM )

✈➔

sp(M )✳

●✐↔ sû sp(M ) > 0✳ ❈❤♦ x ∈ m ❧➔ f ✲♣❤➛♥ tû ❝❤➦t ❝õ❛
Di−1 /Di ✈î✐ ♠å✐ i ≤ t✳ ❑❤✐ ✤â sp(M/xM ) ≤ sp(M ) − 1✳ ❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔②
r❛ ❦❤✐ R ❧➔ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ê ❞ö♥❣ ✈➔ ♠å✐ t❤î ❤➻♥❤ t❤ù❝ ❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✶✳

sp(M/xM ) ≤ sp(M ) − 1

✣➥♥❣ t❤ù❝

❝á♥ ✤ó♥❣ ♥➳✉ t❛ ❜ä ✤✐ ❣✐↔ t❤✐➳t
t❤ù❝ ❝õ❛

sp(M )

R

R

tr♦♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✶ ❝â t❤➸ ❦❤æ♥❣

❧➔ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ê ❞ö♥❣ ✈➔ ♠å✐ t❤î ❤➻♥❤

❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳ ❑❤✐ ✤â✱

sp(M/xM ) ❝â t❤➸ r➜t ♥❤ä ♥❤÷♥❣

❝â t❤➸ ❧î♥ tò② þ✳

❱î✐ ♠é✐ sè ♥❣✉②➯♥ r ≥ 0✱ tç♥ t↕✐ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ ◆♦❡t❤❡r
(R , m ) ✈➔ a ∈ m ❧➔ f ✲♣❤➛♥ tû ❝❤➦t ❝õ❛ R∗ s❛♦ ❝❤♦ sp(R∗ ) = r + 1 ✈➔
sp(R∗ /aR∗ ) = −1✳
❱➼ ❞ö ✷✳✷✳✶✳

❱➜♥ ✤➲ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ♣❤➛♥ ♥➔② ❧➔ ✤÷❛ r❛ ✤➦❝ tr÷♥❣ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ❝❤♦ ❦✐➸✉
✤❛ t❤ù❝ ❞➣②✳ ✣➦t
❦❤✐

Dt = 0✳

✣➦t

dim Di = di

✈î✐

i = 0, 1, ..., t✳

D(M ) = {d0 , ..., dt }✳

❚❛ q✉② ÷î❝

dim Dt = −1

❈❤ó þ r➡♥❣

D(M ) \ {−1} = {dim(R/p) | p ∈ AssR M }.

●✐↔ sû R ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ●♦r❡♥st❡✐♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❈❤♦
j ≥ d ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥✳ ❑❤✐ ✤â
✭✐✮ AssR K j (M ) = AttR Hmj (M )✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ dim K j (M ) ≤ j ✳
✭✐✐✮ dim K j (M ) = j ✈î✐ ♠å✐ j ∈ D(M )✳
❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✷✳

●✐↔ sû

R

❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ●♦r❡♥st❡✐♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ✣➦t

D(M ) =

j
j
{d0 , ..., dt }✳ ✣➦t q1 := maxj ∈D(M
/
) dim(K (M )) ✈➔ q2 := maxj∈D(M ) p(K (M ))✳
✣à♥❤ ❧þ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ ✤à♥❤ ❧þ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣
❝â t❤➸ t➼♥❤ t♦→♥ t❤æ♥❣ q✉❛ ♠æ✤✉♥ ❦❤✉②➳t t❤✐➳✉

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✷✳

sp(M )

K j (M )✳

◆➳✉ R ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ●♦r❡♥st❡✐♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t❤➻
sp(M ) = max{q1 , q2 }.



ứ ờ ỵ t t ữủ trữ ỗ


M



sp(M ) r

q trỹ t s t trữ

t ổ ổ s rở


r 1 số sỷ R tữỡ ừ
rst ữỡ õ sp(M ) r dim K j (M ) r
ợ ồ j / D(M ) dim K j (M ) = j tr õ p(K j (M )) r ợ ồ
j D(M )
q


✶✸

❈❤÷ì♥❣ ✸
❱➲ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ✈➔ ❝❤➾ sè ❦❤↔
tê♥❣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥
❚r♦♥❣ s✉èt ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ t❛ ❧✉æ♥ ❣✐↔ t❤✐➳t
✈î✐ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✉② ♥❤➜t
❑r✉❧❧

dim M = d✱ A

❧➔

m ✈➔ M

✤õ

m✲❛❞✐❝

❝õ❛

R

✈➔

❧➔ ♠ët

R✲♠æ✤✉♥

❧➔ t➟♣ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛

R

(R, m) ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣
R✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✈î✐ ❝❤✐➲✉

❆rt✐♥✳ ❱î✐ ♠é✐ ✐✤➯❛♥
❝❤ù❛

I✳

❑➼ ❤✐➺✉

R

✈➔

I✱
M

❦➼ ❤✐➺✉

Var(I)

❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ✤➛②

M✳

✸✳✶ ❈❤➾ sè ❦❤↔ q✉②
▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ✤↕✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ❧➔ ✤à♥❤ ❧þ ♣❤➙♥
t➼❝❤ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜ð✐ ❊✳ ◆♦❡t❤❡r ♥➠♠ ✶✾✷✶✳ ❚r♦♥❣ ❜➔✐
❜→♦ ♥➔②✱ ❜➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❜➜t ❦➻ ✐✤➯❛♥

I

❝õ❛ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r

R

✤➲✉ ❝â

t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤➔♥❤ ❣✐❛♦ t❤✉ ❣å♥ ❝õ❛ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ✈➔ sè ✐✤➯❛♥
❜➜t ❦❤↔ q✉② ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥✳
❇➜t ❜✐➳♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ✐✤➯❛♥ I ✳

◆➠♠ ✶✾✺✼✱ ❉✳●✳ ◆♦rt❤❝♦tt ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ✐✤➯❛♥ t❤❛♠
sè tr♦♥❣ ✈➔♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ❞✉② ♥❤➜t ✈➔♦ ✈➔♥❤
✈➔ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❝→❝❤ ❝❤å♥ ✐✤➯❛♥ t❤❛♠ sè✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣
tæ✐ s➩ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ❝õ❛ ❉✳●✳ ◆♦rt❤❝♦tt ❝❤♦ ♠æ✤✉♥✳


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